\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{color}
\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung

\begin{document}

\section*{Wie stellt man eine Gleichung um?}
Umstellen von Gleichungen stellt für manche immer wieder ein Problem dar. Daher
soll hier versucht werden, das Umstellen zu systematisieren. \\ \\
Ich empfehle, sich folgende vier Fragen in dieser Reihenfolge zu stellen und zu
beantworten:
\begin{enumerate}
\item \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}
\item \textbf{Wie lauten die Teilterme?}
\item \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite bringen?}
\item \textbf{Wie mache ich das?}
\end{enumerate}
Um die Fragen beantworten zu können, dienen nachfolgende Erläuterungen.
\paragraph*{1. Welcher Typ von Term liegt vor?\\}
Es gibt \emph{Summen, Produkte} und \emph{Quotienten}. \\
\emph{Frage:} Woran kann ich die unterscheiden? \\
\emph{Antwort:} Die Rechenoperation, die als \textbf{letzte} ausgeführt wird,
bestimmt die Art des Terms. Wir nehmen dazu an, alle vorkommenden Variablen und
Parameter (also alle Buchstaben) seien bekannte Zahlen, und wir müssen
ausrechnen, was auf einer Seite der Gleichung steht. Auf jeder Seite der
Gleichung steht ein solcher Term. Wird zuletzt \emph{addiert}, dann haben wir
eine \emph{Summe}; wird zuletzt \emph{multipliziert}, dann haben wir ein
\emph{Produkt}. Wenn auf der Seite der Gleichung, die wir betrachten, ein Bruch
steht, dann wird zuletzt \emph{dividiert}, wir haben also einen
\emph{Quotienten}. \\
Achtung: Ein Minuszeichen steht auch für eine Summe, es wird dann eben eine
negative Zahl addiert! \\
Beispiele:
\begin{eqnarray*}
3 \cdot x \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Produkt} \\
3+x  \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Summe} \\
\frac{x}{3} \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Quotient} \\
3 \cdot x+2 \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Summe} \\
3 \cdot (x+2) \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Produkt} \\
3 \cdot \frac{x}{2} \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Produkt} \\
\frac{x-2}{3} \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Quotient} \\
\frac{x}{3}-2 \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Summe} \\
3 \cdot a+2 \cdot b \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Summe} \\
3 \cdot (a+2 \cdot b) \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Produkt} \\
3 \cdot (a+2) \cdot b \qquad &\Rightarrow& \qquad \textnormal{Produkt}
\end{eqnarray*}
\newpage %---------------------------------------------------
Wir machen ein paar Übungen dazu. Angegeben sind jetzt jeweils komplette
Gleichungen. Geben Sie jeweils an, um welche Art Term es
sich auf der linken bzw. auf der rechten Seite der Gleichung handelt.
\begin{eqnarray*}
2x+3=8x-7 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \qquad \qquad \qquad \\
2x-3=3-x \cdot 9 \cdot x+4 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
2(x+3)=4(x-5) \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
(x+2) \cdot 3-4x=(x-5) \cdot 8 \qquad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
\frac{3}{x}=\frac{1}{3}x \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
\frac{2x}{3}-\frac{x}{5}=x-1 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
x-\frac{x}{2x}=\frac{x}{-7} \cdot 4x \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:} \qquad \qquad \qquad
   \textnormal{rechts:} \\
\end{eqnarray*}
(Auf der nächsten Seite stehen die Lösungen.)
\newpage  %-------------------------------------------------------
Hier die Lösungen zu den Fragen.
\begin{eqnarray*}
2x+3=8x-7 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links: Summe, }
   \textnormal{ rechts: Summe}  \\
2x-3=3-x \cdot 9 \cdot x+4 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links: Summe, }
   \textnormal{ rechts: Summe} \\
2(x+3)=4(x-5) \quad &\Rightarrow& \textnormal{links: Produkt,}
   \textnormal{ rechts: Produkt} \\
(x+2) \cdot 3-4x=(x-5) \cdot 8 \qquad &\Rightarrow& \textnormal{links: Summe, }
   \textnormal{ rechts: Produkt} \\
\frac{3}{x}=\frac{1}{3}x \quad &\Rightarrow& \textnormal{links: Quotient,}
   \textnormal{ rechts: Produkt} \\
\frac{2x}{3}-\frac{x}{5}=x-1 \quad &\Rightarrow& \textnormal{links: Summe, }
   \textnormal{ rechts: Summe} \\
x-\frac{x}{2x}=\frac{x}{-7} \cdot 4x \quad &\Rightarrow& \textnormal{links:
   Summe, } \textnormal{ rechts: Produkt} \\
\end{eqnarray*}

\paragraph*{2. Wie lauten die Teilterme?\\}
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, warum es wichtig ist zu wissen, ob es
sich um eine Summe, ein Produkt oder einen Quotienten handelt. Die Antwort ist
ganz einfach: Ich kann jede Seite der Gleichung in Teilterme zerlegen, die dann
die Summe, das Produkt oder den Quotienten bilden. Wichtig:\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Beim
Umstellen kann ich nur einen \underline{kompletten} Teilterm auf die andere
Seite bringen!} \\ \\
Zur Frage, wie denn diese Teilterme aussehen, folgen ein paar Beispiele. \\
\begin{eqnarray*}
3 \cdot x \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad x \\
3+x  \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad x \\
\frac{x}{3} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Quotient; Teilterme: }
  \quad x \quad \textnormal{und} \quad 3 \\
3 \cdot x+2 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: }
  \quad 3  \cdot x \quad \textnormal{und} \quad 2 \\
3 \cdot (x+2) \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad (x+2) \\
3 \cdot \frac{x}{2} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad \frac{x}{2} \\
\frac{x-2}{3} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Quotient; Teilterme: }
  \quad x-2 \quad \textnormal{und} \quad 3 \\
\frac{x}{3}-2 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: }
  \quad \frac{x}{3} \quad \textnormal{und} \quad -2 \\
3 \cdot a+2 \cdot b \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: }
  \quad 3 \cdot a \quad \textnormal{und} \quad 2 \cdot b \\
3 \cdot (a+2 \cdot b) \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad (a+2 \cdot b) \\
3 \cdot (a+2) \cdot b \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: }
  \quad 3 \quad \textnormal{und} \quad (a+2) \quad \textnormal{und} \quad b
\end{eqnarray*}
\newpage %---------------------------------------------------
Das wollen wir ein wenig üben. Geben Sie bitte zu allen angegebenen Termen die
Termart (Summe, Produkt, Quotient) an und schreiben Sie die Teilterme auf!
\begin{eqnarray*}
2x+3 \quad &\Rightarrow& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\
8x-7 \quad &\Rightarrow& \\
2x-3 \quad &\Rightarrow& \\
3-x \quad &\Rightarrow& \\
2(x+3) \quad &\Rightarrow& \\
4(x-5) \quad &\Rightarrow& \\
(x+2) \cdot 3-4x \quad &\Rightarrow& \\
x-5 \quad &\Rightarrow& \\
\frac{1}{3}x \quad &\Rightarrow& \\
\frac{3}{x} \quad &\Rightarrow& \qquad \\
x-1 \quad &\Rightarrow& \\
\frac{2x}{3}-\frac{x}{5} \quad &\Rightarrow& \\
x-\frac{x}{2x} \quad &\Rightarrow& \\
\frac{x}{-7} \quad &\Rightarrow& \\
\end{eqnarray*}
(Auf der nächsten Seite stehen die Lösungen.)
\newpage %---------------------------------------------------
Hier die Lösungen:
\begin{eqnarray*}
2x+3 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  2x \quad \textnormal{und} \quad 3 \\
8x-7 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  8x \quad \textnormal{und} \quad -7 \\
2x-3 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  2x \quad \textnormal{und} \quad -3 \\
3-x \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  3 \quad \textnormal{und} \quad -x \\
2(x+3) \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: } \quad
  2 \quad \textnormal{und} \quad (x+3) \\
4(x-5) \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: } \quad
  4 \quad \textnormal{und} \quad (x-5) \\
(x+2) \cdot 3-4x \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  (x+2) \cdot 3 \quad \textnormal{und} \quad -4x \\
x-5 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  x \quad \textnormal{und} \quad -5 \\
\frac{1}{3}x \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Produkt; Teilterme: } \quad
  \frac{1}{3} \quad \textnormal{und} \quad x \\
\frac{3}{x} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Quotient; Teilterme: } \quad
  3 \quad \textnormal{und} \quad x \\
x-1 \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  x \quad \textnormal{und} \quad -1 \\
\frac{2x}{3}-\frac{x}{5} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  \frac{2x}{3} \quad \textnormal{und} \quad -\frac{x}{5} \\
x-\frac{x}{2x} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Summe; Teilterme: } \quad
  x \quad \textnormal{und} \quad -\frac{x}{2x} \\
\frac{x}{-7} \quad &\Rightarrow& \quad \textnormal{Quotient; Teilterme: } \quad
  x \quad \textnormal{und} \quad -7 \\
\end{eqnarray*}
Na, war alles richtig? Wenn nein, bitte überlegen,
warum es nicht richtig war und noch einmal versuchen.
\paragraph*{3. Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite bringen?\\}
Diese Frage ist nicht grundsätzlich mit \emph{richtig} oder \emph{falsch} zu
beantworten. \emph{Zweckmäßig} oder \emph{nicht zweckmäßig} wären die
Kategorien. Es kommt nämlich nicht nur darauf an, alles \emph{richtig} zu
machen, wichtig ist auch ein \emph{zielstrebiges} Vorgehen. Das wiederum
bedeutet, dass man ein Ziel haben muss. Dieses Ziel lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Alle Terme mit $x$ auf die eine
und alle Terme ohne $x$ auf die andere Seite bringen.}
\end{center}
Dabei ist es grundsätzlich unerheblich, ob wir alles mit $x$ nach links oder
nach rechts sortieren, wichtig ist aber, dass wir das Ordnungsprinzip
\emph{konsequent} durchhalten.\\ \\
\textbf{Damit wir ein möglichst systematisiertes
Verfahren bekommen, an dem sich der unsichere Rechner orientieren kann, werde
ich im folgenden immer alle Terme mit $x$ auf die linke Seite sortieren, und
alle Terme ohne $x$ auf die rechte.}\\ \\
\newpage %----------------------------------
Ein Beispiel:
\[2x-7=4x+5\]
Ich gehe die Fragen, die schon am Anfang formuliert wurden, der Reihe nach
durch.\\ \\
\emph{Frage 1:} \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}\\
\emph{Antwort:} Wir haben auf beiden Seiten der Gleichung eine Summe.\\ \\
\emph{Frage 2:} \textbf{Wie lauten die Teilterme?}\\
\emph{Antwort:} Links: $2x$ und $-7$, rechts: $4x$ und 5.\\ \\
\emph{Frage 3:} \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite
   bringen?}\\
\emph{Antwort:} Da ich alles mit $\mathbf{x}$ auf die linke Seite bringen
möchte, steht der Term $\mathbf{2x}$ dort schon richtig. Der Term $\mathbf{-7}$
muss auf die rechte Seite gebracht werden, da er kein $\mathbf{x}$ enthält. Auf
der rechten Seite stört der Term $\mathbf{4x}$, er muss ebenfalls die Seite
wechseln, weil er ein $\mathbf{x}$ enthält. Dagegen ist der letzte Term
$\mathbf{5}$ schon auf der richtigen Seite.

\paragraph*{4. Wie mache ich das?\\}
Wir sind jetzt an dem Punkt angekommen, wo feststeht, welche Teilterme die
Seite wechseln sollen. Nun geht es darum, wie das geht. Die Regel lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Man muss immer die \underline{gegenteilige}
Rechenoperation anwenden zu der Operation,}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{mit der der Teilterm mit dem Rest verbunden ist.}
\end{center}
Wenden wir das auf unser Beispiel an. Die Terme $\mathbf{-7}$ und $\mathbf{4x}$
müssen die Seite wechseln, wie bereits besprochen. Der erste Term $\mathbf{-7}$
ist Teil einer \textbf{Summe}. Das \textbf{Gegenteil} vom Addieren ist das
Subtrahieren. also muss der Teilterm \textbf{subtrahiert} werden. Da er selbst
\textbf{negativ} ist, muss ich entsprechend $-(-7)$ rechnen, also
zusammengefasst $+7$. Ähnliches gilt auch für den anderen Teilterm
$\mathbf{4x}$. Hier muss $4x$ subtrahieret werden, also $-4x$.
Das führen wir durch:
\begin{eqnarray*}
2x-7&=&4x+5 \ \mid \ +7 \\
2x-7+7&=&4x+5+7 \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
2x&=&4x+12 \ \mid \ -4x \\
2x-4x&=&4x+12-4x\ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
-2x&=&12
\end{eqnarray*}
Damit ist der erste Sortiervorgang abgeschlossen, das Spiel beginnt wieder von
vorn. \\ \\
\newpage %-----------------------------------
So weit waren wir schon:
\[-2x=12\]
Jetzt stellen wir uns wieder die vier Fragen: \\ \\
\emph{Frage 1:} \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}\\
\emph{Antwort:} Wir haben auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt,
rechts ist nichts weiter zerlegbar.\\ \\
\emph{Frage 2:} \textbf{Wie lauten die Teilterme?}\\
\emph{Antwort:} Links: $-2$ und $x$, rechts gibt es keine. \\ \\
\emph{Frage 3:} \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite
   bringen?}\\
\emph{Antwort:} Da ich alles mit $\mathbf{x}$ auf die linke Seite bringen
möchte, stört nur noch der Teilterm $-2$ vor dem $x$. Den möchte ich nach
rechts bringen. \\ \\
\emph{Frage 4:} \textbf{Wie mache ich das?} \\
\emph{Antwort:} Da links ein Produkt steht, suche ich das Gegenteil davon. Das
Gegenteil vom Multiplizieren ist das Dividieren, also muss ich durch $(-2)$
dividieren, um diesen Teilterm links wegzubekommen.
\begin{eqnarray*}
-2x&=&12 \ \mid \ :(-2) \\
\frac{-2x}{-2}&=&\frac{12}{-2} \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
x&=&-6
\end{eqnarray*}
Damit hätten wir schon die Lösung gefunden! \\ \\
\paragraph*{Ein weiteres Beispiel:\\}
\[2(x+3)-3(x+5)=x+7\]
Wenn wir uns jetzt die vier Fragen stellen, werden wir schnell feststellen,
dass auf jeder Seite eine Summe steht, und dass in fast jedem Term $x$
vorkommt. Das ist nicht besonders hilfreich. Deswegen erweitern wir jetzt unser
Lösungs-Rezept um folgende Regel:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Wenn die Gleichung Klammern enthält, sollte man diese zuerst auflösen.}
\end{center}
Das tun wir und fassen anschließend gleich zusammen, was zusammenpasst.
\begin{eqnarray*}
2(x+3)-3(x+5)&=&x+7 \ \mid \ \textnormal{Klammern auflösen} \\
2 \cdot x+2 \cdot 3-3 \cdot x-3 \cdot 5&=&x+7 \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
2x+6-3x-15&=&x+7 \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
-x-9&=&x+7
\end{eqnarray*}
Jetzt können wir sinnvoll mit unseren vier Fragen beginnen.
\newpage %------------------------------------
\[-x-9=x+7\]
\emph{Frage 1:} \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}\\
\emph{Antwort:} Wir haben auf beiden Seite der Gleichung eine Summe.\\ \\
\emph{Frage 2:} \textbf{Wie lauten die Teilterme?}\\
\emph{Antwort:} Links: $-x$ und $-9$, rechts: $x$ und 7.\\ \\
\emph{Frage 3:} \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite
   bringen?}\\
\emph{Antwort:} Da ich alles mit $\mathbf{x}$ auf die linke Seite bringen
möchte, stört links noch der Teilterm $\mathbf{-9}$ und rechts $\mathbf{x}$.
Die möchte ich beide auf die andere Seite bringen. \\ \\
\emph{Frage 4:} \textbf{Wie mache ich das?} \\
\emph{Antwort:} Da beidseitig eine Summe steht, suche ich das Gegenteil davon.
Das ist das Subtrahieren. Ich muss demnach $\mathbf{-9}$ und $\mathbf{x}$
subtrahieren, also $\mathbf{-(-9)-x}$ oder zusammengefasst $\mathbf{+9-x}$. Man
kann das auch gleichzeitig machen:
\begin{eqnarray*}
-x-9&=&x+7 \ \mid \ +9-x \\
-x-9+9-x&=&x+7+9-x \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
-2x&=&16
\end{eqnarray*}
Der erste Schritt ist erledigt. Die vier Fragen beginnen wieder von vorn. \\ \\
\emph{Frage 1:} \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}\\
\emph{Antwort:} Wir haben auf der linken Seite der Gleichung ein Produkt,
rechts ist nichts weiter zerlegbar.\\ \\
\emph{Frage 2:} \textbf{Wie lauten die Teilterme?}\\
\emph{Antwort:} Links: $-2$ und $x$, rechts gibt es keine. \\ \\
\emph{Frage 3:} \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite
   bringen?}\\
\emph{Antwort:} Da ich alles mit $\mathbf{x}$ auf die linke Seite bringen
möchte, stört nur noch der Teilterm $-2$ vor dem $x$. Den möchte ich nach
rechts bringen. \\ \\
\emph{Frage 4:} \textbf{Wie mache ich das?} \\
\emph{Antwort:} Da links ein Produkt steht, suche ich das Gegenteil davon. Das
Gegenteil vom Multiplizieren ist das Dividieren, also muss ich durch $(-2)$
dividieren, um diesen Teilterm links wegzubekommen.
\begin{eqnarray*}
-2x&=&16 \ \mid \ :(-2) \\
\frac{-2x}{-2}&=&\frac{16}{-2} \ \mid \ \textnormal{ausrechnen} \\
x&=&-8
\end{eqnarray*}
Das wars!
\newpage %--------------------------------------
Ein weiteres Beispiel.
\[\frac{x}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\]
Hier haben ein neues Problem. Das Rechnen mit Brüchen ist meist nicht so
angenehm. Daher empfehle ich als weiteres Rezept:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{Eine Gleichung mit Brüchen sollte man zunächst mit dem} \\
\fcolorbox{red}{yellow}
{Hauptnenner multiplizieren. Dadurch fallen die Brüche weg.}
\end{center}
Der Hauptnenner der drei Nenner 2, 3 und 6 ist 6. Ich multipliziere die
Gleichung also mit 6.
\begin{eqnarray*}
\frac{x}{3}-\frac{2}{3}&=&\frac{1}{6}x+\frac{1}{2} \ \mid \ \cdot 6 \\
\frac{x}{3} \cdot 6-\frac{2}{3} \cdot 6&=&\frac{1}{6}x \cdot 6+\frac{1}{2}
  \cdot 6 \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen} \\
\frac{x \cdot 6}{3}-\frac{2 \cdot 6}{3}&=&\frac{1 \cdot x \cdot 6}{6}
  +\frac{1 \cdot 6}{2} \ \mid \ \textnormal{kürzen, zusammenfassen} \\
2x-4&=&x+3
\end{eqnarray*}
Jetzt kann die Gleichung mit den bekannten Methoden weiter lösen.\\ \\
\emph{Frage 1:} \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}\\
\emph{Antwort:} Wir haben auf beiden Seiten der Gleichung eine Summe.\\ \\
\emph{Frage 2:} \textbf{Wie lauten die Teilterme?}\\
\emph{Antwort:} Links: $2x$ und $-4$, rechts: $x$ und 3.\\ \\
\emph{Frage 3:} \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die andere Seite
   bringen?}\\
\emph{Antwort:} Da ich alles mit $\mathbf{x}$ auf die linke Seite bringen
möchte, stört links der Teilterm $-4$. Den möchte ich nach rechts bringen.
Rechts haben wir noch $x$, das muss nach links. \\ \\
\emph{Frage 4:} \textbf{Wie mache ich das?} \\
\emph{Antwort:} Da links und rechts eine Summe steht, suche ich das Gegenteil
vom Addieren. Das ist das Subtrahieren, also muss ich $-4$ und $x$
subtrahieren. Konkret bedeutet das: $-(-4)-x$ oder zusammengefasst $+4-x$.
\begin{eqnarray*}
2x-4&=&x+3 \ \mid \ +4-x \\
2x-4+4-x&=&x+3+4-x \ \mid \ \textnormal{zusammenfassen}\\
x&=&7
\end{eqnarray*}
\newpage %------------------------------------------------------------
\pagecolor{yellow}
Stellen wir noch einmal das komplette Lösungsrezept zusammen.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Eine Gleichung mit Brüchen sollte man zunächst mit dem
  Hauptnenner multiplizieren. Dadurch fallen die Brüche weg.}
\item \textbf{Wenn die Gleichung Klammern enthält, sollte man diese zuerst
  auflösen.}
\item \emph{Frage} beantworten: \textbf{Welcher Typ von Term liegt vor?}
\item \emph{Frage} beantworten: \textbf{Wie lauten die Teilterme?}
\item \emph{Frage} beantworten: \textbf{Welchen Teilterm möchte ich auf die
  andere Seite bringen?}
\item \emph{Frage} beantworten: \textbf{Wie mache ich das?}
\end{enumerate}
Mit diesen Rezepten sollte es eigentlich möglich sein, (fast) jede Gleichung zu
lösen.
\newpage %----------------------------------------------
\pagecolor{white}
\section*{Übungsaufgaben}
\subparagraph*{Aufgabe 1}  \[2x-4=3x+5\]
\subparagraph*{Aufgabe 2}  \[3x+7=2x+11\]
\subparagraph*{Aufgabe 3}  \[-2x+4=-5x-5\]
\subparagraph*{Aufgabe 4}  \[7-2x=3x-3\]
\subparagraph*{Aufgabe 5}  \[2(x+3)-4=2(3-2x)-16\]
\subparagraph*{Aufgabe 6}  \[(x-2) \cdot 3=5 \cdot (x-4)+6\]
\subparagraph*{Aufgabe 7}  \[\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}x+2\]
\subparagraph*{Aufgabe 8}  \[\frac{x+2}{3}=\frac{x-5}{2}\]
\subparagraph*{Aufgabe 9}  \[\frac{x-5}{4}=\frac{x+2}{6}\]
\subparagraph*{Aufgabe 10}  \[x-4\frac{x+1}{2}=5\]
\subparagraph*{Aufgabe 11}
    \[\frac{1}{2} \cdot (x+2)-\frac{3}{4} \cdot (x-1)=\frac{1}{4} \cdot(2x-3)\]
\subparagraph*{Aufgabe 12} \[\frac{2x-4}{4}-\frac{5x-6}{2}=-\frac{13x+2}{8}\]
\newpage %----------------------------------------------
\section*{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subparagraph*{Aufgabe 1}
\begin{eqnarray*}
2x-4&=&3x+5 \ \mid -3x+4 \\
-x&=&9 \ \mid :(-1) \\
x&=&-9
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray*}
3x+7&=&2x+11 \ \mid -2x-7 \\
x&=&4
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 3}
\begin{eqnarray*}
-2x+4&=&-5x-5 \ \mid -4+5x \\
3x&=&-9 \ \mid :3 \\
x&=&-3
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 4}
\begin{eqnarray*}
7-2x&=&3x-3 \ \mid -7-3x \\
-5x&=&-10 \ \mid :(-5) \\
x&=&2
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 5}
\begin{eqnarray*}
2(x+3)-4&=&2(3-2x)-16 \ \mid \textnormal{Klammern auflösen}\\
2x+6-4&=&6-4x-16 \ \mid \textnormal{zusammenfassen}\\
2x+2&=&-4x-10 \ \mid -2+4x \\
6x&=&-12 \ \mid :6 \\
x&=&-2
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 6}
\begin{eqnarray*}
(x-2) \cdot 3&=&5 \cdot (x-4)+6 \ \mid \textnormal{Klammern auflösen}\\
3x-6&=&5x-20+6 \ \mid \textnormal{zusammenfassen}\\
3x-6&=&5x-14 \ \mid +6-5x \\
-2x&=&-8 \ \mid :(-2) \\
x&=&4
\end{eqnarray*}
\newpage %---------------------------------------
\subparagraph*{Aufgabe 7}
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}&=&\frac{1}{3}x+2 \ \mid \cdot 6
  \textnormal{ (Hauptnenner)}\\
\frac{6}{2}x-\frac{2 \cdot 6}{3}&=&\frac{6}{3}x+2 \cdot 6 \ \mid
  \textnormal{kürzen und ausmultiplizieren}\\
3x-4&=&2x+12 \ \mid -2x+4 \\
x&=&16
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 8}
\begin{eqnarray*}
\frac{x+2}{3}&=&\frac{x-5}{2} \ \mid \cdot 6
  \textnormal{ (Hauptnenner)}\\
\frac{(x+2) \cdot 6}{3}&=&\frac{(x-5) \cdot 6}{2} \ \mid
  \textnormal{kürzen}\\
(x+2) \cdot 2&=&(x-5) \cdot 3 \ \mid \textnormal{Klammern auflösen}\\
2x+4&=&3x-15 \ \mid -3x-4 \\
-x&=&-19 \ \mid :(-1) \\
x&=&19
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 9}
\begin{eqnarray*}
\frac{x-5}{4}&=&\frac{x+2}{6} \ \mid \cdot 12\\
\frac{(x-5) \cdot 12}{4}&=&\frac{(x+2) \cdot 12}{6} \ \mid
  \textnormal{kürzen}\\
(x-5) \cdot 3&=&(x+2) \cdot 2 \mid \textnormal{Klammern auflösen}\\
3x-15&=&2x+4 \ \mid +15-2x \\
x&=&19
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 10}
\begin{eqnarray*}
x-4\frac{x+1}{2}&=&5 \ \mid \cdot 2 \\
2x-4(x+1)&=&2 \cdot 5 \ \mid \textnormal{ausmultiplizieren}\\
2x-4x-4&=&10 \ \mid \textnormal{zusammenfassen}\\
-2x-4&=&10 \ \mid +4 \\
-2x&=&14 \ \mid :(-2) \\
x&=&-7
\end{eqnarray*}
\newpage %---------------------------------------
\subparagraph*{Aufgabe 11}
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2} \cdot (x+2)-\frac{3}{4} \cdot (x-1)&=&\frac{1}{4} \cdot(2x-3)
  \ \mid \cdot 4 \\
\frac{4}{2} \cdot (x+2)-\frac{12}{4} \cdot (x-1)&=&\frac{4}{4} \cdot(2x-3)
  \ \mid \textnormal{kürzen} \\
2 \cdot (x+2)-3 \cdot (x-1)&=&1 \cdot (2x-3)
  \ \mid \textnormal{ausmultiplizieren} \\
2x+4-3x+3&=&2x-3 \ \mid \textnormal{zusammenfassen} \\
-x+7&=&2x-3 \ \mid -7-2x \\
-3x&=&-10 \ \mid :(-3) \\
x&=&\frac{10}{3}
\end{eqnarray*}
\subparagraph*{Aufgabe 12}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x-4}{4}-\frac{5x-6}{2}&=&-\frac{13x+2}{8} \ \mid \cdot 8 \\
\frac{8 \cdot (2x-4)}{4}-\frac{8 \cdot (5x-6)}{2}&=&-\frac{8 \cdot (13x+2)}{8}
   \ \mid \textnormal{kürzen} \\
2 \cdot (2x-4)-4 \cdot (5x-6)&=&-(13x+2) \ \mid \textnormal{Klammern auflösen}\\
4x-8-20x+24&=&-13x-2 \ \mid \textnormal{zusammenfassen}\\
-16x+16&=&-13x-2 \ \mid -16+13x \\
-3x&=&-18 \ \mid :(-3) \\
x&=&6
\end{eqnarray*}
\end{document}
