\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Flächenberechnung mit Integralen}
\author{W. Kippels}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Übungsaufgaben}

\subsection{Aufgabe 1}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=0,5(x-2)^2+3,5$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=x+3$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 2}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-x-12$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem
Funktionsgraphen und der $x$-Achse!

\subsection{Aufgabe 3}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3x^2+18x+24$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen
dem Funktionsgraphen, der $x$-Achse und der $y$-Achse!

\subsection{Aufgabe 4}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=x^3-4x^2+5x-3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=2x^2-4x+1$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 5}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=x^4-4x^2+3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=-x^2+7$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 6}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=2x^2-3x+3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=x^2+2x-1$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat zwei Tiefpunkte auf der $x$-Achse bei $T_1(0|0)$ und
$T_2(4|0)$. Der Funktionsgraph verläuft außerdem noch durch den Punkt
$P(2|240)$. Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den beiden Tiefpunkten von
dem Graphen von $f(x)$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird!

\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei $H(0|4)$ und einen Tiefpunkt bei
$T(2|0)$. Berechnen Sie die Fläche, die von der positiven $x$-Achse, der
$y$-Achse und dem Funktionsgraphen des Polynoms eingeschlossen wird!

\subsection{Aufgabe 9}
Eine Parabel (Polynom 2. Grades) verläuft durch die Punkte $P_1(1|-15)$,
$P_2(4|12)$ und $P_3(5|9)$. Berechnen Sie die Fläche, die die $x$-Achse mit dem
Parabelbogen als Begrenzung bildet.

\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades $f(x)$ hat einen Wendepunkt bei $x_w=3$ mit der
Wendetangente \mbox{$y=-6x+22$}. Die $y$-Achse schneidet der Graph des Polynoms
bei \mbox{$y_0=-32$}. Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$-Achse und dem
Graphen von $f(x)$.

\newpage %---------------
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=0,5(x-2)^2+3,5$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=x+3$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen! \\ \\
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
0,5(x_s-2)^2+3,5&=&x_s+3 \\
0,5(x_s^2-4x_s+4)+3,5&=&x_s+3 \\
0,5x_s^2-2x_s+2+3,5&=&x_s+3 \quad|-x_s-3 \\
0,5x_s^2-3x_s+2,5&=&0 \quad| \cdot 2 \\
x_s^2-6x_s+5&=&0 \\
x_{s1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5} \\
x_{s1/2}&=&3 \pm 2 \\
x_1=1&&x_2=5
\end{eqnarray*}
Damit sind die Integrationsgrenzen bekannt.\\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-01.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=9mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-1)(5.8,8.9)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{0.5 x 2 sub 2 exp mul 3.5 add}
   \gsave
   \psline(5,8)(1,4) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.6,-1)(5.8,8.9)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,8.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.7}{5.4}{0.5 x 2 sub 2 exp mul 3.5 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.6}{5.8}{x 3 add}
  \pscircle*(1,4){2pt} \uput[-100](1,4){$P_1$}
  \pscircle*(5,8){2pt} \uput[-45](5,8){$P_2$}
  \uput[0](0,5.6){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](3,6){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[30](2.4,4.4){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

Ein Blick auf die Skizze zeigt, dass im Bereich zwischen 1 und 5 $f_2$ die
obere und $f_1$ die untere Funktion ist. Damit können wir die gesuchte Fläche
als bestimmtes Integral ansetzen.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ dx \\
&=&\int \limits _1^5 (x+3)-\left( 0,5(x-2)^2+3,5 \right) \ dx \\
&=&\int \limits _1^5 x+3-\left( 0,5x^2-2x+2+3,5 \right) \ dx \\
&=&\int \limits _1^5 x+3-0,5x^2+2x-5,5 \ dx \\
&=&\int \limits _1^5 -0,5x^2+3x-2,5 \ dx \\
&=&\left[ -\frac{0,5}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2-2,5x \right]_1^5 \\
&=&\left[ -\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{2}x^2-\frac{5}{2}x \right]_1^5 \\
&=&\left[ -\frac{1}{6}\cdot 5^3+\frac{3}{2}\cdot 5^2-\frac{5}{2}\cdot 5 \right]
 -\left[-\frac{1}{6}\cdot 1^3+\frac{3}{2}\cdot 1^2-\frac{5}{2}\cdot 1\right] \\
&=&\frac{25}{6}- \left( -\frac{7}{6} \right) \\
&=&\frac{32}{6} \approx 5,333 \\
A&=&\unit[\frac{16}{3}]{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die gesuchte Fläche beträgt ca. 5,333 Flächeneinheiten.}
\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 2}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=x^2-x-12$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen dem
Funktionsgraphen und der $x$-Achse! \\ \\
Zunächst müssen die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse
berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^2-x_0-12&=&0 \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+12} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{48}{4}} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}} \\
x_{01/2}&=& \frac{1}{2} \pm \frac{7}{2} \\
x_{01}=-3 && x_{02}=4
\end{eqnarray*}
Damit sind die Integrationsgrenzen bekannt. \\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-02.png}\\
\psset{xunit=15mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-13.8)(4.8,3.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-3}{4}{x x mul x sub 12 sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(-3,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-13.8)(4.8,3.8)
  \uput[-90](4.5,0){x}  \uput[180](0,3.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-3.8}{4.8}{x x mul x sub 12 sub}
  \pscircle*(-3,0){2pt} \uput[45](-3,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[135](4,0){$P_2$}
  \uput[-45](3,-6){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](0.4,-6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

Der Formfaktor $a=+1$ ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet.
Deshalb muss die Fläche \textbf{\emph{unterhalb}} der $x$-Achse liegen. Daher
ergibt der Ansatz mit dem bestimmten Integral einen \textbf{\emph{negativen}}
Wert. Wir müssen daher beim Ansatz ein Minuszeichen einfügen.
\begin{eqnarray*}
A&=&- \int \limits _{x_{01}}^{x_{02}} f(x)\ dx \\
&=&- \int \limits _{-3}^4 x^2-x-12\ dx \\
&=&- \left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-12x \right]_{-3}^4 \\
&=&-\left[ \left( \frac{1}{3}\cdot 4^3-\frac{1}{2}\cdot 4^2-12 \cdot 4 \right)
 -\left( \frac{1}{3}\cdot (-3)^3-\frac{1}{2}\cdot (-3)^2-12 \cdot (-3) \right)
 \right] \\
&=&-\left(-\frac{104}{3}-\frac{45}{2} \right) \\
&=&\frac{343}{6} \approx 57,167 \\
A&=&\unit[\frac{343}{6}]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt ca. 57,167 Flächeneinheiten.}\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 3}
Gegeben ist die Funktion $f(x)=3x^2+18x+24$. Bestimmen Sie die Fläche zwischen
dem Funktionsgraphen, der $x$-Achse und der $y$-Achse! \\ \\
Zunächst müssen die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der $x$-Achse
berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
3x_0^2+18x_0+24&=&0 \quad|:3 \\
x_0^2+6x_0+8&=&0 \\
x_{01/2}&=& -3 \pm \sqrt{9-8} \\
x_{01/2}&=& -3 \pm 1 \\
x_{01}=-4 && x_{02}=-2
\end{eqnarray*}
Damit sind die möglichen Integrationsgrenzen bekannt. Ein Blick auf den
Funktionsgraphen zeigt, dass der rechte Schnittpunkt mit der $x$-Achse $x_1=-2$
als untere Integrationsgrenze verwendet werden muss. Die obere Grenze ist
die $y$-Achse, also $x_2=0$. Die linke Nullstelle bei $x_{01}=-4$ liegt zu weit
ab.\\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-03.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-6.8)(0.8,28)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{0}{3 x x mul mul 18 x mul add 24 add}
   \gsave
   \psline(0,24)(0,0)(-2,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-4.8,-6.8)(0.8,28)
  \uput[-90](0.6,0){x}  \uput[180](0,26.5){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-4.8}{0.8}{3 x x mul mul 18 x mul add 24 add}
  \pscircle*(-2,0){2pt} \uput[135](-2,0){$P_1$}
  \pscircle*(0,24){2pt} \uput[-20](0,24){$P_2$}
  \uput[135](-1,9){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](-1,5){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
Die Fläche liegt \textbf{\emph{oberhalb}} der $x$-Achse. Daher ergibt das
bestimmte Integral einen \textbf{\emph{positiven}} Wert, es muss also kein
Minuszeichen eingefügt werden.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _{-2}^0 f(x)\ dx \\
&=&\int \limits _{-2}^0 3x^2+18x+24\ dx \\
&=&\left[ x^3+9x^2+24x \right]_{-2}^0 \\
&=&\left( 0^3+9 \cdot 0^2+24 \cdot 0 \right)
 - \left( (-2)^3+9 \cdot (-2)^2+24 \cdot (-2) \right) \\
&=&0-(-20) \\
A&=&\unit[20]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt 20 Flächeneinheiten.}\end{center}
\newpage %----------------
\subsection{Aufgabe 4}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=x^3-4x^2+5x-3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=2x^2-4x+1$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen! \\ \\

\paragraph{Schnittpunktberechnung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
x_s^3-4x_s^2+5x_s-3&=&2x_s^2-4x_2+1 \quad|-2x_s^2+4x_2-1 \\
x_s^3-6x_s^2+9x_s-4&=&0
\end{eqnarray*}
Ein analytisches Lösungsverfahren für Kubische Gleichungen haben wir nicht zur
Verfü\-gung. Wir können jedoch durch \textbf{\emph{planvolles}} Probieren eine
Lösung bestimmen und dann den Funktionsterm faktorisieren. Wenn es ganzzahlige
Lösungen gibt, dann sind das Teiler des absoluten Gliedes. Es kommt also nur
$\pm 1$, $\pm 2$ und $\pm 4$ in Frage. \\ \\
Wir finden schnell die Lösung $x_{s1}=1$. Mit Hilfe der Polynomdivision können
wir $(x_s-1)$ ausklammern.
\[x_s^3-6x_s^2+9x_s-4= \left( x_s^2-5x_s+4 \right) \cdot (x_s-1) \]
Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Wir müssen also für
weitere Nullstellen nur noch den ersten Term untersuchen.
\begin{eqnarray*}
x_s^2-5x_s+4&=&0 \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-4} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{16}{4}} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \\
x_{s2/3}&=& \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2} \\
x_{s2}=1 && x_{s3}=4
\end{eqnarray*}
Bei $x=1$ liegt eine doppelte Nullstelle vor, wir haben also tatsächlich nur
zwei gemeinsame Punkte der beiden Funktionsgraphen. Damit sind die
Integrationsgrenzen als $x_1=1$ und $x_2=4$ bekannt. \\ \\
Werfen wir einen Blick auf die Funktionsgraphen, dann können wir sehen, dass in
diesem Bereich der Graph der Funktion $f_2$ oberhalb des Graphen der Funktion
$f_1$ liegt. Damit können wir das bestimmte Integral zur Flächenberechnung
mit $f_2(x)-f_1(x)$ ansetzen.

\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=14cm]{integr1-04.png}\\
\psset{xunit=25mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-6)(4.6,19.5)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{x 3 exp 4 x x mul mul sub 5 x mul add 3 sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=white,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-0.8,-6)(4.6,19.5)
  \uput[-90](4.4,0){x}  \uput[180](0,18.5){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{4.6}{x 3 exp 4 x x mul mul sub 5 x mul add 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-0.8}{4.6}{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
  \pscircle*(1,-1){2pt} \uput[-135](1,-1){$P_1$}
  \pscircle*(4,17){2pt} \uput[-20](4,17){$P_2$}
  \uput[-45](3.2,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](2.75,5){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[45](2.6,2.6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\paragraph{Flächenberechnung:}
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits _1^4 f_2(x)-f_1(x) \ dx \\
&=&\int \limits _1^4 \left(2x^2-4x+1 \right)-\left( x^3-4x^2+5x-3 \right)\ dx \\
&=&\int \limits _1^4 2x^2-4x+1-x^3+4x^2-5x+3\ dx \\
&=&\int \limits _1^4 -x^3+6x^2-9x+4\ dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{4}x^4+2x^3-\frac{9}{2}x^2+4x \right]_1^4 \\
&=& \left(-\frac{1}{4}\cdot 4^4+2\cdot 4^3-\frac{9}{2}\cdot 4^2+4\cdot4\right)
 -\left(-\frac{1}{4}\cdot 1^4+2\cdot 1^3-\frac{9}{2}\cdot 1^2+4\cdot 1\right)\\
&=&8-1,25 \\
A&=&6{,}75 \textnormal{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die gesuchte Fläche beträgt 6,75 Flächeneinheiten.}\end{center}

\newpage %----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=x^4-4x^2+3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=-x^2+7$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!\\

\paragraph{Schnittpunktbestimmung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
x^4-4x^2+3&=&-x^2+7 \quad|+x^2-7 \\
x^4-3x^2-4&=&0
\end{eqnarray*}
Diese \textbf{Biquadratische Gleichung} löst man durch Substitution. Wir
ersetzen vorübergehend:
\[x^2=z\]
Dadurch erhalten wir eine Quadratische Gleichung mit $z$.
\begin{eqnarray*}
z^2-3z-4&=&0 \\
z_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}\\
z_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\
z_1=\frac{8}{2}=4 && z_2=-\frac{2}{2}=-1
\end{eqnarray*}
Beim Zurück-Substituieren entfällt die Lösung für $z_2=-1$, da die Quadratzahl
einer Reellen Zahl nicht negativ sein kann. Führen wir das also für $z_1$
durch.
\begin{eqnarray*}
x^2&=&z_1 \\
x^2&=&4 \quad| \sqrt{\ }\\
x_{1/2}&=&\pm 2 \\
x_1=-2 && x_2=2
\end{eqnarray*}
Zwischen diesen beiden Werten liegt also die zu bestimmende Fläche.
\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=13cm]{integr1-05.png}\\
\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.8)(2.8,7.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{-2}{2}{x 4 exp 4 x x mul mul sub 3 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{-2}{2}{7 x x mul sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-1.8)(2.8,7.8)
  \uput[-90](2.6,0){x}  \uput[180](0,7.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-2.8}{2.8}{x 4 exp 4 x x mul mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-2.8}{2.8}{7 x x mul sub}
  \pscircle*(-2,3){2pt} \uput[180](-2,3){$P_1$}
  \pscircle*(2,3){2pt} \uput[0](2,3){$P_2$}
  \uput[0](2.1,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[45](1,6){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[0](0,3.6){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\paragraph{Flächenberechnung:}
Aus der Skizze erkennt man, dass die Fläche \textbf{unten} von $f_1$ und
\textbf{oben} von $f_2$ begrenzt wird. Entsprechend ergibt sich folgender
Ansatz:
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ dx \\
&=&\int \limits_{-2}^2 \left(-x^2+7 \right)-\left(x^4-4x^2+3 \right) \ dx \\
&=&\int \limits_{-2}^2 -x^2+7-x^4+4x^2-3 \ dx \\
&=&\int \limits_{-2}^2 -x^4+3x^2+4 \ dx \\
&=&\left[ -\frac{1}{5}x^5+x^3+4x \right]_{-2}^2 \\
&=&\left( -\frac{1}{5} \cdot 2^5+2^3+4 \cdot 2 \right)
   -\left( -\frac{1}{5} \cdot (-2)^5+(-2)^3+4 \cdot (-2) \right) \\
&=&(-6,4+8+8)-(6,4-8-8) \\
A&=&\unit[19{,}2]{FE}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die Fläche beträgt $A=19{,}2$ Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
Der Graph der Funktion $f_1(x)=2x^2-3x+3$ wird vom Graphen der Funktion
$f_2(x)=x^2+2x-1$ geschnitten.
Berechnen Sie die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen!

\paragraph{Schnittpunktbestimmung:}
Zunächst müssen wir die Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen bestimmen.
Dies geschieht duch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
2x^2-3x+3&=&x^2+2x-1 \quad|-x^2-2x+1 \\
x^2-5x+4&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{16}{4}}\\
&=&\frac{5}{2}\pm \frac{3}{2}\\
x_1=1 && x_2=4
\end{eqnarray*}
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}
\begin{center}
%\includegraphics[width=15cm]{integr1-06.png}\\
\psset{xunit=25mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-3)(4.6,28)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{2 x x mul mul 3 x mul sub 3 add}
   \gsave
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}{x x mul 2 x mul add 1 sub}
   \gsave
   \fill[fillcolor=white,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-0.8,-3)(4.6,28)
  \uput[-90](4.5,0){x}  \uput[180](0,27){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{4.6}{2 x x mul mul 3 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]
      {-0.8}{4.6}{x x mul 2 x mul add 1 sub}
  \pscircle*(1,2){2pt} \uput[135](1,2){$P_1$}
  \pscircle*(4,23){2pt} \uput[-20](4,23){$P_2$}
  \uput[-45](3.2,14){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput[135](2.6,11){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \uput[55](2,5.6){$A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\paragraph*{Flächenberechnung:}
Aus der Skizze erkennt man, dass die Fläche \textbf{unten} von $f_1$ und
\textbf{oben} von $f_2$ begrenzt wird. Entsprechend ergibt sich folgender
Ansatz:
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f_2(x)-f_1(x) \ dx \\
&=&\int \limits_1^4\left( x^2+2x-1 \right)-\left( 2x^2-3x+3 \right) \ dx\\
&=&\int \limits_1^4 x^2+2x-1-2x^2+3x-3 \ dx \\
&=&\int \limits_1^4 -x^2+5x-4 \ dx \\
&=&\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{5}{2}x^2-4x \right]_1^4 \\
&=&\left(-\frac{1}{3} \cdot 4^3+\frac{5}{2} \cdot 4^2-4 \cdot 4 \right)
  -\left(-\frac{1}{3} \cdot 1^3+\frac{5}{2} \cdot 1^2-4 \cdot 1 \right) \\
&=&\left(-\frac{64}{3}+40-16 \right)-\left(-\frac{1}{3}+\frac{5}{2}-4\right)\\
&=&\frac{8}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right) \\
A&=&\unit[4{,}5]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die Fläche beträgt $A=4{,}5$ Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat zwei Tiefpunkte auf der $x$-Achse bei $T_1(0|0)$ und
$T_2(4|0)$. Der Funktionsgraph verläuft außerdem noch durch den Punkt
$P(2|240)$. Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den beiden Tiefpunkten von
dem Graphen von $f(x)$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird!

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Ich stelle das Polynom in allgemeiner Form sowie die erste Ableitung dar, bevor
die Bedingungen aufgestellt werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{lclccrcl}
\textnormal{Punkt }(0|0) &\Rightarrow& f(0)=0
   &\Rightarrow&(1)& 0a+0b+0c+0d+e&=&0 \\
\textnormal{Punkt }(4|0) &\Rightarrow& f(4)=0
   &\Rightarrow&(2)& 256a+64b+16c+4d+e&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_1=0 &\Rightarrow& f'(0)=0
   &\Rightarrow&(3)& 0a+0b+0c+d&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_2=4 &\Rightarrow& f'(4)=0
   &\Rightarrow&(4)& 256a+48b+8c+d&=&0 \\
\textnormal{Punkt }(2|240) &\Rightarrow& f(2)=240
   &\Rightarrow&(5)& 16a+8b+4c+2d+e&=&240 \\
\end{array}\]
Aus Gleichung (1) und (3) folgt sofort:
\[\begin{array}{crcl}
(1)&e&=&0 \\
(3)&d&=&0
\end{array}\]
Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung:
\[\begin{array}{crcl}
(2)&256a+64b+16c&=&0 \\
(4)&256a+48b+8c&=&0 \\
(5)&16a+8b+4c&=&240
\end{array}\]
Mit einem beliebigen Lösungsverfahren erhält man:
\begin{eqnarray*}
a&=&15 \\
b&=&-120 \\
c&=&240
\end{eqnarray*}
Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=15x^4-120x^3+240x^2$}\\

\newpage
\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}\\

%\includegraphics[width=16cm]{integr1-07.png}\\
\begin{center}
\psset{xunit=25mm,yunit=0.4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-20)(4.8,270)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]
     {0}{4}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
   \gsave
   \psline(4,0)(0,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=25]
  \psaxes[Dy=25]{->}(0,0)(-0.8,-20)(4.8,270)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,265){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-0.8}{2}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {2}{4.8}{15 x 4 exp mul 120 x 3 exp mul sub 240 x x mul mul add}
  \pscircle*(0,0){2pt} \uput[-45](0,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[90](4,0){$P_2$}
  \uput[45](3,135){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[-90](2,100){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\paragraph{Flächenberechnung:}
Die Integrationsgrenzen 0 und 4 sind bereits durch die $x$-Koordinaten der
Tiefpunkte bekannt. Daher kann die Fläche direkt angesetzt werden.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)\ dx \\
&=&\int \limits_0^4 15x^4-120x^3+240x^2 \ dx \\
&=&\left[3x^5-30x^4+80x^3 \right]_0^4 \\
&=&\left( 3 \cdot 4^5-30 \cdot 4^4+80 \cdot 4^3 \right)
  -\left( 3 \cdot 0^5-30 \cdot 0^4+80 \cdot 0^3 \right) \\
&=&(3072-7680+5120)-0 \\
A&=&512
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A$=512 Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei $H(0|4)$ und einen Tiefpunkt bei
$T(2|0)$. Berechnen Sie die Fläche, die von der positiven $x$-Achse, der
$y$-Achse und dem Funktionsgraphen des Polynoms eingeschlossen wird!

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Ich stelle das Polynom in allgemeiner Form sowie die erste Ableitung dar, bevor
die Bedingungen aufgestellt werden.
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c
\end{eqnarray*}
\[\begin{array}{lclccrcl}
\textnormal{Punkt }(0|4) &\Rightarrow& f(0)=4
   &\Rightarrow&(1)& 0a+0b+0c+d&=&4 \\
\textnormal{Punkt }(2|0) &\Rightarrow& f(2)=0
   &\Rightarrow&(2)& 8a+4b+2c+d&=&0 \\
\textnormal{Hochpunkt bei }x_H=0 &\Rightarrow& f'(0)=0
   &\Rightarrow&(3)& 0a+0b+c&=&0 \\
\textnormal{Tiefpunkt bei }x_T=2 &\Rightarrow& f'(2)=0
   &\Rightarrow&(4)& 12a+4b+c&=&0 \\
\end{array}\]
Aus Gleichung (1) und (3) folgt sofort:
\[\begin{array}{crcl}
(1)&d&=&4 \\
(3)&c&=&0
\end{array}\]
Setzt man diese Ergebnisse in (2) und (4) ein, erhält man ein
Lineargleichungssystem 2. Ornung, das ich anschließend mit einem bliebigen
Verfahren, beispielsweise mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren lösen kann:
\[\begin{array}{rrrcrl}
(2)&8a&+4b&=&-4 &|\\
(4)&12a&+4b&=&0 &|- \\
\hline
(2)-(4)&-4a &&=&-4 &|:(-4) \\
&a&&=&1
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in (4) ein:
\[\begin{array}{rcll}
12 \cdot 1+4b&=&0 &|-12 \\
4b&=&-12 &|:4 \\
b&=&-3
\end{array}\]
Die gesuchte Funktion lautet: \fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-3x^2+4$}\\

\paragraph{Nullstellenberechnung:}
\[f(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0^3-3x_0^2+4=0\]
Durch \textbf{planvolles}\footnote{Falls es ganzzahlige Nullstellen gibt, dann
sind sie Teiler des \textbf{absoluten Gliedes}.} Probieren erhalte ich die
Lösung:
\[x_{01}=2\]
Weitere Nullstellen finde ich, nachdem der Funktionsterm mit Hilfe einer
\textbf{Polynomdivision} faktorisiert wurde. Man kann immer $(x-x_0)$
ausklammern, hier also $(x-2)$.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-3x^2\ & &+4) \\
-(x^3&-2x^2) \\
\hline
&-x^2\ &&+4\ \\
-&(-x^2\ &+2x) \\
\hline
&&-2x\ &+4\ \\
&-&(-2x\ &+4) \\
\hline
&&& 0\
\end{array} \begin{array}{cccc}
:&(x-2)&=&x^2-x-2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Weitere Nullstellen finden wir als Nullstellen des Ergebnisterms.
\begin{eqnarray*}
x^2-x-2&=&0 \\
x_{2/3}&=&\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}\\
x_{2/3}&=&\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}\\
x_2=-1 && x_3=2
\end{eqnarray*}
$x_3=2$ ist identisch mit $x_1=2$, wir haben tatsächlich also nur \textbf{zwei}
Nullstellen. Da die \textbf{positive} $x$-Achse eine Begrenzungslinie ist,
kommt nur $x_1=2$ als Flächenbegrenzungspunkt in Frage, wie auch die Skizze
erkennen lässt.\\

\textbf{Skizze der gesuchten Fläche:}

\begin{center}
\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-1.6,-0.8)(3.8,8.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{0}{2}{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 add}
   \gsave
   \psline(2,0)(0,0)(0,4) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-1.6,-0.8)(3.8,8.8)
  \uput[-90](3.7,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {-1.3}{3.8}{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 add}
  \pscircle*(0,4){2pt} \uput[45](0,4){$P_1$}
  \pscircle*(2,0){2pt} \uput[80](2,0){$P_2$}
  \uput[45](1,2){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[45](0.5,1){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\paragraph{Flächenberechnung:}
Die Fläche stellt sich demnach als Integral unter der Kurve von 0 bis 2 dar.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_0^2 f(x)\ dx \\
&=&\int \limits_0^2 x^3-3x^2+4 \ dx \\
&=&\left[ \frac{1}{4}x^4-x^3+4x \right]_0^2 \\
&=&\left( \frac{1}{4} \cdot 2^4-2^3+4 \cdot 2 \right)
  -\left( \frac{1}{4} \cdot 0^4-0^3+4 \cdot 0 \right) \\
&=&(4-8+8)-0 \\
A&=&\unit[4]{FE}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$A$=4 Flächeneinheiten}\end{center}
\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
Eine Parabel (Polynom 2. Grades) verläuft durch die Punkte $P_1(1|-15)$,
$P_2(4|12)$ und $P_3(5|9)$. Berechnen Sie die Fläche, die die $x$-Achse mit dem
Parabelbogen als Begrenzung bildet.

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Die allgemeine Form für ein Polynom 2. Grades lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Die drei gegebenen Punkte ergeben drei Bedingungen, aus denen ein
Lineargleichungssystem erstellt werden kann.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(1)& f(1)&=&-15 &\Rightarrow& a+b+c&=&-15 \\
(2)& f(4)&=&12 &\Rightarrow& 16a+4b+c&=&12 \\
(3)& f(5)&=&9 &\Rightarrow& 25a+5b+c&=&9 \\
\end{array}\]
Zusammengefasst sieht unser Lineargleichungssystem also so aus:
\[\begin{array}{|lrrrcr|}
\hline
(1)&  a& +b&+c&=&-15 \\
(2)&16a&+4b&+c&=&12 \\
(3)&25a&+5b&+c&=&9 \\
\hline
\end{array}\]
Zur Lösung kann nun jedes beliebige Lösungsverfahren verwendet werden. Da der
Parameter $c$ in jeder Gleichung allein vorkommt, bietet es sich an, die
Gleichungen paarweise voneinander zu subtrahieren, damit wir zwei Gleichungen
\textbf{ohne \emph{c}} erhalten.
\[\begin{array}{|lrrcr|}
\hline
(4)=(2)-(1)&15a&+3b&=&27 \\
(5)=(3)-(1)&24a&+4b&=&24 \\
\hline
\end{array}\]
Für den nächsten Schritt verwende ich willkürlich das
\textbf{Einsetzungsverfahren}. Ich löse Gleichung (4) nach $b$ auf und setze
den Term in (5) ein.
\[\begin{array}{lrcll}
(4)&15a+3b&=&27 &|-15a \\
&3b&=&27-15a &|:3 \\
&b&=&9-5a \\
\end{array}\]
Eingesetzt in (5):
\[\begin{array}{lrcll}
(5)&24a+4b&=&24 \\
&24a+4 \cdot (9-5a)&=&24 \\
&24a+36-20a&=&24 &|-36 \\
&4a&=&-12 &|:4 \\
&a&=&-3 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (4) eingesetzt.
\[b=9-5a=9-5 \cdot (-3)=24\]
Nun werden beide Ergebnisse in (1) eingesetzt. (Auch jede andere Gleichung wäre
hier möglich.)
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& a+b+c&=&-15 \\
&-3+24+c&=&-15 \\
&21+c&=&-15 &|-21 \\
&c&=&-36 \\
\end{array}\]
Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-3x^2+24x-36$}

\paragraph{Nullstellenbestimmung:}
Zur Nullstellenbestimmung wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
-3x_0^2+24x_0-36&=&0 &|:(-3) \\
x_0^3-8x_0+12&=&0 \\
x_{01/2}&=&4 \pm \sqrt{16-12}\\
x_{01/2}&=&4 \pm 2 \\
x_{01}=2 &&x_{02}=6 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann der Funktionsgraph skizziert werden.\\
\begin{center}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-9)(7.8,14)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{2}{6}{x 2 exp -3 mul 24 x mul add 36 sub}
   \gsave
   \psline(6,0)(2,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[Dy=5]{->}(0,0)(-0.6,-9)(7.8,14)
  \uput[-90](7.7,0){x}  \uput[180](0,13.3){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {1.2}{6.8}{x 2 exp -3 mul 24 x mul add 36 sub}
  \pscircle*(2,0){2pt} \uput[145](2,0){$P_1$}
  \pscircle*(6,0){2pt} \uput[30](6,0){$P_2$}
  \uput[45](5.5,5){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[90](4,3){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\paragraph{Berechnung der Fläche:}
Die Funktionsgleichung und die Nullstellen sind bekannt. Damit kann das
Integral zur Flächenberechnung aufgestellt werden.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_{01}}^{x_{02}}f(x)\ dx \\
&=&\int \limits_2^6-3x^2+24x-36\ dx \\
&=&\left[-x^3+12x^2-36x \right]_2^6 \\
&=&\left(-6^3+12 \cdot 6^2-36 \cdot 6 \right)
  -\left(-2^3+12 \cdot 2^2-36 \cdot 2 \right) \\
&=&0-(-32) \\
A&=&\unit[32]{FE}\\
\end{eqnarray*}

Die gesuchte Fläche beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[32]{FE}$}

\newpage %-----------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades $f(x)$ hat einen Wendepunkt bei $x_w=3$ mit der
Wendetangente \mbox{$f_1(x)=-6x+22$}. Die $y$-Achse schneidet der Graph des
Polynoms bei \mbox{$y_0=-32$}. Berechnen Sie die Fläche zwischen der $x$-Achse
und dem Graphen von $f(x)$.

\paragraph{Aufstellen der Funktionsgleichung:}
Benötigt wird die Grundfunktion sowie die ersten beiden Ableitungen des
Polynoms.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+2b \\
\end{array}\]

Aus dem Wendepunkt bei $x_w=3$ erhält man:
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(1)& f''(3)&=&0 &\Rightarrow& 6a \cdot 3+2b&=&0 \\
\end{array}\]
Die Wendetangente liefert gleich zwei Bedingungen -- den $y$-Wert am Wendepunkt
und die Steigung dort. Diese Werte bestimme ich vorab.
\[f_1(3)=-6 \cdot 3+22=4\]
\[f_1'(3)=m=-6\]
Mit diesen Werten können nun die Bedingungen aufgestellt werden.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(2)& f(3)&=&f_1(3) &\Rightarrow& a \cdot 3^3+b \cdot 3^2+c \cdot 3+d&=&4 \\
(3)& f'(3)&=&f'_1(3) &\Rightarrow& 3a \cdot 3^2+2b \cdot 3+c&=&-6 \\
\end{array}\]
Die letzte Bedingung liefert der $y$-Achsenabschnitt.
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(4)& f(0)&=&-32 &\Rightarrow& a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d&=&-32 \\
\end{array}\]
Fasst man die Gleichungen zusammen, erhält man folgendes Gleichungssystem 4.
Ordnung:
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1)&  18a&+2b&&&=&0 \\
(2)&  27a&+9b&+3c&+d&=&4 \\
(3)&  27a&+6b&+c&&=&-6 \\
(4)&  &&&d&=&-32 \\
\hline
\end{array}\]
Aus Gleichung (4) ist $d$ schon bekannt. Der Wert wird sofort in (2)
eingesetzt. Bringt man in Gleichung (2) den eingesetzten Wert von $-32$ sofort
auf die andere Gleichungsseite, erhält man folgendes Gleichungssystem 3.
Ordnung:
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1)&  18a&+2b&&=&0 \\
(2)&  27a&+9b&+3c&=&36 \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 \\
\hline
\end{array}\]
Für die weitere Lösung ist es günstig, dass $c$ nur in \textbf{zwei}
Gleichungen vorkommt. Man sollte also versuchen, die Variable $c$ zuerst zu
eliminieren. Dies könnte mit dem Einsetzungsverfahren, aber auch mit dem
Additions-/Subtraktionsverfahren durchgeführt werden. Ich entscheide mich für
letzteres und dividiere dazu Gleichung (2) durch 3. Dann kann (2) von (3)
subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrcll}
(2)&  27a&+9b&+3c&=&36 &|:3 \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 \\
\hline
(2)&   9a&+3b&+c&=&12 &|- \\
(3)&  27a&+6b&+c&=&-6 &|\\
\hline
(5)&  18a&+3b&&=&-18 \\
\end{array}\]
Mit Gleichung (1) und (5) bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrcr|}
\hline
(1)&  18a&+2b&=&0 \\
(5)&  18a&+3b&=&-18 \\
\hline
\end{array}\]
Hier bietet sich sofort das Subtraktionsverfahren an, da die Koeffizienten von
$a$ gleich sind.
\[\begin{array}{lrrcrl}
(1)&  18a&+2b&=&0  &|-\\
(5)&  18a&+3b&=&-18&| \\
\hline
(6)&     &  b&=&-18 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis setze ich in (1) ein.
\[\begin{array}{lrcll}
(1)& 18a+2b&=&0 \\
   & 18a+2 \cdot (-18)&=&0 \\
   & 18a-36&=&0 &|+36 \\
   & 18a&=&36 &|:18 \\
   &   a&=&2 \\
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $c$ verwende ich die umgestellte Gleichung (2).
\[\begin{array}{lrcll}
(2)&   9a+3b+c&=&12 \\
&   9 \cdot 2+3 \cdot (-18)+c&=&12 \\
& 18-54+c&=&12 \\
& -36+c&=&12 &|+36 \\
&     c&=&48 \\
\end{array}\]
Hiermit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^3-18x^2+48x-32$}

\paragraph{Nullstellenbestimmung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
2x_0^3-18x_0^2+48x_0-32&=&0 &|:2 \\
x_0^3-9x_0^2+24x_0-16&=&0 \\
\end{array}\]
Da wir kein analytisches Lösungsverfahren für eine Kubische Gleichung haben,
muss eine Lösung durch planvolles Raten ermittelt werden. Man erhält so z. B.
\mbox{$x_{01}=1$}. Damit ist eine \textbf{Polynomdivision} möglich.
\[\begin{array}{rrrr}
(x_0^3&-9x_0^2\ &+24x_0\ &-16) \\
-(x_0^3&-x_0^2) \\
\hline
&-8x_0^2\ &+24x_0\ &-16) \\
-&(-8x_0^2\ &+8x_0) \\
\hline
&&16x_0\ &-16\ \\
&-&(16x_0\ &-16) \\
\hline
&&&0\ \\
\end{array}\begin{array}{cccc}
:&(x_0-1)&=&x_0^2-10x_0+16 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

Alle weiteren Nullstellen liegen jetzt in dem Ergebnisterm.
\[\begin{array}{rcll}
x_0^2-8x_0+16&=&0 \\
x_{02/3}&=&4 \pm \sqrt{4^2-16}\\
&=&4 \pm 0 \\
x_{02}&=&4 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann der Funktionsgraph skizziert werden.\\
\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.6,-2.8)(5.8,9.6)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1pt]{1}{4}
     {x 3 exp 2 mul x x mul 18 mul sub 48 x mul add 32 sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(1,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.6,-2.8)(5.8,9.6)
  \uput[-90](5.7,0){x}  \uput[180](0,9.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {0.6}{5.2}{x 3 exp 2 mul x x mul 18 mul sub 48 x mul add 32 sub}
  \pscircle*(1,0){2pt} \uput[145](1,0){$P_1$}
  \pscircle*(4,0){2pt} \uput[-45](4,0){$P_2$}
  \uput[45](3,4){\textcolor{red}{$f$}}
  \uput[90](2.4,2){\Large $A$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\paragraph{Berechnung der Fläche:}
Die Funktionsgleichung und die Nullstellen sind bekannt. Damit kann das
Integral zur Flächenberechnung aufgestellt werden.

\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_{01}}^{x_{02}}f(x)\ dx \\
&=&\int \limits_1^4 2x^3-18x^2+48x-32\ dx \\
&=&\left[\frac{1}{2}x^4-6x^3+24x^2-32x \right]_1^4 \\
&=&\left(\frac{1}{2} \cdot 4^4-6 \cdot 4^3+24 \cdot 4^2-32 \cdot 4 \right)
  -\left(\frac{1}{2} \cdot 1^4-6 \cdot 1^3+24 \cdot 1^2-32 \cdot 1 \right) \\
&=&0-(-13{,}5) \\
A&=&\unit[13{,}5]{FE}\\
\end{eqnarray*}

Die gesuchte Fläche beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$A=\unit[13{,}5]{FE}$}

\newpage %----------------------------------------------------


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{$$} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
