\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption}
%\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Aufgabe 26}  %aus keiner Prüfung
\begin{wrapfigure}{r}{6.8cm}
\psset{xunit=20mm,yunit=20mm}
\begin{pspicture}(-0.45,-0.3)(2.8,0.9)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{2}
      {-0.1 x 3 exp mul 0.3 x x mul mul add}
   \gsave
   \psline(2,0.4)(2,0)(0,0) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray!60,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psline[linewidth=1.5pt,fillstyle=vlines*]
    (2.6,0.4)(2,0.4)(2,0)(2.6,0)(2.6,0.4)
  \psaxes[Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.45,-0.3)(2.8,0.9)
  \psplot[linewidth=1pt]{0}{2}
      {-0.1 x 3 exp mul 0.3 x x mul mul add}
  \uput[90](1.5,0){$A$}
  \uput[-90](2.7,0){$x$}
  \uput[180](0,0.8){$y$}
  \uput[90](2.3,0.4){\footnotesize Podest}
  \uput[90](1.2,0.3){\footnotesize Rampe}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

An ein 40 Zentimeter hohes Podest soll eine Rampe angebaut werden, die ein
ruhiges ruckelfreies Hinauf- und Hinunterfahren mit Materialwagen ermöglichen
soll. Zu diesem Zweck hat die Rampe die Form eines Polynomes dritten Grades und
mündet sowohl auf Bodenniveau als auch oben auf dem Podest waagerecht ein. Die
waagerecht gemessene Länge der Rampe beträgt 2 Meter.\\

\textbf{a)} Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms!\\

\textbf{b)} An welcher Stelle verläuft die Rampe am steilsten, und welche
Steigung hat sie dort?
Gehen Sie dabei von der Funktion \mbox{$f(x)=-0{,}1x^3+0{,}3x^2$} aus.\\

\textbf{c)} Bestimmen Sie die Querschnittfläche $A$ für den Unterbau der
Rampe!\\

\newpage
\subsection*{Lösung:}
\paragraph{zu a)}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3a^2+2b+c \\
\end{array}\]
Zur Vereinfachung wird in der Einheit \emph{Meter} gerechnet. In der Rechnung
kann die Einheit dann weggelassen werden.\\

Gegeben sind: $T(0|0)$ und $H(2|0{,}4)$\\

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)& f(0)&=&0 &\Rightarrow& a \cdot 0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d&=&0 \\
(2)& f'(0)&=&0 &\Rightarrow& 3 \cdot a \cdot 0^2+2 \cdot b \cdot 0+c&=&0 \\
(3)& f(2)&=&0 &\Rightarrow& a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d&=&0{,}4 \\
(4)& f'(2)&=&0 &\Rightarrow& 3 \cdot a \cdot 2^2+2 \cdot b \cdot 2+c&=&0 \\
\end{array}\]

Aus (1) erhält man sofort $d$.
\[\begin{array}{rcll}
0+0+0+d&=&0 \\
d&=&0 \\
\end{array}\]

Aus (2) erhält man sofort $c$.
\[\begin{array}{rcll}
0+0+c&=&0 \\
c&=&0 \\
\end{array}\]

Beide Werte können in die Gleichungen (3) und (4) eingesetzt werden. Durch
Zusammenfassen erhält man:
\[\begin{array}{|crcl|}
\hline
(3)&8a+4b&=&0{,}4 \\
(4)&12a+4b&=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Es bietet sich an, die Gleichungen voneinandr zu subtrahieren.

\[\begin{array}{crrcll}
(3)&8a&+4b&=&0{,}4 &|- \\
(4)&12a&+4b&=&0    &| \\
\hline
&4a&&=&-0{,}4 &|:4 \\
&a&&=&-0{,}1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird z.B. in Gleichung (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
12a+4b&=&0 \\
12 \cdot (-0{,}1)+4b&=&0 \\
-1{,}2+4b&=&0 &|+1{,}2 \\
4b&=&1{,}2 &|:4 \\
b&=&0{,}3 \\
\end{array}\]

Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-0{,}1x^3+0{,}3x^2$}

\paragraph{zu b)}
Die steilste Stelle liegt am Wendepunkt. Vorweg werden die erforderlichen
Ableitungen bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-0{,}1x^3+0{,}3x^2 \\
f'(x)&=&-0{,}3x^2+0{,}6x \\
f''(x)&=&-0{,}6x+0{,}6 \\
f'''(x)&=&-0{,}6 \\
\end{array}\]

Zur Wendepunktbestimmung muss die zweite Ableitung gleich Null sein.
\[\begin{array}{rcll}
f''(x_W)&=&0 \\
-0{,}6x_W+0{,}6&=&0 &|-0{,}6 \\
-0{,}6x_W&=&-0{,}6 &|:(-0{,}6) \\
x_W&=&1 \\
\end{array}\]

Zur Prüfung, ob tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt, kann am einfachsten die
dritte Ableitung verwendet werden.

\[f'''(x_W)=-0{,}6 \not= 0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Wendepunkt bei }x_W=1 \]

\[y_W=-0{,}1x_W^3+0{,}3x_W^2=-0{,}1 \cdot 1+0{,}3 \cdot 1=0{,}2 \]
Die Steigung dort muss bestimmt werden:
\[m=f'(x_W)=-0{,}3x_W^2+0{,}6x_W=-0{,}3 \cdot 1+0{,}6 \cdot 1=0{,}3 \]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die steilste Stelle liegt $\unit[1]{m}$ hinter dem Startpunkt $\unit[20]{cm}$
hoch mit der Steigung $0{,}3$.}
\end{center}

\paragraph{zu c)}
Die gesuchte Fläche wird mit Hilfe eines Integrales bestimmt.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)\ dx \\
&=&\int \limits_0^2 -0{,}1x^3+0{,}3x^2\ dx \\
&=&\left[-0{,}025 x^4+0{,}1 x^3 \right]_0^2 \\
&=&(-0{,}025 \cdot 2^4+0{,}1 \cdot 2^3)-(-0{,}025 \cdot 0^4+0{,}1 \cdot 0^3)\\
&=&(-0{,}4+0{,}8)-0 \\
A&=&0{,}4 \\
\end{eqnarray*}

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Querschnittfläche unter der Rampe beträgt
$\unit[0{,}4]{m^2}$.}\end{center}

\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
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%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
