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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}
\title{Übungsaufgaben mit Lösungen zu Lineargleichungssystemen}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Einleitung}
Zur Lösung von Lineargleichungssystemen können unterschiedliche
Lösungsverfahren verwendet werden. In den Musterlösungen am Schluss werden
folgende Verfahren verwendet:
\begin{itemize}
\item Das Einsetzungsverfahren
\item Das Additions-/Subtraktionsverfahren
\item Die Cramersche Regel
\end{itemize}
Einzelheiten zu den Verfahren sind hier zu finden:\\

\textbf{Einsetzungsverfahren}: \ifpdf \htmladdnormallink
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/einsetz.pdf}
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/einsetz.pdf}\fi \\
\textbf{Additions-/Subtr.-Verfahren}: \ifpdf \htmladdnormallink
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/add.pdf}
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/add.pdf}\fi \\
\textbf{Cramersche Regel}: \ifpdf \htmladdnormallink
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/cramer.pdf}
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/cramer.pdf}\fi \\

Darüber hinaus existieren auch noch andere Verfahren wie das
Gleichsetzungsverfahren\footnote{Näheres zum Gleichsetzungsverfahren siehe
hier: \ifpdf \htmladdnormallink
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/lingl.pdf}\fi}
oder das Gauß-Jordan-Verfahren\footnote{Näheres zum Gauß-Jordan-Verfahren
 siehe hier: \ifpdf \htmladdnormallink
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/gauss.pdf}
  {http://www.dk4ek.de/mathematik/gauss.pdf}\fi},
die hier aber nicht angewendet wurden.

\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2x-3y&=&12 \\
(2)& 5x+2y&=&11
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-5y&=&5 \\
(2)& 5x+4y&=&-22
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -2x+5y&=&-2 \\
(2)& 4x-9y&=&4
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -3x+5y&=&-16 \\
(2)& 3x-9y&=&24
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-2y+3z&=&19 \\
(2)& 2x+2y-4z&=&-6 \\
(3)& -2x+3y+z&=&-12
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& \frac{3}{2}x+\frac{2}{5}y-\frac{1}{3}z&=&-5 \\
(2)& \frac{3}{4}x-\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}z&=&-\frac{45}{2} \\
(3)& -\frac{5}{2}x+\frac{5}{4}y-\frac{1}{9}z&=&\frac{43}{2}
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 0{,}5x+3z-4y&=&-15 \\
(2)& 2y-z+3x&=&14 \\
(3)& 0{,}7z+8{,}8x-2{,}6y&=&7{,}2
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2{,}3x+z&=&-6{,}6 \\
(2)& 5{,}8y+x&=&-13{,}6 \\
(3)& 2{,}3z+y&=&-6{,}6
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-2y+4z&=&6 \\
(2)& 5x+2y-3z&=&4 \\
(3)& 3x+4y-7z&=&-2
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-5z&=&1 \\
(2)& 3x-4y&=&3 \\
(3)& z-2y&=&4
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 11}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-4y+6z&=&7 \\
(2)& 2x+3y-2z&=&4 \\
(3)& 9x+2y+2z&=&12
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 12}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-z+2y&=&-4 \\
(2)& 3z-2x+5y&=&12 \\
(3)& 5y-5z+3x&=&-20
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 13}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -5x+3z&=&-14 \\
(2)& -4z+2x+3y&=&13 \\
(3)& 3y+5z&=&-12
\end{array}\]

\newpage
\section{Lösungen}

\subsection{Aufgabe 1}
$L=\{(3 | -2)\}$
\subsection{Aufgabe 2}
$L=\{(-2|-3)\}$
\subsection{Aufgabe 3}
$L=\{(1 | 0)\}$
\subsection{Aufgabe 4}
$L=\{(2 | -2)\}$
\subsection{Aufgabe 5}
$L=\{(2 | -3 | 1)\}$
\subsection{Aufgabe 6}
$L=\{(-4 | 10 | 9) \}$
\subsection{Aufgabe 7}
$L=\{(2 | 4 | 0) \}$
\subsection{Aufgabe 8}
$L=\{(-2 | -2 | -2) \}$
\subsection{Aufgabe 9}
$L=\{(0|17|10) \}$
\subsection{Aufgabe 10}
$L=\{(-3 | -3 | -2) \}$
\subsection{Aufgabe 11}
Das Gleichungssystem ist unstimmig, also \emph{nicht} lösbar. Es gibt
\emph{keine einzige} Lösung.
\subsection{Aufgabe 12}
$L=\{(0 | 0 | 4) \}$
\subsection{Aufgabe 13}
$L=\{(1|1|-3) \}$

\newpage
\section{Komplette Lösungswege}
Im Folgenden werden die Gleichungssysteme beispielhaft mit unterschiedlichen
Lösungsmethoden gelöst.
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& 2x-3y&=&12 \\
(2)& 5x+2y&=&11 \hspace{20mm} D= \mathbb{R}^2 \\
\end{array}\]
Hier drängt sich einem kein bestimmtes Lösungsverfahren auf. Willkürlich
wähle ich das Additions-/Subtraktionsverfahren. \\

Ich möchte $y$ eliminieren. Daher multipliziere ich die erste Gleichung mit 2
und die zweite mit 3.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 2x-3y&=&12 &|\cdot 2 \\
(2)& 5x+2y&=&11 &|\cdot 3 \\
\hline
(1)& 4x-6y&=&24 &|\\
(2)& 15x+6y&=&33 &|+\\
\hline
&19x \ \qquad&=&57 &|:19 \\
&x&=&3 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in die erste Gleichung ein, um $y$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
2x-3y&=&12 \\
2 \cdot 3-3y&=&12 \\
6-3y&=&12 &|-6 \\
-3y&=&6 &|:(-3) \\
y&=&-2 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(3|-2)\}$}\end{center}

%----------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& 5x-5y&=&5 \\
(2)& 5x+4y&=&-22  \hspace{20mm} D= \mathbb{R}^2 \\
\end{array}\]
Bei diesem Gleichungssystem muss man nicht lange nachdenken. Die Koeffizienten
(Vorzahlen) von $x$ sind gleich, daher bietet sich das
Additions-/Subtraktionsverfahren an. Da die Vorzeichen gleich sind (positiv),
muss subtrahiert werden. Ich subtrahiere die obere von der unteren Gleichung,
damit $y$ positiv bleibt.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 5x-5y&=&5 &|-\\
(2)& 5x+4y&=&-22 &|\\
\hline
&9y&=&-27 &|:9 \\
&y&=&-3 \\
\end{array}\]
Zur Bestimmung von $x$ setze ich den Wert in die erste Gleichung ein.
\[\begin{array}{rcll}
5x-5y&=&5 \\
5x-5 \cdot (-3)&=&5 \\
5x+15&=&5 &|-15 \\
5x&=&-10 \\
x&=&-2 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(-3|-2)\}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{lrcl}
(1)& -2x+5y&=&-2 \\
(2)& 4x-9y&=&4 \hspace{20mm} D= \mathbb{R}^2 \\
\end{array}\]
Auch hier bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an, denn es muss nur
die erste Gleichung mit 2 multipliziert werden, damit die Vorzahlen von $x$
gleich sind.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& -2x+5y&=&-2 &|\cdot 2\\
(2)& 4x-9y&=&4 & \\
\hline
&-4x+10y&=&-4 &| \\
&4x-9y&=&4    &|+ \\
\hline
&y&=&0
\end{array}\]
Das ging flott. Zur Bestimmung von $y$ setze ich den Wert in die erste
Gleichung ein.
\[\begin{array}{rcll}
-2x+5y&=&-2 \\
-2x+5 \cdot 0&=& -2 \\
-2x&=&-2 &|:(-2) \\
x&=&1 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1|0)\}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -3x+5y&=&-16 \\
(2)& 3x-9y&=&24
\end{array}\]
Auch bei diesem Gleichungssystem muss man nicht lange nachdenken. Die
Koeffizienten (Vorzahlen) von $x$ sind gleich, daher bietet sich das
Additions-/Subtraktionsverfahren an. Da die Vorzeichen unterschiedlich sind,
muss addiert werden. Ich subtrahiere die obere von der unteren Gleichung,
damit $y$ positiv bleibt.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& -3x+5y&=&-16&| \\
(2)& 3x-9y&=&24  &|+\\
\hline
&    -4y&=&8 &|:(-4) \\
&      y&=&-2
\end{array}\]
Das Ergebnis kann beispielsweise in Gleichung (2) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
3x-9y&=&24 \\
3x-9 \cdot (-2)&=&24 \\
3x+18&=&24 &|-18 \\
3x&=&6 &|:3 \\
x&=&2
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|-2)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-2y+3z&=&19 \\
(2)& 2x+2y-4z&=&-6 \\
(3)& -2x+3y+z&=&-12
\end{array}\]
Da in Gleichung (3) die Variable $z$ allein steht, wähle ich das
Einsetzungsverfahren aus. Gleichung (3) wird nach $z$ aufgelöst.
\[\begin{array}{rrcll}
(3)& -2x+3y+z&=&-12 &|+2x-3y \\
(4)& z&=&-12+2x-3y \\
\end{array}\]
Dieses Ergebnis wird in Gleichung (1) und Gleichung (2) eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 5x-2y+3z&=&19 \\
(2)& 2x+2y-4z&=&-6 \\
\hline
(1a)& 5x-2y+3 \cdot (-12+2x-3y)&=&19 \\
(2a)& 2x+2y-4 \cdot (-12+2x-3y)&=&-6 \\
\hline
(1a)& 5x-2y-36+6x-9y&=&19 &|+36 \\
(2a)& 2x+2y+48-8x+12y&=&-6 &|-48 \\
\hline
(1a)& 11x-11y&=&55 \\
(2a)& -6x+14y&=&-54 \\
\hline
\end{array}\]
Damit haben wir das Gleichungssystem auf ein System 2. Ordnung reduziert. Für
den nächsten Reduktionsschritt verwende ich erneut das Einsetzungsverfahren,
da Gleichung (1a) gut durch 11 dividiert werden kann.
\[\begin{array}{rrcll}
(1a)& 11x-11y&=&55 &|:11 \\
    & x-y&=&5 &|+y \\
(5) &x&=&5+y
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (2a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(2a)& -6x+14y&=&-54 \\
& -6 \cdot (5+y)+14y&=&-54 \\
& -30-6y+14y&=&-54 &|+30 \\
& 8y&=&-24 &|:8 \\
&y&=&-3
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
x&=&5+y \\
x&=&5-3 \\
x&=&2
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
z&=&-12+2x-3y \\
z&=&-12+2 \cdot 2-3 \cdot (-3) \\
z&=&-12+4+9 \\
z&=&1
\end{array}\]
\enlargethispage{10mm}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|-3|1)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rrrrcl}
(1)& \cfrac{3}{2}x&+\cfrac{2}{5}y&-\cfrac{1}{3}z&=&-5 \\
(2)& \cfrac{3}{4}x&-\cfrac{3}{2}y&-\cfrac{1}{2}z&=&-\cfrac{45}{2} \\
(3)& -\cfrac{5}{2}x&+\cfrac{5}{4}y&-\cfrac{1}{9}z&=&\cfrac{43}{2}
\end{array}\]
Mit diesen Brüchen lässt sich schlecht rechnen. Daher wird jede Gleichung
zunächst mit ihrem Hauptnenner multipliziert.
\[\begin{array}{rrrrcll}
(1)& \cfrac{3}{2}x&+\cfrac{2}{5}y&-\cfrac{1}{3}z&=&-5 &| \cdot 30 \\
(2)& \cfrac{3}{4}x&-\cfrac{3}{2}y&-\cfrac{1}{2}z&=&-\cfrac{45}{2}&| \cdot 4 \\
(3)& -\cfrac{5}{2}x&+\cfrac{5}{4}y&-\cfrac{1}{9}z&=&\cfrac{43}{2}&| \cdot 36 \\
\hline
(1a)& 45x&+12y&-10z&=&-150 \\
(2a)& 3x&-6y&-2z&=&-90 \\
(3a)& -90x&+45y&-4z&=&774 \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem löse ich mit der \textbf{Cramerschen Regel}.
\[\begin{array}{rcl}
x&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
-150& 12 & -10 \\
 -90& -6 &  -2 \\
 774& 45 &  -4 \\
\end{array}}
{\begin{array}{|ccc|}
45 & 12 & -10 \\
3  & -6 &  -2 \\
-90& 45 &  -4 \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{-3\,600-18\,576+40\,500-46\,440-13\,500-4\,320}
{1\,080+2\,160-1\,350+5\,400+4\,050+144}\\
&=&\cfrac{-45\,936}{11\,484}\\
x&=&-4
\end{array}\]
Da bei der Berechnung von $y$ der gleiche Nenner auftritt, kann dort sofort der
Zahlenwert 11\,484 eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcl}
y&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
45 &-150 & -10 \\
3  & -90 &  -2 \\
-90& 774 &  -4 \\
\end{array}}{11\,484}\\
&=&\cfrac{16\,200-27\,000-23\,220+81\,000+69\,660-1\,800}{11\,484}\\
&=&\cfrac{114\,840}{11\,484}\\
y&=&10
\end{array}\]
Die Variable $z$ wird am besten durch Einsetzen der ersten beiden Lösungen in
eine der Gleichung bestimmt. Hierzu wähle ich Gleichung (2a) aus.
\[\begin{array}{rcll}
3x-6y-2z&=&-90 &|-3x+6y \\
-2z&=&-90-3x+6y \\
-2z&=&-90-3 \cdot (-4)+6 \cdot 10 \\
-2z&=&-90+12+60 \\
-2z&=&-18 &|:(-2) \\
z&=&9
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(-4|10|9)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 0{,}5x+3z-4y&=&-15 \\
(2)& 2y-z+3x&=&14 \\
(3)& 0{,}7z+8{,}8x-2{,}6y&=&7{,}2
\end{array}\]
Zur Abwechslung nehme ich für den ersten Reduktionsschritt das
Einsetzungsverfahren, da sich Gleichung (2) leicht nach $z$ umstellen lässt.
\[\begin{array}{lrcll}
(2)& 2y-z+3x&=&14 &|-2y-3x \\
&-z&=&14-2y-3x &|:(-1) \\
(4)& z&=&-14+2y+3x \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1) und in Gleichung (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 0{,}5x+3z-4y&=&-15 \\
(3)& 0{,}7z+8{,}8x-2{,}6y&=&7{,}2 \\
\hline
(1a)& 0{,}5x+3 \cdot (-14+2y+3x)-4y&=&-15 \\
(3a)& 0{,}7 \cdot (-14+2y+3x)+8{,}8x-2{,}6y&=&7{,}2 \\
\hline
(1a)& 0{,}5x-42+6y+9x-4y&=&-15 &|+42 \\
(3a)& -9{,}8+1{,}4y+2{,}1x+8{,}8x-2{,}6y&=&7{,}2 &|+9{,}8 \\
\hline
(1a)& 9{,}5x+2y&=&27 \\
(3a)& 10{,}9x-1{,}2y&=&17 \\
\end{array}\]
Damit ist der erste Reduktionsschritt fertig, wir haben ein Gleichungssystem
von nur noch 2. Ordnung erhalten. Für die weitere Lösung verwende ich die
Cramersche Regel.
\[\begin{array}{rcl}
x&=&\cfrac{\begin{array}{|cc|}
27 & 2  \\
17 &-1{,}2 \\
\end{array}}
{\begin{array}{|cc|}
9{,}5 & 2  \\
10{,}9&-1{,}2 \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{-32{,}4-34}{-11{,}4-21{,}8}\\
&=&\cfrac{-66{,}4}{-33{,}2}\\
x&=&2
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1a) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
9{,}5x+2y&=&27 \\
9{,}5 \cdot 2+2y&=&27 \\
19+2y&=&27 &|-19 \\
2y&=&8 &|:2 \\
y&=&4
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcl}
z&=&-14+2y+3x \\
z&=&-14+2 \cdot 4+3 \cdot 2 \\
z&=&0
\end{array}\]  \enlargethispage{15mm}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2|4|0)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 2{,}3x+z&=&-6{,}6 \\
(2)& 5{,}8y+x&=&-13{,}6 \\
(3)& 2{,}3z+y&=&-6{,}6
\end{array}\]
Zunächst bringe ich das Gleichungssystem in die Normalform.
\[\begin{array}{rrrrcl}
(1)& 2{,}3x&&+z&=&-6{,}6 \\
(2)& x&+5{,}8y&&=&-13{,}6 \\
(3)& &y&+2{,}3z&=&-6{,}6
\end{array}\]
Wegen der vielen Lücken bietet sich die Cramersche Regel zur Lösung an.
\[\begin{array}{rcl}
x&=&\frac{\begin{array}{|ccc|}
-6{,}6 &   0&  1 \\
-13{,}6& 5{,}8&  0 \\
-6{,}6 &   1& 2{,}3 \\
\end{array}}
{\begin{array}{|ccc|}
2{,}3&   0&  1 \\
1  & 5{,}8&  0 \\
0  &   1& 2{,}3 \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{-88{,}044+0-13{,}6+38{,}28-0-0}{30{,}682+0+1-0-0-0}\\
&=&\cfrac{-63{,}364}{31{,}682}\\
x&=&-2
\end{array}\]
Das Ergebnis kann zur Bestimmung von $z$ in Gleichung (1) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
2{,}3x+z&=&-6{,}6 \\
2{,}3 \cdot (-2)+z&=&-6{,}6 \\
-4{,}6+z&=&-6{,}6 &|+4{,}6 \\
z&=&-2
\end{array}\]
Das Ergebnis kann zur Bestimmung von $y$ in Gleichung (3) eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
2{,}3z+y&=&-6{,}6 \\
2{,}3 \cdot (-2)+y&=&-6{,}6 \\
-4{,}6+y&=&-6{,}6 &|+4{,}6 \\
y&=&-2
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(-2|-2|-2)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-2y+4z&=&6 \\
(2)& 5x+2y-3z&=&4 \\
(3)& 3x+4y-7z&=&-2
\end{array}\]
Zur Abwechslung verwende ich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren. Ich
will im ersten Reduktionsschritt die Variable $y$ eliminieren. Dazu addiere ich
zunächst Gleichung (1) mit (2).
\[\begin{array}{rrrrcll}
(1)& 3x&-2y&+4z&=&6 &|\\
(2)& 5x&+2y&-3z&=&4 &|+\\
\hline
(4)& 8x&   & +z&=&10 \\
\end{array}\]
Anschließend verdopple ich Gleichung (1), damit ich sie zu Gleichung (3)
addieren kann.
\[\begin{array}{rrrrcll}
(1)& 3x&-2y&+4z&=&6 &| \cdot 2 \\
(3)& 3x&+4y&-7z&=&-2 \\
\hline
(1)& 6x&-4y&+8z&=&12 &| \\
(3)& 3x&+4y&-7z&=&-2 &|+\\
\hline
(5)& 9x&   & +z&=&10 \\
\end{array}\]
Mit Gleichung (4) und (5) haben wir nun ein Gleichungssystem von nur noch 2.
Ordnung. Es bietet sich an, die Gleichungen voneinander zu subtrahieren.
\[\begin{array}{rrrcll}
(4)& 8x& +z&=&10&|- \\
(5)& 9x& +z&=&10&| \\
\hline
   &  x&   &=&0 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (4) eingesetzt, um $y$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
8x+z&=&10 \\
8 \cdot 0+z&=&10 \\
z&=&10
\end{array}\]
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (1) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
3x-2y+4z&=&6 \\
3 \cdot 0-2y+4 \cdot 10&=&6 \\
-2y+40&=&6 &|-40 \\
-2y&=&-34 &|:(-2) \\
y&=&17
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(0|17|10)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-5z&=&1 \\
(2)& 3x-4y&=&3 \\
(3)& z-2y&=&4 \\
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem sollte zunächst in die Normalfform gebracht werden,
damit es übersichtlicher wird.
\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& 3x&&-5z&=&1 \\
(2)& 3x&-4y&&=&3 \\
(3)& &-2y&+z&=&4 \\
\end{array}\]

Es bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Man kann Gleichung (3)
mit 2 multiplizieren und von Gleichung (2) subtrahieren, damit $y$ wegfällt.
\[\begin{array}{crrrcll}
(2)& 3x&-4y&&=&3 \\
(3)& &-2y&+z&=&4 &| \cdot 2\\
\hline
(2)& 3x&-4y&&=&3 &| \\
(3)& &-4y&+2z&=&8 &|- \\
\hline
(4)& 3x&&-2z&=&-5 \\
\end{array}\]
Übrig bleiben zwei Gleichungen mit nur noch zwei Variablen. Es ist zweckmäßig,
die Gleichungen sofort voneinander zu subtrahieren.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)& 3x&-5z&=&1 &| \\
(4)& 3x&-2z&=&-5&|- \\
\hline
(5)&   &-3z&=&6 &|:(-3)\\
   &&z&=&-2 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis setze ich in (1) ein.
\[\begin{array}{rcll}
3x-5z&=&1 \\
3x-5 \cdot (-2)&=&1 \\
3x+10&=&1 &|-10 \\
3x&=&-9 &|:3 \\
x&=&-3 \\
\end{array}\]

Dieses Ergebnis kann in (2) eingsetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
3x-4y&=&3 \\
3 \cdot (-3)-4y&=&3 \\
-9-4y&=&3 &|+9 \\
-4y&=&12 &|:(-4) \\
y&=&-3 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(-3|-3|-2)\}$}\end{center}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-4y+6z&=&7 \\
(2)& 2x+3y-2z&=&4 \\
(3)& 9x+2y+2z&=&12
\end{array}\]

\paragraph{Lösungsvariante 1:}
Es liegen keinerlei Besonderheiten vor und das Gleichungssystem ist schon in
Normalform angegeben. Daher verwende ich die \textbf{Cramersche Regel} zur
Lösung.
\[\begin{array}{rcll}
x&=&\cfrac
{\begin{array}{|rrr|} 7 &-4 &6 \\ 4 &3 &-2 \\ 12 &2 &2 \\ \end{array}}
{\begin{array}{|rrr|} 5 &-4 &6 \\ 2 &3 &-2 \\ 9 &2 &2 \\ \end{array}} \\
&=&\cfrac{42+96+48-216+28+32}{30+72+24-162+20+16}\\
&=&\cfrac{30}{0}\\
\end{array}\]
Die Nennerdeterminante ist Null! Das bedeutet, das Gleichungssystem ist
\textbf{unterbestimmt}, es gibt daher keine Lösung.

\paragraph{Lösungsvariante 2:}
Um zu zeigen, dass auch andere Lösungsverfahren nicht zu einem Ergebnis führen,
verwende ich für einen zweiten Lösungsversuch das
Additions-/Subtraktionsverfahren.\\

Zunächst fasse ich Gleichung (2) und (3) zu einer Gleichung zusammen, die ich
(4) nenne.
\[\begin{array}{rrrrcll}
(2)& 2x&+3y&-2z&=&4 &|\\
(3)& 9x&+2y&+2z&=&12&|+\\
\hline
(4)& 11x&+5y&&=&16 \\
\end{array}\]

Aus Gleichung (1) und (2) mache ich eine Gleichung (5).
\[\begin{array}{rrrrcll}
(1)& 5x&-4y&+6z&=&7 \\
(2)& 2x&+3y&-2z&=&4 &| \cdot 3 \\
\hline
(1)& 5x&-4y&+6z&=&7  &|\\
(2)& 6x&+9y&-6z&=&12 &|+\\
\hline
(5)&11x&+5y&&=&19 \\
\end{array}\]

Vergleicht man nun diese beiden Gleichungen, dann fällt sofort auf, dass die
linken Seiten identisch sind, auf der rechten Seite aber eine andere Zahl
steht. Damit ist das Gleichungssystem \textbf{nicht lösbar}.

\paragraph{Lösungsvariante 3:}
Um zu zeigen, wie sich die Unlösbarkeit bei anderen Verfahren darstellt, setze
ich jetzt eine Lösung mit dem \textbf{Einsetzungsverfahren} an.
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 5x-4y+6z&=&7 \\
(2)& 2x+3y-2z&=&4 \\
(3)& 9x+2y+2z&=&12
\end{array}\]

Ich löse Gleichung (2) nach $x$ auf und setze das Ergebnis in die anderen
Gleichungen ein.
\[\begin{array}{rcll}
2x+3y-2z&=&4 &|-3y+2z \\
2x&=&4-3y+2z &|:2 \\
x&=&2-\cfrac{3}{2}y+z \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rrcll}
\textnormal{in }(1)& 5 \cdot \left( 2-\frac{3}{2}y+z \right)-4y+6z&=&7 \\
\textnormal{in }(3)& 9 \cdot \left( 2-\frac{3}{2}y+z \right)+2y+2z&=&12 \\
\hline
(1)& 10-\frac{15}{2}y+5z-4y+6z&=&7 &|-10 \\
(3)&18-\frac{27}{2}y+9z+2y+2z&=&12 &|-18 \\
\hline
(1)&-\frac{23}{2}y+11z&=&-3 \\
(3)&-\frac{23}{2}y+11z&=&-6 \\
\hline
\end{array}\]
Auch hier haben wir wieder zwei Gleichungen erhalten, die auf der linken Seite
identisch sind, auf der rechten Seite aber unterschiedliche Ergebnisse liefern
sollen. Da das nicht sein kann, ist das Gleichungssystem \textbf{unlösbar}.

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 12}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& 3x-z+2y&=&-4 \\
(2)& 3z-2x+5y&=&12 \\
(3)& 5y-5z+3x&=&-20
\end{array}\]

Zunächst sollte das Gleichungssystem durch Sortieren in die Normalform gbracht
werden.
\[\begin{array}{rrrrcl}
(1)& 3x&+2y&-z&=&-4 \\
(2)& -2x&+5y&+3z&=&12 \\
(3)& 3x&+5y&-5z&=&-20
\end{array}\]

Zur Abwechslung verwende ich hier das Einsetzungsverfahren. Gleichung (1) kann
gut nach $z$ umgestellt werden.
\[\begin{array}{rcll}
3x+2y-z&=&-4 &|-3x-3y \\
-z&=&-4-3x-3y &| \cdot (-1) \\
z&=&4+3x+3y \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (2) und in (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(2)& -2x+5y+3 \cdot (4+3x+3y)&=&12 \\
(3)& 3x+5y-5 \cdot (4+3x+3y)&=&-20 \\
\hline
(2)& -2x+5y+12+9x+9y&=&12 &|-12 \\
(3)& 3x+5y-20-15x-15y&=&-20&|+20 \\
\hline
(2)& 7x+14y&=&0 \\
(3)& -12x-10y&=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Gleichung (2) kann gut nach $x$ umgestellt werden.
\[\begin{array}{rcll}
7x+14y&=&0 &|-14y \\
7x&=&-14y &|:7 \\
x&=&-2y \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
-12x-10y&=&0 \\
-12 \cdot (-2y)-10y&=&0 \\
24y-10y&=&0 \\
14y&=&0 &|:14 \\
y&=&0 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt.
\[x=-2y=-2 \cdot 0=0\]

Beide Ergebnisse werden in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.
\[z=4+3x+3y=z=4+3 \cdot 0+3 \cdot 0=4\]

Die Lösungsmenge lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(0|0|4)\}$}

\newpage %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 13}
\[\begin{array}{rrcl}
(1)& -5x+3z&=&-19 \\
(2)& -4z+2x+3y&=&19 \\
(3)& 3y+5z&=&-12
\end{array}\]

Auch dieses Gleichungssystem sollte zunächst "`geordnet"' werden, damit man es
besser überblickt.
\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& -5x&&+3z&=&-14 \\
(2)& -2x&+3y&-4z&=&13 \\
(3)& &3y&+5z&=&-12
\end{array}\]

Es fällt auf, dass die Koeffizienten von $y$ in Gleichung (2) und (3)
übereinstimmen. Zudem fehlt in Gleichung (1) $y$ ganz. Daher bietet es sich an,
die Gleichungen (2) und (3) voneinander zu subtrahieren.
\[\begin{array}{crrrcll}
(2)& -2x&+3y&-4z&=&13 &|\\
(3)& &3y&+5z&=&-12    &|- \\
\hline
(4)& -2x&&-9z&=&25 \\
\end{array}\]

Übrig bleiben Gleichung (1) und (4) als Lineargleichungssystem 2. Ordnung.
\[\begin{array}{crrcl}
(1)& -5x&+3z&=&-14 \\
(4)& -2x&-9z&=&25 \\
\end{array}\]

Auch für den nächsten Reduktionsschritt bietet sich das Additionsverfahren an.
Wenn vor dem Addieren (1) mit 3 multipliziert wird, fällt $z$ weg.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)& -5x&+3z&=&-14 &| \cdot 3 \\
(4)& -2x&-9z&=&25 \\
\hline
(1)& -15x&+9z&=&-42 &| \\
(4)& -2x&-9z&=&25 &|+\\
\hline
&    -17x&&=&-17 &|:(-17) \\
&  x&&=&1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in Gleichung (1) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
-5x+3z&=&-14 \\
-5 \cdot 1+3z&=&-14 &|+5 \\
3z&=&-9 &|:3 \\
z&=&-3 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in Gleichung (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
3y+5z&=&-12 \\
3y+5 \cdot (-3)&=&-12 \\
3y-15&=&-12 &|+15 \\
3y&=&3 &|:3 \\
y&=&1 \\
\end{array}\]

Die Lösungsmenge lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1|1|-3)\}$}


\end{document}
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%\caption{Bildunterschrift}
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