\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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%\usepackage{picinpar} % Paket für Umfließen der Grafik
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}

\section*{Lösung einfacher Gleichungen}
Am Beispiel folgender Aufgabe wollen wir das Lösungsprinzip einfacher
Gleichungen darstellen.
\[6x+5=4x-1\]
Die erste Frage, die man sich immer stellen muss: \\
\emph{Auf welche Seite wollen wir alles \textbf{mit} $x$, und auf welche Seite
alles \textbf{ohne} $x$ sortieren?} \\ \\
Nehmen wir an, wir wollen alles mit $x$ nach links bringen, dann muss der Term
$4x$ von der rechten Seite auf die linke. \\
Frage: \emph{Wie macht man das?}\\
Antwort: Immer mit der \textbf{gegensätzlichen} Rechenoperation. \\
Der Term $4x$ hat ein Pluszeichen vor sich stehen (das man freilich auch
weglassen darf). Das Gegenteil ist \textbf{Minus}. Wir müssen also $4x$ auf
beiden Seiten subtrahieren, also:
\[6x+5=4x-1 \mid -4x\]
\[6x-4x+5=-1\]
\[2x+5=-1\]
Nun muss noch die 5 von der linken Seite auf die rechte. \\
Frage: \emph{Wie macht man das?}\\
Antwort: Immer mit der \textbf{gegensätzlichen} Rechenoperation. \\
Vor der 5 steht ein Plus, also müssen wir auf beiden Seiten subtrahieren:
\[2x+5=-1 \mid -5\]
\[2x=-1-5\]
\[2x=-6\]
Frage: \emph{Was stört uns jetzt noch?} \\
Antwort: Die 2 vor dem $x$. Die müssen wir da wegbekommen. \\
Frage: \emph{Wie macht man das?}\\
Antwort: Immer mit der \textbf{gegensätzlichen} Rechenoperation. \\
Die 2 ist mit dem $x$ durch einen Mal-Punkt verbunden, den man freilich auch
weglassen darf. Das Gegenteil vom Multiplizieren ist das Dividieren. Wir
dividieren also beide Seiten durch 2: \\
\[2x=-6 \mid :2\]
\[x=-3\]
\newpage
\section*{Übungsaufgaben dazu:}
\paragraph*{Aufgabe 1:}  \[5x-4=2x+5\]
\paragraph*{Aufgabe 2:}  \[8x-2=3x+8\]
\paragraph*{Aufgabe 3:}  \[10x+4=6x+44\]
\paragraph*{Aufgabe 4:}  \[12x+4=2x-36\]
\paragraph*{Aufgabe 5:}  \[13x+4=49-2x\]
\paragraph*{Aufgabe 6:}  \[3x-5=5x-9\]
\paragraph*{Aufgabe 7:}  \[5x+17=-6x+6\]
\paragraph*{Aufgabe 8:}  \[2x+7=5x+8\]
\paragraph*{Aufgabe 9:}  \[6x+3-2x=7x-9\]
\paragraph*{Aufgabe 10:}  \[5-5x+2=4-3x+3\]
\newpage
\section*{Hier die Ergebnisse:}
\paragraph*{Aufgabe 1:}  \[x=3\]
\paragraph*{Aufgabe 2:}  \[x=2\]
\paragraph*{Aufgabe 3:}  \[x=10\]
\paragraph*{Aufgabe 4:}  \[x=-4\]
\paragraph*{Aufgabe 5:}  \[x=3\]
\paragraph*{Aufgabe 6:}  \[x=2\]
\paragraph*{Aufgabe 7:}  \[x=-1\]
\paragraph*{Aufgabe 8:}  \[x=-\frac{1}{3}\]
\paragraph*{Aufgabe 9:}  \[x=4\]
\paragraph*{Aufgabe 10:}  \[x=0\]

\newpage
\section*{Hier die kompletten Lösungen:}
\paragraph*{Aufgabe 1:}
\[5x-4=2x+5 \mid -2x+4\]
\[3x=9 \mid :3\]
\[x=3\]
\paragraph*{Aufgabe 2:}
\[8x-2=3x+8 \mid -3x+2\]
\[5x=10 \mid:5\]
\[x=2\]
\paragraph*{Aufgabe 3:}
\[10x+4=6x+44 \mid-6x-4\]
\[4x=40 \mid :4\]
\[x=10\]
\paragraph*{Aufgabe 4:}
\[12x+4=2x-36 \mid -2x-4\]
\[10x=-40 \mid:10\]
\[x=-4\]
\paragraph*{Aufgabe 5:}
\[13x+4=49-2x \mid+2x-4\]
\[15x=45 \mid:15\]
\[x=3\]
\paragraph*{Aufgabe 6:}
\[3x-5=5x-9 \mid-5x+5\]
\[-2x=-4 \mid :(-2)\]
\[x=2\]
\paragraph*{Aufgabe 7:}
\[5x+17=-6x+6 \mid+6x-17\]
\[11x=-11 \mid:11\]
\[x=-1\]
\paragraph*{Aufgabe 8:}
\[2x+7=5x+8 \mid-5x-7\]
\[-3x=1 \mid:(-3)\]
\[x=-\frac{1}{3}\]
\paragraph*{Aufgabe 9:}
\[6x+3-2x=7x-9 \mid \textnormal{ links zusammenfassen}\]
\[4x+3=7x-9 \mid-7x-3\]
\[-3x=-12 \mid:(-3)\]
\[x=4\]
\paragraph*{Aufgabe 10:}
\[5-5x+2=4-3x+3 \mid \textnormal{ links und rechts zusammenfassen}\]
\[7-5x=7-3x \mid+3x-7\]
\[-2x=0 \mid:(-2)\]
\[x=0\]

\end{document}
%\begin{window}[2,r,\includegraphics{Bilddatei},Bildunterschrift]
