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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Musterlösungen zu Grundlagen der Wechselstromtechnik}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Grundgrößen der Wechselstromtechnik}
Die nachfolgenden Musterlösungen gehören zu den Aufgaben, die in diesem
Lehrgang zu finden sind:
\begin{center}
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf} \fi
\end{center}

\subsection{Übungsfragen zu Grundgrößen der Wechselstromtechnik}
\subsubsection{Frage 1:}
Die Netz-Wechselspannung hat eine Frequenz von \mbox{$f=\unit[50]{Hz}$}.
Bestimmen Sie:
\begin{enumerate}
\item die Periodendauer
\item die Kreisfrequenz
\end{enumerate}

\subparagraph{Lösung 1:}
\[T=\cfrac{1}{f}
=\cfrac{1}{\unit[50]{Hz}}
=\cfrac{1}{\unit[50]{s^{-1}}}
=\cfrac{\unit[1]{s}}{50}
=\unit[20]{ms}\]

\subparagraph{Lösung 2:}
\[ \omega =2 \cdot \pi \cdot f
=2 \cdot \pi \cdot \unit[50]{Hz}
\approx \unit[314]{s^{-1}}\]

\subsubsection{Frage 2:}
Die Netz-Wechselspannung hat einen Effektivwert von
\mbox{$U_{eff}=\unit[230]{V}$}. Wie groß ist der Scheitelwert $\hat U$?
\subparagraph{Lösung:}
\[U_{eff}=\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \hat U \quad \Rightarrow \quad
\hat U= \sqrt{2}\cdot U_{eff}= \sqrt{2}\cdot \unit[230]{V}\approx \unit[325]{V}\]

\newpage
\subsubsection{Frage 3:}
Eine Wechselspannung hat einen Effektivwert von \mbox{$U_{eff}=\unit[10]{V}$}.
Wie groß ist der Mittelwert $U_M$?
\subparagraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
U_{eff}&=&\cfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \hat U &| \cdot \sqrt{2}\\
\sqrt{2}\cdot U_{eff}&=&\hat U \\
\hat U&=&\sqrt{2}\cdot U_{eff}\\
U_M&=&\cfrac{2}{\pi} \cdot \hat U \\
U_M&=&\cfrac{2}{\pi} \cdot \sqrt{2}\cdot U_{eff}\\
U_M&=&\cfrac{2}{\pi} \cdot \sqrt{2}\cdot \unit[10]{V}\\
U_M&\approx&\unit[9,00]{V}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Frage 4:}
Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird der Spitze-Spitze-Wert einer
sinusförmigen Wechselspannung mit \mbox{$U_{ss}=\unit[30]{V}$} gemessen. Wie
groß ist der Effektivwert $U_{eff}$ der Spannung?
\subparagraph{Lösung:}
\[U_{ss}=2 \cdot \hat U \quad \Rightarrow \quad
\hat U=\cfrac{1}{2} \cdot U_{ss}\]
\[U_{eff}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \hat U
 =\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \cfrac{1}{2} \cdot U_{ss}
 =\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \cfrac{1}{2} \cdot \unit[30]{V}
 \approx \unit[10,6]{V}\]

\subsubsection{Frage 5:}
Mit Hilfe eines Oszilloskopes wird die Periodendauer einer sinusförmigen
Wechselspannung mit \mbox{$T=\unit[200]{µs}$} gemessen. Wie groß ist die
Frequenz $f$ der Spannung?
\subparagraph{Lösung:}
\[f=\cfrac{1}{T}=\cfrac{1}{\unit[200]{µs}}=\unit[5]{kHz}\]

\section{Wechselstromwiderstände}
\subsection{Übungsfragen zu Wechselstromwiderständen}
\subsubsection{Frage 1:}
Ergänzen Sie den Satz:\\
\textbf{Der Strom in einer Induktivität eilt der Spannung in der Phase um
\textcolor{blue}{\emph{90$^\circ$ nach}}.}

\subsubsection{Frage 2:}
Ergänzen Sie den Satz:\\
\textbf{Je größer die Frequenz ist, desto \textcolor{blue}{\emph{größer}} ist
der Wechselstromwiderstand einer Induktivität.}

\subsubsection{Frage 3:}
Ergänzen Sie den Satz:\\
\textbf{Der Strom in einer Kapazität eilt der Spannung in der Phase um
\textcolor{blue}{\emph{90$^\circ$ voraus}}.}

\subsubsection{Frage 4:}
Ergänzen Sie den Satz:\\
\textbf{Je größer die Frequenz ist, desto \textcolor{blue}{\emph{kleiner}} ist
der Wechselstromwiderstand einer Kapazität.}

\subsubsection{Frage 5:}
Wie groß ist der Strom \emph{I} in einer Induktivität mit $L=\unit[10]{H}$, die
an eine Wechselspannung von $U=\unit[12]{V}$ mit einer Frequenz von
$f=\unit[50]{Hz}$ angeschlossen ist? Wie groß ist der Komplexe Strom
\emph{\b I}, wenn die Spannung \emph{\b U} als Reele Spannung vorausgesetzt
ist?

\paragraph{Lösung:}
\[ \omega=2 \cdot \pi \cdot f=2 \cdot \pi \cdot \unit[50]{Hz}
  =\unit[314]{s^{-1}}\]
\[X_L=\omega L=\unit[314]{s^{-1}} \cdot \unit[10]{H}
 =\unit[3{,}14]{k \Omega}\]
\[I=\cfrac{U}{X_L}=\cfrac{\unit[12]{V}}{\unit[3{,}14]{k \Omega}}
 =\unit[3{,}82]{mA}\]
\[\b I=-jI=-j\unit[3{,}82]{mA}\]

\newpage
\subsubsection{Frage 6:}
Bei welcher Frequenz $f$ hat ein Kondensator mit einer Kapazität von
$C=\unit[1]{µF}$ einen Wechselstromwiderstand von $X_C=\unit[318]{\Omega}$?

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{\omega \cdot C}\\
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C} &| \cdot \cfrac{f}{X_C}\\
f&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot C \cdot X_C}\\
f&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot \unit[1]{µF} \cdot \unit[318]{\Omega}}\\
f&=&\unit[500]{Hz}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Schaltnetze}
\subsection{Übungsaufgaben zu Schaltnetzen}
\subsubsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \capacitor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(F){$R$}
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$X_L$}
   \wire(B)(F)
   \wire(C)(E)
   \pscircle(1.9,5){2pt}
   \pscircle(1.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehende Schaltung ist an eine Wechselspannung von
$U=100V$ mit $\omega=\unit[100]{s^{-1}}$ angschlossen. Die Bauteilwerte sind:\\
$C=\unit[500]{µF}$\\
$L=\unit[250]{mH}$\\
$R=\unit[50]{\Omega}$\\
Gesucht sind die Ströme $I_C$ im Kondensator, $I_L$ in der Spule und $I_R$ im
ohmschen Widerstand.

\paragraph*{Lösung:}
Zunächst werden die Blindwiderstände von $C$ und $L$ bestimmt.
\[X_C=\cfrac{1}{\omega \cdot C}
 =\cfrac{1}{\unit[100]{s^{-1}} \cdot \unit[400]{µF}}
 =\unit[20]{\Omega}\]
\[X_L= \omega \cdot L=\unit[100]{s^{-1} \cdot \unit[250]{mH}}
 =\unit[25]{\Omega}\]

Nun stelle ich die verschiedenen angegebenen Größen im komplexer Form dar:
\[\begin{array}{rclcrcl}
X_C&=&\unit[20]{\Omega} &\Rightarrow&\b X_C&=&-j\unit[20]{\Omega} \\
X_L&=&\unit[25]{\Omega} &\Rightarrow&\b X_L&=&j\unit[25]{\Omega} \\
R&=&\unit[50]{\Omega}   &\Rightarrow&\b R&=&\unit[50]{\Omega} \\
U&=&\unit[100]{V}       &\Rightarrow&\b U&=&\unit[100]{V} \\
\end{array}\]
Ich fasse $X_L$ und $R$ zum Ersatzwiderstand $Z_1$ zusammen.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\b X_L \cdot \b R}{\b X_L+ \b R} \\
&=&\frac{j\unit[25]{\Omega} \cdot \unit[50]{\Omega}}
  {j\unit[25]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}} \\
&=&\frac{j\unit[1250]{\Omega}^2}{\unit[50]{\Omega}+j\unit[25]{\Omega}}\\
&=&\frac{(j\unit[1250]{\Omega}^2)(\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega})}
{(\unit[50]{\Omega}+j\unit[25]{\Omega})(\unit[50]{\Omega}-j\unit[25]{\Omega})} \\
&=&\frac{j\unit[62500]{\Omega}^3+\unit[31250]{\Omega}^3}
  {\unit[2500]{\Omega}^2+\unit[625]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[31250]{\Omega}^3+j\unit[62500]{\Omega}^3}
  {\unit[3125]{\Omega}^2} \\
  \b Z_1&=&\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_1$ ist $X_C$ geschaltet. Ich erhalte den Gesamt-Ersatzwiderstand
der Schaltung:
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b X_C+\b Z_1 \\
&=&-j\unit[20]{\Omega}+\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}\\
\b Z&=&\unit[10]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}

Als nächstes bestimme ich den Gesamtstrom, der durch $Z$ fließt. Da dies
zugleich der Strom im Kondensator ist, nenne ich ihn $I_C$.
\begin{eqnarray*}
\b I_C&=&\frac{\b U}{\b Z} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}}{\unit[10]{\Omega}}\\
\b I_C&=&\unit[10]{A}\\
\end{eqnarray*}
Mit diesem Strom kann ich die Spannung an der Spule und dem Widerstand
berechnen. Er fließt durch den Ersatzwiderstand $Z_1$. Ich nenne die Spannung
deshalb $U_1$.
\begin{eqnarray*}
\b U_1&=&\b Z_1 \cdot \b I_C \\
&=&(\unit[10]{\Omega}+j\unit[20]{\Omega}) \cdot \unit[10]{A}\\
\b U_1&=&\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}\\
\end{eqnarray*}
Mit Hilfe dieser Spannung kann ich den Strom $I_L$ in der Spule berechnen.
\begin{eqnarray*}
\b I_L&=&\frac{\b U_1}{\b X_L} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}}{j\unit[25]{\Omega}} \quad |\textnormal{ erweitern mit }j \\
&=&\frac{j\unit[100]{V}-\unit[200]{V}}{-\unit[25]{\Omega}} \\
\b I_L&=&\unit[8]{A}-j\unit[4]{A}\\
\end{eqnarray*}
Ebenso geht es mit dem Strom $I_R$ im Widerstand.
\begin{eqnarray*}
\b I_R&=&\frac{\b U_1}{\b R} \\
&=&\frac{\unit[100]{V}+j\unit[200]{V}}{\unit[50]{\Omega}}\\
\b I_R&=&\unit[2]{A}+j\unit[4]{A}\\
\end{eqnarray*}
Gesucht sind aber nicht die komplexen Ströme $\b I_R$, $\b I_C$ und $\b I_L$,
sondern deren Beträge $I_R$, $I_C$ und $I_L$. Diese können wir mit der
Wurzelformel
$|\b z|=z= \sqrt{( \textnormal{Re} \b z)^2+( \textnormal{Im} \b z)^2}$
berechnen.
\[I_R= \sqrt{(\unit[2]{A})^2+(\unit[4]{A})^2} \approx \unit[4,472]{A}\]
\[I_C= \sqrt{(\unit[10]{A})^2}=\unit[10]{A}\]
\[I_L= \sqrt{(\unit[8]{A})^2+(-\unit[4]{A})^2} \approx \unit[8,944]{A}\]

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(11,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(11,3){J}
   \pnode(11,1){K}
   \pnode(14,3){L}
   \pnode(17,3){M}
   \pnode(17,1){N}
   \pnode(17,2){O}\qdisk(O){2pt}
   \pnode(19,2){P}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](D)(G){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_3$}
   \coil[labeloffset=-1](L)(M){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](K)(N){$R_4$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(H)(I)
   \wire(J)(K)
   \wire(M)(N)
   \wire(O)(P)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(19.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Ersatzwiderstand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Phasenverschiebungswinkel $\varphi$. Folgende Werte sind bekannt: \\
\mbox{$R_1=\unit[100]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_2=\unit[200]{\Omega}$} \quad
\mbox{$R_3=\unit[200]{\Omega}$} \quad \mbox{$R_4=\unit[100]{\Omega}$}
\quad \mbox{$L_1=\unit[0,1]{H}\quad L_2=\unit[0,1]{H}$} \quad
\mbox{$\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$}

\paragraph*{Lösung:}
Wir bestimmen zunächst aus den gegebenen Daten die komplexen Wirk- und
Blindwiderstände.\\
\begin{eqnarray*}
R_1=\unit[100]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_1=\unit[100]{\Omega}\\
R_2=\unit[200]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_2=\unit[200]{\Omega}\\
R_3=\unit[200]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_3=\unit[200]{\Omega}\\
R_4=\unit[100]{\Omega} &\Rightarrow& \b R_4=\unit[100]{\Omega}\\
X_{L1}=\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[0,1]{H}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{L1}=j\unit[100]{\Omega}\\
X_{L2}=\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[0,1]{H}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{L2}=j\unit[100]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Ich fasse $R_1$ und $X_{L1}$ mit der Formel für die Reihenschaltung als
$Z_1$ zusammen.
\[\b Z_1=\b R_1+\b X_{L1}=\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\]
Ich fasse $Z_1$ mit $R_2$ zu $Z_2$ zusammen. Dazu verwende ich die Formel für
die Parallelschaltung.
\[\b Z_2=\frac{\b Z_1 \cdot \b R_2}{\b Z_1+\b R_2}
 =\frac{(\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[200]{\Omega}}
   {\unit[100]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}}
 =\frac{\unit[20000]{\Omega}^2+j\unit[20000]{\Omega}^2}
 {\unit[300]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}\]
Damit die Zahlen und die Einheiten nicht so groß werden, klammere ich im Zähler
und im Nenner $\unit[100]{\Omega}$ aus und kürze dadurch.
\[\b Z_2=\frac{\unit[100]{\Omega}  \cdot
  (\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega}\cdot(3+j1)}
  = \frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}{3+j1}\]
Das muss ich jetzt aufteilen können in Real- und Imaginärteil. Dazu muss ich
den Bruch \textbf{Konjugiert Komplex erweitern}.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}{3+j1}
 \cdot \frac{3-j1}{3-j1}
 =\frac{\unit[600]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}+j\unit[600]{\Omega}
 +\unit[200]{\Omega}}{3^2+1^2}
 =\frac{\unit[800]{\Omega}+j\unit[400]{\Omega}}{10}\\
\b Z_2&=&\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Ähnlich müssen wir auch die rechte Teilschaltung zusammenfassen. Die
Reihenschaltung aus $R_3$ und $X_{L2}$ bekommt den Namen $Z_3$. Die
Parallelschaltung von $Z_3$ mit $R_4$ nenne ich dann $Z_4$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_3 & = & \b R_3+\b X_{L2}=\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\\
\b Z_4 & = & \frac{\b Z_3 \cdot \b R_4}{\b Z_3+\b R_4}
 =\frac{(\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[100]{\Omega}}
   {\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}+\unit[100]{\Omega}}
 =\frac{\unit[20000]{\Omega}^2+j\unit[10000]{\Omega}^2}
 {\unit[300]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}\\
 &=&\frac{\unit[100]{\Omega} \cdot (\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
 {\unit[100]{\Omega}\cdot (3+j1)}
 = \frac{\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}{3+j1} \\
 &=&\frac{(\unit[200]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}) \cdot (3-j1)}{(3+j1)
  \cdot (3-j1)}
 =\frac{\unit[600]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}+j\unit[300]{\Omega}
 +\unit[100]{\Omega}}{3^2+1^2}
 =\frac{\unit[700]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}}{10}\\
\b Z_4&=&\unit[70]{\Omega}+j\unit[10]{\Omega}
 \end{eqnarray*}\\
Um den Gesamtwiderstand $\b Z$ zu bestimmen, muss ich nun noch $\b Z_2$ und
$\b Z_4$ addieren.
\[\b Z=\b Z_2+\b Z_4=\unit[80]{\Omega}+j\unit[40]{\Omega}+\unit[70]{\Omega}
  +j\unit[10]{\Omega}=\unit[150]{\Omega}+j\unit[50]{\Omega}\]
Mit den entsprechenden Formeln kann ich dann den Betrag $Z$ und den
Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ von $\b Z$ berechnen.
\begin{eqnarray*}
Z&=& \sqrt{( \textnormal{Re}\b Z)^2+( \textnormal{Im}\b Z)^2}
 = \sqrt{(\unit[150]{\Omega})^2+(\unit[50]{\Omega})^2} \approx
  \unit[158]{\Omega}\\
\varphi&=&\arctan \frac{ \textnormal{Im}\b Z}{ \textnormal{Re}\b Z}
 = \arctan \frac{\unit[50]{\Omega}}{\unit[150]{\Omega}} \approx 18,43^\circ
 \end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$Z \approx \unit[158]{\Omega}$}
$\quad$\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 18,43^\circ$}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------------

\subsubsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(-1,-0.5)(20,3.5)
   \pnode(1,2){A}
   \pnode(3,2){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,3){E}
   \pnode(9,3){F}
   \pnode(9,1){G}
   \pnode(9,2){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(12,2){I}\qdisk(I){2pt}
   \pnode(12,3){J}
   \pnode(12,1){K}
   \pnode(15,3){L}
   \pnode(15,1){M}
   \pnode(15,2){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(17,2){O}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(E){$R_1$}
   \coil[labeloffset=-1](E)(F){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](D)(G){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1](H)(I){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](J)(L){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=-1](K)(M){$C_3$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(F)(G)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(N)(O)
   \pscircle(0.9,2){2pt}
   \pscircle(17.1,2){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Berechnen Sie den Komplexen
Ersatzwiderstand $\b Z$ der Schaltung sowie seinen Betrag $Z$ und den
Phasenverschiebungswinkel $\varphi$. Folgende Werte sind bekannt: \\
$R_1=\unit[100]{\Omega} \quad R_2=\unit[200]{\Omega} \quad L_1=\unit[200]{mH}
\quad C_1=\unit[2]{\mu F} \quad C_2=\unit[10]{\mu F} \quad
C_3=\unit[2]{\mu F}$  $\omega =\unit[1000]{s}^{-1}$

\paragraph*{Lösung:}
Wie schon bei Aufgabe 2 bestimmen wir zunächst aus den gegebenen Daten die
komplexen Wirk- und Blindwiderstände.
\begin{eqnarray*}
R_1=\unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_1=\unit[100]{\Omega}\\
R_2=\unit[200]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_2=\unit[200]{\Omega}\\
X_L= \omega  \cdot L
 =\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[200]{mH}=\unit[200]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_L=j\unit[200]{\Omega}\\
X_{C1}=\frac{1}{\omega  \cdot C_1}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[2]{\mu F}}=\unit[500]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C1}=-j\unit[500]{\Omega}\\
X_{C2}=\frac{1}{\omega  \cdot C_2}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[10]{\mu F}}=\unit[100]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C2}=-j\unit[100]{\Omega}\\
X_{C3}=\frac{1}{\omega  \cdot C_3}
 =\frac{1}{\unit[1000]{s}^{-1} \cdot \unit[2]{\mu F}}=\unit[500]{\Omega}
  &\Rightarrow& \b X_{C3}=-j\unit[500]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Als nächstes werden $R_1$ und $X_L$ mit Hilfe der Formel für die
Reihenschaltung zu $Z_1$ zusammengefasst.
\[\b Z_1=\b R_1+\b X_{L1}=\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}\]
Nun kann man mit Hilfe der Formel für die Parallelschaltung $Z_1$ und $X_{C1}$
zu $Z_2$ zusammengefasst werden. Nachdem die Werte eingesetzt und
zusamengefasst sind, wird ausgeklammert, gekürzt und Konjugiert Komplex
erweitert, um $\b Z_2$ in Realteil und Imaginärteil aufspalten zu können.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b Z_1 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_1+\b X_{C1}}
 = \frac{(\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}) \cdot (-j\unit[500]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}+(-j\unit[500]{\Omega})}
 = \frac{-j\unit[50000]{\Omega}^2+\unit[100000]{\Omega}^2}
   {\unit[100]{\Omega}-j\unit[300]{\Omega}}\\
&=& \frac{\unit[100]{\Omega}\cdot (-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega})}
   {\unit[100]{\Omega} \cdot (1-j3)}
 =\frac{-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega}}{1-j3}
 =\frac{(-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega})
   \cdot (1+j3)}{(1-j3) \cdot (1+j3)}\\
&=& \frac{-j\unit[500]{\Omega}+\unit[1500]{\Omega}+\unit[1000]{\Omega}
  +j\unit[3000]{\Omega}}{1^2+3^2}
 = \frac{\unit[2500]{\Omega}+j\unit[2500]{\Omega}}{10}=\unit[250]{\Omega}
  +j\unit[250]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die Parallelschaltung aus $R_2$ und $X_{C3}$ nenne ich $Z_3$ und berechne sie
mit der Parallelschaltungsformel. Anschließend wird wieder zusammengefasst,
ausgeklammert, gekürzt und Konjugiert Komplex erweitert.
\newpage%------------------------------------------
\begin{eqnarray*}
\b Z_3&=&\frac{\b R_2 \cdot \b X_{C3}}{\b R_2+\b X_{C3}}
  = \frac{\unit[200]{\Omega}\cdot (-j\unit[500]{\Omega})}
    {\unit[200]{\Omega}+(-j\unit[500]{\Omega})}
  = \frac{-j\unit[100000]{\Omega}^2}{\unit[200]{\Omega}-j\unit[500]{\Omega}}
  = \frac{\unit[100]{\Omega}\cdot (-j\unit[1000]{\Omega})}
    {\unit[100]{\Omega} \cdot (2-j5)}\\
&=& \frac{-j\unit[1000]{\Omega}}{2-j5}
  = \frac{(-j\unit[1000]{\Omega}) \cdot (2+j5)}{(2-j5) \cdot (2+j5)}
  = \frac{-j\unit[2000]{\Omega}+\unit[5000]{\Omega}}{2^2+5^2}
  = \frac{-j\unit[2000]{\Omega} +\unit[5000]{\Omega}}{29} \\
&\approx& -j\unit[68,97]{\Omega}+\unit[172,41]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die drei Widerstände $Z_2$, $X_{C2}$ und $Z_3$ sind in Reihe geschaltet. Ich
kann also den Gesamt-Scheinwiderstand $Z$ mit der Reihenschaltungsformel
berechnen und zusammenfassen.
\[\b Z=\b Z_2+\b X_{C2}+\b Z_3
  =\unit[250]{\Omega}+j\unit[250]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}
    -j\unit[68,97]{\Omega}+\unit[172,41]{\Omega}
  =\unit[422,41]{\Omega}+j\unit[81,03]{\Omega}\]
Der Betrag und der Phasenwinkel dieses Widerstandes kann wieder mit Hilfe der
Grundformeln berechnet werden.
\begin{eqnarray*}
Z&=& \sqrt{( \textnormal{Re}\b Z)^2+( \textnormal{Im}\b Z)^2}
 = \sqrt{(\unit[422,41]{\Omega})^2+(\unit[81,03]{\Omega})^2}
   \approx \unit[430,11]{\Omega}\\
\varphi&=&\arctan \frac{ \textnormal{Im}\b Z}{ \textnormal{Re}\b Z}
 = \arctan \frac{\unit[81,03]{\Omega}}{\unit[422,41]{\Omega}}
   \approx 10,86^\circ \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$Z \approx \unit[430,11]{\Omega}$}
$\quad$\fcolorbox{red}{yellow}{$\varphi \approx 10,86^\circ$}\end{center}
\newpage %----------------------------------------------------------

\subsubsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(15.5,5.5)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(8,4){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(8,1){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(11,4){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(11,1){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(14,4){I}
   \pnode(14,1){J}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$L_1$}
   \coil[labeloffset=-0.7](I)(J){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(D){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=1](G)(I){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-1](F)(H){$R_4$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](C)(D){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1.2](G)(H){$C_2$}
   \wire(C)(G)
   \wire(D)(F)
   \wire(H)(J)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie den Komplexen
Ersatzwiderstand $\b Z$ der Schaltung! Bekannt sind folgende Werte: \\
$\omega =\unit[100]{s}^{-1} \quad L_1=\unit[0,5]{H} \quad
  L_2=\unit[1]{H} \\
C_1=\unit[500]{\mu F} \quad C_2=\unit[100]{\mu F}$ $R_1=\unit[20]{\Omega} \\
R_2=\unit[50]{\Omega} \quad R_3=\unit[50]{\Omega} \quad R_4=\unit[30]{\Omega}$

\paragraph*{Lösung:}
Zur Lösung bestimme ich zunächst die entsprechenden Blindwiderstände aus der
Kreisfrequenz und den $L$- und $C$-Werten.
\begin{eqnarray*}
X_{L1}= \omega \cdot L_1=\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[0,5]{H}
  =\unit[50]{\Omega} &\Rightarrow& \b X_{L1}=j\unit[50]{\Omega}\\
X_{L2}= \omega \cdot L_2=\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[1]{H}
  =\unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{L2}=j\unit[100]{\Omega}\\
X_{C1}= \frac{1}{\omega \cdot C_1}
  = \frac{1}{\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[500]{\mu F}}
  = \unit[20]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{C1}=-j\unit[20]{\Omega}\\
X_{C2}= \frac{1}{\omega \cdot C_2}
  = \frac{1}{\unit[100]{s}^{-1} \cdot \unit[100]{\mu F}}
  = \unit[100]{\Omega}&\Rightarrow& \b X_{C2}=-j\unit[100]{\Omega}\\
R_1=\unit[20]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_1=\unit[20]{\Omega}\\
R_2=\unit[50]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_2=\unit[50]{\Omega}\\
R_3=\unit[50]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_3=\unit[50]{\Omega}\\
R_4=\unit[30]{\Omega}&\Rightarrow& \b R_4=\unit[30]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Ich beginne bei der Reihenschaltung aus $R_3$ und $L_2$. Den zugehörigen
Teilersatzwiderstand nenne ich $Z_1$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\b R_3 +\b X_{L2} \\
\b Z_1&=&\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_1$ ist $C_2$ geschaltet. Den zugehörigen
Teilersatzwiderstand nenne ich $Z_2$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b X_{C2} \cdot \b Z_1}{\b X_{C2}+\b Z_1}\\
&=&\frac{-j\unit[100]{\Omega}\cdot (\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
   {-j\unit[100]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega}} \\
&=&\frac{-j\unit[5000]{\Omega}^2+\unit[10000]{\Omega}^2}{\unit[50]{\Omega}}\\
\b Z_2&=&-j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_2$ ist $R_4$ geschaltet. Den zugehörigen
Teilersatzwiderstand nenne ich $Z_3$.
\enlargethispage{15mm}
\begin{eqnarray*}
\b Z_3&=&\b R_4+\b Z_2 \\
&=&\unit[30]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}+\unit[200]{\Omega}\\
\b Z_3&=&\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_3$ ist $R_2$ geschaltet. Den zugehörigen
Teilersatzwiderstand nenne ich $Z_4$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_4&=&\frac{\b Z_3 \cdot \b R_2}{\b Z_3+\b R_2} \\
&=&\frac{(\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}) \cdot \unit[50]{\Omega}}
  {\unit[230]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}+\unit[50]{\Omega}}\\
&=&\frac{\unit[11500]{\Omega}^2-j\unit[5000]{\Omega}^2}
  {\unit[280]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left( \unit[11500]{\Omega}^2-j\unit[5000]{\Omega}^2 \right)
    \cdot (\unit[280]{\Omega}+j\unit[100]{\Omega})}
  {(\unit[280]{\Omega}-j\unit[100]{\Omega}) \cdot (\unit[280]{\Omega}
  +j\unit[100]{\Omega})} \\
&=&\frac{\unit[3220000]{\Omega}^3+j\unit[1150000]{\Omega}^3
  -j\unit[1400000]{\Omega}^3+500000 \Omega^3}{\unit[78400]{\Omega}^2
  +\unit[10000]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[3720000]{\Omega}^3-j\unit[250000]{\Omega}^3}{\unit[88400]{\Omega}^2}\\
\b Z_4&\approx&\unit[42,081]{\Omega}-j\unit[2,828]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_4$ ist $C_1$ geschaltet. Den zugehörigen
Teilersatzwiderstand nenne ich $Z_5$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_5&=&\frac{\b Z_4 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_4+\b X_{C1}} \\
&\approx&\frac{(\unit[42,081]{\Omega}-j\unit[2,828]{\Omega})
  \cdot (-j\unit[20]{\Omega})}{\unit[42,081]{\Omega}-j\unit[2,828]{\Omega}
  -j\unit[20]{\Omega}}\\
&=&\frac{-j\unit[841,62]{\Omega}^2-\unit[56,56]{\Omega}^2}
  {\unit[42,081]{\Omega}-j\unit[22,828]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left(-j\unit[841,62]{\Omega}^2-\unit[56,56]{\Omega}^2 \right)
    (\unit[42,081]{\Omega}+j\unit[22,828]{\Omega})}
  {(\unit[42,081]{\Omega}-j\unit[22,828]{\Omega})
  (\unit[42,081]{\Omega}+j\unit[22,828]{\Omega})}\\
&\approx&\frac{-j\unit[35416]{\Omega}^3+\unit[19212]{\Omega}^3
  -\unit[2380]{\Omega}^3-j\unit[1291]{\Omega}^3}
  {\unit[1771]{\Omega}^2+\unit[521]{\Omega}^2}\\
&=&\frac{\unit[6832]{\Omega}^3-j\unit[36707]{\Omega}^3}{\unit[2292]{\Omega}^2}\\
\b Z_5&\approx&\unit[7,344]{\Omega}-j\unit[16,02]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
%\newpage
In Reihe zu $Z_5$ sind $R_1$ und $L_1$ geschaltet. Damit ergibt sich der
Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b X_{L1}+\b Z_5+ \b R_1 \\
\b Z&\approx&j\unit[50]{\Omega}+\unit[7,344]{\Omega}
  -j\unit[16,02]{\Omega}+\unit[20]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\b Z \approx \unit[27,344]{\Omega}+j\unit[33,98]{\Omega}$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(21.5,8.5)
   \pnode(2,7){A}\uput{0.2}[180](A){L1}
   \pnode(2,6){B}\uput{0.2}[180](B){L2}
   \pnode(2,5){C}\uput{0.2}[180](C){L3}
   \pnode(6,7){D}
   \pnode(6,6){E}
   \pnode(6,5){F}
   \pnode(8,7){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,5){K}
   \pnode(12,6){L}\qdisk(L){2pt}
   \pnode(12,5){M}
   \pnode(16,5){N}\qdisk(N){2pt}
   \pnode(8,0){O}
   \pnode(12,0){P}\qdisk(P){2pt}
   \pnode(16,0){Q}
   \pnode(18,7){R}
   \pnode(18,6){S}
   \pnode(18,5){T}
   \resistor[labeloffset=1](A)(D){F}
   \resistor[labeloffset=-1](B)(E){}
   \resistor[labeloffset=-1](C)(F){}
   \wire(A)(R)
   \wire(B)(S)
   \wire(C)(T)
   \wire(J)(K)
   \wire(L)(M)
   \wire(O)(Q)
   \coil[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](K)(O){$X_L$}
 \capacitor[labeloffset=-1.2,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](M)(P){$X_C$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](N)(Q){$R$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Be\-stim\-men Sie die Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$ in den Außenleitern des
nebenstehend dargestellten
Dreiphasenwechselstromnetzes mit $U_L=400$V! Stellen Sie dazu ein
Lineargleichungssystem für die drei Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und
$\b I_3$ auf und lösen Sie das Gleichungssystem. Berechnen Sie anschließend die
gesuchten Beträge der Ströme $I_1$, $I_2$ und $I_3$.
Be\-kannt sind die Werte:\\
$X_L=\unit[100]{\Omega}; \quad X_C=\unit[200]{\Omega};
 \quad R=\unit[50]{\Omega}$ \\ \\

\paragraph*{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(0,0.4)(11.5,6.3)
   \pnode(2,5){A}
   \pnode(2,1){B}
   \pnode(6,5){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(6,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(10,5){E}
   \pnode(10,1){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_{12}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.4,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$U_{23}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.4,
     tensionwidth=\pslinewidth](F)(E){}
   \coil[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C){$X_L$}
   \resistor[labeloffset=-1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C){$R$}
   \capacitor[labeloffset=1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](D)(C){$X_C$}
   \wire(B)(F)
   \wire(A)(B)
   \wire(E)(F)
   \uput{0.2}[135](A){\scriptsize \textcolor{green}{L1}}
   \uput{0.25}[-90](D){\scriptsize \textcolor{green}{L2}}
   \uput{0.2}[45](E){\scriptsize \textcolor{green}{L3}}
   \uput{0.25}[90](C){\scriptsize \textcolor{green}{N}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Um einen besseren Überblick zu erhalten, wird die Schaltung zunächst etwas
umgezeichnet. Dabei werden aus dem Drei\-pha\-sen-Wech\-sel\-span\-nungs\-netz nur die
Spannungen $U_{12}$ und $U_{23}$ verwendet; mit diesen wird aber trotzdem das
komplette Netz vollständig beschrieben. Zur besseren Orientierung habe ich die
Punkte, die die Außenleiter \textcolor{green}{L1}, \textcolor{green}{L2} und
\textcolor{green}{L3} sowie den Sternpunkt \textcolor{green}{N} bezeichnen,
mit in die Schaltung eingetragen.

\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.2,3)
   \pnode(0,2){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(2,0){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(4,0){F}
   \psline[linecolor=black]{-}(A)(B)(F)(E)
   \psline[linecolor=green,linewidth=2pt]{-}(C)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](E)(C)
   \qdisk(C){2pt}   \qdisk(D){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich die
Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem \textbf{Maschenstromverfahren}
arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen "`\textbf{Vollständigen Baum}"', der
alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander
verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich "`verkümmerte"' Baum ist in
\textcolor{green}{grüner} Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die
Maschenströme $I_1$ und $I_3$, mit denen das Gleichungssystem aufgestellt
wird. Die Masche 1 verläuft über $X_L$, $X_C$ und $U_{12}$, Masche 3
entsprechend über $R$, $X_C$ und $U_{23}$.\\

Bevor wir beginnen können, sollten wir die komplexen Spannungen festlegen. Ich
lege $\b U_{12}$ in die reelle Richtung. Damit ist:
\[\b U_{12}=\unit[400]{V}\]
Die Spannung $\b U_{23}$ eilt der Spannung $\b U_{12}$ um $120^\circ$ nach.
Damit ergibt sich für $\b U_{23}$:
\[\b U_{23}=\unit[400]{V} \cdot e^{-j120^\circ}
 =\unit[400]{V} \cdot \Bigl(\cos (-120^\circ) +j \sin (-120^\circ)\Bigr)
 \approx-\unit[200]{V}-j\unit[346{,}4]{V}\]
Weiterhin ist:
\[\b X_L=jX_L=j\unit[100]{\Omega}\]
\[\b X_C=-jX_C=-j\unit[200]{\Omega}\]

Jetzt können wir einen Maschenumlauf für Masche 1 und Masche 3 aufstellen.

\[\begin{array}{rrcl}
(1) & \b X_L \cdot \b I_1+\b X_C \cdot (\b I_1+\b I_3)-\b U_{12}&=&0 \\
(3) & \b R   \cdot \b I_2+\b X_C \cdot (\b I_2+\b I_1)+\b U_{23}&=&0 \\
\hline
(1) & \b X_L \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b R  \cdot \b I_2+\b X_C \cdot \b I_2+\b X_C \cdot \b I_1&=&-\b U_{23}\\
\hline
(1) & (\b X_L+\b X_C) \cdot \b I_1+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b X_C \cdot \b I_1+( \b R+\b X_C) \cdot \b I_2&=&-\b U_{23}\\
\end{array}\]
Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden.

\[\begin{array}{rrrcl}
(1) & (\b X_L+\b X_C) \cdot \b I_1&+\b X_C \cdot \b I_3&=&\b U_{12}\\
(3) & \b X_C \cdot \b I_1&+( \b R+\b X_C) \cdot \b I_3&=&-\b U_{23}\\
\hline
(1) & (j\unit[100]{\Omega}-j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\hline
(1) & -j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\end{array}\]

Multipliziert man Gleichung (1) mit $-2$, dann können die beiden Gleichungen
einfach addiert werden. $\b I_1$ fällt dann weg.

\[\begin{array}{rrrcll}
(1) & -j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&
  -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_3&=&\unit[400]{V}&| \cdot (-2) \\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
\hline
(1) & j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&
  +j\unit[400]{\Omega} \cdot \b I_3&=&-\unit[800]{V}&|\\
(3) & -j\unit[200]{\Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[50]{\Omega}
  -j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&\unit[200]{V}+j\unit[346{,}4]{V}&|+\\
\hline
&& (\unit[50]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}) \cdot \b I_3&=&
  -\unit[600]{V}+j\unit[346{,}4]{V}\\
&&\b I_3&=&\frac{-\unit[600]{V}+j\unit[346{,}4]{V}}
  {\unit[50]{\Omega}+j\unit[200]{\Omega}}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j6{,}928}{1+j4}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j6{,}928}{1+j4} \cdot \frac{1-j4}{1-j4}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{-12+j48+j6{,}928+27{,}712}{1+16}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&=&\frac{15{,}712+j54{,}928}{17}\textnormal{A}\\
&&\b I_3&\approx&\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A}
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $\b I_1$ setze ich das Ergebnis in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1-j\unit[200]{\Omega} \cdot
  (\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A})&=&\unit[400]{V}\\
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1-j\unit[184{,}84]{V}+\unit[646{,}2]{V}
  &=&\unit[400]{V}\quad|+j\unit[184{,}84]{V}-\unit[646{,}2]{V} \\
-j\unit[100]{\Omega} \cdot \b I_1&=&j\unit[184{,}84]{V}-\unit[246{,}2]{V}
  \quad|:(-j\unit[100]{\Omega}) \\
\b I_1&=&\frac{j\unit[184{,}84]{V}-\unit[246{,}2]{V}}{-j\unit[100]{\Omega}}
  \cdot \frac{j}{j}\\
\b I_1&=&\frac{-\unit[184{,}84]{V}-j\unit[246{,}2]{V}}{\unit[100]{\Omega}}\\
\b I_1&\approx&-\unit[1{,}8484]{A}-j\unit[2{,}462]{A}
\end{eqnarray*}

Mit diesen Ergebnissen kann nun auch $\b I_2$ bestimmt werden. Nach der
Kirchhoffschen Knotenregel gilt:
\begin{eqnarray*}
\b I_1+\b I_2+\b I_3&=&0 \quad|-\b I_1-\b I_3 \\
\b I_2&=&-\b I_1-\b I_3 \\
\b I_2&=&-(-\unit[1{,}8484]{A}-j\unit[2{,}462]{A})
  -(\unit[0{,}9242]{A}+j\unit[3{,}231]{A}) \\
\b I_2&=&\unit[1{,}8484]{A}+j\unit[2{,}462]{A}
  -\unit[0{,}9242]{A}-j\unit[3{,}231]{A} \\
\b I_2&\approx&\unit[0{,}9242]{A}-j\unit[0{,}769]{A}
\end{eqnarray*}

Mit diesen Daten können wir nun die Beträge der drei Ströme bestimmen. Zur
Erinnerung vorweg die zugehörige Grundformel:
\[I= \sqrt{( \textnormal{Re}\b I)^2+( \textnormal{Im}\b I)^2}\]
\[I_1= \sqrt{(\unit[1{,}8484]{A})^2+(\unit[2{,}462]{A})^2}\approx \unit[3{,}079]{A}\]
\[I_2= \sqrt{(\unit[0{,}9242]{A})^2+(\unit[0{,}769]{A})^2}\approx \unit[1{,}202]{A}\]
\[I_3= \sqrt{(\unit[0{,}9242]{A})^2+(\unit[3{,}231]{A})^2}\approx \unit[3{,}361]{A}\]

\newpage  %--------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{7.3cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-1.9,-0.2)(12.5,5.5)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,4){A1}
   \pnode(3,4){B1}
   \pnode(6,0){C0}\qdisk(C0){2pt}
   \pnode(6,4){C1}\qdisk(C1){2pt}
   \pnode(9,4){D1}
   \pnode(12,0){E0}
   \pnode(12,4){E1}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A1)(A0){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](E1)(E0){}
   \resistor[labeloffset=0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A1)(B1){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=1](B1)(C1){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=1](C1)(D1){$C_2$}
   \resistor[labeloffset=0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](D1)(E1){$R_2$}
   \coil[labeloffset=-0.6,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C1)(C0){$L$}
   \psline(A1)(A0)(E0)(E1)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Ströme in nebenstehende Schaltung können durch ein Lineargleichungssystem
beschrieben werden. Stellen Sie das Glei\-chungs\-sys\-tem auf und berechnen
Sie die Komplexen Ströme $\b I_1$, $\b I_2$ und $\b I_3$. Be\-kannt sind die
Werte:\\
$R_1=\unit[1]{k \Omega}$; \quad $X_{C1}=\unit[3]{k \Omega}$\\
$R_2=\unit[2]{k \Omega}$; \quad $X_{C2}=\unit[4]{k \Omega}$\\
$X_L=\unit[2]{k \Omega}$; \quad
$\b U_1=j\unit[4]{V}; \quad \b U_2=\unit[4]{V}$\\

\paragraph*{Lösung:}
Vorweg können $R_1$ und $C_1$ zu $Z_1$  und $R_2$ und $C_2$ zu $Z_2$
zusammengefasst werden.
\[\b Z_1=\b R_1+\b X_{C1}=\unit[1]{k \Omega}-j\unit[3]{k \Omega}\]
\[\b Z_2=\b R_2+\b X_{C2}=\unit[2]{k \Omega}-j\unit[4]{k \Omega}\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.4cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(4.2,3)
   \pnode(0,2){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(2,0){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(4,0){F}
   \psline[linecolor=black]{-}(A)(B)(F)(E)
   \psline[linecolor=green,linewidth=2pt]{-}(C)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(E)
   \qdisk(C){2pt}   \qdisk(D){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich die
Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem \textbf{Maschenstromverfahren}
arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen "`\textbf{Vollständigen Baum}"', der
alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander
verbindet. Dieser auf einen einzigen Strich "`verkümmerte"' Baum ist in
\textcolor{green}{grüner} Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die
Maschenströme $I_1$ und $I_2$, mit denen das Gleichungssystem aufgestellt
wird. Die Masche 1 verläuft über $Z_1$, $X_L$ und $U_1$, Masche 2 entsprechend
über $Z_2$, $U_2$ und $X_L$.\\

\[\begin{array}{rrcl}
(1) & \b Z_1 \cdot \b I_1+\b X_L \cdot (\b I_1-\b I_2)-\b U_1&=&0 \\
(2) & \b Z_2 \cdot \b I_2+\b X_L \cdot (\b I_2-\b I_1)+\b U_2&=&0 \\
\hline
(1) & \b Z_1 \cdot \b I_1+\b X_L \cdot \b I_1-\b X_L \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & \b Z_2 \cdot \b I_2+\b X_L \cdot \b I_2-\b X_L \cdot \b I_1&=&-\b U_2 \\
\hline
(1) & (\b Z_1+\b X_L) \cdot \b I_1-\b X_L \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & -\b X_L \cdot \b I_1+(\b Z_2+\b X_L) \cdot \b I_2&=&-\b U_2 \\
\end{array}\]
Nun können die gegebenen Werte eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rrrcl}
(1) & (\b Z_1+\b X_L) \cdot \b I_1&-\b X_L \cdot \b I_2&=&\b U_1 \\
(2) & -\b X_L \cdot \b I_1&+(\b Z_2+\b X_L) \cdot \b I_2&=&-\b U_2 \\
\hline
(1) & (\unit[1]{k \Omega} -j\unit[3]{k \Omega}+j\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}\\
(2) &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[4]{k \Omega}
  +j\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (\unit[1]{k \Omega} -j\unit[1]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}\\
(2) &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}\\
\hline
\end{array}\]

\newpage
Zur Lösung kann man natürlich jedes beliebige Lösungsverfahren für
Li\-ne\-ar\-glei\-chungs\-sys\-te\-me verwenden.\footnote{In Frage kommt
beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das Additions-/Subtraktionsverfahren,
die Cramersche Regel oder das Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den
verschiedenen Verfahren sind hier zu finden:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Einsetzungsverfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Additions-/Subtraktionsverfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Cramersche Regel: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Gauß-Jordan-Verfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}\fi} \\

Ich möchte gern das Additions-/Subtraktionsverfahren verwenden. Damit beim
Ad\-die\-ren die Variable $\b I_1$ wegfällt, multipliziere ich Gleichung (1)
mit $j2$ und Gleichung (2) mit $(1-j1)$.
{\small
\[\begin{array}{rrrcll}
(1) & (\unit[1]{k \Omega} -j\unit[1]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&j\unit[4]{V}&| \cdot (j2) \\
(2) &-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1&+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}&| \cdot (1-j1) \\
\hline
(1) & (j\unit[2]{k \Omega} -j^2\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &-j^2\unit[4]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&j^2\unit[8]{V}\\
(2) & (-j\unit[2]{k \Omega} +j^2\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega}+j^2\unit[2]{k \Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}+j\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (j\unit[2]{k \Omega}+\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &+\unit[4]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&-\unit[8]{V}\\
(2) & (-j\unit[2]{k \Omega}-\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega}-\unit[2]{k \Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}+j\unit[4]{V}\\
\hline
(1) & (j\unit[2]{k \Omega}+\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &+\unit[4]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&-\unit[8]{V}&|\\
(2) & (-j\unit[2]{k \Omega}-\unit[2]{k \Omega}) \cdot \b I_1
  &-j\unit[4]{k \Omega} \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}+j\unit[4]{V}&|+\\
\hline
&&(\unit[4]{k \Omega}-j\unit[4]{k \Omega}) \cdot \b I_2&=&-\unit[12]{V}+j\unit[4]{V}
  &|:(\unit[4]{k \Omega}-j\unit[4]{k \Omega}) \\
&&\b I_2&=&\frac{-\unit[12]{V}+j\unit[4]{V}}{\unit[4]{k \Omega}-j\unit[4]{k \Omega}}\\
&&\b I_2&=&\frac{-3+j1}{1-j1}\textnormal{mA}\\
&&\b I_2&=&\frac{(-3+j1) \cdot (1+j1)}{(1-j1) \cdot (1+j1)}\textnormal{mA}\\
&&\b I_2&=&\frac{-3-j3+j+j^2}{1-j^2}\textnormal{mA}\\
&&\b I_2&=&\frac{-3-j3+j-1}{1+1}\textnormal{mA}\\
&&\b I_2&=&\frac{-4-j2}{2}\textnormal{mA}\\
&&\b I_2&=&-\unit[2]{mA}-j\unit[1]{mA}
\end{array}\]
}
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein, um $\b I_1$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega})
  \cdot \b I_2&=&-\unit[4]{V}\\
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1+(\unit[2]{k \Omega}-j\unit[2]{k \Omega})
  \cdot (-\unit[2]{mA}-j\unit[1]{mA})&=&-\unit[4]{V}\\
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1-\unit[4]{V}-j\unit[2]{V}+j\unit[4]{V}+j^2\unit[2]{V}
  &=&-\unit[4]{V}\\
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1-\unit[4]{V}-j\unit[2]{V}+j\unit[4]{V}-\unit[2]{V}
  &=&-\unit[4]{V}\\
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1-\unit[6]{V}+j\unit[2]{V}&=&-\unit[4]{V}
  \quad|+\unit[6]{V}-j\unit[2]{V}\\
-j\unit[2]{k \Omega} \cdot \b I_1&=&\unit[2]{V}-j\unit[2]{V}
  \quad|:(-j\unit[2]{k \Omega}) \\
\b I_1&=&\frac{\unit[2]{V}-j\unit[2]{V}}{-j\unit[2]{k \Omega}}
   \cdot \frac{j}{j}\\
\b I_1&=&\frac{j\unit[2]{V}-j^2\unit[2]{V}}{-j^2\unit[2]{k \Omega}}\\
\b I_1&=&\frac{j\unit[2]{V}+\unit[2]{V}}{\unit[2]{k \Omega}}\\
\b I_1&=&\unit[1]{mA}+j\unit[1]{mA}\\
\end{eqnarray*}
Damit kann nun $I_3$ bestimmt werden:
\[I_3=I_1-I_2=\unit[1]{mA}+j\unit[1]{mA}-(-\unit[2]{mA}-j\unit[1]{mA})
=\unit[1]{mA}+j\unit[1]{mA}+\unit[2]{mA}+j\unit[1]{mA}=\unit[3]{mA}+j\unit[2]{mA}\]

Zusammengefasstes Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_1=\unit[1]{mA}+j\unit[1]{mA}$} \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_2=-\unit[2]{mA}-j\unit[1]{mA}$} \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_3=\unit[3]{mA}+j\unit[2]{mA}$}

\newpage
%-------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{8.2cm}
 \psset{unit=5mm}
 \begin{pspicture}(-1.9,-0.2)(14.5,5.5)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,4){A1}
   \pnode(3,4){B1}
   \pnode(6,0){C0}\qdisk(C0){2pt}
   \pnode(6,4){C1}\qdisk(C1){2pt}
   \pnode(8,0){C01}\qdisk(C01){2pt}
   \pnode(8,4){C11}\qdisk(C11){2pt}
   \pnode(11,4){D1}
   \pnode(14,0){E0}
   \pnode(14,4){E1}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_{01}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A1)(A0){}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_{02}$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](E1)(E0){}
   \resistor[labeloffset=0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A1)(B1){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_5$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C11)(C01){$R_3$}
   \coil[labeloffset=1](B1)(C1){$L_1$}
   \capacitor[labeloffset=1](C11)(D1){$C_1$}
   \resistor[labeloffset=0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](D1)(E1){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=-1.1,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_4$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C1)(C0){$C_2$}
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.7,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C1)(C11)
   \psline(A1)(A0)(E0)(E1)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehende Schaltung ist an zwei Spannungsquellen $U_{01}$ und $U_{02}$ mit
ei\-ner Spannung von je $\unit[60]{V}$ angeschlossen. Die Phasenverschiebung
zwischen diesen beiden Spannungen beträgt $0^\circ$. Be\-rech\-nen Sie die
Komplexen Ströme $\b I_1$ bis $\b I_5$. Be\-kannt sind diese Werte:\\
$R_1=\unit[6]{\Omega}$; \quad $R_2=\unit[3]{\Omega}$;
 \quad $R_3=\unit[10]{\Omega}$;\\
$X_{C1}=\unit[6]{\Omega}$ \quad $X_{C2}=\unit[15]{\Omega}$
\quad $X_{L1}=\unit[12]{\Omega}$\\

\paragraph{Lösung:}
Zunächst stelle ich die gegebenen Größen als komplexe Werte auf. Da beide
Spannungen die gleiche Phasenlage haben, lege ich die Spannungen entlang der
reellen Achse fest:
\[\b U_{01}=\b U_{02}=\unit[60]{V}\]
Die anderen komplexen Größen können aufgestellt werden:
\[\b R_1=\unit[6]{\Omega}\]
\[\b R_2=\unit[3]{\Omega}\]
\[\b R_3=\unit[10]{\Omega}\]
\[\b X_{C1}=-j\unit[6]{\Omega}\]
\[\b X_{C2}=-j\unit[15]{\Omega}\]
\[\b X_{L1}=j\unit[12]{\Omega}\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.1)(4.2,2.8)
   \pnode(0,2){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(2,0){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(4,0){F}
   \pnode(1.5,1.5){G}
   \pnode(1.5,0.5){H}
   \pnode(2.5,1.5){I}
   \pnode(2.5,0.5){J}
   \psline[linecolor=black]{-}(A)(B)(F)(E)
   \psline[linecolor=black]{-}(C)(G)(H)(D)
   \psline[linecolor=green,linewidth=2pt]{-}(C)(I)(J)(D)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](A)(C)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(E)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_4$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](G)(H)
   \qdisk(C){2pt}   \qdisk(D){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Gerippe der Schaltung dargestellt, mit dem ich die
Schaltung analysieren möchte. Da ich mit dem \textbf{Maschenstromverfahren}
arbeiten möchte, wähle ich zunächst einen "`\textbf{Vollständigen Baum}"', der
alle Knoten (hier allerdings nur zwei) auf einem eindeutigen Weg miteinander
verbindet. Die beiden Knoten über bzw. unter $C_2$ und $R_3$ sind in Wahrheit
nur jeweils ein Knoten, da sie leitend miteinander verbunden sind.
Dieser auf einen einzigen Strich "`verkümmerte"' Baum ist in
\textcolor{green}{grüner} Farbe dargestellt. Damit ergeben sich die
Maschenströme $I_1$, $I_3$ und $I_4$, mit denen das Gleichungssystem
aufgestellt wird. Der Strom $I_2$ bleibt zunächst außen vor, er wird zum
Schluss berechnet.\\

Mit diesem Baum können nun die Maschengleichungen aufgestellt werden.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1) & (\b R_1+\b X_{L1}+\b R_3) \cdot \b I_1&-\b R_3 \cdot \b I_3
    &-\b R_3 \cdot \b I_4&=&\b U_{01}\\
(3) & -\b R_3 \cdot \b I_1&+(\b R_3+\b X_{C1}+\b R_2) \cdot I_3
    &+\b R_3 \cdot I_4&=&-\b U_{02}\\
(4) & -\b R_3 \cdot \b I_1&+\b R_3 \cdot I_2&+(\b X_{C2}+\b R_3) \cdot \b I_4
    &=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Um die Rechnung etwas zu vereinfachen trage ich die Zahlenwerte ohne Einheiten
ein. Die Widerstände werden in Ohm und die Spannungen in Volt eingetragen,
dann erhalten wir die Einheit Ampere für die sich ergebenden Ströme.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)& (16+j12) \cdot \b I_1&-10 \cdot \b I_3&-10 \cdot \b I_4&=&60 \\
(3)& -10 \cdot \b I_1&+(13-j6) \cdot \b I_3&+10 \cdot \b I_4&=&-60 \\
(4)& -10 \cdot \b I_1&+10 \cdot \b I_3&+(10-j15) \cdot \b I_4&=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden.\footnote{In Frage kommt
beispielsweise das Einsetzungsverfahren, das Additions-/Subtraktionsverfahren,
die Cramersche Regel oder das Gauß-Jordan-Verfahren. Einzelheiten zu den
verschiedenen Verfahren sind hier zu finden:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Einsetzungsverfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Additions-/Subtraktionsverfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Cramersche Regel: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{Gauß-Jordan-Verfahren: http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}\fi}
Ich möchte hier die Cramersche Regel verwenden.
{\footnotesize
\[\begin{array}{rcll}
\b I_1&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
60 & -10     &  -10  \\
-60& (13-j6)&   10  \\
 0 &  10     &(10-j15) \\
\end{array}}
{\begin{array}{|ccc|}
(16+j12) & -10     &  -10  \\
-10& (13-j6)&   10  \\
-10&  10     &(10-j15) \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{60 \cdot (13-j6) \cdot (10-j15)+(-10) \cdot (-60) \cdot 10}
  {(16+j12) \cdot (13-j6) \cdot (10-j15)+(-10) \cdot 10 \cdot (-10)
   +(-10) \cdot (-10) \cdot 10} \cdots \\
  &&\cdots \cfrac{-10 \cdot 10 \cdot 60-(10-j15) \cdot (-60) \cdot (-10)}
  {-(-10) \cdot (13-j6) \cdot (-10)
   -10 \cdot 10 \cdot (16+j12)-(10-j15) \cdot (-10) \cdot (-10)}\\
&=&\cfrac{(2\,400-j15\,300)+6\,000-6\,000-(6\,000-j9\,000)}
  {(3\,700-j3\,600)+1\,000+1\,000-(1\,300-j600)-(1\,600+j1\,200)
    -(1\,000-j1\,500)}\\
&=&\cfrac{2\,400-j15\,300+6\,000-6\,000-6\,000+j9\,000}
  {3\,700-j3\,600+1\,000+1\,000-1\,300+j600-1\,600-j1\,200
    -1\,000+j1\,500}\\
&=&\cfrac{-3\,600-j6\,300}{1\,800-j2\,700}\\
&=&\cfrac{-36-j63}{18-j27}\\
&=&\cfrac{(-36-j63) \cdot (18+j27)}{(18-j27) \cdot (18+j27)}\\
&=&\cfrac{-648-j972-j1\,134+1\,701}{324+729}\\
&=&\cfrac{1\,053-j2\,106}{1\,053}\\
\b I_1&=&1-j2 \\
\end{array}\]
}
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\b I_1=\unit[1]{A}-j\unit[2]{A}$}\\

Als nächstes kann der Strom $\b I_3$ bestimmt werden. Da im Nenner für alle
Ströme die selbe Determinante steht, kann dieser Wert hier sofort eingesetzt
werden. Er wurde ja schon für $\b I_1$ bestimmt.
{\footnotesize
\[\begin{array}{rcll}
\b I_3&=&\cfrac{\begin{array}{|ccc|}
(16+j12)& 60   &  -10  \\
-10     &  -60 &   10  \\
-10     &  0   &(10-j15) \\
\end{array}}
{1\,800-j2\,700}\\
&=&\cfrac{(16+j12) \cdot (-60) \cdot (10-j15)+60 \cdot 10 \cdot (-10)
  -(-10) \cdot (-60) \cdot (-10)-(10-j15) \cdot (-10) \cdot 60}
    {1\,800-j2\,700}\\
&=&\cfrac{(1\,200+j21\,600)-6\,000+6\,000-(-6\,000+j9\,000)}{1\,800-j2\,700}\\
&=&\cfrac{1\,200+j21\,600-6\,000+6\,000+6\,000-j9\,000}{1\,800-j2\,700}\\
&=&\cfrac{7\,200+j12\,600}{1\,800-j2\,700}\\
\end{array}\]
}




\vspace{20mm}
\emph{(Die Lösung ist noch nicht fertig, sie wird aber bald ergänzt. Bekannt
sind jedoch die Ergebnisse.)}\\

\[\begin{array}{rcll}
I_1&=&\unit[1]{A}-j\unit[2]{A}\\
I_2&=&\unit[1]{A}-j\unit[4]{A}\\
I_3&=&-\unit[2]{A}-j\unit[4]{A}\\
I_4&=&j\unit[2]{A}\\
I_5&=&\unit[3]{A}\\
\end{array}\]

%-------------------------------------------------
\newpage
\section{Kompensation}
\subsection{Berechnungen der Kompensation}
Die Grundlagen zur Berechnung bei Kompensation sind hier zu finden:
\begin{center}
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf} \fi
\end{center}
\subsection{Lösungen der Übungsaufgaben zur Kompensation}
\subsubsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(11.5,6.5)
   \pnode(1,3){A}
   \pnode(3,3){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(3,5){C}
   \pnode(3,1){D}
   \pnode(6,5){E}
   \pnode(6,3){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(9,3){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(9,1){H}
   \pnode(11,3){I}
   \coil[labeloffset=1.2](D)(H){$X_L$}
   \resistor[labeloffset=1](C)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=1](F)(G){$R_2$}
   \capacitor[labeloffset=1](B)(F){$X_C$}
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \wire(E)(F)
   \wire(G)(H)
   \wire(G)(I)
   \pscircle(0.9,3){2pt}
   \pscircle(11.1,3){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie den Widerstand $R_2$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung
reell wird! Folgende Werte sind bekannt: \\
$X_C=\unit[2]{\Omega} \quad X_L=\unit[8]{\Omega} \quad R_1=\unit[4]{\Omega}$ \\
Wie groß wird damit der Ersatzwiderstand $Z$ der Schaltung? \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
unbekannten Größe $\b R_2$ an mit:
\[\b R_2=R \]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur eine \textbf{reelle} Größe --
nämlich $R$ -- bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
damit dann so aus:
\begin{eqnarray*}
\b R_1&=&\unit[4]{\Omega}\\
\b R_2&=&R \\
\b X_L&=&j\unit[8]{\Omega}\\
\b X_C&=&-j\unit[2]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Beginnen wir mit der Zusammenfassung der Parallelschaltung aus $R_1$ und $X_C$.
Den Ersatzwiderstand nenne ich $Z_1$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_1&=&\frac{\b R_1 \cdot \b X_C}{\b R_1+\b X_C} \\
 &=&\frac{\unit[4]{\Omega}\cdot (-j\unit[2]{\Omega})}
   {\unit[4]{\Omega}+ (-j\unit[2]{\Omega})} \\
 &=&\frac{-j\unit[8]{\Omega}^2}{\unit[4]{\Omega}-j\unit[2]{\Omega}} \\
\b Z_1&=&\frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}
\end{eqnarray*}
Mit $Z_1$ in Reihe geschaltet ist $R_2$. Den Ersatzwiderstand dieser
Reihenschaltung nenne ich $Z_2$. Wir können $\b Z_2$ berechnen.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\b Z_1+\b R_2 \\
\b Z_2&=&\frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R
\end{eqnarray*}
Parallel zu $Z_2$ ist $X_L$ geschaltet. Damit können wir nun den
Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung $\b Z$ aufstellen.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\b Z_2 \cdot \b X_L}{\b Z_2+\b X_L} \\
\b Z&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)
  \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)+j\unit[8]{\Omega}}
\end{eqnarray*}
Bevor wir weiterrechnen, sollten wir diesen Term vereinfachen. Dazu fassen wir
im Zähler und im Nenner des Hauptbruches die Teilbrüche zusammen, damit wir
anschließend die Nenner der Teilbrüche herauskürzen können.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)
 \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}}{2-j}+R \right)+j\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{\left( \frac{-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)}{2-j} \right)
 \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {\frac{-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)+j\unit[8]{\Omega}(2-j)}{2-j}} \\
&=&\frac{\left(-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j) \right) \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {-j\unit[4]{\Omega}+R(2-j)+j\unit[8]{\Omega}(2-j)} \\
&=&\frac{(-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR) \cdot j\unit[8]{\Omega}}
   {-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR+j\unit[16]{\Omega}-j^2\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{-j^2 \unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega} R-j^2 \unit[8]{\Omega}R}
   {-j\unit[4]{\Omega}+2R-jR+j\unit[16]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}
\end{eqnarray*}
Nachdem wir nun den Term für $\b Z$ vereinfacht haben, gibt zwei
grundsätzlich verschiedene Wege, wie man weiterarbeiten kann.
\begin{enumerate}
\item Wir können den Term für $\b Z$ in einen Realteil und einen
  Imaginärteil aufspalten. Dann können wir den Imaginärteil gleich Null setzen,
  um dadurch $R$ zu bestimmen.
\item Da $\b Z$ laut Aufgabenstellung als \emph{reelle} Größe bekannt
  ist, können wir $\b Z=Z$ setzen. Dadurch erhalten wir die
  Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteile aufzuspalten. Wir
  bekommen dann \emph{zwei} Gleichungen mit \emph{zwei} Variablen, nämlich
  $Z$ und $R$.
\end{enumerate}
Um die Vor- und Nachteile der beiden Verfahren besser unterscheiden zu können,
führe ich nacheinander beide vor.
\newpage%--------------------------------------
\subparagraph*{Lösungsweg 1}
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {(2R+\unit[8]{\Omega})-j(R-\unit[12]{\Omega})}\\
&=&\frac{(\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R)
   \cdot ((2R+\unit[8]{\Omega})+j(R-\unit[12]{\Omega}))}
  {\left( (2R+\unit[8]{\Omega})-j(R-\unit[12]{\Omega})\right)
   \cdot ((2R+\unit[8]{\Omega})+j(R-\unit[12]{\Omega}))} \\
&=&\frac{(\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R)
  \cdot (2R+\unit[8]{\Omega}+jR-j\unit[12]{\Omega})}
  {(2R+\unit[8]{\Omega})^2+(R-\unit[12]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[64]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3
  +j\unit[32]{\Omega}^2R-j\unit[384]{\Omega}^3
+j\unit[32]{\Omega}R^2+j\unit[128]{\Omega}^2R-\unit[16]{\Omega}R^2}
  {4R^2+\unit[32]{\Omega}R+\unit[64]{\Omega}^2+R^2-\unit[24]{\Omega}R
   +\unit[144]{\Omega}^2}\cdots \\
&& \qquad \cdots \frac{+\unit[192]{\Omega}^2R+\unit[16]{\Omega}R^2
  +\unit[64]{\Omega}^2R+j\unit[8]{\Omega}R^2-j\unit[96]{\Omega}^2R}{\cdots} \\
&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3+j\unit[64]{\Omega}^2R
  -j\unit[384]{\Omega}^3+j\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \\
\b Z&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
 +j\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
\end{eqnarray*}
Da $\b Z$ reell sein soll, ist der Imaginärteil von $\b Z$ gleich
Null. Damit bekommen wir eine Gleichung zur Bestimmung von $R$.
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Im}(\b Z)&=&0 \\
\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
  &=&0 \quad| \cdot \textnormal{Nenner} \\
\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2&=&0 \\
\unit[40]{\Omega}R^2+\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3
  &=&0 \quad|:\unit[40]{\Omega}\\
R^2+\unit[1{,}6]{\Omega}R-\unit[9{,}6]{\Omega}^2&=&0 \quad|\textnormal{ p-q-Formel} \\
R_{1/2}&=&-\unit[0{,}8]{\Omega}\pm
  \sqrt{\unit[0{,}64]{\Omega}^2+\unit[9{,}6]{\Omega}^2} \\
&=&-\unit[0{,}8]{\Omega}\pm \unit[3{,}2]{\Omega}\\
R_1&=&\unit[2{,}4]{\Omega}\\
R_2&=&-\unit[4]{\Omega} \quad \textnormal{(entfällt)}
\end{eqnarray*}
Die Lösung lautet also
\fcolorbox{red}{yellow}{$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$}
, denn negative Widerstände gibt es nicht.
\\ \\
\newpage%--------------------------------------
\subparagraph*{Lösungsweg 2}
Als alternative Lösungsmethode können wir $\b Z=Z$ setzen. Dadurch
erhalten wir die Möglichkeit, die Gleichung in Real- und Imaginärteile
aufzuspalten. Wir bekommen dann \emph{zwei} Gleichungen mit \emph{zwei reellen}
Variablen, nämlich $Z$ und $R$.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}\\
Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R}
   {2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}}
   \quad|\cdot (2R-jR+j\unit[12]{\Omega}+\unit[8]{\Omega}) \\
2RZ-jRZ+j\unit[12]{\Omega}Z+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R \\
\end{eqnarray*}
Aus dieser komplexen Gleichung können wir nun \emph{\textbf{zwei}} reelle
Gleichungen machen, indem wir die Gleichung in eine Gleichung für die Realteile
und eine andere für die Imaginärteile aufspalten.
\[\begin{array}{lrcl}
& 2RZ-jRZ+j\unit[12]{\Omega}Z+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +j\unit[16]{\Omega}R+\unit[8]{\Omega}R \\
\textnormal{Re: }\quad & 2RZ+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2
  +\unit[8]{\Omega}R \\
\textnormal{Im: }      & -RZ+\unit[12]{\Omega}Z&=&\unit[16]{\Omega}R
\end{array}\]
Das Gleichungssystem lösen wir, indem wir die Gleichung aus den reellen
Anteilen nach $Z$ auflösen und in die andere Gleichung einsetzen.
\begin{eqnarray*}
2RZ+\unit[8]{\Omega}Z&=&\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R \\
Z \cdot (2R+\unit[8]{\Omega})&=&\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R
  \quad|:(2R+\unit[8]{\Omega})\\
Z&=&\frac{\unit[32]{\Omega}^2+\unit[8]{\Omega}R}{2R+\unit[8]{\Omega}}\\
Z&=&\frac{\unit[8]{\Omega}\cdot (\unit[4]{\Omega}+R)}
  {2 \cdot (R+\unit[4]{\Omega})} \\
Z&=&\unit[4]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setzen wir in die Gleichung aus den Imaginärteilen ein.
\begin{eqnarray*}
-RZ+\unit[12]{\Omega}Z&=&\unit[16]{\Omega}R \\
-R \cdot \unit[4]{\Omega}+\unit[12]{\Omega}\cdot \unit[4]{\Omega}
  &=&\unit[16]{\Omega}R \\
-\unit[4]{\Omega}R+\unit[48]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}R
  \quad|+\unit[4]{\Omega}R \\
\unit[48]{\Omega}^2&=&\unit[20]{\Omega}R \quad|:\unit[20]{\Omega}\\
\unit[2{,}4]{\Omega}&=&R
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$}\end{center}
Jeder mag für sich selbst entscheiden, welchen Lösungsweg er einfacher findet.
\\ \\
\newpage%--------------------------------------
Zum ersten Lösungsweg müsste noch die fehlende Größe $\b Z$ bestimmt werden.
(Im zweiten Lösungsweg entfällt das, weil die Lösung $\b Z=\unit[4]{\Omega}$
quasi nebenbei angefallen ist.) Dazu setzen wir den gefundenen Wert
$R=\unit[2{,}4]{\Omega}$ in die gefundene Formel für $\b Z$ ein.
\[\b Z=\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}{5R^2
  +\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2}
 +j\frac{\unit[64]{\Omega}^2R-\unit[384]{\Omega}^3+\unit[40]{\Omega}R^2}
  {5R^2+\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \]
Laut Aufgabenstellung ist der Imaginärteil Im$\b Z=0$. (Das ist der Bruch
hinter dem $j$.) Daher können wir ihn der Einfachheit halber auch gleich
weglassen. In den so vereinfachten Term setzen wir dann $R=\unit[2{,}4]{\Omega}$
ein.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2R+\unit[256]{\Omega}^3}{5R^2
  +\unit[8]{\Omega}R+\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[320]{\Omega}^2 \cdot \unit[2{,}4]{\Omega}+\unit[256]{\Omega}^3}
  {5 \cdot (\unit[2{,}4]{\Omega})^2+\unit[8]{\Omega}\cdot \unit[2{,}4]{\Omega}
   +\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[768]{\Omega}^3+\unit[256]{\Omega}^3}
  {\unit[28{,}8]{\Omega}^2+\unit[19{,}2]{\Omega}^2+\unit[208]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[1024]{\Omega}^3}{\unit[256]{\Omega}^2}\\
&=&\unit[4]{\Omega}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Gesamtwiderstand $\b Z=\unit[4]{\Omega}$}
\end{center}

\newpage %---------------------
\subsubsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_L$}
   \capacitor[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{C2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_{C1}$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie den Widerstand $X_{C2}$
so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung reell wird! Bekannt sind
die Werte:\\
$X_{C1}=\unit[50]{\Omega} \quad X_L=\unit[12{,}5]{\Omega} \quad
R_1=\unit[20]{\Omega}$. \\
Wie groß wird damit der Ersatzwiderstand $Z$ der Schaltung? \\ \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
unbekannten Größe $\b X_{C2}$ an mit:
\[\b X_{C2}=-jX \]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur eine \textbf{reelle} Größe --
nämlich $X$ -- bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
damit dann so aus:
\begin{eqnarray*}
\b X_{C1}&=&-j\unit[50]{\Omega} \\
\b X_L&=&j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b R&=&\unit[20]{\Omega}\\
\b X_{C2}&=&-jX \\
\end{eqnarray*}
Ich beginne mit der Zusammenfassung aus $X_{C2}$ und $R$. Diese nenne ich
$\b Z_1$.
\[\b Z_1=\b X_{C2}+\b R=-jX+\unit[20]{\Omega}\]
Parallel zu $Z_1$ liegt $X_{C1}$. Diese Parallelschaltung nenne ich $\b Z_2$.
\begin{eqnarray*}
\b Z_2&=&\frac{\b Z_1 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_1+\b X_{C1}} \\
\b Z_2&=&\frac{(-jX+\unit[20]{\Omega}) \cdot (-j\unit[50]{\Omega})}
  {-jX+\unit[20]{\Omega}-j\unit[50]{\Omega}}\\
\b Z_2&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})} \\
\end{eqnarray*}
In Reihe zu $Z_2$ liegt $X_L$. Damit erhalte ich den Gesamtwiderstand $\b Z$:
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\b Z_2+\b X_L \\
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Ab hier gibt es wieder -- wie bei den vorangehenden Aufgaben auch -- zwei
unterschiedliche Lösungswege.
\subparagraph*{Lösungsweg 1}
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert Komplex erweitern} \\
&=&\frac{(-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2) \cdot
  (\unit[20]{\Omega}+jX+j\unit[50]{\Omega})}
  {[\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})] \cdot
   [(\unit[20]{\Omega}+j(X+\unit[50]{\Omega})]}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
&=&\frac{-\unit[1000]{\Omega}^2 X-j\unit[50]{\Omega}X^2-j\unit[2500]{\Omega}^2X
  -j\unit[20000]{\Omega}^3+\unit[1000]{\Omega}^2X+\unit[50000]{\Omega}^3}
  {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} +j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b Z&=&\frac{-j\unit[50]{\Omega}X^2-j\unit[2500]{\Omega}^2X
  -j\unit[20000]{\Omega}^3+\unit[50000]{\Omega}^3}
  {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} +j\unit[2{,}5]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Der Bruch kann nun in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden. Das geht dann
auch mit dem gesamten $\b Z$.

\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
  -\unit[2500]{\Omega}^2 X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
   +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \left( \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
   -\unit[2500]{\Omega}^2 X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}\right) \\
\end{eqnarray*}
Laut Aufgabenstellung ist Im$(\b Z)=0$. Daraus können wir eine Gleichung zur
Bestimmung von $X$ machen.
\begin{eqnarray*}
 \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}&=&0
   \quad |\cdot \textnormal{Nenner} \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[400]{\Omega}^2
   +(X+\unit[50]{\Omega})^2 \right) &=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[400]{\Omega}^2+X^2
   +\unit[100]{\Omega} X+\unit[2500]{\Omega}^2 \right)&=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot \left(\unit[2900]{\Omega}^2+X^2
   +\unit[100]{\Omega}X \right) &=&0 \\
-\unit[50]{\Omega}X^2-\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3
   +\unit[36250]{\Omega}^3+\unit[12{,}5]{\Omega}X^2+\unit[1250]{\Omega}^2X&=&0 \\
-\unit[37{,}5]{\Omega}X^2-\unit[1250]{\Omega}^2X+\unit[16250]{\Omega}^3&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Wir haben eine Quadratische Gleichung erhalten, die wir nun mit der
$p-q-$Formel lösen können.
\newpage
\begin{eqnarray*}
-\unit[37{,}5]{\Omega}X^2-\unit[1250]{\Omega}^2X+\unit[16250]{\Omega}^3&=&0
  \quad|:(-\unit[37{,}5]{\Omega}) \\
X^2+\frac{100}{3}\Omega X -\frac{1300}{3} \Omega^2&=&0 \\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm
  \sqrt{\frac{2500}{9}\Omega^2+\frac{3900}{9}\Omega^2}\\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm \sqrt{\frac{6400}{9}\Omega^2} \\
X_{1/2}&=&-\frac{50}{3}\Omega \pm \frac{80}{3}\Omega \\
X_1&=&\frac{30}{3}\Omega =\unit[10]{\Omega}\\
X_2&=&-\frac{130}{3}\Omega \textnormal{ (entfällt)} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}{$\b X_{C2}=-j\unit[10]{\Omega}$}
oder: \fcolorbox{red}{yellow}{$X_{C2}=\unit[10]{\Omega}$}\end{center}
Fehlt noch $\b Z$. Da Im$\b Z=0$ ist, ist $\b Z=Z=\textnormal{Re}\b Z$.
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(X+\unit[50]{\Omega})^2}+j \left( \frac{-\unit[50]{\Omega}X^2
  -\unit[2500]{\Omega}^2X-\unit[20000]{\Omega}^3}
   {\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2}+\unit[12{,}5]{\Omega}\right) \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+(X+\unit[50]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2
  +(\unit[10]{\Omega}+\unit[50]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+(\unit[60]{\Omega})^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[400]{\Omega}^2+\unit[3600]{\Omega}^2} \\
&=&\frac{\unit[50000]{\Omega}^3}{\unit[4000]{\Omega}^2} \\
\b Z&=&\unit[12{,}5]{\Omega} \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}{$\b Z=Z=\unit[12{,}5]{\Omega}$}
\end{center}
\newpage
\subparagraph*{Lösungsweg 2}
Alternativ ergibt sich auch hier wieder die Möglichkeit, aus \textbf{einer
Komplexen} Gleichung \textbf{zwei Reelle} Gleichungen zu machen. Das allerdings
geht nur, weil $\b Z=Z$ ist!
\begin{eqnarray*}
\b Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}\\
Z&=&\frac{-\unit[50]{\Omega}X-j\unit[1000]{\Omega}^2}
  {\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})}+j\unit[12{,}5]{\Omega}
  \quad|\cdot \textnormal{Nenner}\\
Z \cdot [\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})]&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[12{,}5]{\Omega}\cdot
   [\unit[20]{\Omega}-j(X+\unit[50]{\Omega})] \\
Z \cdot (\unit[20]{\Omega}-jX-j\unit[50]{\Omega})&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[12{,}5]{\Omega} \cdot (\unit[20]{\Omega}
  -jX-j\unit[50]{\Omega}) \\
\unit[20]{\Omega}Z-jXZ-j\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[50]{\Omega}X
  -j\unit[1000]{\Omega}^2+j\unit[250]{\Omega}^2+\unit[12{,}5]{\Omega}X
  +\unit[625]{\Omega}^2 \\
\unit[20]{\Omega}Z-jXZ-j\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X
  -j\unit[750]{\Omega}^2+\unit[625]{\Omega}^2 \\
\end{eqnarray*}
Diese Gleichung können wir nun ein eine Gleichung mit den Realteilen und in
eine mit den Imaginärteilen zerlegen. Das ist der eigentliche "`Trick"' bei
diesem Verfahren.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{Realteile: }&\unit[20]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X
  +\unit[625]{\Omega}^2 \\
\textnormal{Imaginärteile: }&-XZ-\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
\end{array}\]
Da dieses Gleichungssystem \textbf{nichtlinear} ist, kommt als Lösungsverfahren
wohl nur das Einsetzungsverfahren in Frage. Dazu löse ich die Realteilgleichung
nach $Z$ auf und setze das Ergebnis in die Imaginärteilgleichung ein.
\begin{eqnarray*}
\unit[20]{\Omega}Z&=&-\unit[37{,}5]{\Omega}X+\unit[625]{\Omega}^2
  \quad|:\unit[20]{\Omega}\\
Z&=&-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega}\\
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in die Imaginärteilgleichung:
\begin{eqnarray*}
-XZ-\unit[50]{\Omega}Z&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
-X \cdot (-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega})-\unit[50]{\Omega}
  \cdot (-1{,}875X+\unit[31{,}25]{\Omega})&=&-\unit[750]{\Omega}^2 \\
1{,}875X^2-\unit[31{,}25]{\Omega}X+\unit[93{,}75]{\Omega}X-\unit[1562{,}5]{\Omega}^2
  &=&-\unit[750]{\Omega}^3 \quad|+\unit[750]{\Omega}^2 \\
1{,}875X^2+\unit[62{,}5]{\Omega}X-\unit[812{,}5]{\Omega}^2&=&0 \quad|:1{,}875 \\
x^2+\frac{100}{3}\Omega X-\frac{1300}{3} \Omega^2&=&0 \\
\end{eqnarray*}
Da diese Gleichung auch schon beim ersten Lösungsweg auftrat, kann man den Rest
der Lösung dort nachlesen; der restliche Lösungsweg ist identisch.

\newpage %----------------------------------------------------
\subsubsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(0,-0.5)(10,5.8)
   \pnode(1,4){A}
   \pnode(1,1){B}
   \pnode(5,4){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(5,1){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(9,4){E}
   \pnode(9,1){F}
   \coil[labeloffset=1.2](A)(C){$X_{L1}$}
   \coil[labeloffset=1.2](C)(E){$X_{L2}$}
   \resistor[labeloffset=-1](E)(F){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.5](C)(D){$X_C$}
   \wire(B)(F)
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie die Widerstände $X_{L1}$ und
$X_C$ so, dass der Gesamtwiderstand $\b Z$ der Schaltung gleich
$\unit[10]{\Omega}$ reell wird! \\
Bekannt sind die Werte $X_{L2}=\unit[8]{\Omega}$ und $R=\unit[16]{\Omega}$. \\ \\ \\ \\

\paragraph*{Lösung:}
Um das Problem lösen zu können, stelle ich die Formel auf, mit deren Hilfe
$\b Z$ aus den Blind- und Wirkwiderständen bestimmt wird. Dabei setze ich die
unbekannten Größen $\b X_{L1}$ und $\b X_C$ an mit:
\[\b X_{L1}=jX_L \quad \textnormal{ und } \quad \b X_C=-jX_C\]
Mit diesem Ansatz erreiche ich, dass ich nur zwei \textbf{reelle} Größen,
nämlich $X_L$ und $X_C$, bestimmen muss. Die Liste der verwendeten Größe sieht
demnach also so aus:
\begin{eqnarray*}
R=\unit[16]{\Omega}\quad &\Rightarrow& \quad \b R=\unit[16]{\Omega}\\
X_{L2}=\unit[8]{\Omega}\quad &\Rightarrow& \quad \b X_{L2}=j\unit[8]{\Omega}\\
X_{L1}=X_L \quad &\Rightarrow& \quad \b X_{L1}=jX_L \\
& & \quad \b X_C=-jX_C
\end{eqnarray*}
Die Reihenschaltung aus $X_{L2}$ und $R$ nenne ich $Z_1$ und erhalte mit der
Formel für die Reihenschaltung:
\[\b Z_1=\b R + \b X_{L2}=\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}\]
$Z_1$ ist zu $X_C$ parallel geschaltet. Diese Parallelschaltung nenne ich
$Z_2$. Ich bestimme $\b Z_2$ mit der Formel für die Parallelschaltung.
\[\b Z_2=\frac{\b Z_1 \cdot \b X_C}{\b Z_1+\b X_C}
 =\frac{(\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}) \cdot (-jX_C)}
    {(\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega})+(-jX_C)}
 =\frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
   {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega} -jX_C}\]
Hinzu kommt noch $\b X_{L1}$, wenn ich den Gesamtwiderstand $\b Z$ bestimmen will:
\[\b Z=\b X_{L1}+\b Z_2=jX_L+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}\]
Da \mbox{$\b Z=\unit[10]{\Omega}$} (reell) bekannt ist, kann diesen Wert für
$\b Z$ einsetzen. Ich erhalte dann \emph{eine} Komplexe Gleichung mit
\emph{zwei} Variablen.
\[\unit[10]{\Omega}=jX+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}\]
Eine solche Gleichung löst man am besten dadurch, dass man sie in
\emph{Kom\-po\-nen\-ten\-glei\-chung\-en} aufspaltet. Damit das möglich ist, muss ich die
Gleichung vorher mit dem Hauptnenner multiplizieren, um keine Brüche mehr zu
haben. \textbf{Die Aufspaltung ist nämlich nur bei \emph{Linearen Gleichungen}
möglich!}
\begin{eqnarray*}
\unit[10]{\Omega}&=&jX_L+ \frac{-j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C}
  {\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C}
  |\cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C) \\
\unit[10]{\Omega} \cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C)
  &=& jX_L \cdot (\unit[16]{\Omega}+j\unit[8]{\Omega}-jX_C)
   -j\unit[16]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2+j\unit[80]{\Omega}^2-j\unit[10]{\Omega}X_C
  &=&j\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C-j\unit[16]{\Omega}X_C
   +\unit[8]{\Omega}X_C
  | +j\unit[10]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2+j\unit[80]{\Omega}^2
  &=& j\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C
   -j\unit[6]{\Omega}X_C+\unit[8]{\Omega}X_C
\end{eqnarray*}
Diese Komplexe Gleichung kann nun aufgespaltet werden in eine Gleichung mit den
\emph{Realteilen} und eine andere Gleichung mit den \emph{Imaginärteilen}.
\begin{eqnarray*}
\textnormal{Re: } \quad \unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C
  +\unit[8]{\Omega}X_C\\
\textnormal{Im: } \quad \unit[80]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}X_L
  -\unit[6]{\Omega}X_C
\end{eqnarray*}
Ich löse die Gleichung aus den Imaginärteilen nach $X_L$ auf, um das Ergebnis
in die andere Gleichung einzusetzen.
\begin{eqnarray*}
\unit[80]{\Omega}^2&=&\unit[16]{\Omega}X_L-\unit[6]{\Omega}X_C
 |+\unit[6]{\Omega}X_C \\
\unit[80]{\Omega}^2+\unit[6]{\Omega}X_C&=&\unit[16]{\Omega}X_L
 |:\unit[16]{\Omega}\\
\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C &=& X_L
\end{eqnarray*}
Einsetzen in die Reelle Gleichung:
\begin{eqnarray*}
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}X_L+X_L X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[8]{\Omega}(\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C)
  +(\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} X_C) X_C+\unit[8]{\Omega}X_C \\
\unit[160]{\Omega}^2&=&-\unit[40]{\Omega}^2-\unit[3]{\Omega}X_C
  +\unit[5]{\Omega}X_C+\frac{3}{8} X_C^2
  +\unit[8]{\Omega}X_C |+\unit[40]{\Omega}^2 \\
\unit[200]{\Omega}^2&=&\unit[10]{\Omega}X_C+\frac{3}{8} X_C^2
  | \cdot \frac{8}{3} \\
\frac{1600}{3} \Omega^2 &=& \frac{80}{3} \Omega X_C+X_C^2
  | -\frac{1600}{3} \Omega^2 \\
0 &=& X_C^2+\frac{80}{3} \Omega X_C-\frac{1600}{3} \Omega^2 \\
X_{C1/2} &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{ \left( \frac{40}{3}\Omega
  \right)^2+\frac{1600}{3} \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{\frac{1600}{9} \Omega^2+\frac{4800}{9}
   \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \sqrt{\frac{6400}{9} \Omega^2}\\
 &=&-\frac{40}{3} \Omega \pm \frac{80}{3} \Omega \\
X_{C1}&=&\frac{40}{3} \Omega \\
X_{C2}&=&-\frac{120}{3} \Omega =-\unit[40]{\Omega}
\end{eqnarray*}
Die Lösung $X_{C2}=-\unit[40]{\Omega}$ entfällt, denn es können nur positive
Werte eingesetzt werden. Sonst wäre $C$ eine Spule! Die Lösung
$X_{C2}=\frac{40}{3} \Omega$ setze ich in die umgeformte Imaginärteil-Gleichung
ein.
\[X_L=\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8}X_C
  =\unit[5]{\Omega}+\frac{3}{8} \cdot \frac{40}{3} \Omega=\unit[10]{\Omega}\]
Die Lösungen lauten also:
\fcolorbox{red}{yellow}{$X_L=\unit[10]{\Omega}$}\quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$X_C=\frac{40}{3} \Omega \approx \unit[13{,}3]{\Omega}$}

\newpage %---------------------
\subsubsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(9,4.7)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,3){A1}
   \pnode(0.2,3){A01}
   \pnode(3,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(3,3){B1}\qdisk(B1){2pt}
   \pnode(6,0){C0}\qdisk(C0){2pt}
   \pnode(6,3){C1}\qdisk(C1){2pt}
   \pnode(8.5,0){D0}
   \pnode(8.5,3){D1}
   \coil[labeloffset=1.2](A01)(B1){$L_1$}
   \coil[labeloffset=-0.6](C1)(C0){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](D1)(D0){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.1](B1)(B0){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=1.1](B1)(C1){$C_2$}
   \psline{-}(C1)(D1)
   \psline[linewidth=1pt]{o-}(A1)(A01)
   \psline{o-}(A0)(D0)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie die Kapazität $C_2$ so, dass
bei einer Kreisfrequenz von \mbox{$\omega =\unit[1\,000]{s^{-1}}$} der
Ersatzwiderstand \emph{\b Z} der Schaltung rein reell wird!
Bekannt sind folgende Werte:\\    \enlargethispage{15mm}
\mbox{$L_1=\unit[4]{H}$} \quad  \mbox{$L_2=\unit[25]{H}$} \quad
\mbox{$R=\unit[50]{k \Omega}$} \quad \mbox{$C_1=\unit[200]{nF}$}\\
Wie groß wird damit der Ersatzwiderstand \emph{\b Z}?

\paragraph*{Lösung:}
Zunächst werden die Blindwiderstände bestimmt:
\[\b X_{L1}=j \omega L_1=j \cdot \unit[1\,000]{s^{-1}} \cdot \unit[4]{H}
  =j\unit[4]{k \Omega}\]
\[\b X_{L2}=j \omega L_2=j \cdot \unit[1\,000]{s^{-1}} \cdot \unit[25]{H}
  =j\unit[25]{k \Omega}\]
\[\c X_{C1}=\cfrac{1}{j \omega C_1}
 =\cfrac{1}{j \cdot \unit[1\,000]{s^{-1}} \cdot \unit[200]{µF}}
 =-j\unit[5]{k \Omega}\]
Den Betrag des kapazitiven Blindwiderstand des gesuchten Kondensators nenne ich
$X$. Damit erhalte ich:
\[\b X_{C2}=-j X\]

Den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung $R \parallel L_2$ nenne ich $\b Z_1$.
Dieser kann berechnet werden:
\[\begin{array}{rcll}
\b Z_1&=&\cfrac{\b R \cdot \b X_{L2}}{\b R+\b X_{L2}}\\
&=&\cfrac{\unit[50]{k \Omega} \cdot j\unit[25]{k \Omega}}
 {\unit[50]{k \Omega}+j\unit[25]{k \Omega}}\\
&=&\cfrac{j\unit[1\,250]{k \Omega^2}}
  {\unit[50]{k \Omega}+j\unit[25]{k \Omega}}\\
&=&\cfrac{j\unit[1\,250]{k \Omega^2} \cdot
  (\unit[50]{k \Omega}-j\unit[25]{k \Omega})}
  {(\unit[50]{k \Omega}+j\unit[25]{k \Omega}) \cdot
    (\unit[50]{k \Omega}-j\unit[25]{k \Omega})}\\
&=&\cfrac{j\unit[62\,500]{k \Omega^3}+\unit[31\,250]{k \Omega^3}}
  {\unit[2\,500]{k \Omega^2}+\unit[625]{k \Omega^2}}\\
&=&\cfrac{j\unit[62\,500]{k \Omega^3}+\unit[31\,250]{k \Omega^3}}
  {\unit[3\,125]{k \Omega^2}}\\
&=&j\cfrac{\unit[62\,500]{k \Omega^3}}{\unit[3\,125]{k \Omega^2}}
 +\cfrac{\unit[31\,250]{k \Omega^3}}{\unit[3\,125]{k \Omega^2}}\\
\b Z_1&=&j\unit[20]{k \Omega}+\unit[10]{k \Omega}\\
\end{array}\]

Jetzt kann $\b Z_1$ mit $\b X_{C2}$ zu $\b Z_2$ zusammengefasst werden.
\[\b Z_2=\b X_{C2}+\b Z_1=-jX+j\unit[20]{k \Omega}+\unit[10]{k \Omega}\]

Zu $Z_2$ ist $C_1$ parallelgeschaltet. Den zugehörigen Ersatzwiderstand nenne
ich $Z_3$. Wir können $\b Z_3$ über die Parallelschaltungsformel berechnen:\\

\[\begin{array}{rcll}
\b Z_3&=&\cfrac{\b X_{C1} \cdot \b Z_2}{\b X_{C1}+\b Z_2}\\
&=&\cfrac{-j\unit[5]{k \Omega}
  \cdot (-jX+j\unit[20]{k \Omega}+\unit[10]{k \Omega})}
{-j\unit[5]{k \Omega}-jX+j\unit[20]{k \Omega}+\unit[10]{k \Omega}}\\
\b Z_3&=&\cfrac{-\unit[5]{k \Omega}X+\unit[100]{k \Omega^2}-j\unit[50]{k \Omega^2}}
  {j\unit[15]{k \Omega}-jX+\unit[10]{k \Omega}}\\
\end{array}\]

Nun kann der Ersatzwiderstand $Z$ der Gesamtschaltung aufgestellt werden:
\[\b Z=\b Z_3+\b X_{L1}=
\cfrac{-\unit[5]{k \Omega}X+\unit[100]{k \Omega^2}-j\unit[50]{k \Omega^2}}
  {j\unit[15]{k \Omega}-jX+\unit[10]{k \Omega}}+j\unit[4]{k \Omega}\]
Weil $\b Z$ \textbf{reell} werden soll, gilt: \mbox{$\b Z=Z$}
Die sich damit ergebende Gleichung kann dann in eine Lineare Gleichung
umgeformt werden.

{\small
\[\begin{array}{rcll}
Z&=&\cfrac{-\unit[5]{k \Omega}X+\unit[100]{k \Omega^2}-j\unit[50]{k \Omega^2}}
  {j\unit[15]{k \Omega}-jX+\unit[10]{k \Omega}}+j\unit[4]{k \Omega}
   \qquad| \cdot \textnormal{Nenner}\\
Z \cdot (j\unit[15]{k \Omega}-jX+\unit[10]{k \Omega})
&=&-\unit[5]{k \Omega}X+\unit[100]{k \Omega^2}-j\unit[50]{k \Omega^2}
  +j\unit[4]{k \Omega} \cdot (j\unit[15]{k \Omega}-jX+\unit[10]{k \Omega}) \\
j\unit[15]{k \Omega}Z-jXZ+\unit[10]{k \Omega}Z
&=&-\unit[5]{k \Omega}X+\unit[100]{k \Omega^2}-j\unit[50]{k \Omega^2}
  -\unit[60]{k \Omega^2}+\unit[4]{k \Omega}X+j\unit[40]{k \Omega^2}\\
j\unit[15]{k \Omega}Z-jXZ+\unit[10]{k \Omega}Z
&=&-\unit[1]{k \Omega}X+\unit[40]{k \Omega^2}-j\unit[10]{k \Omega^2}\\
\end{array}\]
}

Diese Gleichung kann nun in eine Realteil- und in eine Imaginärteilgleichung
aufgespalten werden.
\[\begin{array}{|rrcl|}
\hline
\textnormal{Re:}&\unit[10]{k \Omega}Z
  &=&-\unit[1]{k \Omega}X+\unit[40]{k \Omega^2}\\
\textnormal{Im:}&\unit[15]{k \Omega}Z-XZ&=&-\unit[10]{k \Omega^2}\\
\hline
\end{array}\]

Die Realteilgleichung kann einfach nach $Z$ aufgelöst werden.
\[\begin{array}{rcll}
\unit[10]{k \Omega}Z&=&-\unit[1]{k \Omega}X+\unit[40]{k \Omega^2}
  &|:(\unit[10]{k \Omega}) \\
Z&=&-0{,}1X+\unit[4]{k \Omega}\\
\end{array}\]

Dieser Term kann nun für $Z$ in die Imaginärteilgleichung eingesetzt werden.
Man erhält eine Quadratische Gleichung, die z.B. mit der $p$-$q$-Forlel gelöst
werden kann.
{\small
\[\begin{array}{rcll}
\unit[15]{k \Omega}Z-XZ&=&-\unit[10]{k \Omega^2}\\
\unit[15]{k \Omega} \cdot (-0{,}1X+\unit[4]{k \Omega})
  -X \cdot (-0{,}1X+\unit[4]{k \Omega})&=&-\unit[10]{k \Omega^2}\\
-\unit[1{,}5]{k \Omega} \cdot X+\unit[60]{k \Omega^2}+0{,}1X^2
  - \unit[4]{k \Omega} \cdot X&=&-\unit[10]{k \Omega^2}&|+\unit[10]{k \Omega}\\
0{,}1X^2-\unit[5{,}5]{k \Omega} \cdot X+\unit[70]{k \Omega^2}&=&0&| \cdot 10 \\
X^2-\unit[55]{k \Omega} \cdot X+\unit[700]{k \Omega^2}&=&0 \\
X_{1/2}&=&\unit[27{,}5]{k \Omega}
  \pm \sqrt{\unit[756{,}25]{k \Omega^2}-\unit[700]{k \Omega^2}}\\
&=&\unit[27{,}5]{k \Omega}\pm \unit[7{,}5]{k \Omega}\\
X_1=\unit[35]{k \Omega}&&X_2=\unit[20]{k \Omega}\\
\end{array}\]
}

Zu beiden Lösungen muss noch die entsprechende Kapazität bestimmt werden. Dazu
stelle ich zunächst die Formel um.

\[\begin{array}{rcll}
X_{C2}&=&\cfrac{1}{\omega C_2}\\
C_2&=&\cfrac{1}{\omega X_{C2}}\\
\end{array}\]

Beide Kapazitäten können nun bestimmt werden:
\[C_{21}=\cfrac{1}{\omega \cdot X_1}
 =\cfrac{1}{\unit[1\,000]{s^{-1}} \cdot \unit[35]{k \Omega}}
 =\unit[28{,}57]{nF}\]
\[C_{22}=\cfrac{1}{\omega \cdot X_2}
 =\cfrac{1}{\unit[1\,000]{s^{-1}} \cdot \unit[20]{k \Omega}}
 =\unit[50]{nF}\]

Zu jeder der beiden Lösungen gibt es natürlich einen anderen Gesamtwiderstand
$Z$.
\[Z_{ges1}=-0{,}1X+\unit[4]{k \Omega}=
-0{,}1 \cdot \unit[35]{k \Omega}+\unit[4]{k \Omega}
=\unit[500]{\Omega}\]
\[Z_{ges2}=-0{,}1X+\unit[4]{k \Omega}
=-0{,}1 \cdot \unit[20]{k \Omega}+\unit[4]{k \Omega}
=\unit[2]{k \Omega}\]

Zusammengefasste Ergebnisse:\\

Lösung 1:
\fcolorbox{red}{yellow}{$C_{21}=\unit[28{,}57]{nF}$} mit
\fcolorbox{red}{yellow}{$Z_1=\unit[500]{\Omega}$} \\
Lösung 2:
\fcolorbox{red}{yellow}{$C_{22}=\unit[50]{nF}$} mit
\fcolorbox{red}{yellow}{$Z_2=\unit[2]{k \Omega}$} \\

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
 \psset{unit=4mm}
 \begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(8,4.7)
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(0,3){A1}
   \pnode(1.5,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(1.5,3){B1}\qdisk(B1){2pt}
   \pnode(4.5,0){C0}\qdisk(C0){2pt}
   \pnode(4.5,3){C1}\qdisk(C1){2pt}
   \pnode(7.5,0){D0}
   \pnode(7.5,3){D1}
   \coil[labeloffset=1.2](B1)(C1){$L_1$}
   \coil[labeloffset=1.2](C1)(D1){$L_2$}
   \resistor[labeloffset=-1](D1)(D0){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-1.1](B1)(B0){$C_1$}
   \capacitor[labeloffset=-1.1](C1)(C0){$C_2$}
   \psline{o-}(A1)(B1)
   \psline{o-}(A0)(D0)
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist nebenstehende Schaltung. Bestimmen Sie den Widerstand $R$ so, dass
die gesamte Schaltung einen rein reellen Ersatzwiderstand hat! Berechnen Sie
auch, wie groß dieser Ersatzwiderstand dann wird!\\
Gegeben sind folgende Werte:\\
\mbox{$X_{L1}=\unit[30]{\Omega}$} \quad
\mbox{$X_{L2}=\unit[36]{\Omega}$} \quad
\mbox{$X_{C1}=\unit[300]{\Omega}$} \quad
\mbox{$X_{C2}=\unit[45]{\Omega}$}\\

\paragraph{Lösung:}
Zunächst werden die komplexen Widerstände aufgestellt.
\[\begin{array}{rcll}
\b X_{L1}&=&j\unit[30]{\Omega}\\
\b X_{L2}&=&j\unit[36]{\Omega}\\
\b X_{C1}&=&-j\unit[300]{\Omega}\\
\b X_{C2}&=&-j\unit[45]{\Omega}\\
\b R&=&R \\
\end{array}\]

Die Zusammenfassung aus $R$ und $L_2$ nenne ich $Z_1$.
\[\b Z_1=\b R+\b X_{L2}=R+j\unit[36]{\Omega}\]

Zu $Z_1$ ist $C_2$ parallelgeschaltet. Diese Parallelschaltung nenne ich $Z_2$.
\[\begin{array}{rcll}
\b Z_2&=&\cfrac{\b Z_1 \cdot \b X_{C2}}{\b Z_1+\b X_{C2}}\\
&=&\cfrac{(R+j\unit[36]{\Omega}) \cdot (-j\unit[45]{\Omega})}
 {R+j\unit[36]{\Omega}-j\unit[45]{\Omega}}\\
\b Z_2
&=&\cfrac{-j\unit[45]{\Omega}R+\unit[1\,620]{\Omega^2}}{R-j\unit[9]{\Omega}}\\
%&=&\cfrac{(-j\unit[45]{\Omega}R+\unit[1\,620]{\Omega^2})
% \cdot (R+j\unit[9]{\Omega})}
% {(R-j\unit[9]{\Omega}) \cdot (R+j\unit[9]{\Omega})}\\
\end{array}\]

Zu $Z_2$ ist $L_1$ in Reihe geschaltet. Diese Reihenschaltung nenne ich $Z_3$.
\[\begin{array}{rcll}
\b Z_3&=&\b Z_2+\b X_{L1}\\
&=&\cfrac{-j\unit[45]{\Omega}R+\unit[1\,620]{\Omega^2}}
  {R-j\unit[9]{\Omega}}+j\unit[30]{\Omega}\\
&=&\cfrac{-j\unit[45]{\Omega}R+\unit[1\,620]{\Omega^2}}
  {R-j\unit[9]{\Omega}}+\cfrac{j\unit[30]{\Omega} \cdot (R-j\unit[9]{\Omega})}
  {R-j\unit[9]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{-j\unit[45]{\Omega}R+\unit[1\,620]{\Omega^2}
  +j\unit[30]{\Omega}R+\unit[270]{\Omega^2}}{R-j\unit[9]{\Omega}}\\
\b Z_3
&=&\cfrac{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2}}{R-j\unit[9]{\Omega}}\\
\end{array}\]

Zu $Z_3$ ist $C_1$ parallelgeschaltet. Diese Parallelschaltung nenne ich $Z$,
denn es ist der Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung.

\[\begin{array}{rcll}
\b Z&=&\cfrac{\b Z_3 \cdot \b X_{C1}}{\b Z_3+\b X_{C1}}\\
&=&\cfrac{\frac{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2}}
  {R-j\unit[9]{\Omega}} \cdot (-j\unit[300]{\Omega})}
{\frac{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2}}{R-j\unit[9]{\Omega}}
 -j\unit[300]{\Omega}}\\
&=&\cfrac{\frac{(-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2})
  \cdot (-j\unit[300]{\Omega})}
  {R-j\unit[9]{\Omega}}}
{\frac{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2-j\unit[300]{\Omega}
   \cdot (R-j\unit[9]{\Omega})}}{R-j\unit[9]{\Omega}}}\\
&=&\cfrac{(-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2})
 \cdot (-j\unit[300]{\Omega})}
{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2-j\unit[300]{\Omega}
   \cdot (R-j\unit[9]{\Omega})}}\\
&=&\cfrac{-\unit[4\,500]{\Omega^2}R-j\unit[567\,000]{\Omega^3}}
{-j\unit[15]{\Omega}R+\unit[1\,890]{\Omega^2}
  -j\unit[300]{\Omega}R-\unit[2\,700]{\Omega^2}}\\
\b Z&=&\cfrac{-\unit[4\,500]{\Omega^2}R-j\unit[567\,000]{\Omega^3}}
{-j\unit[315]{\Omega}R-\unit[810]{\Omega^2}}\\
\end{array}\]

Da $\b Z$ \textbf{reell} sein muss, gilt: \mbox{$\b Z=Z$}.
\[\begin{array}{rcll}
Z&=&\cfrac{-\unit[4\,500]{\Omega^2}R-j\unit[567\,000]{\Omega^3}}
{-j\unit[315]{\Omega}R-\unit[810]{\Omega^2}}\\
Z \cdot (-j\unit[315]{\Omega}R-\unit[810]{\Omega^2})
 &=&-\unit[4\,500]{\Omega^2}R-j\unit[567\,000]{\Omega^3}\\
-j\unit[315]{\Omega}RZ-\unit[810]{\Omega^2}Z
 &=&-\unit[4\,500]{\Omega^2}R-j\unit[567\,000]{\Omega^3}\\
\end{array}\]

Diese Komplexe Gleichung kann nun in eine Realteil- und eine
Imaginärteilgleichung aufgespalten werden.

\[\begin{array}{|lrcl|}
\hline
\textnormal{Re:}&-\unit[810]{\Omega^2}Z&=&-\unit[4\,500]{\Omega^2}R\\
\textnormal{Im:}&-\unit[315]{\Omega}RZ&=&-\unit[567\,000]{\Omega^3}\\
\hline
\end{array}\]

Nun kann die Realteilgleichung nach $Z$ umgestellt werden.
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[810]{\Omega^2}Z&=&-\unit[4\,500]{\Omega^2}R &|:(-\unit[810]{\Omega^2}) \\
Z&=&\cfrac{50}{9}R \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in die Imaginärteilgleichung eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
-\unit[315]{\Omega}RZ&=&-\unit[567\,000]{\Omega^3}\\
-\unit[315]{\Omega}R \cdot \cfrac{50}{9}R&=&-\unit[567\,000]{\Omega^3}\\
-\unit[1\,750]{\Omega}R^2&=&-\unit[567\,000]{\Omega^3}
  &|:(-\unit[1\,750]{\Omega}) \\
R^2&=&\unit[324]{\Omega^2} &| \sqrt{\ }\\
R_{1/2}&=&\pm \unit[18]{\Omega}\\
\end{array}\]

Der negative Wert entfällt natürlich aus elektrotechnischen Gründen. Es gibt
nur die eine Lösung:
\[R=\unit[18]{\Omega}\]

Dieser Wert kann in die umgeformte Realteilgleichung eingesetzt werden, um $Z$
zu erhalten.

\[\begin{array}{rcll}
Z&=&\cfrac{50}{9}R \\
Z&=&\cfrac{50}{9} \cdot \unit[18]{\Omega}\\
Z&=&\unit[100]{\Omega}\\
\end{array}\]

Zusammengefasste Ergebnisse:
\fcolorbox{red}{yellow}{$R=\unit[18]{\Omega}$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$Z=\unit[100]{\Omega}$}


\end{document}
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%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
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