\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\begin{document}
\section*{Lösen von Bruchgleichungen}
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung wie diese hier:
\[\frac{3}{3x-6}-\frac{1}{x^2-4}= \frac{x+1}{x^2+x-6}\]
Ein Leitfaden zum Lösen von Gleichungen besagt:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Eine Bruchgleichung löst man, indem man die} \\
\fcolorbox{red}{yellow}{Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert.}
\end{center}
Bevor man das tun kann, muss man den Hauptnenner natürlich erst einmal
bestimmen. Dies machen wir mit einem vorgefertigten Schema. Dazu wird zuerst
\textbf{jeder} Nenner so weit wie möglich faktorisiert (in Faktoren zerlegt).
Um eine Faktorisierung durchzuführen, können drei Methoden erfolgreich sein.
\begin{enumerate}
\item Ausklammern
\item Anwenden einer Binomischen Formel
\item Polynomdivision
\end{enumerate}
In genau dieser Reihenfolge sollte man prüfen, ob das jeweilige Verfahren
erfolgreich angewendet werden kann. Ist der Nenner ein Polynom 2. Grades, dann
kann anstelle der Polynomdivision auch mit Hilfe der $p$-$q$-Formel und des
Satzes von Vieta ebenfalls eine Faktorisierung vorgenommen werden. Dazu später
mehr. \\

Beginnen wir mit dem ersten Nenner. Hier kann man eine 3 ausklammern. Ein
Ausklammern ist bei beiden anderen Nennern nicht möglich. Daher versucht man
jetzt die zweite Methode. Lässt sich eine Binomische Formel auf den jeweiligen
Nennerterm anwenden? Bein zweiten Nenner ist das möglich, hier ist die dritte
Binomische Formel anwendbar. Führt man die Zerlegung entsprechend durch, erhält
man folgendes Schema:
\[ \begin{array}{rclrrcl}
3x-6   &=&3  &\cdot (x-2) &            \\
x^2-4  &=&   &(x-2)       &\cdot (x+2) \\
x^2+x-6&=&   &            &            \\
\hline
HN   &= \\
\end{array} \]
Der dritte Nenner wartet noch auf seine Zerlegung. Möglicherweise steckt ein
Faktor in der Form $(x \pm a)$ darin. Wenn das so ist, dann muss $a$ ein Teiler
des \emph{absoluten Gliedes}, also der Zahl "`ohne $x$"' sein. Dies ist in
unserem Beispiel die 6. Damit kommen die Terme $(x+1)$, $(x-1)$, $(x+2)$,
$(x-2)$, $(x+3)$, $(x-3)$, $(x+6)$ und $(x-6)$ in Frage. Das sind leider schon
ziemlich viele, die man sicher nicht alle durchprobieren möchte. \\
\newpage

Bisher sind nur die Terme $(x-2)$ und $(x+2)$ aufgetaucht. Eine Faktorisierung
bringt uns bei der Hauptnennersuche nur dann weiter, wenn einer dieser bereits
bekannten Terme auch in dem dritten Nenner steckt. Versuchen wir also einfach
einmal die Polynomdivision $(x^2+x-6):(x-2)$.
\[
\begin{array}{rl}
  \begin{array}{rrr}
   (x^2 &+x  &-6) \\
  -(x^2 &-2x & ) \\
  \hline
        &(3x &-6) \\
        &-(3x &-6) \\
  \hline
        &     & 0 \\
  \end{array}
  \begin{array}{l}
   :(x-2)=x+3 \\
   \\
   \\
   \\
   \\
  \end{array}
\end{array}
\]
Die Division ist ohne Rest aufgegangen, wir hatten also Glück. Die beiden
Faktoren lauten demnach $(x-2)$ und $(x+3)$.\\

Alternativ kann hier auch mit Hilfe der $p$-$q$-Formel und des Satzes von Vieta
die Faktorisierung vorgenommen werden. Dazu bestimmt man die Nullstellen des
Nennerterms, indem man ihn gleich Null setzt und die sich ergebende Gleichung
auflöst. Hier sei vorausgesetzt, dass das Lösen einer Quadratischen Gleichung
mit Hilfe der $p$-$q$-Formel geläufig ist.
\footnote{Einzelheiten dazu hier: \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/mathematik/quad.pdf}
{http://www.dk4ek.de/mathematik/quad.pdf}}
\[\begin{array}{rcl}
x^2+x-6&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-(-6)} \\
&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{4}} \\
&=&-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\
&=&-\frac{1}{2}\pm \frac{5}{2} \\
x_1=2 && x_2=-3
\end{array}\]
Nach Vieta gilt: \\
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
Ein Term der Form $x^2+px+q$ mit den Nullstellen \\$x_1$ und $x_2$
lässt sich darstellen als: \\
 \fcolorbox{red}{yellow}{$x^2+px+q=(x-x_1) \cdot (x-x_2)$} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Hieraus folgt, dass wir den dritten Nenner zerlegen können als:
\[x^2+x-6=(x-2) \cdot (x+3)\]

Dieses Ergebnis setzen wir nun in die Liste mit der Nennerfaktorisierung ein.
Dabei achten wir wieder darauf, dass nur gleichartige Terme in einer Spalte
untereinander stehen.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
3x-6   &=&3  &\cdot (x-2) &           &  \\
x^2-4  &=&   &(x-2)       &\cdot (x+2)& \\
x^2+x-6&=&   &(x-2)       &           &\cdot (x+3) \\
\hline
HN   &= \\
\end{array} \]
\newpage

Die Faktorisierung ist nun komplett. Wie macht man daraus den Hauptnenner?
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Man übernimmt von jedem vorkommenden Faktor die}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{höchste vorkommende Potenz in den Hauptnenner.}
\end{center}
Alle Faktoren kommen nur in der ersten Potenz vor. Damit sieht die Tabelle zur
Nenneranalyse so aus:
\[ \begin{array}{rclrrcl}
3x-6   &=&3  &\cdot (x-2) &           &  \\
x^2-4  &=&   &(x-2)       &\cdot (x+2)& \\
x^2+x-6&=&   &(x-2)       &           &\cdot (x+3) \\
\hline
HN   &=&3  &\cdot (x-2)&\cdot (x+2)&\cdot (x+3) \\
\end{array} \]
Bevor wir nun die Gleichung weiter lösen, müssen wir erst noch die
\textbf{\emph{Definitionsmenge}} bestimmen. Zur Definitionsmenge gehören
zunächst einmal alle Reellen Zahlen $x \epsilon \mathbb{R}$. Davon ausnehmen
müssen wir alle Zahlen, die beim Einsetzen in einen Nenner diesen zu Null
werden lassen. Am besten kann man das am Hauptnenner in der faktorisierten Form
erkennen. Bekanntlich ist \textbf{\emph{ein Produkt genau dann Null, wenn einer
der Faktoren Null ist}}. Man muss also nur bei jedem einzelnen Faktor
nachsehen, für welches $x$ er Null wird.
\begin{eqnarray*}
(x-2)=0&\Rightarrow&x=2 \\
(x+2)=0&\Rightarrow&x=-2 \\
(x+3)=0&\Rightarrow&x=-3 \\
\end{eqnarray*}
Auszuschließen aus der Definitionsmenge sind hier also die Zahlen 2, $-2$ und
$-3$.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{2;-2;-3\}$}
\end{center}

Jetzt können wir uns um die Lösung der Gleichung kümmern. Wenn wir -- wie
anfangs schon gesagt -- die Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren
wollen, dann benötigen noch zu jedem Nenner den zugehörigen
\textbf{\emph{Erweiterungsfaktor}}. Das ist der Faktor, mit dem man den
jeweiligen Bruch erweitern muss, um ihn auf den Hauptnenner zu bringen. Die
Bestimmung der Erweiterungsfaktoren -- hier mit EF abgekürzt -- können wir mit
in das Schema zur Nenneranalyse einbauen. \\

Wie findet man den jeweiligen Erweiterungsfaktor?
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
   {Man übernimmt jeden Faktor, der im Hauptnenner enthalten ist,} \\
\fcolorbox{red}{yellow}
   {aber im jeweiligen Nenner fehlt, in den Hauptnenner.} \\
\end{center}
In unserem Beispiel sieht das dann so aus:
\[ \begin{array}{rclrrrcl}
3x-6   &=&3  &\cdot (x-2) &           &   && EF=(x+2) \cdot (x+3) \\
x^2-4  &=&   &(x-2)       &\cdot (x+2)&   && EF=3 \cdot (x+3) \\
x^2+x-6&=&   &(x-2)       &           &\cdot (x+3) && EF=3 \cdot (x+2) \\
\hline
HN   &=&3  &\cdot (x-2)&\cdot (x+2)&\cdot (x+3) \\
\end{array} \]

Wenn man nun die komplette Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert, dann
kürzt sich bei jedem Bruch der jeweiligen Nenner gegen einen einen Teil des
Hauptnenners weg. Übrig bleibt dann von jedem Bruch nur das Produkt aus dem
ursprünglichen Zähler und dem Erweiterungsfaktor. \\

In unserer Beispielaufgabe sieht das dann so aus:
\begin{eqnarray*}
\frac{3}{3x-6}-\frac{1}{x^2-4}&=&\frac{x+1}{x^2+x-6} \qquad|\cdot HN \\
3 \cdot (x+2) \cdot (x+3)-1 \cdot 3 \cdot (x+3)&=&(x+1) \cdot 3 \cdot (x+2)\\
\end{eqnarray*}

Nach Auflösen der Klammern ist die Gleichung mit den bekannten Methoden einfach
lösbar.
\[\begin{array}{rcll}
3 \cdot (x+2) \cdot (x+3) -1 \cdot 3 \cdot (x+3)&=&(x+1) \cdot 3 \cdot (x+2) \\
3 \cdot (x^2+3x+2x+6) -(3x+9)&=&(3x+3) \cdot (x+2) \\
3x^2+9x+6x+18-3x-9&=&3x^2+6x+3x+6 &|-3x^2 \\
12x+9&=&9x+6 &|-9x-9 \\
3x&=&-3 &|:3 \\
x&=&-1 \\
\end{array}\]
Zum Schluss schreiben wir das Ergebnis noch als Lösungsmenge.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-1\}$}
\end{center}

\vspace{30mm}

Auf den nächsten Seiten stehen einige Übungsaufgaben zum Selbstlösen. Die
zugehörigen Ergebnisse stehen auf dem anschließenden Blatt. Im Anschluss daran
sind die kompletten Lösungen einschließlich der Lösungswege zu finden. \\

\newpage

\section*{Übungsaufgaben}
Gesucht ist jeweils die Definitions- und die Lösungsmenge. \\

\paragraph*{Aufgabe 1}
\[\frac{3x+5}{2x+1}+\frac{8x^2-12x-1}{1-4x^2}=\frac{x-8}{1-2x}\]
\paragraph*{Aufgabe 2}
\[\frac{8x-2}{6x+2}-\frac{15x^2-40x-15}{9x^2-1}-\frac{3x-36}{3-9x}=0\]
\paragraph*{Aufgabe 3}
\[\frac{20x^2+49ax-3a^2}{25x+15a}=2x+5a-\frac{12x^2+29ax-9a^2}{10x+6a}\]
\paragraph*{Aufgabe 4}
\[\frac{20x^2+51a^2x-2a^4}{15x+20a^2}+\frac{10x^2-5a^4+25a^2x}{8a^2+6x}
     =3x+7a^2\]
\paragraph*{Aufgabe 5}
\[\frac{x+4}{7x+1}=\frac{x+6}{7x+6}\]
\paragraph*{Aufgabe 6}
\[\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}=\frac{28x+43}{8x-4x^2-3}+10\]
\paragraph*{Aufgabe 7}
\[\frac{\frac{x}{2}+\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}+3}
  =\frac{\frac{x}{2}-\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}-2}\]
\paragraph*{Aufgabe 8}
\[\frac{1}{x-7}+\frac{9}{x-3}-\frac{4}{x-1}=\frac{6}{x-5}\]
\paragraph*{Aufgabe 9}
\[\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}=10+\frac{1}{2}\]
\paragraph*{Aufgabe 10}
\[\frac{2,5-\frac{1}{x}}{2,5+\frac{1}{x}}
  -\frac{0,4-\frac{1}{x}}{0,4+\frac{1}{x}}=\frac{21}{10x+4}\]
\paragraph*{Aufgabe 11}
\[\frac{2}{x-7}+\frac{x-12}{x^2-10x+21}-\frac{1}{x-3}=\frac{3}{2x-6}\]
\paragraph*{Aufgabe 12}
\[\frac{4}{x^2-3x+2}-\frac{3}{x^2-4x+3}=\frac{2}{x^2-5x+6}\]
\paragraph*{Aufgabe 13}
\[\frac{6}{x^2+3x-10}-\frac{2}{2x^2-3x-2}-\frac{4}{2x^2+11x+5}\]
\paragraph*{Aufgabe 14}
\[\frac{5x^2-4x-10}{2x^3-7x^2-19x+60}-\frac{4}{2x-5}=\frac{x-2}{2x^2+x-15}\]
\newpage

\section*{Ergebnisse der Übungsaufgaben}
\paragraph*{Aufgabe 1}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\} \qquad L=\{3\}\]
\paragraph*{Aufgabe 2}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\} \qquad L=\{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 3}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{5}a\right\} \qquad L=\{-3a\}\]
\paragraph*{Aufgabe 4}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{4}{3}a^2\right\} \qquad L=\{-3a^2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 5}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{7};-\frac{6}{7}\right\} \qquad L=\{2\}\]
\paragraph*{Aufgabe 6}
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right\} \qquad L=\{10\}\]
\paragraph*{Aufgabe 7}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{-9;6\} \qquad L=\left\{\frac{3}{8}\right\}\]
\paragraph*{Aufgabe 8}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{1;3;5;7\} \qquad L=\{9\}\]
\paragraph*{Aufgabe 9}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{5\} \qquad L=\{7\}\]
\paragraph*{Aufgabe 10}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{0;-0,4;-2,5\} \qquad L=\{2,5\}\]
\paragraph*{Aufgabe 11}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{3;7\} \qquad L=\{1\}\]
\paragraph*{Aufgabe 12}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{1;2;3\} \qquad L=\{-4\}\]
\paragraph*{Aufgabe 13}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{-5;-0,5;2\} \qquad L=\{8\}\]
\paragraph*{Aufgabe 14}
\[D= \mathbb{R} \setminus \{-3;2,5;4\} \qquad L=\{-5\}\]

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 1}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{3x+5}{2x+1}+\frac{8x^2-12x-1}{1-4x^2}=\frac{x-8}{1-2x}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Der erste und der Nenner lassen sich nicht sinnvoll zerlegen. Im zweiten Nenner
steckt die dritte Binomische Formel. Damit danach alles besser zusammen passt,
drehen wir die Reihenfolge der Terme beim ersten Nenner um.
\[ \begin{array}{rcrrcl}
2x+1  &=& (1+2x) &            && EF=1-2x \\
1-4x^2&=& (1+2x) &\cdot (1-2x)&& EF=1    \\
1-2x  &=&        &      (1-2x)&& EF=1+2x \\
\hline
HN   &=& (1+2x)&\cdot (1-2x) \\
\end{array} \]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+5}{2x+1}+\frac{8x^2-12x-1}{1-4x^2}&=&\frac{x-8}{1-2x}
         \qquad |\cdot HN \\
(3x+5) \cdot (1-2x)+(8x^2-12x-1) \cdot 1&=&(x-8) \cdot (1+2x) \\
3x-6x^2+5-10x+8x^2-12x-1&=&x+2x^2-8-16x \\
2x^2-19x+4&=&2x^2-15x-8 \qquad|-2x^2+15x-4 \\
-4x&=&-12 \qquad|:(-4) \\
x&=&3 \\
L&=&\{3\}
\end{eqnarray*}
\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 2}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{8x-2}{6x+2}-\frac{15x^2-40x-15}{9x^2-1}-\frac{3x-36}{3-9x}=0\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Im ersten Nenner können wir eine 2 ausklammern. Der zweite Nenner lässt sich
mit der dritten Binomischen Formel faktorisieren. Im dritten Nenner können wir
eine 3 ausklammern. Dadurch würde man den Term $(1-3x)$ erhalten. Das ist genau
das Negative des zweiten Terms aus Nenner 2. Daher klammern wir noch den Faktor
$(-1)$ aus, damit sich der Term zu $(3x-1)$ wandelt.
\[ \begin{array}{rcrrrrrcl}
6x+2  &=&    &2&        & \cdot (3x+1)&             && EF=-3(3x-1)=-9x+3 \\
9x^2-1&=&    & &        &       (3x+1)& \cdot (3x-1)&& EF=-2 \cdot 3=-6 \\
3-9x  &=&(-1)& & \cdot 3&             &       (3x-1)&& EF=2(3x+1)=6x+2 \\
\hline
HN&=&(-1)&\cdot 2&\cdot 3&\cdot (3x+1)&\cdot (3x-1) \\
\end{array} \]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{8x-2}{6x+2}-\frac{15x^2-40x-15}{9x^2-1}-\frac{3x-36}{3-9x}&=&0
  \qquad| \cdot HN \\
(8x-2) \cdot (-9x+3)-(15x^2-40x-15) \cdot (-6)-(3x-36) \cdot (6x+2)&=&0 \\
-72x^2+24x+18x-6-(-90x^2+240x+90)-(18x^2+6x-216x-72)&=&0 \\
-72x^2+24x+18x-6+90x^2-240x-90-18x^2-6x+216x+72&=&0 \\
12x-24&=&0 \\
12x&=&24 \\
x&=&2 \\
L&=& \{2\} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 3}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{20x^2+49ax-3a^2}{25x+15a}=2x+5a-\frac{12x^2+29ax-9a^2}{10x+6a}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Beide Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
25x+15a &=&5 &  & \cdot (5x+3a) && EF=2 \\
10x+6a  &=&  &2 & \cdot (5x+3a) && EF=5 \\
\hline
HN &=&5 &\cdot 2&\cdot (5x+3a) \\
\end{array} \]
Zusammengefasst ergibt sich der Hauptnenner:
\[HN=50x+30a\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{5}a\right\} \]
\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{20x^2+49ax-3a^2}{25x+15a}&=&2x+5a-\frac{12x^2+29ax-9a^2}{10x+6a}
  \qquad | \cdot HN \\
(20x^2+49ax-3a^2) \cdot 2&=&(2x+5a) \cdot (50x+30a)-(12x^2+29ax-9a^2) \cdot 5\\
40x^2+98ax-6a^2&=&100x^2+60ax+250ax+150a^2-60x^2-145ax+45a^2 \\
40x^2+98ax-6a^2&=&40x^2+165ax+195a^2 \\
-67ax&=&201a^2 \\
x&=&-3a \\
L&=&\{-3a\} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 4}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{20x^2+51a^2x-2a^4}{15x+20a^2}+\frac{10x^2-5a^4+25a^2x}{8a^2+6x}
     =3x+7a^2\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Beide Nenner lassen sich durch Ausklammern faktorisieren.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
15x+20a^2&=&5 &  & \cdot (3x+4a^2) && EF=2 \\
8a^2+6x  &=&  &2 & \cdot (3x+4a^2) && EF=5 \\
\hline
HN   &=&5 &\cdot 2&\cdot (3x+4a^2) \\
\end{array} \]
Zusammengefasst ergibt sich der Hauptnenner:
\[HN=30x+40a^2\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{4}{3}a^2\right\}\]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{20x^2+51a^2x-2a^4}{15x+20a^2}+\frac{10x^2-5a^4+25a^2x}{8a^2+6x}
   &=&3x+7a^2 \qquad| \cdot HN\\
(20x^2+51a^2x-2a^4) \cdot 2+(10x^2-5a^4+25a^2x) \cdot 5
   &=&(3x+7a^2) \cdot (30x+40a^2) \\
40x^2+102a^2x-4a^4+50x^2-25a^4+125a^2x&=&90x^2+120a^2x+210a^2x+280a^4 \\
90x^2+227a^2x-29a^4&=&90x^2+330a^2x+280a^4 \\
227a^2x-29a^4&=&330a^2x+280a^4 \\
-103a^2x&=&309a^4 \\
x&=&-3a^2 \\
L&=&\{-3a^2\} \\
\end{eqnarray*}
\newpage

\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 5}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{x+4}{7x+1}=\frac{x+6}{7x+6}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Beide Nenner lassen sich nicht weiter zerlegen. Der Hauptnenner ist also das
Produkt der beiden Nenner. In unserem Analyseschema sieht das dann so aus:
\[ \begin{array}{rcrrcl}
7x+1&=&(7x+1)  &        & & EF=7x+6 \\
7x+6&=&        &(7x+6)  & & EF=7x+1 \\
\hline
HN   &=&(7x+1) &\cdot (7x+6) \\
\end{array} \]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{7};-\frac{6}{7}\right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{x+4}{7x+1}&=&\frac{x+6}{7x+6} \qquad | \cdot HN \\
(x+4) \cdot (7x+6)&=&(x+6) \cdot (7x+1) \\
7x^2+6x+28x+24&=&7x^2+x+42x+6 \\
7x^2+34x+24&=&7x^2+43x+6 \\
34x+24&=&43x+6 \\
-9x&=&-18 \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 6}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}=\frac{28x+43}{8x-4x^2-3}+10\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Die ersten beiden Nenner sind nicht weiter zu faktorisieren. Die Terme im
zweiten sind allerdings ungünstig sortiert. Wir wandeln um:
\[3-2x=-2x+3 \]
Noch schlimmer ist freilich die Sortierung im dritten Nenner. Wir sortieren
auch hier nach fallenden Potenzen von $x$:
\[8x-4x^2-3=-4x^2+8x-3 \]
Nur in dieser Reihenfolge kann man bequem eine Polynomdivision versuchen. Man
wird dann sehr schnell feststellen, dass der dritte Nenner das Produkt der
ersten beiden Nenner ist.
\[ \begin{array}{rcrrcl}
2x-1     &=&(2x-1)  &              && EF=-2x+3 \\
3-2x     &=&        &      (-2x+3) && EF=2x-1 \\
8x-4x^2-3&=&(2x-1)  &\cdot (-2x+3) && EF=1 \\
\hline
HN       &=&(2x-1)  &\cdot (-2x+3) \\
\end{array} \]
Zusammengefasst ergibt sich der Hauptnenner:
\[HN=-4x^2+8x-3\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{7x-13}{2x-1}-\frac{13x-28}{3-2x}&=&\frac{28x+43}{8x-4x^2-3}+10
    \qquad |\cdot HN \\
(7x-13) \cdot (-2x+3)-(13x-28) \cdot (2x-1)
   &=&(28x+43) \cdot 1+10 \cdot (-4x^2+8x-3) \\
-14x^2+21x+26x-39-(26x^2-13x-56x+28)&=&28x+43-40x^2+80x-30 \\
-14x^2+47x-39-26x^2+13x+56x-28)&=&-40x^2+108x+13 \\
-40x^2+116x-67&=&-40x^2+108x+13 \\
8x&=&80 \\
x&=&10 \\
L&=& \{10\} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 7}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{\frac{x}{2}+\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}+3}
  =\frac{\frac{x}{2}-\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}-2}\]
\subsection*{1. Vorarbeiten}
Bevor wir in die Nenneranalyse einsteigen, wandeln wir die Doppelbrüche in
einfache Brüche um. Dazu werden die einzelnen Brüche in den Zählern und Nennern
gleichnamig gemacht und addiert. Danach werden die Doppelbrüche beseitigt nach
der Bruchrechenregel: \textbf{\emph{Man dividiert durch einen Bruch, indem man
mit seinem Kehrwert multipliziert.}}
\begin{eqnarray*}
\frac{\frac{x}{2}+\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}+3}
  &=&\frac{\frac{x}{2}-\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}-2} \\
\frac{\frac{2x}{4}+\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}+\frac{9}{3}}
  &=&\frac{\frac{2x}{4}-\frac{3}{4}}{\frac{x}{3}-\frac{6}{3}} \\
\frac{\frac{2x+3}{4}}{\frac{x+9}{3}}&=&\frac{\frac{2x-3}{4}}{\frac{x-6}{3}} \\
\frac{2x+3}{4} \cdot \frac{3}{x+9}&=&\frac{2x-3}{4} \cdot \frac{3}{x-6} \\
\frac{(2x+3) \cdot 3}{4 \cdot (x+9)}&=&\frac{(2x-3) \cdot 3}{4 \cdot (x-6)} \\
\end{eqnarray*}
In dieser Form kann man nun gut eine Nenneranalyse der bekannten Form
durchführen.
\subsection*{2. Nenneranalyse}
Die Nenner liegen schon in faktorisierter Form vor. Eine weitere Faktorisierung
ist nicht möglich.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
4 \cdot (x+9)&=&4&\cdot (x+9) &           && EF=x-6 \\
4 \cdot (x-6)&=&4&            &\cdot (x-6)&& EF=x+9 \\
\hline
HN   &=&4 &\cdot (x+9)&\cdot (x-6) \\
\end{array} \]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{-9;6\} \]
\newline
\subsection*{3. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{(2x+3) \cdot 3}{4 \cdot (x+9)}&=&\frac{(2x-3) \cdot 3}{4 \cdot (x-6)}
  \qquad| \cdot HN \\
(2x+3) \cdot 3 \cdot (x-6)&=&(2x-3) \cdot 3 \cdot (x+9) \\
(2x+3) \cdot (x-6)&=&(2x-3) \cdot (x+9) \\
2x^2-12x+3x-18&=&2x^2+18x-3x-27 \\
-9x-18&=&15x-27 \\
-24x&=&-9 \\
x&=&\frac{3}{8} \\
L&=& \left\{ \frac{3}{8} \right\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 8}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{1}{x-7}+\frac{9}{x-3}-\frac{4}{x-1}=\frac{6}{x-5}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Keiner der Nenner lässt sich weiter zerlegen. Daher ist der Hauptnenner das
Produkt aller vorkommenden Nenner. In unserem Schema sieht das dann so aus:
\[ \begin{array}{rcrrrrcl}
\hline
x-7 &=&(x-7) &      &      &      && EF= (x-3) \cdot (x-1) \cdot (x-5) \\
x-3 &=&      &(x-3) &      &      && EF= (x-7) \cdot (x-1) \cdot (x-5) \\
x-1 &=&      &      &(x-1) &      && EF= (x-7) \cdot (x-3) \cdot (x-5) \\
x-5 &=&      &      &      &(x-5) && EF= (x-7) \cdot (x-3) \cdot (x-1) \\
\hline
HN   &=&(x-7)& \cdot (x-3)& \cdot (x-1) & \cdot (x-5) \\
\end{array} \]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{1;3;5;7\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\[\frac{1}{x-7}+\frac{9}{x-3}-\frac{4}{x-1}=\frac{6}{x-5} \qquad \cdot HN \]
\[1 \cdot (x-3)(x-1)(x-5)+9 \cdot (x-7)(x-1)(x-5)
    -4 \cdot (x-7)(x-3)(x-5) = 6 \cdot (x-7)(x-3)(x-1) \]
\[(x-3) \cdot \left( x^2-6x+5 \right)+(9x-63) \cdot \left( x^2-6x+5 \right)
 -(4x-28) \cdot \left( x^2-8x+15 \right)
 =(6x-42) \cdot \left( x^2-4x+3 \right) \]
\[ \left( x^3-6x^2+5x-3x^2+18x-15 \right)+\left( 9x^3-54x^2+45x-63x^2+378x-315
  \right) \qquad \qquad \qquad \ldots \]
\[ \ldots \qquad \qquad \qquad - \left( 4x^3-32x^2+60x-28x^2+24x-420 \right)
  = 6x^3-24x^2+18x-42x^2+168x-126 \]
\[ \left( x^3-9x^2+23x-15 \right)+\left( 9x^3-117x^2+423x-315 \right)
 -\left( 4x^3-60x^2+284x-420 \right) \qquad \qquad \ldots\]
 \[ \ldots \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
  = 6x^3-66x^2+186x-126 \]
\[ x^3-9x^2+23x-15+9x^3-117x^2+423x-315
 -4x^3+60x^2-284x+420  \qquad \qquad \ldots\]
 \[ \ldots \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad
  = 6x^3-66x^2+186x-126 \]
\begin{eqnarray*}
6x^3-66x^2+162x+90 &=& 6x^3-66x^2+186x-126 \\
126x+90 &=& 186x-126 \\
-24x&=& -216 \\
x &=& 9 \\
L &=& \{9\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 9}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}=10+\frac{1}{2}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Der erste und der dritte Nenner lässt sich durch Ausklammern faktorisieren.
Beim zweiten Nenner bietet es sich an, eine \emph{negative} Zahl auszuklammern,
damit der Rest-Term zu den Rest-Termen der anderen Nenner passt. Der vierte
Nenner ist eine Primzahl, die somit nicht weiter zu faktorisieren ist.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
4x-20&=&2^2  &    &\cdot (x-5) & & EF=-5 \\
25-5x&=&     &(-5)&\cdot (x-5) & & EF=2^2=4 \\
2x-10&=&2    &    &\cdot (x-5) & & EF=2\cdot(-5)=-10 \\
2    &=&2    &    &            & & EF=2\cdot(-5)\cdot(x-5)=-10x+50 \\
\hline
HN   &=&2^2 &\cdot (-5)&\cdot (x-5) \\
\end{array} \]
Zusammengefasst ergibt sich der Hauptnenner:
\[HN=-20x+100\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{5\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{3x+7}{4x-20}+\frac{4x-3}{25-5x}-\frac{11-7x}{2x-10}&=&10+\frac{1}{2}
    \qquad |\cdot HN \\
(3x+7)\cdot(-5)+(4x-3)\cdot4-(11-7x)\cdot(-10)&=&10\cdot(-20x+100)+(-10x+50) \\
-15x-35+16x-12+110-70x&=&-200x+1000-10x+50 \\
-69x+63&=&-210x+1050 \\
141x&=&987 \\
x&=&7 \\
L&=& \{ 7 \} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 10}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{2,5-\frac{1}{x}}{2,5+\frac{1}{x}}
  -\frac{0,4-\frac{1}{x}}{0,4+\frac{1}{x}}=\frac{21}{10x+4}\]
\subsection*{1. Vorarbeiten}
Bevor wir in die Nenneranalyse einsteigen, wandeln wir die Doppelbrüche in
einfache Brüche um. Dazu werden die einzelnen Brüche in den Zählern und Nennern
gleichnamig gemacht und addiert. Danach werden die Doppelbrüche beseitigt nach
der Bruchrechenregel: \textbf{\emph{Man dividiert durch einen Bruch, indem man
mit seinem Kehrwert multipliziert.}}
\begin{eqnarray*}
\frac{2,5-\frac{1}{x}}{2,5+\frac{1}{x}}
  -\frac{0,4-\frac{1}{x}}{0,4+\frac{1}{x}}&=&\frac{21}{10x+4} \\
\frac{\frac{2,5x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{2,5x}{x}+\frac{1}{x}}
  -\frac{\frac{0,4x}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{0,4x}{x}+\frac{1}{x}}
  &=&\frac{21}{10x+4} \\
\frac{\frac{2,5x-1}{x}}{\frac{2,5x+1}{x}}
  -\frac{\frac{0,4x-1}{x}}{\frac{0,4x+1}{x}}
  &=&\frac{21}{10x+4} \\
\frac{2,5x-1}{x} \cdot \frac{x}{2,5x+1}
  -\frac{0,4x-1}{x} \cdot \frac{x}{0,4x+1}
  &=&\frac{21}{10x+4} \\
\frac{2,5x-1}{2,5x+1}-\frac{0,4x-1}{0,4x+1}&=&\frac{21}{10x+4} \\
\end{eqnarray*}
In dieser Form kann man nun gut eine Nenneranalyse der bekannten Form
durchführen.
\subsection*{2. Nenneranalyse}
Da die Nenner auch Dezimalzahlen enthalten, ist die weitere Zerlegung etwas
problematisch. Wenn man sich am absoluten Gleid orientiert, dann kann man aber
schon sehen, dass die ersten beiden Nenner teilerfremd sind. Wir versuchen
daher, den dritten Nenner durch Ausklammern so zu zerlegen, dass das absolute
Glied wie in den anderen Nennern auch 1 wird.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
2,5x+1&=& &(2,5x+1)      &           && EF=4 \cdot (0,4x+1)=1,6x+4 \\
0,4x+1&=& &              &(0,4x+1)   && EF=4 \cdot (2,5x+1)=10x+4 \\
10x+4 &=&4&\cdot (2,5x+1)&           && EF=0,4x+1 \\
\hline
HN    &=&4&\cdot (2,5x+1)&\cdot (0,4x+1) \\
\end{array} \]
Aus dem Hauptnenner erkennt man, dass die Zahlen $-0,4$ und $-2,5$ aus dem
Definitionsbereich ausgeschlossen werden müssen. Da wir aber schon Umformungen
vorgenommen haben, müssen wir uns auch noch die Ursprungsgleichung ansehen.
Dort finden wir auch mehrmals den Term $\frac{1}{x}$. Auch hier gibt es einen
Nenner, der Null werden könnte, der dann auch entsprechend ausgeschlossen
werden muss.
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{0;-0,4;-2,5\} \]
\subsection*{3. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2,5x-1}{2,5x+1}-\frac{0,4x-1}{0,4x+1}&=&\frac{21}{10x+4}\quad| \cdot HN \\
(2,5x-1) \cdot (1,6x+4)-(0,4x-1) \cdot (10x+4)&=&21 \cdot (0,4x+1) \\
(4x^2+10x-1,6x-4)-(4x^2+1,6x-10x-4)&=&8,4x+21 \\
4x^2+10x-1,6x-4-4x^2-1,6x+10x+4&=&8,4x+21 \\
16,8x&=&8,4x+21 \\
8,4x&=&21 \\
x&=&2,5 \\
L&=&\{2,5\}
\end{eqnarray*}
\newpage

\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 11}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{2}{x-7}+\frac{x-12}{x^2-10x+21}-\frac{1}{x-3}=\frac{3}{2x-6}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Der erste Nenner $(x-7)$ und der dritte Nenner $(x-3)$ lässt sich nicht weiter
in Faktoren zerlegen. Im vierten kann man immerhin eine 2 ausklammern, wobei
wieder der Term $(x-3)$ entsteht. Bleibt noch der zweite Nenner. Da wir bereits
die Terme $(x-7)$ und $(x-3)$ kennen, liegt es nahe zu prüfen, ob einer dieser
Terme darin enthalten ist. Dies kann beispielsweise mit einer Polynomdivision
oder einem anderen Verfahren erfolgen. Dabei wird man feststellen, dass der
dritte Nenner genau das Produkt dieser beiden Terme ist. Damit sieht unsere
Tabelle zur Nenneranalyse so aus:
\[ \begin{array}{rclrrcl}
x-7       &=& &(x-7) &            && EF=2 \cdot (x-3)=2x-6 \\
x^2-10x+21&=& &(x-7) &\cdot (x-3) && EF=2 \\
x-3       &=& &      &      (x-3) && EF=2 \cdot (x-7)=2x-14 \\
2x-6      &=&2&      &\cdot (x-3) && EF=x-7 \\
\hline
HN        &=&2&\cdot (x-7)&\cdot (x-3) \\
\end{array} \]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{3;7\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{2}{x-7}+\frac{x-12}{x^2-10x+21}-\frac{1}{x-3}&=&\frac{3}{2x-6}
  \qquad| \cdot HN \\
2 \cdot (2x-6)+(x-12) \cdot 2-1 \cdot (2x-14)&=&3 \cdot (x-7) \\
(4x-12)+(2x-24)-(2x-14)&=&3x-21 \\
4x-12+2x-24-2x+14&=&3x-21 \\
4x-22&=&3x-21 \\
x&=&1 \\
L&=&\{1\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 12}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{4}{x^2-3x+2}-\frac{3}{x^2-4x+3}=\frac{2}{x^2-5x+6}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Alle Nenner bestehen aus Quadratischen Termen. Sie können also mit der
$p$-$q$-Formel untersucht werden.
\subparagraph*{Nenner 1:}
\begin{eqnarray*}
x^2-3x+2&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\\
x_1=1 && x_2=2
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[x^2-3x+2=(x-1) \cdot (x-2)\]

\subparagraph*{Nenner 2:}
\begin{eqnarray*}
x^2-4x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
x_{1/2}&=&2 \pm 1 \\
x_1=1 && x_2=3
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[x^2-4x+3=(x-1) \cdot (x-3)\]

\subparagraph*{Nenner 3:}
\begin{eqnarray*}
x^2-5x+6&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{24}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{5}{2}\pm \frac{1}{2}\\
x_1=2 && x_2=3
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[x^2-5x+6=(x-2) \cdot (x-3)\]

Damit sieht unsere Tabelle zur Nenneranalyse so aus:
\[ \begin{array}{rclrrccl}
x^2-3x+2&=&(x-1)& \cdot (x-2)&     && EF=(x-3) \\
x^2-4x+3&=&(x-1)&     & \cdot (x-3)&& EF=(x-2) \\
x^2-5x+6&=&     &(x-2)& \cdot (x-3)&& EF=(x-1) \\
\hline
HN      &=&(x-a)& \cdot (x-2)& \cdot (x-3)
\end{array}\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \{1;2;3\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{4}{x^2-3x+2}-\frac{3}{x^2-4x+3}&=&\frac{2}{x^2-5x+6} \quad| \cdot HN \\
4 \cdot (x-3)-3 \cdot (x-2)&=&2 \cdot (x-1) \\
4x-12-3x+6&=&2x-2 \\
x-6&=&2x-2 \quad|-2x+6 \\
-x&=&4 \quad| \cdot (-1) \\
x&=&-4 \\
L&=&\{-4\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 13}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{6}{x^2+3x-10}-\frac{6}{2x^2-3x-2}-\frac{4}{2x^2+11x+5}=0\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Alle Nenner bestehen aus Quadratischen Termen. Sie können also mit der
$p$-$q$-Formel untersucht werden.
\subparagraph*{Nenner 1:}
\begin{eqnarray*}
x^2+3x-10&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{40}{4}}\\
x_{1/2}&=&-\frac{3}{2}\pm \frac{7}{2}\\
x_1=-5 && x_2=2
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[x^2+3x-10=(x+5) \cdot (x-2)\]

\subparagraph*{Nenner 2:}
\begin{eqnarray*}
2x^2-3x-2&=&0 \quad|:2 \\
x^2-\frac{3}{2}x-1&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{3}{4}\pm \sqrt{\frac{9}{16}+\frac{16}{16}}\\
x_{1/2}&=&\frac{3}{4}\pm \frac{5}{4}\\
x_1=-\frac{1}{2} && x_2=2
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[2x^2-3x-2=2 \cdot \left( x+\frac{1}{2}\right) \cdot (x-2)\]

\subparagraph*{Nenner 3:}
\begin{eqnarray*}
2x^2+11x+5&=&0 \quad|:2 \\
x^2+\frac{11}{2}x+\frac{5}{2}&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\frac{11}{4}\pm \sqrt{\frac{121}{16}-\frac{40}{16}}\\
x_{1/2}&=&-\frac{11}{4}\pm \frac{9}{4}\\
x_1=-\frac{1}{2} && x_2=-5
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[2x^2+11x+5=2 \cdot \left( x+\frac{1}{2}\right) \cdot (x+5)\]

Damit sieht unsere Tabelle zur Nenneranalyse so aus:
\[ \begin{array}{rclrrrcl}
x^2+3x-10&=&&&(x+5) &\cdot (x-2)     && EF=2 \cdot \left(x+\frac{1}{2}\right) =(2x+1) \\
2x^2-3x-2&=&2 &\cdot \left( x+\frac{1}{2}\right) &&\cdot (x-2)&&EF=(x+5) \\
2x^2+11x+5&=&2 &\cdot \left( x+\frac{1}{2}\right) &\cdot (x+5)&&&EF=(x-2) \\
\hline
HN      &=&2 &\cdot \left( x+\frac{1}{2}\right) &\cdot (x+5) &\cdot (x-2)
\end{array}\]

Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{-5;-\frac{1}{2};2\right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{6}{x^2+3x-10}-\frac{6}{2x^2-3x-2}-\frac{4}{2x^2+11x+5}&=&0 \quad| \cdot HN \\
6 \cdot (2x+1)-6 \cdot (x+5)-4 \cdot (x-2)&=&0 \\
12x+6-6x-30-4x+8&=&0 \\
2x-16&=&0 \quad|+16 \\
2x&=&16 \quad|:2 \\
x&=&8 \\
L&=&\{8\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\section*{Lösungsweg zu Aufgabe 14}
\subsection*{Aufgabe:}
\[\frac{5x^2-4x-10}{2x^3-7x^2-19x+60}-\frac{4}{2x-5}=\frac{x-2}{2x^2+x-15}\]
\subsection*{1. Nenneranalyse}
Der erste Nenner $(2x^3-7x^2-19x+60)$ ist ein Term 3. Grades. Daher könnte er
in bis zu 3 Faktoren zerlegt werden. Der zweite Nenner $(2x-5)$ lässt sich
nicht weiter zerlegen. Daher könnte es sein, dass der zweite Nenner als Teiler
im ersten enthalten ist. Ich versuche also eine Polynomdivision.
\[\begin{array}{rrrr}
(2x^3&-7x^2\ &-19x\ &+60) \\
-(2x^3&-5x^2) \\
\hline
     &-2x^2\ &-19x\ &+60 \ \\
   &-(-2x^2\ &+5x) \\
\hline
&&-24x\ &+60\ \\
&&-(-24x\ &+60) \\
\hline
&&& 0\
\end{array}
\begin{array}{cccl}
:&(2x-5)&=&x^2-x-12 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Möglicherweise ist auch in dem dritten Nenner $(2x^2+x-15)$ der zweite Nenner
als Faktor enthalten. Eine Polynomdivision soll das zeigen.
\[\begin{array}{rrr}
(2x^2&+x\ &-15) \\
-(2x^2&-5x) \\
\hline
 &6x\ &-15 \ \\
  &-(6x\ &-15) \\
\hline
&& 0\
\end{array}
\begin{array}{cccl}
:&(2x-5)&=&x+3 \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]
Der Ergebnisterm aus dem ersten Nenner ist ein Quadratischer Term, er lässt
sich also warscheinlich noch in zwei Faktoren zerlegen. Ich führe das mit der
$p$-$q$-Formel durch.
\begin{eqnarray*}
x^2-x-12&=&0 \\
x_{1/2}&=&\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+\frac{48}{4}}\\
x_{1/2}&=&\frac{1}{2}\pm \frac{7}{2}\\
x_1=-3 && x_2=4
\end{eqnarray*}
Hieraus ergibt sich nach dem Satz von Vieta die Zerlegung:
\[x^2-x-12=(x+3) \cdot (x-4)\]

Damit sieht unsere Tabelle zur Nenneranalyse so aus:
\[ \begin{array}{rclrrrl}
2x^3-7x^2-19x+60&=&(2x-5)& \cdot (x+3)& \cdot (x-4)&& EF=1 \\
2x-5&=&(2x-5)  &&&& EF=(x+3) \cdot (x-4) \\
2x^2+x-15&=&(2x-5)& \cdot (x+3)& && EF=x-4 \\
\hline
HN&=&(2x-5)& \cdot (x+3)& \cdot (x-4)
\end{array}\]
Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{5}{2};-3;4 \right\} \]

\subsection*{2. Lösen der Gleichung}
\begin{eqnarray*}
\frac{5x^2-4x-10}{2x^3-7x^2-19x+60}-\frac{4}{2x-5}&=&\frac{x-2}{2x^2+x-15}
  \quad| \cdot HN \\
(5x^2-4x-10) \cdot 1-4 \cdot (x+3) \cdot (x-4)&=&(x-2) \cdot (x-4) \\
5x^2-4x-10-4(x^2-x-12)&=&x^2-4x-2x+8 \\
5x^2-4x-10-4x^2+4x+48&=&x^2-6x+8 \\
x^2+38&=&x^2-6x+8 \quad|-x^2+6x-8 \\
6x&=&-30 \quad|:6 \\
x&=&-5 \\
L&=&\{-5\}
\end{eqnarray*}


\end{document}
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