\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\begin{document}

\section*{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{Achterbahn.jpg}
\end{wrapfigure}
Das Endstück einer Achterbahn besteht aus zwei graden Gleisstücken, die durch
ein Kurvenstück \textbf{knickfrei} miteinander verbunden sind. Das erste
Geradenstück kommt von links und verläuft mit einer Steigung von
\mbox{$m=-0,9$} bergab. Es endet \mbox{$\unit[1]{m}$} über dem Boden.
\mbox{$\unit[3]{m}$} rechts davon beginnt der waagerechte Auslauf der Bahn
\mbox{$\unit[1]{m}$} über dem Boden. Das (waagerecht gemessen)
\mbox{$\unit[3]{m}$} lange Kurvenstück
zwischen den beiden graden Teilen stellt ein Polynom dritten Grades dar.
\begin{enumerate}
\item Legen Sie ein Koordinatensystem in den Bahnverlauf, so dass die $x$-Achse
  auf dem Boden liegt und das linke Geradenstück an der $y$-Achse endet, wie in
  der Skizze dargestellt. Bestimmen Sie aus den Angaben das Polynom
  \mbox{$f(x)$}.
\item Gegeben sei die Funktion:
  \[f(x)=-0,1x^3+0,6x^2-0,9x+1\]
  Die Längeneinheit \emph{Meter} wurde zur Vereinfachung weggelassen.
  \begin{itemize}
  \item Wie nah kommt die Bahn dem Erdboden?
  \item Wo befindet sich im ansteigen Bereich des Kurvenstückes die
  \textbf{steilste} Stelle? Welche Steigung hat die Kurve dort?
  \end{itemize}
\item Als Unterbau für das Kurvenstück soll eine \mbox{$\unit[40]{cm}$-starke}
  Betonwand gegossen werden. Wieviele Kubikmeter Beton sind erforderlich, wenn
  die Fundamente nicht mit eingerechnet werden?
\end{enumerate}

\newpage
\subsubsection*{Lösung:}
\paragraph*{Aufstellen der Funktionsgleichung}
Allgemeiner Ansatz:
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \quad \textcolor{red}{(1)}\\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \quad \textcolor{red}{(1)}\\
\end{eqnarray*}
Am linken Rand und am rechten Rand des Kurvenstückes ist jeweils der
Funktionswert und die Steigung bekannt.
\[\begin{array}{lrclcrcll}
(1)&f(0)&=&1 &\Rightarrow& 0 \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d&=&1
 & \textcolor{red}{(4)}\\
(2)&f'(0)&=&-0,9 &\Rightarrow& 0 \cdot a+0 \cdot b+c&=&-0,9
 & \textcolor{red}{(4)}\\
(3)&f(3)&=&1 &\Rightarrow& 27 \cdot a+9 \cdot b+3 \cdot c+d&=&1
 & \textcolor{red}{(4)}\\
(4)&f'(3)&=&0 &\Rightarrow& 27 \cdot a+6 \cdot b+c&=&0
 & \textcolor{red}{(4)}\\
\end{array}\]
Die ersten beiden Gleichungen führen sofort zu den Ergebnissen:
\[d=1 \quad \textnormal{und}\quad c=-0,9 \quad \textcolor{red}{(2)}\]
Die Werte werden in Gleichung (3) und (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{lrclll}
(3)& 27 \cdot a+9 \cdot b+3 \cdot (-0,9)+1&=&1 \\
(4)& 27 \cdot a+6 \cdot b-0,9&=&0 \\
\hline
(3)& 27 a+9b&=&2,7&| \\
(4)& 27 a+6b&=&0,9&|&- \\
\hline
(3)-(4)&3b&=&1,8 &|&:3 \\
        &b&=&0,6  && \textcolor{red}{(6)}\\
\end{array}\]
Ergebnis in Gleichung (4) einsetzen:
\begin{eqnarray*}
27 a+6 \cdot b-0,9&=&0 \\
27 a+3,6-0,9&=&0 \\
27 a+2,7&=&0 \quad|-2,7 \\
27a&=&-2,7 \quad|:27 \\
a&=&-0,1 \quad \textcolor{red}{(3)}
\end{eqnarray*}
Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-0,1x^3+0,6x^2-0,9x+1$}
 \quad \textcolor{red}{(1)}

\paragraph*{Tiefpunkt:}
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&-0,1x^3+0,6x^2-0,9x+1 \\
f'(x)&=&-0,3x^2+1,2x-0,9 \quad \textcolor{red}{(2)}\\
f''(x)&=&-0,6x+1,2 \quad \textcolor{red}{(2)}\\
f'''(x)&=&-0,6 \quad \textcolor{red}{(2)}
\end{eqnarray*}
Notwendige Bedingung für einen Tiefpunkt ist das Nullwerden der 1. Ableitung.
\begin{eqnarray*}
f'(x_E)&=&0 \quad \textcolor{red}{(2)}\\
-0,3x_E^2+1,2x_E-0,9&=&0 \quad|:(-0,3) \\
x_E^2-4x_E+3&=&0 \\
x_{E1/2}&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
x_{E1/2}&=&2 \pm 1 \\
x_{E1}=1 && x_{E2}=3 \quad \textcolor{red}{(6)}\\
\end{eqnarray*}
Der Wert \mbox{$x_{E2}=3$} entfällt, da er am Rand des Bogenstücks liegt.
Bleibt noch \mbox{$x_{E1}=1$} zu untersuchen.\quad \textcolor{red}{(1)}
\[f''(1)=-0,6 \cdot 1+1,2=0,6>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt
bei }x_{E1}=1 \quad \textcolor{red}{(2)}\]
\[y_{E1}=f(x_{E1})=-0,1 \cdot 1^3+0,6 \cdot 1^2-0,9 \cdot 1+1=0,6
 \quad \textcolor{red}{(2)}\]
Tiefpunkt bei:
\fcolorbox{red}{yellow}{$T(1|0,6)$}\\
Der tiefste Punkt liegt \mbox{$\unit[60]{cm}$} über dem Erdboden.
\quad \textcolor{red}{(1)}

\paragraph*{Steilste Stelle:}
Wir suchen ein Maximum der Steigung, also muss die Ableitung der Ableitung (die
2. Ableitung) Null sein. Dies ist auch das Kriterium für einen Wendepunkt.
\begin{eqnarray*}
f''(x_W)&=&0 \quad \textcolor{red}{(3)}\\
-0,6x_W+1,2&=&0 \quad|-1,2 \\
-0,6x_W&=&-1,2 \quad|:(-0,6) \\
x_W&=&2 \quad \textcolor{red}{(3)}
\end{eqnarray*}
\[f'''(2)=-0,6<0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Maximum für }f'(x)
 \quad \textcolor{red}{(2)}\]
\[f'(2)=-0,3 \cdot 2^2+1,2 \cdot 2-0,9=0,3 \quad \textcolor{red}{(1)}\]
Die Steigung an der steilsten Stelle beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$m=0,3$}\quad \textcolor{red}{(1)}\\

\paragraph*{Unterbau:}
Zunächst wird die Fläche $A$ unter dem Kurvenstück bestimmt.
\begin{eqnarray*}
A&=&\int \limits_0^3 f(x) \ dx \quad \textcolor{red}{(1)}\\
&=&\int \limits_0^3 -0,1x^3+0,6x^2-0,9x+1 \ dx \quad \textcolor{red}{(3)}\\
&=&\left[-0,025x^4+0,2x^3-0,45x^2+x \right]_0^3 \quad \textcolor{red}{(4)}\\
&=&\left(-0,025 \cdot 3^4+0,2 \cdot 3^3-0,45 \cdot 3^2+3 \right)
  -\left(-0,025 \cdot 0^4+0,2 \cdot 0^3-0,45 \cdot 0^2+0 \right)
  \quad \textcolor{red}{(3)}\\
&=&2,325-0 \quad \textcolor{red}{(3)}\\
A&=&\unit[2,325]{m}^2 \quad \textcolor{red}{(1)}
\end{eqnarray*}
Volumenbestimmung:
\begin{eqnarray*}
V&=&A \cdot d \\
&=&\unit[2,325]{m}^2 \cdot \unit[0,4]{m}\\
V&=&\unit[0,93]{m}^3
\end{eqnarray*}
Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\unit[0,93]{m}^3$}\quad \textcolor{red}{(5)}



\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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%\EUR{185}
