\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Aufgabe 20 \quad \textcolor{red}{(60\ P.)}}
\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
\psset{xunit=6.5mm,yunit=6.5mm}
\begin{pspicture}(-1,0)(14,7)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,2){A1}   \pnode(-0.1,2){A11}
   \pnode(0,5){A2}   \pnode(-0.1,5){A22}
   \pnode(0,7){A3}
   \pnode(1,0){B0}
   \pnode(1,2){B1}
   \pnode(1,5){B2}
   \pnode(1,7){B3}
   \pnode(2,2){C1}
   \pnode(2,5){C2}
   \pnode(4,0){D0}
   \pnode(4,2){D1}   \pnode(3.95,2){D11}
   \pnode(4,5){D2}   \pnode(3.95,5){D22}
   \pnode(4,7){D3}
   \pnode(9,0){E0}
   \pnode(9,2){E1}   \pnode(9.05,2){E11}
   \pnode(9,5){E2}   \pnode(9.05,5){E22}
   \pnode(9,7){E3}
   \pnode(11,2){F1}
   \pnode(11,5){F2}
   \pnode(12,0){G0}
   \pnode(12,2){G1}
   \pnode(12,5){G2}
   \pnode(12,7){G3}
   \pnode(13,0){H0}
   \pnode(13,2){H1}   \pnode(13.1,2){H11}
   \pnode(13,5){H2}   \pnode(13.1,5){H22}
   \pnode(13,7){H3}
   \psline[linewidth=1.5pt](A0)(H0)(H3)(A3)(A0)
   \psline[linewidth=3.5pt](A1)(D1)
   \psline[linewidth=3.5pt](A2)(D2)
   \psline[linewidth=3.5pt](E1)(H1)
   \psline[linewidth=3.5pt](E2)(H2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D1)(E1)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D2)(E2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](D0)(D3)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](E0)(E3)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](C1)(C2)
   \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](F1)(F2)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](A11)(D11)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](A22)(D22)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](E11)(H11)
   \psline[linewidth=0.7pt,linecolor=white](E22)(H22)
   \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,2)(-0.2,2)
   \psline[linewidth=1pt]{->}(-1,5)(-0.2,5)
   \psline[linewidth=1pt]{<-}(13.2,2)(14,2)
   \psline[linewidth=1pt]{<-}(13.2,5)(14,5)
   \uput[90](2,0.5){\textbf{A}}
   \uput[90](11,0.5){\textbf{B}}
   \uput[90](2,5.5){\textbf{C}}
   \uput[90](11,5.5){\textbf{D}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Abmessungen 30 mal 60 Zentimeter
soll ein oben offener quaderförmiger Karton hergestellt werden. Dazu wird die
Pappe an den vier mit Pfeil gekennzeichneten Stellen eingeschnitten. Danach
werden die vier dabei entstandenden Laschen \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}
und \textbf{D} rechtwinklig nach oben hochgebogen. Anschließend wird die Pappe
entlang der gestrichelten Linien in der Verlängerung der Einschnitte
rechtwinklig hochgebogen. Dadurch kommt Lasche \textbf{A} auf Lasche \textbf{C}
und Lasche \textbf{B} auf Lasche \textbf{D} zu liegen. Falls die Laschen zu
lang sind, werden sie zuvor noch ein Stück gekürzt, dass es passt. Zum Schluss
werden noch die Seitenteile rechts und links hochgebogen und um die Laschen
\textbf{A}/\textbf{C} bzw. \textbf{B}/\textbf{D} zur Innenseite des dabei
entstehenden Kartons herumgefaltet. Das jeweilige Seitenteil bedeckt
dadurch die beiden zugehörigen Eck-Laschen sowohl von außen als auch von innen
genau ganz ohne irgendwo "`überzustehen"' oder eine Lücke zu lassen. Die
Seitenteile sind also genau doppelt so lang, wie die Breite der Eck-Laschen.\\

Wie tief müssen die Einschnitte gemacht werden, damit ein Behälter mit
\textbf{möglichst großem Volumen} entsteht? Geben Sie auch die
\textbf{Abmessungen} des Behälters (Länge, Breite und Höhe) sowie sein
\textbf{Volumen} an! Müssen die Laschen \textbf{A} bis \textbf{D} tatsächlich
gekürzt werden?

\newpage
\subsection*{Lösung:}
Zunächst müssen Größen mit Formelbuchstaben benannt werden. Beispielhaft wird
hier $l$ für die Länge, $b$ für die Breite und $h$ für die Höhe des fertigen
Behälters verwendet. Damit kann die \textbf{Hauptbedingung} aufgestellt werden:
\[\textnormal{\textbf{HB:} } V=l \cdot b \cdot h \quad \textcolor{red}{(8\ P.)}\]

Wir haben \textbf{\emph{drei} Variablen}, deshalb sind \textbf{\emph{zwei}
Nebenbedingungen} erforderlich. Diese ergeben sich aus den Abmessungen
des rechteckigen Kartons.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{\textbf{NB1:}}& b+2h&=&\unit[30]{cm}\\
\textnormal{\textbf{NB2:}}& l+4h&=&\unit[60]{cm} \quad \textcolor{red}{(8\ P.)}\\
\end{array}\]
Die Nebenbedingungen werden nach $b$ bzw. nach $l$ umgestellt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{\textbf{NB1:}}& b&=&\unit[30]{cm}-2h \\
\textnormal{\textbf{NB2:}}& l&=&\unit[60]{cm}-4h \\
\end{array}\]
Die umgestellten Nebenbedingungen werden in die Hauptbedingung eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
V&=&l \cdot b \cdot h \\
V(h)&=&(\unit[60]{cm}-4h) \cdot (\unit[30]{cm}-2h) \cdot h \\
V(h)&=&\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[120]{cm} \cdot h^2
  -\unit[120]{cm} \cdot h^2+8 \cdot h^3 \\
V(h)&=&\unit[1\,800]{cm^2} \cdot h-\unit[240]{cm} \cdot h^2+8 \cdot h^3
  \quad \textcolor{red}{(10\ P.)} \\
\end{array}\]
Notwendige Bedingung für ein Maximum ist Nullwerden der ersten Ableitung.
\[\begin{array}{rcll}
V'(h)&=&\unit[1\,800]{cm^2}-\unit[480]{cm} \cdot h+24 \cdot h^2 \\
0&=&\unit[1\,800]{cm^2}-\unit[480]{cm} \cdot h_E+24 \cdot h_E^2 &|:24 \\
0&=&h_E^2-\unit[20]{cm} \cdot h_E+\unit[75]{cm^2}\\
h_{E1/2}&=&\unit[10]{cm}\pm \sqrt{\unit[100]{cm^2}-\unit[75]{cm^2}}\\
h_{E1/2}&=&\unit[10]{cm}\pm \unit[5]{cm}\\
h_{E1}=\unit[15]{cm}&& h_{E2}=\unit[5]{cm}\\
\end{array}\]
Die Lösung \mbox{$h_{E1}=\unit[15]{cm}$} entfällt, denn mit dieser Lösung
"`schrumpft"' die Breite $b$ auf Null. Es bleibt also nur noch die Lösung
\mbox{$h_{E2}=\unit[5]{cm}$}. \quad \textcolor{red}{(12\ $P.$)}\\

Mit Hilfe der zweiten Ableitung kann geprüft werden, ob ein Minimum oder ein
(gewünschtes) Maximum vorliegt.
\[\begin{array}{rcll}
V''(h)&=&-\unit[480]{cm}+48 \cdot h \\
V''(h_{E2})&=&-\unit[480]{cm}+48 \cdot \unit[5]{cm}\\
V''(h_{E2})&=&-\unit[240]{cm}
\end{array}\]
Es ist \mbox{$V''(h_{E2})<0$}. Es liegt also -- wie gewünscht -- ein
\textbf{Maximum} vor. \quad \textcolor{red}{(7\ $P.$)}\\

Die Einschnitte sind \mbox{$2 \cdot h_{E2}=\unit[10]{cm}$} tief.
 \quad \textcolor{red}{(3\ $P.$)}\\

Mit dem Wert \mbox{$h_{E2}=\unit[5]{cm}$} und den umgestellten Nebenbedingungen
werden die Länge $l$ und die Breite $b$ des Behälters bestimmt.
\[b=\unit[30]{cm}-2h_{E2}=\unit[30]{cm}-2 \cdot \unit[5]{cm}=\unit[20]{cm}
  \quad \textcolor{red}{(3\ P.)}\]
\[l=\unit[60]{cm}-4h_{E2}=\unit[60]{cm}-4 \cdot \unit[5]{cm}=\unit[40]{cm}
  \quad \textcolor{red}{(3\ P.)}\]
Das Volumen des Behälters soll auch angegeben werden.
\[V=l \cdot b \cdot h=\unit[40]{cm} \cdot \unit[20]{cm} \cdot \unit[5]{cm}
  =\unit[4\,000]{cm^3} \quad \textcolor{red}{(3\ P.)}\]

Die Längen der Laschen \textbf{A} bis \textbf{D} betragen
\mbox{$2 \cdot h_{E2}=\unit[10]{cm}$}. Da dieses Maß genau die \textbf{halbe}
Breite $\frac{b}{2}$ darstellt, passen die Laschen und müssen nicht gekürzt
werden. Sie stoßen bündig aneinander. \quad \textcolor{red}{(3\ $P.$)}



\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
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%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
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%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
