\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\usepackage[right]{eurosym}
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\section*{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(0,0)(6,7)
   \psline[linestyle=none,fillstyle=vlines*]{-}(1,7)(0.7,7)(0.7,0)(1,0)
   \psline{-}(1,7)(1,0)
   \psline{-}(1,6)(5,6)(5,1)(1,1)
   \rput{90}(5.3,3.5){$a$}
   \uput{0.2}[-90](3,1){$b$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Grundriss des Lagers}}
\end{wrapfigure}
An ein bereits errichtetes Haus soll ein Lagerraum mit rechteckigem Grundriss
und einem Flachdach angebaut werden. Der Raum soll 2,5 Meter hoch sein und eine
Grundfläche von $\unit[12]{m}^2$ haben.\\ \\

Bestimmen Sie die Länge $a$ und die Breite $b$ so, dass möglichst geringe
Kosten entstehen.\\ \\

Folgende Kosten entstehen im einzelnen für nachfolgend aufgelistete
Posten:\\ \\ \\

\begin{itemize}
\item Dach und Bodenplatte von zusammen für \EUR{250,-} je m$^2$
\item Wände mit \EUR{76,80} je m$^2$
\item Befestigung des Daches an der Hauswand einschließlich Abdichtung mit
  \EUR{8,-} je laufendem Meter
\item Türdurchbruch einschließlich Tür in der bereits bestehenden Hauswand von
  \EUR{850,-}
\end{itemize}
Bestimmen Sie die optimalen Werte für die Länge $a$ und die Breite $b$ sowie
die Gesamtkosten $K$.

\newpage
\subsection*{Lösung Aufgabe 3:\quad \textcolor{red}{(50)}}
\paragraph*{Hauptbedingung:}
\begin{eqnarray*}
K&=&\overbrace{\unit[12]{m}^2 \cdot 250\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}^2}}^
{\textnormal{Dach + Boden}}+\overbrace{(a+2b) \cdot \unit[2,5]{m} \cdot
76,8\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}^2}}^{\textnormal{Wände}}
+\overbrace{a \cdot 8\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}}^{\textnormal{Dachbef.}}
+\overbrace{\textnormal{\EUR{850}}}^{\textnormal{Tür}}
\quad \textcolor{red}{(10)}\\
&=&\textnormal{\EUR{3000}}+192\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +384\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}b+8\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +850\textnormal{\euro{}}\\
K&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a+384\frac{\textnormal{\euro{}}}
  {\unit{m}}b+\textnormal{\EUR{3850}}\quad \textcolor{red}{(5)}
\end{eqnarray*}
\paragraph*{Nebenbedingung:}
\begin{eqnarray*}
a \cdot b&=&A \quad \textcolor{red}{(5)}\\
a \cdot b&=&\unit[12]{m}^2 \\
b&=&\frac{\unit[12]{m}^2}{a} \quad \textcolor{red}{(5)}\\
\end{eqnarray*}
Einsetzen der umgestellten Nebenbedingung in die Hauptbedingung:
\begin{eqnarray*}
K(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +384\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}\frac{\unit[12]{m}^2}{a}
  +\textnormal{\EUR{3850}}\\
K(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +4608\frac{\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{a}+\textnormal{\EUR{3850}}\\
K(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +4608\textnormal{\euro{}}\unit{m}a^{-1}+\textnormal{\EUR{3850}}
  \quad \textcolor{red}{(5)}\\
K'(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}
  -4608\textnormal{\euro{}}\unit{m}a^{-2}\\
K'(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}
  -\frac{4608\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{a^2}\quad \textcolor{red}{(5)}\\
0&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}
  -\frac{4608\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{a^2}\quad|
   \cdot \frac{a^2\unit{m}}{\textnormal{\euro{}}} \\
0&=&200a^2-\unit[4608]{m}^2 \quad|+\unit[4608]{m}^2 \\
\unit[4608]{m}^2&=&200a^2 \quad|:200 \\
\unit[23,04]{m}^2&=&a^2 \quad| \sqrt{\ }\\
a_{1/2}&=&\pm \unit[4,8]{m} \\
a_1=\unit[4,8]{m} && a_2=-\unit[4,8]{m}\\
\end{eqnarray*}
Der negative Wert $a_2=-\unit[4,8]{m}$ entfällt, es bleibt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$a_1=\unit[4,8]{m}$}\quad \textcolor{red}{(5)}\\

Mit Hilfe der zweiten Ableitung erfolgt die Prüfung, ob tatsächlich ein Minimum
vorliegt.
\begin{eqnarray*}
K'(a)&=&200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}
  -4608\textnormal{\euro{}}\unit{m}a^{-2}\\
K''(a)&=&9216\textnormal{\euro{}}\unit{m}a^{-3}\quad \textcolor{red}{(2)}\\
K''(a)&=&\frac{9216\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{a^3}\\
K''(\unit[4,8]{m})&=&\frac{9216\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{(\unit[4,8]{m})^3}\\
K''(\unit[4,8]{m})&=&\frac{250\textnormal{\euro{}}}{\unit[3]{m}^2}
 \approx 83,3\frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}^2}>0
 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Minimum}\quad \textcolor{red}{(3)}\\
\end{eqnarray*}
Die fehlenden Werte $b$ und $K$ werden berechnet:
\[b=\frac{\unit[12]{m}^2}{a}=\frac{\unit[12]{m}^2}{\unit[4,8]{m}}=\unit[2,5]{m}
 \quad \textcolor{red}{(2)}\]
\[K=200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}a
  +4608\frac{\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{a}+\textnormal{\EUR{3850}}
  =200 \frac{\textnormal{\euro{}}}{\unit{m}}4,8m
  +4608\frac{\textnormal{\euro{}}\unit{m}}{4,8m}+\textnormal{\EUR{3850}}
  =5770\textnormal{\euro{}}\quad \textcolor{red}{(3)}\]



\end{document}

%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
