\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Aufgabe 4}
Gegeben sind folgende drei Vektoren:
\[\vec a= \left(\begin{array}{c}x \\ -3 \\ 20  \end{array}\right) \qquad
\vec b= \left(\begin{array}{c}-2 \\ y \\ 1  \end{array}\right) \qquad
\vec c= \left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ z  \end{array}\right) \]
\begin{description}
\item[a)] Bestimmen Sie zunächst die Parameter $x$, $y$ und $z$ so, dass die
  drei Vektoren paarweise aufeinander senkrecht stehen, also
  \mbox{$\vec a \bot \vec b$}, \mbox{$\vec a \bot \vec c$} und
  \mbox{$\vec b \bot \vec c$}.
\item[b)] Nun soll $x$ so verändert werden, dass die drei Vektoren
  $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ \textbf{komplanar} werden. Gehen Sie dabei
  von $y=6$ und $z=0$ aus.
\item[c)] Berechnen Sie die Länge %(den Betrag)
  des Vektors $\vec b$!
\item[d)] Berechnen Sie den Winkel $\varphi$, den die Vektoren $\vec a$ und
  $\vec c$ aus Aufgabenteil \textbf{b)} miteinander bilden!
\end{description}

\subsubsection*{Erwartete Schülerleistungen}
\paragraph{a)}
Aus den drei Bedingungen für das Aufeinander-senkrecht-Stehen von jeweils zwei
Vektoren können drei Gleichungen gebildet werden.
\[\begin{array}{ccrclcrrrcl}
\vec a \bot \vec b &\Rightarrow& \vec a \cdot \vec b&=&0 &\Rightarrow&
  x \cdot (-2)&+(-3) \cdot y&+20 \cdot 1&=&0 \\
\vec a \bot \vec c &\Rightarrow& \vec a \cdot \vec c&=&0 &\Rightarrow&
  x \cdot 3&+(-3) \cdot 1&+20 \cdot z &=&0 \\
\vec b \bot \vec c &\Rightarrow& \vec b \cdot \vec c&=&0 &\Rightarrow&
  -2 \cdot 3&+y \cdot 1&+1 \cdot z&=&0 \\
\end{array}\]

Die drei Gleichungen werden in die Normalform gebracht. Man erhält ein
Lineargleichungssystem, das mit jedem beliebigen Lösungsverfahren gelöst werden
kann.
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(1)&-2x&-3y&    &=&-20 \\
(2)&3x &   &+20z&=&3 \\
(3)&   &  y&  +z&=&6 \\
\hline
\end{array}\]
\textbf{\underline{Lösungsvariante 1:} Einsetzungsverfahren}\\
Gleichung (3) wird nach $y$ umgestellt, das Ergebnis wird in beide anderen
Gleichungen eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
y+z&=&6 &|-z \\
y&=&6-z \\
\end{array}\]
Einsetzen in (1) und (2):
\[\begin{array}{lrcll}
\textnormal{In (1)}&-2x-3 \cdot (6-z)&=&-20 \\
\textnormal{In (2)}&3x+20z&=&3 \\
\hline
&-2x-18+3z&=&-20 &|+18 \\
&3x+20z&=&3 \\
\hline
&-2x+3z&=&-2 \\
&3x+20z&=&3 \\
\end{array}\]
Für den nächsten Reduktionsschritt kommen wieder mehrere Lösungsverfahren in
Frage. Eine sinnvolle Methode ist das Additionsverfahren.
\[\begin{array}{rrcll}
-2x&+3z&=&-2 &| \cdot 3 \\
3x&+20z&=&3 &| \cdot 2\\
\hline
-6x&+9z&=&-6 &| \\
6x&+40z&=&6  &|+ \\
\hline
  & 49z&=&0 &|:49 \\
  &   z&=&0 \\
\end{array}\]
Einsetzen in die umgestellte Gleichung (3):
\[y=6-z=6-0=6\]
Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (2):
\[\begin{array}{rcll}
3x+20z&=&3 \\
3x+20 \cdot 0&=&3 \\
3x&=&3 &|:3 \\
x&=&1 \\
\end{array}\]
Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=1 \qquad y=6 \qquad z=0$}\quad \textcolor{red}{(20)}\\

\textbf{\underline{Lösungsvariante 2:} Cramersche Regel}\\
\[\begin{array}{rcl}
x&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
-20& -3 & 0 \\
 3 &  0 &20 \\
 6 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
-20& -3 \\
 3 &  0 \\
 6 &  1 \\
\end{array}}}
{\begin{array}{|ccc|}
-2 & -3 & 0 \\
 3 &  0 &20 \\
 0 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
-2 & -3 \\
 3 &  0 \\
 0 &  1 \\
\end{array}}}\\
&=&\cfrac{-360+400+9}{40+9}\\
&=&\cfrac{49}{49}\\
x&=&1 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
-2 & -20 & 0 \\
 3 &  3 &20 \\
 0 &  6 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
-2 & -20 \\
 3 &  3 \\
 0 &  6 \\
\end{array}}}{49}\\
&=&\cfrac{-6+240+60}{49}\\
&=&\cfrac{294}{49}\\
y&=&6 \\
\end{array}\]
Der Parameter $z$ kann durch Einsetzen dieser Ergebnisse in Gleichung (2)
bestimmt werden:
\[\begin{array}{rcll}
3x+20z&=&3 \\
3x+20 \cdot 0&=&3 \\
3x&=&3 &|:3 \\
x&=&1 \\
\end{array}\]
Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=1 \qquad y=6 \qquad z=0$}\quad \textcolor{red}{(20)}\\

\paragraph{b)}
Zur Überprüfung der Komplanarität gibt es zwei unterschiedliche Ansätze, die zu
zwei völlig unterschiedlichen Lösungsansätzen führen.\\

\textbf{\underline{Lösungsvariante 1:}}\\
Die erste Variante geht von der Definition der Komplanarität aus:
\[\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot \vec a +µ \cdot \vec b&=&\vec c \\
\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}x \\ -3 \\ 20  \end{array}\right)
 +µ \cdot \left(\begin{array}{c}-2 \\ 6 \\ 1  \end{array}\right)
 &=&\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ 0  \end{array}\right) \\
\end{array}\]
Hierzu kann man die Komponentengleichungen aufstellen:
\[\begin{array}{lrrcl}
(1)&\lambda \cdot x&+µ \cdot (-2)&=&3 \\
(2)&\lambda \cdot (-3)&+µ \cdot 6&=&1 \\
(3)&\lambda \cdot 20&+µ \cdot 1&=&0 \\
\hline
(1)&\lambda \cdot x&-2µ&=&3 \\
(2)&-3 \lambda &+6µ&=&1 \\
(3)&20 \lambda&+µ&=&0 \\
\end{array}\]
Gleichung (3) wird nach $µ$ umgestellt:
\[\begin{array}{rcll}
20 \lambda+µ&=&0 &|-20 \lambda \\
µ&=&-20 \lambda \\
\end{array}\]
Term für $µ$ in die anderen Gleichungen einsetzen:
\[\begin{array}{rrrcl}
\textnormal{In (1)}&\lambda \cdot x& -2 \cdot (-20 \lambda)&=&3 \\
\textnormal{In (2)}&-3 \lambda &+6 \cdot (-20 \lambda)&=&1 \\
\hline
(1a)&\lambda \cdot x& +40 \lambda&=&3 \\
(2a)&-3 \lambda &-120 \lambda&=&1 \\
\hline
\end{array}\]
Aus Gleichung (2a) kann $\lambda$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
-3 \lambda-120 \lambda&=&1 \\
-123 \lambda&=&1 &|:(-123) \\
\lambda&=&-\cfrac{1}{123}\\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in Gleichung (1a) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot x+40 \lambda&=&3 \\
-\cfrac{1}{123} \cdot x+40 \cdot \left(-\cfrac{1}{123}\right)&=&3 \\
-\cfrac{x}{123}-\cfrac{40}{123}&=&3 &| \cdot 123 \\
-x-40&=&369 &|+40 \\
-x&=&409 &|:(-1) \\
x&=&-409 \quad \textcolor{red}{(20)}\\
\end{array}\]
\textbf{\underline{Lösungsvariante 2:}}\\
In dieser Lösungsvariante nutzt man den Lehrsatz aus:
\[ \vec a,\ \vec b \textnormal{ und }\vec c \textnormal{ komplanar}
\quad \Leftrightarrow \quad \det \left( \vec a, \vec b, \vec c \right) =0 \]
Diese Determinante wird aufgestellt und gleich Null gesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
\det \left( \vec a, \vec b, \vec c \right)&=&0 \\
\left|\begin{array}{ccc}
x &-2 & 3 \\
-3& 6 & 1 \\
20& 1 & 0 \\
\end{array} \right|&=&0 \\
\left|\begin{array}{ccc}
x &-2 & 3 \\
-3& 6 & 1 \\
20& 1 & 0 \\
\end{array} \right|
\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
x &-2 \\
-3& 6 \\
20& 1 \\
\end{array}}&=&0 \\
-40-9-360-x&=&0 \\
-409&=&x \\
x&=&-409 \\
\end{array}\]
Aus beiden Lösungsvarianten ergibt sich:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x=-409$}\quad \textcolor{red}{(20)}

\paragraph{c)}
Die Länge eines Vektors ist sein Betrag.
\[ \left|\vec b \right|= \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}= \sqrt{(-2)^2+6^2+1^2}
  = \sqrt{41}\approx 6,403 \]
Die Länge von $\vec b$ beträgt etwa:
\fcolorbox{red}{yellow}{6,403 Längeneinheiten}\quad \textcolor{red}{(5)}

\newpage  %----------------------------
\paragraph{d)}
Der Winkel kann mit Hilfe der nachfolgenden Grundformel berechnet werden:
\[\vec a \cdot \vec b=\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right|
   \cdot \cos \angle \vec a \vec b \]
Mit den vorgegebenen Daten heißt das:
\[\begin{array}{rcll}
\vec a \cdot \vec c&=&\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec c\right|
   \cdot \cos \varphi \\
\cos \varphi&=&\cfrac{\vec a \cdot \vec c}
  {\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec c\right|}\\
\varphi&=&\arccos \cfrac{\vec a \cdot \vec c}
  {\left|\vec a\right| \cdot \left|\vec c\right|}\\
&=&\arccos \cfrac{a_1 \cdot c_1+a_2 \cdot c_2+a_3 \cdot c_3}
{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \cdot \sqrt{c_1^2+c_2^2+c_3^2}}\\
&=&\arccos \cfrac{-409 \cdot 3+(-3) \cdot 1+20 \cdot 0}
{\sqrt{(-409)^2+(-3)^2+20^2} \cdot \sqrt{3^2+1^2+0^2}}\\
&=&\arccos \cfrac{-1\,227-3}{\sqrt{167\,690} \cdot \sqrt{10}}\\
&=&\arccos \cfrac{-1\,230}{\sqrt{1\,676\,900}}\\
&\approx&\arccos (-0,9498) \\
\varphi&\approx&161,78°\\
\end{array}\]
Der Winkel zwischen $\vec a$ und $\vec c$ beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 161,78°$}\quad \textcolor{red}{(15)}

\end{document}


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%\caption{Bildunterschrift}
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