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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}

\title{Bruchrechnung}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Die Bruchrechenregeln}
\subsection{Addition gleichnamiger Brüche} Gleichnamige Brüche werden
addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält.
\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\]

\subsection{Addition ungleichnamiger Brüche} Ungleichnamige Brüche
werden addiert, indem man sie zunächst gleichnamig macht.
\[\frac{a}{c}+\frac{b}{d}=
\frac{a \cdot d}{c \cdot d}+\frac{c \cdot b}{c \cdot d}=
\frac{a \cdot d+b \cdot c}{c \cdot d}\]

\subsection{Addition eines Bruches zu einer Zahl} Ein Bruch wird zu
einer Zahl addiert, indem man die Zahl zunächst in einen unechten Bruch mit dem
gleichen Nenner umwandelt.
\[\frac{a}{b}+c=\frac{a}{b}+\frac{c \cdot b}{b}=\frac{a+c \cdot b}{b}\]

\subsection{Multiplikation von Brüchen} Brüche werden miteinander
multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.
\emph{Vor} dem Ausrechnen sollte man kürzen!
\[\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{d}=\frac{a \cdot b}{c \cdot d}\]

\subsection{Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl} Man
multipliziert einen Bruch mit einer Zahl, indem man den Zähler des Bruches mit
der Zahl multipliziert und den Nenner beibehält.
\emph{Vor} dem Ausrechnen sollte man kürzen!
\[\frac{a}{b} \cdot c=\frac{a \cdot c}{b}\]

\subsection{Division durch einen Bruch} Man dividiert durch einen Bruch,
indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
\[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
=\frac{a \cdot d}{b \cdot c} \qquad \textnormal{ oder: }\qquad
\frac{a}{\frac{b}{c}}=a \cdot \frac{c}{b}=\frac{a \cdot c}{b}\]

\subsection{Division eines Bruches durch eine Zahl:} Man dividiert einen
Bruch durch eine Zahl, indem man den Nenner des Bruches mit der Zahl
multipliziert.
\[\frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{b \cdot c}\]

\subsection{Anmerkung}
Einige Schüler schreiben gern das Gleichheitszeichen nicht \textbf{vor den
Bruch}, wo es hingehört, sondern irgendwohin, beispielsweise in den Zähler. An
dieser Stelle möchte ich gern an einem Beispiel zeigen, dass das Ergebnis davon
abhängen kann, wo das Gleichheitszeichen steht. Steht es bei einem Doppelbruch
nämlich nicht \textbf{vor dem Hauptbruchstrich}, dann weiß niemand, welches der
Hauptbruchstrich ist.\\

Hier ist das Beispiel. Wir suchen das Ergebnis für diesen Doppelbruch:
\[\cfrac{\cfrac{8}{4}}{2}\]

Ohne Gleichheitszeichen weiß niemand, was das bedeutet. Steht der Bruch
$\frac{8}{4}$ im Zähler und die 2 im Nenner eines Bruches, oder lautet der
Zähler 8 und der Nenner $\frac{4}{2}$?\\

Ich rechne beide Fälle mal durch.
\[\cfrac{\cfrac{8}{4}}{2}=\cfrac{8}{4 \cdot 2}=\cfrac{8}{8}=1\]
\[\cfrac{8}{\cfrac{4}{2}}=8 \cdot \cfrac{2}{4}=\cfrac{8 \cdot 2}{4}
 =\cfrac{16}{4}=4\]

Wie man leicht sieht, erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse in Anhängigkeit
davon, auf welcher Höhe man das Gleichheitszeichen setzt! (Die Lehrer, die
immer gleich meckern, wenn das Gleichheitszeichen auf der falschen Höhe steht,
sind also nicht einfach nur kleinkarriert, sie haben einen mahematischen
Grund für die Meckerei\ldots)

%----------------------------------------------------------
\newpage
\section{Beispielaufgaben}
\begin{enumerate}
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{5}{3}-\cfrac{1}{3}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{6}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+2-\cfrac{1}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad 5 \cdot \cfrac{3}{4}-\cfrac{3}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{6}-\cfrac{5}{12}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{10}+\cfrac{2}{25}-\cfrac{1}{2}= \ldots$ \\
\item $\quad 2-\left( \cfrac{11}{15}+\cfrac{3}{5}\right)= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{12}{7} \cdot \cfrac{35}{36}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{22} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{44}{25}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+\cfrac{25}{18} \cdot \cfrac{12}{35}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{\cfrac{2}{3}}{\cfrac{4}{9}}= \ldots$ \\
\item $\quad 6:\left(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}\right)= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{14}{9} \cdot \cfrac{12}{35}
 +\cfrac{38}{33} \cdot\cfrac{44}{95}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{39}{19} : \cfrac{52}{38}
 -\cfrac{\cfrac{42}{55}}{\cfrac{35}{66}}= \ldots$ \\
\item $\quad \cfrac{5}{12}-\cfrac{3}{8}+\cfrac{4}{9}-\cfrac{11}{18}= \ldots$
\end{enumerate}
%-----------------------------------------------------------------
\newpage
\section{Lösungen der Beispielaufgaben}
\begin{enumerate}
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{5}{3}-\cfrac{1}{3}=\cfrac{2+5-1}{3}=\cfrac{6}{3}=2$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{3}+\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{6}
 =\cfrac{4}{6}+\cfrac{9}{6}-\cfrac{1}{6}=\cfrac{4+9-1}{6}=\cfrac{12}{6}=2$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+2-\cfrac{1}{2}=\cfrac{4}{14}+\cfrac{28}{14}-\cfrac{7}{14}
 =\cfrac{4+28-7}{14}=\cfrac{25}{14}$ \\
\item $\quad 5 \cdot \cfrac{3}{4}-\cfrac{3}{2}=\cfrac{5 \cdot 3}{4}-\cfrac{6}{4}
 =\cfrac{15-6}{4}=\cfrac{9}{4} $ \\
\item $\quad \cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{2}{9}+\cfrac{5}{6}-\cfrac{5}{12}
 = \cfrac{9}{36}+\cfrac{12}{36}-\cfrac{8}{36}+\cfrac{30}{36}-\cfrac{15}{36}
 = \cfrac{9+12-8+30-15}{36}= \cfrac{28}{36}= \cfrac{7}{9}$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{10}+\cfrac{2}{25}-\cfrac{1}{2}
 =\cfrac{15}{50}+\cfrac{4}{50}-\cfrac{25}{50}= \cfrac{15+4-25}{50}
 =-\cfrac{6}{50}=-\cfrac{3}{25}$ \\
\item $\quad 2-\left( \cfrac{11}{15}+\cfrac{3}{5}\right)=2-\cfrac{11}{15}-\cfrac{3}{5}
 =\cfrac{30}{15}-\cfrac{11}{15}-\cfrac{9}{15}=\cfrac{30-11-9}{15}
 =\cfrac{10}{15}=\cfrac{2}{3}$ \\
\item $\quad \cfrac{12}{7} \cdot \cfrac{35}{36}=\cfrac{12 \cdot 35}{7 \cdot 36}
 = \cfrac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3}=\cfrac{5}{3}$ \\
\item $\quad \cfrac{3}{22} \cdot \cfrac{5}{6} \cdot \cfrac{44}{25}
 = \cfrac{1}{22} \cdot \cfrac{5}{2} \cdot \cfrac{44}{25}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{5}{2} \cdot \cfrac{2}{25}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}
 = \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{1}{5}=\cfrac{1}{5}$ \\
\item $\quad \cfrac{2}{7}+\cfrac{25}{18} \cdot \cfrac{12}{35}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{25 \cdot 12}{18 \cdot 35}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{5 \cdot 2}{3 \cdot 7}
 = \cfrac{2}{7}+\cfrac{10}{21}= \cfrac{6}{21}+\cfrac{10}{21}= \cfrac{6+10}{21}
 = \cfrac{16}{21}$ \\
\item $\quad \cfrac{\cfrac{2}{3}}{\cfrac{4}{9}}
 = \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{9}{4}=\cfrac{1}{1} \cdot \cfrac{3}{2}=\cfrac{3}{2} $ \\
\item $\quad 6:\left(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3}\right)
 =6:\left( \cfrac{3}{6}-\cfrac{2}{6}\right)
 =6:\cfrac{3-2}{6}=6:\cfrac{1}{6}=6 \cdot \cfrac{6}{1}=6 \cdot 6=36$ \\
\item $\quad \cfrac{14}{9} \cdot \cfrac{12}{35}+\cfrac{38}{33} \cdot\cfrac{44}{95}
 =\cfrac{2}{9} \cdot \cfrac{12}{5}+\cfrac{2}{33} \cdot\cfrac{44}{5}
 =\cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{5}+\cfrac{2}{3} \cdot\cfrac{4}{5}
 =\cfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}+\cfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3}
 =\cfrac{8}{15}+\cfrac{8}{15}=\cfrac{16}{15}$ \\
\item $\quad \cfrac{39}{19} : \cfrac{52}{38}-\cfrac{\cfrac{42}{55}}{\cfrac{35}{66}}
 = \cfrac{39}{19} \cdot \cfrac{38}{52}-\cfrac{42}{55} \cdot \cfrac{66}{35}
 = \cfrac{39 \cdot 38}{19 \cdot 52}-\cfrac{42 \cdot 66}{55 \cdot 35}
 = \cfrac{3 \cdot 2}{1 \cdot 4}-\cfrac{6 \cdot 6}{5 \cdot 5}
 = \cfrac{3}{2}-\cfrac{36}{25}=\cfrac{75}{50}-\cfrac{72}{50}=\cfrac{3}{50}$ \\
\item $\quad \cfrac{5}{12}-\cfrac{3}{8}+\cfrac{4}{9}-\cfrac{11}{18}
 = \cfrac{30}{72}-\cfrac{27}{72}+\cfrac{32}{72}-\cfrac{44}{72}
 = \cfrac{30-27+32-44}{72}= -\cfrac{9}{72}= -\cfrac{1}{8}$

\end{enumerate}
%(Weitere Aufgaben folgen in Kürze)
\end{document}
