\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Gemischte Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1} Gesucht ist ein Polynom 4. Grades.
Die Funktion hat einen Wendepunkt $W_1$ im Koordinantenursprung und einen
weiteren $W_2$ bei $x_{w2}=2$. Die Wendetangente in $W_2$ lautet:
$f_2(x)=-16x+16$
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der $x$-Achse und dem Funktionsgraphen
  eingeschlossen wird!
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 2} Ein Polynom 4. Ordnung stellt einen zur $y$-Achse
spiegelsymmetrischen Funktionsgraphen dar. Bei $W(-1|-32)$ liegt ein
Wendepunkt und der Graph schneidet die $x$-Achse bei $x_0=3$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Gerade mit der Gleichung
  $f_1(x)=9x-27$ und dem Funktionsgraphen der gesuchten Funktion eingeschlossen
  wird!
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 3} Gesucht ist ein Polynom 3. Grades. Die Funktion hat
einen Wendepunkt bei $W(1|1)$ und berührt die Gerade mit der Funktionsgleichung
$f_1(x)=x-2$ an der Stelle $x_b=2$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung!
\item Untersuchen Sie die Funktion auf Hoch-, Tief- und Sattelpunkte!
\item Berechnen Sie die Fläche, die von der Geraden der Funktion $f_1$ und dem
  Graphen der Funktion $f$ ganz eingeschlossen wird!
\end{enumerate}


\newpage
\section{Ergebnisse der Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^4-4x^3$
\item Sattelpunkt $S(0|0)$, Tiefpunkt $T(3|-27)$
\item $A=\unit[51{,}2]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-29)(5.8,12)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{4}
     {x 4 exp 4 x 3 exp mul sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(0,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-29)(5.8,12)
  \uput[0](5.5,-1){x}  \uput[0](-0.4,11){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.4}{4.2}
     {x 4 exp 4 x 3 exp mul sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0,0){2.5pt} \uput[45](0,0){S}
     \uput[-135](0,0){$W_1$}
  \pscircle*[linecolor=red](3,-27){2.5pt} \uput[-45](3,-27){$T$}
  \pscircle*[linecolor=red](2,-16){2.5pt} \uput[-135](2,-16){$W_2$}
  \uput[-135](3,-10){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^4-6x^2-27$
\item Hochpunkt $H(0|-27)$, Tiefpunkte $T_1( \sqrt{3}|-36)$, $T_2(-\sqrt{3}|-36)$
\item $A=\unit[45{,}9]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-39)(4.8,7)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{3}
     {x 4 exp 6 x 2 exp mul sub 27 sub}
   \gsave
   \psline(3,0)(0,-27) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
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          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-3.5,-39)(4.8,7)
  \uput[0](4.5,-1){x}  \uput[0](-0.4,6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.3}{3.3}
     {x 4 exp 6 x 2 exp mul sub 27 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.4}{4.2}
     {9 x mul 27 sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0,-27){2.5pt} \uput[155](0,-27){$H$}
  \pscircle*[linecolor=red](1.732,-36){2.5pt} \uput[-100](1.73,-36){$T_1$}
  \pscircle*[linecolor=red](-1.732,-36){2.5pt} \uput[-100](-1.73,-36){$T_2$}
  \uput[-135](2,-20){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3-3x^2+x+2$
\item Tiefpunkt: $T(1{,}8165|-0{,}0887)$ Hochpunkt: $H(0{,}1835|1{,}3608)$
\item $A=\unit[6{,}75]{FE}$
\end{enumerate}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-1}{2}
     {x 3 exp 3 x x mul mul sub x add 2 add}
   \gsave
   \psline(2,0)(-1,-3) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
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          subgridcolor=black!15,
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          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,4.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.4}{3.0}
     {x 3 exp 3 x x mul mul sub x add 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4}{5}
     {x 2 sub}
  \pscircle*[linecolor=red](0.18,2.08){2.5pt} \uput[45](0.18,2.08){$H$}
  \pscircle*[linecolor=red](1.82,-0.09){2.5pt} \uput[-160](1.82,-0.09){$T$}
  \pscircle*[linecolor=red](1,1){2.5pt} \uput[45](1,1){$W$}
  \uput[-45](0,0){$A$}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage  %----------------------------------------------

\newpage
\section{Durchgerechnete Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1}
\subparagraph{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Zunächst benötigen wir die Funktionsgleichung in allgemeiner Form sowie die
beiden Ableitungen.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d \\
f''(x)&=&12ax^2+6bx+2c
\end{eqnarray*}

Jetzt müssen die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Punkt }W_1(0|0) &\Rightarrow&
  f(0)=0 &\Rightarrow& 0a+0b+0c+0d+e&=&0 \\
\textnormal{Wendep. bei }x_{w1}=0 &\Rightarrow&
  f''(0)=0 &\Rightarrow& 0a+0b+2c&=&0 \\
\textnormal{Wendep. bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f''(2)=0 &\Rightarrow& 48a+12b+2c&=&0 \\
\textnormal{Punkt bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f(2)=f_1(2) &\Rightarrow& 16a+8b+4c+2d+e&=&-16 \\
\textnormal{Tangente bei }x_{w2}=2 &\Rightarrow&
  f'(2)=f'_1(2) &\Rightarrow& 32a+12b+4c+d&=&-16
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem wird mit einem beliebigen Verfahren gelöst. Man erhält:
\[a=1 \quad b=-4 \quad c=0 \quad d=0 \quad e=0\]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^4-4x^3$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^4-4x^3 \\
f'(x)&=&4x^3-12x^2 \\
f''(x)&=&12x^2-24x
\end{eqnarray*}
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
4x_E^3-12x_E^2&=&0 \quad|4x^2 \textnormal{ ausklammern}\\
4x_E^2 \cdot (x_E-3)&=&0
  \quad| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
4x_{E1}^2=0 && x_{E2}-3=0 \\
x_{E1}=0 && x_{E2}=3
\end{eqnarray*}
Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema.\\

\newpage
\underline{Was ist bei $x_{E1}=0$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''(0)=12 \cdot 0^2-24 \cdot 0=0\]
Aus diesem Ergebnis können wir nichts erkennen. Daher verwenden wir
sinnvollerweise das \footnote{siehe Regelheft: Vorzeichenwechseluntersuchung
für $f'(x)$}{andere Verfahren} zur Überprüfung. Als Nachbarwerte nehme ich
$\pm 1$.
\[\begin{array}{rcl}
\left\{
\begin{array}{rcrcl}
f'(-1)&=&4 \cdot (-1)^3-12 \cdot (-1)^2&=&-15 \\
f'(1)&=&4 \cdot 1^3-12 \cdot 1^2&=&-9
\end{array} \right\}
& \Rightarrow & \textnormal{ Sattelpunkt bei }x_s=0
\end{array}\]
\[y_s=f(x_s)=x_s^4-4x_s^3=0^4-4 \cdot 0^3=0\]
Zusammengefasst: Sattelpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$S(0|0)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}=3$?}\\
\[f''(x_{E2})=f''(3)=12 \cdot 3^2-24 \cdot 3=36>0
  \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_T=3\]
\[y_T=f(x_T)=x_T^4-4x_T^3=3^4-4 \cdot 3^3=-27\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T(3|-27)$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Nullstellen der Funktion
bestimmt werden, denn sie stellen die Integrationsgrenzen dar.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^4-4x_0^3&=&0 \quad| x_0^3 \textnormal{ ausklammern}\\
x_0^3 \cdot (x_0-4)&=&0
  \quad| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
x_{01}^3=0 && x_{02}-4=0 \\
x_{01}=0 && x_{02}=4
\end{eqnarray*}

Mit diesen Integrationsgrenzen können wir das Integral für die Fläche ansetzen.
Da der Funktionsgraph in dem interessanten Bereich \textbf{unterhalb} der
$x$-Achse liegt, muss das \textbf{negative} Integral als Fläche angesetzt
werden.
\begin{eqnarray*}
A&=&- \int \limits _{x_1}^{x_2} f(x)dx \\
&=&- \int \limits _0^4 x^4-4x^3 dx \\
&=&- \left[ \frac{1}{5}x^5-x^4 \right]_0^4 \\
&=&- \left( \left[ \frac{1}{5}\cdot 4^5-4^4 \right]-
  \left[ \frac{1}{5}\cdot 0^5-0^4 \right] \right) \\
&=&- \frac{1}{5}\cdot 4^5+4^4  \\
&=&-204{,}8+256 \\
A&=&51{,}2
\end{eqnarray*}
Die gesuchte Fläche beträgt
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[51{,}2]{FE}$}\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\subparagraph*{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet:
\[f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\]
Wegen der Symmetrie treten nur gradzahlige Exponenten auf. Das bedeutet, die
Parameter $b$ und $d$ sind 0. Man kann diese Teil-Terme dann auch gleich
weglassen.\\

Wir benötigen die zweite Ableitung. Das ganze sieht dann so aus:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^4+cx^2+e \\
f'(x)&=&4ax^3+2cx \\
f''(x)&=&12ax^2+2c
\end{eqnarray*}

Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Punkt }(-1|-32) &\Rightarrow&
  f(-1)=-32 &\Rightarrow& a+c+e&=&-32 \\
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=1 &\Rightarrow&
  f''(-1)=0 &\Rightarrow& 12a+2c&=&0 \\
\textnormal{Nullstelle bei }x_0=3 &\Rightarrow&
  f(3)=0 &\Rightarrow& 81a+9c+e&=&0
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Wir erhalten:
\[a=1 \quad c=-6 \quad e=-27\]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^4-6x^2-27$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^4-6x^2-27 \\
f'(x)&=&4x^3-12x \\
f''(x)&=&12x^2-12
\end{eqnarray*}
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
4x_E^3-12x_E&=&0 \quad|4x_E \textnormal{ ausklammern}\\
4x_E \cdot (x_E^2-3)&=&0
  \quad| \textnormal{ Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist.}\\
4x_{E1}=0 && x_{e2/3}^2-3=0 \\
x_{E1}=0 && x_{E2/3}^2=3 \\
         && x_{E2}=+ \sqrt{3} \\
         && x_{E3}=- \sqrt{3}
\end{eqnarray*}
Demnach gibt es drei Kandidaten für Extrema.\\

\underline{Was ist bei $x_{E1}=0$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''(0)=12 \cdot 0^2-12=-12<0 \Rightarrow
 \textnormal{ Hochpunkt bei }x_H=0\]
\[y_H=f(x_H)=0^4-6 \cdot 0^2-27=-27\]
Zusammengefasst: Hochpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$H(0|-27)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}= \sqrt{3}$?}\\
\[f''(x_{E2})=f''(\sqrt{3})=12 \cdot \left( \sqrt{3}\right)^2-12=24>0
  \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_{T1}= \sqrt{3}\]
\[y_{T1}=f(x_{T1})=
 \left( \sqrt{3}\right)^4-6 \cdot  \left( \sqrt{3}\right)^2-27=-36\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T_1( \sqrt{3}|-36)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E3}=- \sqrt{3}$?}\\

Aus Symmetriegründen muss bei $x_{E3}=- \sqrt{3}$ ebenfalls ein Tiefpunkt
liegen und zwar mit dem gleichen $y$-Wert. Da die Symmetrie bekannt ist, können
wir das ausnutzen.\\

Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T_2(- \sqrt{3}|-36)$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion
$f(x)$ mit der Geraden $f_1(x)$ bestimmt werden, denn sie stellen die
Integrationsgrenzen dar.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&f_1(x) \\
x^4-6x^2-27&=&9x-27 \quad|-9x+27 \\
x^4-6x^2-9x&=&0 \quad|x \textnormal{ ausklammern}\\
x \cdot (x^3-6x-9)&=&0
\end{eqnarray*}
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Dadurch erhalten wir sofort
die erste Lösung:
\[x_1=0\]
In dem anderen Term $(x^3-6x-9)$ müssen also die restlichen Nullstellen
stecken.
\[x^3-6x-9=0\]
Diese Gleichung dritten Grades können wir nicht analytisch lösen. Wir können
jedoch durch \textbf{planvolles} Probieren eine Lösung erraten und dann den
Term mit Hilfe einer Polynomdivision faktorisieren. \emph{Wenn es
\textbf{ganzzahlige} Nullstellen gibt, sind sie Teiler des absoluten Gliedes.}
So kommt man sehr schnell auf die Lösung $x_2=3$. Wir führen eine
Polynomdivision durch und erhalten:
\[(x^3-6x-9):(x-3)=x^2+3x+3\]
Der "`Restterm"' $x^2+3x+3$ ergibt eine Quadratische Gleichung, die wir mit
Hilfe der $p$-$q$-Formel lösen können.
\begin{eqnarray*}
x^2+3x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-3} \\
&=&- \frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{12}{4}} \\
x_{1/2}&=&- \frac{3}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4}}
\end{eqnarray*}
Da der Radikand der Wurzel negativ ist, gibt es keine weiteren (reellen)
Nullstellen. Die Integrationsgrenzen stehen also mit $x_1=0$ und $x_2=3$
fest.\\

Fertigt man eine Skizze der Funktionsgraphen an, dann kann man erkennen, dass
in dem Bereich der Fläche die Funktion $f_1(x)$ oberhalb der Funktion $f(x)$
liegt. Damit können wir die gesuchte Fläche als Integral ansetzen.

\newpage
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{x_1}^{x_2} f_1(x)-f(x) dx \\
&=&\int \limits _0^3(9x-27)-(x^4-6x^2-27)dx \\
&=&\int \limits _0^3 (9x-27-x^4+6x^2+27)dx \\
&=&\int \limits _0^3 (9x-x^4+6x^2)dx \\
&=& \left[\frac{9}{2}x^2-\frac{1}{5}x^5+2x^3 \right]_0^3 \\
&=& \left(\frac{9}{2}\cdot 3^2-\frac{1}{5}\cdot 3^5+2 \cdot 3^3 \right)
 - \left(\frac{9}{2} \cdot 0^2-\frac{1}{5}\cdot 0^5+2 \cdot x^3 \right) \\
A&=&45{,}9 \\
\end{eqnarray*}
Die gesuchte Fläche beträgt \fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[45{,}9]{FE}$}\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\subparagraph*{Bestimmung der Funktionsgleichung}
Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet:
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
Wegen des Wendepunktes benötigen wir auch die erste und zweite Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+2b
\end{eqnarray*}
Bekannt ist der $x$-Wert $x_b=2$, wo sich die beiden Graphen berühren. Wir
benötigen auch den zugehörigen $y$-Wert $y_b$.
\[y_b=f_1(x_b)=x_b-2=2-2=0\]

Nun müssen wir die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umsetzen.
\[\begin{array}{lcrcrcl}
\textnormal{Wendepunkt }W(1|1) &\Rightarrow& f(1)=1 &\Rightarrow&
  a+b+c+d&=&1 \\
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=1 &\Rightarrow& f''(1)=0 &\Rightarrow&
  6a+2b&=&0 \\
\textnormal{Berührpunkt }B(2|0) &\Rightarrow& f(2)=0 &\Rightarrow&
  8a+4b+2c+d&=&0 \\
\textnormal{Berühren bei }x_b=2 &\Rightarrow& f'(2)=f_1'(2) &\Rightarrow&
  12a+4b+c&=&1
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Wir erhalten:
\[a=1 \quad b=-3 \quad c=1 \quad d=2 \]
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung: \fcolorbox{red}{yellow}
  {$f(x)=x^3-3x^2+x+2$}\\

\newpage
\subparagraph*{Bestimmung der Extrema}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist das Null-Werden
der ersten Ableitung. Zum Prüfen benötigen wir zusätzlich auch noch die zweite
Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&x^3-3x^2+x+2 \\
f'(x)&=&3x^2-6x+1 \\
f''(x)&=&6x-6
\end{eqnarray*}
Damit können wir in die Berechnung der Kandidaten einsteigen.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
3x_E^2-6x_E+1&=&0 \quad|:3 \\
x_E^2-2x_E+\frac{1}{3}&=&0 \\
x_{E1/2}&=&1 \pm \sqrt{1-\frac{1}{3}}\\
x_{E1}=1+ \sqrt{\frac{2}{3}} && x_{E2}=1- \sqrt{\frac{2}{3}}\\
x_{E1} \approx 1{,}8165 && x_{E2} \approx 0{,}1835
\end{eqnarray*}
Demnach gibt es zwei Kandidaten für Extrema.\\

\underline{Was ist bei $x_{E1}=1+ \sqrt{\frac{2}{3}}$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''\left(1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
  =6 \cdot \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)-6 \approx 4,899>0
 \Rightarrow \textnormal{ Tiefpunkt bei }x_T=1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\]
\[y_T=f(x_T)= \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3
  -3 \cdot \left( 1+ \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2
  + \left( 1+\sqrt{\frac{2}{3}}\right) +2 \approx -0{,}08866\]
Zusammengefasst: Tiefpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$T(1{,}8165|-0{,}08866)$}\\

\underline{Was ist bei $x_{E2}=1- \sqrt{\frac{2}{3}}$?}\\
\[f''(x_{E1})=f''\left(1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)
  =6 \cdot \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)-6 \approx -4,899<0
 \Rightarrow \textnormal{ Hochpunkt bei }x_H=1- \sqrt{\frac{2}{3}}\]
\[y_H=f(x_H)= \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3
  -3 \cdot \left( 1- \sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2
  + \left( 1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) +2 \approx 1{,}3608\]
Zusammengefasst: Hochpunkt \fcolorbox{red}{yellow}{$H(0{,}1835|1{,}3608)$}\\

\subparagraph*{Bestimmung der Fläche}
Bevor die Fläche berechnet werden kann, müssen die Schnittpunkte der Funktion
$f(x)$ mit der Geraden $f_1(x)$ bestimmt werden, denn sie stellen die
Integrationsgrenzen dar.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&f_1(x) \\
x^3-3x^2+x+2&=&x-2 \quad|-x+2 \\
x^3-3x^2+4&=&0
\end{eqnarray*}
Bekannt ist bereits der Berührpunkt bei $x_b=2$ und damit $x_1=2$. Daher muss
man keine Nullstelle dieser Gleichung mehr durch planvolles Raten suchen. Wir
können sofort eine Polynomdivision durchführen. Wir erhalten als Ergebnis:
\[ \left( x^3-3x^2+4 \right):(x-2)=x^2-x-2\]
Mit Hilfe der $p$-$q$-Formel lassen sich nun die weiteren Nullstellen dieses
Terms beestimmen.
\begin{eqnarray*}
x^2-x-2&=&0 \\
x_{2/3}&=&\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+2}\\
&=&\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}\\
&=&\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\\
x_2=-1&&x_3=2
\end{eqnarray*}
Die Lösung $x_3=2$ ist identisch mit $x_1=2$. Die Integrationsgrenzen sind
also:\\
\[x_1=-1 \textnormal{ und }x_2=2\]

Fertigt man eine Skizze der beiden Funktionsgraphen in dem Bereich zwischen
$x_1=-1$ und $x_2=2$ an, so kann man feststellen, dass die Gerade $f_1$
\textbf{unterhalb} von $f$ liegt. Damit kann die Fläche als Integral angesetzt
werden:
\newpage
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{-1}^2 f(x)-f_1(x) dx \\
&=&\int \limits _{-1}^2 \left( x^3-3x^2+x+2 \right)-(x-2) dx \\
&=&\int \limits _{-1}^2 \left( x^3-3x^2+4 \right) dx \\
&=&\left[ \frac{1}{4}x^4-x^3+4x \right]_{-1}^2 \\
&=&\left( \frac{1}{4}2^4-2^3+4 \cdot 2 \right)
  -\left( \frac{1}{4}(-1)^4-(-1)^3+4 \cdot (-1) \right) \\
&=&4-(-2{,}75) \\
A&=&6{,}75
\end{eqnarray*}
Die gesuchte Fläche beträgt \fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[6{,}75]{FE}$}\\

\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
%\parpic[r]{\includegraphics{Bilddatei}}
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