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\begin{document}

\section*{Partialbruchzerlegung}
Es kommt vor, dass man einen Term in der Form eines \textbf{einzelnen Bruches}
in eine \textbf{Summe mehrerer Brüche} umformen möchte. Hierbei besteht der
Einzelbruch aus einem Polynom im Zähler und einem anderen Polynom im Nenner.
Die Einzelbrüche enthalten dann im Nenner jeweils nur ein Polynom
\textbf{ersten Grades} im Nenner und eine Konstante im Zähler. Allgemein sieht
das ganze so aus:
\[\cfrac{a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}
 {b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_2x^2+b_1x+b_0}
 =\cfrac{c_1}{x-x_1}+\cfrac{c_2}{x-x_2}+\ldots+\cfrac{c_m}{x-x_m}\]

Im Zähler haben wir ein Polynom $n$-ten Grades und im Nenner ein Polynom
$m$-ten Grades. Hierbei soll \mbox{$m > n$} sein.\footnote{Ist diese
Bedingung nicht erfüllt, dann kann zunächst eine unvollständige Polynomdivision
mit "`Rest"' durchgeführt werden. Für den Restterm gilt diese Bedingung dann.
Die Gesamtzerlegung beginnt in diesem Fall mit dem Ergebnis aus der
Polynomdivision, nur der Restterm wird mit dem hier beschriebenen
Verfahren in Summanden zerlegt.} Dabei sind die Werte $x_1$ bis $x_m$ die
Nullstellen des Nennerpolynoms und $c_1$ bis $c_m$ Konstanten, die bestimmt
werden müssen.\\

Damit die Beschreibung der Vorgehensweise nicht zu theoretisch wird, führe ich
sie an einem Beispiel vor. Dies ist unser zu zerlegender Beispielterm:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{4x^2+20x+12}{2x^3+4x^2-2x-4}$}
\end{center}

Zunächst müssen die Nennernullstellen gefunden werden.
\[\begin{array}{rcll}
2x^3+4x^2-2x-4&=&0 &|:2 \\
x^3+2x^2-x-2&=&0 \\
\end{array}\]
Die Nullstellen eines Polynomes dritten Grades können nicht analytisch bestimmt
werden. Durch \textbf{planvolles} Probieren\footnote{Wenn es ganzzahlige
Nullstellen gibt, dann sind es Teiler des absoluten Gliedes. Hier kommen also
in Frage: $\pm 1$ und $\pm 2$} erhält man beispielsweise die erste Nullstelle
\mbox{$x_{01}=1$}.\\

Hiermit kann eine Polynomdivision durch \mbox{$(x-x_{01})$} durchgeführt
werden.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+2x^2\ &-x\ &-2) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&3x^2\ &-x\ &-2\ \\
-&(3x^2\ &-3x) \\
\hline
&&2x\ &-2\ \\
&-&(2x\ &-2) \\
\hline
&&&0\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x-1)&=&x^2+3x+2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

\newpage
Der Ergebnisterm kann nun mit der $p$-$q$-Formel weiter aufgelöst werden.

\[\begin{array}{rcll}
x^2+3x+2&=&0 \\
x_{02/03}&=&-\cfrac{3}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9}{4}-2}\\
&=&-\cfrac{3}{2}\pm \cfrac{1}{2}\\
x_{02}=-1 &&x_{03}=-2 \\
\end{array}\]

Mit dieser Nennerzerlegung kann jetzt der Ansatz für die Partialbruchzerlegung
gemacht werden.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4x^2+20x+12}{2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2)}
 &=&\cfrac{c_1}{x-1}+\cfrac{c_2}{x+1}+\cfrac{c_3}{x+2}\\
\end{array}\]
Es müssen jetzt nur noch die Parameter $c_1$, $c_2$ und $c_3$ bestimmt werden.
Dazu wird mit dem Hauptnenner multipliziert.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4x^2+20x+12}{2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2)}&=&
  \cfrac{c_1}{x-1}+\cfrac{c_2}{x+1}+\cfrac{c_3}{x+2}\\
4x^2+20x+12&=&c_1 \cdot 2 \cdot (x+1) \cdot (x+2)+ \ldots \\
&&\ldots +c_2 \cdot 2 \cdot (x-1) \cdot (x+2)+ \ldots \\
&&\ldots +c_3 \cdot 2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \\
4x^2+20x+12&=&2c_1 x^2+6c_1 x+4c_1+ \ldots \\
&&\ldots +2c_2 x^2+2c_2 x-4c_2+ \ldots \\
&&\ldots +2c_3 x^2-2c_3 \\
4x^2+20x+12&=&(2c_1+2c_2+2c_3)\cdot x^2+(6c_1+2c_2)\cdot x+4 c_1-4 c_2-2 c_3 \\
\end{array}\]
Die Frage, die sich stellt ist die: Wie kann man aus nur \textbf{einer}
Gleichung \textbf{drei} Parameter bstimmen? Die Antwort lautet: Durch
"`Koeffizientenvergleich"'. Da die Variable $x$ (zumindest im
Definitionsbereich) jeden beliebigen Wert annehmen kann und die Gleichung
\textbf{immer} richtig sein muss, müssen auf beiden Seiten die Koeffizienzen
von $x^2$ und $x$ sowie die absoluten Glieder jeweils gleich sein. Das führt zu
einem Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)&2c_1&+2c_2&+2c_3&=&4 \\
(2)&6c_1&+2c_2&&=&20 \\
(3)&4 c_1&-4 c_2&-2 c_3&=&12 \\
\hline
\end{array}\]
Das Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.
Wir erhalten:

\[c_1=3 \qquad c_2=1 \qquad c_3=-2\]
Mit diesen Werten lautet die Zerlegung:

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{4x^2+20x+12}{2x^3+4x^2-2x-4}=
 \cfrac{3}{x-1}+\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{2}{x+2}$}
\end{center}


\end{document}
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%\end{wrapfigure}
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