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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Übungsaufgaben zur Vektorrechnung}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage  %------------------------------------------

\section{Aufgaben}
Lösen Sie die nachfolgenden Aufgaben. Die Lösungen befinden sich im nächsten
Kapitel.
\subsection{Aufgabe 1}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig} (Aufg. a und b) bzw.
\textbf{komplanar} (Aufg. c bis e)?
\subsubsection{Aufgabe 1a}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1b}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1c}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-5 \\-5 \\-5 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1d}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\-2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\subsubsection{Aufgabe 1e}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}0 \\-1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 2}
Bestimmen Sie den Parameter $a$ so, dass die Vektoren \textbf{komplanar} sind!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} a \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 3}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\subsubsection{Aufgabe 3a}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 3b}
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}-4 \\-3 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 3c}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 4}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\subsubsection{Aufgabe 4a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 4b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 5}
Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 6 \\-9 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\-8 \\ 10 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}-3 \\ 7 \\ 11 \end{array}\right) \qquad
  \vec e= \left( \begin{array}{c}7 \\-7 \\ 7 \end{array}\right)\]

\subsection{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-12 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}15 \\-16 \\ 12 \end{array}\right)\]

\subsection{Aufgabe 7}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\subsubsection{Aufgabe 7a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 7b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}24 \\ -6 \\ 8  \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie die fehlende Komponente $x$ so, dass sich ein Winkel von
$60^\circ$ zwischen den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ergibt!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50} \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0  \end{array}\right) \]

\newpage  %---------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!

\subsubsection{Aufgabe 9a}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ z \end{array}\right) \]

\subsubsection{Aufgabe 9b}
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} y \\ -1 \\-3  \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z  \end{array}\right) \]

\subsection{Aufgabe 10}
Bestimmen Sie einen Vektor $\vec d$ senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ mit dem
Betrag von $\vec c$!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}1 \\-11 \\-23,5  \end{array}\right) \]


\newpage  %------------------------------------------------
\section{Lösungen der Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\subsubsection{Aufgabe 1a}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante\footnote{Alle Hintergrundinformationen zu
Determinanten, was das ist und wie sie berechnet wird, ist hier zu finden:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/mathematik/det.pdf}
{http://www.dk4ek.de/mathematik/det.pdf}\fi}
$\det \left( \vec a,\vec b \right)$. Ist sie Null, dann sind die Vektoren
\textbf{linear abhängig}.
\[\det \left( \vec a,\vec b \right) =\begin{array}{|cc|} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\
\end{array}=0 \cdot 3-0 \cdot 2=0 \]
Die Determinante ist Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{linear abhängig}.}

\subsubsection{Aufgabe 1b}
Sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b \right)$. Ist sie
Null, dann sind die Vektoren \textbf{linear abhängig}.
\[\det \left( \vec a,\vec b \right) =\begin{array}{|cc|} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{array}
  =2 \cdot 1-1 \cdot 0=2 \not= 0  \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{linear unabhängig}.}

\newpage  %------------------------
\subsubsection{Aufgabe 1c}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-5 \\-5 \\-5 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5 \\
1 & 2 & -5 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1 & 2 \\
1 & 2 \\
\end{array}}=-10-10-10+10+10+10=0 \]
Die Determinante ist Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{komplanar}.}

\subsubsection{Aufgabe 1d}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}0 \\ 2 \\-2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
0 &-1 &-2 \\
2 & 0 & 2 \\
-2& 2 & 1 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
0 &-1 \\
2 & 0 \\
-2& 2 \\
\end{array}}=0+4-8-0-0+2=-2 \not= 0 \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht komplanar}.}

\newpage  %------------------------
\subsubsection{Aufgabe 1e}
Sind die Vektoren \textbf{komplanar}?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}0 \\-1 \\ 1 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Ich berechne die Determinante $\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)$. Ist
sie Null, dann sind die Vektoren \textbf{komplanar}.
\[\det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =\begin{array}{|ccc|}
1 & 0 &-1 \\
0 &-1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 &-1 \\
1 & 1 \\
\end{array}}=-1+0+0-1-1-0=-3 \not= 0 \]
Die Determinante ist \textbf{nicht} Null. \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht komplanar}.}

\subsection{Aufgabe 2}
Bestimmen Sie den Parameter $a$ so, dass die Vektoren \textbf{komplanar} sind!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} a \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 4 \\ 3 \end{array}\right) \]

\paragraph{Lösung:}
\[\textnormal{Vektoren }\vec a,\ \vec b \textnormal{ und }\vec c \textnormal{
komplanar}\quad \Leftrightarrow \quad \det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right) =0\]
\begin{eqnarray*}  \det \left( \vec a,\vec b,\vec c \right)&=&0 \\
\begin{array}{|ccc|}
a &-5 & 5 \\
2 & 0 & 4 \\
0 & 3 & 3 \\
\end{array} \textcolor{green}{\begin{array}{cc}
a &-5 \\
2 & 0 \\
0 & 3 \\
\end{array}}&=&0 \\
0+0+30-0-12a+30&=&0 \\
-12a+60&=&0 \quad |-60 \\
-12a&=&-60 \quad |:(-12) \\
a&=&5
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a=5$}

\newpage  %------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
\subsubsection{Aufgabe 3a}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \end{array}\right)=
1 \cdot 2+2 \cdot 1=4 \not=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind \textbf{nicht}
orthogonal.}\end{center}

\subsubsection{Aufgabe 3b}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left(\begin{array}{c}-4 \\-3 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}-3 \\ 4 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-4 \\ -3 \end{array}\right)=
-3 \cdot (-4)+4 \cdot (-3)=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind orthogonal.}\end{center}

\subsubsection{Aufgabe 3c}
Stehen die Vektoren zueinander senkrecht (orthogonal)?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\[ \vec a \cdot \vec b=
\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\-1 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)=
2 \cdot (-5)+3 \cdot 4+(-1) \cdot 2=-10+12-2=0 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Die Vektoren sind orthogonal.}\end{center}

\newpage  %------------------------
\subsection{Aufgabe 4}
\subsubsection{Aufgabe 4a}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\begin{eqnarray*}
\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}-2 \\ x \\ 5 \end{array}\right)&=&0 \\
-4+x+15&=&0 \\
x+11&=&0 \quad |-11 \\
x&=&-11
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=11$}

\subsubsection{Aufgabe 4b}
Bestimmen Sie den Parameter $x$ so, dass die Vektoren aufeinander
senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für Orthogonalität lautet: \mbox{$\vec a \cdot \vec b=0$}.
\begin{eqnarray*}
\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
\left(\begin{array}{c}5 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot
  \left(\begin{array}{c}x \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)&=&0 \\
5x+0+0&=&0 \\
5x&=&0 \quad |:5 \\
x&=&0
\end{eqnarray*}
Der fehlende Parameter lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=0$}

\newpage  %-------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Ordnen Sie die fünf Vektoren nach der Länge der zugehörigen Pfeile!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ 12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} 6 \\-9 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}2 \\-8 \\ 10 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}-3 \\ 7 \\ 11 \end{array}\right) \qquad
  \vec e= \left( \begin{array}{c}7 \\-7 \\ 7 \end{array}\right)\]
\paragraph{Lösung:}
Die Länge des Pfeiles entspricht dem Betrag des Vektors. Daher bestimme ich
zunächst die Beträge der Vektoren.
\[\begin{array}{rclclcl}
|\vec a|&=&\sqrt{(-5)^2+12^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec b|&=&\sqrt{6^2+(-9)^2}&=&\sqrt{117}&\approx&10,82 \\
|\vec c|&=&\sqrt{2^2+(-8)^2+10^2}&=&\sqrt{168}&\approx& 12,96 \\
|\vec d|&=&\sqrt{(-3)^2+7^2+11^2}&=&\sqrt{179}&\approx& 13,38 \\
|\vec e|&=&\sqrt{7^2+(-7)^2+7^2}&=&\sqrt{147}&\approx& 12,12 \\
\end{array}\]
Durch Vergleich der Werte -- am besten der exakten mit Wurzel -- ergibt sich
folgende Reihenfolge:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec b \qquad \vec e \qquad \vec c \qquad \vec a \qquad \vec d$}
\end{center}

\subsection{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die Beträge der vier Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}-12 \\ 4 \\ -3 \end{array}\right) \qquad
  \vec d= \left( \begin{array}{c}15 \\-16 \\ 12 \end{array}\right)\]
\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rclclcl}
|\vec a|&=&\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec b|&=&\sqrt{(-21)^2+(-28)^2}&=&\sqrt{1225}&=&35 \\
|\vec c|&=&\sqrt{(-12)^2+4^2+(-3)^2}&=&\sqrt{169}&=&13 \\
|\vec d|&=&\sqrt{15^2+(-16)^2+12^2}&=&\sqrt{625}&=&25 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$|\vec a|=13 \quad |\vec b|=35 \quad |\vec c|=13 \quad |\vec d|=25$}
\end{center}

\newpage  %-------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\subsubsection{Aufgabe 7a}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-5 \\ -12 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die Grundformel: \mbox
{$|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b=\vec a \cdot \vec b$}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b&=&\vec a \cdot \vec b
  \quad| :\left(|\vec a|\cdot|\vec b| \right) \\
\cos \angle \vec a \vec b&=&\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos
  \frac{\left( \begin{array}{c}-5 \\-12 \end{array}\right) \cdot
  \left( \begin{array}{c}-21 \\-28 \end{array}\right)}
  {\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}\cdot \sqrt{(-21)^2+(-28)^2}}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{105+336}{13 \cdot 35}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{441}{455}\\
\angle \vec a \vec b&\approx&14,25^\circ
\end{eqnarray*}
Der Winkel zwischen den Vektoren ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\angle \vec a \vec b \approx 14,25^\circ$}

\newpage  %----------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 7b}
Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}24 \\ -6 \\ 8  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die umgestellte Grundformel: \mbox
{$\angle \vec a \vec b
 = \arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$}
\begin{eqnarray*}
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos
  \frac{\left( \begin{array}{c}-9 \\-12 \\ 36 \end{array}\right) \cdot
  \left( \begin{array}{c}24 \\-6 \\ 8 \end{array}\right)}
  {\sqrt{(-9)^2+(-12)^2+36^2}\cdot \sqrt{24^2+(-6)^2}+8^2}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{-216+72+288}{39 \cdot 26}\\
\angle \vec a \vec b&=&\arccos \frac{144}{1014}\\
\angle \vec a \vec b&\approx&81,8357^\circ
\end{eqnarray*}
Der Winkel zwischen den Vektoren ist:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\angle \vec a \vec b \approx 81,8357^\circ$}

\newpage   %----------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
Bestimmen Sie die fehlende Komponente $x$ so, dass sich ein Winkel von
$60^\circ$ zwischen den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ergibt!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50} \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung dient die Grundformel: \mbox
{$|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b=\vec a \cdot \vec b$}
\begin{eqnarray*}
|\vec a|\cdot|\vec b| \cdot \cos \angle \vec a \vec b&=&\vec a \cdot \vec b
  \quad| :\left(|\vec a|\cdot|\vec b| \right) \\
\sqrt{(-7)^2+1^2+\left( \sqrt{50}\right)^2}\cdot \sqrt{x^2+4^2+0^2}\cdot
 \cos 60^\circ&=&\left( \begin{array}{c}-7 \\ 1 \\ \sqrt{50}\end{array}\right)
 \cdot \left( \begin{array}{c}x \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \\
10 \cdot \sqrt{x^2+16}\cdot 0,5 &=&-7x+4 \quad |\ (\ )^2 \\
5 \cdot \sqrt{x^2+16}&=&-7x+4 \quad |\ (\ )^2 \\
25 \cdot (x^2+16)&=&49x^2-56x+16 \\
25x^2+400&=&49x^2-56x+16 \\
-24x^2+56x+384&=&0 \quad|:(-24) \\
x^2-\frac{7}{3}x-16&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{7}{6}\pm \sqrt{\frac{49}{36}+\frac{576}{36}}\\
x_{1/2}&=&\frac{7}{6}\pm \frac{25}{6}\\
x_1=\frac{16}{3} && x_2=-3
\end{eqnarray*}
Im Verlauf der Lösung entstand eine \textbf{Wurzelgleichung}, die gelöst werden
musste. Bekanntlich können dabei Pseudo-Lösungen entstehen, die aber die
ursprüngliche Gleichung nicht erfüllen. Eine \textbf{Probe} mit beiden
gefundenen Lösungskandidaten ist also unumgänglich.
\begin{center}\underline{\textbf{Probe mit }$\mathbf{x_1=\frac{16}{3}:}$}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
5 \cdot \sqrt{x_1^2+16}&? \atop =&-7x_1+4 \\
5 \cdot \sqrt{\left( \frac{16}{3}\right)^2+16}&? \atop =&
  -7 \cdot \frac{16}{3}+4 \\
5 \cdot \frac{20}{3}&? \atop =&-\frac{112}{3}+\frac{12}{3}\\
\frac{100}{3}&\not=&-\frac{100}{3}
\end{eqnarray*}

\begin{center}\underline{\textbf{Probe mit }$\mathbf{x_2=-3:}$}
\end{center}
\begin{eqnarray*}
5 \cdot \sqrt{x_2^2+16}&? \atop =&-7x_2+4 \\
5 \cdot \sqrt{(-3)^2+16}&? \atop =&-7 \cdot (-3)+4 \\
5 \cdot 5&? \atop =&21+4 \\
25&=&25
\end{eqnarray*}

Es gibt also nur eine Lösung, nämlich:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=-3$}

\newpage  %------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
\subsubsection{Aufgabe 9a}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ z \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten
wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens.
\[\begin{array}{llclcl}
(1)&\vec a \perp \vec b&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \perp \vec c&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \perp \vec c&\Rightarrow&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\end{array}\]
Die konkreten Werte werden eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcl}
(1)&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\hline
(1)&\left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c}x \\-25 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
(3)&\left( \begin{array}{c}-3 \\ y \\-4 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
\hline
(1)&-3x-25y+12&=&0 \\
(2)&4x-25-3z&=&0 \\
(3)&-12+y-4z&=&0 \\
\hline
(1)&-3x-25y&=&-12 \\
(2)&4x-3z&=&25 \\
(3)&+y-4z&=&12 \\
\hline
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Lösungsverfahren
gelöst werden.\footnote{Weitere Informationen zu möglichen Lösungsverfahren
für Lineargleichungssysteme sind hier zu finden: \ifpdf \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}
{http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}\fi}
Man erhält die Lösungen:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=4 \quad y=0 \quad z=-3$}

\subsubsection{Aufgabe 9b}
Bestimmen Sie die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die drei Vektoren
paarweise aufeinander senkrecht stehen!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c} x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c} y \\ -1 \\-3  \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Um drei Parameter zu bestimmen, benötigen wir drei Gleichungen. Diese erhalten
wir durch die Bedingung des paarweisen Senkrechtstehens.
\[\begin{array}{llclcl}
(1)&\vec a \perp \vec b&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \perp \vec c&\Rightarrow&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \perp \vec c&\Rightarrow&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\end{array}\]
Die konkreten Werte werden eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcl}
(1)&\vec a \cdot \vec b&=&0 \\
(2)&\vec a \cdot \vec c&=&0 \\
(3)&\vec b \cdot \vec c&=&0 \\
\hline
(1)&\left( \begin{array}{c}x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}y \\-1 \\-3 \end{array}\right)&=&0 \\
(2)&\left( \begin{array}{c}x \\ 11 \\ 3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
(3)&\left( \begin{array}{c}y \\-1 \\-3 \end{array}\right) \cdot
\left( \begin{array}{c}15 \\-18 \\ z \end{array}\right)&=&0 \\
\hline
(1)&xy-11-9&=&0 \\
(2)&15x-198+3z&=&0 \\
(3)&15y+18-3z&=&0 \\
\hline
(1)&xy&=&20 \\
(2)&15x+3z&=&198 \\
(3)&15y-3z&=&-18 \\
\hline
\end{array}\]
Da in Gleichung (1) das Produkt $xy$ vorkommt, handelt es sich \textbf{nicht}
um ein \textbf{lineares} Gleichungssystem. Einige Lösungsverfahren müssen daher
entfallen. Daher verwende ich das \textbf{Einsetzungsverfahren}, denn das
funktioniert immer. Ich löse Gleichung (3) nach $z$ auf und setze das Ergebnis
in Gleichung (2) ein. Gleichung (1) bleibt erhalten, da dort kein $z$ vorkommt.
\begin{eqnarray*}
15y-3z&=&-18 \quad|-15y \\
-3z&=&-18-15y \quad|:(-3) \\
z&=&6+5y
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (2):
\begin{eqnarray*}
15x+3 \cdot (6+5y)&=&198 \\
15x+18+15y&=&198 \quad|-18 \\
15x+15y&=&180
\end{eqnarray*}
Jetzt stelle ich diese Gleichung nach y um und setze das Ergebnis in (1) ein.
\begin{eqnarray*}
15x+15y&=&180 \quad|-15x \\
15y&=&180-15x \quad|:15 \\
y&=&12-x \\
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (1):
\begin{eqnarray*}
xy&=&20 \\
x \cdot (12-x)&=&20 \\
12x-x^2&=&20 \quad|-20 \\
12x-x^2-20&=&0 \quad| \cdot (-1) \\
x^2-12x+20&=&0 \\
x_{1/2}&=&6 \pm \sqrt{36-20}\\
x_{1/2}&=&6 \pm 4 \\
x_1=10 && x_2=2 \\
\end{eqnarray*}
Zu jedem $x$-Wert gibt es passende $y$- und $z$-Werte.
\[y_1=12-x_1=12-10=2\]
\[y_2=12-x_2=12-2=10\]
\[z_1=6+5y_1=6+5 \cdot 2=16\]
\[z_2=6+5y_2=6+5 \cdot 10=56\]
Lösungen:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_1=10 \quad y_1=2 \quad z_1=16$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=2 \quad y_2=10 \quad z_2=56$}

\newpage   %--------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10}
Bestimmen Sie einen Vektor $\vec d$ senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ mit dem
Betrag von $\vec c$!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \qquad
  \vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) \qquad
  \vec c= \left( \begin{array}{c}1 \\-11 \\-23,5  \end{array}\right) \]
\paragraph{Lösung:}
Einen beliebigen Vektor senkrecht zu $\vec a$ und $\vec b$ findet man leicht
mit Hilfe des \textbf{Kreuzproduktes}. Da er (vermutlich) noch nicht die
richtige Länge hat, nenne ich ihn nicht $\vec d$ sondern $\vec e$.
\[\vec e=\vec a \times \vec b=
\left( \begin{array}{c}4 \\-2 \\ 3 \end{array}\right) \times
\left( \begin{array}{c}9 \\-4 \\-5 \end{array}\right) =
\left( \begin{array}{c}
-2 \cdot (-5)-3 \cdot (-4) \\
3 \cdot 9-4 \cdot (-5) \\
4 \cdot (-4)-(-2) \cdot 9 \\
\end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c} 22 \\ 47 \\ 2 \end{array}\right) \]
Jetzt wird der Betrag von $\vec c$ und $\vec e$ bestimmt.
\[|\vec c|= \sqrt{1^2+(-11)^2+(-23,5)^2}= \sqrt{552,25}\approx 25,9663 \]
\[|\vec e|= \sqrt{22^2+47^2+2^2}= \sqrt{2697}\approx 51,9326 \]
Ich berechne das "`Verlängerungsverhältnis"'
\mbox{$\lambda=\frac{|\vec c|}{|\vec e|}$} (das in Wahrheit für eine Verkürzung
sorgt), mit dem $\vec e$ multipliziert werden muss, um $\vec d$ zu erhalten.
\[\lambda=\frac{|\vec c|}{|\vec e|}=\frac{\sqrt{552,25}}{\sqrt{2697}}=0,5\]
Damit erhalten wir:
\[\vec d= \lambda \cdot \vec e=0,5 \cdot
\left( \begin{array}{c} 22 \\ 47 \\ 2 \end{array}\right)
=\left( \begin{array}{c} 11 \\ 23,5 \\ 1 \end{array}\right)\]
Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung. Auch der Vektor, der $\vec d$ genau
entgegengesetzt ist, ist eine Lösung. Wir erhalten also:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec d_1=\left( \begin{array}{c} 11 \\ 23,5 \\ 1 \end{array}\right)$}
und
\fcolorbox{red}{yellow}
{$\vec d_2=\left( \begin{array}{c}-11 \\-23,5 \\-1 \end{array}\right)$}
\end{center}

\end{document}
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%\caption{Bildunterschrift}
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
