\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[right]{eurosym}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption}
%\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Aufgabe 12}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.8)(7.8,9.8)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{5}{x 3 exp 0.016 mul 4 add}
   \gsave
   \psline(5,6)(0.02,0.02)(0.02,4) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-10.8)(7.8,9.8)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,9.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3.8}{7.8}{x 1.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{5}{x 3 exp 0.016 mul 4 add}
   \uput[90](2,4.2){\textcolor{black}{$f_2(x)$}}
   \uput[-45](2.5,3){\textcolor{blue}{$f_1(x)$}}
  \pscircle*(5,6){2pt}
   \uput[-45](5,6){$A$}
  \pscircle*(0,4){2pt}
   \uput[45](0,4){$B$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

An einen Berghang mit linearem Verlauf soll eine Ski-Sprungschanze gebaut
werden. Der natürliche Berghang dient dabei als Anlaufstrecke.\\

Im unteren Teil biegt die Spur im Punkt $\mathbf{A}$ ohne Knick ab zum
Schanzentisch im Punkt $\mathbf{B}$. Das Kurvenstück, das den Hang mit dem
Schanzentisch verbindet, stellt ein \textbf{Polynom dritten Grades} dar, wobei
die Kurve auf der Kante des Schanzentisches im Punkt $\mathbf{B}$ einen
Sattelpunkt hat.\\

Ein Koordinatensystem ist an den Hang angelegt, so dass der Koordinatenursprung
genau senkrecht unter der Kante des Schanzentisches auf dem natürlichen Hang
liegt. Der Schanzentisch bei Punkt $\mathbf{B}$ liegt eine \textbf{unbekannte}
Höhe darüber. (\textbf{Achtung!} Sie können also \textbf{nicht} den aus der
Skizze ablesbaren Wert als gegeben voraussetzen!) \\

Der Punkt $\mathbf{A}$, bei dem das Kurvenstück ohne Knick in den natürlichen
Hang einmündet, liegt bei $\mathbf{A(5m|6m)}$.

\begin{description}
\item [a):] Bestimmen Sie die Lineare Funktion $f_1(x)$, die den Verlauf des Hanges
  darstellt!
\item [b):] Bestimmen Sie das Polynom dritten Grades $f_2(x)$, das den Verlauf des
  gebogenen Kurvenstückes darstellt!
\item [c):] Unter dem gebogenen Kurvenstück muss ein Unterbau aus Beton angefertigt
  werden. Wieviel $m^3$ Beton ist (ohne Berücksichtigung des Fundamentes)
  erforderlich, wenn der Unterbau $\unit[80]{cm}$ breit werden soll?
\item [d):] Wie groß ist die Steigung des gebogenen Kurvenstückes genau in seiner
  Mitte (waagerecht gemessen)?
\end{description}

\newpage %----------------------------------------------------
\subsection*{Lösung:}
Zur besseren Übersichtlichkeit erfolgen alle Berechnungen in der Einheit
\textbf{Meter}. Die Einheiten lasse ich bei den Berechnungen weg.

\paragraph{a)}
Die allgemeine Geradengleichung lautet:
\[f_1(x)=mx+b\]
Der Graph der Gerade $f_1$ geht durch den Koordinatenursprung und den Punkt
$A(5|6)$. Hieraus ergibt sich:
\[b=y_0=0\]
\[m=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{6-0}{5-0}=\cfrac{6}{5}=1{,}2x\]
Damit lautet die Geradengleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=1{,}2x$}

\paragraph{b)}
Die allgemeine Gleichung für ein Polynom 3. Grades lautet:
\[f_2(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
Die ersten beiden Ableitungen werden ebenfalls benötigt.
\[\begin{array}{rcll}
f'_1(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''_1(x)&=&6ax+2b \\
\end{array}\]

Nun können die angegebenen Bedingungen in Gleichungen umgewandelt werden.\\

Bekannt ist der Punkt Punkt $A(5|6)$:
\[\begin{array}{lccc}
(1)&f_2(5)=6 &\Rightarrow& a \cdot 5^3+b \cdot 5^2+c \cdot 5+d=6 \\
\end{array}\]

Bekannt ist auch die Steigung im Punkt $A(5|6)$:
\[\begin{array}{lccc}
(2)&f'_2(5)=\cfrac{6}{5} &\Rightarrow& 3a \cdot 5^2+2b \cdot 5+c=\cfrac{6}{5}\\
\end{array}\]

Im Punkt $B(0|?)$ liegt ein Sattelpunkt. Das ergibt zwei Bedingungen:
\[\begin{array}{lrclcrcl}
(3)&f'_2(0)&=&0 &\Rightarrow& 3a \cdot 0^2+2b \cdot 0+c&=&0 \\
(4)&f''_2(0)&=&0 &\Rightarrow& 6a \cdot 0+b&=&0 \\
\end{array}\]

Aus den Gleichunge (3) und (4) ergibt sich sofort:
\[c=0 \qquad \textnormal{und} \qquad b=0\]

Setzt man diese Werte in (1) und (2) ein, erhält man das
Lineargleichungssystem:
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(1)& 125a& +d&=&6 \\
(2)& 75a &   &=&\cfrac{6}{5}\\
\hline
\end{array}\]

Aus Gleichung (2) kann $a$ ausgerechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
75a&=&\cfrac{6}{5} &|:75 \\
a&=&0{,}016 \\
\end{array}\]

Dieser Wert wird in (1) eingesetzt, um $d$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
125a+d&=&6 \\
125 \cdot 0{,}016+d&=&6 \\
2+d&=&6 &|-2 \\
d&=&4 \\
\end{array}\]

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=0{,}016x^3+4$}

\paragraph{c)}
Zur Berechnung des Volumens wird zunächst die in der gegebenen Skizze markierte
Fläche $A$ benötigt. Diese kann mit einem Integral berechnet werden, die
Grenzen sind mit 0 und 5 ja schon bekannt.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_0^5 f_1(x)-f_2(x)\ dx \\
&=&\int \limits_0^5  0{,}016x^3+4-1{,}2x  \ dx \\
&=&\int \limits_0^5 0{,}016x^3-1{,}2x+4 \ dx \\
&=&\left[ 0{,}004x^4-0{,}6x^2+4x \right]_0^5 \\
&=&\left( 0{,}004 \cdot 5^4-0{,}6 \cdot 5^2+4 \cdot 5 \right)
  -\left( 0{,}004 \cdot 0^4-0{,}6 \cdot 0^2+4 \cdot 0 \right) \\
A&=&7{,}5 \\
\end{eqnarray*}
Die Fläche beträgt also $\unit[7{,}5]{m^2}$. Bei der Berechnung des Volumens
der Betonmauer muss noch die Mauerbreite berücksichtigt werden.
\[V=A \cdot b=\unit[7{,}5]{m^2} \cdot \unit[80]{cm}
  =\unit[7{,}5]{m^2} \cdot \unit[0{,}8]{m}=\unit[6]{m^3}\]

Das Stützwandvolumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V=\unit[6]{m^3}$}

\paragraph{d)}
Die Mitte zwischen 0 und 5 liegt bei $2{,}5$. Die Steigung dort liefert die
erste Ableitung von $f_2$.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&0{,}016x^3+4 \\
f_2'(x)&=&0{,}048x^2 \\
f_2'(2{,}5)&=&0{,}048 \cdot 2{,}5^2 \\
f_2'(2{,}5)&=&0{,}3 \\
\end{array}\]
Die Steigung in der Mitte des Kurvenstücks beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$m=0{,}3$}


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{$$} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
