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\begin{document}

\title{Gebrochen Rationale Funktionen}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\enlargethispage{10mm}

\newpage
\section{Einführung}
Eine \textbf{Gebrochen Rationale Funktion} ist eine Funktion, die sich als
Bruch darstellen lässt:
\[f(x)=\frac{Z(x)}{N(x)}\]
Hierbei sind sowohl die \textbf{Zählerfunktion} $Z(x)$ als auch die
\textbf{Nennerfunktion} $N(x)$ ein \textbf{Polynom}. Ein Polynom ist eine
Funktion, die in folgender Form darstellen lässt:
\[p(x)= \sum \limits_{i=0}^n a_ix^i=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n
 \textnormal{ mit }n \in \mathbb{N}\]

Gebrochen Rationale Funktionen haben ein paar Eigenschaften, die man bei den
meisten anderen Funktionen nicht findet. Dies sind:
\begin{itemize}
\item Einschränkungen im Definitionsbereich
\item Polstellen
\item Lücken
\item Asymptoten
\end{itemize}
Im weiteren Verlauf gehen wir auf diese Einzelheiten näher ein.\\

Im Folgenden werde ich die Zählerfunktion immer mit $Z(x)$ und die
Nennerfunktion mit $N(x)$ bezeichnen.

\section{Polstellen und Lücken}
Gebrochen Rationale Funktionen haben immer einen Nenner. Da man
bekanntlich nicht durch Null dividieren darf, sind alle $x$-Werte, für die ein
Nenner gleich Null ist, aus dem Definitionsbereich auszuschließen. Ein
Beispiel:
\[f(x)=\frac{x^3-3x^2-4x}{x^2-6x+8}\]
Der Nenner $(x^2-6x+8)$ könnte für mehrere $x$ Null werden. Welche das sind,
bestimmt man in einer separaten Rechnung, indem man den Nenner gleich Null
setzt.
\begin{eqnarray*}
N(x)&=&0 \\
x^2-6x+8&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{3^2-8} \\
&=&3 \pm \sqrt{1} \\
x_{1/2}&=&3 \pm 1 \\
x_1=2 && x_2=4
\end{eqnarray*}
Diese beiden Werte müssen wir aus der Definitionsmenge ausschließen:
\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{2;4\}$}

\newpage
An diesen sogenannten "`Definitionslücken"' kann die Funktion ein
unterschiedliches Verhalten zeigen. Dies kann sein:
\enlargethispage{10mm}
\begin{itemize}
\item eine Polstelle
\item eine (hebbare) Lücke
\end{itemize}
\subparagraph*{Was ist eine Polstelle oder eine Lücke?}
Dazu sehen wir uns den Verlauf der Funktion in nachfolgendem Bild an. \\
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{2.05}{7.8}
{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 x mul sub
x 2 exp 6 x mul sub 8 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{1.95}
{x 3 exp 3 x x mul mul sub 4 x mul sub
x 2 exp 6 x mul sub 8 add div}
   \uput[45](3,12){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
   \uput[135](-1,2){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
   \uput[45](2,2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](4,10){3pt}
   \uput[-135](4,10){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

Schauen wir uns zunächst den Bereich um die Definitionslücke bei \mbox{$x_1=2$}
an. Man erkennt, dass in diesem Bereich die Kurve nach oben bzw. unten
"`wegbiegt"', sich also Richtung $+ \infty$ bzw. $- \infty$ bewegt. Eine
Stelle, an der eine Funktion ein solches Verhalten zeigt, nennt man
\textbf{\emph{Polstelle}}. Dabei gibt es an genau dieser Stelle keinen
Funktionswert. Die Funktion ist nur in der Umgebung dieser Stelle definiert.
Das Verhalten in der Umgebung wird aber trotzdem der Stelle zugeordnet.\\

Völlig anders sieht das Verhalten der Funktion an der Definitionslücke bei
$x_2=4$ aus. An dieser Stelle ist sie nicht definiert, das ist klar, aber im
Funktionsgraphen sieht es so aus, als ob es zu \mbox{$x_2=4$} einen $y$-Wert
gäbe, nämlich \mbox{$y_2=10$}. Das liegt daran, dass die Kurve von beiden
Seiten auf diesen Funktionswert zustrebt. Daher spricht man hier von einer
\textbf{\emph{Lücke}}, die man "`stopfen"' oder beheben kann, indem man einen
passenden Funktionswert ergänzt. Der korrekte Fachausdruck hierfür ist
\textbf{\emph{hebbare Lücke}}, oder einfach nur \textbf{\emph{Lücke}}. Das mag
manchmal zu Missverständnissen führen, weil man die Fehlstellen im
Definitionsbereich allgemein -- also auch die Polstelle -- als
\textbf{\emph{Definitionslücke}} bezeichnet. Die Begriffe "'Definitionslücke"'
und "'Lücke"' muss man also sorgsam unterscheiden.\\

Halten wir also fest: An einer Definitionslücke kann eine
\textbf{\emph{Polstelle}} oder eine (hebbare) \textbf{\emph{Lücke}} vorliegen.
Wie findet man nun heraus, welches Verhalten die Funktion zeigt? Dazu
untersuchen wir den Zähler an dieser Stelle, indem wir den $x$-Wert der
Definitionslücke in den Zähler einsetzen. Es gibt nun genau zwei Möglichkeiten.
Entweder ist der Zähler dort \emph{gleich} oder \emph{ungleich} Null
\mbox{($Z(x_1)=0$} oder \mbox{$Z(x_1) \not=0$)}. Ist er \emph{ungleich} Null,
dann ist die Sache klar, wir haben eine Polstelle. Zu unserem Beispiel (bei
\mbox{$x_1=2$}):
\begin{eqnarray*}
Z(2)&=&2^3-3 \cdot 2^2-4 \cdot 2 \\
&=&8-12-8 \\
&=&-12 \\
Z(2)&\not=&0 \\
\end{eqnarray*}
Daraus können wir also -- wie oben erwähnt -- sofort schlussfolgern, dass bei
\mbox{$x_1=2$} eine \textbf{\emph{Polstelle}} vorliegt.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Polstelle bei $x_p=2$}\\ \end{center}

Es liegt nun nahe zu vermuten, dass im Fall von \mbox{$Z(x_L)=0$} eine Lücke
bei $x_L$ vorliegen muss. Das ist zwar möglich, aber sicher ist das leider
nicht. Es könnte auch trotzdem eine Polstelle sein. Um das zu prüfen, ist etwas
mehr Aufwand erforderlich. Da sowohl der Zähler, als auch der Nenner bei $x_L$
eine Nullstelle hat, ist es möglich, im Zähler und im Nenner \mbox{$(x-x_L)$}
auszuklammern und dadurch den Bruch zu kürzen. Dies schauen wir uns in unserem
Beispiel mal bei \mbox{$x_L=x_2=4$} an.
\begin{eqnarray*}
Z(4)&=&4^3-3 \cdot 4^2-4 \cdot 4 \\
&=&64-48-16 \\
Z(4)&=&0 \\
\end{eqnarray*}
An dieser Stelle wissen wir nur, dass eine Lücke in Frage kommt. Wir wissen
aber auch, dass sowohl im Zähler, als auch im Nenner der Faktor
\mbox{$(x-x_L)$} also \mbox{$(x-4)$} ausgeklammert werden kann. Dazu führen wir
sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Polynomdivision durch \mbox{$(x-4)$}
durch. Beginnen wir mit dem Zähler.
\[\begin{array}{rrr}
(x^3&-3x^2&-4x) \\
-(x^3&-4x^2) \\
\hline
&(x^2&-4x) \\
&-(x^2&-4x) \\
\hline
&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{r}
:(x-4)=x^2+x \\
\\
\\
\\
\\
\end{array}\]
Der Zähler lässt sich also zerlegen als:
\[Z(x)=(x^2+x) \cdot (x-4)\]
Entsprechend verfahren wir mit dem Nenner. Auch hier führen wir die
Polynomdivision durch.
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-6x&+8) \\
-(x^2&-4x) \\
\hline
&(-2x&+8) \\
&-(-2x&+8) \\
\hline
&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{r}
:(x-4)=x-2 \\
\\
\\
\\
\\
\end{array}\]  \enlargethispage{15mm}
Den Nenner können wir also in faktorisierter Form darstellen als:
\[N(x)=(x-2) \cdot (x-4)\]
Damit sieht die gesamte Funktion so aus:
\[f(x)=\frac{(x^2+x) \cdot (x-4)}{(x-2) \cdot (x-4)}\]
Man sieht, dass man offensichtlich durch $(x-4)$ kürzen kann. Ganz so
unproblematisch ist das allerdings nicht, denn Kürzen bedeutet, dass man Zähler
und Nenner durch den gleichen Term \textbf{\emph{dividiert}}. Da man
bekanntermaßen nicht durch Null dividieren kann, muss sichergestellt sein, dass
das auch nicht versehentlich passiert. Der Term \mbox{$(x-4)$} ist Null, wenn
\mbox{$x=4$} ist. Können wir sicher sein, dass stets \mbox{$x\not=4$} ist? Der
Blick auf den Definitionsbereich hilft weiter. Da steht:
\mbox{$D= \mathbb{R} \setminus \{2;4\}$}. Hierdurch ist \mbox{$x=4$}
ausdrücklich ausgeschlossen. \textnormal{\emph{Innerhalb des
Definitionsbereiches}} dürfen wir also kürzen. Wir müssen uns allerdings
darüber im klaren sein, dass sich \textnormal{\emph{außerhalb des
Definitionsbereiches}} eine Veränderung der Funktion ergeben kann. Tatsächlich
erhalten wir durch das Kürzen eine neue Funktion, die nun auch für \mbox{$x=4$}
definiert ist. Aus diesem Grund gebe ich der Funktion, die durch das Kürzen
entsteht, einen neuen Namen, nämlich $f^*(x)$. Ich erhalte demnach:
\[f^*(x)=\frac{x^2+x}{x-2}\]
\textbf{Wenn diese neue gekürzte Funktion einen Funktionswert für die zu
untersuchende Definitionslücke liefert, dann haben wir eine (hebbare) Lücke.}
Ich muss also nur prüfen, ob der Nenner der neuen Funktion an der zu
untersuchenden Stelle ungleich Null ist. \textbf{Ist der neue Nenner an der zu
untersuchenden Stelle immer noch gleich Null, dann muss man mit der gekürzten
Funktion wieder ganz von vorn anfangen}. Man muss also wieder den (neuen)
Zähler untersuchen und eventuell auch neu faktorisiern usw. \\

Die Prüfung führen wir an diesem Beispiel nun durch.
\begin{eqnarray*}
N^*(4)&=&4-2 \\
N^*(4)&=&2 \not=0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Lücke bei }x_L=4 \\
\end{eqnarray*}
Da eine Lücke durch einen konkreten Funktionswert geschlossen werden kann,
können wir den berechnen. Die gekürzte Funktion $f^*(x_L)$ liefert diesen Wert.
\begin{eqnarray*}
y_L&=&f^*(x_L) \\
&=&\frac{4^2+4}{4-2} \\
&=&\frac{20}{2} \\
y_L&=&10 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Lücke bei $L(4|10)$} \end{center}

Zusammengefasst kann die Untersuchung nach folgendem Flussdiagramm vorgenommen
werden:
\begin{center}
\textbf{Liegt bei }$\mathbf{x=x_1}$\textbf{ ein Pol oder eine Lücke vor?}\\

{\small
\begin{psmatrix}[rowsep=0.6,colsep=0.5]
& \psovalbox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,shadow=true]
 {Nenner bei $x_1$ ist 0}& \\
& \psdiabox[shadow=true]{$Z(x_1)=0?$} &
 \psovalbox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,shadow=true]{Pol bei $x_1$} \\
& \psframebox[shadow=true]{
  \begin{tabular}{c}
    $(x-x_1)$ im Zähler ausklammern.\\
    $(x-x_1)$ im Nenner ausklammern.\\
    Durch $(x-x_1)$ kürzen.\\
    Man erhält dann $f^*(x)$.
  \end{tabular}}\\
& \psdiabox[shadow=true]{$N^*(x_1)=0?$} &
 \psovalbox[fillstyle=solid,fillcolor=yellow,shadow=true]{Lücke bei $x_1$} \\
 \ncline{->}{1,2}{2,2}
 \ncline{->}{2,2}{3,2}
 \ncline{->}{2,2}{2,3}
 \ncline{->}{3,2}{4,2}
 \ncline{->}{4,2}{4,3}
 \psline{->}(3.75,0.7)(3.75,0.3)(0.2,0.3)(0.2,6.8)(3.75,6.8)
 \rput{0}(3.5,5.1){\tiny ja}  \rput{0}(6.1,6.1){\tiny nein}
 \rput{0}(3.5,0.5){\tiny ja}  \rput{0}(6.3,1.5){\tiny nein}
\end{psmatrix} }
\end{center}

Hierbei bedeutet $Z(x)$ den \textbf{Zähler} von $f(x)$ und $N(x)$ den
\textbf{Nenner} von $f(x)$. Entsprechend bedeutet $N^*(x)$ den Nenner der
\textbf{gekürzten} Funktion $f^*(x)$.

\newpage
\section{Asymptote}
Eine andere Eigenschaft von Gebrochen Rationalen Funktionen ist die sogenannte
Asymp\-tote. Darunter versteht man eine Gerade oder eine Parabel, die sich dem
Funktionsgraphen immer mehr annähert, je weiter man auf der $x$-Achse in
Richtung $+\infty$ oder $-\infty$ geht. \\

Wie kann man die Funktionsgleichung der Asymptoten bestimmen? Dazu löst man die
Funktionsgleichung auf, indem man so weit wie möglich eine Polynomdivision
zwischen Zähler und Nenner durchführt. Das Divisionsergebnis stellt dann die
Asymptotengleichung dar. Dabei bleibt natürlich ein "`Rest"'
übrig. Dieser wird für \mbox{$x \rightarrow+\infty$} oder
\mbox{$x \rightarrow-\infty$} dann sehr klein, er geht gegen Null. Für das
genaue Verständniss dieses Zusammenhangs sind allerdings Kenntnisse über
Grenzwerte erforderlich. Anschaulich kann man aber sagen, dass der Abstand
zwischen dem Funktionsgraphen und der Asymptoten sehr klein wird, wenn man nur
auf der $x$-Achse weit genug nach links oder rechts geht. Wir sehen uns das mal
an dem Beispiel an.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-3x^2&-4x&) \\
-(x^3&-6x^2&+8x&) \\
\hline
&(3x^2&-12x&) \\
&-(3x^2&-18x&+24) \\
\hline
&&6x&-24 \ \\
\end{array}
\begin{array}{r}
:(x^2-6x+8)=x+3 \\
\\
\\
\\
\\
\end{array}\]
Schreibt man den "`Rest"' korrekt auf, dann erhält man für die Funktion
folgende Form:
\[f(x)=\frac{x^3-3x^2-4x}{x^2-6x+8}
= \underbrace{x+3}_{\textnormal{Asymptote}}
  +\underbrace{\frac{6x-24}{x^2-6x+8}}_{\textnormal{geht gegen 0}}\]
Das Divisionsergebnis stellt die Asymptote dar, der Restanteil mit dem Bruch
geht gegen 0, wenn $x$ sehr groß (stark positiv) oder sehr klein (stark
negativ) wird. Das Ergebnis lautet also:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Asymptote: $a(x)=x+3$}\end{center}

\newpage %--------------------------
\section{Übungsaufgaben}
Bestimmen Sie den Definitionsbereich, Polstellen, Lücken und
Achsenschnittpunkte sowie die Asymptote der nachfolgenden Funktionen:
\subsection{Aufgabe 1} \[f(x)=\frac{x+3}{x-3}\]
\subsection{Aufgabe 2} \[f(x)=\frac{(2x+6) \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x+8)}\]
\subsection{Aufgabe 3} \[f(x)=\frac{(2x-7) \cdot (x-3)}{(x-3)^2}\]
\subsection{Aufgabe 4} \[f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+8}\]
\subsection{Aufgabe 5} \[f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-7x+10}\]
\subsection{Aufgabe 6} \[f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\]
\subsection{Aufgabe 7} \[f(x)=\frac{x^2+x-2}{x^3-3x+2}\]
\subsection{Aufgabe 8} \[f(x)=\frac{x^3-15x^2+74x-120}{x^3-12x^2+47x-60}\]
\subsection{Aufgabe 9} \[f(x)=\frac{2x^3+8x^2-22x-60}{x^2-x-6}\]
\subsection{Aufgabe 10} \[f(x)=\frac{x^3-7x^2+14x-8}{x^2+2x-15}\]

\newpage
\section{Lösungen}
Die Bedeutungen der Symbole: \\
$D$: Definitionsbereich \\
$x_{p}$: Polstelle \\
$x_{0}$: Nullstelle \\
$y_0$: $y$-Achsenabschnitt \\
$L$: Lücke mit $L(x_L|y_L)$ \\
$a(x)$: Asymptote
\begin{enumerate}
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ ; $x_{p}=3$ ; $x_{0}=-3$ ;
 $y_0=-1$ ; keine Lücke ; $a(x)=1$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-8;2\}$ ; $x_{p}=-8$ ; $x_{0}=-3$ ;
 $y_0=\frac{3}{4}$ ; $\textnormal{L}(2|1)$ ; $a(x)=2$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{3\} ; x_{p}=3$ ;
 $y_0=\frac{7}{3}$ ; $x_0=3,5$ ; keine Lücke ; $a(x)=2$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{2;4\}$ ; $x_{p}=4$ ; $x_{0}=3$ ;
 $y_0=\frac{3}{4}$ ; $\textnormal{L}\left(2|\frac{1}{2}\right)$ ; $a(x)=1$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{2;5\}$ ; $x_{p}=5$ ; keine
 Nullstelle ; $y_0=\frac{2}{5}$ ; $\textnormal{L}(2|0)$ ; $a(x)=1$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ ; $x_{p}=-2$ ; $x_{0}=2$ ;
 $y_0=-1$ ; keine Lücke ; $a(x)=1$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2;1\}$ ; $x_{p}=1$ ; keine
 Nullstelle ; $y_0=-1$ ; $\textnormal{L}(-2|-\frac{1}{3})$ ; $a(x)=0$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{3;4;5\}$ ; $x_{p}=3$ ; $x_{0}=6$ ;
 $y_0=2$ ; $\textnormal{L}_{1}(4|-2)$ ;  $\textnormal{L}_{2}\left(5|-\frac{1}{2}\right)$ ;
 $a(x)=1$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2;3\}$ ; keine Polstelle ;
$x_{0}=-5$ ; $y_0=10$ ; $\textnormal{L}_{1}(-2|6)$ ; $\textnormal{L}_{2}(3|16)$ ;
 $a(x)=2x+10$
\item $\textnormal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-5;3\}$ ; $x_{p1}=-5$ ; $x_{p2}=3$ ;
 $x_{01}=1$ ; $x_{02}=2$ ; $x_{03}=4$ ; $y_0=\frac{8}{15}$ ; keine Lücke ;
 $a(x)=x-9$
\end{enumerate}
\newpage
\section{Durchgerechnete Musterlösungen}
\subsection{Aufgabe 1} \[f(x)=\frac{x+3}{x-3}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet:
\begin{eqnarray*}
x_n-3&=&0 \\
x_n&=&3 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{3 \}$}
\end{center}

\underline{Untersuchung für $x=3$:}
\begin{center}$Z(3)=3+3=6\not=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x_p=3$}\end{center}
Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt.
\begin{center}
$Z(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0+3=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=-3$}\end{center}
Der $y$-Achsenabschnitt wird bestimmt, indem man in die Funktion für $x$ die 0
einsetzt.
\begin{center}
$y_0=f(0)=\frac{0+3}{0-3}=-1 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$y_0=-1$}
\end{center}
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt.
\[\begin{array}{rr}
(x+3)&:(x-3)=1+ \frac{6}{x-3} \\
\underline{-(x-3)} \\
6 \ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=1$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.05}{7.8}
{x 3 add x 3 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{2.95}
{x 3 add x 3 sub div}
   \uput[45](5,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{1}
   \uput[135](-1,1){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](3,-10.8)(3,19.6)
   \uput[45](3,2){\textcolor{green}{Pol}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %---------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 2}
\[f(x)=\frac{(2x+6) \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x+8)}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\emph{Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren $=0$ ist.}
\begin{eqnarray*}
x_1-2=0 \quad &\vee& \quad x_2+8=0 \\
x_1=2 \quad &\vee& \quad x_2=-8
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{-8;2\}$}
\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=2$:}\end{center}
\[Z(2)=(2 \cdot 2+6) \cdot (2-2)=0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Durch $(x-2)$ kürzen!}\]
\[f(x)=\frac{(2x+6) \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x+8)}\]
\[f^*(x)=\frac{2x+6}{x+8}\]
\begin{center}Ist der neue Nenner $=0$?\end{center}
\[N^*(2)=2+8=10 \not=0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Lücke bei }x_1=2\]
\[y_L=f^*(x_1)= \frac{2 \cdot 2+6}{2+8}=1\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Lücke bei $L(2 | 1)$}\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=-8$:}\end{center}
\begin{center}$Z(-8)=(2 \cdot (-8)+6) \cdot (-8-2)=100 \not=0
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei
 $x_2=-8$}\end{center}
Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion $f^*(x)$
verwendet werden.
\begin{center}
$Z^*(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad 2x_0+6=0 \quad \Rightarrow \quad 2x_0=-6
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=-3$}\end{center}
\newpage
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt. Dabei
darf auch die einfachere Funktion $f^*(x)$ anstelle von $f(x)$ verwendet
werden.
\[\begin{array}{rr}
(2x+6)&:(x+8)=2- \frac{10}{x+8} \\
\underline{-(2x+16)} \\
-10 \ \\
\end{array}\]
\begin{center} $\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=2$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-14.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-14.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.95}{7.8}
{2 x mul 6 add x 8 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-14.8}{-8.05}
{2 x mul 6 add x 8 add div}
   \uput[0](-11,5.2){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-14.8}{7.8}{2}
   \uput[135](-5,2){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](-8,-10.8)(-8,19.6)
   \uput[45](-8,4){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](2,1){3pt}
   \uput[-45](2,1){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %------------------------
\subsection{Aufgabe 3} \[f(x)=\frac{(2x-7) \cdot (x-3)}{(x-3)^2}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\[x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3 \]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$}\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x=3$:}\end{center}
\[Z(3)=(2 \cdot 3-7) \cdot (3-3)=0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Durch $(x-3)$ kürzen!}\]
\[f(x)=\frac{(2x-7) \cdot (x-3)}{(x-3)^2}\]
\[f^*(x)=\frac{(2x-7)}{(x-3)}\]
\[N^*(3)=3-3=0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Neuen Zähler prüfen!}\]
\begin{center}$Z^*(3)=2 \cdot 3-7=-1 \not=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x=3$}\end{center}

Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion $f^*(x)$
verwendet werden.
\begin{center}$Z^*(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad 2x_0-7=0 \quad \Rightarrow
  \quad 2x_0=7 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=3,5$}
  \end{center}
\enlargethispage{30mm}
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt. Dabei
darf auch die einfachere Funktion $f^*(x)$ anstelle von $f(x)$ verwendet
werden.
\[\begin{array}{rr}
(2x-7)&:(x-3)=2-\frac{1}{x-3} \\
\underline{-(2x-6)} \\
-1 \ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=2$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-7.8,-7.8)(7.8,9.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-7.8,-7.8)(7.8,9.8)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,9.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.05}{7.8}
{2 x mul 7 sub x 3 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.8}{2.95}
{2 x mul 7 sub x 3 sub div}
   \uput[90](-2,2.2){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.8}{7.8}{2}
   \uput[-90](-5,2){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](3,-7.8)(3,9.8)
   \uput[45](3,4){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](2,3){3pt}
   \uput[135](2,3){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------
\subsection{Aufgabe 4} \[f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+8}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\begin{eqnarray*}
x^2-6x+8&=&0 \quad | \textnormal{ p-q-Formel anwenden}\\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-8} \\
x_{1/2}&=&3 \pm 1 \\
x_1&=&3+1=4 \\
x_2&=&3-1=2 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{2;4\}$}
\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=4$:}\end{center}
\begin{center}$Z(4)=4^2-5 \cdot 4+6=2 \not=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x_1=4$}\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=2$:}\end{center}
\[Z(4)=2^2-5 \cdot 2+6=0 \quad \Rightarrow \quad
(x-2) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
\[\begin{array}{rrrr}
\textnormal{Zunächst der Zähler: }(x^2&-5x\textnormal{ }&+6)&:(x-2)=x-3 \\
\underline{-(x^2}&\underline{-2x)} \\
&-3x&+6\textnormal{ } \\
&\underline{-(-3x}&\underline{+6)} \\
&&0 \ \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rrrr}
\textnormal{Dann der Nenner: }(x^2&-6x\textnormal{ }&+8)&:(x-2)=x-4 \\
\underline{-(x^2}&\underline{\textnormal{ }-2x)} \\
&-4x&+8\textnormal{ } \\
&\underline{-(-4x}&\underline{+8)} \\
&&0 \ \\
\end{array}\]
Hiermit können wir die Funktion in faktorisierter Form schreiben und kürzen:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{(x-2)\cdot(x-3)}{(x-2)\cdot(x-4)} \quad | \textnormal{ Kürzen} \\
f^*(x)&=&\frac{x-3}{x-4}
\end{eqnarray*}
Die neue Funktion $f^*(x)$ stimmt \textbf{innerhalb} des Definitionsbereiches
mit der gegebenen Funktion $f(x)$ überein, hat aber einen erweiterten
Definitionsbereich. Ich prüfe, ob der neue Nenner bei $x_2=2$ auch $=0$ ist
oder nicht.
\enlargethispage{15mm}
\[N^*(2)=2-4=-2 \not=0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Lücke bei }x_2=2\]
\begin{center}
$y_L=f^*(2)=\frac{2-3}{2-4}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$L( 2|0,5)$}\end{center}
\newpage
Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion $f^*(x)$
verwendet werden.
\begin{center}
$Z^*(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0-3=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=3$}\end{center}
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt. Dabei
darf auch die einfachere Funktion $f^*(x)$ anstelle von $f(x)$ verwendet
werden.
\[\begin{array}{rr}
(x-3)&:(x-4)=1+ \frac{1}{x-4} \\
\underline{-(x-4)} \\
1 \ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=1$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=13mm,yunit=11mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-5.8)(7.8,7.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-3.8,-5.8)(7.8,7.8)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,7.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{4.05}{7.8}
{x 3 sub x 4 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.95}
{x 3 sub x 4 sub div}
   \uput[45](5,2){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{1}
   \uput[-90](5,1){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](4,-5.8)(4,7.8)
   \uput[180](4,2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](2,0.5){3pt}
   \uput[-135](2,0.5){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage %---------------------------------
\subsection{Aufgabe 5} \[f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-7x+10}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\begin{eqnarray*}
x^2-7x+10&=&0 \quad | \textnormal{ p-q-Formel anwenden}\\
x_{1/2}&=&\frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4}-\frac{40}{4}} \\
x_{1/2}&=&\frac{7}{2} \pm \frac{3}{2} \\
x_1&=&\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5 \\
x_2&=&\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{2;5\}$}
\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=5$:}\end{center}
\begin{center}$Z(5)=5^2-4 \cdot 5+4=9 \not=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x_1=5$}\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=2$:}\end{center}
\[Z(4)=2^2-4 \cdot 2+4=0 \quad \Rightarrow \quad
(x-2) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Klammert man im Zähler und Nenner $(x-2)$ aus, erhält man:
\[f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-7x+10}=\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-5)}\]
\[f^*(x)=\frac{x-2}{x-5}\]
\[N^*(2)=2-5=-3 \not=0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Lücke bei }x_2=2\]
\begin{center}$y_L=f^*(2)=\frac{2-2}{2-5}=\frac{0}{-2}=0 \quad \Rightarrow
\quad$ \fcolorbox{red}{yellow}{$L \left( 2|0 \right)$}\end{center}

Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion $f^*(x)$
verwendet werden.
\begin{center}$Z^*(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0-2=0 \quad \Rightarrow
\quad$ \fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=2$}\end{center}
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt. Dabei
darf auch die einfachere Funktion $f^*(x)$ anstelle von $f(x)$ verwendet
werden.

\[\begin{array}{rr}
(x-2)&:(x-5)=1+ \frac{3}{x-5} \\
\underline{-(x-5)} \\
3 \ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=1$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-6.8)(9.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-6.8)(9.8,8.8)
  \uput[-90](9.6,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{5.05}{9.8}
{x 2 sub x 5 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{4.95}
{x 2 sub x 5 sub div}
   \uput[45](6,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}{1}
   \uput[-90](7,1){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](5,-6.8)(5,8.8)
   \uput[180](5,2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](2,0){3pt}
   \uput[45](2,0){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage %--------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6} \[f(x)=\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\begin{eqnarray*}
x^2+4x+4&=&0 \quad | \textnormal{ p-q-Formel anwenden}\\
x_{1/2}&=&-2 \pm \sqrt{4-4} \\
x_{1/2}&=&-2 \pm 0 \\
x&=&-2
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$}
\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x=-2$:}\end{center}
\[Z(-2)=(-2)^2-4=0 \quad \Rightarrow \quad
(x+2) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Klammert man im Zähler und Nenner $(x+2)$ aus, erhält man:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}=\frac{(x+2) \cdot (x-2)}{(x+2)^2} \\
f^*(x)&=&\frac{x-2}{x+2} \\
N^*(-2)&=&-2+2=0 \\
Z^*(-2)&=&-2-2=-4 \not=0 \quad \Rightarrow
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x=-2$}\end{center}

Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion $f^*(x)$
verwendet werden.
\begin{center}$Z^*(x_0)=0 \quad \Rightarrow \quad x_0-2=0 \quad \Rightarrow
\quad$\fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=2$}\end{center}
Zur Bestimmung der Asymptote kann ebenfalls $f^*(x)$ anstelle von $f(x)$
verwendet werden.
\[\begin{array}{rr}
(x-2)&:(x+2)=1- \frac{4}{x+2} \\
\underline{-(x+2)} \\
-4 \ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=1$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-7.8,-6.8)(4.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-7.8,-6.8)(4.8,8.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.95}{4.8}
{x 2 sub x 2 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.8}{-2.05}
{x 2 sub x 2 add div}
   \uput[135](-4,3){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.8}{4.8}{1}
   \uput[90](2,1){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](-2,-6.8)(-2,8.8)
   \uput[180](-2,2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](2,0){3pt}
   \uput[135](2,0){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage %--------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7} \[f(x)=\frac{x^2+x-2}{x^3-3x+2}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet.
Leider ist der Nenner ein Polynom 3. Grades. Dessen Nullstellen können nicht
analytisch berechnet werden. Durch \textbf{planvolles} Raten erhalte ich die
Nennernullstelle:
\[x_1=1\]
Im Nenner kann $(x-x_1)$ -- hier also $(x-1)$ -- ausgeklamert werden. Wir
lösen das mit einer \textbf{Polynomdivision}.

\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrrr}
(x^3&&-3x\ &+2) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&x^2\ &-3x\ &+2 \ \\
-&(x^2\ &-x) \\
\hline
&&-2x\ &+2 \ \\
&-&(-2x\ &+2) \\
\hline
&&& 0 \
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-1)&=&x^2+x-2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Der Nenner lässt sich also wie folgt faktorisieren:
\[x^3-3x+2=(x^2+x-2) \cdot (x-1) \]
Die Nullstellen des Nenners werden bestimmt.
\[(x^2+x-2) \cdot (x-1)=0\]
Ein Produkt ist bekanntlich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Der rechte Faktor
hat bereits die Lösung $x_1=1$ geliefert, also muss nur noch der linke Term
untersucht werden.
\begin{eqnarray*}
x^2+x-2&=&0 \\
x_{2/3}&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+2}\\
&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}\\
&=&-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\\
x_{2/3}&=&-\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}\\
x_2=1&&x_3=-2
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{-2;1\}$}
\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=1$:}\end{center}
\[Z(1)=1^2+1-2=0 \quad \Rightarrow \quad
(x-1) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Klammert man im Zähler und Nenner $(x-1)$ aus, erhält man:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{x^2+x-2}{x^3-3x+2}
= \frac{(x+2) \cdot (x-1)}{(x^2+x-2) \cdot (x-1)}\\
f^*(x)&=&\frac{x+2}{x^2+x-2}\\
N^*(1)&=&1^2+1-2=0 \\
Z^*(1)&=&1+2 \not= 0 \quad \Rightarrow
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei: $x_1=1$}\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=-2$:}\end{center}
\[Z^*(-2)=-2+2=0 \quad \Rightarrow \quad
(x+2) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Der Nenner kann noch weiter faktorisiert werden. Es sollte auffallen, dass der
gekürzte Nenner mit dem ursprünglichen Zähler übereinstimmt. Daher kann die
Zerlegung gleich übernommen werden.
\begin{eqnarray*}
f^*(x)&=&\frac{x+2}{x^2+x-2}= \frac{x+2}{(x+2) \cdot (x-1)}\\
f^{**}(x)&=&\frac{1}{x-1}\\
N^{**}(-2)&=&-2-1=3 \not=0 \quad \Rightarrow \quad
  \textnormal{Lücke bei }x_2=-2 \\
y_L&=&f^{**}(-2)=-\frac{1}{3} \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst: \fcolorbox{red}{yellow}{$L\left(-2|-\frac{1}{3}\right)$}\\

Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Dabei kann auch die vereinfachte Funktion
$f^{**}(x)$ verwendet werden. Da der Zähler hier kein $x$ enthält, er also nie
Null werden kann, gibt es \textbf{keine Nullstelle}.\\

Der Grad des Zählerpolynoms ist kleiner, als der Grad des Nennerpolynoms. Daher
lautet die Asymptote:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=0$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-6.8)(4.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(4.8,8.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1.05}{4.8}
{1 x 1 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{0.95}
{1 x 1 sub div}
   \uput[45](1.3,3){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.8}{4.8}{0}
   \uput[90](-3,0){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](1,-6.8)(1,8.8)
   \uput[0](1,-2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](-2,-0.33){3pt}
   \uput[-135](-2,-0.33){\textcolor{red}{Lücke}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage %-----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8} \[f(x)=\frac{x^3-15x^2+74x-120}{x^3-12x^2+47x-60}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet.
Leider ist der Nenner ein Polynom 3. Grades. Dessen Nullstellen können nicht
analytisch berechnet werden. Durch \textbf{planvolles} Raten erhalte ich die
Nennernullstelle:
 \[x_1=3\]
Im Nenner kann $(x-x_1)$ -- hier also $(x-3)$ -- ausgeklamert werden. Wir
lösen das mit einer \textbf{Polynomdivision}.

\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrrr}
(x^3&-12x^2\ &+47x\ &-60) \\
-(x^3&-3x^2) \\
\hline
&-9x^2\ &+47x\ &-60 \ \\
-&(-9x^2\ &+27x) \\
\hline
&&20x\ &-60 \ \\
&-&(20x\ &-60) \\
\hline
&&& 0 \
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-3)&=&x^2-9x+20 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Der Nenner lässt sich also wie folgt faktorisieren:
\[N(x)=x^3-12x^2+47x-60=(x-3) \cdot (x^2-9x+20)\]
Die Nullstellen des Nenners werden bestimmt.
\[(x-3) \cdot (x^2-9x+20)=0\]
Ein Produkt ist bekanntlich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Der linke Faktor
hat bereits die Lösung $x_1=3$ geliefert, also muss nur noch der rechte Term
untersucht werden.
\begin{eqnarray*}
x^2-9x+20&=&0 \\
x_{2/3}&=&\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}-20}\\
&=&\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4}-\frac{80}{4}}\\
&=&\frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\\
x_{2/3}&=&\frac{9}{2} \pm \frac{1}{2}\\
x_2=4&&x_3=5
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{3;4;5\}$}
\end{center}

\newpage
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=3$:}\end{center}
\begin{center}$Z(3)=3^3-15 \cdot 3^2+74 \cdot 3-120=-6 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{Polstelle bei $x_1=3$}\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=4$:}\end{center}
\[Z(3)=4^3-15 \cdot 4^2+74 \cdot 4-120=0 \quad \Rightarrow \quad
(x-4) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Der Faktor $(x-4)$ muss also im Zähler enthalten sein. Ich kann ihn durch eine
Polynomdivision zerlegen.
\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrrr}
(x^3&-15x^2\ &+74x\ &-120) \\
-(x^3&-4x^2) \\
\hline
&-11x^2\ &+74x\ &-120\ \\
-&(-11x^2\ &+44x) \\
\hline
&&30x\ &-120\ \\
&-&(30x\ &-120) \\
\hline
&&&0\
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-4)&=&x^2-11x+30 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Hiermit kann der Zähler wie folgt zerlegt werden:
\[Z(x)=x^3-15x^2+74x-120=(x-4) \cdot (x^2-11x+30)\]

Auch im Nenner kann man $(x-4)$ ausklammern. Ich verwende dazu schon den
teilweise zerlegten Nenner.
\[\begin{array}{cc}
\begin{array}{rrr}
(x^2&-9x\ &+20) \\
-(x^2&-4x) \\
\hline
&-5x\ &+20\ \\
-&(-5x\ &+20) \\
\hline
&&0\
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-4)&=&x-5 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]
Hiermit sieht die komplette Nennerzerlegung so aus:
\[N(x)=(x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)\]

Hiermit kann ich $f(x)$ wie folgt zerlegen und anschließend durch $(x-4)$
kürzen:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{x^3-15x^2+74x-120}{x^3-12x^2+47x-60}
= \frac{(x-4) \cdot (x^2-11x+30)}{(x-3) \cdot (x-4) \cdot (x-5)}\\
f^*(x)&=& \frac{x^2-11x+30}{(x-3) \cdot (x-5)}
\end{eqnarray*}
Ich untersuche den neuen Nenner an dieser Stelle.
\[N^*(4)=(4-3) \cdot (4-5)=-1 \not= 0 \quad \Rightarrow \quad
 \textnormal{Lücke bei }x_2=4\]
\[y_{L1}=f^*(4)= \frac{4^2-11 \cdot 4+30}{(4-3) \cdot (4-5)}=-2\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L_1(4|-2)$}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_3=5$:}\end{center}
\[Z^*(5)=5^2-11 \cdot 5+30=0 \quad \Rightarrow \quad
(x-5) \textnormal{ ausklammern, kürzen} \]
Ich zerlege den Zähler $Z^*$ mit einer Polynomdivision.
\[\begin{array}{cc}
\begin{array}{rrr}
(x^2&-11x\ &+30) \\
-(x^2&-5x) \\
\hline
&-6x\ &+30\ \\
-&(-6x\ &+30) \\
\hline
&&0\
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-5)&=&x-6 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]
Damit lautet $f^*(x)$ in der zerlegten Form wie folgt:
\begin{eqnarray*}
f^*(x)&=&\frac{x^2-11x+30}{(x-3) \cdot (x-5)}
  =\frac{(x-5) \cdot (x-6)}{(x-3) \cdot (x-5)}\\
f^{**}(x)&=&\frac{x-6}{x-3}
\end{eqnarray*}
Ich prüfe den neuen Nenner bei $x_3=5$.
\[N^{**}(5)=5-3=2 \not= 0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Lücke bei }x_3=5\]
\[y_{L2}=f^{**}(5)= \frac{5-6}{5-3}=-0,5\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L_2(5|-0,5)$}\\

Zur \textbf{Nullstellenbestimmung} wird der \textbf{Zähler} gleich Null
gesetzt.
\begin{eqnarray*}
Z^{**}(x_0)&=&0 \\
x_0-6&=&0 \\
x_0&=&6
\end{eqnarray*}

Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt. Dazu
kann auch die vereinfachte Funktionsgleichung verwendet werden.
\[\begin{array}{rr}
(x&-6) \\
-(x&-3) \\
\hline
&-3\
\end{array}
\begin{array}{cccc}
:&(x-3)&=&1+\frac{-3}{x-3}\\ \\ \\
\end{array}\]
\begin{center}$\Rightarrow \quad$ Die Asymptotengleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=1$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-7.8)(7.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-7.8)(7.8,8.8)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.05}{7.8}
{x 6 sub x 3 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{2.95}
{x 6 sub x 3 sub div}
   \uput[135](2,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{7.8}{1}
   \uput[90](5,1){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](3,-7.8)(3,8.8)
   \uput[180](3,-2){\textcolor{green}{Pol}}
  \pscircle[linecolor=red](4,-2){3pt}
   \uput[-45](4,-2){\textcolor{red}{Lücke 1}}
  \pscircle[linecolor=red](5,-0.5){3pt}
   \uput[-45](5,-0.5){\textcolor{red}{Lücke 2}}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage %-----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9} \[f(x)=\frac{2x^3+8x^2-22x-60}{x^2-x-6}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet.
\begin{eqnarray*}
x^2-x-6&=&0 \\
x_{1/2}&=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{4}}\\
&=&\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}\\
x_1=-2&&x_2=3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{-2;3\}$}
\end{center}
\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=-2$:}\end{center}
\[Z(-2)=2 \cdot (-2)^3+8 \cdot (-2)^2-22 \cdot (-2)-60=0 \quad \Rightarrow
\quad (x+2) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Der Faktor $(x+2)$ muss also im Zähler enthalten sein. Ich kann ihn durch eine
Polynomdivision zerlegen.
\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrrr}
(2x^3&+8x^2\ &-22x\ &-60) \\
-(2x^3&+4x^2) \\
\hline
&4x^2\ &-22x\ &-60\ \\
-&(4x^2\ &+8x) \\
\hline
&&-30x\ &-60\ \\
&-&(-30x\ &-60) \\
\hline
&&&0\
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x+2)&=&2x^2+4x-30 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Hiermit kann der Zähler wie folgt zerlegt werden:
\[Z(x)=2x^3+8x^2-22x-60=(x+2) \cdot (2x^2+4x-30)\]

Auch im Nenner kann man $(x+2)$ ausklammern. Nach dem Satz von Vieta erhalte
ich aus den beiden bekannten Nennernullstellen:
\[Z(x)=x^2-x-6=(x+2) \cdot (x-3)\]
Hiermit kann ich $f(x)$ wie folgt zerlegen und anschließend durch $(x-4)$
kürzen:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\frac{2x^3+8x^2-22x-60}{x^2-x-6}
=\frac{(x+2) \cdot (2x^2+4x-30)}{(x+2) \cdot (x-3)}\\
f^*(x)&=&\frac{2x^2+4x-30}{x-3}
\end{eqnarray*}
Ich untersuche den neuen Nenner an dieser Stelle.
\[N^*(-2)=-2-3=-5 \not= 0 \quad \Rightarrow \quad
 \textnormal{Lücke bei }x_1=-2\]
\[y_{L1}=f^*(-2)=\frac{2 \cdot (-2)^2+4 \cdot (-2)-30}{-2-3}=6\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L_1(-2|6)$}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=3$:}\end{center}
\[Z^*(3)=2 \cdot 3^2+4 \cdot 3-30=0 \quad \Rightarrow
\quad (x-3) \textnormal{ ausklammern, kürzen}\]
Der Faktor $(x-3)$ muss also im Zähler enthalten sein. Ich kann ihn durch eine
Polynomdivision zerlegen.
\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrr}
(2x^2\ &+4x\ &-30) \\
-(2x^2&-6x) \\
\hline
&10x\ &-30\ \\
-&(10x\ &-30) \\
\hline
&&0\
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-3)&=&2x+10 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Hiermit kann der Zähler wie folgt zerlegt werden:
\[Z^*(x)=2x^2+4x-30=(x-3) \cdot (2x+10)\]

Die Funktion $f^*(x)$ kann damit erneut gekürzt werden:
\begin{eqnarray*}
f^*(x)&=&\frac{2x^2+4x-30}{x-3}= \frac{(x-3) \cdot (2x+10)}{x-3}\\
f^{**}(x)&=&\frac{2x+10}{1}=2x+10
\end{eqnarray*}
Ohne Rechnung ist der neue Nenner $N^{**}(3) \not= 0$, es liegt also bei
$x_2=3$ eine weitere Lücke vor.
\[y_{L2}=f^{**}(3)=2 \cdot 3+10=16\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L_2(3|16)$}\\

Zur \underline{Nullstellenbestimmung} kann $f^{**}(x)$ verwendet werden.
\begin{eqnarray*}
2x_0+10&=&0 \\
2x_0&=&-10 \\
x_0&=&-5
\end{eqnarray*}

Zur Bestimmung der Asymptote wird bekanntlich der Zähler durch den Nenner
dividiert. Verwende ich dafür $f^{**}(x)$, was erlaubt ist, dann wird die
Division ganz einfach, ich dividiere ja durch 1. Es bleibt kein Rest. Die
Asymptotengleichung ist dann identisch mit $f^{**}(x)$. Ich
erhalte die Asymptotengleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=2x+10$}
\begin{center}\psset{xunit=11mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-7.8,-5.6)(5.8,21.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-7.8,-5.6)(5.8,21.6)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,21.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.8}{5.8}
{2 x mul 10 add}
   \uput[-45](1,12){\textcolor{red}{$f(x)=a(x)$}}
  \pscircle[linecolor=red](-2,6){3pt}
   \uput[-45](-2,6){\textcolor{red}{Lücke $L_1$}}
  \pscircle[linecolor=red](3,16){3pt}
   \uput[-45](3,16){\textcolor{red}{Lücke $L_2$}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage %-----------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 10} \[f(x)=\frac{x^3-7x^2+14x-8}{x^2+2x-15}\]
Definitionsbereich bestimmen -- dazu werden die Nennernullstellen berechnet. \\
\begin{eqnarray*}
x^2+2x-15&=&0 \\
x_{1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1+15} \\
x_{1/2}&=&-1 \pm 4 \\
x_1=-5&&x_2=3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D=\mathbb{R}\setminus \{-5;3\}$}
\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_1=-5$:}\end{center}
\begin{center}$Z(-5)=(-5)^3-7 \cdot (-5)^2+14 \cdot (-5)-8=-378 \not=0
\quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
{Polstelle bei $x_1=-5$}\end{center}

\begin{center}\underline{Untersuchung für $x_2=3$:}\end{center}
\begin{center}$Z(3)=3^3-7 \cdot 3^2+14 \cdot 3-8=-2 \not=0
\quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
{Polstelle bei $x_2=3$}\end{center}

Die \textbf{Nullstellen} werden berechnet, indem man den \textbf{Zähler} der
Funktion gleich Null setzt. Da der Zähler ein Polynom 3. Grades darstellt,
können die Nullstellen des Zählers nicht analytisch bestimmt werden. Durch
\textbf{planvolles} Probieren erhalte ich $x_{01}=1$. Durch eine
Polynomdivision kann ich $(x-x_{01})$ ausklammern.
\[\begin{array}{rl}
\begin{array}{rrrr}
(x^3&-7x^2\ &+14x\ &-8) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&-6x^2\ &+14x\ &-8 \ \\
-&(-6x^2\ &+6x) \\
\hline
&&8x\ &-8 \ \\
&-&(8x\ &-8) \\
\hline
&&& 0 \
\end{array}&
\begin{array}{cccc}
:&(x-1)&=&x^2-6x+8 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\end{array}\]

Die weiteren Nullstellen finden wir, indem wir den Ergebnisterm gleich Null
setzen.
\begin{eqnarray*}
x^2-6x+8&=&0 \\
x_{02/03}&=& 3 \pm \sqrt{9-8}\\
&=&3 \pm 1 \\
x_{02}=2&&x_{03}=4
\end{eqnarray*}
Fehlt nur noch die Asymptote.
Die \textbf{Asymptotengleichung} wird bestimmt, indem man die Division
entsprechend der Funktionsgleichung durchführt und den "`Rest"' weglässt.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-7x^2&+14x\ &-8) \\
-(x^3&+2x^2&-15x) \\
\hline
&-9x^2&+29x\ &-8\ \\
-&(-9x^2&-18x\ &+135) \\
\hline
&&47x\ &-143\
\end{array}
\begin{array}{cccc}
:&(x^2+2x-15)&=&x-9+\frac{47x-143}{x^2+2x-15}\\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
\begin{center}Die Asymptotengleichung lautet: \fcolorbox{red}{yellow}
{$a(x)=x-9$}\end{center}
\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(-14.8,-39.2)(15.6,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=4,xunit=2]
  \psaxes[Dy=4,Dx=2]{->}(0,0)(-14.8,-39.2)(15.6,19.6)
  \uput[-90](15,0){x}  \uput[180](0,19){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-14.8}{-5.1}
{x 3 exp 7 x mul x mul sub 14 x mul add 8 sub
x x mul 2 x mul add 15 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.9}{2.999}
{x 3 exp 7 x mul x mul sub 14 x mul add 8 sub
x x mul 2 x mul add 15 sub div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{3.001}{15.6}
{x 3 exp 7 x mul x mul sub 14 x mul add 8 sub
x x mul 2 x mul add 15 sub div}
   \uput[-135](-2,4.5){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-14.8}{15.6}{x 9 sub}
   \uput[-45](6,-3){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](-5,-39.2)(-5,19.6)
   \uput[180](-5,6){\textcolor{green}{Pol 1}}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](3,-39.2)(3,19.6)
   \uput[180](3,-18){\textcolor{green}{Pol 2}}
\end{pspicture}\end{center}


\end{document}

%\psset{unit=1.0cm}   % Größe einer Einheit
%\begin{pspicture}(-8,-5)(8,5)  % von (x,y) bis (x,y)
%  \showgrid                    % Raster
%  \psaxes{->}(0,0)(-8,-5)(8,5) % Achsen: Schnittpunkt, von (x,y) bis (x,y)
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%\end{pspicture}
%\begin{window}[2,r,\includegraphics{Bilddatei},Bildunterschrift]
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