\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\fi                   %
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\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}
\section*{Musterlösungen zur Klassenarbeit}

\subsection*{Aufgabe 1: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{4x^2}{9x^2+27}\]

\subsection*{Aufgabe 2: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{8x^2}{7x^2+21}\]

\subsection*{Aufgabe 3: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{2x^2+3}{x^2+3}\]

\subsection*{Aufgabe 4: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{4x^2+6}{x^2+3}\]

\subsection*{Aufgabe 5: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_w=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=3x-4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=4$. Wie lautet
die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Aufgabe 6: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_w=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=-3x+4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=1$. Wie lautet
die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Aufgabe 7: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt bei $W(3|-4)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=-9x+7$ als Tangente. Wie
lautet die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Aufgabe 8: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt bei $W(3|2)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=9x-9$ als Tangente. Wie
lautet die Funktionsgleichung? \\
\newpage

\section*{Durchgerechnete Lösungen}
\subsection*{Aufgabe 1: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{4x^2}{9x^2+27}\]

\subsection*{Lösung:}
\paragraph*{Definitionsbereich:}
Zur Bestimmung des Definitionsbereiches müssen die Nullstellen des Nenners
ermittelt werden.
\begin{eqnarray*}
9x^2+27&=&0 \\
x^2+3&=&0 \\
x^2&=&-3 \\
x_{1/2}&=& \pm \sqrt{-3} \\
\end{eqnarray*}
Hierzu gibt es keine (reellen) Lösungen. Daher gibt es keine
Einschränkungen im Definitionsbereich. Damit gibt es auch weder
\emph{\textbf{Polstellen}} noch \emph{\textbf{Lücken}}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\end{center}

\paragraph*{Achsenabschnitte:}
Zunächst bestimmen wir den Abschnitt $y_0$ auf der $y$-Achse. Man erhält ihn,
indem man 0 für $x$ einsetzt.
\[y_0=f(0)= \frac{4 \cdot 0^2}{9 \cdot 0^2+27}=\frac{0}{27}=0\]
\begin{center}$y$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$y_0=0$}\end{center}
Der Abschnitt auf der $x$-Achse ergibt sich für den (oder die) $x$-Wert(e), wo
der Funktionswert 0 ist.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
\frac{4x_0^2}{9x_0^2+27}&=&0 \quad|\cdot (9x_0^2+27) \\
4x_0^2&=&0 \quad|:4 \\
x_0^2&=&0 \quad| \sqrt{\,} \\
x_0&=&0 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}$x$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=0$}\end{center}

\paragraph*{Ableitungen:}
Die erste Ableitung wird mit der \emph{Quotientenregel} bestimt. Dabei ist
$u(x)=4x^2$ und $v(x)=9x^2+27$.
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{\overbrace{8x}^{u'}\cdot ( \overbrace{9x^2+27}^{v})
        -\overbrace{4x^2}^{u} \cdot \overbrace{18x}^{v'}}
       {\underbrace{(9x^2+27)^2}_{v^2}}\\
&=&\frac{72x^3+216x-72x^3}{(9x^2+27)^2}\\
&=&\frac{216x}{(9x^2+27)^2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die erste Ableitung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f'(x)=\frac{216x}{(9x^2+27)^2}$}\end{center}
Die zweite Ableitung muss ebenfalls mit der Quotientenregel bestimmt werden.
Dabei sind natürlich \emph{nicht} $u$ und $v$ von der Bestimmung der ersten
Ableitung zu verwenden, sondern es gibt völlig andere Terme. Es ist hier
$u(x)=216x$ und $v(x)=(9x^2+27)^2$. \\

Da die Hilfsableitung $v'(x)$ etwas knifflig zu bestimmen ist, führe ich das in
einer Nebenrechnung vorweg durch. Wegen der Aufbaus von $v(x)$ kommt hier die
\emph{Kettenregel} zum Einsatz. Die innere Funktion $g(x)$ ist dann der
Klammerinhalt.
\[\begin{array}{lcl}
g(x)=9x^2+27 &\Rightarrow& g'(x)=18x \\
v(g)=g^2 &\Rightarrow& v'(g)=2g=2 \cdot (9x^2+27) \\
\end{array}\]
\[v'(x)= \underbrace{18x}_{g'(x)} \cdot \underbrace{2 \cdot (9x^2+27)}_{v'(g)}\]
Ich fasse das noch etwas zusammen und erhalte:
\[v'(x)=36x \cdot (9x^2+27) \]
Dabei sollte man \emph{\textbf{auf keinen Fall}} auch noch die Klammer
ausmultiplizieren. Dann sieht man nämlich im nächsten Schritt nicht mehr, dass
man den Bruch kürzen -- also erheblich vereinfachen -- kann. Bilden wir nun die
zweite Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f''(x)&=&\frac{\overbrace{216}^{u'}\cdot \overbrace{(9x^2+27)^2}^{v}
         -\overbrace{216x}^{u}\cdot \overbrace{36x \cdot (9x^2+27)}^{v'}}
         {\underbrace{(9x^2+27)^4}_{v^2}} \quad|\textnormal{ Ausklammern: }
         \left( 9x^2+27 \right) \\
&=&\frac{(9x^2+27) \cdot \biggl(216 \cdot (9x^2+27)
        -216x \cdot 36x \biggr)}{(9x^2+27)^4} \quad|\textnormal{ Kürzen}\\
&=&\frac{216 \cdot (9x^2+27)
        -216x \cdot 36x}{(9x^2+27)^3} \quad|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
&=&\frac{1944x^2+5832-7776x^2}{(9x^2+27)^3} \\
f'(x)&=&\frac{-5832x^2+5832}{(9x^2+27)^3} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die zweite Ableitung lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f''(x)= \frac{-5832x^2+5832}{( 9x^2+27)^3}$}\end{center}

\paragraph*{Extrema:}
Jetzt können wir die Hoch- Tief- und Sattelpunkte bestimmen. Notwendige
Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung Null wird.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
\frac{216x_E}{(9x_E^2+27)^2}&=&0 \quad|\cdot (9x_E^2+27)^2 \\
216x_E&=&0 \quad|:216 \\
x_E&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir einen Kandidaten für einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt
gefunden. Was genau dort los ist, können wir am einfachsten mit Hilfe der
zweiten Ableitung bestimmen, denn die haben wir ja schon.
\[f''(0)= \frac{-5832 \cdot 0^2+5832}{(9 \cdot 0^2+27)^3}
= \frac{8}{27}>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt bei }x_E=0 \]
Berechnen wir schnell noch den $y$-Wert für den Tiefpunkt:
\[y_E=f(x_E)= \frac{4 \cdot 0^2}{9 \cdot 0^2+27}=0 \]
\begin{center}Der Tiefpunkt lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$T(0|0)$}\end{center}

\paragraph*{Wendepunkte:}
Widmen wir uns nun den möglichen Wendepunkten. Notwendige Bedingung für einen
Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung dort Null ist.
\begin{eqnarray*}
f''(x_w)&=&0 \\
\frac{-5832x_w^2+5832}{(9x_w^2+27)^3}&=&0 \quad|\cdot (9x_w^2+27)^3 \\
-5832x_w^2+5832&=&0 \quad|-5832 \\
-5832x_w^2&=&-5832 \quad|:(-5832) \\
x_w^2&=&1 \quad|\sqrt{\ } \\
x_{w1/2}&=&\pm 1 \\
x_{w1}=-1 && x_{w2}=1 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir zwei Kandidaten für Wendepunkte erhalten. Für beide müssen wir
prüfen, ob tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Das kann man bekanntlich mit zwei
verschiedenen Methoden überprüfen. Da ich keine Lust habe, noch die dritte
Ableitung zu bilden, verwende ich die andere Methode, die mit der zweiten
Ableitung auskommt. Ich muss dann prüfen, ob zwei Nachbarstellen links und
rechts von dem zu untersuchenden Kanditaten unterschiedliches Vorzeichen bei
der zweiten Ableitung ergeben. Wenn ich die Nachbarstellen näher, als die
nächste Nullstelle (oder Polstelle) der zweiten Ableitung wähle, kann ich dann
schließen, dass die zweite Ableitung an der zu untersuchenden Stelle einen
Vorzeichenwechsel hat. Als Nachbarn zu $x_{w1}=-1$ wähle ich $-2$ und 0, als
Nachbarn zu $x_{w2}=1$ wähle ich 0 und 2.
\[\begin{array}{lcl}
\left\{ \begin{array}{l}
f''(-2)= \frac{-5832 \cdot (-2)^2+5832}{\left( 9 \cdot (-2)^2+27 \right)^3}
       =-\frac{17496}{250047}<0 \\
f''(0)= \frac{-5832 \cdot 0^2+5832}{(9 \cdot 0^2+27)^3}
       =\frac{8}{27}>0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w1}=-1 \\ \\
\left\{ \begin{array}{l}
f''(0)= \frac{-5832 \cdot 0^2+5832}{(9 \cdot 0^2+27)^3}
       =\frac{8}{27}>0 \\
f''(2)= \frac{-5832 \cdot 2^2+5832}{(9 \cdot 2^2+27)^3}
       =-\frac{17496}{250047}<0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w2}=1 \\
\end{array}\]
Da wir in beiden Fällen einen Vorzeichenwechsel hatten, ergeben beide
Kandidaten einen Wendepunkt. Es fehlen dann noch die zugehörigen $y$-Werte.
\[y_{w1}=f(x_{w1})= \frac{4x_{w1}^2}{9x_{w1}^2+27}
  = \frac{4 \cdot (-1)^2}{9 \cdot (-1)^2+27}=\frac{1}{9}\]
\[y_{w2}=f(x_{w2})= \frac{4x_{w2}^2}{9x_{w2}^2+27}
  = \frac{4 \cdot 1^2}{9 \cdot 1^2+27}=\frac{1}{9}\]
\begin{center}Wir erhalten also die Wendepunkte:
\fcolorbox{red}{yellow}{$W_1 \left(-1|\frac{1}{9}\right)$}
und \fcolorbox{red}{yellow}{$W_2 \left(1|\frac{1}{9}\right)$}
\end{center}

\paragraph*{Asymptote:}
Um den Graphen einfach skizzieren zu können, ist es zweckmäßig, die Asymptote
zu bestimmen. Bekanntlich macht man das, indem man den Funktionsterm, der ja
einen Bruch darstellt, als Polynomdivision ansetzt.
\[\begin{array}{rr}
(4x^2& ) \\
-(4x^2&+36) \\
\hline
  &-36 \ \\
\end{array}
\begin{array}{llll}
:&(9x^2+27)&=&\frac{4}{9}-\frac{36}{9x^2+27} \\
\\
\\
\end{array}\]
Die Asymptote ist dann das Divisionsergebnis ohne den "`Rest"', also nur der
Bruch $\frac{4}{9}$ ohne den Term $-\frac{36}{9x^2+27}$.
\begin{center}Asyptote:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)= \frac{4}{9}$}\end{center}

\paragraph*{Skizze:} Die Asymptote stellt eine Parallele zur $x$-Achse auf der
Höhe von $\frac{4}{9}\approx 0,444$ dar. Den Tiefpunkt (identisch mit den
Achsenschnittpunkten) und die Wendepunkte trägt man ein, dann ergibt sich
sofort der Kurvenverlauf. \\

\begin{center}\psset{xunit=14mm,yunit=140mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-0.16)(4.8,0.76)
  \psgrid[subgriddiv=50,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
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          gridlabels=0pt,
          yunit=1,xunit=10]
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  \uput[-90](4.7,0){x}  \uput[180](0,0.74){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{4.8}
{4 x x mul mul 9 x x mul mul 27 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{4.8}{4 9 div}
   \uput[-45](3,0.33){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \uput[-45](1,0.444){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](0,0){3pt}
    \uput[-45](0,0){\textcolor{red}{$T$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-1,0.111){3pt}
    \uput[-135](-1,0.111){\textcolor{red}{$W_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](1,0.111){3pt}
    \uput[-45](1,0.111){\textcolor{red}{$W_2$}}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage

\subsection*{Aufgabe 2: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{8x^2}{7x^2+21}\]

\subsection*{Lösung:}
\paragraph*{Definitionsbereich:}
Zur Bestimmung des Definitionsbereiches müssen die Nullstellen des Nenners
ermittelt werden.
\begin{eqnarray*}
7x^2+21&=&0 \\
x^2+3&=&0 \\
x^2&=&-3 \\
x_{1/2}&=& \pm \sqrt{-3} \\
\end{eqnarray*}
Hierzu gibt es keine (reellen) Lösungen. Daher gibt es keine
Einschränkungen im Definitionsbereich. Damit gibt es auch weder
\emph{\textbf{Polstellen}} noch \emph{\textbf{Lücken}}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\end{center}

\paragraph*{Achsenabschnitte:}
Zunächst bestimmen wir den Abschnitt $y_0$ auf der $y$-Achse. Man erhält ihn,
indem man 0 für $x$ einsetzt.
\[y_0=f(0)= \frac{8 \cdot 0^2}{7 \cdot 0^2+21}=\frac{0}{21}=0\]
\begin{center}$y$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$y_0=0$}\end{center}
Der Abschnitt auf der $x$-Achse ergibt sich für den (oder die) $x$-Wert(e), wo
der Funktionswert 0 ist.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
\frac{8x_0^2}{7x_0^2+21}&=&0 \quad|\cdot (7x_0^2+21) \\
8x_0^2&=&0 \quad|:8 \\
x_0^2&=&0 \quad| \sqrt{\,} \\
x_0&=&0 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}$x$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$x_0=0$}\end{center}

\paragraph*{Ableitungen:}
Die erste Ableitung wird mit der \emph{Quotientenregel} bestimt. Dabei ist
$u(x)=8x^2$ und $v(x)=7x^2+21$.
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{\overbrace{16x}^{u'}\cdot ( \overbrace{7x^2+21}^{v})
        -\overbrace{8x^2}^{u} \cdot \overbrace{14x}^{v'}}
       {\underbrace{(7x^2+21)^2}_{v^2}}\\
&=&\frac{112x^3+336x-112x^3}{(7x^2+21)^2}\\
&=&\frac{336x}{(7x^2+21)^2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die erste Ableitung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f'(x)=\frac{336x}{(7x^2+21)^2}$}\end{center}
Die zweite Ableitung muss ebenfalls mit der Quotientenregel bestimmt werden.
Dabei sind natürlich \emph{nicht} $u$ und $v$ von der Bestimmung der ersten
Ableitung zu verwenden, sondern es gibt völlig andere Terme. Es ist hier
$u(x)=336x$ und $v(x)=(7x^2+21)^2$. \\

Da die Hilfsableitung $v'(x)$ etwas knifflig zu bestimmen ist, führe ich das in
einer Nebenrechnung vorweg durch. Wegen der Aufbaus von $v(x)$ kommt hier die
\emph{Kettenregel} zum Einsatz. Die innere Funktion $g(x)$ ist dann der
Klammerinhalt.
\[\begin{array}{lcl}
g(x)=7x^2+21 &\Rightarrow& g'(x)=14x \\
v(g)=g^2 &\Rightarrow& v'(g)=2g=2 \cdot (7x^2+21) \\
\end{array}\]
\[v'(x)= \underbrace{14x}_{g'(x)} \cdot \underbrace{2 \cdot (7x^2+21)}_{v'(g)}\]
Ich fasse das noch etwas zusammen und erhalte:
\[v'(x)=28x \cdot (7x^2+21) \]
Dabei sollte man \emph{\textbf{auf keinen Fall}} auch noch die Klammer
ausmultiplizieren. Dann sieht man nämlich im nächsten Schritt nicht mehr, dass
man den Bruch kürzen -- also erheblich vereinfachen -- kann. Bilden wir nun die
zweite Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f''(x)&=&\frac{\overbrace{336}^{u'}\cdot \overbrace{(7x^2+21)^2}^{v}
         -\overbrace{336x}^{u}\cdot \overbrace{28x \cdot (7x^2+21)}^{v'}}
         {\underbrace{(7x^2+21)^4}_{v^2}} \quad|\textnormal{ Ausklammern: }
         \left( 7x^2+21 \right) \\
&=&\frac{(7x^2+21) \cdot \biggl(336 \cdot (7x^2+21)
        -336x \cdot 28x \biggr)}{(7x^2+21)^4} \quad|\textnormal{ Kürzen}\\
&=&\frac{336 \cdot (7x^2+21)
        -336x \cdot 28x}{(7x^2+21)^3} \quad|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
&=&\frac{2352x^2+7056-9408x^2}{(7x^2+21)^3} \\
f'(x)&=&\frac{-7056x^2+7056}{(7x^2+21)^3} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die zweite Ableitung lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f''(x)= \frac{-7056x^2+7056}{(7x^2+21)^3}$}\end{center}

\paragraph*{Extrema:}
Jetzt können wir die Hoch- Tief- und Sattelpunkte bestimmen. Notwendige
Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung Null wird.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
\frac{336x_E}{(7x_E^2+21)^2}&=&0 \quad|\cdot (7x_E^2+21)^2 \\
336x_E&=&0 \quad|:336 \\
x_E&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir einen Kandidaten für einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt
gefunden. Was genau dort los ist, können wir am einfachsten mit Hilfe der
zweiten Ableitung bestimmen, denn die haben wir ja schon.
\[f''(0)= \frac{-7056 \cdot 0^2+7056}{(7 \cdot 0^2+21)^3}
= \frac{16}{21}>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt bei }x_E=0 \]
Berechnen wir schnell noch den $y$-Wert für den Tiefpunkt:
\[y_E=f(x_E)= \frac{8 \cdot 0^2}{7 \cdot 0^2+21}=0 \]
\begin{center}Der Tiefpunkt lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$T(0|0)$}\end{center}

\paragraph*{Wendepunkte:}
Widmen wir uns nun den möglichen Wendepunkten. Notwendige Bedingung für einen
Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung dort Null ist.
\begin{eqnarray*}
f''(x_w)&=&0 \\
\frac{-7056x_w^2+7056}{(7x_w^2+21)^3}&=&0 \quad|\cdot (7x_w^2+21)^3 \\
-7056x_w^2+7056&=&0 \quad|-7056 \\
-7056x_w^2&=&-7056 \quad|:(-7056) \\
x_w^2&=&1 \quad|\sqrt{\ } \\
x_{w1/2}&=&\pm 1 \\
x_{w1}=-1 && x_{w2}=1 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir zwei Kandidaten für Wendepunkte erhalten. Für beide müssen wir
prüfen, ob tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Das kann man bekanntlich mit zwei
verschiedenen Methoden überprüfen. Da ich keine Lust habe, noch die dritte
Ableitung zu bilden, verwende ich die andere Methode, die mit der zweiten
Ableitung auskommt. Ich muss dann prüfen, ob zwei Nachbarstellen links und
rechts von dem zu untersuchenden Kanditaten unterschiedliches Vorzeichen bei
der zweiten Ableitung ergeben. Wenn ich die Nachbarstellen näher, als die
nächste Nullstelle (oder Polstelle) der zweiten Ableitung wähle, kann ich dann
schließen, dass die zweite Ableitung an der zu untersuchenden Stelle einen
Vorzeichenwechsel hat. Als Nachbarn zu $x_{w1}=-1$ wähle ich $-2$ und 0, als
Nachbarn zu $x_{w2}=1$ wähle ich 0 und 2.
\[\begin{array}{lcl}
\left\{ \begin{array}{l}
f''(-2)= \frac{-7056 \cdot (-2)^2+7056}{\left( 7 \cdot (-2)^2+21 \right)^3}
       =-\frac{21168}{117649}<0 \\
f''(0)= \frac{-7056 \cdot 0^2+7056}{(7 \cdot 0^2+21)^3}
       =\frac{8}{21}>0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w1}=-1 \\ \\
\left\{ \begin{array}{l}
f''(0)= \frac{-7056 \cdot 0^2+7056}{(7 \cdot 0^2+21)^3}
       =\frac{8}{21}>0 \\
f''(2)= \frac{-7056 \cdot 2^2+7056}{(7 \cdot 2^2+21)^3}
       =-\frac{21168}{117649}<0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w2}=1 \\
\end{array}\]
Da wir in beiden Fällen einen Vorzeichenwechsel hatten, ergeben beide
Kandidaten einen Wendepunkt. Es fehlen dann noch die zugehörigen $y$-Werte.
\[y_{w1}=f(x_{w1})= \frac{8x_{w1}^2}{7x_{w1}^2+21}
  = \frac{8 \cdot (-1)^2}{7 \cdot (-1)^2+21}=\frac{2}{7}\]
\[y_{w2}=f(x_{w2})= \frac{8x_{w2}^2}{7x_{w2}^2+27}
  = \frac{8 \cdot 1^2}{7 \cdot 1^2+21}=\frac{2}{7}\]
\begin{center}Wir erhalten also die Wendepunkte:
\fcolorbox{red}{yellow}{$W_1 \left(-1|\frac{2}{7}\right)$}
und \fcolorbox{red}{yellow}{$W_2 \left(1|\frac{2}{7}\right)$}
\end{center}

\paragraph*{Asymptote:}
Um den Graphen einfach skizzieren zu können, ist es zweckmäßig, die Asymptote
zu bestimmen. Bekanntlich macht man das, indem man den Funktionsterm, der ja
einen Bruch darstellt, als Polynomdivision ansetzt.
\[\begin{array}{rr}
(8x^2& ) \\
-(8x^2&+24) \\
\hline
  &-24 \ \\
\end{array}
\begin{array}{llll}
:&(7x^2+21)&=&\frac{8}{7}-\frac{24}{7x^2+21} \\
\\
\\
\end{array}\]
Die Asymptote ist dann das Divisionsergebnis ohne den "`Rest"', also nur der
Bruch $\frac{8}{7}$ ohne den Term $-\frac{24}{7x^2+21}$.
\begin{center}Asyptote:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)= \frac{8}{7}$}\end{center}

\paragraph*{Skizze:} Die Asymptote stellt eine Parallele zur $x$-Achse auf der
Höhe von $\frac{8}{7}\approx 1,143$ dar. Den Tiefpunkt (identisch mit den
Achsenschnittpunkten) und die Wendepunkte trägt man ein, dann ergibt sich
sofort der Kurvenverlauf. \\

\begin{center}\psset{xunit=14mm,yunit=70mm}
\begin{pspicture}(-5.4,-0.16)(5.4,1.26)
  \psgrid[subgriddiv=50,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          gridlabels=0pt,
          yunit=2,xunit=10]
  \psaxes[Dy=0.1]{->}(0,0)(-5.4,-0.16)(5.4,1.26)
  \uput[-90](5.25,0){x}  \uput[180](0,1.24){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{-1}
{8 x x mul mul 7 x x mul mul 21 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1}{1}
{8 x x mul mul 7 x x mul mul 21 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1}{5.5}
{8 x x mul mul 7 x x mul mul 21 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{5.5}{8 7 div}
   \uput[-45](3,0.85){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \uput[-45](1,1.143){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](0,0){3pt}
    \uput[-45](0,0){\textcolor{red}{$T$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-1,0.286){3pt}
    \uput[-135](-1,0.286){\textcolor{red}{$W_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](1,0.286){3pt}
    \uput[-45](1,0.286){\textcolor{red}{$W_2$}}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage

\subsection*{Aufgabe 3: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{2x^2+3}{x^2+3}\]

\subsection*{Lösung:}
\paragraph*{Definitionsbereich:}
Zur Bestimmung des Definitionsbereiches müssen die Nullstellen des Nenners
ermittelt werden.
\begin{eqnarray*}
x^2+3&=&0 \\
x^2&=&-3 \\
x_{1/2}&=& \pm \sqrt{-3} \\
\end{eqnarray*}
Hierzu gibt es keine (reellen) Lösungen. Daher gibt es keine
Einschränkungen im Definitionsbereich. Damit gibt es auch weder
\emph{\textbf{Polstellen}} noch \emph{\textbf{Lücken}}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\end{center}

\paragraph*{Achsenabschnitte:}
Zunächst bestimmen wir den Abschnitt $y_0$ auf der $y$-Achse. Man erhält ihn,
indem man 0 für $x$ einsetzt.
\[y_0=f(0)= \frac{2 \cdot 0^2+3}{0^2+3}=1\]
\begin{center}$y$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$y_0=1$}\end{center}
Der Abschnitt auf der $x$-Achse ergibt sich für den (oder die) $x$-Wert(e), wo
der Funktionswert 0 ist.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
\frac{2x_0^2+3}{x_0^2+3}&=&0 \quad|\cdot (x_0^2+3) \\
2x_0^2+3&=&0 \quad|-3 \\
2x_0^2&=&-3 \quad|:2 \\
x_0^2&=&-\frac{3}{2} \quad| \sqrt{\,} \\
x_0&=&\pm \sqrt{-\frac{3}{2}} \\
\end{eqnarray*}
Da es hierfür keine (reelle) Lösung gibt, hat die Funktion
\fcolorbox{red}{yellow}{keine Nullstellen.}

\paragraph*{Ableitungen:}
Die erste Ableitung wird mit der \emph{Quotientenregel} bestimt. Dabei ist
$u(x)=2x^2+3$ und $v(x)=x^2+3$.
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{\overbrace{4x}^{u'}\cdot ( \overbrace{x^2+3}^{v})
        -( \overbrace{2x^2+3}^{u}) \cdot \overbrace{2x}^{v'}}
       {\underbrace{(x^2+3)^2}_{v^2}}\\
&=&\frac{4x^3+12x-4x^3-6x}{(x^2+3)^2}\\
&=&\frac{6x}{(x^2+3)^2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die erste Ableitung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f'(x)=\frac{6x}{(x^2+3)^2}$}\end{center}

Die zweite Ableitung muss ebenfalls mit der Quotientenregel bestimmt werden.
Dabei sind natürlich \emph{nicht} $u$ und $v$ von der Bestimmung der ersten
Ableitung zu verwenden, sondern es gibt völlig andere Terme. Es ist hier
$u(x)=6x$ und $v(x)=(x^2+3)^2$. \\

Da die Hilfsableitung $v'(x)$ etwas knifflig zu bestimmen ist, führe ich das in
einer Nebenrechnung vorweg durch. Wegen der Aufbaus von $v(x)$ kommt hier die
\emph{Kettenregel} zum Einsatz. Die innere Funktion $g(x)$ ist dann der
Klammerinhalt.
\[\begin{array}{lcl}
g(x)=x^2+3 &\Rightarrow& g'(x)=2x \\
v(g)=g^2 &\Rightarrow& v'(g)=2g=2 \cdot (x^2+3) \\
\end{array}\]
\[v'(x)= \underbrace{2x}_{g'(x)} \cdot \underbrace{2 \cdot (x^2+3)}_{v'(g)}\]
Ich fasse das noch etwas zusammen und erhalte:
\[v'(x)=4x \cdot (x^2+3) \]
Dabei sollte man \emph{\textbf{auf keinen Fall}} auch noch die Klammer
ausmultiplizieren. Dann sieht man nämlich im nächsten Schritt nicht mehr, dass
man den Bruch kürzen -- also erheblich vereinfachen -- kann. Bilden wir nun die
zweite Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f''(x)&=&\frac{\overbrace{6}^{u'}\cdot \overbrace{(x^2+3)^2}^{v}
         -\overbrace{6x}^{u}\cdot \overbrace{4x \cdot (x^2+3)}^{v'}}
         {\underbrace{(x^2+3)^4}_{v^2}} \quad|\textnormal{ Ausklammern: }
         \left( x^2+3 \right) \\
&=&\frac{(x^2+3) \cdot \biggl(6 \cdot (x^2+3)
        -6x \cdot 4x \biggr)}{(x^2+3)^4} \quad|\textnormal{ Kürzen}\\
&=&\frac{6 \cdot (x^2+3)
        -6x \cdot 4x}{(x^2+3)^3} \quad|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
&=&\frac{6x^2+18-24x^2}{(x^2+3)^3} \\
f'(x)&=&\frac{-18x^2+18}{(x^2+3)^3} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die zweite Ableitung lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f''(x)= \frac{-18x^2+18}{(x^2+3)^3}$}\end{center}

\paragraph*{Extrema:}
Jetzt können wir die Hoch- Tief- und Sattelpunkte bestimmen. Notwendige
Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung Null wird.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
\frac{6x_E}{(x_E^2+3)^2}&=&0 \quad|\cdot (x_E^2+3)^2 \\
6x_E&=&0 \quad|:6 \\
x_E&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir einen Kandidaten für einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt
gefunden. Was genau dort los ist, können wir am einfachsten mit Hilfe der
zweiten Ableitung bestimmen, denn die haben wir ja schon.
\[f''(0)= \frac{-18 \cdot 0^2+18}{(0^2+3)^3}
= \frac{2}{3}>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt bei }x_E=0 \]
Berechnen wir schnell noch den $y$-Wert für den Tiefpunkt:
\[y_E=f(x_E)= \frac{2 \cdot 0^2+3}{0^2+3}=1 \]
\begin{center}Der Tiefpunkt lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$T(0|1)$}\end{center}

\paragraph*{Wendepunkte:}
Widmen wir uns nun den möglichen Wendepunkten. Notwendige Bedingung für einen
Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung dort Null ist.
\begin{eqnarray*}
f''(x_w)&=&0 \\
\frac{-18x_w^2+18}{(x_w^2+3)^3}&=&0 \quad|\cdot (x_w^2+3)^3 \\
-18x_w^2+18&=&0 \quad|-18 \\
-18x_w^2&=&-18 \quad|:(-18) \\
x_w^2&=&1 \quad|\sqrt{\ } \\
x_{w1/2}&=&\pm 1 \\
x_{w1}=-1 && x_{w2}=1 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir zwei Kandidaten für Wendepunkte erhalten. Für beide müssen wir
prüfen, ob tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Das kann man bekanntlich mit zwei
verschiedenen Methoden überprüfen. Da ich keine Lust habe, noch die dritte
Ableitung zu bilden, verwende ich die andere Methode, die mit der zweiten
Ableitung auskommt. Ich muss dann prüfen, ob zwei Nachbarstellen links und
rechts von dem zu untersuchenden Kanditaten unterschiedliches Vorzeichen bei
der zweiten Ableitung ergeben. Wenn ich die Nachbarstellen näher, als die
nächste Nullstelle (oder Polstelle) der zweiten Ableitung wähle, kann ich dann
schließen, dass die zweite Ableitung an der zu untersuchenden Stelle einen
Vorzeichenwechsel hat. Als Nachbarn zu $x_{w1}=-1$ wähle ich $-2$ und 0, als
Nachbarn zu $x_{w2}=1$ wähle ich 0 und 2.
\[\begin{array}{lcl}
\left\{ \begin{array}{l}
f''(-2)= \frac{-18 \cdot (-2)^2+18}{\left( (-2)^2+3 \right)^3}
       =-\frac{54}{343}<0 \\
f''(0)= \frac{-18 \cdot 0^2+18}{(0^2+3)^3}
       =\frac{2}{3}>0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w1}=-1 \\ \\
\left\{ \begin{array}{l}
f''(0)= \frac{-18 \cdot 0^2+18}{(0^2+3)^3}
       =\frac{2}{3}>0 \\
f''(2)= \frac{-18 \cdot 2^2+18}{(2^2+3)^3}
       =-\frac{54}{343}<0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w2}=1 \\
\end{array}\]
Da wir in beiden Fällen einen Vorzeichenwechsel hatten, ergeben beide
Kandidaten einen Wendepunkt. Es fehlen dann noch die zugehörigen $y$-Werte.
\[y_{w1}=f(x_{w1})= \frac{2x_{w1}^2+3}{x_{w1}^2+3}
  = \frac{2 \cdot (-1)^2+3}{(-1)^2+3}= \frac{5}{4}=1,25\]
\[y_{w2}=f(x_{w2})= \frac{2x_{w2}^2+3}{x_{w2}^2+3}
  = \frac{2 \cdot 1^2+3}{1^2+3}= \frac{5}{4}=1,25\]
\begin{center}Wir erhalten also die Wendepunkte:
\fcolorbox{red}{yellow}{$W_1 \left(-1|1,25 \right)$}
und \fcolorbox{red}{yellow}{$W_2 \left(1|1,25 \right)$}
\end{center}

\paragraph*{Asymptote:}
Um den Graphen einfach skizzieren zu können, ist es zweckmäßig, die Asymptote
zu bestimmen. Bekanntlich macht man das, indem man den Funktionsterm, der ja
einen Bruch darstellt, als Polynomdivision ansetzt.
\[\begin{array}{rr}
(2x^2&+3) \\
-(2x^2&+6) \\
\hline
  &-3 \ \\
\end{array}
\begin{array}{llll}
:&(x^2+3)&=&2-\frac{3}{x^2+3} \\
\\
\\
\end{array}\]
Die Asymptote ist dann das Divisionsergebnis ohne den "`Rest"', also nur die
Zahl 2 ohne den Term $-\frac{3}{x^2+3}$.
\begin{center}Asyptote:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=2$}\end{center}

\paragraph*{Skizze:} Die Asymptote stellt eine Parallele zur $x$-Achse auf der
Höhe von $y=2$ dar. Den Tiefpunkt $T(0|1)$ und die Wendepunkte $W_1$ und $W_2$
trägt man ein, dann ergibt sich sofort der Kurvenverlauf. \\

\begin{center}\psset{xunit=14mm,yunit=65mm}
\begin{pspicture}(-5.4,-0.16)(5.4,2.16)
  \psgrid[subgriddiv=50,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          gridlabels=0pt,
          yunit=2,xunit=10]
  \psaxes[Dy=0.2]{->}(0,0)(-5.4,-0.16)(5.4,2.16)
  \uput[-90](5.25,0){x}  \uput[180](0,2.12){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{-1}
{2 x x mul mul 3 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1}{1}
{2 x x mul mul 3 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1}{5.5}
{2 x x mul mul 3 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{5.5}{2}
   \uput[-45](3,1.75){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \uput[-45](1,2){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](0,1){3pt}
    \uput[-45](0,1){\textcolor{red}{$T$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-1,1.25){3pt}
    \uput[-135](-1,1.25){\textcolor{red}{$W_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](1,1.25){3pt}
    \uput[-45](1,1.25){\textcolor{red}{$W_2$}}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage

\subsection*{Aufgabe 4: Kurvendiskussion}
\[f(x)= \frac{4x^2+6}{x^2+3}\]

\subsection*{Lösung:}
\paragraph*{Definitionsbereich:}
Zur Bestimmung des Definitionsbereiches müssen die Nullstellen des Nenners
ermittelt werden.
\begin{eqnarray*}
x^2+3&=&0 \\
x^2&=&-3 \\
x_{1/2}&=& \pm \sqrt{-3} \\
\end{eqnarray*}
Hierzu gibt es keine (reellen) Lösungen. Daher gibt es keine
Einschränkungen im Definitionsbereich. Damit gibt es auch weder
\emph{\textbf{Polstellen}} noch \emph{\textbf{Lücken}}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\end{center}

\paragraph*{Achsenabschnitte:}
Zunächst bestimmen wir den Abschnitt $y_0$ auf der $y$-Achse. Man erhält ihn,
indem man 0 für $x$ einsetzt.
\[y_0=f(0)= \frac{4 \cdot 0^2+6}{0^2+3}=2\]
\begin{center}$y$-Achsenabschnitt: \fcolorbox{red}{yellow}{$y_0=2$}\end{center}
Der Abschnitt auf der $x$-Achse ergibt sich für den (oder die) $x$-Wert(e), wo
der Funktionswert 0 ist.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
\frac{4x_0^2+6}{x_0^2+3}&=&0 \quad|\cdot (x_0^2+3) \\
4x_0^2+6&=&0 \quad|-6 \\
4x_0^2&=&-6 \quad|:4 \\
x_0^2&=&-\frac{3}{2} \quad| \sqrt{\,} \\
x_0&=&\pm \sqrt{-\frac{3}{2}} \\
\end{eqnarray*}
Da es hierfür keine (reelle) Lösung gibt, hat die Funktion
\fcolorbox{red}{yellow}{keine Nullstellen.}

\paragraph*{Ableitungen:}
Die erste Ableitung wird mit der \emph{Quotientenregel} bestimt. Dabei ist
$u(x)=4x^2+6$ und $v(x)=x^2+3$.
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{\overbrace{8x}^{u'}\cdot ( \overbrace{x^2+3}^{v})
        -( \overbrace{4x^2+6}^{u}) \cdot \overbrace{2x}^{v'}}
       {\underbrace{(x^2+3)^2}_{v^2}}\\
&=&\frac{8x^3+24x-8x^3-12x}{(x^2+3)^2}\\
&=&\frac{12x}{(x^2+3)^2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die erste Ableitung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f'(x)=\frac{12x}{(x^2+3)^2}$}\end{center}

Die zweite Ableitung muss ebenfalls mit der Quotientenregel bestimmt werden.
Dabei sind natürlich \emph{nicht} $u$ und $v$ von der Bestimmung der ersten
Ableitung zu verwenden, sondern es gibt völlig andere Terme. Es ist hier
$u(x)=12x$ und $v(x)=(x^2+3)^2$. \\

Da die Hilfsableitung $v'(x)$ etwas knifflig zu bestimmen ist, führe ich das in
einer Nebenrechnung vorweg durch. Wegen der Aufbaus von $v(x)$ kommt hier die
\emph{Kettenregel} zum Einsatz. Die innere Funktion $g(x)$ ist dann der
Klammerinhalt.
\[\begin{array}{lcl}
g(x)=x^2+3 &\Rightarrow& g'(x)=2x \\
v(g)=g^2 &\Rightarrow& v'(g)=2g=2 \cdot (x^2+3) \\
\end{array}\]
\[v'(x)= \underbrace{2x}_{g'(x)} \cdot \underbrace{2 \cdot (x^2+3)}_{v'(g)}\]
Ich fasse das noch etwas zusammen und erhalte:
\[v'(x)=4x \cdot (x^2+3) \]
Dabei sollte man \emph{\textbf{auf keinen Fall}} auch noch die Klammer
ausmultiplizieren. Dann sieht man nämlich im nächsten Schritt nicht mehr, dass
man den Bruch kürzen -- also erheblich vereinfachen -- kann. Bilden wir nun die
zweite Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f''(x)&=&\frac{\overbrace{12}^{u'}\cdot \overbrace{(x^2+3)^2}^{v}
         -\overbrace{12x}^{u}\cdot \overbrace{4x \cdot (x^2+3)}^{v'}}
         {\underbrace{(x^2+3)^4}_{v^2}} \quad|\textnormal{ Ausklammern: }
         \left( x^2+3 \right) \\
&=&\frac{(x^2+3) \cdot \biggl( 12 \cdot (x^2+3)
        -12x \cdot 4x \biggr)}{(x^2+3)^4} \quad|\textnormal{ Kürzen}\\
&=&\frac{12 \cdot (x^2+3)
        -12x \cdot 4x}{(x^2+3)^3} \quad|\textnormal{ Zusammenfassen}\\
&=&\frac{12x^2+36-48x^2}{(x^2+3)^3} \\
f'(x)&=&\frac{-36x^2+36}{(x^2+3)^3} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Die zweite Ableitung lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f''(x)= \frac{-36x^2+36}{(x^2+3)^3}$}\end{center}

\paragraph*{Extrema:}
Jetzt können wir die Hoch- Tief- und Sattelpunkte bestimmen. Notwendige
Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung Null wird.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \\
\frac{12x_E}{(x_E^2+3)^2}&=&0 \quad|\cdot (x_E^2+3)^2 \\
12x_E&=&0 \quad|:12 \\
x_E&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir einen Kandidaten für einen Hoch- Tief- oder Sattelpunkt
gefunden. Was genau dort los ist, können wir am einfachsten mit Hilfe der
zweiten Ableitung bestimmen, denn die haben wir ja schon.
\[f''(0)= \frac{-36 \cdot 0^2+36}{(0^2+3)^3}
= \frac{4}{3}>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt bei }x_E=0 \]
Berechnen wir schnell noch den $y$-Wert für den Tiefpunkt:
\[y_E=f(x_E)= \frac{4 \cdot 0^2+6}{0^2+3}=2 \]
\begin{center}Der Tiefpunkt lautet also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$T(0|2)$}\end{center}

\paragraph*{Wendepunkte:}
Widmen wir uns nun den möglichen Wendepunkten. Notwendige Bedingung für einen
Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung dort Null ist.
\begin{eqnarray*}
f''(x_w)&=&0 \\
\frac{-36x_w^2+36}{(x_w^2+3)^3}&=&0 \quad|\cdot (x_w^2+3)^3 \\
-36x_w^2+36&=&0 \quad|-36 \\
-36x_w^2&=&-36 \quad|:(-36) \\
x_w^2&=&1 \quad|\sqrt{\ } \\
x_{w1/2}&=&\pm 1 \\
x_{w1}=-1 && x_{w2}=1 \\
\end{eqnarray*}
Damit haben wir zwei Kandidaten für Wendepunkte erhalten. Für beide müssen wir
prüfen, ob tatsächlich Wendepunkte vorliegen. Das kann man bekanntlich mit zwei
verschiedenen Methoden überprüfen. Da ich keine Lust habe, noch die dritte
Ableitung zu bilden, verwende ich die andere Methode, die mit der zweiten
Ableitung auskommt. Ich muss dann prüfen, ob zwei Nachbarstellen links und
rechts von dem zu untersuchenden Kanditaten unterschiedliches Vorzeichen bei
der zweiten Ableitung ergeben. Wenn ich die Nachbarstellen näher, als die
nächste Nullstelle (oder Polstelle) der zweiten Ableitung wähle, kann ich dann
schließen, dass die zweite Ableitung an der zu untersuchenden Stelle einen
Vorzeichenwechsel hat. Als Nachbarn zu $x_{w1}=-1$ wähle ich $-2$ und 0, als
Nachbarn zu $x_{w2}=1$ wähle ich 0 und 2.
\[\begin{array}{lcl}
\left\{ \begin{array}{l}
f''(-2)= \frac{-36 \cdot (-2)^2+36}{\left( (-2)^2+3 \right)^3}
       =-\frac{108}{343}<0 \\
f''(0)= \frac{-36 \cdot 0^2+36}{(0^2+3)^3}
       =\frac{2}{3}>0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w1}=-1 \\ \\
\left\{ \begin{array}{l}
f''(0)= \frac{-36 \cdot 0^2+36}{(0^2+3)^3}
       =\frac{4}{3}>0 \\
f''(2)= \frac{-36 \cdot 2^2+36}{(2^2+3)^3}
       =-\frac{108}{343}<0 \\
\end{array} \right\}
&\Rightarrow& \textnormal{Wendepunkt bei } x_{w2}=1 \\
\end{array}\]
Da wir in beiden Fällen einen Vorzeichenwechsel hatten, ergeben beide
Kandidaten einen Wendepunkt. Es fehlen dann noch die zugehörigen $y$-Werte.
\[y_{w1}=f(x_{w1})= \frac{4x_{w1}^2+6}{x_{w1}^2+3}
  = \frac{4 \cdot (-1)^2+6}{(-1)^2+3}= \frac{5}{2}=2,5\]
\[y_{w2}=f(x_{w2})= \frac{4x_{w2}^2+6}{x_{w2}^2+3}
  = \frac{4 \cdot 1^2+6}{1^2+3}= \frac{5}{2}=2,5\]
\begin{center}Wir erhalten also die Wendepunkte:
\fcolorbox{red}{yellow}{$W_1 \left(-1|2,5 \right)$}
und \fcolorbox{red}{yellow}{$W_2 \left(1|2,5 \right)$}
\end{center}

\paragraph*{Asymptote:}
Um den Graphen einfach skizzieren zu können, ist es zweckmäßig, die Asymptote
zu bestimmen. Bekanntlich macht man das, indem man den Funktionsterm, der ja
einen Bruch darstellt, als Polynomdivision ansetzt.
\[\begin{array}{rr}
(4x^2&+6) \\
-(4x^2&+12) \\
\hline
  &-6 \ \\
\end{array}
\begin{array}{llll}
:&(x^2+3)&=&4-\frac{6}{x^2+3} \\
\\
\\
\end{array}\]
Die Asymptote ist dann das Divisionsergebnis ohne den "`Rest"', also nur die
Zahl 4 ohne den Term $-\frac{6}{x^2+3}$.
\begin{center}Asyptote:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a(x)=4$}\end{center}

%\includegraphics{div4.png}
     \paragraph*{Skizze:} Die Asymptote stellt eine Parallele zur $x$-Achse auf der
Höhe von $y=2$ dar. Den Tiefpunkt $T(0|1)$ und die Wendepunkte $W_1$ und $W_2$
trägt man ein, dann ergibt sich sofort der Kurvenverlauf. \\

\begin{center}\psset{xunit=14mm,yunit=28mm}
\begin{pspicture}(-5.4,-0.26)(5.4,4.26)
  \psgrid[subgriddiv=50,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          gridlabels=0pt,
          yunit=5,xunit=10]
  \psaxes[Dy=0.5]{->}(0,0)(-5.4,-0.26)(5.4,4.26)
  \uput[-90](5.25,0){x}  \uput[180](0,4.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{-1}
{4 x x mul mul 6 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1}{1}
{4 x x mul mul 6 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{1}{5.4}
{4 x x mul mul 6 add x x mul 3 add div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{5.5}{4}
   \uput[-45](3,1.75){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \uput[-45](1,4){\textcolor{blue}{$a(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](0,2){3pt}
    \uput[-45](0,2){\textcolor{red}{$T$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-1,2.5){3pt}
    \uput[-135](-1,2.5){\textcolor{red}{$W_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](1,2.5){3pt}
    \uput[-45](1,2.5){\textcolor{red}{$W_2$}}
\end{pspicture}\end{center}
\newpage
\newpage

\subsection*{Aufgabe 5: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_w=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=3x-4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=4$. Wie lautet
die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrclr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=2&\Rightarrow&f''(2)=0&\Rightarrow&
  12a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{Tangente bei }x_w=2&\Rightarrow&f'(2)=f_1'(2)&\Rightarrow&
  12a&+4b&+c&&=&3&(2) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(2)=f_1(2)&\Rightarrow&
  8a&+4b&+2c&+d&=&2&(3) \\
\textnormal{Nullstelle bei }x_0=4&\Rightarrow&f(4)=0&\Rightarrow&
  64a&+16b&+4c&+d&=&0&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (3) von (4).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(4)&64a&+16b&+4c&+d&=&0&| \\
(3)&8a&+4b&+2c&+d&=&2&|- \\
\hline
(5)&56a&+12b&+2c&&=&-2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(1)&12a&+2b&&=&0 \\
(2)&12a&+4b&+c&=&3&|\cdot 2 \\
(5)&56a&+12b&+2c&=&-2 \\
\end{array}\]
Wenn ich Gleichung (2) mit 2 multipliziere, kann ich sie von Gleichung (5)
subtrahieren, so dass der Parameter $c$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(2)&24a&+8b&+2c&=&6&|- \\
(5)&56a&+12b&+2c&=&-2&| \\
\hline
(6)&32a&+4b&&=&-8 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (6) durch 2,
damit ich Gleichung (1) davon subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
\hline
(1)&12a&+2b&=&0 \\
(6)&32a&+4b&=&-8&|:2 \\
\hline
(1)&12a&+2b&=&0&|- \\
(6)&16a&+2b&=&-4&| \\
\hline
(7)&4a&&=&-4&|:4 \\
   &a&&=-1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=-1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+2b&=&0 \\
12 \cdot (-1)+2b&=&0 \\
-12+2b&=&0 &|+12 \\
2b&=&12 &|:2 \\
b&=&6 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=-1$ und $b=6$ setze ich in Gleichung
(2) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+4b+c&=&3 \\
12 \cdot (-1)+4 \cdot 6+c&=&3 \\
-12+24+c&=&3 \\
12+c&=&3 &|-12 \\
c&=&-9 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (3) ein.
\[\begin{array}{rcll}
8a+4b+2c+d&=&2 \\
8 \cdot (-1)+4 \cdot 6+2 \cdot (-9)+d&=&2 \\
-8+24-18+d&=&2 \\
-2+d&=&2 &|+2 \\
d&=&4 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^3+6x^2-9x+4$}\end{center}

\newpage
Nachfolgend ist der Funktionsgraph dargestellt.\\

\begin{center}\psset{xunit=20mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-4.8)(5.8,9.8)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-3.5,-4.8)(5.8,9.8)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,9.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.5}{4.5}
     {-1 x 3 exp mul 6 x x mul mul add 9 x mul sub 4 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.5}{5}{3 x mul 4 sub}
  \uput[45](0.3,2){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \uput[135](3,5){\textcolor{blue}{$f_1(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=black](2,2){3pt} \uput[-45](2,2){W}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage
\subsection*{Aufgabe 6: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_w=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=-3x+4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=1$. Wie lautet
die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrclr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=2&\Rightarrow&f''(2)=0&\Rightarrow&
  12a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{Tangente bei }x_w=2&\Rightarrow&f'(2)=f_1'(2)&\Rightarrow&
  12a&+4b&+c&&=&-3&(2) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(2)=f_1(2)&\Rightarrow&
  8a&+4b&+2c&+d&=&-2&(3) \\
\textnormal{Nullstelle bei }x_0=1&\Rightarrow&f(4)=0&\Rightarrow&
  a&+b&+c&+d&=&0&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (4) von (3).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(3)&8a&+4b&+2c&+d&=&-2&| \\
(4)&a&+b&+c&+d&=&0&|- \\
\hline
(5)&7a&+3b&+c&&=&-2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcr}
(1)&12a&+2b&&=&0 \\
(2)&12a&+4b&+c&=&-3 \\
(5)&7a&+3b&+c&=&-2 \\
\end{array}\]
Ich subtrahiere Gleichung (5) von Gleicung (2), so dass der Parameter $c$
wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(2)&12a&+4b&+c&=&-3&| \\
(5)&7a&+3b&+c&=&-2&|- \\
\hline
(6)&5a&+b&&=&-1 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (1) durch 2,
damit ich Gleichung (6) davon subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
\hline
(1)&12a&+2b&=&0 &|:2 \\
(6)&5a&+b&=&-1 \\
\hline
(1)&6a&+b&=&0&| \\
(6)&5a&+b&=&-1&|- \\
\hline
(7)&a&&=&1&|:4 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+2b&=&0 \\
12 \cdot 1+2b&=&0 \\
12+2b&=&0 &|-12 \\
2b&=&-12 &|:2 \\
b&=&-6 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=1$ und $b=-6$ setze ich in Gleichung
(2) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+4b+c&=&-3 \\
12 \cdot 1+4 \cdot (-6)+c&=&-3 \\
12-24+c&=&-3 \\
-12+c&=&-3 &|+12 \\
c&=&9 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (3) ein.
\[\begin{array}{rcll}
8a+4b+2c+d&=&-2 \\
8 \cdot 1+4 \cdot (-6)+2 \cdot 9+d&=&-2 \\
8-24+18+d&=&-2 \\
2+d&=&-2 &|-2 \\
d&=&-4 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-6x^2+9x-4$}\end{center}
\newpage

\subsection*{Aufgabe 7: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt bei $W(3|-4)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=-9x+7$ als Tangente. Wie
lautet die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrcrr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=3&\Rightarrow&f''(3)=0&\Rightarrow&
  18a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{(Wende-)Punkt }W(3|-4)&\Rightarrow&f(3)=-4&\Rightarrow&
  27a&+9b&+3c&+d&=&-4&(2) \\
\textnormal{Tangente bei }x_1=1&\Rightarrow&f'(1)=f_2'(1)&\Rightarrow&
  3a&+2b&+c&&=&-9&(3) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(1)=f_2(1)&\Rightarrow&
  a&+b&+c&+d&=&-2&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (4) von (2).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(2)&27a&+9b&+3c&+d&=&-4&| \\
(4)&a&+b&+c&+d&=&-2&|- \\
\hline
(5)&26a&+8b&+2c&&=&-2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(1)&18a&+2b&&=&0 \\
(3)&3a&+2b&+c&=&-9&|\cdot 2 \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&-2 \\
\end{array}\]
Wenn ich Gleichung (3) mit 2 multipliziere, kann ich sie von Gleichung (5)
subtrahieren, so dass der Parameter $c$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(3)&6a&+4b&+2c&=&-18&|- \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&-2&| \\
\hline
(6)&20a&+4b&&=&16 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (6) durch 2,
damit ich sie von Gleichung (1) subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
\hline
(1)&18a&+2b&=&0 \\
(6)&20a&+4b&=&16&|:2 \\
\hline
(1)&18a&+2b&=&0&| \\
(6)&10a&+2b&=&8&|- \\
\hline
(7)&8a&&=&-8&|:8 \\
   &a&&=&-1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=-1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
18a+2b&=&0 \\
18 \cdot (-1)+2b&=&0 \\
-18+2b&=&0 &|+18 \\
2b&=&18 &|:2 \\
b&=&9 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=-1$ und $b=9$ setze ich in Gleichung
(3) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
3a+2b+c&=&-9 \\
3 \cdot (-1)+2 \cdot 9+c&=&-9 \\
15+c&=&-9 &|-15 \\
c&=&-24 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (4) ein.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c+d&=&-2 \\
-1+9-24+d&=&-2 \\
-16+d&=&-2 &|+16 \\
d&=&14 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^3+9x^2-24x+14$}\end{center}
\newpage

\subsection*{Aufgabe 8: Aufstellen einer Funktionsgleichung}
Ein Polynom dritter Ordnung hat einen Wendepunkt bei $W(3|2)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=9x-9$ als Tangente. Wie
lautet die Funktionsgleichung? \\

\subsection*{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrcrr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_w=3&\Rightarrow&f''(3)=0&\Rightarrow&
  18a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{(Wende-)Punkt }W(3|2)&\Rightarrow&f(3)=2&\Rightarrow&
  27a&+9b&+3c&+d&=&2&(2) \\
\textnormal{Tangente bei }x_1=1&\Rightarrow&f'(1)=f_2'(1)&\Rightarrow&
  3a&+2b&+c&&=&9&(3) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(1)=f_2(1)&\Rightarrow&
  a&+b&+c&+d&=&0&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (4) von (2).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(2)&27a&+9b&+3c&+d&=&2&| \\
(4)&a&+b&+c&+d&=&0&|- \\
\hline
(5)&26a&+8b&+2c&&=&2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(1)&18a&+2b&&=&0 \\
(3)&3a&+2b&+c&=&9&|\cdot 2 \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&2 \\
\end{array}\]
Wenn ich Gleichung (3) mit 2 multipliziere, kann ich sie von Gleichung (5)
subtrahieren, so dass der Parameter $c$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(3)&6a&+4b&+2c&=&18&|- \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&2&| \\
\hline
(6)&20a&+4b&&=&-16 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (6) durch 2,
damit ich sie von Gleichung (1) subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
\hline
(1)&18a&+2b&=&0 \\
(6)&20a&+4b&=&-16&|:2 \\
\hline
(1)&18a&+2b&=&0&| \\
(6)&10a&+2b&=&-8&|- \\
\hline
(7)&8a&&=&8&|:8 \\
   &a&&=&1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
18a+2b&=&0 \\
18 \cdot 1+2b&=&0 \\
18+2b&=&0 &|-18 \\
2b&=&-18 &|:2 \\
b&=&-9 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=1$ und $b=-9$ setze ich in Gleichung
(3) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
3a+2b+c&=&9 \\
3 \cdot 1+2 \cdot (-9)+c&=&-9 \\
-15+c&=&9 &|+15 \\
c&=&24 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (4) ein.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c+d&=&0 \\
1-9+24+d&=&0 \\
16+d&=&0 &|-16 \\
d&=&-16 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-9x^2+24x-16$}\end{center}
\newpage

\end{document}
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%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
