\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\captionsetup{labelformat=empty}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}
\begin{center}
\section*{Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften}
\end{center}

\paragraph*{Aufgabe 1}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=0$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{w}=1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\paragraph*{Aufgabe 2}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$T(5|-12,5)$} und
einen Hochpunkt bei \mbox{$H(1|3,5)$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung des Polynoms \mbox{$f(x)$}!

\paragraph*{Aufgabe 3}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(-1|8)$}. Bei
\mbox{$x=1$} lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-4x+4$} als Tangente an den Graphen der gesuchten
Funktion \mbox{$f_1(x)$} legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung!

\paragraph*{Aufgabe 4}
Ein Polynom 3. Grades berührt bei \mbox{$x_1=-2$} die Tangente mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-8x-15$}. Der Funktionsgraph
schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=1$}. Dort beträgt die Steigung
\mbox{$m=16$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}!

\paragraph*{Aufgabe 5}
Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse. Bei
\mbox{$x_w=-1$} hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=8x+6$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$}!

\paragraph*{Aufgabe 6}
Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph
der Funktion hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(2|48)$} und schneidet
die Gerade mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=5x+19$} an der Stelle
\mbox{$x_s=1$}.
Wie lautet die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion?

\paragraph*{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei \mbox{$S(0|4)$}. Bei
\mbox{$x_b=2$} berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=4x-8$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\paragraph*{Aufgabe 8}
Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-2x+4$} in ihrem Schnittpunkt mit der
$y$-Achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_3(x)=2x^2+3x-1$} schneidet die gesuchte Parabel bei
\mbox{$x_s=2$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Parabel!

\paragraph*{Aufgabe 9}
Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}
schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=x^2+4x-4$} bei \mbox{$x_1=-1$} , bei \mbox{$x_2=2$} und bei
\mbox{$x_3=5$}. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt
bei \mbox{$x_{h}=1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\newpage
\section*{Ergebnisse:}
(Die erforderlichen Lösungsansätze mit komplettem Lösungsweg finden Sie bei
Bedarf auf den nächsten Seiten.)
\paragraph*{Aufgabe 1}
$f_1(x)=x^3-3x^2-6x$

\paragraph*{Aufgabe 2}
$f(x)=0,5x^3-4,5x^2+7,5x$

\paragraph*{Aufgabe 3}
$f_1(x)=x^3-x^2-5x+5$

\paragraph*{Aufgabe 4}
$f_1(x)=2x^3+12x^2+16x+1$

\paragraph*{Aufgabe 5}
$f_1(x)=x^4-6x^2+3$

\paragraph*{Aufgabe 6}
$f_1(x)=-x^5+5x^3+20x$

\paragraph*{Aufgabe 7}
$f_1(x)=1,25x^4-3x^3+4$

\paragraph*{Aufgabe 8}
$f_1(x)=3,25x^2-2x+4$

\paragraph*{Aufgabe 9}
$f_1(x)=x^3-5x^2+7x+6$
\newpage
\subsection*{Hier die erforderlichen Lösungsansätze mit durchgerechneter
Lösung:}

\subsubsection*{Aufgabe 1}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=0$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{w}=1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f_1''(x)&=&6ax+2b \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert am Wendepunkt $x_w=1$ : \= $f_1(1)=f_2(1)=-8$ \= \kill
Nullstelle bei $x_0=0$ : \>$f_1(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d=0$ \\
Wendepunkt bei $x_w=1$ :\>$f''_1(1)=0$\> $\Rightarrow 6a+2b=0$ \\
Steigung am Wendepunkt $x_w=1$ :\>$f'_1(1)=f_2'(1)=-9$\>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=-9$ \\
Funktionswert am Wendepunkt $x_w=1$ :\>$f_1(1)=f_2(1)=-8$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=-8$ \\
\end{tabbing}
Aus der ersten Gleichung erhält man sofort den Parameter \mbox{$d=0$}.
Eingesetzt in die anderen Gleichungen erhält man ein Lineargleichungssystem 3.
Ordnung.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 6a&+2b&&=&0 \\
(2) & 3a&+2b&+c&=&-9 \\
(3) &  a& +b&+c&=&-8 \\
\hline
\end{array}\]
Nur in Gleichung (2) und (3) ist der Parameter $c$ enthalten. Da der Parameter
dort mit gleichem Koeffizienten\footnote{Der Koeffizient wird auch
\emph{Vorzahl} genannt. Das ist die Zahl, die vor einer Variablen steht.}
vorkommt, können die Gleichungen direkt voneinander subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(2) & 3a&+2b&+c&=&-9&| \\
(3) &  a& +b&+c&=&-8&|&- \\
\hline
(4) & 2a&+b&&=&-1
\end{array}\]
Damit bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(1) & 6a&+2b&=&0 \\
(4) & 2a&+b&=&-1 \\
\hline
\end{array}\]
Ich löse Gleichung (4) nach $b$ auf und setze das Ergebnis in Gleichung (1)
ein.
\begin{eqnarray*}
2a+b&=&-1 \quad|-2a \\
b&=&-1-2a
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (1):
\begin{eqnarray*}
6a+2b&=&0 \\
6a+2 \cdot (-1-2a)&=&0 \\
6a-2-4a&=&0 \quad|+2 \\
2a&=&2 \quad|:2 \\
a&=&1
\end{eqnarray*}
Mit der umgestellten Gleichung (1) bestimme ich $b$.
\[b=-1-2a=-1-2 \cdot 1=-3\]
Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein, um $c$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
a+b+c&=&-8 \\
1-3+c&=&-8 \quad|+2 \\
c&=&-6 \\
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-3x^2-6x$}

\newpage   %---------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 2}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$T(5|-12,5)$} und
einen Hochpunkt bei \mbox{$H(1|3,5)$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung des Polynoms \mbox{$f(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=5$ : \= $f(5)=-12,5$ \= \kill
Tiefpunkt bei $x_t=5$ : \>$f'(5)=0$ \>
  $\Rightarrow 75a+10b+c=0$ \\
Funktionswert am Tiefpunkt $x_t=5$ : \>$f(5)=-12,5$\>
  $\Rightarrow 125a+25b+5c+d=-12,5$ \\
Hochpunkt bei $x_h=1$ : \>$f'(1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=0$ \\
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=1$ : \>$f(1)=3,5$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=3,5$ \\
\end{tabbing}

Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b& +c&  &=&0 \\
(2) &125a&+25b&+5c&+d&=&-12,5 \\
(3) &  3a& +2b& +c&  &=&0 \\
(4) &   a&  +b& +c&+d&=&3,5 \\
\hline
\end{array}\]
Man erkennt sofort, dass der Parameter $d$ nur in zwei Gleichungen -- (2) und
(4) -- vorkommt. Da jeweils $d$ allein auftritt, können die Gleichungen sofort
voneinander subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(2) &125a&+25b&+5c&+d&=&-12,5&| \\
(4) &   a&  +b& +c&+d&=&3,5&|&- \\
\hline
(5) &124a&+24b&+4c&  &=&-16 \\
\end{array}\]
Mit dieser Gleichung (5) anstelle von (2) und (4) bleibt ein
Lineargleichungssystem 3. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b& +c&=&0 \\
(3) &  3a& +2b& +c&=&0 \\
(5) &124a&+24b&+4c&=&-16 \\
\hline
\end{array}\]
Zur Vereinfachung kann Gleichung (5) noch durch 4 dividiert werden.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b&+c&=&0 \\
(3) &  3a& +2b&+c&=&0 \\
(5) & 31a& +6b&+c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Jetzt sind alle Koeffizienten von $c$ gleich. Daher bietet sich das
Additions-/Subtraktionsverfahren an. Zunächst subtrahiere ich Gleichung (3) von
Gleichung (1).
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 75a&+10b&+c&=&0&| \\
(3) &  3a& +2b&+c&=&0&|&- \\
\hline
(6) & 72a& +8b&  &=&0 \\
\end{array}\]
Dann subtrahiere ich Gleichung (5) von Gleichung (1).
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 75a&+10b&+c&=&0&| \\
(5) & 31a& +6b&+c&=&-4&|&- \\
\hline
(7) & 44a& +4b&  &=&4 \\
\end{array}\]
Gleichung (6) und (7) stellen nun ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung dar.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(6) & 72a& +8b&=&0 \\
(7) & 44a& +4b&=&4 \\
\hline
\end{array}\]
Beide Gleichungen können noch etwas vereinfacht werden. Gleichung (6) lässt
sich durch 8 dividieren und Gleichung (7) durch 4.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(6) & 9a& +b&=&0 \\
(7) &11a& +b&=&1 \\
\hline
\end{array}\]
In dieser Form lassen sich die Gleichungen voneinander subtrahieren, so dass
$b$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(6) & 9a& +b&=&0&|&- \\
(7) &11a& +b&=&1&| \\
\hline
    & 2a&   &=&1&|&:2 \\
    &  a&   &=&0,5
\end{array}\]
Dieses Ergebnis setze ich in Gleichung (6) ein.
\begin{eqnarray*}
9a+b&=&0 \\
9 \cdot 0,5+b&=&0 \quad|-4,5 \\
b&=&-4,5
\end{eqnarray*}
Diese Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein.
\begin{eqnarray*}
3a+2b+c&=&0 \\
3 \cdot 0,5+2 \cdot (-4,5)+c&=&0 \\
-7,5+c&=&0 \quad|+7,5 \\
c&=&7,5
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=0,5x^3-4,5x^2+7,5x$}

\newpage  %-----------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 3}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(-1|8)$}. Bei
\mbox{$x=1$} lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-4x+4$} als Tangente an den Graphen der gesuchten
Funktion \mbox{$f_1(x)$} legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=-1$ : \= $f_1'(1)=f_2'(1)=-4$ \= \kill
Hochpunkt bei $x_h=-1$ : \>$f_1'(-1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a-2b+c=0$ \\
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=-1$ : \>$f_1(-1)=8$\>
  $\Rightarrow -a+b-c+d=8$ \\
Steigung bei $x_1=1$ : \>$f_1'(1)=f_2'(1)=-4$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=-4$ \\
Funktionswert bei $x_1=1$ : \>$f_1(1)=f_2(1)=0$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=0$ \\
\end{tabbing}
Damit haben wir folgendes Gleichungssystem erhalten:
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & 3a&-2b&+c&  &=&0 \\
(2) & -a& +b&-c&+d&=&8 \\
(3) & 3a&+2b&+c&  &=&-4 \\
(4) &  a& +b&+c&+d&=&0 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass der Parameter $d$ nur in Gleichung (2) und (4) enthalten
ist. Daher ist es sinnvoll, diese beiden Gleichungen so miteinander zu
kombinieren, dass $d$ wegfällt. Das geht ab besten durch Subtrahieren. Die neue
Gleichung bekommt die Nummer (5).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(2) & -a& +b&-c&+d&=&8&|&- \\
(4) &  a& +b&+c&+d&=&0&|& \\
\hline
(5)=(4)-(2)&2a&&+2c&&=&-8
\end{array}\]
Zufälligerweise ist dabei auch $b$ weggefallen. Auf jeden Fall haben wir jetzt
nur noch 3 Gleichungen mit 3 Variablen.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(5) &2a&&+2c&=&-8 \\
(1) & 3a&-2b&+c&=&0 \\
(3) & 3a&+2b&+c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Addiert man Gleichung (1) und (3), dann fällt $b$ weg und es bleiben nur noch
zwei Gleichungen mit zwei Variablen übrig.
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 3a&-2b&+c&=&0 &| \\
(3) & 3a&+2b&+c&=&-4&|&+ \\
\hline
(6) & 6a&&+2c&=&-4 \\
\end{array}\]
Das wiederum vereinfachte Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(5) &2a&+2c&=&-8 \\
(6) & 6a&+2c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
In diesem Gleichungssystem kann bequem $c$ eliminiert werden, wenn man die
Gleichungen voneinander subtrahiert.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(5) &2a&+2c&=&-8 &|&-\\
(6) & 6a&+2c&=&-4&| \\
\hline
    & 4a&   &=&4&|&:4 \\
    &  a&   &=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein.
\begin{eqnarray*}
2a+2c&=&-8 \\
2 \cdot 1+2c&=&-8 \quad|-2 \\
2c&=&-10 \quad|:2 \\
c&=&-5 \\
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
3a-2b+c&=&0 \\
3 \cdot 1-2b-5&=&0 \\
-2b-2&=&0 \quad|+2 \\
-2b&=&2 \quad|:(-2) \\
b&=&-1 \\
\end{eqnarray*}
Jetzt fehlt nur noch $d$. Dazu verwende ich Gleichung (4).
\begin{eqnarray*}
a+b+c+d&=&0 \\
1-1-5+d&=&0 \quad|+5 \\
d&=&5 \\
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-x^2-5x+5$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 4}
Ein Polynom 3. Grades berührt bei \mbox{$x_1=-2$} die Tangente mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-8x-15$}. Der Funktionsgraph
schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=1$}. Dort beträgt die Steigung
\mbox{$m=16$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_1=-2$ : \=$f_1'(-2)=f_2'(-2)=-8$ \= \kill
Steigung bei $x_1=-2$ : \>$f_1'(-2)=f_2'(-2)=-8$ \>
  $\Rightarrow 12a-4b+c=-8$ \\
Funktionswert bei $x_1=-2$ : \>$f_1(-2)=f_2(-2)=1$\>
  $\Rightarrow -8a+4b-2c+d=1$ \\
Funktionswert bei $x_2=0$ : \>$f_1(0)=1$\>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d=1$ \\
Steigung bei $x_2=0$ : \>$f_1'(0)=16$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=16$ \\
\end{tabbing}

Bekannt sind aus den beiden letzten Gleichungen sofort \mbox{$c=16$} und
\mbox{$d=1$}. Setzen wir das in die beiden ersten Gleichungen ein, erhalten
wir:
\[\begin{array}{rrcl}
(1) & 12a-4b+c&=&-8 \\
(2) & -8a+4b-2c+d&=&1 \\
\hline
(1) & 12a-4b+16&=&-8 \\
(2) & -8a+4b-2 \cdot 16+1&=&1 \\
\hline
(1) & 12a-4b&=&-24 \\
(2) & -8a+4b&=&32 \\
\hline
\end{array}\]
Es bietet sich an, die beiden Gleichungen zu addieren, damit $b$ wegfällt.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 12a&-4b&=&-24&| \\
(2) & -8a&+4b&=&32 &|&+\\
\hline
    &  4a&   &=&8  &|&:4 \\
    &   a&   &=&2
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein.
\begin{eqnarray*}
-8a+4b&=&32 \\
-8 \cdot 2+4b&=&32 \quad|+16 \\
4b&=&48 \quad|:4 \\
b&=&12
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=2x^3+12x^2+16x+1$}


\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 5}
Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse. Bei
\mbox{$x_w=-1$} hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=8x+6$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \textnormal{ Wegen Spiegelsymmetrie: }
  \Rightarrow b=d=0 \textnormal{ also:}\\
f_1(x)&=&ax^4+cx^2+e \\
f_1'(x)&=&4ax^3+2cx \\
f_1''(x)&=&12ax^2+2c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_w=-1$ : \= $f_1'(-1)=f_2'(-1)=-2$ \= \kill
Wendepunkt bei $x_w=-1$ : \> $f_1''(-1)=0$ \> $\Rightarrow 12a+2c=0$ \\
Steigung bei $x_w=-1$ : \> $f_1'(-1)=f_2'(-1)=8$ \>
  $\Rightarrow -4a-2c=8$ \\
Funktionswert bei $x_w=-1$ : \> $f_1(-1)=f_2(-1)=-2$ \>
  $\Rightarrow a+c+e=-2$
\end{tabbing}
Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|rrrrcl|}
\hline
(1) &  12a&+2c&  &=&0 \\
(2) &  -4a&-2c&  &=&8 \\
(3) &    a& +c&+e&=&-2 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass die Koeffizienten von $c$ in Gleichung (1) und (2) bis auf
das Vorzeichen identisch sind. Addiert man diese Gleichungen, dann bleibt nur
$a$ übrig und kann aus dieser einen Gleichung berechnet werden.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 12a&+2c&=&0&| \\
(2) & -4a&-2c&=&8&|&+ \\
\hline
    &  8a&&=&8&|&:8 \\
    &   a&&=&1
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
12a+2c&=&0 \\
12 \cdot 1+2c&=&0 \\
12+2c&=&0 \quad|-12 \\
2c&=&-12 \quad|:2 \\
c&=&-6 \\
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (3) eingesetzt, um $e$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
a+c+e&=&-2 \\
1-6+e&=&-2 \\
-5+e&=&-2 \quad|+5 \\
e&=&3 \\
\end{eqnarray*}      \enlargethispage{10mm}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^4-6x^2+3$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 6}
Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph
der Funktion hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(2|48)$} und schneidet
die Gerade mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=5x+19$} an der Stelle
\mbox{$x_s=1$}.
Wie lautet die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion?

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f \textnormal{ Wegen Punktsymmetrie: }
  \Rightarrow b=d=f=0 \textnormal{ also:}\\
f_1(x)&=&ax^5+cx^3+ex \\
f_1'(x)&=&5ax^4+3cx^2+e \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_h=2$ : \= $f_1(1)=f_2(1)=24$ \=  \kill
Hochpunkt bei $x_h=2$ : \> $f_1'(2)=0$ \> $\Rightarrow 80a+12c+e=0$ \\
Funktionswert bei $x_h=2$ : \> $f_1(2)=48$ \> $\Rightarrow 32a+8c+2e=48$ \\
Funktionswert bei $x_s=1$ : \> $f_1(1)=f_2(1)=24$ \> $\Rightarrow
  a+c+e=24$
\end{tabbing}
Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|rrrrcl|}
\hline
(1) & 80a&+12c& +e&=&0 \\
(2) & 32a& +8c&+2e&=&48 \\
(3) &   a&  +c& +e&=&24 \\
\hline
\end{array}\]
Da das Gleichungssystem keine Besonderheiten aufweist, die ein bestimmtes
Vorgehen als besonders günstig erscheinen lassen, wähle ich zur Lösung die
Cramersche Regel.
\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{\begin{array}{|ccc|}
 0 & 12 & 1 \\
48 &  8 & 2 \\
24 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
 0 & 12 \\
48 &  8 \\
24 &  1 \\
\end{array}}}
{\begin{array}{|ccc|}
80 & 12 & 1 \\
32 &  8 & 2 \\
 1 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
80 & 12 \\
32 &  8 \\
 1 &  1 \\
\end{array}}}\\
&=&\frac{0+576+48-0-192-576}{640+24+32-8-160-384}\\
&=&\frac{-144}{144}\\
a&=&-1 \\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
b&=&\frac{\begin{array}{|ccc|}
80 &  0 & 1 \\
32 & 48 & 2 \\
 1 & 24 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
80 &  0 \\
32 & 48 \\
 1 & 24 \\
\end{array}}}
{144}\\
&=&\frac{3840+0+768-48-3840-0}{144}\\
&=&\frac{720}{144}\\
b&=&5 \\
\end{eqnarray*}
Zur Bestimmung von $c$ setze ich diese Werte in Gleichung (3) ein.
\begin{eqnarray*}
a+c+e&=&24 \\
-1+5+e&=&24 \quad|-4 \\
e&=&20
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=-x^5+5x^3+20x$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei \mbox{$S(0|4)$}. Bei
\mbox{$x_b=2$} berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=4x-8$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f_1'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d \\
f_1''(x)&=&12ax+6bx+2c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Sattelpunkt $\Rightarrow$ Wendepunkt bei $x_s=0$ : \= $f_1'(2)=f_2'(2)=4$ \= \kill
Sattelpunkt bei $x_s=0$ : \> $f_1'(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0  \cdot c+d=0$ \\
Sattelpunkt $\Rightarrow$ Wendepunkt bei $x_s=0$ : \> $f_1''(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=0$ \\
Funktionswert bei $x_s=0$ : \> $f_1(0)=4$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0  \cdot c+0 \cdot d+e=4$ \\
Steigung bei $x_b=2$ : \> $f_1'(2)=f_2'(2)=4$ \>
  $\Rightarrow 32a+12b+4c+d=4$ \\
Funktionswert bei $x_b=2$ : \> $f_1(2)=f_2(2)=0$ \>
  $\Rightarrow 16a+8b+4c+2d+e=0$
\end{tabbing}
Aus den ersten drei Gleichungen ergeben sich sofort die Parameter
\mbox{$d=0$}, \mbox{$c=0$} und \mbox{$e=4$}.
Diese Ergebnisse setze ich in die letzten beiden Gleichungen ein.
\[\begin{array}{rrcl}
(1) & 32a+12b+4c+d&=&4 \\
(2) & 16a+8b+4c+2d+e&=&0 \\
\hline
(1) & 32a+12b&=&4 \\
(2) & 16a+8b+4&=&0 \\
\hline
(1) & 32a+12b&=&4 \\
(2) & 16a+8b&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Dividiert man die erste Gleichung durch 2, dann kann man die Gleichungen
voneinander subtrahieren, um $b$ zu erhalten.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 32a&+12b&=&4&|&:2 \\
(2) & 16a&+8b&=&-4 \\
\hline
(1) & 16a&+6b&=&2&|&- \\
(2) & 16a&+8b&=&-4&|& \\
\hline
    &    &2b&=&-6&|&:2 \\
    &    & b&=&-3
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein.
\begin{eqnarray*}
16a+8b&=&-4 \\
16a+8 \cdot (-3)&=&-4 \quad|+24 \\
16a&=&20 \quad|:16 \\
a&=&1,25
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=1,25x^4-3x^3+4$}


\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 8}
Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-2x+4$} in ihrem Schnittpunkt mit der
$y$-Achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_3(x)=2x^2+3x-1$} schneidet die gesuchte Parabel bei
\mbox{$x_s=2$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Parabel!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^2+bx+c \\
f_1'(x)&=&2ax+b \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_b=0$ : \= $f_1'(0)=f_2'(0)=-2$ \= \kill
Steigung bei $x_b=0$ : \> $f_1'(0)=f_2'(0)=-2$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+b=-2$ \\
Funktionswert bei $x_b=0$ : \> $f_1(0)=f_2(0)=4$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=4$ \\
Funktionswert bei $x_s=2$ : \> $f_1(2)=f_3(2)=13$
  $\Rightarrow 4a+2b+c=13$
\end{tabbing}

Die weitere Lösung ist sehr simpel. Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt
sich direkt \mbox{$b=-2$} und \mbox{$c=4$}. Diese Werte müssen nur noch in die
dritte Gleichung eingesetzt werden.
\begin{eqnarray*}
4a+2b+c&=&13 \\
4a+2 \cdot (-2)+4&=&13 \\
4a&=&13 \quad|:4 \\
a&=&3,25
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=3,25x^2-2x+4$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsubsection*{Aufgabe 9}
Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}
schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=x^2+4x-4$} bei \mbox{$x_1=-1$} , bei \mbox{$x_2=2$} und bei
\mbox{$x_3=5$}. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt
bei \mbox{$x_{h}=1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_1=-1$ : \= $f_1(-1)=f_2(-1)=-7$ \= \kill
Funktionswert bei $x_1=-1$ : \> $f_1(-1)=f_2(-1)=-7$ \>
  $\Rightarrow -a+b-c+d=-7$ \\
Funktionswert bei $x_1=2$ : \> $f_1(2)=f_2(2)=8$ \>
  $\Rightarrow 8a+4b+2c+d=8$ \\
Funktionswert bei $x_1=5$ : \> $f_1(5)=f_2(5)=41$ \>
  $\Rightarrow 125a+25b+5c+d=41$ \\
Hochpunkt bei $x_h=1$ : \> $f_1'(1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=0$
\end{tabbing}
Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & -a&+b&-c&+d&=&-7 \\
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8 \\
(3) & 125a&+25b&+5c&+d&=&41 \\
(4) & 3a&+2b&+c&&=&0 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass der Parameter $d$ in Gleichung (4) nicht vorkommt und in den
anderen Gleichungen jeweils nur einfach. Daher bietet es sich an, zunächst $d$
zu eliminieren. Dazu subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2) und
erhalte Gleichung (5).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(1) & -a&+b&-c&+d&=&-7&|&- \\
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8&| \\
\hline
(5) & 9a&+3b&+3c&&=&15
\end{array}\]
Dann subtrahiere ich Gleichung (2) von Gleichung (3) und erhalte Gleichung (6).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
\hline
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8&|&- \\
(3) & 125a&+25b&+5c&+d&=&41&| \\
\hline
(6) & 117a&+21b&+3c&&=&33
\end{array}\]
Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(4) & 3a&+2b&+c&=&0 \\
(5) & 9a&+3b&+3c&=&15 \\
(6) & 117a&+21b&+3c&=&33 \\
\hline
\end{array}\]
Das Gleichungssystem lässt sich etwas vereinfachen, wenn man sowohl Gleichung
(5) als auch Gleichung (6) durch 3 dividiert.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(4) & 3a&+2b&+c&=&0 \\
(5) & 3a&+b&+c&=&5 \\
(6) & 39a&+7b&+c&=&11 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass in Gleichung (4) und (5) die Koeffizienten von $a$ und $c$
übereinstimmen. Das kann man ausnutzen, indem man die beiden Gleichungen
voneinander subtrahiert. Dann fallen beide gleichzeitig weg!
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(4) & 3a&+2b&+c&=&0&| \\
(5) & 3a&+b&+c&=&5&|&- \\
\hline
(7) &   &  b& &=&-5 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird nun in Gleichung (6) und entweder in Gleichung (4) oder
Gleichung (5) eingesetzt. Ich wähle willkürlich Gleichung (5) aus. Dann bleibt
ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(5) & 3a&-5&+c&=&5 \\
(6) & 39a&+7 \cdot (-5)&+c&=&11 \\
\hline
\end{array}\]
Aufgelöst in Normalform sieht das System so aus:
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(5) & 3a&+c&=&10 \\
(6) & 39a&+c&=&46 \\
\hline
\end{array}\]
Da jeweils $c$ allein vorkommt, können die Gleichungen sofort voneinander
subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(5) & 3a&+c&=&10&|&- \\
(6) & 39a&+c&=&46&| \\
\hline
    & 36a&&=&36&|&:36 \\
    &   a&&=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein.
\begin{eqnarray*}
3a+c&=&10 \\
3 \cdot 1+c&=&10 \quad|-3 \\
c&=&7 \\
\end{eqnarray*}
Alle Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein, um $d$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
-a+b-c+d&=&-7 \\
-1-5-7+d&=&-7 \quad|+13 \\
d&=&6
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-5x^2+7x+6$}


\end{document}
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%\caption{Bildunterschrift}
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