\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Wurzelgleichungen}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Grundlagen}
Beim Lösen mathematischer Probleme stößt man gelegentlich auch auf
Gleichungen, die eine oder auch mehrere Quadratwurzeln enthalten. Diese
Gleichungen nennt man \textbf{\emph{Wurzelgleichungen}}. Hier ein Beispiel:
\[5+\sqrt{5x-1}=x\]
Im folgenden möchte ich Strategien vorstellen, wie man solche Gleichungen lösen
kann.\\

Die erste Idee, die mancher vielleicht hat, lautet:"`Man müsste die Gleichung
quadrieren, dann ist die Wurzel weg."' Leider klappt das nur, wenn man auf
diese Weise die Binomischen Formeln missachtet:
\[\begin{array}{rcll}
5+\sqrt{5x-1}&=&x &|\ ( \ )^2 \\
25+(5x-1)&=&x^2 \\
\end{array}\]
Leider ist das falsch. Es gibt nämlich keine Formel, die lauten würde:
\mbox{$(a+b)^2=a^2+b^2$}. Richtig hingegen ist:  \mbox{$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$}.
Beachtet man diese Formel, erhält man:
\[\begin{array}{rcll}
5+\sqrt{5x-1}&=&x &|\ ( \ )^2 \\
25+10 \cdot \sqrt{5x-1}+(5x-1)&=&x^2 \\
\end{array}\]
Das hilft also nicht weiter. Es ist immer noch eine Wurzel da. Abhilfe ist
jedoch möglich, wenn man vor dem Quadrieren dafür sorgt, dass die Wurzel allein
auf einer Seite steht:
\[\begin{array}{rcll}
5+\sqrt{5x-1}&=&x &|-5 \\
\sqrt{5x-1}&=&x-5 &|\ (\ )^2 \\
5x-1&=&x^2-10x+25 \\
\end{array}\]
Jetzt haben wir eine "`normale"' Quadratische Gleichung\footnote{Eine Anleitung
zum Lösen Quadratischer Gleichungen (einschließlich Übungsaufgaben mit
Lösungen) ist hier zu finden:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
erhalten, die keine Wurzel mehr enthält. Diese kann nun gelöst werden:
\[\begin{array}{rcll}
5x-1&=&x^2-10x+25 &|-5x+1 \\
0&=&x^2-15x+26 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{15}{2}\pm \sqrt{ \left(-\cfrac{15}{2}\right)^2-26}\\
&=&\cfrac{15}{2}\pm \sqrt{\cfrac{225}{4}-\cfrac{104}{4}}\\
&=&\cfrac{15}{2}\pm \cfrac{11}{2}\\
x_1=\cfrac{4}{2}=2 && x_2=\cfrac{26}{2}=13 \\
\end{array}\]
Offenbar haben wir die Lösungsmenge  \mbox{$L=\{2;13\}$}.\\

Führen wir sicherheitshalber einmal eine Probe durch. Beginnen wir mit
\mbox{$x_1=2$}.
\[\begin{array}{rcll}
5+\sqrt{5x-1}&=&x \\
5+\sqrt{5 \cdot 2-1}&=&2 \\
5+\sqrt{9}&=&2 \\
5+3&\not=&2 \\
\end{array}\]
Nanu, was ist denn da passiert? Die Probe geht \textbf{nicht} auf! Haben wir
etwa einen Rechenfehler gemacht? Führen wir vor weiteren Überlegungen erst noch
die Probe mit  \mbox{$x_2=13$} durch.
\[\begin{array}{rcll}
5+\sqrt{5x-1}&=&x \\
5+\sqrt{5 \cdot 13-1}&=&13 \\
5+\sqrt{64}&=&13 \\
5+8&=&13 \\
\end{array}\]
Erstaunlicherweise(?) geht diesmal die Probe auf, haben wir uns doch nicht
verrechnet?\\

Sehen wir uns das Ergebnis der Probe mit \mbox{$x_1=2$} einmal genau an. Wenn
vor der Wurzel ein Minuszeichen gestanden hätte, dann würde die letzte Zeile
lauten:
\[5-3=2\]
Das wäre richtig. Im Schritt 2, in dem wir die Gleichung (und damit auch die
Wurzel) quadriert haben, wäre dieses Minuszeichen vor der Wurzel
"`wegquadriert"' worden. Zeile 3 hätten wir also sowohl mit einem Pluszeichen,
als auch mit einem Minuszeichen vor der Wurzel erhalten. \textbf{Wir haben also
durch das Quadrieren eine Gleichung erhalten, die \emph{mehr Lösungen} als die
Originalgleichung hat.} Dieser Schritt war nämlich keine sogenannte
\emph{Äquivalenzumformung}.\\

Was lernen wir daraus? Bei der Lösung von Wurzelgleichungen erhalten wir
möglicherweise mehr Lösungen, als tatsächlich die Wurzelgleichung erfüllen.
Daraus ergibt sich folgender Merksatz:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Man muss nach dem Lösen einer Wurzelgleichung \textbf{stets} eine Probe
machen.}
\end{center}

\newpage %--------------------------------------------------
\section{Übungsaufgaben}
Hier sind einige Übungsaufgaben zu Wurzelgleichungen zusammengestellt.
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der Gleichungen! Denken Sie daran, dass vor
Festlegung der Lösungsmenge die Proben erforderlich sind!\\

Die durchgerechneten Lösungen zu diesen Aufgaben finden Sie im nächsten
\ifpdf \hyperlink{loesung}{Hauptkapitel}\fi.\\

\subsection{Aufgabe 1}
\[2+\sqrt{3x-2}=5x-6\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\sqrt{7x+15}=\sqrt{2x-5}+5\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[x+2+\sqrt{24x-72}=5-x\]
\subsection{Aufgabe 4}
\[ \sqrt{2x+4}-\sqrt{5x+1}=\sqrt{2x+16}-\sqrt{5x+9}\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[ \sqrt{5x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{2x-5}\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[4 \cdot \sqrt{3x+4}-4 \cdot \sqrt{4x+1}
  =\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}} \]
\subsection{Aufgabe 7}
\[x-\sqrt{33-x^2-4x}=5\]
\subsection{Aufgabe 8}
\[ \sqrt{\sqrt{5x+4}-\sqrt{2x-1}}=2\]
\subsection{Aufgabe 9}
\[ \sqrt{2x-1}+\sqrt{6x+3}=\sqrt{11x+5}\]
\subsection{Aufgabe 10}
\[2x-26 \cdot \sqrt{x}+72=0\]
\subsection{Aufgabe 11}
\[2x-3 \cdot \sqrt{x}=2\]
\subsection{Aufgabe 12}
\[ \sqrt{x+3}+\sqrt{2x+5}=2 \]
\subsection{Aufgabe 13}
\[ \sqrt{x+4}=\sqrt{2x-1}+6\]
\subsection{Aufgabe 14}
\[30x-16 \cdot \sqrt{x}+2=0\]
\subsection{Aufgabe 15}
\[ \sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}=\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}\]
\subsection{Aufgabe 16}
\[ \sqrt{\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}-1}=3\]
\subsection{Aufgabe 17}
\[3x-\sqrt{2x+30}+17=0\]
\subsection{Aufgabe 18}
\[\sqrt{7x-3}+\sqrt{6x+12}=1\]
\subsection{Aufgabe 19}
\[\cfrac{2}{\sqrt{x+6}}+\sqrt{x+6}=\cfrac{\sqrt{11-5x}}{2 \cdot \sqrt{x+6}}\]
\subsection{Aufgabe 20}
\[\sqrt{5x+6}-\sqrt{2x+6}=\sqrt{10-6x}-\sqrt{5x+6}\]

\newpage %--------------------------------------------------
\ifpdf \hypertarget{loesung}{}\fi
\section{Musterlösungen zu den Übungsaufgaben}
Hier finden Sie die durchgerechneten Lösungen zu allen Aufgaben.

\subsection{Lösung Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
2+\sqrt{3x-2}&=&5x-6 &|-2 \\
\sqrt{3x-2}&=&5x-8 &|\ (\ )^2 \\
3x-2&=&25x^2-80x+64 &|-3x+2 \\
0&=&25x^2-83x+66 &|:25 \\
0&=&x^2-\cfrac{83}{25}x+\cfrac{66}{25} &| \textnormal{ p-q-Formel}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{83}{50}\pm
  \sqrt{\cfrac{6\,889}{2\,500}-\cfrac{6\,600}{2\,500}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{83}{50}\pm \cfrac{17}{50}\\
x_1=\cfrac{66}{50}=1{,}32 &&x_2=\cfrac{100}{50}=2 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=1{,}32}$}:}}
\[\begin{array}{rcl}
2+\sqrt{3x-2}&=&5x-6 \\
2+\sqrt{3 \cdot 1{,}32-2}&=&5 \cdot 1{,}32-6 \\
2+\sqrt{1{,}96}&=&0{,}6 \\
2+1{,}4&\not=&0{,}6 \\
\end{array}\]
\mbox{$x_1=1{,}32$} ist \textbf{keine} Lösung!\\

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=2}$}:}}
\[\begin{array}{rcl}
2+\sqrt{3x-2}&=&5x-6 \\
2+\sqrt{3 \cdot 2-2}&=&5 \cdot 2-6 \\
2+\sqrt{4}&=&4 \\
2+2&=&4 \\
\end{array}\]
\mbox{$x_2=2$} ist eine Lösung!\\

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{2\}$}


\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 2}
\[\sqrt{7x+15}=\sqrt{2x-5}+5\]
In dieser Aufgae haben wir sogar \textbf{zwei} Wurzeln! Leider ist es nicht
möglich, beide Wurzeln \textbf{gleichzeitig} in einem Schritt zu eliminieren.
Da eine Wurzel allein auf einer Seite steht, kann jedoch quadriert werden, um
die linke Wurzel loszuwerden.
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7x+15}&=&\sqrt{2x-5}+5 &|\ (\ )^2 \\
7x+15&=&(2x-5)+10 \cdot \sqrt{2x-5}+25 \\
7x+15&=&2x+20+10 \cdot \sqrt{2x-5} &|-2x-20 \\
5x-55&=&10 \cdot \sqrt{2x-5} &|:5 \\
x-1&=&2 \cdot \sqrt{2x-5} &|\ (\ )^2 \\
x^2-2x+1&=&4 \cdot (2x-5) \\
x^2-2x+1&=&8x-20 &|-8x+20 \\
x^2-10x+21&=&0 &| \textnormal{ p-q-Formel}\\
x_{1/2}&=&5 \pm \sqrt{25-21}\\
x_{1/2}&=&5 \pm 2 \\
x_1=3 && x_2=7 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=3}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7x+15}&=&\sqrt{2x-5}+5 \\
\sqrt{7 \cdot 3+15}&=&\sqrt{2 \cdot 3-5}+5 \\
\sqrt{36}&=&\sqrt{1}+5 \\
6&=&1+5 \\
\end{array}\]
\mbox{$x_1=3$} ist eine Lösung.\\

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=7}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7x+15}&=&\sqrt{2x-5}+5 \\
\sqrt{7 \cdot 7+15}&=&\sqrt{2 \cdot 7-5}+5 \\
\sqrt{64}&=&\sqrt{9}+5 \\
8&=&3+5 \\
\end{array}\]
\mbox{$x_2=7$} ist (auch) eine Lösung.\\

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{3;7\}$}

\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
x+2+\sqrt{24x-72}&=&5-x &|-x-2 \\
\sqrt{24x-72}&=&3-2x &|\ (\ )^2 \\
24x-72&=&9-12x+4x^2 &|-24x+72 \\
0&=&4x^2-36x+81 &|:4 \\
0&=&x^2-9x+\cfrac{81}{4}&| \textnormal{ p-q-Formel}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{9}{2}\pm \sqrt{\cfrac{81}{4}-\cfrac{81}{4}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{9}{2}\pm 0 \\
x&=&4{,}5 \\
\end{array}\]
\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x=4{,}5}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
x+2+\sqrt{24x-72}&=&5-x \\
4{,}5+2+\sqrt{24 \cdot 4{,}5-72}&=&5-4{,}5 \\
6{,}5+\sqrt{36}&=&0{,}5 \\
6{,}5+6&\not=&0{,}5 \\
\end{array}\]
Es gibt \textbf{keine} Lösung für die Gleichung, die Lösungsmenge lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}

\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 4}
\[ \sqrt{2x+4}-\sqrt{5x+1}=\sqrt{2x+16}-\sqrt{5x+9}\]
Hier haben wir gleich 4 Wurzeln! Durch Quadrieren kann man aber deren Zahl auf
2 reduzieren.
{\footnotesize \[\begin{array}{rcl}
\sqrt{2x+4}-\sqrt{5x+1}&=&\sqrt{2x+16}-\sqrt{5x+9} \quad|\ (\ )^2 \\
2x+4-2 \cdot \sqrt{2x+4} \cdot \sqrt{5x+1}+5x+1&=&
  2x+16-2 \cdot \sqrt{2x+16} \cdot \sqrt{5x+9}+5x+9 \\
7x+5-2 \cdot \sqrt{(2x+4) \cdot (5x+1)}&=&
  7x+25-2 \cdot \sqrt{(2x+16) \cdot (5x+9)}\\
7x+5-2 \cdot \sqrt{10x^2+2x+20x+4}&=&7x+25-2 \cdot \sqrt{10x^2+18x+80x+144}
  \quad |-7x-5 \\
-2 \cdot \sqrt{10x^2+22x+4}&=&20-2 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144}
  \quad |\ (\ )^2 \\
4 \cdot (10x^2+22x+4)&=&400-80 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144}
  +4 \cdot (10x^2+98x+144) \\
40x^2+88x+16&=&400-80 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144}+40x^2+392x+576
  \quad |-40x^2 \\
88x+16&=&-80 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144}+392x+976 \quad|-392x-976 \\
-304x-960&=&-80 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144} \quad|:(-16) \\
19x+60&=&5 \cdot \sqrt{10x^2+98x+144} \quad|\ (\ )^2 \\
361x^2+2\,280x+3\,600&=&25 \cdot (10x^2+98x+144) \\
361x^2+2\,280x+3\,600&=&250x^2+2\,450x+3\,600 \quad|-250x^2-2\,450x-3\,600 \\
111x^2-170x&=&0 \quad|:111 \\
x^2-\cfrac{170}{111}x&=&0 \\
x \cdot \left(x-\cfrac{170}{111}\right)&=&0 \\
x_1=0&& x_2=\cfrac{170}{111}\\
\end{array}\] }

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=0}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{2 \cdot 0+4}-\sqrt{5 \cdot 0+1}&=&\sqrt{2 \cdot 0+16}-\sqrt{5 \cdot 0+9}\\
\sqrt{4}-\sqrt{1}&=&\sqrt{16}-\sqrt{9}\\
2-1&=&4-3 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=\frac{170}{111}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{2 \cdot \cfrac{170}{111}+4}-\sqrt{5 \cdot \cfrac{170}{111}+1}
  &=&\sqrt{2 \cdot \cfrac{170}{111}+16}-\sqrt{5 \cdot \cfrac{170}{111}+9}\\
\sqrt{\cfrac{784}{111}}-\sqrt{\cfrac{961}{111}}
  &=&\sqrt{\cfrac{2\,116}{111}}-\sqrt{\cfrac{1\,849}{111}}\\
\cfrac{28}{\sqrt{111}}-\cfrac{31}{\sqrt{111}}
  &=&\cfrac{46}{\sqrt{111}}-\cfrac{43}{\sqrt{111}}\\
-\cfrac{3}{\sqrt{111}}&\not=&\cfrac{3}{\sqrt{111}}\\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{0\}$}

\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 5}
\[ \sqrt{5x+1}+\sqrt{4x-3}=\sqrt{2x-5}\]
Hier kann sofort quadriert werden.
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x-3}&=&\sqrt{2x-5} &|(\ )^2 \\
5x+1+2 \cdot \sqrt{(5x+1) \cdot (4x-3)}+4x-3&=&2x-5 &|-9x+2 \\
2 \cdot \sqrt{20x^2-15x+4x-3}&=&-7x-3 &|(\ )^2 \\
4 \cdot (20x^2-11x-3)&=&49x^2+42x+9 \\
80x^2-44x-12&=&49x^2+42x+9 &|-49x^2-42x-9 \\
31x^2-86x-21&=&0 &|:31 \\
x^2-\cfrac{86}{31}x-\cfrac{21}{31}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{43}{31}\pm \sqrt{\cfrac{1\,849}{961}+\cfrac{651}{961}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{43}{31}\pm \sqrt{\cfrac{2\,500}{961}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{43}{31}\pm \cfrac{50}{31}\\
x_1=-\cfrac{7}{31}&&x_2=3 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-\frac{7}{31}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x-3}&=&\sqrt{2x-5}\\
\sqrt{5 \cdot \left(-\frac{7}{31} \right)+1}
  +\sqrt{4 \cdot \left(-\frac{7}{31} \right)-3}
  &=&\sqrt{2 \cdot \left(-\frac{7}{31} \right)-5}\\
\sqrt{-\frac{4}{31}}+\sqrt{-\frac{121}{31}}&=&\sqrt{-\frac{169}{31}}
\end{array}\]
Da die Wurzeln alle keine (reelle) Lösung haben, ist
 \mbox{$x_1=-\frac{7}{31}$} keine Lösung.\\

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=3}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5x+1}+\sqrt{4x-3}&=&\sqrt{2x-5}\\
\sqrt{5 \cdot 3+1}+\sqrt{4 \cdot 3-3}&=&\sqrt{2 \cdot 3-5}\\
\sqrt{16}+\sqrt{9}&=&\sqrt{1}\\
4+3&\not=&1 \\
\end{array}\]
Auch \mbox{$x_2=3$} erfüllt nicht die Gleichung.\\

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}

\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 6}
\[4 \cdot \sqrt{3x+4}-4 \cdot \sqrt{4x+1}
  =\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}}\]
Es sollt auffallen, dass der Nenner des Bruches annähernd identisch mit der
linken Gleichungsseite ist. Nur das Rechenzeichen dazwischen ist anders.
Multipliziert man nun die Gleichung mit dem (rechten) Nenner, dann löst die
dritte Binomische Formel links alle Wurzeln auf.
\[\begin{array}{rcll}
4 \cdot \sqrt{3x+4}-4 \cdot \sqrt{4x+1}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}}\\
4 \cdot \left(\sqrt{3x+4}- \sqrt{4x+1}\right)
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}}
  &| \cdot \left(\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}\right) \\
4 \cdot \bigl( (3x+4)-(4x+1)\bigr)&=&4 \cdot \sqrt{3x+4}-1 \\
4 \cdot (3x+4-4x-1)&=&4 \cdot \sqrt{3x+4}-1 \\
4 \cdot (-x+3)&=&4 \cdot \sqrt{3x+4}-1 \\
-4x+12&=&4 \cdot \sqrt{3x+4}-1 &|+1 \\
-4x+13&=&4 \cdot \sqrt{3x+4} &|\ (\ )^2 \\
16x^2-104x+169&=&16 \cdot (3x+4) \\
16x^2-104x+169&=&48x+64 &|-48x-64 \\
16x^2-152x+105&=&0 &|:16 \\
x^2-\cfrac{19}{2}+\cfrac{105}{16}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{19}{4}\pm \sqrt{\cfrac{361}{16}-\cfrac{105}{16}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{19}{4}\pm \sqrt{\cfrac{256}{16}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{19}{4}\pm \cfrac{16}{4}\\
x_1=\cfrac{3}{4}&&x_2=\cfrac{35}{4}\\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=\frac{3}{4}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
4 \cdot \sqrt{3x+4}-4 \cdot \sqrt{4x+1}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}}\\
4 \cdot \sqrt{3 \cdot \frac{3}{4}+4}-4 \cdot \sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}+1}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3 \cdot \frac{3}{4}+4}-1}
  {\sqrt{3 \cdot \frac{3}{4}+4}+\sqrt{4 \cdot \frac{3}{4}+1}}\\
4 \cdot \sqrt{\cfrac{25}{4}}-4 \cdot \sqrt{4}&=&
  \cfrac{4 \cdot \sqrt{\frac{25}{4}}-1}{\sqrt{\frac{25}{4}}+\sqrt{4}}\\
4 \cdot \cfrac{5}{2}-4 \cdot 2&=&
  \cfrac{4 \cdot \frac{5}{2}-1}{\frac{5}{2}+2}\\
10-8&=&\cfrac{9}{\frac{9}{2}}\\
2&=&2 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=\frac{35}{4}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
4 \cdot \sqrt{3x+4}-4 \cdot \sqrt{4x+1}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3x+4}-1}{\sqrt{3x+4}+\sqrt{4x+1}}\\
4 \cdot \sqrt{3 \cdot \frac{35}{4}+4}-4 \cdot \sqrt{4 \cdot \frac{35}{4}+1}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{3 \cdot \frac{35}{4}+4}-1}
  {\sqrt{3 \cdot \frac{35}{4}+4}+\sqrt{4 \cdot \frac{35}{4}+1}}\\
4 \cdot \sqrt{\cfrac{121}{4}}-4 \cdot \sqrt{36}
  &=&\cfrac{4 \cdot \sqrt{\frac{121}{4}}-1}
  {\sqrt{\frac{121}{4}}+\sqrt{36}}\\
4 \cdot \cfrac{11}{2}-4 \cdot 6&=&
  \cfrac{4 \cdot \frac{11}{2}-1}{\frac{11}{2}+6}\\
22-24&=&\cfrac{21}{\frac{23}{2}}\\
-2&\not=&\cfrac{42}{23}
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{\frac{3}{4}\right\}$}

\newpage %--------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rcll}
x-\sqrt{33-x^2-4x}&=&5 &|-x \\
-\sqrt{33-x^2-4x}&=&5-x &|\ (\ )^2 \\
33-x^2-4x&=&25-10x+x^2 &|-33+x^2+4x \\
0&=&2x^2-6x-8 &|:2 \\
0&=&x^2-3x-4 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{3}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9}{4}+\cfrac{16}{4}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{3}{2}\pm \cfrac{5}{2}\\
x_1=-1 && x_2=4 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-1}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
x-\sqrt{33-x^2-4x}&=&5 \\
-1-\sqrt{33-(-1)^2-4 \cdot (-1)}&=&5 \\
-1-6&\not=&5 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=4}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
x-\sqrt{33-x^2-4x}&=&5 \\
4-\sqrt{33-4^2-4 \cdot 4}&=&5 \\
4-1&\not=&5 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}
\newpage %---------------------

\subsection{Lösung Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{\sqrt{5x+4}-\sqrt{2x-1}}&=&2 &|\ (\ )^2 \\
\sqrt{5x+4}-\sqrt{2x-1}&=&4 &|\ (\ )^2 \\
5x+4-2 \cdot \sqrt{(5x+4) \cdot (2x-1)}+2x-1&=&16 \\
7x+3-2 \cdot \sqrt{10x^2-5x+8x-4}&=&16 &|-7x-3 \\
-2 \cdot \sqrt{10x^2+3x-4}&=&-7x+13 &|\ (\ )^2 \\
4 \cdot (10x^2+3x-4)&=&49x^2-182x+169 \\
40x^2+12x-16&=&49x^2-182x+169 &|-40x^2-12x+16 \\
0&=&9x^2-194x+185 &|:9 \\
0&=&x^2-\cfrac{194}{9}x+\cfrac{185}{9}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{9}\pm \sqrt{\cfrac{9\,409}{81}-\cfrac{1\,665}{81}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{9}\pm \cfrac{88}{9}\\
x_1=\cfrac{185}{9} && x_2=1 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=\frac{185}{9}}$}:}}
\[\begin{array}{rcl}
\sqrt{\sqrt{5x+4}-\sqrt{2x-1}}&=&2 \\
\sqrt{\sqrt{5 \cdot \cfrac{185}{9}+4}-\sqrt{2 \cdot \cfrac{185}{9}-1}}&=&2 \\
\sqrt{\sqrt{\cfrac{961}{9}}-\sqrt{\cfrac{361}{9}}}&=&2 \\
\sqrt{\cfrac{31}{3}-\cfrac{19}{3}}&=&2 \\
\sqrt{\cfrac{12}{3}}&=&2 \\
\sqrt{4}&=&2 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=1}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{\sqrt{5x+4}-\sqrt{2x-1}}&=&2 \\
\sqrt{\sqrt{5 \cdot 1+4}-\sqrt{2 \cdot 1-1}}&=&2 \\
\sqrt{\sqrt{9}-\sqrt{1}}&=&2 \\
\sqrt{3-1}&=&2 \\
\sqrt{2}&\not=&2 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{\frac{185}{9}\right\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{2x-1}+\sqrt{6x+3}&=&\sqrt{11x+5} &|\ (\ )^2 \\
2x-1+2 \cdot \sqrt{(2x-1) \cdot (6x+3)}+6x+3&=&11x+5 \\
8x+2+2 \cdot \sqrt{12x^2+6x-6x-3}&=&11x+5 &|-8x-2 \\
2 \cdot \sqrt{12x^2-3}&=&3x+3 &|\ (\ )^2 \\
4 \cdot (12x^2-3)&=&9x^2+18x+9 \\
48x^2-12&=&9x^2+18x+9 &|-9x^2-18x-9 \\
39x^2-18x-21&=&0 &|:39 \\
x^2-\cfrac{6}{13}x-\cfrac{7}{13}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{3}{13}\pm \sqrt{\cfrac{9}{169}+\cfrac{91}{169}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{3}{13}\pm \cfrac{10}{13}\\
x_1=-\cfrac{7}{13} && x_2=1 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-\frac{7}{13}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{2x-1}+\sqrt{6x+3}&=&\sqrt{11x+5} \\
\sqrt{2 \cdot \left(-\frac{7}{13} \right)-1}
  +\sqrt{6 \cdot \left(-\frac{7}{13} \right)+3}
  &=&\sqrt{11 \cdot \left(-\frac{7}{13} \right)+5} \\
\sqrt{-\frac{27}{13}}+\sqrt{-\frac{3}{13}}&=&\sqrt{-\frac{12}{13}}\\
\end{array}\]
Keine der Wurzeln hat eine (reelle) Lösung. Daher gehört $x_1$ \textbf{nicht}
zur Lösungsmenge.\\

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=1}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{2x-1}+\sqrt{6x+3}&=&\sqrt{11x+5} \\
\sqrt{2 \cdot 1-1}+\sqrt{6 \cdot 1+3}&=&\sqrt{11 \cdot 1+5} \\
\sqrt{1}+\sqrt{9}&=&\sqrt{16}\\
1+3&=&4 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{1\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rcll}
2x-26 \cdot \sqrt{x}+72&=&0 &|+26 \cdot \sqrt{x}\\
2x+72&=&26 \cdot \sqrt{x} &|\ (\ )^2 \\
4x^2+288x+5\,184&=&676x &|-676x \\
4x^2-388x+5\,184&=&0 &|:4 \\
x^2-97x+1\,296&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9\,409}{4}-1\,296}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9\,409}{4}-\cfrac{5\,184}{4}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{2}\pm \sqrt{\cfrac{4\,255}{4}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{97}{2}\pm \cfrac{65}{2}\\
x_1=16 && x_2=81 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=16}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
2x-26 \cdot \sqrt{x}+72&=&0 \\
2 \cdot 16-26 \cdot \sqrt{16}+72&=&0 \\
32-26 \cdot 4+72&=&0 \\
32-104+72&=&0 \\
0&=&0 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=81}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
2x-26 \cdot \sqrt{x}+72&=&0 \\
2 \cdot 81-26 \cdot \sqrt{81}+72&=&0 \\
162-26 \cdot 9+72&=&0 \\
162-234+72&=&0 \\
0&=&0 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{16;81\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 11}
\[\begin{array}{rcll}
2x-3 \cdot \sqrt{x}&=&2 &|+3 \cdot \sqrt{x}-2 \\
2x-2&=&3 \cdot \sqrt{x} &|\ (\ )^2 \\
4x^2-8x+4&=&9 \cdot x &|-9x \\
4x^2-17x+4&=&0 &|:4 \\
x^2-\cfrac{17}{4}x+1&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{8}\pm \sqrt{\cfrac{289}{64}-1}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{8}\pm \sqrt{\cfrac{289}{64}-\cfrac{64}{64}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{8}\pm \sqrt{\cfrac{225}{64}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{8}\pm \cfrac{15}{8}\\
x_1=\cfrac{1}{4} && x_2=4 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=\frac{1}{4}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
2x-3 \cdot \sqrt{x}&=&2 \\
2 \cdot \cfrac{1}{4}-3 \cdot \sqrt{\cfrac{1}{4}}&=&2 \\
\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2}&\not=&2 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=4}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
2x-3 \cdot \sqrt{x}&=&2 \\
2 \cdot 4-3 \cdot \sqrt{4}&=&2 \\
8-6&=&2 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{4\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 12}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+5}&=&2 &|\ (\ )^2 \\
x+3+2 \cdot \sqrt{(x+3) \cdot (2x+5)}+2x+5&=&4 \\
3x+8+2 \cdot \sqrt{2x^2+5x+6x+15}&=&4 \\
3x+8+2 \cdot \sqrt{2x^2+11x+15}&=&4 &|-3x-8 \\
2 \cdot \sqrt{2x^2+11x+15}&=&-3x-4 &|\ (\ )^2 \\
4 \cdot (2x^2+11x+15)&=&9x^2+24x+16 \\
8x^2+44x+60&=&9x^2+24x+16 &|-8x^2-44x-60 \\
0&=&x^2-20x-44 \\
x_{1/2}&=&10\pm \sqrt{100+44}\\
x_{1/2}&=&10\pm 12 \\
x_1=-2 && x_2=22 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-2}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+5}&=&2 \\
\sqrt{-2+3}+\sqrt{2 \cdot (-2)+5}&=&2 \\
1+1&=&2 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=22}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+5}&=&2 \\
\sqrt{22+3}+\sqrt{2 \cdot 22+5}&=&2 \\
5+7&\not=&2 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-2\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 13}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+4}&=&\sqrt{2x-1}+6 &|\ (\ )^2 \\
x+4&=&2x-1+12 \cdot \sqrt{2x-1}+36 &|-2x-35 \\
-x-31&=&12 \cdot \sqrt{2x-1} &|\ (\ )^2 \\
x^2+62x+961&=&144 \cdot (2x-1) \\
x^2+62x+961&=&288x-144 &|-288x+144 \\
x^2+226x+1\,105&=&0 \\
x_{1/2}&=&-113 \pm \sqrt{12\,769-1\,105}\\
x_{1/2}&=&113 \pm 108 \\
x_1=5 && x_2=221 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=5}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+4}&=&\sqrt{2x-1}+6 \\
\sqrt{5+4}&=&\sqrt{2 \cdot 5-1}+6 \\
3&\not=&3+6 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=221}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{x+4}&=&\sqrt{2x-1}+6 \\
\sqrt{221+4}&=&\sqrt{2 \cdot 221-1}+6 \\
15&\not=&21+6 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 14}
\[\begin{array}{rcll}
30x-16 \cdot \sqrt{x}+2&=&0 &|+16 \cdot \sqrt{x}\\
30x+2&=&16 \cdot \sqrt{x} &|\ (\ )^2 \\
900x^2+120x+4&=&256x &|-256x \\
900x^2-136x+4&=&0 &|:900 \\
x^2-\cfrac{34}{225}+\cfrac{1}{225}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{225}\pm \sqrt{\cfrac{289}{50\,625}-\cfrac{1}{225}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{225}\pm \sqrt{\cfrac{289}{50\,625}-\cfrac{225}{50\,625}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{17}{225}\pm \cfrac{8}{225}\\
x_1=\cfrac{1}{25} && x_2=\cfrac{1}{9}\\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=\frac{1}{25}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
30x-16 \cdot \sqrt{x}+2&=&0 \\
30 \cdot \cfrac{1}{25}-16 \cdot \sqrt{\cfrac{1}{25}}+2&=&0 \\
\cfrac{30}{25}-\cfrac{16}{5}+2&=&0 \\
\cfrac{6}{5}-\cfrac{16}{5}+\cfrac{10}{5}&=&0 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=\frac{1}{9}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
30x-16 \cdot \sqrt{x}+2&=&0 \\
30 \cdot \cfrac{1}{9}-16 \cdot \sqrt{\cfrac{1}{9}}+2&=&0 \\
\cfrac{30}{9}-\cfrac{16}{3}+2&=&0 \\
\cfrac{10}{3}-\cfrac{16}{3}+\cfrac{6}{3}&=&0 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{\frac{1}{25};\frac{1}{9}\right\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 15}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}&=&\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x} &|\ (\ )^2 \\
5+x-2 \cdot \sqrt{(5+x)(5-x)}+5-x
  &=&3-x-2 \cdot \sqrt{(3-x)(3+x)}+3+x \\
10-2 \cdot \sqrt{25-x^2}&=&6-2 \cdot \sqrt{9-x^2} &|-6 \\
4-2 \cdot \sqrt{25-x^2}&=&-2 \cdot \sqrt{9-x^2} &|:2 \\
2-\sqrt{25-x^2}&=&-\sqrt{9-x^2} &|\ (\ )^2 \\
4-4 \cdot \sqrt{25-x^2}+25-x^2&=&9-x^2 &|+x^2 \\
-4 \cdot \sqrt{25-x^2}+29&=&9 &|-29 \\
-4 \cdot \sqrt{25-x^2}&=&-20 &|\ (\ )^2 \\
16 \cdot (25-x^2)&=&400 \\
400-64x^2&=&400 &|-400 \\
-64x^2&=&0 &|:(-64) \\
x^2&=&0 &|\ \sqrt{\ }\\
x&=&0 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x=0}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}&=&\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}\\
\sqrt{5+0}-\sqrt{5-0}&=&\sqrt{3-0}-\sqrt{3+0}\\
\sqrt{5}-\sqrt{5}&=&\sqrt{3}-\sqrt{3}\\
0&=&0 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Probe ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{ 0 \right\}$}

\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Lösung Aufgabe 16}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}-1}&=&3 &|\ (\ )^2 \\
\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}-1&=&9 &|+1 \\
\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}&=&10 &|\ (\ )^2\\
5x+1+2 \cdot \sqrt{(5x+1) \cdot (3x-5)}+3x-5&=&100 \\
8x-4+2 \cdot \sqrt{15x^2-25x+3x-5}&=&100 &|-8x+4 \\
2 \cdot \sqrt{15x^2-22x-5}&=&-8x+104 &|:2 \\
\sqrt{15x^2-22x-5}&=&-4x+52 &|\ (\ )^2 \\
15x^2-22x-5&=&16x^2-416x+2\,704 &|-15x^2+22x+5 \\
0&=&x^2-394x+2\,709 \\
x_{1/2}&=&197 \pm \sqrt{38\,809-2\,709}\\
x_{1/2}&=&197 \pm \sqrt{36\,100}\\
x_{1/2}&=&197 \pm 190 \\
x_1=7 &&x_2=387 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=7}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}-1}&=&3 \\
\sqrt{\sqrt{5 \cdot 7+1}+\sqrt{3 \cdot 7-5}-1}&=&3 \\
\sqrt{\sqrt{36}+\sqrt{16}-1}&=&3 \\
\sqrt{6+4-1}&=&3 \\
\sqrt{9}&=&3 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=387}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{\sqrt{5x+1}+\sqrt{3x-5}-1}&=&3 \\
\sqrt{\sqrt{5 \cdot 387+1}+\sqrt{3 \cdot 387-5}-1}&=&3 \\
\sqrt{\sqrt{1\,936}+\sqrt{1\,156}-1}&=&3 \\
\sqrt{44+34-1}&=&3 \\
\sqrt{77}&\not=&3 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{7 \}$}

\newpage
\subsection{Lösung Aufgabe 17}
\[\begin{array}{rcll}
3x-\sqrt{2x+30}+17&=&0 &|+\sqrt{2x+30}\\
3x+17&=&\sqrt{2x+30} &|(\ )^2 \\
9x^2+102x+289&=&2x+30 &|-2x-30 \\
9x^2+100x+259&=&0 &|:9 \\
x^2+\cfrac{100}{9}x+\cfrac{259}{9}&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{1/2}&=&-\cfrac{50}{9}\pm \sqrt{\cfrac{2\,500}{81}-\cfrac{2\,331}{81}}\\
&=&-\cfrac{50}{9}\pm \cfrac{13}{9}\\
x_1=-\cfrac{50}{9}+\cfrac{13}{9}=-\cfrac{37}{9} &&
x_2=-\cfrac{50}{9}-\cfrac{13}{9}=-7\\
\end{array}\]\

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-\frac{37}{9}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
3 \cdot \left(-\cfrac{37}{9}\right)-\sqrt{2 \cdot \left(-\cfrac{37}{9}\right)
  +30}+17&=&0 \\
-\cfrac{111}{9}-\sqrt{-\cfrac{74}{9}+\cfrac{270}{9}}+17&=&0 \\
-\cfrac{37}{3}-\cfrac{16}{3}+17&=&0 \\
-\cfrac{51}{3}+17&=&0 \\
-17+17&=&0 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=-7}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
3 \cdot (-7)-\sqrt{2 \cdot (-7)+30}+17&=&0 \\
-21-4+17&=&0 \\
-8 &\not=& 0 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{-\frac{37}{9} \right\}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 18}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7x-3}+\sqrt{6x+12}&=&1 &|-\sqrt{6x+12}\\
\sqrt{7x-3}&=&1-\sqrt{6x+12} &|(\ )^2 \\
7x-3&=&1^2-2 \cdot \sqrt{6x+12}+(6x+12) \\
7x-3&=&1-2 \cdot \sqrt{6x+12}+6x+12 &|-6x-13 \\
x-16&=&-2 \cdot \sqrt{6x+12} &|(\ )^2 \\
x^2-32x+256&=&4 \cdot (6x+12) \\
x^2-32x+256&=&24x+48 &|-24x-48 \\
x^2-56x+208&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{1/2}&=&28 \pm \sqrt{784-208}\\
&=&28 \pm 24 \\
x_1=28+24=52 && x_2=28-24=4 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=52}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7 \cdot 52-3}+\sqrt{6 \cdot 52+12}&=&1 \\
\sqrt{361}+\sqrt{324}&=&1 \\
19+18&\not=&0 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=4}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{7 \cdot 4-3}+\sqrt{6 \cdot 4+12}&=&1 \\
\sqrt{25}+\sqrt{36}&=&1 \\
5+6&\not=&1 \\
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 19}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2}{\sqrt{x+6}}+\sqrt{x+6}&=&\cfrac{\sqrt{11-5x}}{2 \cdot \sqrt{x+6}}
  &| \cdot 2 \cdot \sqrt{x+6}\\
4+2 \cdot (x+6)&=&\sqrt{11-5x} \\
4+2x+12&=&\sqrt{11-5x} \\
2x+16&=&\sqrt{11-5x} &| (\ )^2 \\
4x^2+64x+256&=&11-5x &|-11+5x \\
4x^2+69x+245&=&0 &|:4 \\
x^2+\cfrac{69}{4}x+\cfrac{245}{4}&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{1/2}&=&-\cfrac{69}{8}\pm \sqrt{\cfrac{4\,761}{64}-\cfrac{3\,920}{64}}\\
&=&-\cfrac{69}{8}\pm \cfrac{29}{8}\\
x_1=-\cfrac{69}{8}+\cfrac{29}{8}=-5
 &&x_2=-\cfrac{69}{8}-\cfrac{29}{8}=-\cfrac{98}{8}=-\cfrac{49}{4}\\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_1=-5}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2}{\sqrt{-5+6}}+\sqrt{-5+6}
 &=&\cfrac{\sqrt{11-5 \cdot (-5)}}{2 \cdot \sqrt{-5+6}}\\
\cfrac{2}{1}+1&=&\cfrac{6}{2}\\
3&=&3 \\
\end{array}\]

\textbf{\underline{Probe mit \mbox{$\mathbf{x_2=-\frac{49}{4}}$}:}}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2}{\sqrt{-\cfrac{49}{4}+6}}+\sqrt{-\cfrac{49}{4}+6}
 &=&\cfrac{\sqrt{11-\cfrac{49}{4} \cdot \left(-\cfrac{49}{4}\right)}}
 {2 \cdot \sqrt{-\cfrac{49}{4}+6}}\\
\cfrac{2}{\sqrt{-25}}+\sqrt{-25}&=&\cfrac{\sqrt{\cfrac{2\,577}{16}}}
 {2 \cdot \sqrt{-25}}\\
\end{array}\]
An dieser Stelle muss abgebrochen werden, da bei mehreren Wurzeln der
Wurzelinhalt \textbf{negativ} ist. Es gibt keine (reellen) Lösungen.\\

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-5\}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 20}
{\small
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5x+6}-\sqrt{2x+6}&=&\sqrt{10-6x}-\sqrt{5x+6} &|+\sqrt{5x+6} \\
2 \cdot \sqrt{5x+6}-\sqrt{2x+6}&=&\sqrt{10-6x} &|(\ )^2 \\
4 \cdot (5x+6)-4 \cdot \sqrt{5x+6} \cdot \sqrt{2x+6} +(2x+6)&=&10-6x \\
20x+24-4 \cdot \sqrt{(5x+6)(2x+6)}+2x+6&=&10-6x \\
22x+30-4 \cdot \sqrt{10x^2+30x+12x+36}&=&10-6x &|-22x-30 \\
-4 \cdot \sqrt{10x^2+42x+36}&=&-28x-20 &|:(-4) \\
\sqrt{10x^2+42x+36}&=&7x+5 &|(\ )^2 \\
10x^2+42x+36&=&49x^2+70x+25 &|-49x^2-70x-25 \\
-39x^2-28x+11&=&0 &|:(-39) \\
x^2+\cfrac{28}{39}x-\cfrac{11}{39}&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{1/2}&=&-\cfrac{14}{39}\pm \sqrt{\cfrac{196}{1\,521}+\cfrac{429}{1\,521}}\\
&=&-\cfrac{14}{39}\pm \sqrt{\cfrac{625}{1\,521}}\\
x_{1/2}&=&-\cfrac{14}{39}\pm \cfrac{25}{39}\\
x_1=\cfrac{11}{39}&& x_2=\cfrac{39}{39}=1 \\
\end{array}\]
}

\underline{\textbf{Probe mit $\mathbf{x_1=\frac{11}{39}}$:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5 \cdot \cfrac{11}{39}+6}-\sqrt{2 \cdot \cfrac{11}{39}+6}
 &=&\sqrt{10-6 \cdot \cfrac{11}{39}}-\sqrt{5 \cdot \cfrac{11}{39}+6}\\
\sqrt{\cfrac{55+234}{39}}-\sqrt{\cfrac{22+234}{39}}
 &=&\sqrt{\cfrac{390-66}{39}}-\sqrt{\cfrac{55+234}{39}}\\
\cfrac{17}{39}-\cfrac{16}{39}&=&\cfrac{18}{39}-\cfrac{17}{39}\\
\cfrac{1}{39}&=&\cfrac{1}{39}\\
\end{array}\]

\underline{\textbf{Probe mit $\mathbf{x_2=1}$:}}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt{5 \cdot 1+6}-\sqrt{2 \cdot 1+6}&=&\sqrt{10-6 \cdot 1}-\sqrt{5 \cdot 1+6}\\
\sqrt{11}-\sqrt{8}&=&\sqrt{4}-\sqrt{11} \\
0{,}488\,197\,666&\not=&-1{,}316\,624\,790
\end{array}\]

Aus dem Ergebnis der Proben ergibt sich die Lösungsmenge:
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\left\{\frac{11}{39} \right\}$}


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{$$} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
