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\begin{document}

\subsection*{Aufgabe 23 \quad \textcolor{red}{(60\ P.)}}
Gegeben sind die fünf Vektoren:
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}x \\ -57 \\ -2  \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left(\begin{array}{c}-3 \\ y \\ 12  \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left(\begin{array}{c}-4 \\ 6 \\ z  \end{array}\right)  \qquad
\vec d= \left(\begin{array}{c} 1 \\-3 \\ 5  \end{array}\right)  \qquad
\vec e= \left(\begin{array}{c} 0 \\-1 \\ 4  \end{array}\right) \]

\begin{description}
\item[a)] Bestimmen Sie zunächst die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die
  drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ paarweise aufeinander senkrecht
  stehen, also \mbox{$\vec a \bot \vec b$}, \mbox{$\vec a \bot \vec c$} und
  \mbox{$\vec b \bot \vec c$}.
\item[b)] Berechnen Sie die Länge %(den Betrag)
  des Vektors $\vec b$!
\item[c)] Nun soll der Parameter $z$ in $\vec c$ so verändert werden, dass die
  drei Vektoren $\vec c$, $\vec d$ und $\vec e$ \textbf{komplanar} werden.
\item[d)] Berechnen Sie den Winkel $\varphi$, den die Vektoren $\vec d$ und
  $\vec e$ miteinander bilden!
\end{description}

\newpage
\subsection*{Lösungen:}
\subsubsection*{Lösung zu a) \quad \textcolor{red}{(20\ P.)}}
Aus den drei Bedingungen für das Aufeinander-senkrecht-Stehen von jeweils zwei
Vektoren können drei Gleichungen gebildet werden.
\[\begin{array}{ccrclcrrrcl}
\vec a \bot \vec b &\Rightarrow& \vec a \cdot \vec b&=&0 &\Rightarrow&
  x \cdot (-3)&+(-57) \cdot y&+(-2) \cdot 12&=&0 \\
\vec a \bot \vec c &\Rightarrow& \vec a \cdot \vec c&=&0 &\Rightarrow&
  x \cdot (-4)&+(-57) \cdot 6&+(-2) \cdot z &=&0 \\
\vec b \bot \vec c &\Rightarrow& \vec b \cdot \vec c&=&0 &\Rightarrow&
  -3 \cdot (-4)&+y \cdot 6&+12 \cdot z&=&0 \\
\end{array}\]

Die drei Gleichungen werden in die Normalform gebracht. Man erhält ein
Lineargleichungssystem, das mit jedem beliebigen Lösungsverfahren gelöst werden
kann.
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(1)&-3x&-57y&    &=&24 \\
(2)&-4x &   &-2z&=&342 \\
(3)&   & 6y&+12z&=&-12 \\
\hline
\end{array}\]
Zur Lösung des Gleichungssystemes kommen mehrere Verfahren in Frage.\\

\textbf{\underline{Lösungsvariante 1:} Einsetzungsverfahren}\\
Gleichung (3) wird nach $y$ umgestellt, das Ergebnis wird in beide anderen
Gleichungen eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
6y+12z&=&-12 &|-12z \\
6y&=&-12-12z &|:6 \\
y&=&-2-2z \\
\end{array}\]
Einsetzen in (1) und (2):
\[\begin{array}{lrcll}
\textnormal{In (1)}&-3x-57 \cdot (-2-2z)&=&24 \\
\textnormal{In (2)}&-4x-2z&=&342 \\
\hline
&-3x+114+114z&=&24 &|-114 \\
&-4x-2z&=&342 \\
\hline
&-3x+114z&=&-90 \\
&-4x-2z&=&342 \\
\end{array}\]
Für den nächsten Reduktionsschritt kommen wieder mehrere Lösungsverfahren in
Frage. Ein sinnvolles Verfahren wäre wiederum das Einsetzungsverfahren, indem
die zweite Gleichung nach $z$ aufgelöst wird.
\[\begin{array}{rcll}
-4x-2z&=&342 &|+4x \\
-2z&=&342+4x &|:(-2) \\
z&=&-171-2x \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in die andere Gleichung eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
-3x+114z&=&-90 \\
-3x+114 \cdot (-171-2x)&=&-90 \\
-3x-19\,494-228x&=&-90 &|+19\,494 \\
-231x&=&19\,404 &|:(-231) \\
x&=&-84 \\
\end{array}\]
\[z=-171-2x=-171-2 \cdot (-84)=-3 \]
\[y=-2-2z=-2-2 \cdot (-3)=4\]

\textbf{\underline{Lösungsvariante 2:} Cramersche Regel}\\
\[\begin{array}{rcl}
x&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
 24&-57 & 0 \\
342&  0 &-2 \\
-12&  6 &12 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
 24&-57 \\
342&  0 \\
-12&  6 \\
\end{array}}}
{\begin{array}{|ccc|}
-3 &-57 & 0 \\
-4 &  0 &-2 \\
 0 &  6 &12 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
-3 &-57 \\
-4 &  0 \\
 0 &  6 \\
\end{array}}}\\
&=&\cfrac{-1\,368+288+233\,928}{-36-2\,736}\\
&=&\cfrac{232\,848}{-2\,772}\\
x&=&-84 \\
\end{array}\]
Parameter $y$ kann duch Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (1) bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
-3x-57y&=&24 \\
-3 \cdot (-84)-57y&=&24 \\
252-57y&=&24 &|-252 \\
-57y&=&-288 &|:(-57) \\
y&=&4 \\
\end{array}\]
Parameter $z$ kann duch Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (3) bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
6y+12z&=&-12 \\
6 \cdot 4+12z&=&-12 \\
24+12z&=&-12  &|-24 \\
12z&=&-36 &|:12 \\
z&=&-3 \\
\end{array}\]
Zusammengefasst: \fcolorbox{red}{yellow}{$x=-84 \quad y=4 \quad z=-3$}

\subsubsection*{Lösung zu b) \quad \textcolor{red}{(10\ P.)}}
Die Länge eines Vektors ist sein Betrag.
\[|\vec b|= \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}
= \sqrt{(-3)^2+4^2+12^2}=13 \]
Die Länge des Vektors beträgt: \fcolorbox{red}{yellow}{13 Längeneinheiten}

\subsubsection*{Lösung zu c) \quad \textcolor{red}{(15\ P.)}}
Zur Überprüfung der Komplanarität gibt es zwei unterschiedliche Ansätze, die zu
zwei völlig unterschiedlichen Lösungswegen führen.\\

\textbf{\underline{Lösungsvariante 1:}}\\
Die erste Variante geht von der Definition der Komplanarität aus:
\[\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot \vec c +µ \cdot \vec d&=&\vec e \\
\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}-4 \\ 6 \\ z  \end{array}\right)
 +µ \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right)
 &=&\left(\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 4  \end{array}\right) \\
\end{array}\]
Hierzu kann man die Komponentengleichungen aufstellen:
\[\begin{array}{lrrcl}
(1)&\lambda \cdot (-4)&+µ \cdot 1&=&0 \\
(2)&\lambda \cdot 6&+µ \cdot (-3)&=&-1 \\
(3)&\lambda \cdot z&+µ \cdot 5&=&4 \\
\hline
(1)&-4 \lambda &+µ&=&0 \\
(2)& 6 \lambda &-3µ&=&-1 \\
(3)&\lambda \cdot z&+5µ&=&4 \\
\end{array}\]
Gleichung (1) wird nach $µ$ umgestellt:
\[\begin{array}{rcll}
-4 \lambda +µ&=&0 &|+4 \lambda \\
µ&=&4 \lambda \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt.
\[\begin{array}{rrrcl}
\textnormal{In (2)}& 6 \lambda &-3 \cdot 4 \lambda&=&-1 \\
\textnormal{In (3)}&\lambda \cdot z&+5 \cdot 4 \lambda&=&4 \\
\hline
(2a)&6 \lambda & -12 \lambda&=&-1 \\
(3a)&\lambda  \cdot z&+20 \lambda&=&4 \\
\hline
\end{array}\]
Aus Gleichung (2a) kann $\lambda$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
6 \lambda & -12 \lambda&=&-1 \\
-6 \lambda&=&-1  &|:(-6) \\
\lambda&=&\cfrac{1}{6} \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (3a) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
\lambda  \cdot z+20 \lambda&=&4 \\
\cfrac{1}{6} \cdot z+20 \cdot \cfrac{1}{6}&=&4 &| \cdot 6 \\
z+20&=&24 &|-20 \\
z&=&4 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Lösungsvariante 2:}}\\
In dieser Lösungsvariante nutzt man den Lehrsatz aus:
\[ \vec c,\ \vec d \textnormal{ und }\vec e \textnormal{ komplanar}
\quad \Leftrightarrow \quad \det \left( \vec c, \vec d, \vec e \right) =0 \]
Diese Determinante wird aufgestellt und gleich Null gesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
\det \left( \vec c, \vec d, \vec e \right)&=&0 \\
\left|\begin{array}{ccc}
-4& 1 & 0 \\
 6&-3 &-1 \\
 z& 5 & 4 \\
\end{array} \right|&=&0 \\
\left|\begin{array}{ccc}
-4& 1 & 0 \\
 6&-3 &-1 \\
 z& 5 & 4 \\
\end{array} \right|
\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
-4& 1 \\
 6&-3 \\
 z& 5 \\
\end{array}}&=&0 \\
48-z-20-24&=&0 \\
4&=&z \\
\end{array}\]
Ergebnis in beiden Varianten:
\fcolorbox{red}{yellow}{$z=4$}

\subsubsection*{Lösung zu d) \quad \textcolor{red}{(15\ P.)}}
Die Bestimmung des Winkels $\varphi$ kann mit Hilfe des nachfolgenden
Lehrsatzes erfolgen.
\[\begin{array}{rcll}
\left|\vec d \right| \cdot \left|\vec e \right| \cdot \cos \varphi
&=&\vec d  \cdot \vec e \\
\left| \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \\  \end{array} \right) \right|
 \cdot \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\-1 \\ 4 \\ \end{array} \right) \right|
 \cdot \cos \varphi &=&
 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \\  \end{array} \right) \cdot
 \left( \begin{array}{c} 0 \\-1 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\
\sqrt{1^2+(-3)^2+5^2} \cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+4^2} \cdot \cos \varphi
 &=&1 \cdot 0+(-3) \cdot (-1)+5 \cdot 4 \\
\sqrt{35} \cdot \sqrt{17} \cdot \cos \varphi&=&23 \\
\cos \varphi &=&\cfrac{23}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{17}}\\
\varphi&=&\arccos \cfrac{23}{\sqrt{595}}\\
\varphi&\approx&19,454^\circ \\
\end{array}\]
Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 19,454^\circ$}


\end{document}
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%\EUR{185}
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