\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Diverse Übungsaufgaben zur Vektorrechnung}
\subsection*{Aufgabe 1}
Gegeben sind die drei Vektoren:
 \[\vec a=\left( \begin{array}{c} u \\ 10 \\ -5 \end{array} \right) \qquad
   \vec b=\left( \begin{array}{c} 4 \\ v  \\ -8 \end{array} \right)  \qquad
   \vec c=\left( \begin{array}{c}11 \\ -2 \\  w \end{array} \right) \]
Bestimmen Sie die Parameter $u$, $v$ und $w$ so, dass die Vektoren $\vec a$,
$\vec b$ und $\vec c$ paarweise aufeinander senkrecht stehen! \\

Ein Quader hat die Eckpunkte D, E, F, G, H, I, J und K. Die Kanten $\vec {ED}$,
$\vec {EI}$ und $\vec {EF}$ entsprechen den Vektoren $\vec a$,
$\vec b$ und $\vec c$. Der Punkt E hat die Koordinaten $(6|20|15)$. \\ \\
Das Kantenmodell des Quaders soll auf einem Bildschirm dargestellt werden.
Die Koordinaten $x$, $y$ und $z$ des dreidimensionalen Quaders werden auf den
zweidimensionalen Bildschirm mit den Koordinaten $x_b$ und $y_b$ abgebildet
durch die Zuordnung $x_b=x+0,5z$ und $y_b=y+0,5z$. Berechnen Sie die
Bildschirmkoordinaten aller 8 Eckpunkte des Quaders! \\ \\

\subsection*{Aufgabe 2}
Gegeben sind die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$. Sind die Vektoren
komplanar?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}2 \\ 5 \\-3 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}3 \\ -7 \\ 4 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}\right) \qquad \]

\subsection*{Aufgabe 3}
Gegeben sind die Vektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ und $\vec d$. Berechnen
Sie die Beträge der Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}3 \\ -4 \\-12 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\ 24 \\ -30 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}-21 \\ -12 \\ 28 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec d= \left( \begin{array}{c}-64 \\ 48 \\ 39 \\ \end{array}\right) \qquad \]


\newpage
\subsection*{Lösung Aufgabe 1:}
Wir können 3 Skalarprodukte von je zwei Vektoren aufstellen. Diese sind jeweils
gleich Null, da die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
\[\begin{array}{lclcl}
\vec a \circ \vec b &\Rightarrow& 4u+10v+40=0 &\Rightarrow& 4u+10v=-40 \\
\vec a \circ \vec c &\Rightarrow& 11u-20-5w=0 &\Rightarrow& 11u-5w=20 \\
\vec b \circ \vec c &\Rightarrow& 44-2v-8w=0 &\Rightarrow& -2v-8w=-44 \\
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren aufgelöst
werden. Man erhält dann:
\[u=5 \qquad v=-6 \qquad w=7\]
Die gesuchten Vektoren lauten damit:
 \[\vec a=\left( \begin{array}{c} 5 \\ 10 \\ -5 \end{array} \right) \qquad
   \vec b=\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -8 \end{array} \right)  \qquad
   \vec c=\left( \begin{array}{c}11 \\ -2 \\  7 \end{array} \right) \]

\vspace{15mm}

Nun müssen noch die Eckpunkte des Quaders bestimmt werden. Gegeben ist der
Punkt $E$. Wir stellen ihn dar durch den Vektor $\vec E$, der vom
Koordinatenursprung zum Punkt $E$ verläuft. Den zugehörigen zweidimensionalen
Punkt auf dem Bildschirm nennen wir $E^*$. Entsprechend ordnen wir ihm den
Vektor $\vec E^*$ zu.
\[\vec E=\left( \begin{array}{c} 6 \\ 20 \\ 15 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec E^*=\left( \begin{array}{c}6+7,5 \\ 20+7,5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}13,5 \\ 27,5 \end{array} \right)\]
Durch die Bildung geeigneter Vektorsummen können wir nun die entsprechenden
dreidimensionalen Vektoren $\vec D$ bis $\vec K$ und die zugehörigen
zweidimensionalen Vektoren $\vec D^*$ bis $\vec K^*$ bestimmen. Damit ist die
Aufgabe gelöst.
\[\vec D= \vec E+\vec a
 =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 20 \\ 15 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 4 \\ 10 \\ -5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 11 \\ 30 \\ 10 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec D^*=\left( \begin{array}{c}11+5 \\ 30+5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}16 \\ 35 \end{array} \right)\]

\[\vec F= \vec E+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 20 \\ 15 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 11 \\ -2 \\ 7 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 17 \\ 18 \\ 22 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec F^*=\left( \begin{array}{c}17+11 \\ 18+11 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}28 \\ 29 \end{array} \right)\]

\[\vec G= \vec D+\vec c
 =\left( \begin{array}{c} 11 \\ 30 \\ 10 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 11 \\ -2 \\ 7 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 22 \\ 28 \\ 17 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec G^*=\left( \begin{array}{c}22+8,5 \\ 28+8,5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}30,5 \\ 36,5 \end{array} \right)\]

\[\vec H= \vec D+\vec b
 =\left( \begin{array}{c} 11 \\ 30 \\ 10 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -8 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 15 \\ 24 \\ 2 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec H^*=\left( \begin{array}{c}15+1 \\ 24+1 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}16 \\ 25 \end{array} \right)\]

\[\vec I= \vec E+\vec b
 =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 20 \\ 15 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -8 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 10 \\ 14 \\ 7 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec I^*=\left( \begin{array}{c}10+3,5 \\ 14+3,5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}13,5 \\ 17,5 \end{array} \right)\]

\[\vec J= \vec F+\vec b
 =\left( \begin{array}{c} 17 \\ 18 \\ 22 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -8 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 21 \\ 12 \\ 14 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec J^*=\left( \begin{array}{c}21+7 \\ 12+7 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}28 \\ 19 \end{array} \right)\]

\[\vec K= \vec G+\vec b
 =\left( \begin{array}{c} 22 \\ 28 \\ 17 \end{array} \right)
 +\left( \begin{array}{c} 4 \\ -6 \\ -8 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c} 26 \\ 22 \\ 9 \end{array} \right)
 \quad \Rightarrow \quad
 \vec K^*=\left( \begin{array}{c}26+4,5 \\ 22+4,5 \end{array} \right)
 =\left( \begin{array}{c}30,5 \\ 26,5 \end{array} \right)\]

\subsection*{Aufgabe 2}
Gegeben sind die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$. Sind die Vektoren
komplanar?
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}2 \\ 5 \\-3 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}3 \\ -7 \\ 4 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}5 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}\right) \qquad \]

Die Komplanarität wird am einfachsten mit der Determinante aus $\vec a$,
$\vec b$ und $\vec c$ gebildet.
\[ \det ( \vec a,\vec b, \vec c)=
\begin{array}{|ccc|}
 2 & 3 & 5 \\
 5 &-7 &-2 \\
-3 & 4 & 1 \\
\end{array}\]
Die Determinante löse ich mit Hilfe des Satzes von Sarrus\footnote{Weiteres zum
Satz von Sarrus finden sie hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}\fi} auf. Dazu schreibe
ich die ersten beiden Spalten als Hilfe dahinter.

\begin{eqnarray*}
\det ( \vec a,\vec b,\vec c)&=&
\begin{array}{|ccc|cc}
 2 & 3 & 5 & 2 & 3 \\
 5 &-7 &-2 & 5 &-7 \\
-3 & 4 & 1 &-3 & 4 \\
\end{array} \\
&=&-14+18+100-105+16-15 \\
\det ( \vec a,\vec b,\vec c)&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Die Determinante ist $=0$ $\Rightarrow$ die Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und
$\vec c$ sind \textbf{komplanar}. \\ \\

\subsection*{Aufgabe 3}
Gegeben sind die Vektoren $\vec a$, $\vec b$, $\vec c$ und $\vec d$. Berechnen
Sie die Beträge der Vektoren!
\[\vec a= \left( \begin{array}{c}3 \\ -4 \\-12 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left( \begin{array}{c}9 \\ 24 \\ -30 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left( \begin{array}{c}-21 \\ -12 \\ 28 \\ \end{array}\right) \qquad
\vec d= \left( \begin{array}{c}-64 \\ 48 \\ 39 \\ \end{array}\right) \qquad \]

\[|\vec a|= \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}= \sqrt{3^2+(-4)^2+(-12)^2}=13\]
\[|\vec b|= \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}= \sqrt{9^2+24^2+(-30)^2}=41\]
\[|\vec c|= \sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}= \sqrt{(-21)^2+(-12)^2+28^2}=37\]
\[|\vec d|= \sqrt{d_1^2+d_2^2+d_3^2}= \sqrt{(-64)^2+48^2+39^2}=89\]

\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
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