\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\subsection*{Aufgabe 22 \quad \textcolor{red}{(60\ P.)}}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-0.8,-0.1)(10,4.4)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(4,3){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(4,0){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(7,3){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(7,0){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(9.5,3){G}
   \pnode(9.5,0){H}
   \coil[labeloffset=-0.5,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_L$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.1,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$X_L$}
   \capacitor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_C$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$U_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
     tensionwidth=\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \Ucc[labeloffset=0,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(E){A}
   \switch(H)(G){S}
   \wire(E)(G)
   \wire(B)(H)
   \pscircle(-0.1,3){2pt}
   \pscircle(-0.1,0){2pt}
   \psline[linecolor=blue]{->}(-0.1,2.5)(-0.1,0.5)
   \uput{0.2}[180](0,1.5){\textcolor{blue}{$U_0$}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Sie wird an einer sinusförmigen
Wechselspannung mit \mbox{$U_0=\unit[12]{V}$} betrieben. Mit dieser
Wechselspannung ergeben sich folgende Werte:\\
$X_L=\unit[80]{\Omega}$\\
$X_C=\unit[80]{\Omega}$\\
Auch der Widerstand ist bekannt:\\
$R=\unit[240]{\Omega}$\\

Wie verändert sich der Strom $I$, der am Strommesser abgelesen werden kann,
wenn der Schalter geschlossen wird? Geben Sie dazu den Strom $I$ bei geöffnetem
und bei geschlossenen Schalter an. Interpretieren Sie das Ergebnis!

\newpage
\subsection*{Lösung:}
\paragraph{1. Geschlossener Schalter:}
Am einfachsten lässt sich der Strom $I$ bei \textbf{geschlossenem} Schalter
bestimmen. Weil der Schalter $U_R$ (und damit auch $U_C$) kurzschließt, sind
auch die zugehörigen Ströme $I_R$ und $I_C$ gleich Null. Der gesuchte Strom $I$
ist dann identisch mit $I_L$, und $U_L$ ist identisch mit $U_0$. Dadurch lässt
sich $I$ ganz einfach ohne Komplexe Rechnung bestimmen.
\[I=I_L=\frac{U_L}{X_L}=\frac{U_0}{X_L}=\frac{\unit[12]{V}}{\unit[80]{\Omega}}
  =\unit[150]{mA}\]
Zusammengefasst:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$I=\unit[150]{mA}$}
 \quad \textcolor{red}{(10\ $P.$)}\end{center}

\paragraph{2. Geöffneter Schalter:}
Hier muss komplex gerechnet werden. Wir erhalten als komplexe Größen:
\[\begin{array}{rcll}
\b U_0&=&\unit[12]{V}\\
\b X_L&=&\b j \unit[80]{\Omega}\\
\b X_C&=&-\b j \unit[80]{\Omega}\\
\b R&=&\unit[240]{\Omega}
\end{array}\]
Zunächst werden $\b X_C$ und $\b R$ zu $\b Z_1$ zusammengefasst.

\[\begin{array}{rcll}
\b Z_1&=&\cfrac{\b X_C \cdot \b R}{\b X_C+\b R}\\
&=&\cfrac{-j\unit[80]{\Omega} \cdot \unit[240]{\Omega}}
  {-j\unit[80]{\Omega}+\unit[240]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{-j\unit[19\,200]{\Omega^2}}{\unit[240]{\Omega}-j\unit[80]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{(-j\unit[19\,200]{\Omega^2})
  \cdot (\unit[240]{\Omega}+j\unit[80]{\Omega})}
 {\left(\unit[240]{\Omega}-j\unit[80]{\Omega})
  \cdot (\unit[240]{\Omega}+j\unit[80]{\Omega}\right)}\\
&=&\cfrac{-j\unit[4\,608\,000]{\Omega^3}+\unit[1\,536\,000]{\Omega^3}}
  {\unit[57\,600]{\Omega^2}+\unit[6\,400]{\Omega^2}}\\
&=&\cfrac{-j\unit[4\,608\,000]{\Omega^3}+\unit[1\,536\,000]{\Omega^3}}
  {\unit[64\,000]{\Omega^2}}\\
\b Z_1&=&-j\unit[72]{\Omega}+\unit[24]{\Omega} \quad \textcolor{red}{(10\ P.)}\\
\end{array}\]
Nun kann $\b Z_1$ mit $\b X_L$ zu $\b Z$ zusammengefasst werden:
\[\b Z=\b X_L+\b Z_1=j\unit[80]{\Omega}-j\unit[72]{\Omega}+\unit[24]{\Omega}
  =j\unit[8]{\Omega}+\unit[24]{\Omega} \quad \textcolor{red}{(5\ P.)}\]
Mit $\b Z$ und $\b U_0$ wird der Strom $\b I_L$ berechnet:
\[\begin{array}{rcll}
\b I_L&=&\cfrac{\b U_0}{\b Z}\\
&=&\cfrac{\unit[12]{V}}{\unit[24]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{\unit[12]{V} \cdot (\unit[24]{\Omega}-j\unit[8]{\Omega})}
 {(\unit[24]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega})
  \cdot (\unit[24]{\Omega}-j\unit[8]{\Omega})}\\
&=&\cfrac{\unit[288]{V \Omega}-j\unit[96]{V \Omega}}
 {\unit[576]{\Omega^2}+\unit[64]{\Omega^2}}\\
&=&\cfrac{\unit[288]{V \Omega}-j\unit[96]{V \Omega}}{\unit[640]{\Omega^2}}\\
\b I_L&=&\unit[450]{mA}-j\unit[150]{mA} \quad \textcolor{red}{(10\ P.)}\\
\end{array}\]
Mit diesem Strom und dem Ersatzwiderstand $\b Z_1$ wird die Spannung
\mbox{$\b U_R=\b U_C$} berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
\b U_R&=&\b Z_1 \cdot \b I_L \\
&=&(\unit[450]{mA}-j\unit[150]{mA})
  \cdot (-j\unit[72]{\Omega}+\unit[24]{\Omega}) \\
&=&-j\unit[32,4]{V}+\unit[10,8]{V}-\unit[10,8]{V}-j\unit[3,6]{V}\\
\b U_R&=&-j\unit[36]{V} \quad \textcolor{red}{(10\ P.)}\\
\end{array}\]
Der gesuchte Strom $\b I$ ist bei offenem Schalter identisch mit $\b I_R$. Er
kann über das Ohmsche Gesetz bestimmt werden.  \enlargethispage{15mm}
\[\b I=\cfrac{\b U_R}{\b R}=\cfrac{-j\unit[36]{V}}{\unit[240]{\Omega}}
  =-j\unit[150]{mA} \quad \textcolor{red}{(5\ P.)}\]
Benötigt wird der \textbf{Betrag} von $\b I$. Auch ohne Rechnung ergibt sich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$I=\unit[150]{mA}$}
 \quad \textcolor{red}{(5\ $P.$)}\end{center}
Es fällt auf, dass der Strom $I$ bei geöffnetem Schalter genau so groß ist, wie
bei geschlossenem Schalter. Offenbar liefert der Schaltungsteil bestehend aus
der Spule und dem Kondensator einen lastunabhängigen Strom.
 \quad \textcolor{red}{(5\ $P.$)}



\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
