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\title{Elektromagnetische Wellen}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Grundlagen}
Wenn wir es mit höheren Frequenzen zu tun haben, dann können wir nicht mehr
ohne weiteres mit den Grundregeln der Gleichstromtechnik wie Ohmschem Gesetz
und Kirchhoffschen Regeln arbeiten. In der klassischen 50-Hz-Technik tun wir
das noch, und da klappt das in der Regel auch. Warum wir das machen können,
werden wir gleich feststellen.\\

Zum Verständnis des Folgenden benötigen wir die Grundlagen der
Wechselstromtechnik, siehe beispielsweise hier in Kapitel 2.1:
\begin{center}\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}\fi
\end{center}

Elektromagnetische Wellen breiten sich mit \textbf{Lichtgeschwindigkeit} aus.
Diese ist (in Vakuum) eine Naturkonstante und beträgt ungefähr:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$c \approx \unit[300\,000]{\cfrac{km}{s}}$}
\end{center}
Das ist eine recht große Geschwindigkeit. In einer Sekunde würde eine
Elektromagnetische Welle mehr als 7 mal die Erde umrunden, oder in 1,3 Sekunden
von der Erde bis zum Mond gelangen.\\

Um sich ein wenig vorstellen zu können, was eine Welle ist, begibt man sich am
besten ans Meer. Dort können wir Wasserwellen beobachten. Deren Geschwindigkeit
ist deutlich geringer, weshalb wir hier besser beobachten können. Sie liegt
ungefähr bei $v=\unit[2]{\frac{m}{s}}$.\\

An einer Wasserwelle können wir nun dreierlei beobachten:
\begin{itemize}
\item Wir beobachten einen Wellenberg, wie er sich weiterbewegt. Seine Bewegung
  ergibt die \textbf{Ausbreitungsgeschwindingkeit} der Welle, die wir $v$
  nennen können.
\item Wir beobachten einen kleinen schwimmenden Gegenstand auf dem Wasser,
  beispielsweise einen Korken. Wir sehen, wie sich der Korken sich auf und ab
  bewegt, während die Welle unter ihm hindurchläuft. Am Korken können wir die
  \textbf{Frequenz} der Welle beobachten, die mit $f$ bezeichnet wird.
\item Wir können den Abstand zwischen zwei Wellenbergen erkennen. Diesen
  Abstand nennt man \textbf{Wellenlänge}, die das Formelzeichen $\lambda$
  bekommt.
\end{itemize}

Es gibt eine Beziehung zwischen diesen drei Größen. Wir wissen, dass die
Geschwindigkeit definiert ist als Weg pro Zeit.
\[v=\cfrac{s}{t}\]
In unsere Anwendung der Welle ist $s$ die Wellenlänge $\lambda$ und $t$ die
Periodendauer $T$. Aus $f$ können wir $T$ berechnen:
\[T=\cfrac{1}{f}\]

Wir übertragen das jetzt auf unsere Welle.
\[v=\cfrac{s}{t}=\cfrac{\lambda}{T}= \lambda \cdot f\]

Für Elektromagnetische Wellen ist $v=c$. Damit gilt dann die Formel:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\lambda \cdot f=c $}
\end{center}

\begin{wrapfigure}{r}{10.9cm}
 \psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
 \begin{pspicture}(-2,-5)(25,5)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(25,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,5)
  \rput[rC](-0.3,4.5){\footnotesize $u$}
  \rput[Cb](24.5,-0.9){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos 4 mul}
  \uput[-90](3,0){$\frac{T}{4}$}
  \uput[-90](6,0){$\frac{T}{2}$}
  \uput[-90](9,0){$\frac{3 T}{4}$}
  \uput[-90](12,0){$T$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Schauen wir uns einmal den zeitlichen Verlauf einer sinusförmigen
Wechselspannung an. In Abhängigkeit von der Zeit ist die Spannung mal positiv
und mal negativ. Sie pendelt zwischen einem maximale positiven und einem
maximalen negativen Ausschlag. Nach der Periodendauer $T$ wird eine komplette
Schwingung vollzogen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
 \psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(9.3,2.1)
  \pnode(0.5,0){A}
  \pnode(0.5,2){B}
  \pnode(1.95,0){C}
  \pnode(1.95,2){D}
  \pnode(2,0){C1}
  \pnode(2,2){D1}
  \pnode(8,0){E1}
  \pnode(8,2){F1}
  \pnode(8.05,0){E}
  \pnode(8.05,2){F}
  \pnode(9,0){G}
  \pnode(9,2){H}
   \psline{o-o}(C1)(E1)
   \psline{o-o}(D1)(F1)
   \psline(D)(B)(A)(C)
   \psline(E)(G)
   \psline(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](H)(G){$R$}
%   \switch[labeloffset=0.8](B)(D){$S$}
   \Ucc[labeloffset=-0.8](B)(A){$U_0$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Betrachten wir nun eine lange Leitung, an die links eine Wechselspannungsquelle
$U_0$ und rechts ein Lastwiderstand $R$ angeschlossen ist. Unter einer
\textbf{Leitung} versteht man dabei \textbf{zwei Leiter}, die parallel geführt
zwischen Quelle und Last verlaufen. Zum Zeitpunkt
\mbox{$t=0$} liege an den linken Anschlussklemmen der Leitung der Maximalwert
der Wechselspannung an, wie im Diagramm darüber zu sehen ist.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10.9cm}
 \psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
 \begin{pspicture}(-2,-5)(25,5)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(25,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,5)
  \rput[rC](-0.3,4.5){\footnotesize $u$}
  \rput[Cb](24.5,-0.9){$s$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos 4 mul}
  \uput[-90](3,0){$\frac{\lambda}{4}$}
  \uput[-90](6,0){$\frac{\lambda}{2}$}
  \uput[-90](9,0){$\frac{3 \lambda}{4}$}
  \uput[-90](12,0){$\lambda$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Jetzt betrachten wir eine "`Momentaufnahme"' der Leitung. Auf den ersten Blick
sehen wir wieder das Spannungs-Zeit-Diagramm von oben. Aber eben nur auf den
ersten Blick. Hier ist die Spannung in Abhängigkeit vom \textbf{Ort} angegeben,
oder genauer ausgedrückt, die Spannungsverteilung über den Weg $s$. Am
Einspeisepunkt bei \mbox{$s=0$} haben wir gerade den Maximalwert der
Wechselspannung erreicht, was zum Spannungs-Zeit-Diagramm oben passt. In der
Entfernung einer \textbf{viertel} Wellenlänge \mbox{$s=\frac{\lambda}{4}$} ist
die Spannung Null und in der Entfernung einer \textbf{halben}
Wellenlänge $s=\frac{\lambda}{2}$ vom
Einspeisepunkt hat die Spannung gerade den \textbf{negativen} Maximalwert
erreicht. Erst nach einer \textbf{ganzen} Wellenlänge haben wir wieder den
selben Spannungswert, wie am Leitungsanfang.\\

Sinngemäß genauso sieht auch die Stromverteilung aus. Herr Kirchhoff würde sich
im Grabe umdrehen, wenn er wüsste, dass der Strom in einer Reihenschaltung
eben nicht überall gleich groß ist! Auf den ersten Blick ist es sicher
schwierig, sich vorzustellen, dass in $\frac{\lambda}{2}$-Abständen auf der
Leitung der Strom jeweils in der entgegengesetzten Richtung fließt. Zu Ehren
von Herrn Kirchhoff und seinen Regeln möchte ich aber klarstellen, dass er
seine Regeln nicht für die Hochfrequenztechnik, sondern für Gleichstromkreise
entwickelt hat.\\

Späterstens jetzt kommt der Einwand, dass wir ja in der klassischen
50-Hz-Technik auch immer vollkommen problemlos mit den Kirchhoffschen Regeln
gearbeitet haben. Warum geht das da?\\

Rechnen wir doch einmal die Wellenlänge aus.
\[\begin{array}{rcll}
\lambda \cdot f&=&c &|:f \\
\lambda&=&\cfrac{c}{f}\\
&=&\cfrac{\unit[300\,000]{\frac{km}{s}}}{\unit[50]{Hz}}\\
\lambda&=&\unit[3\,000]{km}\\
\end{array}\]

Ich kenne keine Eletroinstallation, weder in Wohnhäusern noch in
Industrebetrieben, wo Leitungslängen von mehreren 1\,000 Kilometern eine Rolle
spielen (außer man addiert die Längen aller dort verlegten Leitungen zusammen).
Wir haben selbst bei einer zehntel Wellenlänge (entsprechend 300 Kilometer
Leitungslänge) noch kaum Unterschiede zu beachten. Wenn es natürlich um das
europaweite Zusammenschalten von Verbundnetzen geht, dann sind Effekte durch
die Phasenverschiebungen wegen der Wellenlänge zu beachten.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
 \psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(9.3,3)
  \pnode(0.5,0){A}
  \pnode(0.5,2){B}
  \pnode(1.95,0){C}
  \pnode(1.95,2){D}
  \pnode(2,0){C1}
  \pnode(2,2){D1}
  \pnode(8,0){E1}
  \pnode(8,2){F1}
  \pnode(8.05,0){E}
  \pnode(8.05,2){F}
  \pnode(9,0){G}
  \pnode(9,2){H}
   \psline{o-o}(C1)(E1)
   \psline{o-o}(D1)(F1)
   \psline(B)(A)(C)
   \psline(E)(G)
   \psline(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](H)(G){$R$}
   \switch[labeloffset=0.8](B)(D){$S$}
   \Ucc[labeloffset=-0.8](B)(A){$U_0$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nun möchte ich mit Ihnen ein Gedankenexperiment machen. Stellen Sie sich vor,
Sie haben eine Gleichspannungsquelle $U_0$ über eine lange Leitung mit einem
Lastwiderstand verbunden. Zunächst ist der Schalter $S$ noch geöffnet,
nirgendwo fließt ein Strom. Zum Zeitpunkt \mbox{$t=0$} wird der Schalter
geschlossen. Was passiert?\\

Sie werden sagen, ganz klar, es fließt ein Strom von der Größe
\mbox{$I=\frac{U_0}{R}$}. Ja, das wird auch so sein, wenn wir nur lange genug
warten. Ich möchte das aber genauer untersuchen.\\

Im Einschaltmoment wird ein Stromfluss \textbf{beginnen}. Dieser Stromimpuls
braucht aber eine gewisse Zeit, bis er am Widerstand $R$ ankommt, er kann sich
ja "`nur"' mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Dafür sorgt Herr Einstein.
Zugegeben, die Lichtgeschwindigkeit ist recht groß, aber sie ist endlich. Der
Stromfluss hat sich also nach einer Nanosekunde gerade einmal 30 Zentimeter
weiter ausgebreitet. Woher aber "`weiß"' der Strom, wie groß der
Lastwiderstand am anderen Leitungsende ist, mit welcher Stromstärke er also
losfließen soll?\\

Die Antwort ist ganz einfach: \textbf{Er weiß es \emph{nicht}!}\\

Trotzdem beginnt ja ein Stromfluss. Wonach kann sich dieser denn orientieren?\\

Hier kommt jetzt der sogenannte \textbf{Wellenwiderstand} der Leitung ins
Spiel. Wenn wir durch den Baumarkt stöbern, dann werden wir in der
Elektroabteilung Koaxkabel für Antennenanlagen finden, wo beispielsweise
\mbox{$\unit[75]{\Omega}$} draufsteht. Wenn Sie ein Stück davon abschneiden und
ausmessen, dann werden Sie weder für den Leiterwiderstand noch für den
Isolationswiderstand einen Wert in dieser Größenordnung messen können. Zudem
hat ja ein längeres Kabelstück auch einen größeren Leiterwiderstand. Das kann
es also nicht sein.


\end{document}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
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   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
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