\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\begin{document}

\section*{Übungen: Bruchgleichungen 2}
\emph{Im Teil 1 finden Sie die Aufgabenstellung, in Teil 2 die Ergebnisse und
in Teil 3 die komplett durchgerechnete Lösung der Aufgabe.}
\subsection*{\underline{Teil 1: Aufgabenstellungen}}
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der nachfolgenden Aufgaben!

\paragraph*{Aufgabe 1}
\[\frac{x}{4}+\frac{5x}{6}+\frac{5}{6}=\frac{x}{2}+x\]
\paragraph*{Aufgabe 2}
\[\frac{2x}{5}+\frac{3x}{2}=4 \frac{1}{2}+x\]
\paragraph*{Aufgabe 3}
\[\frac{10x}{6}-\frac{8x}{9}=4\frac{2}{3}\]
\paragraph*{Aufgabe 4}
\[\frac{3}{2x}+\frac{2}{3x}=\frac{1}{9}+\frac{7}{3x}\]
\paragraph*{Aufgabe 5}
\[\frac{5}{4x+8}-\frac{2}{12x+24}=\frac{x}{4x+8}+\frac{1}{3x+6}\]
\paragraph*{Aufgabe 6}
\[\frac{2x}{4x+40}+\frac{3x}{2x+20}=\frac{5}{2x+20}+\frac{45}{6x+60}\]
\paragraph*{Aufgabe 7}
\[\frac{5}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{6}{x-1}=0\]
\paragraph*{Aufgabe 8}
\[\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}=\frac{5}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\]
\paragraph*{Aufgabe 9}
\[\frac{2}{x-5}-\frac{6}{2x-5}+\frac{4}{3x-5}= \frac{1}{3x-5}\]
\paragraph*{Aufgabe 10}
\[\frac{a+x}{b-x}-\frac{b-x}{a+x}=\frac{2a^2-2b^2}{ab-ax+bx-x^2}\]
\paragraph*{Aufgabe 11}
\[\frac{1}{4-x}-\frac{x-6}{x^2-3x-4}=\frac{2}{x^2-1}\]
\paragraph*{Aufgabe 12}
\[\frac{2}{2x+1}+\frac{7}{2x^2-x-1}-\frac{2}{3x-1}=\frac{2x+3}{3x^2-4x+1}\]
\paragraph*{Aufgabe 13}
\[\frac{3x+4}{x-5}-\frac{x-9}{x-7}= \frac{2x^2-13x+27}{x^2-12x+35}\]
\paragraph*{Aufgabe 14}
\[\frac{4x-5}{3x+3}+\frac{3x+4}{5-5x}= \frac{11x^2-69x+58}{15x^2-15}\]
\paragraph*{Aufgabe 15}
\[\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}=10-\frac{28x+43}{4x^2-8x+3}\]
\paragraph*{Aufgabe 16}
\[\frac{5x-17}{4x-3}+\frac{7(x-4)}{4x-5}-\frac{12(10x+73)}{32x-16x^2-15}=3\]
\paragraph*{Aufgabe 17}
\[\frac{2x+5}{2x-4}+\frac{6x+5}{3x+6}=\frac{3x^2-2x+5}{x^2-4}\]
\paragraph*{Aufgabe 18}
\[\frac{3x-5}{x+2}+\frac{7x-10}{x+1}=10-\frac{x+99}{x^2+3x+2}\]
\paragraph*{Aufgabe 19}
\[\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}=\frac{2}{5x-x^2-6}\]
\paragraph*{Aufgabe 20}
\[\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}=-10 \frac{13}{20}\]
\paragraph*{Aufgabe 21}
\[\frac{2x+1}{x^2+x-56}=\frac{1}{x-7}\]
\paragraph*{Aufgabe 22}
\[\frac{6x^2-10x+6}{2x^3-13x^2+17x+12}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-7x+12}=0\]
\paragraph*{Aufgabe 23}
\[\frac{5x+2}{x^2-3x-10}= \frac{x-2}{x^2-x-6}-\frac{x+1}{x^2-8x+15}\]
\paragraph*{Aufgabe 24}
\[\frac{x-7}{x^2-4x+3}-\frac{x-8}{x^2-6x+5}=\frac{4x+1}{x^3-9x^2+23x-15}\]
\paragraph*{Aufgabe 25}
\[\frac{3}{2x-4}= \frac{8x}{2x^2-10x+12}-\frac{5x^2-19}{2x^3-8x^2+2x+12}\]

\newpage
\subsection*{\underline{Teil 2: Ergebnisse}}
\paragraph*{Aufgabe 1}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 2}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{5\}\]
\paragraph*{Aufgabe 3}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{6\}\]
\paragraph*{Aufgabe 4}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0\} \qquad L= \{-1,5\}\]
\paragraph*{Aufgabe 5}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2\} \qquad L= \{3\}\]
\paragraph*{Aufgabe 6}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-10\} \qquad L= \{5\}\]
\paragraph*{Aufgabe 7}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-3;1\} \qquad L= \{\ \}\]
\paragraph*{Aufgabe 8}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;1;2\} \qquad L= \{0,4\}\]
\paragraph*{Aufgabe 9}
\[D= \mathbb{R}\setminus \left\{5;\frac{5}{2};\frac{5}{3}\right\}
  \qquad L= \{1\}\]
\paragraph*{Aufgabe 10}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-a;b\} \qquad
  L= \left\{\frac{a}{2}-\frac{b}{2} \right\}\]
\paragraph*{Aufgabe 11}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;1;4\} \qquad L= \{3;-0,5\}\]
\paragraph*{Aufgabe 12}
\[D= \mathbb{R}\setminus \left\{1;-\frac{1}{2};\frac{1}{3}\right\}
  \qquad L= \{1,5;2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 13}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{5;7\} \qquad L= \{10\}\]
\paragraph*{Aufgabe 14}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;1\} \qquad L= \{15\}\]
\paragraph*{Aufgabe 15}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0,5;1,5\} \qquad L= \{10\}\]
\paragraph*{Aufgabe 16}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0,75;1,25\} \qquad L= \{100\}\]
\paragraph*{Aufgabe 17}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;2\} \qquad L= \{0,8\}\]
\paragraph*{Aufgabe 18}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;-1\} \qquad L= \{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 19}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{2;3\} \qquad L= \{\ \}
 \quad (\textnormal{Lösung }x=2 \notin D)\]
\paragraph*{Aufgabe 20}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{5\} \qquad L= \{4\}\]
\paragraph*{Aufgabe 21}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-8;7\} \qquad L= \{\ \}
 \quad (\textnormal{Lösung }x=7 \notin D)\]
\paragraph*{Aufgabe 22}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-0,5;3;4\} \qquad L= \{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 23}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;3;5\} \qquad L= \{2;-1,4\}\]
\paragraph*{Aufgabe 24}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{1;3;5\} \qquad L= \{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 25}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;2;3\} \qquad L= \{-2\}\]

\newpage
\subsection*{\underline{Teil 3: Durchgerechnete Lösungen}}
\paragraph*{Aufgabe 1}
\[\frac{x}{4}+\frac{5x}{6}+\frac{5}{6}=\frac{x}{2}+x\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rcll|l}
4&=&2^2 &       & EF=3 \\
6&=&2 & \cdot 3 & EF=2 \\
2&=&2   &       & EF=2 \cdot 3=6 \\
\hline
HN&=&2^2& \cdot 3=12
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{x}{4}+\frac{5x}{6}+\frac{5}{6}&=&\frac{x}{2}+x \quad| \cdot HN \\
x \cdot 3+5x \cdot 2+5 \cdot 2&=&x \cdot 6+x \cdot 12 \\
3x+10x+10&=&6x+12x \\
13x+10&=&18x \quad|-13x \\
10&=&5x \quad|:5 \\
2&=&x \\
L&=&\{2\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 2}
\[\frac{2x}{5}+\frac{3x}{2}=4 \frac{1}{2}+x\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rcll|l}
5&=&&  5  &EF=2 \\
2&=&2    &&EF=5 \\
\hline
HN&=&2& \cdot 5=10
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x}{5}+\frac{3x}{2}&=&4 \frac{1}{2}+x \\
\frac{2x}{5}+\frac{3x}{2}&=&4+\frac{1}{2}+x \quad| \cdot HN \\
2x \cdot 2+3x \cdot 5&=&4 \cdot 10+1 \cdot 5+x \cdot 10 \\
4x+15x&=&40+5+10x \\
19x&=&45+10x \quad|-10x \\
9x&=&45 \quad|:9 \\
x&=&5 \\
L&=&\{5\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 3}
\[\frac{10x}{6}-\frac{8x}{9}=4\frac{2}{3}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rcll|l}
6&=&2& \cdot 3  &EF=3 \\
9&=& & \ 3^2      &EF=2 \\
3&=& & \ 3        &EF=2 \cdot 3=6 \\
\hline
HN&=&2& \cdot 3^2=18
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{10x}{6}-\frac{8x}{9}&=&4 \frac{2}{3} \\
\frac{10x}{6}-\frac{8x}{9}&=&4+\frac{2}{3} \quad| \cdot HN \\
10x \cdot 3-8x \cdot 2&=&4 \cdot 18+2 \cdot 6 \\
30x-16x&=&72+12 \\
14x&=&84 \quad|:14 \\
x&=&6 \\
L&=&\{6\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 4}
\[\frac{3}{2x}+\frac{2}{3x}= \frac{1}{9}+\frac{7}{3x}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclll|l}
2x&=&2 & & \cdot x  &EF=3^2=9 \\
3x&=& &\ 3  & \cdot x&EF=2 \cdot 3=6 \\
9&=&  &\ 3^2 &        &EF=2x \\
\hline
HN&=&2& \cdot 3^2& \cdot x=18x
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{2x}+\frac{2}{3x}&=&\frac{1}{9}+\frac{7}{3x} \quad| \cdot HN \\
3 \cdot 9+2 \cdot 6&=&1 \cdot 2x+7 \cdot 6 \\
27+12&=&2x+42 \\
39&=&2x+42 \quad|-42 \\
-3&=&2x \quad|:2 \\
-1,5&=&x \\
L&=&\{-1,5\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 5}
\[\frac{5}{4x+8}-\frac{2}{12x+24}=\frac{x}{4x+8}+\frac{1}{3x+6}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclrr|l}
4x+8&=&2^2  &        & \cdot (x+2) & EF=3 \\
12x+24&=&2^2& \cdot 3& \cdot (x+2) & EF=1 \\
3x+6&=&     & 3      & \cdot (x+2) & EF=2^2=4 \\
\hline
HN&=&2^2& \cdot 3& \cdot (x+2)
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{5}{4x+8}-\frac{2}{12x+24}&=&\frac{x}{4x+8}+\frac{1}{3x+6}
 \quad| \cdot HN \\
5 \cdot 3-2 \cdot 1&=&x \cdot 3+1 \cdot 4 \\
15-2&=&3x+4 \\
13&=&3x+4 \quad|-4 \\
9&=&3x \quad|:3 \\
3&=&x \\
L&=&\{3\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 6}
\[\frac{2x}{4x+40}+\frac{3x}{2x+20}=\frac{5}{2x+20}+\frac{45}{6x+60}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclll|l}
4x+40&=&2^2&      & \cdot (x+10) & HN=3 \\
2x+20&=&2&        & \cdot (x+10) & HN=2 \cdot 3=6 \\
6x+60&=&2& \cdot 3& \cdot (x+10) & HN=2 \\
\hline
HN&=&2^2& \cdot 3& \cdot (x+10)
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-10\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x}{4x+40}+\frac{3x}{2x+20}&=&\frac{5}{2x+20}+\frac{45}{6x+60}
  \quad| \cdot HN \\
2x \cdot 3+3x \cdot 6&=&5 \cdot 6+45 \cdot 2 \\
6x+18x&=&30+90 \\
24x&=&120 \quad|:24 \\
x&=&5 \\
L&=&\{5\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 7}
\[\frac{5}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{6}{x-1}=0\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclr|l}
x+3&=&(x+3) & & EF=(x-1) \\
x-1&=& &(x-1) & EF=(x+3) \\
\hline
HN&=&(x+3)& \cdot (x-1)
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-3;1\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{5}{x+3}+\frac{1}{x-1}-\frac{6}{x-1}&=&0 \quad| \cdot HN \\
5 \cdot (x-1)+1 \cdot (x+3)-6 \cdot (x+3)&=&0 \\
5x-5+x+3-6x-18&=&0 \\
-10&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Wir haben anstelle einer Lösung eine \textbf{falsche Aussage} erhalten. Daraus
folgt, dass die Lösungsmenge \textbf{leer} ist.
\[L=\{\ \}\]

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 8}
\[\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}= \frac{5}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclrr|l}
x-1&=&(x-1)&     &        & EF=(x+2) \cdot (x-2)=(x^2-4) \\
x+2&=&     &(x+2)&        & EF=(x-1) \cdot (x-2)=(x^2-3x+2) \\
x-2&=&     &     &(x-2)   & EF=(x-1) \cdot (x+2)=(x^2+x-2) \\
x^2-4&=&&(x+2)&\cdot (x-2)& EF=(x-1) \\
\hline
HN&=&(x-1)&\cdot (x+2)&\cdot (x-2)
\end{array}\]
\textbf{Hinweis:} Der Nenner des vierten Bruches $(x^2-4)$ wurde mit Hilfe der
\textbf{Dritten Binomischen Formel} zerlegt.

\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;1;2\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}&=&\frac{5}{x-2}-\frac{4}{x^2-4} \quad| \cdot HN \\
2 \cdot (x^2-4)+3 \cdot (x^2-3x+2)&=&5 \cdot (x^2+x-2)-4 \cdot (x-1) \\
2x^2-8+3x^2-9x+6&=&5x^2+5x-10-4x+4 \\
5x^2-9x-2&=&5x^2+x-6 \quad|-5x^2-x+2 \\
-10x&=&-4 \quad|:(-10) \\
x&=&0,4 \\
L&=&\{0,4\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 9}
\[\frac{2}{x-5}-\frac{6}{2x-5}+\frac{4}{3x-5}= \frac{1}{3x-5}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rclrr|l}
x-5&=&(x-5)&     &        & EF=(2x-5) \cdot (3x-5)=(6x^2-25x+25) \\
2x-5&=&     &(2x-5)&        & EF=(x-5) \cdot (3x-5)=(3x^2-20x+25) \\
3x-5&=&     &     &(3x-5)   & EF=(x-5) \cdot (2x-5)=(2x^2-15x+25) \\
\hline
HN&=&(x-5)&\cdot (2x-5)&\cdot (3x-5)
\end{array}\]
Die Nenner sind teilerfremd, man kann sie nicht sinnvoll weiter zerlegen. Daher
ist der Hauptnenner das Produkt aller Nenner.
\[D= \mathbb{R}\setminus \left\{5;\frac{5}{2};\frac{5}{3}\right\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{x-5}-\frac{6}{2x-5}+\frac{4}{3x-5}&=& \frac{1}{3x-5} \quad|
  \cdot HN \\
2 \cdot (6x^2-25x+25)-6 \cdot (3x^2-20x+25)
  +4 \cdot (2x^2-15x+25)&=&1 \cdot (2x^2-15x+25) \\
12x^2-50x+50-18x^2+120x-150+8x^2-60x+100&=&2x^2-15x+25 \\
2x^2+10x&=&2x^2-15x+25 \quad|-2x^2+15x \\
25x&=&25 \quad|:25 \\
x&=&1 \\
L&=&\{1\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 10}
\[\frac{a+x}{b-x}-\frac{b-x}{a+x}=\frac{2a^2-2b^2}{ab-ax+bx-x^2}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Dass die ersten beiden Nenner nicht weiter zu zerlegen sind, sieht man auf den
ersten Blick. Der dritte Nenner könnte zerlegbar sein. Da der erste Term $ab$
das Produkt aus den beiden ersten Ausdrücken $a$ und $b$ des ersten und zweiten
Nenners ist und entsprechendes auch für die jeweils letzten Terme $x^2$, $x$
und $x$ gilt, liegt der Verdacht nahe, das Produkt der ersten beiden Nenner
könnte der dritte Nenner sein. Das wird überprüft:
\[(b-x) \cdot (a+x)=ab+bx-ax-x^2\]
Die Vermutung konnte bestätigt werden. Die Nennerzerlegung sieht also
folgendermaßen aus:
\[\begin{array}{rclr|l}
b-x&=&(b-x)&     & EF=(a+x) \\
a+x&=&     &(a+x)& EF=(b-x) \\
ab-ax+bx-x^2&=&(b-x)& \cdot (a+x) & EF=1 \\
\hline
HN&=&(a+x)& \cdot (b-x)
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{ b;-a \}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{a+x}{b-x}-\frac{b-x}{a+x}&=&\frac{2a^2-2b^2}{ab-ax+bx-x^2}
  \quad|\cdot HN \\
(a+x) \cdot (a+x)-(b-x) \cdot (b-x)&=&(2a^2-2b^2) \cdot 1 \\
(a^2+2ax+x^2)-(b^2-2bx+x^2)&=&2a^2-2b^2 \\
a^2+2ax+x^2-b^2+2bx-x^2&=&2a^2-2b^2 \\
a^2+2ax-b^2+2bx&=&2a^2-2b^2 \quad|-a^2+b^2 \\
2ax+2bx&=&a^2-b^2 \\
(2a+2b) \cdot x&=&a^2-b^2 \quad|:(2a+2b) \\
x&=&\frac{a^2-b^2}{2a+2b} \\
x&=&\frac{(a+b) \cdot (a-b)}{2 \cdot (a+b)} \\
x&=&\frac{a-b}{2}\\
x&=&\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\\
L&=&\left\{\frac{a}{2}-\frac{b}{2}\right\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 11}
\[\frac{1}{4-x}-\frac{x-6}{x^2-3x-4}=\frac{2}{x^2-1}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Der zweite Nenner $(x^2-3x-4)$ stellt einen Quadratischen Term dar. Daher kann
er mit der \footnote{Näheres dazu unter: \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{www.dk4ek.de/mathematikquad.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/mathematik/quad.pdf}}
{$p$-$q$-Formel} untersucht werden.
\begin{eqnarray*}
x^2-3x-4&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \frac{5}{2}\\
x_1=4 && x_2=-1
\end{eqnarray*}
Nach dem Satz von Vieta ergibt sich daraus folgende Zerlegung:
\[x^2-3x-4=(x-4) \cdot (x+1)\]
Der dritte Nenner kann mit der dritten Binomischen Formel zerlegt werden. Damit
sieht die Zerlegung auf den ersten Blick so aus:
\[\begin{array}{rclrrl}
4-x&=&(4-x) \\
x^2-3x-4&=&&(x-4)&\cdot (x+1) \\
x^2-1&=&  &&(x+1)&\cdot (x-1) \\
\hline
HN&=&(4-x)&\cdot (x-4)&\cdot (x+1)&\cdot (x-1)
\end{array}\]
Schaut man sich die ersten beiden Terme $(4-x)$ und $(x-4)$ einmal genau an,
dann wird man feststellen, dass der eine Term genau das Negative des anderen
Terms ist. Das kann man ausnutzen, indem man beispielsweise aus dem ersten Term
$(4-x)$ eine $-1$ ausklammert, um den zweiten daraus zu machen. Dann entsteht
folgende (günstigere) Zerlegung mit einem einfacheren Hauptnenner:
\[\begin{array}{rclrrl|l}
4-x&=&(-1)&\cdot (x-4) &&&         EF=(x+1) \cdot (x-1)= \left( x^2-1 \right) \\
x^2-3x-4&=&&\cdot (x-4)&\cdot (x+1)&& EF=(-1) \cdot (x-1)=(-x+1) \\
x^2-1&=&  &&(x+1)&\cdot (x-1)      & EF=(-1) \cdot (x-4)=(-x+4) \\
\hline
HN&=&(-1)&\cdot (x-4)&\cdot (x+1)&\cdot (x-1)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;1;4\}\]

\newpage
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{4-x}-\frac{x-6}{x^2-3x-4}&=&\frac{2}{x^2-1} \quad| \cdot HN \\
1 \cdot \left( x^2-1 \right)-(x-6) \cdot (-x+1)&=&2 \cdot (-x+4) \\
x^2-1- \left( -x^2+x+6x-6 \right)&=&-2x+8 \\
x^2-1+x^2-x-6x+6&=&-2x+8 \\
2x^2-7x+5&=&-2x+8 \quad|+2x-8 \\
2x^2-5x-3&=&0 \quad|:2 \\
x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{5}{4}\pm \sqrt{\frac{25}{16}+\frac{24}{16}}\\
x_{1/2}&=&\frac{5}{4}\pm \sqrt{\frac{49}{16}}\\
x_{1/2}&=&\frac{5}{4}\pm \frac{7}{4}\\
x_1=3 && x_2=-\frac{1}{2} \\
L&=&\left\{3;-\frac{1}{2}\right\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 12}
\[\frac{2}{2x+1}+\frac{7}{2x^2-x-1}-\frac{2}{3x-1}=\frac{2x+3}{3x^2-4x+1}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Der zweite Nenner $\left(2x^2-x-1\right)$ stellt einen Quadratischen Term dar.
Es könnte sein, dass einer der beiden einfachen Nenner darin als Teiler
enthalten ist. Das probieren wir aus.
\[\begin{array}{rrr}
(2x^2&-x\ &-1) \\
-(2x^2&+x) \\
\hline
&(-2x\ &-1) \\
&-(-2x\ &-1) \\
\hline
&&0 \
\end{array}
\begin{array}{rrrr}
:&(2x+1)&=&x-1 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

Auch der vierte Nenner ist ein Quadratischer Term, der zerlegbar sein sollte.
Ich probiere aus, ob er durch den eben gefundenen Term $(x-1)$ teilbar ist.
\[\begin{array}{rrr}
(3x^2&-4x\ &+1) \\
-(3x^2&-3x) \\
\hline
&(-x\ &+1) \\
&-(-x\ &+1) \\
\hline
&&0 \
\end{array}
\begin{array}{rrrr}
:&(x-1)&=&3x-1 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Damit kommen wir zu folgender Nennerzerlegung:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
2x+1&=&(2x+1)&&&  EF=(x-1) \cdot (3x-1)=(3x^2-4x+1) \\
2x^2-x-1&=&(2x+1)&\cdot (x-1) && EF=(3x-1) \\
3x-1&=&&&(3x-1)                & EF=(2x+1) \cdot (x-1)=(2x^2-x-1) \\
3x^2-4x+1&=&&(x-1)&\cdot (3x-1)& EF=(2x+1) \\
\hline
HN&=&(2x+1)&\cdot (x-1)&\cdot (3x-1)
\end{array}\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \bigl\{-\frac{1}{2};1;\frac{1}{3}\bigr\}\]

\newpage
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{2x+1}+\frac{7}{2x^2-x-1}-\frac{2}{3x-1}&=&\frac{2x+3}{3x^2-4x+1}
  \quad| \cdot HN \\
2 \cdot (3x^2-4x+1)+7 \cdot (3x-1)-2 \cdot (2x^2-x-1)&=&(2x+3) \cdot (2x+1) \\
6x^2-8x+2+21x-7-4x^2+2x+2&=&4x^2+2x+6x+3 \\
2x^2+15x-3&=&4x^2+8x+3 \quad|-4x^2-8x-3 \\
-2x^2+7x-6&=&0 \quad|:(-2) \\
x^2-\frac{7}{2}+3&=&0 \\
x_{1/2}&=& \frac{7}{4}\pm \sqrt{\frac{49}{16}-\frac{48}{16}}\\
x_{1/2}&=& \frac{7}{4}\pm \frac{1}{4}\\
x_1=2 && x_2=1,5 \\
L&=&\{2;1,5 \}
\end{eqnarray*}

\newpage
\paragraph*{Aufgabe 13}
\[\frac{3x+4}{x-5}-\frac{x-9}{x-7}= \frac{2x^2-13x+27}{x^2-12x+35}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Der dritte Nenner $\left(x^2-12x+35\right)$ stellt einen Quadratischen Term dar.
Es könnte sein, dass einer der beiden einfachen Nenner darin als Teiler
enthalten ist. Das probieren wir aus.
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-12x\ &+35) \\
-(x^2&-5x) \\
\hline
&(-7x\ &+35) \\
&-(-7x\ &+35) \\
\hline
&&0 \
\end{array}
\begin{array}{rrrr}
:&(x-5)&=&x-7 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Damit kommen wir zu folgender Nennerzerlegung:
\[\begin{array}{rcrr|l}
x-5&=&(x-5)&&  EF=(x-7) \\
x-7&=&&(x-7)& EF=(x-5) \\
x^2-12x+35&=&(x-5)&\cdot (x-7)& EF=1 \\
\hline
HN&=&(x-5)&\cdot (x-7)
\end{array}\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{5;7\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+4}{x-5}-\frac{x-9}{x-7}&=&\frac{2x^2-13x+27}{x^2-12x+35}
  \quad| \cdot HN \\
(3x+4) \cdot (x-7)-(x-9) \cdot (x-5)&=&(2x^2-13x+27) \cdot 1 \\
3x^2-21x+4x-28- \left( x^2-5x-9x+45 \right)&=&2x^2-13x+27 \\
3x^2-17x-28-x^2+5x+9x-45&=&2x^2-13x+27 \\
2x^2-3x-73&=&2x^2-13x+27 \quad|-2x^2+13x+73 \\
10x&=&100 \quad|:10 \\
x&=&10 \\
L&=&\{10\}
\end{eqnarray*}

\newpage%---------------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 14}
\[\frac{4x-5}{3x+3}+\frac{3x+4}{5-5x}= \frac{11x^2-69x+58}{15x^2-15}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann jeweils eine Zahl ausgeklammert werden. Für
den dritten Nenner bietet sich -- nach Ausklammern von $(3 \cdot 5)$ -- die
dritte Binomische Formel an.\\

Hat man das durchgeführt, dann ist diner der beiden Faktoren genau das Negative
des dritten Nenners. Daher bietet es sich an, dort eine $(-1)$ auszuklammern.
\[\begin{array}{rcrrrrr|l}
3x+3&=&3& &&&\cdot (x+1)&  EF=5  \cdot (-1) \cdot (x-1)=(-5x+5) \\
5-5x&=&&5&\cdot (-1)&\cdot (x-1)&& EF=3 \cdot (x+1)=(3x+3) \\
15x^2-15&=&3&\cdot 5&&(x-1)&\cdot (x+1)& EF=(-1) \\
\hline
HN&=&3&\cdot 5&\cdot (-1)&\cdot (x-1)&\cdot (x+1)
\end{array}\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;1\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{4x-5}{3x+3}+\frac{3x+4}{5-5x}&=& \frac{11x^2-69x+58}{15x^2-15}
  \quad| \cdot HN \\
(4x-5) \cdot (-5x+5)+(3x+4) \cdot (3x+3)&=&(11x^2-69x+58) \cdot (-1) \\
-20x^2+20x+25x-25+9x^2+9x+12x+12&=&-11x^2+69x-58 \\
-11x^2+66x-13&=&-11x^2+69x-58 \quad|+11x^2-69x+13 \\
-3x&=&-45 \quad|:(-3) \\
x&=&15 \\
L&=&\{15\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 15}
\[\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}=10-\frac{28x+43}{4x^2-8x+3}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann sicher nichts mehr faktorisiert werden. Es
geht nichts auszuklammern und $x$ kommt auch nur ohne Quadrat vor. Der dritte
Nenner könnte aber zerlegt werden, da ein $x^2$ vorkommt. Da Ausklammern nicht
geht und auch kein Binomischer Term erkennbar ist, kommt nur eine
Polynomdivision oder eine Zerlegung nach Vieta in Frage. \\

\textbf{\underline{1. Variante:}}
Eine Zerlegung nützt uns nur dann, wenn einer der anderen Nenner in diesem
Nenner als Faktor enthalten ist. Daher versuche ich in einer Polynomdivision,
diesen Nenner durch den ersten Nenner zu dividieren:
\[\begin{array}{rrr}
(4x^2&-8x\ &+3) \\
-(4x^2&-2x) \\
\hline
&-6x\ &+3\ \\
-(&-6x\ &+3) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(2x-1)&=&2x-3 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Die Division ist aufgegangen. Wir erhalten also die Zerlegung:
\[4x^2-8x+3=(2x-1) \cdot (2x-3)\]

\textbf{\underline{2. Variante:}} Ich bestimme die
zugehörigen Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel.
\begin{eqnarray*}
4x^2-8x+3&=&0 \quad |:4 \\
x^2-2x+\frac{3}{4}&=&0 \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1^2-\frac{3}{4}}\\
&=&1 \pm \sqrt{\frac{4}{4}-\frac{3}{4}}\\
&=&1 \pm \frac{1}{2}\\
x_1= \frac{3}{2}&& x_2= \frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

Nach Vieta lässt sich ein Quadratischer Term schreiben als:
\[ax^2+bx+c=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)\]
wobei $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen des Terms sind und $a$ der Vorfaktor von
$x^2$. Wir wenden das auf unseren zu untersuchenden Nenner an:
\[4x^2-8x+3=4 \cdot \left( x-\frac{3}{2}\right)
 \cdot \left( x-\frac{1}{2}\right) \]
Die in der Zerlegung enthaltenen Brüche sind unbefriedigend. Zerlegt man die 4
vor den beiden Klammern in $2 \cdot 2$, dann kann je eine der beiden Zweien in
die beiden Klammern hineinmultipliziert werden. Man erhält dann:
\[4x^2-8x+3=(2x-3) \cdot (2x-1)\]
Gleichgültig über welche Variante man auf die Zerlegung gekommen ist, es bleibt
die Beobachtung, dass nur der erste Nenner direkt darin enthalten ist. Der
zweite Nenner ähnelt allerdings dem anderen Term. Vergleichen wir sie
miteinander:
\[\textnormal{2. Nenner:} 3-2x \qquad \textnormal{Faktor aus 3. Nenner:}2x-3\]
Wenn ich die Reihenfolge im 2. Nenner tausche und dann noch $(-1)$ ausklammere,
erhalte ich genau diesen Term:
\[3-2x=-2x+3=-1 \cdot (2x-3) \]
Damit können wir die Nenneranalyse aufschreiben:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
2x-1     &=&  &            &      (2x-1)& EF=-1 \cdot (2x-3)=-2x+3 \\
3-2x     &=&-1&\cdot (2x-3)&            & EF=2x-1 \\
4x^2-8x+3&=&  &      (2x-3)&\cdot (2x-1)& EF=-1 \\
\hline
HN       &=&-1&\cdot (2x-3)&\cdot (2x-1)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0,5;1,5\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}
  &=&10-\frac{28x+43}{4x^2-8x+3}\quad| \cdot HN \\
(7x-13)(-2x+3)-(13x-28)(2x-1)
  &=&10(-1)(2x-3)(2x-1)- \ldots \\
 &&\ldots -   (28x+43)(-1) \\
-14x^2+47x-39-(26x^2-69x+28)&=&-10(4x^2-8x+3)+(28x+43) \\
-14x^2+47x-39-26x^2+69x-28&=&-40x^2+80x-30+28x+43 \\
-40x^2+116x-67&=&-40x^2+108x+13 \quad|+40x^2-108x+67 \\
8x&=&80 \quad|:8 \\
x&=& 10 \\
L&=& \{10 \}
\end{eqnarray*}


\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 16}
\[\frac{5x-17}{4x-3}+\frac{7(x-4)}{4x-5}-\frac{12(10x+73)}{32x-16x^2-15}=3\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann sicher nichts mehr faktorisiert werden. Es
geht nichts auszuklammern und $x$ kommt auch nur ohne Quadrat vor. Der dritte
Nenner könnte aber zerlegt werden, da ein $x^2$ vorkommt. Da Ausklammern nicht
geht und auch kein Binomischer Term erkennbar ist, kommt nur eine
Polynomdivision oder eine Zerlegung nach Vieta in Frage. \\

\textbf{\underline{1. Variante:}}
Eine Zerlegung nützt uns nur dann, wenn einer der anderen Nenner in diesem
Nenner als Faktor enthalten ist. Daher versuche ich in einer Polynomdivision,
diesen Nenner durch den ersten Nenner zu dividieren. Zuvor wird der dritte
Nenner sortiert:
\[\begin{array}{rrr}
(-16x^2&+32x\ &-15) \\
-(-16x^2&+12x) \\
\hline
&20x\ &-15\ \\
&-(20x\ &-15) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(4x-3)&=&-4x+5 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Die Division ist aufgegangen. Wir erhalten also die Zerlegung:
\[-16x^2+32x-15=(4x-3) \cdot (-4x+5)\]

\textbf{\underline{2. Variante:}} Ich bestimme die
zugehörigen Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel.
\begin{eqnarray*}
-16x^2+32x-15&=&0 \quad|:(-16) \\
x^2-2x+\frac{15}{16}&=&0 \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1-\frac{15}{16}}\\
&=&1 \pm \frac{1}{4}\\
x_1= \frac{3}{4} && x_2= \frac{5}{4}
\end{eqnarray*}
Nach Vieta lässt sich ein Quadratischer Term schreiben als:
\[ax^2+bx+c=a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)\]
wobei $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen des Terms sind und $a$ der Vorfaktor von
$x^2$. Wir wenden das auf unseren zu untersuchenden Nenner an:
\[-16x^2+32x-15=-16 \cdot \left(x-\frac{3}{4}\right)
 \cdot \left( x+\frac{5}{4}\right) \]
Die in der Zerlegung enthaltenen Brüche sind unbefriedigend. Zerlegt man die
$-16$
vor den beiden Klammern in $-4 \cdot 4$, dann kann je eine der beiden Vieren in
die beiden Klammern hineinmultipliziert werden. Man erhält dann:
\[-16x^2+32x-15=-(4x-3) \cdot (4x-5)\]
Die Zerlegung nach Variante 2 passt besser zu den anderen Nennern, als Variante
1. In Variante 1 kann jedoch aus dem zweiten Term $(-1)$ ausgeklammert werden.
Wir erhalten damit folgende Nenneranalyse:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
4x-3        &=&  &            &      (4x-3)& EF=-1 \cdot (4x-5)=-4x+5 \\
4x-5        &=&  &\cdot (4x-5)&            & EF=-1 \cdot (4x-3)=-4x+3 \\
32x-16x^2-15&=&-1&\cdot (4x-5)&\cdot (4x-3)& EF=1 \\
\hline
HN          &=&-1&\cdot (4x-5)&\cdot (4x-3)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0,75;1,25\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{5x-17}{4x-3}+\frac{7(x-4)}{4x-5}-\frac{12(10x+73)}{32x-16x^2-15}&=&3
 \quad| \cdot HN \\
(5x-17)(-4x+5)+7(x-4)(-4x+3)-12(10x+73)&=&3(-1)(4x-5)(4x-3) \\
(-20x^2+93x-85)+7(-4x^2+19x-12)-(120x+876)&=&-3(16x^2-32x+15) \\
-20x^2+93x-85-28x^2+133x-84-120x-876&=&-3(16x^2-32x+15) \\
-48x^2+106x-1045&=&-48x^2+96x-45 \\
10x&=&1000 \\
x&=&100 \\
L&=&\{100\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 17}
\[\frac{2x+5}{2x-4}+\frac{6x+5}{3x+6}=\frac{3x^2-2x+5}{x^2-4}\]

\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann ausgeklammert werden, dem dritten Nenner
liegt die dritte Binomische Formel zugrunde.
\[\begin{array}{rcrrrr|l}
2x-4 &=&2&       &\cdot (x-2)&           &EF=3 \cdot (x+2)=3x+6 \\
3x+6 &=& &      3&           &\cdot (x+2)&EF=2 \cdot (x-2)=2x-4 \\
x^2-4&=& &       &      (x-2)&\cdot (x+2)&EF=2 \cdot 3=6 \\
\hline
HN   &=&2&\cdot 3&\cdot (x-2)&\cdot (x+2)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;2\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2x+5}{2x-4}+\frac{6x+5}{3x+6}&=&\frac{3x^2-2x+5}{x^2-4}\quad| \cdot HN \\
(2x+5)(3x+6)+(6x+5)(2x-4)&=&(3x^2-2x+5) \cdot 6 \\
6x^2+12x+15x+30+12x^2-24x+10x-20&=&18x^2-12x+30 \\
18x^2+13x+10&=&18x^2-12x+30 \quad|-18x^2 \\
13x+10&=&-12x+30 \quad|+12x-10 \\
25x&=&20  \quad|:25 \\
x&=&0,8 \\
L&=&\{0,8\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 18}
\[\frac{3x-5}{x+2}+\frac{7x-10}{x+1}=10-\frac{x+99}{x^2+3x+2}\]

\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann sicher nichts mehr faktorisiert werden. Es
geht nichts auszuklammern und $x$ kommt auch nur ohne Quadrat vor. Der dritte
Nenner könnte aber zerlegt werden, da ein $x^2$ vorkommt. Da Ausklammern nicht
geht und auch kein Binomischer Term erkennbar ist, kommt nur eine
Polynomdivision oder eine Zerlegung nach Vieta in Frage. Man kann auch auf gut
Glück probieren, ob das Produkt der ersten beiden Nenner den dritten Nenner
ergibt:
\[(x+2)(x+1)=x^2+x+2x+2=x^2+3x+2\]
Das war in diesem Fall erfolgreich. Aber auch beide anderen Verfahren hätten zu
diesem Ergebnis geführt.
\[\begin{array}{rcrr|l}
x+2     &=&(x+2) &          &EF=x+1 \\
x+1     &=&      &     (x+1)&EF=x+2 \\
x^2+3x+2&=&(x+2)&\cdot (x+1)&EF=1 \\
\hline
HN   &=&(x+2)&\cdot (x+1)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;-1\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x-5}{x+2}+\frac{7x-10}{x+1}&=&10-\frac{x+99}{x^2+3x+2}\quad| \cdot HN \\
(3x-5)(x+1)+(7x-10)(x+2)&=&10(x^2+3x+2)-(x+99) \\
3x^2+3x-5x-5+7x^2+14x-10x-20&=&10x^2+30x+20-x-99 \\
10x^2+2x-25&=&10x^2+29x-79 \quad|-10x^2 \\
2x-25&=&29x-79 \quad|-29x+25 \\
-27x&=&-54 \quad|:(-2) \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 19}
\[\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}=\frac{2}{5x-x^2-6}\]

\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In den ersten beiden Nennern kann sicher nichts mehr faktorisiert werden. Es
geht nichts auszuklammern und $x$ kommt auch nur ohne Quadrat vor. Der dritte
Nenner könnte aber zerlegt werden, da ein $x^2$ vorkommt. Da Ausklammern nicht
geht und auch kein Binomischer Term erkennbar ist, kommt nur eine
Polynomdivision oder eine Zerlegung nach Vieta in Frage. Man kann auch auf gut
Glück probieren, ob das Produkt der ersten beiden Nenner den dritten Nenner
ergibt:
\[(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+2=x^2-5x+6\]
Das war in diesem Fall nicht ganz erfolgreich. Schaut man sich das Ergebnis
jedoch genauer an, dann kann man erkennen, dass Nenner 3 genau \textbf{das
Negative} dieses Ergebnisses ist. Der Faktor $(-1)$ kommt also bei der
Zerlegung noch dazu. Aber auch beide anderen Verfahren hätten zu
diesem Ergebnis geführt.
\[\begin{array}{rcrrr|l}
x-2     &=&  &(x-2) &          &EF=-1 \cdot (x-3)=-x+3 \\
x-3     &=&  &      &     (x-3)&EF=-1 \cdot (x-2)=-x+2 \\
5x-x^2-6&=&-1&\cdot (x-2)&\cdot (x-3)&EF=1 \\
\hline
HN   &=&-1&\cdot (x-2)&\cdot (x-3)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{2;3\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x-3}&=&\frac{2}{5x-x^2-6} \quad| \cdot HN \\
x \cdot (-x+3)-(x-2) \cdot (-x+2)&=&2 \\
-x^2+3x-(-x^2+2x+2x-4)&=&2 \\
-x^2+3x+x^2-2x-2x+4&=&2 \\
-x+4&=&2 \quad|-4 \\
-x&=&-2  \quad|:(-1) \\
x&=&2
\end{eqnarray*}
Aber aufgepasst! Diese Lösung gehört \textbf{ausdrücklich nicht} zur
Definitionsmenge! Die Lösungsmenge ist also leer.
\[D=\{\ \}\]

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 20}
\[\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}=-10\frac{13}{20}\]
Sinnvollerweise verwandelt man zunächst die gemischte Zahl $10\frac{13}{20}$ in
einen reinen Bruch.
\[\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}=-\frac{213}{20}\]

\subparagraph*{a: Nenneranalyse}
\[\begin{array}{rcrrrr|l}
4x-20&=&&2^2&  &\cdot (x-5) & HN=-1 \cdot 5=-5 \\
25-5x&=&-1&& \cdot 5&\cdot (x-5) & HN=2^2=4 \\
2x-10&=&&2\ &  &\cdot (x-5) & HN=-1 \cdot 2 \cdot 5=-10 \\
20   &=&&2^2& \cdot 5&      & HN=-1 \cdot (x-5)=-x+5 \\
\hline
HN&=&-1& \cdot 2^2& \cdot 5& \cdot (x-5)
\end{array}\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{5\}\]
\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}&=&-\frac{213}{20}
  \quad| \cdot HN \\
(3x+7)(-5)+(4x-3) \cdot 4-(11-7x) \cdot (-10)&=&-213 \cdot (-x+5) \\
-15x-35+16x-12-(-110+70x)&=&213x-1065 \\
-15x-35+16x-12+110-70x&=&213x-1065 \\
-69x+63&=&213x-1065 \quad|-213x-63 \\
-282x&=&-1128 \quad|:(-282) \\
x&=&4 \\
L&=&\{4\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 21}
\[\frac{2x+1}{x^2+x-56}=\frac{1}{x-7}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Der zweite Nenner ist offensichtlich nicht weiter zerlegbar. Im ersten Nenner
ist eine mögliche Zerlegung nicht direkt erkennbar. Es gibt aber nur dann eine
Vereinfachung, wenn ein bekannter Term -- also der andere Nenner -- darin
enthalten ist. Daher probiere ich eine Polynomdivision aus:
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&+x\ &-56) \\
-(x^2&-7x) \\
\hline
&8x\ &-56\ \\
-&(8x\ &-56) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-7)&=&x+8 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Die Division ist aufgegangen. Wir erhalten also die Zerlegung:
\[\begin{array}{rcrr|l}
x^2+x-56&=&(x-7)&\cdot (x+8)&EF=1 \\
x-7&=&(x-7)&                &EF=x-8 \\
\hline
HN&=&(x-7)&\cdot (x+8)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-8;7\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
(2x+1) \cdot 1&=&1 \cdot (x+8)\\
2x+1&=&x+8 \quad|-x-1 \\
x&=&7 \\
\end{eqnarray*}
Aber aufgepasst! Diese Lösung gehört \textbf{ausdrücklich nicht} zur
Definitionsmenge! Die Lösungsmenge ist also leer.
\[D=\{\ \}\]

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 22}
\[\frac{6x^2-10x+6}{2x^3-13x^2+17x+12}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-7x+12}=0\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Der zweite Nenner ist nicht zerlegbar. Beim ersten und dritten Nenner ist weder
ein Ausklammern noch eine Zerlegung mit Binomischer Formel möglich. Daher liegt
es nahe zu prüfen, ob der zweite Nenner in den anderen Nennern enthalten ist.
Ein Blick auf die absoluten Glieder der Nenner (sowohl 12 aus dem ersten Nenner
als auch 12 aus dem dritten Nenner sind durch 3 aus dem zweiten Nenner teilbar)
lässt auf Erfolg hoffen. Da Nenner drei einfacher ist, beginne ich hier.

\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-7x\ &+12) \\
-(x^2&-3x) \\
\hline
&-4x\ &+12\ \\
-&(-4x\ &+12) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-3)&=&x-4 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Damit ist die Zerlegung für Nenner drei bekannt:
\[x^2-7x+12=(x-3) \cdot (x-4)\]
Das gleiche versuchen wir nun mit dem ersten Nenner:
\[\begin{array}{rrrr}
(2x^3&-13x^2\ &+17x\ &+12) \\
-(2x^3&-6x^2) \\
\hline
&-7x^2\ &+17x\ &+12\ \\
-&(-7x^2\ &+21x) \\
\hline
 &&-4x\ &+12\ \\
 &-&(-4x\ &+12) \\
\hline
&&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-3)&=&2x^2-7x-4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Der Ergebnisterm sollte weiter zerlegbar sein. Sein absolutes Glied lässt
vermuten, dass er durch den Term $(x-4)$ aus der Zerlegung des dritten Nenners
teilbar ist.
\[\begin{array}{rrr}
(2x^2&-7x\ &-4) \\
-(2x^2&-8x) \\
\hline
&x\ &-4\ \\
-&(x\ &-4) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-4)&=&2x+1 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

Mit diesen Ergebnissen stellt sich die Nennerzerlegung folgendermaßen dar:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
2x^3-13x^2+17x+12&=&(x-3)&\cdot (x-4)&\cdot (2x+1)&EF=1 \\
x-3              &=&(x-3)&           &            &EF=(x-4)(2x+1)=2x^2-7x-4 \\
x^2-7x+12        &=&(x-3)&\cdot (x-4)&            &EF=2x+1 \\
\hline
HN&=&(x-3)&\cdot (x-4)&\cdot (2x+1)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-0,5;3;4\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{6x^2-10x+6}{2x^3-13x^2+17x+12}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-7x+12}&=&0
 \quad| \cdot HN \\
(6x^2-10x+6)-(2x^2-7x-4)-2x(2x+1)&=&0 \\
6x^2-10x+6-2x^2+7x+4-(4x^2+2x)&=&0 \\
6x^2-10x+6-2x^2+7x+4-4x^2-2x&=&0 \\
-5x+10&=&0 \quad|-10 \\
-5x&=&-10 \quad|:(-5) \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{eqnarray*}

\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 23}
\[\frac{5x+2}{x^2-3x-10}= \frac{x-2}{x^2-x-6}-\frac{x+1}{x^2-8x+15}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Alle Nenner stellen Quadratische Terme dar, die nicht durch Ausklammern oder
durch Anwenden einer Binomischen Formel zerlegbar sind. Daher zerlege ich alle
mit Hilfe des Satzes von Vieta.\\

\textbf{\underline{Nenner 1:}}
\begin{eqnarray*}
x^2-3x-10&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{40}{4}}\\
&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{49}{4}}\\
&=&\frac{3}{2}\pm \frac{7}{2}\\
x_1=-2 && x_2=5
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich die Faktorisierung:
\[x^2-3x-10=(x+2) \cdot (x-5)\]

\textbf{\underline{Nenner 2:}}
\begin{eqnarray*}
x^2-x-6&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{4}}\\
&=&\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\
&=&\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2}\\
x_1=-2 && x_2=3
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich die Faktorisierung:
\[x^2-x-6=(x+2) \cdot (x-3)\]

\textbf{\underline{Nenner 3:}}
\begin{eqnarray*}
x^2-8x+15&=&0 \\
x_{1/2}&=&4 \pm \sqrt{16-15}\\
&=&4 \pm 1 \\
x_1=3 && x_2=5
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich die Faktorisierung:
\[x^2-8x+15=(x-3) \cdot (x-5)\]

Die komplette Nenneranalyse sieht damit wie folgt aus:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
x^2-3x-10&=&(x+2)&           &\cdot (x-5)&EF=x-3 \\
x^2-x-6  &=&(x+2)&\cdot (x-3)&           &EF=x-5 \\
x^2-8x+15&=&     &      (x-3)&\cdot (x-5)&EF=x+2 \\
\hline
      HN &=&(x+2)&\cdot (x-3)&\cdot (x-5)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-2;3;5\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{5x+2}{x^2-3x-10}&=&\frac{x-2}{x^2-x-6}-\frac{x+1}{x^2-8x+15}
 \quad|\cdot HN \\
(5x+2)(x-3)&=&(x-2)(x-5)-(x+1)(x+2) \\
5x^2-15x+2x-6&=&x^2-5x-2x+10-x^2-2x-x-2 \\
5x^2-13x-6&=&-10x+8 \quad|+10x-8 \\
5x^2-3x-14&=&0 \quad|:5 \\
x^2-\frac{3}{5}x-\frac{14}{5}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{3}{10}\pm \sqrt{\frac{9}{100}+\frac{280}{100}}\\
&=&\frac{3}{10}\pm \sqrt{\frac{289}{100}}\\
&=&\frac{3}{10}\pm \frac{17}{10}\\
x_1=2 && x_2=-1,4 \\
L&=& \{2;-1,4\}
\end{eqnarray*}

\newpage%--------------------------------------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 24}
\[\frac{x-7}{x^2-4x+3}-\frac{x-8}{x^2-6x+5}=\frac{4x+1}{x^3-9x^2+23x-15}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
Die ersten beiden Nenner stellen Quadratische Terme dar, die nicht durch
Ausklammern oder durch Anwenden einer Binomischen Formel zerlegbar sind.
Das gleiche gilt auch für den dritten Nenner, der einen Kubischen Term
darstellt. Daher zerlege ich die ersten beiden mit Hilfe des Satzes von
Vieta.\\

\textbf{\underline{Nenner 1:}}
\begin{eqnarray*}
x^2-4x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
&=&2 \pm 1 \\
x_1=1 && x_2=3
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich die Faktorisierung:
\[x^2-4x+3=(x-1) \cdot (x-3)\]

\textbf{\underline{Nenner 2:}}
\begin{eqnarray*}
x^2-6x+5&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5}\\
&=&3 \pm 2 \\
x_1=1 && x_2=5
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich die Faktorisierung:
\[x^2-6x+5=(x-1) \cdot (x-5)\]

\textbf{\underline{Nenner 3:}}
Für diesen Nenner kommt nur eine Polynomdivision zur Faktorisierung in Frage.
Bisher haben wir diese drei Terme in den anderen Nennern gefunden:
\begin{itemize}
\item $(x-1)$
\item $(x-3)$
\item $(x-5)$
\end{itemize}
Nach Analyse des absoluten Gliedes aus Nenner drei könnte jeder dieser Nenner
ein Teiler sein. Ich wähle willkürlich den Term $(x-1)$ aus und probiere, ob
Nenner drei dadurch teilbar ist.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-9x^2\ &+23x\ &-15) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&-8x^2\ &+23x\ &-15\ \\
-&(-8x^2\ &+8x) \\
\hline
 &&15x\ &-15\ \\
 &-&(15x\ &-15) \\
\hline
&&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-1)&=&x^2-8x+15 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Der Ergebnisterm sollte weiter zerlegbar sein. Sein absolutes Glied lässt
vermuten, dass er durch den Term $(x-3)$ aus der Zerlegung des ersten Nenners
teilbar ist.
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-8x\ &+15) \\
-(x^2&-3x) \\
\hline
&-5x\ &+15\ \\
-&(-5x\ &+15) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-3)&=&x-5 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

Mit diesen Ergebnissen stellt sich die Nennerzerlegung folgendermaßen dar:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
x^2-4x+3       &=&(x-1)&\cdot (x-3)&           &EF=x-5 \\
x^2-6x+5       &=&(x-1)&           &\cdot (x-5)&EF=x-3 \\
x^3-9x^2+23x-15&=&(x-1)&\cdot (x-3)&\cdot (x-5)&EF=1 \\
\hline
HN&=&(x-1)&\cdot (x-3)&\cdot (x-5)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{1;3;5\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{x-7}{x^2-4x+3}-\frac{x-8}{x^2-6x+5}&=&\frac{4x+1}{x^3-9x^2+23x-15}
  \quad| \cdot HN \\
(x-7)(x-5)-(x-8)(x-3)&=&4x+1 \\
x^2-5x-7x+35-(x^2-3x-8x+24)&=&4x+1 \\
x^2-5x-7x+35-x^2+3x+8x-24&=&4x+1 \\
-x+11&=&4x+1 \quad|-4x-11 \\
-5x&=&-10 \quad|:(-5) \\
x&=&2 \\
L&=&\{2 \}
\end{eqnarray*}
\newpage %----------------------------------
\paragraph*{Aufgabe 25}
\[\frac{3}{2x-4}= \frac{8x}{2x^2-10x+12}-\frac{5x^2-19}{2x^3-8x^2+2x+12}\]
\subparagraph*{a: Nenneranalyse\\}
In jedem Nenner kann eine 2 ausgeklammert werden.
\[\begin{array}{rcrrrr}
2x-4       &=&2&\cdot (x-2)& &\\
2x^2-10x+12&=&2&&\cdot (x^2-5x+6)&\\
2x^3-8x^2+2x+12&=&2&&&\cdot (x^3-4x^2+x+6) \\
\hline
\end{array}\]
Der erste Nenner ist damit komplett zerlegt. Nach Untersuchung der absoluten
Glieder ist eine gewisse Warscheinlichkeit gegeben, dass der Restterm des
zweiten Nenners durch den ersten Restterm teilbar ist. Wir probieren das aus:
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-5x\ &+6) \\
-(x^2&-2x) \\
\hline
&-3x\ &+6\ \\
-&(-3x\ &+6) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-2)&=&x-3 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Damit ist die Zerlegung für Nenner zwei bekannt:
\[2x^2-10x+12=2 \cdot (x-2) \cdot (x-3)\]
Auch der Restterm des dritten Nenners sollte noch weiter zerlegbar sein. Ich
versuche auch hier eine Division durch $(x-2)$, die absoluten Glieder legen
dies nahe.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-4x^2\ &+x\ &+6) \\
-(x^3&-2x^2) \\
\hline
&-2x^2\ &+x\ &+6\ \\
-&(-2x^2\ &+4x) \\
\hline
 &&-3x\ &+6\ \\
 &-&(-3x\ &+6) \\
\hline
&&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-2)&=&x^2-2x-3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Das Ergebnis sollte noch weiter zerlegbar sein. Da es uns nur nützt, wenn einer
der bereits bekannten Terme $(x-2)$ oder $(x-3)$ darin enthalten ist, nehmen
wir diese in Augenschein. Der Term $(x-2)$ kommt wegen des absoluten Gliedes
nicht in Frage, bleibt also nur noch  $(x-3)$. Das versuchen wir.
\[\begin{array}{rrr}
(x^2&-2x\ &-3) \\
-(x^2&-3x) \\
\hline
&x\ &-3\ \\
&-(x\ &-3) \\
\hline
&& 0\
\end{array}\begin{array}{rrrr}
:&(x-3)&=&x+1 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Damit können wir die endgültige Zerlegung vornehmen.
\[\begin{array}{rcrrrr|l}
2x-4           &=&2&\cdot (x-2)&                 & &EF=(x-3)(x+1) \\
2x^2-10x+12    &=&2&\cdot (x-2)&\cdot (x-3)             & &EF=x+1 \\
2x^3-8x^2+2x+12&=&2&\cdot (x-2)&\cdot (x-3) &\cdot (x+1)&EF=1 \\
\hline
HN&=&2&\cdot (x-2)&\cdot (x-3) &\cdot (x+1)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;2;3\}\]

\subparagraph*{b: Lösung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{2x-4}&=&\frac{8x}{2x^2-10x+12}-\frac{5x^2-19}{2x^3-8x^2+2x+12}
  \quad| \cdot HN \\
3 \cdot (x-3)(x+1)&=&8x \cdot (x+1)-(5x^2-19) \\
(3x-9)(x+1)&=&8x^2+8x-5x^2+19 \\
3x^2+3x-9x-9&=&3x^2+8x+19 \quad|-3x^2 \\
-6x-9&=&8x+19 \quad|-8x+9 \\
-14x&=&28 \quad|:(-14) \\
x&=&-2 \\
L&=&\{-2\}
\end{eqnarray*}

\end{document}
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