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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Quadratische Funktion}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Zusammenstellung der Grundlagen}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,9.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[135](4,3){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,-1){2.5pt}
   \uput[-45](2,-1){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist eine typische Quadratische Funktion dargestellt. Das Beispiel
stellt diese Funktion dar:
\[f(x)=x^2-4x+3\]
Der tiefste Punkt der Parabel\footnote{Wenn die Parabel nach unten geöffnet
ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt.} heißt
\textbf{\emph{Scheitelpunkt}} der Parabel. Er wird meist mit dem Buchstaben
$\mathbf S$ bezeichnet.\\

Eine Quadratische Funktion ist jede Funktion, die sich in der Normalform
schreiben lässt:
\begin{center}
\textbf{Normalform}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^2+bx+c$}
\end{center}
Der Parameter $\mathbf{a}$ wird \textbf{Formfaktor} genannt, weil er die Form
der Parabel bestimmt. Ist $\mathbf{a}$ groß, ist die Parabel schmal, ist
$\mathbf{a}$ negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.\\

Der Parameter $\mathbf{c}$ gibt den \textbf{Abschnitt auf der
$\mathbf{y}$-Achse} an.\\

Die $x$-Koordinate $\mathbf{x_s}$ des Scheitelpunktes kann bestimmt werden mit
Hilfe der Formel:
\begin{center}
\textbf{Scheitelpunktbestimmung}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_s=-\cfrac{b}{2a}$}
\end{center}

Die Funktionsgleichung kann nicht nur in der Normalform, sondern auch in der
Scheitelpunktform angegeben werden:
\begin{center}
\textbf{Scheitelpunktform:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=a \cdot (x-x_s)^2+y_s$}
\end{center}
Hierin sind $\mathbf{x_s}$ und $\mathbf{y_s}$ die Koordinaten des
Scheitelpunktes $S(x_s|y_s)$ und $\mathbf{a}$ der Formfaktor. \\

Verschiebt man den Graphen einer beliebige Funktion $f(x)$ (nicht nur einer
Quadratischen Funktion) um den Wert $x_v$ nach rechts und $y_v$ nach oben, so
hat die verschobene Funktion $f_v(x)$ die Funktionsgleichung:
\begin{center}
\textbf{Verschobene Funktion} \\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_v(x)=f(x-x_v)+y_v$}
\end{center}



\newpage %----------------------------------------

\section{Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1:}
Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem Formfaktor 1 an, deren
Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!

\subsection{Aufgabe 2:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
Einheiten nach unten verschoben ist!

\subsection{Aufgabe 3:}
Die Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

\subsection{Aufgabe 4:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!

\subsection{Aufgabe 5:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=-16x^2-16x+5$!

\subsection{Aufgabe 6:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!

\subsection{Aufgabe 7:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!

\subsection{Aufgabe 8:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?

\subsection{Aufgabe 9:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.

\subsection{Aufgabe 10:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.

\subsection{Aufgabe 11:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
Tangente berührt.

\subsection{Aufgabe 12:}
Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
$f(x)$!

\newpage  %-----------------------------------------
\section{Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1:} Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem
Formfaktor 1 an, deren Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!
\subparagraph*{Lösung:} Es bietet sich an, die Scheitelpunktform der
Funktionsgleichung zu verwenden.
\[f(x)=a \cdot (x-x_s)^2+y_s\]
Setzt man die bekannten Koordinaten und den ebenfalls bekannten Formfaktor ein,
ist man schon fertig.
\[f(x)=1 \cdot (x-4)^2-7\]
Wenn man möchte, kann man die Klammer noch auflösen, um die Gleichung in die
Normalform zu bringen.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&1 \cdot (x-4)^2-7 \\
&=&x^2-8x+16-7 \\
f(x)&=&x^2-8x+9
\end{eqnarray*}

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,9.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{x x mul 8 x mul sub 9 add}
   \uput[45](1,2){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
   \uput[-45](4,-7){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 2:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
Einheiten nach unten verschoben ist!
\subparagraph*{Lösung:} Für dieses Problem bietet sich die Verschiebeformel an.
2 Einheiten nach unten entsprechen dabei $-2$ Einheiten nach oben.
\begin{eqnarray*}
f_2(x)&=&f_1(x-3)+(-2) \\
&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \cdot (x-3)+3-2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4x+12+1 \\
&=&2x^2-12x+18-4x+13 \\
f_2(x)&=&2x^2-16x+31
\end{eqnarray*}

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,17.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}
{2 x x mul mul 4 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 16 x mul sub 31 add}
   \uput[45](3,1){\textcolor{red}{$f_2(x)$}}
   \uput[-45](3,9){\textcolor{blue}{$f_1(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 3:}
Die Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung?
\subparagraph*{Lösung:} Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&a \cdot (x-x_s)^2+y_s \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+1
\end{eqnarray*}
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bedeutet: $f(0)=y_s$. Das setzen wir ein.
\begin{eqnarray*}
-7&=&a \cdot (0-4)^2+1 \\
-7&=&a \cdot 16+1 \quad|-1 \\
-8&=&16a \quad|:16 \\
a&=&-\frac{8}{16} \\
a&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
Mit diesem Wert für $a$ erhalten wir die gesuchte Funktion:
\[f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-4)^2+1=-\frac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1=-\frac{1}{2}x^2+4x-7\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,5.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{-0.5 x x mul mul 4 x mul add 7 sub}
   \uput[45](5,0.5){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,1){2.5pt}
   \uput[-45](4,1){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 4:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!
\subparagraph*{Lösung:} An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
\begin{eqnarray*}
3x_0^2-12x_0+15&=&0 \quad|:3 \\
x_0^2-4x_0+5&=&0 \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{4-5} \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{-1}
\end{eqnarray*}
Da es für die Wurzel keine reelle Lösung gibt, gibt es keine Nullstellen.
Andererseits kann man an dieser Gleichung schon den $x$-Wert des
Scheitelpunktes ablesen. Es ist immer die Zahl, die vor der Wurzel steht, also
$x_s=2$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_s$ bekommt man durch Einsetzen von $x_s$
in die Funktionsgleichung.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f(x_s) \\
&=&3 \cdot 2^2-12 \cdot 2+15 \\
y_s&=&3
\end{eqnarray*}
Der Formfaktor ist mit $a=3$ positiv, darum ist die Parabel nach oben geöffnet.
Das wiederum bedeutet, dass der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Kurve ist.
Also lautet der Wertebereich:
\[W=\{y|y \geq 3\}\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,17.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{3 x x mul mul 12 x mul sub 15 add}
   \uput[-45](3,6){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,3){2.5pt}
   \uput[-45](2,3){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=-16x^2-16x+5$!
\subparagraph*{Lösung:} An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
\begin{eqnarray*}
-16x_0^2-16x_0+5&=&0 \quad|:(-16) \\
x_0^2+x_0-\frac{5}{16}&=&0 \\
x_{01/2}&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{4}{16}+\frac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\frac{1}{2} \pm \frac{3}{4} \\
x_{01/2}&=&-\frac{2}{4} \pm \frac{3}{4} \\
x_{01}&=&\frac{1}{4} \\
x_{02}&=&-\frac{5}{4}
\end{eqnarray*}
Wie schon bei Aufgabe 4 können wir daraus auch den $x$-Wert des Scheitelpunktes
als die Zahl vor der Wurzel ablesen, also:
\[x_s=-\frac{1}{2}\]
Den zugehörigen $y$-Wert $y_s$ finden wir wieder durch Einsetzen in die
Funktionsgleichung:
\[y_s=f(x_s)=-16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2-16 \cdot
\left(-\frac{1}{2}\right)+5=9\]
Der Scheitelpunkt lautet demnach:
\[S\left(-\frac{1}{2}|9\right)\]
Da der Formfaktor mit $-16$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Der Wertebereich liegt also \textbf{unterhalb} des Scheitelpunktes:
\[W=\{x|x \leq 9\}\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=20mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[Dy=2,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \uput[-90](1.7,0){x}  \uput[180](0,11.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{1}
{-16 x x mul mul 16 x mul sub 5 add}
   \uput[0](0.2,2.5){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](-0.5,9){2.5pt}
   \uput[135](-0.5,9){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %-----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!
\subparagraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
4x_s^2-9x_s+1&=&3x_s+17 \quad|-3x_s-17 \\
4x_s^2-12x_s-16&=&0 \quad|:4 \\
x_s^2-3x_s-4&=&0 \\
x_{s1/2}&=&\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \frac{9}{4}+\frac{16}{4}} \\
&=&\frac{3}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4}} \\
&=&\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \\
x_{s1}&=&\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4 \\
x_{s2}&=&\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=-1
\end{eqnarray*}
Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f_2(x_s) \\
y_{s1}&=&3x_{s1}+17=3 \cdot 4+17=29 \\
y_{s2}&=&3x_{s2}+17=3 \cdot (-1)+17=14
\end{eqnarray*}
Damit lauten die Schnittpunkte:
\[S_1(4|29) \textnormal{ und } S_2(-1|14)\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,36.8){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{5}
{4 x x mul mul 9 x mul sub 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}{3 x mul 17 add}
   \uput[-45](3,10){\textcolor{red}{$f_1(x)$}}
   \uput[-45](1,20){\textcolor{blue}{$f_2(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,14){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](4,29){2.5pt}
   \uput[180](-1,14){$S_2$}
   \uput[-35](4,29){$S_1$}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!
\subparagraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
9x_s^2+12x_s-4&=&-12x_s+5 \quad|+12x_s-5 \\
9x_s^2+24x_s-9&=&0 \quad|:9 \\
x_s^2+\frac{8}{3}x_s-1&=&0 \\
x_{s1/2}&=&-\frac{4}{3} \pm \sqrt{ \frac{16}{9}+\frac{9}{9}} \\
&=&-\frac{4}{3} \pm \sqrt{ \frac{25}{9}} \\
&=&-\frac{4}{3} \pm \frac{5}{3} \\
x_{s1}&=&-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=-3 \\
x_{s2}&=&-\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}
Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f_2(x_s) \\
y_{s1}&=&-12x_{s1}+5=-12 \cdot (-3)+5=41 \\
y_{s2}&=&-12x_{s2}+5=-12 \cdot \frac{1}{3}+5=1
\end{eqnarray*}
Damit lauten die Schnittpunkte:
\[S_1(-3|41) \textnormal{ und } S_2\left(\frac{1}{3}|1\right)\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \uput[-90](3.6,0){x}  \uput[180](0,47.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.2}{2}
{9 x x mul mul 12 x mul add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4}{2}{-12 x mul 5 add}
   \uput[35](0.5,5){\textcolor{red}{$f_1(x)$}}
   \uput[0](-1.8,27){\textcolor{blue}{$f_2(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-3,41){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](0.333,1){2.5pt}
   \uput[35](-3,41){$S_1$}
   \uput[25](0.333,1){$S_2$}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?
\subparagraph*{Lösung:} Den Scheitelpunkt bekommt man zweckmäßigerweise mit der
Scheitelpunktformel.
\[x_s=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2 \cdot (-2)}=\frac{5}{4}\]
\[y_s=f(x_s)=-2x_s^2+5x_s-3=-2\left(\frac{5}{4}\right)^2+5 \cdot \frac{5}{4}-3
  =\frac{1}{8}\]
\[S\left(\frac{5}{4}|\frac{1}{8}\right)\]
Die Umkehrfunktion wird bestimmt, indem man die Rollen von $x$ und $y$ tauscht
und die dadurch entstandene Gleichung wieder nach $y$ auflöst.
\begin{eqnarray*}
y&=&-2x^2+5x-3 \quad|\textnormal{ $x$ und $y$ tauschen} \\
x&=&-2y^2+5y-3 \quad|+2y^2-5y+3 \\
2y^2-5y+3+x&=&0 \quad|:2 \\
y^2-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+\frac{x}{2}&=&0 \quad|\textnormal{ p-q-Formel} \\
y_{1/2}&=&\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{25}{16}-\frac{24}{16}-\frac{8x}{16}} \\
&=&\frac{5}{4} \pm \sqrt{\frac{1-8x}{16}} \\
&=&\frac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{1-8x}}{4} \\
f^{-1}(x)&=&\frac{5}{4} \pm \frac{1}{4}\sqrt{1-8x}
\end{eqnarray*}
Der Definitionsbereich wird dadurch eingeschränkt, dass der Wurzelinhalt
(Radikand) nicht kleiner als Null weden darf.
\begin{eqnarray*}
1-8x&\geq&0 \quad|-1 \\
-8x&\geq&-1 \quad|:(-8) \\
x&\leq&\frac{1}{8} \\
D&=&\left\{x|x \leq \frac{1}{8}\right\}
\end{eqnarray*}

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \uput[-90](3.6,0){x}  \uput[180](0,47.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{4}
{-2 x x mul mul 5 x mul add 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-6.8}{0}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{0}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{-6.8}{0}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div sub}
   \uput[35](2,-1){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \uput[45](-2,2.3){\textcolor{blue}{$f^{-1}(x)$}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.
\subparagraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
\begin{eqnarray*}
4x_s^2+3x_s-8&=&7x_s^2+9x_s+7 \quad|-7x_s^2-9x_s-7 \\
-3x_s^2-6x_s-15&=&0 \quad | :(-3) \\
x_s^2+2x_s+5&=&0 \\
x_{s1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1-5} \\
x_{s1/2}&=&-1 \pm \sqrt{-4}
\end{eqnarray*}
Da diese Wurzel nicht reell zu lösen ist, gibt es \textbf{keine
Schnittpunkte}.\\

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \uput[-90](3.6,0){x}  \uput[180](0,15.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3}{2.2}
{4 x x mul mul 3 x mul add 8 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{1}
{7 x x mul mul 9 x mul add 7 add}
   \uput[-45](0.22,9.8){\textcolor{red}{$f_2(x)$}}
   \uput[-45](1.4,4){\textcolor{blue}{$f_1(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}



\newpage  %----------------------------------------
\enlargethispage{15mm}
\subsection{Aufgabe 10:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.
\subparagraph*{Lösung:} Zur Lösung gehen wir von der Normalform der
Quadratischen Funktion aus. Wenn wir jeweils die Koordinaten eines Punktes
einsetzen, dann erhalten wir drei Gleichungen als Lineargleichungssystem, aus
denen wir die Parameter $a$, $b$ und $c$ berechnen können. Die Normalform
lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Wir setzen die Koordinaten der drei Punkte ein.
\begin{displaymath}
\begin{array}{rclcrcl}
f(-1)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&8 \\
f(2)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&-1 \\
f(4)&=&3  &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+c&=&3
\end{array}
\end{displaymath}
Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
wir:
\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrcl}
  a& -b &+c &=&8 \\
 4a&+2b &+c&=&-1 \\
16a&+4b &+c&=&3
\end{array}
\end{displaymath}
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden, also beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren, dem
Additions-/Subtraktionsverfah\-ren, der Cramerschen Regel oder dem
Gauß-Jordan-Verfahren. Ich verwende hier als Beispiel die Cramersche Regel.
Ich bestimme zunächst $a$:
\[a = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 8 &-1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
 3 & 4 & 1
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rrr}
1 & -1& 1 \\
4 & 2 & 1 \\
16& 4 & 1
\end{array} \right| }
= \frac{16-3-4-6-32-1}{2-16+16-32-4+4}=\frac{-30}{-30}=1\]
Mit der nun bekannten Nennerdeterminante ist auch $b$ schnell bestimmt:
\[b = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 1 & 8 & 1 \\
 4 &-1 & 1 \\
16 & 3 & 1
\end{array} \right| }{-30}
=\frac{-1+128+12+16-3-32}{-30}=\frac{120}{-30}=-4\]
Den Parameter $c$ bestimmt man nun am einfachsten durch
Einsetzen der bereits bekannten Parameter in eine der drei Gleichungen. Ich
nehme dazu die erste.
\begin{eqnarray*}
a-b+c&=&8 \\
1-(-4)+c&=&8 \\
5+c&=&8 \quad | -5 \\
c&=&3
\end{eqnarray*}
Setzen wir die Werte in die Ausgangsform ein, erhalten wir die gesuchte
Funktionsgleichung.
\[f(x)=x^2-4x+3\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[-35](5,8){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,8){2.5pt}
   \uput[-135](-1,8){$P_1$}
   \pscircle*[linecolor=black](2,-1){2.5pt}
   \uput[-135](2,-1){$P_2$}
   \pscircle*[linecolor=black](4,3){2.5pt}
   \uput[-35](4,3){$P_3$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
Tangente berührt.
\subparagraph*{Lösung:} Zunächst einmal können wir von der Normalform der
Linearen Funktion ausgehen. Die gesuchte Funktion hat also diese Form:
\[f_2(x)=mx+b\]
Wir müssen nur die beiden Parameter $m$ und $b$ bestimmen. Aus dem $x$-Wert des
Berührpunktes kann der dazugehörige $y$-Wert mit $y_b=f_1(x_b)$ berechnet
werden.
\[y_b=x_b^2-4x_b+4=4^2-4 \cdot 4+4=4\]
Damit können wir die erste von zwei notwendigen Gleichungen aufstellen.
\begin{equation} \label{gl1}
f_2(x_b)=y_b \quad \Rightarrow \quad m \cdot 4+b=4
\end{equation}
Die beiden Graphen \emph{berühren} sich, sie \emph{schneiden} sich nicht. Das
bedeutet, es gibt nur genau \emph{einen einzigen} gemeinsamen Punkt. Daraus
können wir eine weitere Gleichung gewinnen. Wie das geht? \\
Setzen wir zunächst die beiden Funktionsgleichungen wie zur
Schnittpunktbestimmung gleich.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_b)&=&f_2(x_b) \\
x_b^2-4x_b+4&=&mx_b+b \quad | -mx_b-b \\
x_b^2-4x_b-mx_b+4-b&=&0 \quad | \textnormal{ $x_b$ ausklammern} \\
x_b^2-(4+m)x_b+(4-b)&=&0 \quad | \textnormal{ p-q-Formel} \\
x_{b1/2}&=&\frac{4+m}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4+m}{2}\right)^2-(4-b)}
\end{eqnarray*}
Wann gibt es \emph{genau einen} Schnittpunkt? Das kann doch nur dann der Fall
sein, wenn der Wert der Wurzel $=0$ ist. Der "`Rest"' vor der Wurzel muss
demnach unser $x_b=4$ sein.
Das ergibt dann unsere zweite Gleichung.
\begin{equation} \label{gl2}
\frac{4+m}{2}=4
\end{equation}
Aus dieser Gleichung kann ich sofort m berechnen.
\begin{eqnarray*}
\frac{4+m}{2}&=&4 \quad | \cdot 2 \\
4+m&=&8 \quad | -4 \\
m&=&4
\end{eqnarray*}
Das setzen wir in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
4m+b&=&4 \quad | \textnormal{ 4 für $m$ einsetzen} \\
4 \cdot 4+b&=&4 \\
16+b&=&4 \quad | -16 \\
b&=&-12
\end{eqnarray*}
Die gesuchte Gleichung lautet also:
\[f_2(x)=4x-12\]

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 4 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{2}{8}
{4 x mul 12 sub}
   \uput[145](5,9){\textcolor{red}{$f_1(x)$}}
   \uput[-45](6,12){\textcolor{blue}{$f_2(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=black](4,4){2.5pt}
   \uput[-35](4,4){$B$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 12:}
Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
$f(x)$!
\subparagraph*{Lösung:}  Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&a \cdot (x-x_s)^2+y_s \\
f(x)&=&a \cdot (x-3)^2+2
\end{eqnarray*}
Neben $S$ ist auch noch der Punkt $P$ auf dem Graphen bekannt. Seine
Koordinaten müssen auch die Funktionsgleichung erfüllen.
\begin{eqnarray*}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p-3)^2+2&=&y_p \\
a \cdot (5-3)^2+2&=&10 \\
a \cdot 2^2+2&=&10 \quad | -2 \\
a \cdot 4&=&8 \quad | :4 \\
a&=&2
\end{eqnarray*}
Diesen Wert für $a$ setze ich ein und erhalte die gesuchte Funktionsgleichung.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2+2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)+2 \\
&=&2x^2-12x+18+2 \\
f(x)&=&2x^2-12x+20
\end{eqnarray*}

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,15.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 12 x mul sub 20 add}
   \uput[-135](2,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,2){2.5pt}
   \uput[-45](3,2){\textcolor{red}{S}}
   \pscircle*[linecolor=red](5,10){2.5pt}
   \uput[-45](5,10){\textcolor{red}{P}}
\end{pspicture}\end{center}

\end{document}

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