\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-circ}
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty}
\usepackage{units}
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\title{Ungleichungen mit Brüchen}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Allgemeines zum Lösen von Ungleichungen}
Mit Ungleichungen kann \textbf{\emph{fast}} genau so gerechnet werden, wie mit
Gleichungen. Ohne besondere Bedingungen kann man auf beiden Seiten beliebige
Zahlen addieren und subtrahieren. Problematisch wird es beim
\textbf{\emph{Multiplizieren}} und beim \textbf{\emph{Dividieren}}. Zu beachten
ist:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer}
\fcolorbox{red}{yellow}{\textbf{\emph{negativen}} Zahl kehrt sich das
 Ungleichungszeichen um.}
\end{center}
Außerdem gilt: \textbf{\emph{Beim Multiplizieren mit der Zahl Null wird aus der
Ungleichung eine Gleichung.}} Dieser Fall ist allerdings von untergeordneter
Bedeutung. In die Versuchung, mit Null zu multiplizieren, gerät man eigentlich
nicht. \\ \\
Was bedeutet das in der Praxis? Dazu ein paar Beispiele.
\[-2x<4\]
Hier möchte man auf beiden Seiten durch $-2$ dividieren. Also kehrt sich das
Ungleichungszeichen um:
\[x>-2\]
Ein anderes Beispiel:
\[\frac{x}{-4}\leq -3\]
Wir multiplizieren mit $-4$, also wird aus dem $\leq$ ein $\geq$.
\[x \geq 12\]
\newpage

%--------------------------------------
\subsection{Ungleichung mit einem Bruch}
Wirklich probematisch wird es erst, wenn man mit einem Term multiplizieren
muss, der eine Variable enthält. Auch hierzu ein Beispiel:
\[\frac{x}{x-2}\geq 2\]
Um den Bruch aufzulösen, müssen wir die Ungleichung mit $(x-2)$ multiplizieren.
Das Problem: Niemand weiß, ob $(x-2)$ positiv oder negativ ist, denn das hängt
einzig und allein davon ab, welche Werte man für $x$ einsetzt. Deshalb müssen
wir eine \textbf{\emph{Fallunterscheidung}} machen. \\ \\
Der erste Fall ist dabei für alle $x$ zuständig, für die $(x-2)$
\textbf{\emph{positiv}}, der zweite Fall für die $x$, für die $(x-2)$
\textbf{\emph{negativ}} ist. Das ist für $x>2$ bzw. $x<2$ der Fall. Der Fall
$x=2$ kann dabei unberücksichtigt bleiben, da dafür der Nenner $x-2=0$ wäre.
Der Definitionsbereich lautet daher:
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{2\}$}
\[\frac{x}{x-2}\geq 2 \quad| \cdot (x-2)\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>2:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcl}
x&\geq&2(x-2) \\
x&\geq&2x-4 \quad|-2x \\
-x&\geq&-4 \quad|\cdot (-1) \\
x&\leq&4
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
x&\leq&2(x-2) \\
x&\leq&2x-4 \quad|-2x \\
-x&\leq&-4 \quad|\cdot (-1) \\
x&\geq&4
\end{array}
\end{array}\]

Auf den ersten Blick erhält man zwei Lösungen, die sich widersprechen.
In Wahrheit gilt aber die Lösung $x \leq 4$ nur für den Fall, dass $x>2$ ist.
Für die zweite Lösung gilt entsprechend, dass sie nur gültig ist im Bereich
$x<2$. Man bekommt also zwei Teillösungsmengen \textbf{\emph{für den jeweiligen
Gültigkeitsbereich}}. \\

\begin{wrapfigure}{l}{4cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(5.5,4)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(0.5,2)(4,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(2,3)(4,3)
    \uput{0.1}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](4,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Um die jeweilige Teillösungsmenge zu bestimmen, muss man eine UND-Verknüpfung
zwischen dem \textbf{\emph{Ergebnisterm}} und der zugehörigen
\textbf{\emph{Bedingung für den Gültigkeitsbereich}} bilden. Dazu erscheint es
mir sinnvoll, die Zusammenhänge graphisch darzustellen. Zur graphischen
Ermittlung der ersten Tellösungsmenge $L_1$ ist links ein Zahlenstrahl
dargestellt. Darüber ist in \textcolor{red}{Rot} die
\textcolor{red}{Bedingung für den untersuchten Bereich $x>2$} dargestellt. Der
kleine Kreis an der
linken Begrenzung bei 2 bedeutet, dass alle $x$ oberhalb von 2 zum untersuchten
Bereich gehören, die 2 selbst aber nicht. Rechts am roten Strich ist keine
Begrenzung eingetragen; das bedeutet, es gibt \textbf{keine} obere Begrenzung.
In \textcolor{blue}{Blau} ist darüber der \textcolor{blue}{Bereich des
Ergebnisterms $x \leq 4$} dargestellt. Hier gibt es nach links keine
Begrenzung. Rechts ist ein kleiner senkrechter Strich als obere Begrenzung
eingezeichnet. Dadurch wird ausgedrückt, dass die Grenze -- hier die Zahl 4 --
\textbf{nicht} ausgeschlossen ist, sondern ebenfalls zum dargestellten Bereich
gehört. Die tatsächliche Lösung für den untersuchten Bereich liegt dann dort,
wo die beiden Striche \textbf{nebeneinander her} verlaufen.
\textcolor{green}{Dieser Lösungs-Bereich} ist ebenfalls eingezeichnet und zwar
mit \textcolor{green}{grüner Farbe}.\\

Nun muss dieser grüne Bereich noch als Zahlenmenge angegeben werden.
Das geht am besten in der \textbf{\emph{beschreibenden}} Form einer
Lösungsmenge:
\[L_1=\{x|x \leq 4 \wedge x>2\}=\{x|2<x \leq 4\}\]
Zur ersten Teillösungsmenge $L_1$ gehören also alle $x$, die zwischen 2 und 4
liegen und zwar ohne die 2, aber mit der 4.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(5.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,2)(5.5,2)
    \uput{0.1}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Entsprechend erfolgt die Bestimmung der zweiten Lösungsmenge $L_2$ für den
zweiten untersuchten Bereich. Die Zusammenhänge am Zahlenstrahl sind hier
rechts dargestellt. Wieder ist der \textcolor{red}{untersuchte Bereich rot} und
der \textcolor{blue}{Ergebnisterm blau} eingezeichnet. Man kann leicht
erkennen, dass es hier \textbf{keinen} Bereich gibt,
in dem beide Linien nebeneinander her verlaufen. Daher kann keine
Teillösungsmenge eingezeichnet werden, diese Menge ist eine \textbf{leere
Menge}. In Mengenschreibweise sieht die zweite Teillösungsmenge $L_2$ so aus:
\[L_2=\{x|x \geq 4 \wedge x<2\}=\{\ \}\]
Da es keine Zahl gibt, die einerseits kleiner als 2, andererseits größer oder
gleich 4 sein kann, ist die zweite Teillösungsmenge $L_2$ eine leere Menge.
Damit ist die Gesamtlösungsmenge identisch mit der ersten Teillösungsmenge:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1= \{x|2<x \leq 4\}$}
\end{center}

\vspace{10mm}
\underline{Anmerkung:} Es kann passieren, dass man beim Auflösen einer
Ungleichung auch einmal eine \textbf{Quadratische} Ungleichung erhält. Wie man
damit umgehen kann, ist hier nachzulesen:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quadungl.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quadungl.pdf}\fi \end{center}

\newpage  %----------------------------
\subsection{Ungleichung mit mehreren Brüchen}
Etwas komplizierter wird es, wenn die Ungleichung mehrere Brüche enthält. Zur
Erläuterung soll nachfolgendes Beispiel dienen.
\[\cfrac{2x+1}{x+1}\geq \cfrac{2x-5}{x-3}\]

Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt. Aus dem Nenner des linken
Bruches \mbox{$(x+1)$} ergibt sich, dass \mbox{$x=-1$} ausgeschlossen werden
muss, aus dem Nenner des rechten Bruches \mbox{$(x-3)$} folgt die Notwendigkeit
des Ausschlusses von \mbox{$x=3$}. Wir erhalten als Definitionsbereich:
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1;3\}$}\\

\textbf{Gleichungen} mit mehreren Brüchen löst man
bekanntlich,\footnote{Einzelheiten siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}
indem man die Gleichung mit dem \textbf{Hauptnenner} multipliziert. Eine
entsprechende Vorgehensweise ist auch hier möglich. Der Hauptnenner wäre hier
das Produkt der Nenner, weil die Nenner teilerfremd sind, also:
\mbox{$(x+1) \cdot (x-3)$}\\

Da der Hauptnenner etwas unübersichtlich ist, gibt es jetzt zwei Möglichkeiten,
wie man weiter vorgehen kann.
\begin{itemize}
\item Man multipliziert nicht sofort mit dem \textbf{ganzen} Hauptnenner,
  sondern geht in zwei Schritten vor. Dann ist jedesmal eine Fallunterscheidung
  notwendig.
\item Man untersucht vorweg, wo der Hauptnenner positiv und wo er negativ ist.
  Das ist natürlich zusätzlicher Aufwand. Dafür ist nur eine einzige
  Fallunterscheidung erforderlich.
\end{itemize}
Beide Vorgehensweisen sollen hier miteinander verglichen werden. Dazu werden
sie nacheinander vorgestellt.
\paragraph{Lösungsweg 1:}
Auf den ersten Blick einfacher ist es,
die Ungleichung zunächst nur mit einem Nenner zu multiplizieren. Dabei ist
natürlich eine Fallunterscheidung notwendig, wie wir eben gesehen
haben. Im nächsten Schritt multipliziert man dann mit dem anderen Nenner, wobei
erneut eine Fallunterscheidung notwendig wird. Wir erhalten damit insgesamt
\textbf{vier} Fälle. Wie das aussieht, wollen wir uns an der Beispielaufgabe
ansehen.
\[\cfrac{2x+1}{x+1}\geq \cfrac{2x-5}{x-3}\quad | \cdot (x+1) \]
Der Faktor $(x+1)$, mit dem wir multiplizieren wollen, ist \textbf{positiv} für
\mbox{$x>-1$} und \textbf{negativ} für \mbox{$x<-1$}. Aus Platzgründen
behandele ich die Fälle jetzt nacheinander.

\newpage
\[\cfrac{2x+1}{x+1}\geq \cfrac{2x-5}{x-3}\quad | \cdot (x+1)\]
\[ \underline{\textnormal{für }x>-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
2x+1 &\geq&\cfrac{(2x-5) \cdot (x+1)}{x-3}\\
2x+1 &\geq&\cfrac{2x^2+2x-5x-5}{x-3}\\
2x+1 &\geq&\cfrac{2x^2-3x-5}{x-3}&| \cdot (x-3) \\
\end{array}\]
An dieser Stelle wird die zweite Fallunterscheidung nötig.

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>3:} && \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
(2x+1) \cdot (x-3)&\geq&2x^2-4x-6 \\
2x^2-6x+x-3&\geq&2x^2-3x-5 \\
2x^2-5x-3&\geq&2x^2-3x-5 &|-2x^2 \\
-5x-3&\geq&-3x-5 &|+3x \\
-2x-3&\geq&-5 &|+3 \\
-2x&\geq&-2 &|:(-1) \\
x&\leq&1 \\
\end{array} && \begin{array}{rcll}
(2x+1) \cdot (x-3)&\leq&2x^2-4x-6 \\
2x^2-6x+x-3&\leq&2x^2-3x-5 \\
2x^2-5x-3&\leq&2x^2-3x-5 &|-2x^2 \\
-5x-3&\leq&-3x-5 &|+3x \\
-2x-3&\leq&-5 &|+3 \\
-2x&\leq&-2 &|:(-1) \\
x&\geq&1 \\
\end{array}
\end{array}\]

Für diese beiden "`Unter"'-Fälle gibt es jeweils eine Teillösungsmenge. Diese
bestimmen wir wieder mit graphischer Unterstützung. Dabei ist zu beachten, dass
auch die Bedingung aus der ersten Fallunterscheidung in der UND-Verknüpfung mit
berücksichtigt wird.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(8,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.5,3)(1,3)
%    \psline[linecolor=green]{o-|}(-1,4)(1,4)
    \uput{0.15}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.\,1}}}
    \uput{0.15}[180](3,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed.\,2}}}
    \uput{0.15}[0](1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
%    \uput{0.15}[0](1,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(8,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,2)(3,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(1,3)(4.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(1,4)(3,4)
    \uput{0.15}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.\,1}}}
    \uput{0.15}[0](3,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed.\,2}}}
    \uput{0.15}[180](1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.15}[180](1,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{\ \}$ && $L_2=\{x|1 \leq x<3\}$
\end{tabular}\\
\end{center}
Wie man leicht sieht, ist die erste Teil-Lösungsmenge $L_1$ leer, da das
Ergebnis komplett außerhalb des Bereiches von Bedingung 2 liegt. Die
Teil-Lösungsmenge $L_2$ geht von 1 bis 3, und zwar einschließlich der 1 aber
ohne die 3.\\

Das war der erste Fall, nämlich für \mbox{$x>1$}. Es folgt der zweite Fall für
\mbox{$x<-1$}, der uns zwei weitere Teil-Lösungsmengen beschert.

\newpage
\[\cfrac{2x+1}{x+1}\geq \cfrac{2x-5}{x-3}\quad | \cdot (x+1)\]
\[ \underline{\textnormal{für }x<-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
2x+1 &\leq&\cfrac{(2x-5) \cdot (x+1)}{x-3}\\
2x+1 &\leq&\cfrac{2x^2+2x-5x-5}{x-3}\\
2x+1 &\leq&\cfrac{2x^2-3x-5}{x-3}&| \cdot (x-3) \\
\end{array}\]
An dieser Stelle wird die zweite Fallunterscheidung nötig.

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>3:} && \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
(2x+1) \cdot (x-3)&\leq&2x^2-4x-6 \\
2x^2-6x+x-3&\leq&2x^2-3x-5 \\
2x^2-5x-3&\leq&2x^2-3x-5 &|-2x^2 \\
-5x-3&\leq&-3x-5 &|+3x \\
-2x-3&\leq&-5 &|+3 \\
-2x&\leq&-2 &|:(-1) \\
x&\geq&1 \\
\end{array} && \begin{array}{rcll}
(2x+1) \cdot (x-3)&\geq&2x^2-4x-6 \\
2x^2-6x+x-3&\geq&2x^2-3x-5 \\
2x^2-5x-3&\geq&2x^2-3x-5 &|-2x^2 \\
-5x-3&\geq&-3x-5 &|+3x \\
-2x-3&\geq&-5 &|+3 \\
-2x&\geq&-2 &|:(-1) \\
x&\leq&1 \\
\end{array}
\end{array}\]

Auch für diese beiden "`Unter"'-Fälle gibt es jeweils eine Teillösungsmenge.
Diese bestimmen wir wieder mit graphischer Unterstützung.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(8,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(1,3)(4.5,3)
    \uput{0.15}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.\,1}}}
    \uput{0.15}[180](3,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed.\,2}}}
    \uput{0.15}[180](1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(8,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,2)(3,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.5,3)(1,3)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,4)(-1,4)
    \uput{0.15}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.\,1}}}
    \uput{0.15}[0](3,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed.\,2}}}
    \uput{0.15}[0](1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.15}[0](-1,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_3=\{\ \}$ && $L_4=\{x|x<-1\}$
\end{tabular}\\
\end{center}

Man sieht, die erste Teil-Lösungsmenge $L_3$ ist leer, da sich schon die
beiden Bedingungen gegenseitig ausschließen. Hätte man das rechtzeitig bemerkt,
hätte man diesen Fall garnicht weiter untersuchen müssen, da er nicht
existiert. Die Teil-Lösungsmenge $L_4$ ist der gesamte Bereich unterhalb von
$-1$. Wir können jetzt alle Teil-Lösungsmengen zusammenfassen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup L_4=
 \{x|x<-1 \vee 1 \leq x <3 \}$}
\end{center}

Das wäre die komplette erste Lösungvariante. An einigen Stellen hätte man
sicher etwas Schreibarbeit einsparen können. Beispielweise entfiel komplett der
dritte Fall. Auch muss man nicht die komplette Rechnung jedesmal neu
durchführen, da sie sich ja im Ergebnis nur um die \textbf{Richtung des
Ungleichheitszeichens} unterscheiden. Für Fall 2 bis 4 hätte die Ergebniszeile
daher ausgereicht. Trotzdem bleibt noch relativ viel Aufwand zur Verwaltung der
vier Fälle. Bei drei Brüchen wären es noch einmal doppelt so viele, also acht!
Daher lohnt es sich, sich mit der zweiten Lösungsvariante zu beschäftigen, die
jetzt vorgestellt wird.

\paragraph{Lösungsweg 2:}
Die Idee bei diesem Lösungsansatz liegt darin, mit nur \textbf{zwei} zu
unterscheidenden Fällen auszukommen. Dafür muss der Hauptnenner auf seine
Vorzeichenbereiche untersucht werden, damit diese in die Bedingungen für eine
Fallunterscheidung übernommen werden können, wenn sofort mit dem kompletten
Hauptnenner multipliziert wird. Führen wir das an unserem Beispiel durch.\\

Der Hauptnenner lautet: \mbox{$(x+1) \cdot (x-3)$}. Die Bedingung in der
erforderlichen Fallunterscheidung für den positiven Fall lautet damit also:
\[(x+1) \cdot (x-3)>0\]
Wir müssten vorab also eigentlich eine Quadratische Ungleichung lösen, wie
beispielsweise hier beschrieben ist:
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quadungl.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quadungl.pdf}\fi\\
Das wäre jedoch unnötig viel Aufwand, denn einerseits liegt der HN in
faktorisierter Form vor und andererseits kennen wir schon seine Nullstellen,
weil wir diese aus dem Definitionsbereich ausschließen mussten. Dies ist bei
\mbox{$x_1=-1$} und \mbox{$x_2=3$} der Fall. Folgende Überlegung hilft
weiter:
\begin{quote}
Der Hauptnenner ist ein Polynom. Da ein Polynom \textbf{stetig} ist, kann es
sein Vorzeichen nur dort wechseln, wo eine Nullstelle vorliegt.
\end{quote}
Deshalb können
wir für unseren Hauptnenner stets Bereiche angeben, in denen ein einheitliches
Vorzeichen vorliegt. Dieses kann man durch ein Zahlenbeispiel aus dem
jeweiligen Zahlenbereich bestimmen. Weil sich das auf dieser theoretischen
Grundlage doch recht kompliziert anhört, führe ich das für unser Beispiel
vor.\\

Bekannt sind die Nullstellen \mbox{$x_1=-1$} und \mbox{$x_2=3$}. Damit erhalten
wir drei Bereiche, in denen der HN überall das gleiche Vorzeichen hat:
\begin{itemize}
\item der Bereich unterhalb von $-1$
\item der Bereich zwischen $-1$ und $3$
\item der Bereich oberhalb von $3$
\end{itemize}

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(7.5,0){E0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,3){B3}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
    \psline*[linecolor=yellow!50](B3)(B0)(C0)(C3)(B3)
    \psline*[linecolor=blue!20](D3)(D0)(C0)(C3)(D3)
    \psline*[linecolor=green!20](D3)(D0)(E0)(E3)(D3)
    \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
%    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
%    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
%    \uput{0.2}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){3}
  \end{pspicture}
  \caption{\emph{Vorzeichentabelle}}
\end{wrapfigure}
Um das ganze übersichtlich zu gestalten, entwerfe ich eine Tabelle, in die die
Vorzeichen eingetragen werden können. Die obere waagerechte Linie, die hier rot
dargestellt ist, stellt einen symbolischen Zahlenstrahl dar, an der die
Nullstellen mit ihren Zahlenwerten angetragen sind, hier also die $-1$ und die
3. Wichtig ist hier nur die Reihenfolge, die Abstände auf einem tatsächlichen
Zahlenstrahl sind gleichgültig. Die kleinste Zahl muss links, die größte muss
rechts stehen. Unterhalb dieser Zahlen steht jeweils ein senkrechter Strich,
der die Begrenzung der Bereiche darstellt.\\

Der gelbe Bereich markiert den Zahlenbereich unterhalb von $-1$, der blaue den
Bereich zwischen $-1$ und 3 und der grüne den Bereich oberhalb von 3. Hier
können die Vorzeichen für jeden Faktor und jeden Bereich eingetragen werden.
Hat der Nenner mehr als zwei Faktoren, dann haben wir hier auch
entsprechend mehr Zeilen und Spalten.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
%    \uput{0.2}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){3}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
%    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
%    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
%    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wie das in unserem Beispiel konkret aussieht, ist nebenstehend dargestellt.
Links werden die einzelnen Faktoren des Hauptnenners eingetragen. In unserem
Beispiel ist das \mbox{$(x+1)$} und \mbox{$(x-3)$}. Rechts daneben werden die
Vorzeichen für den jeweiligen Bereich eingetragen. Um diese zu bestimmen reicht
es aus, eine beliebige Zahl aus dem jeweiligen Bereich in den darzustellenden
Term einzusetzen.\\

Ein Beispiel: Der Term \mbox{$(x+1)$} soll für den Zahlenbereich unterhalb von
$-1$ untersucht werden. Wir setzen eine beliebige Zahl aus dem Bereich ein,
egal welche. Ich nehme z.B. die $-2$. Ich berechne:
\[x+1=-2+1=-1\]
In diesem Bereich ist dieser Term also \textbf{negativ}. Deshalb wird hier ein
Minuszeichen eingetragen. Für den Bereich $-1$ bis 3 muss ein Pluszeichen
eingetragen werden, wie beispielsweise mit \mbox{$x=0$} ausprobiert werden
kann. Das gleiche gilt für den Bereich \mbox{$x>3$}. Hier kann man
beispielsweise eine 5 einsetzen.
Das gleiche machen wir mit dem Faktor \mbox{$(x-3)$}. Wir erhalten ähnliche
Ergebnisse, jedoch ist dieser Term im Bereich $-1$ bis 3 negativ.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
    \uput{0.5}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){3}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zum Schluss wird in die letzte Zeile der Hauptnenner eingetragen, hier mit
\textbf{HN} abgekürzt. Die Vorzeichen in den jeweiligen Bereichen setzen sich
aus den Vorzeichen der entsprechenden Faktoren zusammen. Bekanntlich ergibt:\\
Plus  mal  Plus $\rightarrow$ Plus \\
Plus  mal  Minus $\rightarrow$ Minus \\
Minus  mal  Minus $\rightarrow$ Plus \\
Nach diesem System werden die Vorzeichenbereiche für den Hauptnenner bestimmt,
der ja das Produkt der einzelnen Faktoren darstellt. Für unser Beispiel
erhalten wir den Bereich unterhalb von $-1$ und oberhalb von 3 für einen
positiven Hauptnenner und den Bereich dazwischen für einen negativen.\\

Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun die Ungleichung direkt mit dem HN
multiplizieren und kommen mit genau zwei Fällen aus. Beim Aufschreiben der
beiden Fälle wird auf die Komplettdarstellung des zweiten Falles verzichtet.
Die Ergebniszeile genügt, da die Rechnung bis auf des Ungleichungszeichen
identisch ist.

\newpage
\[\cfrac{2x+1}{x+1}\geq \cfrac{2x-5}{x-3}\quad | \cdot (x+1) \cdot (x-3)\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x<-1 \vee x>3:} &&
   \underline{\textnormal{für }-1<x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
(2x+1) \cdot (x-3)&\geq&(2x-5) \cdot (x+1) \\
2x^2-6x+x-3&\geq&2x^2+2x-5x-5 \\
2x^2-5x-3&\geq&2x^2-3x-5 &|-2x^2+3x+3 \\
-2x&\geq&-2 &|:(-1) \\
x&\leq&1 \\
\end{array} && \begin{array}{rcll}
\\
\\
&\vdots \\
\\
x&\geq&1 \\
\end{array}
\end{array}\]

\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{10mm}c}
&  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(5.8,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.5,2)(1,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,3)(-1,3)
    \uput{0.15}[0](4.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.15}[0](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.15}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(1,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(1,3)(3,3)
    \uput{0.15}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.15}[180](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.15}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x<-1 \}$ && $L_2=\{x|1 \leq x<3 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(1,1)(3,1)
    \uput{0.1}[90](-1.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](2,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|x<-1 \vee 1 \leq x<3 \}$}
\end{center}

Jeder mag für sich selbst entscheiden, welches Lösungsverfahren ihm mehr
zusagt.

\newpage  %----------------------------
\section{Aufgaben}
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der nachfolgenden
Ungleichungen!
\subsection{Aufgabe 1} \[\frac{3x+1}{x-3}<5\]
\subsection{Aufgabe 2} \[4 \leq \frac{x-4}{x+2}\]
\subsection{Aufgabe 3} \[\frac{2x-5}{x+3} \geq \frac{5x+1}{x+3}\]
\subsection{Aufgabe 4} \[\frac{x+2}{2x-4} \leq \frac{x+5}{3x-6}\]
%\subsection{Aufgabe 4a} \[\frac{x+2}{2x-4} \leq \frac{x+5}{x-2}\]
\subsection{Aufgabe 5} \[\frac{x+1}{x-1} \geq \frac{x-5}{x-3}\]
\subsection{Aufgabe 6} \[\frac{1}{x+3}\geq \frac{4}{x+4}-\frac{3}{x+1}\]
\subsection{Aufgabe 7}
  \[\frac{4x^2-5x-13}{4x^2-9}<\frac{5x-3}{2x+3}-\frac{3x-4}{2x-3}\]
\subsection{Aufgabe 8}
  \[\frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{x^2-3x} \geq -\frac{1}{x^2+3x}\]
\subsection{Aufgabe 9}
  \[\frac{x}{x-2}>\frac{5}{x-2}\]
\subsection{Aufgabe 10}
  \[ \frac{x+1}{3x}\leq \frac{6}{3x}\]
\subsection{Aufgabe 11}
  \[ \frac{3}{2x+1}<\frac{4x+1}{2x+1}\]
\subsection{Aufgabe 12}
  \[ \frac{x}{x+6}>\frac{x+1}{x+6}\]
\subsection{Aufgabe 13}
  \[ \frac{7}{x-3}\leq 2\]
\subsection{Aufgabe 14}
  \[ \frac{-3}{2x+5}<-1\]
\subsection{Aufgabe 15}
  \[ \frac{1}{x-4}> \frac{1}{2}\]
\subsection{Aufgabe 16}
  \[ \frac{5}{6-3x}\leq -\frac{2}{3}\]
\subsection{Aufgabe 17}
  \[ \frac{2x}{3x-1}<-5\]
\subsection{Aufgabe 18}
  \[ \frac{x+1}{x-1}>0\]
\subsection{Aufgabe 19}
  \[ \frac{3-x}{3+x}\leq 3\]
\subsection{Aufgabe 20}
  \[ \frac{2x-5}{4+3x}<12\]
\subsection{Aufgabe 21}
  \[ \frac{5}{1-5x}>\frac{2}{1-2x}\]
\subsection{Aufgabe 22}
  \[ \frac{2x}{x+1}\leq \frac{4x-1}{2x}\]
\subsection{Aufgabe 23}
  \[ \frac{x}{x+1}<\frac{x}{x-1}\]
\subsection{Aufgabe 24}
  \[ \frac{5x}{2-x}>\frac{-5x}{2+x}\]
\subsection{Aufgabe 25}
  \[ \frac{2+3x}{4-2x}\leq \frac{2-3x}{4+2x}\]
\subsection{Aufgabe 26}
  \[ \frac{6x+3}{4x+8}<\frac{3x-1}{2x+4}\]
\subsection{Aufgabe 27}
  \[ \frac{3x-8}{x-2}\geq \frac{3x+2}{x+3}\]
\subsection{Aufgabe 28}
  \[ \frac{2x+7}{x+4}+2 \geq \frac{4x-3}{x-3}\]
\subsection{Aufgabe 29}
  \[ \frac{3x-4}{2x+3}-5 \leq \frac{10-14x}{4x-4}\]
\subsection{Aufgabe 30}
  \[ \frac{3}{x+1}+\frac{1}{x+3}\leq \frac{4}{x+4}\]
\subsection{Aufgabe 31}
  \[ \frac{x+2}{x^2+x-2}\geq \frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}\]
\subsection{Aufgabe 32}
  \[ \frac{1}{x-2}>\frac{5x-5}{x^2-4}-\frac{4}{x-1}\]
\subsection{Aufgabe 33}
  \[\cfrac{4}{1-|2x+1|}\leq \cfrac{7}{2}\]

  \newpage  %----------------------------
\section{Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\frac{3x+1}{x-3}<5\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{3\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
\[\frac{3x+1}{x-3}<5 \quad | \cdot (x-3)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob $(x-3)$ positiv oder negativ
ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn man die
Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig!

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>3:} && \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcl}
3x+1&<&5 \cdot (x-3) \\
3x+1&<&5x-15 \quad|-5x-1 \\
-2x&<&-16 \quad|:(-2) \\
x&>&8 \\
\end{array} && \begin{array}{rcl}
3x+1&>&5 \cdot (x-3) \\
3x+1&>&5x-15 \quad|-5x-1 \\
-2x&>&-16 \quad|:(-2) \\
x&<&8 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(1.5,-2)(10,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(1.5,-0.4)(9.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(9.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(8,2)(9.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(8,3)(9.5,3)
    \uput{0.1}[180](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](8,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(1.5,-2)(10,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(1.5,-0.4)(9.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(1.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(1.5,2)(8,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(1.5,3)(3,3)
    \uput{0.1}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x>8\}$ && $L_2=\{x|x<3\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
Zusammengefasste Lösungsmengen: \\
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(1.5,-2)(10,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(1.5,-0.4)(9.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(1.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=green]{o-}(8,1)(9.5,1)
    \uput{0.1}[90](8.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](2.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<3 \vee x>8 \}$}
\end{center}

\newpage
%----------------------------
\subsection{Aufgabe 2} \[4 \leq \frac{x-4}{x+2}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
\[4 \leq \frac{x-4}{x+2} \quad | \cdot (x+2)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob $(x+2)$ positiv oder negativ
ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn man die
Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig!
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>-2:} && \underline{\textnormal{für }x<-2:} \\
\begin{array}{rcl}
4 \cdot (x+2) &\leq& x-4 \\
4x+8 &\leq&x-4 \quad|-x-8 \\
3x &\leq&-12 \quad|:3 \\
x &\leq&-4 \\
\end{array} && \begin{array}{rcl}
4 \cdot (x+2) &\geq& x-4 \\
4x+8 &\geq&x-4 \quad|-x-8 \\
3x &\geq&-12 \quad|:3 \\
x &\geq&-4 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-2,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-5.5,2)(-4,2)
    \uput{0.1}[90](-1.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[-90](-4.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-4,2)(-0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-4,3)(-2,3)
    \uput{0.1}[0](-2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{\ \}$ && $L_2=\{x|-4 \leq x<-2\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_2=\{x|-4 \leq x<-2\}$}
\end{center}
%--------------------------------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\[\frac{2x-5}{x+3} \geq \frac{5x+1}{x+3}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo die (gleichen) Nenner Null
werden.
\begin{center}$x+3=0 \quad \Rightarrow \quad x=-3 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-3\}$}\end{center}
Nun wird die Lösungsmenge bestimmt.
 \[\frac{2x-5}{x+3} \geq \frac{5x+1}{x+3} \quad| \cdot (x+3)\]
Eine Fallunterscheidung ist notwendig, je nachdem, ob (x+3) positiv oder
negativ ist!
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>-3:} && \underline{\textnormal{für }x<-3:} \\
\begin{array}{rcl}
2x-5 &\geq& 5x+1 \quad|-5x+5 \\
-3x&\geq&6 \quad|:(-3) \\
x&\leq&-2 \\
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
2x-5 &\leq& 5x+1 \quad|-5x+5 \\
-3x&\leq&6 \quad|:(-3) \\
x&\geq&-2 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-3,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-5.5,2)(-2,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-3,3)(-2,3)
    \uput{0.1}[180](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-2,2)(-0.5,2)
    \uput{0.1}[90](-4,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[90](-1.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|-3<x \leq -2 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|-3<x \leq -2\}$}
\end{center}

\emph{\underline{Anmerkung}: Da sich beide Fälle bei der Berechnung
\emph{ausschließlich} durch die Ungleichungszeichen unterscheiden, muss man
nicht die komplette Berechnung doppelt aufschreiben. Es reicht daher völlig
aus, im zweiten Fall nur den Ergebnisterm mit dem richtigen Ungleichungszeichen
hinzuschreiben. Bei den folgenden Lösungen wird das so gemacht.}
\newpage
%-----------------
\subsection{Aufgabe 4} \[\frac{x+2}{2x-4} \leq \frac{x+5}{3x-6}\]
Zuerst bestimme ich den Hauptnenner (durch geeignete Zerlegung der einzelnen
Nenner) sowie die Erweiterungsfaktoren\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennerbestimmung und den Erweiterungsfaktoren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}:
\[\begin{array}{rcrrr|l}
2x-4&=&2&       &\cdot (x-2)& EF=3 \\
3x-6&=& &      3&\cdot (x-2)& EF=2 \\
\hline
HN  &=&2&\cdot 3&\cdot (x-2)
\end{array}\]
Anhand des Hauptnenners kann man gut den Definitionsereich bestimmen. Der
einzige Faktor im Hauptnenner, der Null werden kann, ist der Term $(x-2)$.
\begin{center}$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{2\}$}\end{center}
Jetzt wird die Lösungsmenge bestimmt. Ich verwende die abgekürzte Schreibweise
für den zweiten Fall, wie bei Aufgabe 2 angesprochen.
\[\frac{x+2}{2x-4} \leq \frac{x+5}{3x-6} \quad| \cdot\textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>2:} && \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcl}
(x+2) \cdot 3 &\leq& (x+5) \\
3x+6&\leq&2x+10 \quad|-2x-6 \\
x&\leq&4 \\
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& : \\
& : \\
x&\geq&4 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(0.5,2)(4,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(2,3)(4,3)
    \uput{0.1}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](4,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,2)(5.5,2)
    \uput{0.1}[90](1.2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[-90](4.7,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|2<x \leq 4 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|2<x \leq 4\}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 5} \[\frac{x+1}{x-1} \geq \frac{x-5}{x-3}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der beiden Nenner:
$\quad \textnormal{HN}=(x-1) \cdot (x-3)$. Die
Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{1;3\}$}\end{center}
Zur Bestimmung der Lösungsmenge gibt es grundsätzlich zwei verschiedene
Methoden.
\begin{enumerate}
\item Man multipliziert die Ungleichung zunächst nur mit dem einen Nenner und
  erst in einem zweiten Schritt mit dem zweiten. Dabei ist
  \textbf{\emph{jedesmal}} eine Fallunterscheidung notwendig. Wir erhalten also
  im Prinzip 4 Fälle.
\item Man untersucht \textbf{\emph{vor}} der Multiplikation mit dem
  \textbf{\emph{kompletten}} Hauptnenner die Vorzeichenbereiche des
  Hauptnenners und erhält nur zwei zu unterscheidende Fälle.
\end{enumerate}
Ich verwende die zweite Methode. Dazu erstelle ich eine Vorzeichentabelle.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
    \uput{0.5}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$1$}
    \uput{0.1}[90](D3){3}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von 1 und oberhalb von 3, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
Fallunterscheidung zu verwenden.
\[\frac{x+1}{x-1} \geq \frac{x-5}{x-3} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x<1 \vee x>3:}  &&
 \quad \underline{\textnormal{für }1<x<3:} \\
\begin{array}{rcl}
(x+1) \cdot (x-3)&\geq&(x-5) \cdot (x-1) \\
x^2-3x+x-3&\geq&x^2-x-5x+5 \\
x^2-2x-3&\geq&x^2-6x+5 \quad|-x^2+6x+3 \\
4x&\geq&8 \quad|:4 \\
x&\geq&2
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&2
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{35mm}c}
&  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.8,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-0.5,1)(1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(2,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(3,3)(4.5,3)
    \uput{0.1}[0](4.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](4.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](4.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(1,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-0.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(1,3)(2,3)
    \uput{0.1}[180](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x>3 \}$ && $L_2=\{x|1<x \leq 2 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-}(3,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(1,1)(2,1)
    \uput{0.1}[90](3.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](1.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|1<x \leq 2 \vee x>3 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 6} \[\frac{1}{x+3}\geq \frac{4}{x+4}-\frac{3}{x+1}\]
Wie man leicht sieht, sind die drei Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
$\quad \textnormal{HN}=(x+3) \cdot (x+4) \cdot (x+1)$.
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-1;-3;-4\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+3$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x+4$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x+1$}
    \uput{0.4}[180](N4){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-4$}
    \uput{0.1}[90](D3){$-3$}
    \uput{0.1}[90](E3){$-1$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv zwischen $-4$ und $-3$ sowie oberhalb von
$-1$, und negativ in dem Bereich unterhalb von $-4$ sowie in dem Bereich
zwischen $-3$ und $-1$. Diese Bereiche sind demnach in der Fallunterscheidung
zu verwenden.
\[\frac{1}{x+3}\geq \frac{4}{x+4}-\frac{3}{x+1} \quad | \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }-4<x<-3 \vee x>-1:}  &
 \quad \underline{\textnormal{für }x<-4 \vee -3<x<-1:} \\
\begin{array}{rcl}
1(x+4)(x+1)&\geq&4(x+3)(x+1)-3(x+3)(x+4) \\
x^2+5x+4&\geq&4x^2+16x+12-3x^2-21x-36 \\
x^2+5x+4&\geq&x^2-5x-24 \quad | -x^2+5x-4 \\
10x&\geq&-28 \quad |:10 \\
x&\geq&-2{,}8
\end{array}&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&-2{,}8
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{5mm}cp{1mm}c}
&  \psset{xunit=11mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-4,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-2.8,2)(0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(-1,3)(0.5,3)
    \uput{0.1}[180](-4,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-2.8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=11mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-4,1)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-3,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-5.5,2)(-2.8,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-3,3)(-2.8,3)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-5.5,3)(-4,3)
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-2.8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-2.8,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x>-1 \}$ && $L_2=\{x|x\leq -4 \vee-3<x \leq-2{,}8 \}$
\end{tabular}
\end{center}
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst. Es sind drei unzusammenhängende
Einzelbereiche:
\begin{center}
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-5.5,1)(-4,1)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-3,1)(-2.8,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-1,1)(0.5,1)
    \uput{0.1}[90](-0.5,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-4.3,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}

\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2
  =\{x|x<-4 \vee-3<x \leq-2{,}8 \vee x>-1 \}$}
\end{center}
\newpage  %--------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
  \[\frac{4x^2-5x-13}{4x^2-9}<\frac{5x-3}{2x+3}-\frac{3x-4}{2x-3}\]
Da man nicht leicht sieht, ob die Nenner teilerfremd sind, empfiehlt sich die
klassische Nenneranalyse zur Hauptnennerbestimmung. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\[\begin{array}{rcrr|rcl}
4x^2-9 &=& (2x+3) &\cdot (2x-3) & \textnormal{EF}&=& 1 \\
2x+3   &=& (2x+3) &             & \textnormal{EF}&=& 2x-3 \\
2x-3   &=&        &      (2x-3) & \textnormal{EF}&=& 2x+3 \\
\hline
\textnormal{HN} &=& (2x+3) &\cdot (2x-3)
\end{array}\]
Unser Hauptnenner besteht aus 2 Faktoren. Damit ergibt sich der
Definitionsbereich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus
\left\{-1{,}5;1{,}5 \right\}$}\end{center}

Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$2x+3$}
    \uput{0.2}[180](N2){$2x-3$}
    \uput{0.5}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1{,}5$}
    \uput{0.1}[90](D3){1,5}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-1{,}5$ sowie oberhalb von
$1{,}5$, und negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind
demnach in der Fallunterscheidung zu verwenden.
\[\frac{4x^2-5x-13}{4x^2-9}<\frac{5x-3}{2x+3}-\frac{3x-4}{2x-3} \quad|
   \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x<-1{,}5 \vee x>1{,}5:}  &
 \quad \underline{\textnormal{für }-1{,}5<x<1{,}5:} \\
\begin{array}{rcl}
4x^2-5x-13&<&(5x-3) \cdot (2x-3)-(3x-4) \cdot (2x+3) \\
4x^2-5x-13&<&10x^2-15x-6x+9-6x^2-9x+8x+12 \\
4x^2-5x-13&<&4x^2-22x+21 \quad| -4x^2+22x+13 \\
17x&<&34 \quad| :17 \\
x&<&2
\end{array}&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&>&2
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{6mm}cp{20mm}c}
&  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(-1.5,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(1.5,1)(3.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-3.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-3.5,3)(-1.5,3)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(1.5,3)(2,3)
    \uput{0}[0](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1.5,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(2,2)(3.5,2)
    \uput{0.1}[90](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[-90](2.8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x<-1{,}5 \vee 1{,}5<x<2 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\left\{x|x<-1{,}5 \vee 1{,}5<x<2\right\}$}
\end{center}
\newpage  %--------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
  \[\frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{x^2-3x} \geq -\frac{1}{x^2+3x}\]
Da man nicht leicht sieht, ob die Nenner teilerfremd sind, empfiehlt sich die
klassische Nenneranalyse zur Hauptnennerbestimmung\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennerbestimmung und den Erweiterungsfaktoren siehe hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}.
\[\begin{array}{lcrrr|rcl}
x^2-9          &=&   &(x+3) &\cdot (x-3) & \textnormal{EF}&=& x \\
x^2-3x         &=& x &      &\cdot (x-3) & \textnormal{EF}&=& x+3 \\
x^2+3x         &=& x &\cdot (x+3) &      & \textnormal{EF}&=& x-3 \\
\hline
\textnormal{HN}&=& x &\cdot (x+3) &\cdot (x-3)
\end{array}\]
Unser Hauptnenner besteht aus 3 Faktoren. Damit ergibt sich der
Definitionsbereich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-3;0;3\}$}
\end{center}

Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x+3$}
    \uput{0.4}[180](N4){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-3$}
    \uput{0.1}[90](D3){$0$}
    \uput{0.1}[90](E3){$3$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv zwischen $-3$ und $0$ sowie oberhalb von $3$,
und negativ in dem Bereich unterhalb von $-3$ sowie in dem Bereich zwischen
$0$ und $3$. Diese Bereiche sind demnach in der Fallunterscheidung zu
verwenden.
\[\frac{3}{x^2-9}-\frac{1}{x^2-3x} \geq -\frac{1}{x^2+3}
   \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }-3<x<0 \vee x>3:}  &
 \quad \underline{\textnormal{für }x<-3 \vee 0<x<3:} \\
\begin{array}{rcl}
3 \cdot x-1 \cdot (x+3)&\geq&-1 \cdot (x-3) \\
3x-x-3&\geq&-x+3 \\
2x-3&\geq&x-3 \quad| +x+3 \\
3x&\geq&6 \quad| :3 \\
x&\geq&2
\end{array}&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&2
\end{array}\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{6mm}cp{5mm}c}
&  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-3,1)(0,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(2,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(3,3)(4.5,3)
    \uput{0.1}[180](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(0,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-3,3)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(0,3)(2,3)
    \uput{0.1}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x>3 \}$ && $L_2=\{x|x<-3 \vee 0<x \leq 2 \}$
\end{tabular}
\end{center}

Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:
\begin{center}
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(0,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(3,1)(4.5,1)
    \uput{0.1}[90](3.5,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[90](-1.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2
  =\{x|x<-3 \vee 0<x \leq 2 \vee x>3 \}$}
\end{center}
%---------------------------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 9}
  \[\frac{x}{x-2}>\frac{5}{x-2}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo die Nenner Null werden.
\begin{center}$x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{2\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
\[\frac{x}{x-2}>\frac{5}{x-2}\quad| \cdot (x-2)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob $(x-2)$ positiv oder negativ
ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn man die
Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig!
\[\begin{array}{cccccc}
\underline{\textnormal{für }x>2:} && &
 \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
x>5 &&& x<5
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(7.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(7.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(5,2)(7.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(5,3)(7.5,3)
    \uput{0.2}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(7.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-0.5,2)(5,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-0.5,3)(2,3)
    \uput{0.2}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x>5 \}$ && $L_2=\{x|x<2\}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(7.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(7.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-}(5,1)(7.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-0.5,1)(2,1)
    \uput{0.1}[90](5.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](1.5,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<2 \vee x>5\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
  \[ \frac{x+1}{3x}\leq \frac{6}{3x}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo die Nenner Null werden.
\begin{center}$3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{0\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
  \[ \frac{x+1}{3x}\leq \frac{6}{3x}\quad| \cdot 3x\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $3x$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig!
\[\begin{array}{ccc}
\underline                         {\textnormal{Für }x>0:}&&\underline{\textnormal{Für }x<0:}\\
\begin{array}{rcll}
x+1&\leq&6&|-1 \\
x&\leq&5
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \vdots \\
x&\geq& 5
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{5mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(0,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.5,2)(5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(0,3)(5,3)
    \uput{0.2}[180](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-1.5,1)(0,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(5,2)(6.5,2)
    \uput{0.1}[90](-0.7,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[-90](5.7,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|0<x \leq 5 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|0<x \leq 5\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 11}
  \[ \frac{3}{2x+1}<\frac{4x+1}{2x+1}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo die Nenner Null werden.
\begin{center}$2x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-0{,}5 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
  \[ \frac{3}{2x+1}<\frac{4x+1}{2x+1}\quad| \cdot (2x+1) \]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(2x+1)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>-0{,}5$ ist, ist der
Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-0{,}5:}&&\underline{\textnormal{Für }x<-0{,}5:}\\
\begin{array}{rcll}
3&<&4x+1&|-4x-3 \\
-4x&<&-2&|:(-4) \\
x&>&0{,}5
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
&\vdots \\
&\vdots \\
x&<&0{,}5
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-1.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-0.5,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(0.5,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0.5,3)(1.5,3)
    \uput{0.1}[180](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-1.5,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-1.5,2)(0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-1.5,3)(-0.5,3)
    \uput{0.1}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|x>0{,}5 \}$ && $L_2=\{x<-0{,}5 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(1.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0.5,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-1.5,1)(-0.5,1)
    \uput{0.1}[90](0.8,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.8,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<-0{,}5 \vee x>0{,}5 \}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 12}
  \[ \frac{x}{x+6}>\frac{x+1}{x+6}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo die Nenner Null werden.
\begin{center}$x+6=0 \quad \Rightarrow \quad x=-6 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-6\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
  \[ \frac{x}{x+6}>\frac{x+1}{x+6}\quad| \cdot (x+6)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(x+6)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>-6$ ist, ist der Faktor
positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-6:}&\qquad \qquad&\underline{\textnormal{Für }x<-6:}\\
\begin{array}{rcll}
x&>&x+1&|-x \\
0&>&1&\textnormal{ (falsche Aussage) }
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
&\vdots \\
0&<&1&\textnormal{ (wahre Aussage) }
\end{array}
\end{array}\]
Der linke Fall hat zu einer \textbf{falschen Aussage} geführt, daher kommt von
hier \textbf{keine} Lösung. Nur der rechte Fall führt zu einer \textbf{wahren
Aussage}, daher ist die zugehörige Bedingung in der Überschrift zugleich die
Lösungsmenge der Ungleichung. Eine graphische Darstellung der Zusammenhänge
erscheint mir hier entbehrlich.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<-6\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
  \[ \frac{7}{x-3}\leq 2\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{3\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
\[ \frac{7}{x-3}\leq 2 \quad| \cdot (x-3)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(x-3)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>3$ ist, ist der Faktor
positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>3:}&&\underline{\textnormal{Für }x<3:}\\
\begin{array}{rcll}
7&\leq&2 \cdot (x-3) \\
7&\leq&2x-6&|-2x-7 \\
-2x&\leq&-13&|:(-2) \\
x&\geq&6{,}5
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&6{,}5
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(0.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(8.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(6.5,2)(8.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(6.5,3)(8.5,3)
    \uput{0.2}[180](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](6.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](6.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(0.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(0.5,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(0.5,3)(3,3)
    \uput{0.2}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](6.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|x \geq 6{,}5 \}$ && $L_2=\{x<3 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(8.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(0.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(6.5,1)(8.5,1)
    \uput{0.1}[90](7,1){\textcolor{blue}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](2.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<3 \vee x \geq 6{,}5\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 14}
  \[ \frac{-3}{2x+5}<-1\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$2x+5=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2{,}5 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2{,}5\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden.
  \[ \frac{-3}{2x+5}<-1 \quad| \cdot (2x+5)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(2x+5)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>-2{,}5$ ist, ist der
Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-2{,}5:}&&\underline{\textnormal{Für }x<-2{,}5:}\\
\begin{array}{rcll}
-3&<&-1 \cdot (2x+5) \\
-3&<&-2x-5 &|+2x+3 \\
2x&<&-2 &|:2 \\
x&<&-1
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&>&-1
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-4.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-2.5,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-4.5,2)(-1,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-2.5,3)(-1,3)
    \uput{0.1}[180](-2.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-2.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-1,2)(1.5,2)
    \uput{0.1}[90](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[90](-0.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|-2{,}5<x<-1 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|-2{,}5<x<-1\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 15}
  \[ \frac{1}{x-4}> \frac{1}{2}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x=4 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{4\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
  \[ \frac{1}{x-4}> \frac{1}{2}\quad| \cdot (x-4) \cdot 2\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(x-4)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>4$ ist, ist der Faktor
positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>4:}&&\underline{\textnormal{Für }x<4:}\\
\begin{array}{rcll}
2 &>&x-4 &|+4 \\
6 &>&x \\
x&<&6
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
x&>&6
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(1.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(1.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(4,1)(8.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(1.5,2)(6,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(4,3)(6,3)
    \uput{0.2}[180](4,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](6,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](6,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(1.5,-2)(8.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(1.5,-0.4)(8.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(1.5,1)(4,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(6,2)(8.5,2)
    \uput{0.1}[90](3.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[90](6.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|4<x<6 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|4<x<6\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 16}
  \[ \frac{5}{6-3x}\leq -\frac{2}{3}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$6-3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \quad \Rightarrow \quad$
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{2\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
  \[ \frac{5}{6-3x}\leq -\frac{2}{3} \quad| \cdot (6-3x) \cdot 3\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(6-3x)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x<2$ ist, ist der Faktor
positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x<2:}\qquad \qquad \qquad &&\underline{\textnormal{Für }x>2:}\\
\begin{array}{rcll}
5 \cdot 3 &\leq&-2 \cdot (6-3x) \\
15 &\leq&-12+6x&|-6x-15 \\
-6x &\leq&-27&|:(-6) \\
x&\geq&4{,}5
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&4{,}5
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4.5,2)(6.5,2)
    \uput{0.1}[90](1.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[90](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-0.5,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(2,3)(4.5,3)
    \uput{0.2}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](4.5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](4.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{\ \}$ && $L_2=\{x|2<x \leq 4{,}5 \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_2=\{x|2<x \leq 4{,}5\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 17}
  \[ \frac{2x}{3x-1}<-5\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$3x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{3}
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
 {$D= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{3}\right\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
  \[ \frac{2x}{3x-1}<-5 \quad| \cdot (3x-1)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(3x-1)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>\frac{1}{3}$ ist, ist der
Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>\frac{1}{3}\approx 0,33:}\qquad
  &&\underline{\textnormal{Für }x<\frac{1}{3}\approx 0,33:}\\
\begin{array}{rcll}
2x&<&-5 \cdot (3x-1) \\
2x&<&-15x+5 \quad|+15 \\
17x&<&5 \quad|:17 \\
x&<&\frac{5}{17}\approx 0{,}29 \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&>&\frac{5}{17}\approx 0{,}29 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=250mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(0.22,-2)(0.39,3.5)
    \psaxes[Dx=0.05]{-}(0,0)(0.22,-0.4)(0.39,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(0.333,1)(0.49,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(0.22,2)(0.29,2)
    \uput{0.1}[180](0.333,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.29,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=250mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.22,-2)(0.39,3.5)
    \psaxes[Dx=0.05]{-}(0,0)(0.22,-0.4)(0.39,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(0.22,1)(0.333,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(0.29,2)(0.39,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(0.29,3)(0.333,3)
    \uput{0.2}[0](0.333,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](0.29,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](0.333,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{\ \}$ && $L_2=\left\{x|\frac{5}{17}<x<\frac{1}{3}\right\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_2=\left\{x|\frac{5}{17}<x<\frac{1}{3}\right\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 18}
  \[ \frac{x+1}{x-1}>0\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
 {$D= \mathbb{R} \setminus \{1\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
  \[ \frac{x+1}{x-1}>0 \quad| \cdot (x-1)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor $(x-1)$ positiv oder
negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen umkehren muss, wenn
man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl multipliziert, ist eine
\textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn $x>1$ ist, ist der
Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>1:}\qquad
  &&\underline{\textnormal{Für }x<1:}\\
\begin{array}{rcll}
x+1&>&0 \quad|-1 \\
x&>&-1 \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \vdots \\
x&<&-1 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(1,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-1,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(1,3)(2.5,3)
    \uput{0.1}[180](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-2.5,2)(-1,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,3)(-1,3)
    \uput{0.2}[0](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|x>1 \}$ && $L_2=\{x|x<-1\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<-1 \vee x>1\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 19}
  \[ \frac{3-x}{3+x}\leq 3\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$3+x=0 \quad \Rightarrow \quad x=-3
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
 {$D= \mathbb{R} \setminus \{-3\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
\[ \frac{3-x}{3+x}\leq 3 \quad| \cdot (3+x)\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor \mbox{$(3+x)$}
positiv oder negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen
umkehren muss, wenn man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl
multipliziert, ist eine \textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn
\mbox{$x>-3$} ist, ist der Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-3:}\qquad
  &&\underline{\textnormal{Für }x<-3:}\\
\begin{array}{rcll}
3-x&\leq&3 \cdot (3+x) \\
3-x&\leq&9+3x \quad|-2x-3 \\
-3x&\leq&6 \quad|:(-3) \\
x&\geq&-2 \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \vdots \\
x&\leq&-2 \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-4.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-3,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-2,2)(-0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(-2,3)(-0.5,3)
    \uput{0.1}[180](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&\qquad
  \psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,2)(-2,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-3,3)
    \uput{0.2}[0](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|x \geq -2 \}$ &&\qquad $L_2=\{x|x<-3\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2=\{x|x<-3 \vee x \geq -2\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 20}
  \[ \frac{2x-5}{4+3x}<12\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo der Nenner Null wird.
\begin{center}$4+3x=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{4}{3}\approx-1,33
 \quad \Rightarrow \quad$ \fcolorbox{red}{yellow}
 {$D= \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{4}{3}\right\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden.
\[ \frac{2x-5}{4+3x}<12 \quad| \cdot (4+3x) \]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Faktor \mbox{$(4+3x)$}
positiv oder negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen
umkehren muss, wenn man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl
multipliziert, ist eine \textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn
\mbox{$x>-\frac{4}{3}$} ist, ist der Faktor positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-\frac{4}{3}:}\qquad
  &&\underline{\textnormal{Für }x<-\frac{4}{3}:}\\
\begin{array}{rcll}
2x-5&<&12 \cdot (4+3x) \\
2x-5&<&48+36x \quad|-36x+5 \\
-34x&<&53 \quad|:(-34) \\
x&>&-\frac{53}{34}\approx-1{,}56 \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& \vdots \\
x&<&-\frac{53}{34} \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{10mm}cp{5mm}c}
& \psset{xunit=20mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-2.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1.33,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-1.56,2)(-0.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(-1.33,3)(-0.5,3)
    \uput{0.1}[180](-1.33,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-1.56,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1.33,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&\qquad
  \psset{xunit=20mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(-0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(-0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1.33,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-2.5,2)(-1.56,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,3)(-1.56,3)
    \uput{0.2}[0](-1.33,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-1.56,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-1.56,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
&$L_1=\{x|x>-\frac{4}{3} \}$ &&\qquad $L_2=\{x|x<-\frac{53}{34}\}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2
=\left\{x|x<-\frac{53}{34} \vee x \geq-\frac{4}{3}\right\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 21}
  \[ \frac{5}{1-5x}>\frac{2}{1-2x}\]
Die Lücken im Definitionsbereich sind dort, wo einer der Nenner Null wird.
\[1-5x=0 \quad \Rightarrow \quad x= \frac{1}{5}=0{,}2\]
\[1-2x=0 \quad \Rightarrow \quad x= \frac{1}{2}=0{,}5\]
\begin{center}$\Rightarrow$ \quad \fcolorbox{red}{yellow}
 {$D= \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{5};\frac{1}{2}\right\}$}\end{center}
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, muss die Ungleichung nach $x$ aufgelöst
werden. Dazu muss zuerst mit dem Hauptnenner multipliziert werden. Wie man
leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der Hauptnenner das
Produkt der beiden Nenner:
\[\textnormal{HN}=(1-5x) \cdot (1-2x)\]
Zur Bestimmung der Lösungsmenge gibt es grundsätzlich zwei verschiedene
Methoden.
\begin{enumerate}
\item Man multipliziert die Ungleichung zunächst nur mit dem einen Nenner und
  erst in einem zweiten Schritt mit dem zweiten. Dabei ist
  \textbf{\emph{jedesmal}} eine Fallunterscheidung notwendig. Wir erhalten also
  im Prinzip 4 Fälle.
\item Man untersucht \textbf{\emph{vor}} der Multiplikation mit dem
  \textbf{\emph{kompletten}} Hauptnenner die Vorzeichenbereiche des
  Hauptnenners und erhält nur zwei zu unterscheidende Fälle.
\end{enumerate}
Ich verwende die zweite Methode. Dazu erstelle ich eine Vorzeichentabelle.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$1-5x$}
    \uput{0.2}[180](N2){$1-2x$}
    \uput{0.5}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){0,2}
    \uput{0.1}[90](D3){0,5}
    \uput{0.15}[90](M1){$+$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M4){$+$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$-$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von 0,2 sowie oberhalb von 0,5
und negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
Fallunterscheidung zu verwenden.
\[\frac{5}{1-5x}>\frac{2}{1-2x} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x<0{,}2 \vee x>0{,}5:}  &&
  \underline{\textnormal{für }0{,}2<x<0{,}5:} \\
\begin{array}{rcl}
5 \cdot (1-2x)&>&2 \cdot (1-5x) \\
5-10x&>&2-10x \quad|+10x \\
\qquad 5&>&2 \quad \textnormal{(wahre Aussage)} \\
L_1&=&\{x<0{,}2 \vee x>0{,}5\}
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
5&<&2 \quad \textnormal{(falsche Aussage)} \\
L_2&=&\{\ \}
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1=\{x|x<0{,}2 \vee x>0{,}5 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 22}
  \[ \frac{2x}{x+1}\leq \frac{4x-1}{2x}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der beiden Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(x+1) \cdot 2x\]
Der Hauptnenner ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die
Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-1;0\}$}\end{center}
Ich erstelle ich eine Vorzeichentabelle, denn ich möchte mit dem Hauptnenner
multiplizieren.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
    \uput{0.4}[180](N2){$2x$}
    \uput{0.35}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){0}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-1$ sowie oberhalb von 0, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{2x}{x+1}\leq \frac{4x-1}{2x} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x<-1 \vee x>0:}  &&
 \quad \underline{\textnormal{für }-1<x<0:} \\
\begin{array}{rcl}
2x \cdot 2x&\leq&(4x-1) \cdot (x+1) \\
4x^2&\leq&4x^2+4x-x-1 \quad|-4x^2 \\
0&\leq&3x-1 \quad|-3x \\
-3x&\leq&-1 \quad|:(-3) \\
x&\geq&\frac{1}{3}
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&\frac{1}{3}
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{10mm}c}
&  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.3,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(0,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(0.33,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(0.33,3)(1.5,3)
    \uput{0.1}[0](1.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0.33,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0.33,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1,1)(0,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.5,2)(0.33,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1,3)(0,3)
    \uput{0.1}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.33,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x \geq \frac{1}{3} \}$ && $L_2=\{x|-1<x<0 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(1.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{|-}(0.33,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1,1)(0,1)
    \uput{0.1}[90](0.9,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \left\{x|-1<x<0 \vee x \geq \frac{1}{3}\right\}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 23}
  \[ \frac{x}{x+1}<\frac{x}{x-1}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(x+1) \cdot (x-1)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-1;1\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-1$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){1}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-1$ sowie oberhalb von 1, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{x}{x+1}<\frac{x}{x-1} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x<-1 \vee x>1:}  &&
 \quad \underline{\textnormal{für }-1<x<1:} \\
\begin{array}{rcl}
x \cdot (x-1)&<&x \cdot (x+1) \\
x^2-x&<&x^2+x \quad|-x^2-x \\
-2x&<&0 \quad|:(-2) \\
x&>&0
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&<&0
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{10mm}c}
&  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.8,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(1,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(0,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(1,3)(2.5,3)
    \uput{0.1}[0](2.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-2.5,2)(0,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1,3)(0,3)
    \uput{0.1}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x>1 \}$ && $L_2=\{x|-1<x<0 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(2.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-}(1,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1,1)(0,1)
    \uput{0.1}[90](1.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|-1<x<0 \vee x>1 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 24}
  \[ \frac{5x}{2-x}>\frac{-5x}{2+x}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(2-x) \cdot (2+x)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2;2\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$2-x$}
    \uput{0.2}[180](N2){$2+x$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-2$}
    \uput{0.1}[90](D3){2}
    \uput{0.15}[90](M1){$+$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$-$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv im Bereich zwischen $-2$ und 2, unterhalb von
$-2$ und oberhalb von 2 ist er negativ. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{5x}{2-x}>\frac{-5x}{2+x} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }-2<x<2:}  &&
 \quad \underline{\textnormal{für }x<-2 \vee x>2:} \\
\begin{array}{rcl}
5x \cdot (2+x)&>&-5x \cdot (2-x) \\
10x+5x^2&>&-10x+5x^2 \quad|-5x^2+10x \\
20x&>&0 \quad|:20 \\
x&>&0
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&<&0
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{10mm}c}
&  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-2,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(0,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(0,3)(2,3)
    \uput{0.1}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-4.5,2)(0,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,3)(-2,3)
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|0<x<2 \}$ && $L_2=\{x|x<-2 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-4.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(0,1)(2,1)
    \uput{0.1}[90](1,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-3.2,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|x<-2 \vee 0<x<2 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 25}
  \[ \frac{2+3x}{4-2x}\leq \frac{2-3x}{4+2x}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(4-2x) \cdot (4+2x)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2;2\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$4-2x$}
    \uput{0.2}[180](N2){$4+2x$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-2$}
    \uput{0.1}[90](D3){2}
    \uput{0.15}[90](M1){$+$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$-$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv im Bereich zwischen $-2$ und 2, unterhalb von
$-2$ und oberhalb von 2 ist er negativ. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{2+3x}{4-2x}\leq \frac{2-3x}{4+2x} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }-2<x<2:}  &&
 \quad \underline{\textnormal{für }x<-2 \vee x>2:} \\
\begin{array}{rcl}
(2+3x) \cdot (4+2x)&\leq&(2-3x) \cdot (4-2x) \\
8+16x+6x^2&\leq&8-16x+6x^2 \quad|-6x^2+16x-8 \\
32x&\leq&0 \quad|:32 \\
x&\leq&0
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\geq&0
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{20mm}cp{10mm}c}
&  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-2,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,2)(0,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-2,3)(0,3)
    \uput{0.1}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(0,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(2,3)(4.5,3)
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|-2<x \leq 0 \}$ && $L_2=\{x|x>2 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-2,1)(0,1)
    \psline[linecolor=green]{o-}(2,1)(4.5,1)
    \uput{0.1}[90](-1,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](3.2,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{-2<x \leq 0 \vee x>2 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 26}
  \[ \frac{6x+3}{4x+8}<\frac{3x-1}{2x+4}\]

Zuerst bestimme ich den Hauptnenner (durch geeignete Zerlegung der einzelnen
Nenner) sowie die Erweiterungsfaktoren\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennerbestimmung und den Erweiterungsfaktoren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}:
\[\begin{array}{rcll|l}
(4x+8)&=&2^2& \cdot (x+2) & \textnormal{EF}=1 \\
(2x+4)&=&2  & \cdot (x+2) & \textnormal{EF}=2 \\
\hline
\textnormal{HN}&=&2^2& \cdot (x+2)
\end{array}\]
Einschränkungen im Definitionsbereich gibt es dort, wo der Hauptnenner Null
wird. Daraus ergibt sich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{-2\}$}
\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden.
\[ \frac{6x+3}{4x+8}<\frac{3x-1}{2x+4}\quad| \cdot \textnormal{HN}\]
Da man einerseits grundsätzlich nicht weiß, ob der Hauptnenner
positiv oder negativ ist, andererseits man aber das Ungleichungszeichen
umkehren muss, wenn man die Ungleichung mit einer \emph{negativen} Zahl
multipliziert, ist eine \textbf{\emph{Fallunterscheidung}} notwendig! Wenn
\mbox{$x>-2$} ist, ist der HN positiv, anderenfalls negativ.
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{Für }x>-2:}\quad
  &&\underline{\textnormal{Für }x<-2:}\\
\begin{array}{rcll}
6x+3&<&2 \cdot (3x-1) \\
6x+3&<&6x-2 \quad|-6x \\
3&<&-2 \quad \textnormal{(falsche Aussage)}\\
\end{array}&&
\begin{array}{rcl}
& : \\
& : \\
3&>&-2 \quad \textnormal{(wahre Aussage)} \\
\end{array}
\end{array}\]
Im rechts untersuchten Bereich ist das Ergebnis \textbf{immer wahr}, im linken
\textbf{immer falsch}. Darum stellt der rechts untersuchte Bereich direkt die
Lösungsmenge dar.
\begin{center}
\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<-2\}$}
\end{center}
%----------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 27}
  \[ \frac{3x-8}{x-2}\geq \frac{3x+2}{x+3}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(x-2) \cdot (x+3)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-3;2\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-2$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x+3$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-3$}
    \uput{0.1}[90](D3){2}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-3$ sowie oberhalb von 2, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{3x-8}{x-2}\geq \frac{3x+2}{x+3} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x<-3 \vee x>2:}  &
 \quad \underline{\textnormal{für }-3<x<2:} \\
\begin{array}{rcl}
(3x-8) \cdot (x+3)&\geq&(3x+2) \cdot (x-2) \\
3x^2+9x-8x-24&\geq&3x^2-6x+2x-4 \quad|-3x^2+4x+24 \\
5x&\geq&20 \quad|:5 \\
x&\geq&4
\end{array}&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\leq&4
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{5mm}cp{15mm}c}
&  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(4,3)(5.5,3)
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](4,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-3,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-4.5,2)(4,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-3,3)(2,3)
    \uput{0.1}[180](-3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x \geq 4 \}$ && $L_2=\{x|-3<x<2 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(5.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{|-}(4,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-3,1)(2,1)
    \uput{0.1}[90](4.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|-3<x<2 \vee x \geq 4 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 28}
  \[ \frac{2x+7}{x+4}+2 \geq \frac{4x-3}{x-3}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(x+4) \cdot (x-3)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-4;3\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+4$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-4$}
    \uput{0.1}[90](D3){3}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-4$ sowie oberhalb von 3, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{2x+7}{x+4}+2 \geq \frac{4x-3}{x-3}\quad| \cdot \textnormal{HN}\]
\[\begin{array}{cc}
\underline{\textnormal{für }x<-4 \vee x>3:}  &
 \quad \underline{\textnormal{für }-4<x<3:} \\
\begin{array}{rcl}
(2x+7) \cdot (x-3)+2 \cdot (x+4) \cdot (x-3)&\geq&(4x-3) \cdot (x+4) \\
2x^2-6x+7x-21+2x^2-6x+8x-24&\geq&4x^2+16x-3x-12 \\
4x^2+3x-45&\geq&4x^2+13x-12 \\  % \quad|-4x^2-13x+45 \\
-10x&\geq&33 \quad|:(-10) \\
x&\leq&-3{,}3 \\
\end{array}&\begin{array}{rcl}
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
& \cdot \\
x&\geq&-3{,}3
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{p{5mm}cp{15mm}c}
&  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-4,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-5.5,2)(-3.3,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-5.5,3)(-4,3)
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-3.3,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-4,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-4,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-3.3,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-3.3,3)(3,3)
    \uput{0.1}[180](-4,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-3.3,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}\\
&  $L_1=\{x|x<-4 \}$ && $L_2=\{x|-3{,}3 \leq x<3 \}$
\end{tabular}\\
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(5.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-3.3,1)(3,1)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-5.5,1)(-4,1)
    \uput{0.1}[90](-4.8,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](0,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|x<-4 \vee -3{,}3 \leq x<3 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 29}
  \[ \frac{3x-4}{2x+3}-5 \leq \frac{10-14x}{4x-4}\]
Wie man leicht sieht, sind die beiden Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(2x+3) \cdot (4x-4)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-1{,}5;1\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$2x+3$}
    \uput{0.2}[180](N2){$4x-4$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1{,}5$}
    \uput{0.1}[90](D3){1}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-1{,}5$ sowie oberhalb von 1,
und negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{3x-4}{2x+3}-5 \leq \frac{10-14x}{4x-4} \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
Aus Platzgründen bearbeite ich die beiden sich ergebenden Fälle nicht neben-
sondern nacheinander.
\[\underline{\textnormal{für }x<-1{,}5 \vee x>1:}\]
\begin{eqnarray*}
(3x-4) \cdot (4x-4)-5 \cdot (2x+3) \cdot (4x-4)&\leq&(10-14x) \cdot (2x+3) \\
12x^2-12x-16x+16-40x^2+40x-60x+60&\leq&20x+30-28x^2-42x \\
-28x^2-48x+76&\leq&-28x^2-22x+30 \quad|+28x^2+22x-76 \\
-26x&\leq&-46 \quad|:(-26) \\
x&\geq&\frac{23}{13}\approx 1{,}77
\end{eqnarray*}
\begin{center}
 \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-3.5,-2)(4.5,4.5)
   \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(4.5,0.4)
   \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(-1.5,1)
   \psline[linecolor=red]{o-}(1,1)(4.5,1)
   \psline[linecolor=blue]{|-}(1.77,2)(4.5,2)
   \psline[linecolor=green]{|-}(1.77,3)(4.5,3)
   \uput{0.1}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
   \uput{0.1}[180](1.77,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
   \uput{0.1}[180](1.77,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
   \uput{0}[-90](0,-1){0}
 \end{pspicture} \enlargethispage{10mm}
\end{center}
\[L_1=\left\{x|x \geq \frac{23}{13} \right\}\]

\[\underline{\textnormal{für }-1{,}5<x<1:}\]
\begin{eqnarray*}
& \vdots \\
x&\leq&\frac{23}{13}\approx 1{,}77 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1.5,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-3.5,2)(1.77,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1.5,3)(1,3)
    \uput{0.1}[180](-1.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](1.77,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\[L_2=\{x|-1{,}5<x<1\}\]
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(4.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{|-}(1.77,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-1.5,1)(1,1)
    \uput{0.1}[90](3,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.25,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \left\{x|-1{,}5<x<1 \vee x \geq \frac{23}{13} \right\}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 30}
  \[ \frac{3}{x+1}+\frac{1}{x+3}\leq \frac{4}{x+4}\]
Wie man leicht sieht, sind die drei Nenner teilerfremd. Daher ist der
Hauptnenner das Produkt der Nenner:
\[\quad \textnormal{HN}=(x+1) \cdot (x+3) \cdot (x+4)\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-4;-3;-1\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x+1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x+3$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x+4$}
    \uput{0.4}[180](N4){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-4$}
    \uput{0.1}[90](D3){$-3$}
    \uput{0.1}[90](E3){$-1$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv zwischen $-4$ und $-3$ sowie oberhalb von
$-1$, und negativ unterhalb von $-4$ sowie zwischen $-3$ und $-1$. Diese
Bereiche sind demnach in der nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{3}{x+1}+\frac{1}{x+3}\leq \frac{4}{x+4}\quad| \cdot \textnormal{HN}\]
Aus Platzgründen bearbeite ich die beiden sich ergebenden Fälle nicht neben-
sondern nacheinander.
\[\underline{\textnormal{für }-4<x<-3 \vee x>-1:}\]
\begin{eqnarray*}
3 \cdot (x+3) \cdot (x+4)+1 \cdot (x+1) \cdot (x+4)
  &\leq&4 \cdot (x+1) \cdot (x+3) \\
3x^2+12x+9x+36+x^2+4x+x+4&\leq&4x^2+12x+4x+12 \\
4x^2+26x+40&\leq&4x^2+16x+12 \quad|-4x^2-16x-40 \\
10x&\leq&-28 \quad|:10 \\
x&\leq&-2{,}8
\end{eqnarray*}
\begin{center}
 \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-4,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-5.5,2)(-2.8,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-4,3)(-3,3)
    \uput{0.1}[180](-4,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-2.8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-4,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}  \enlargethispage{8mm}
\end{center}
\[L_1=\{x|-4<x<-3 \}\]

\[\underline{\textnormal{für }x<-4 \vee -3<x<-1:}\]
\begin{eqnarray*}
& \vdots \\
x&\geq&-2{,}8 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,4.5)
   \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
   \psline[linecolor=red]{-o}(-5.5,1)(-4,1)
   \psline[linecolor=red]{o-o}(-3,1)(-1,1)
   \psline[linecolor=blue]{|-}(-2.8,2)(0.5,2)
   \psline[linecolor=green]{|-o}(-2.8,3)(-1,3)
   \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
   \uput{0.1}[180](-2.8,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
   \uput{0.1}[180](-2.8,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
   \uput{0}[-90](0,-1){0}
 \end{pspicture}
\[L_2=\{x|-2{,}8 \leq x<-1\}\]
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.5,-2)(0.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-4,1)(-3,1)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-2.8,1)(-1,1)
    \uput{0.1}[90](-3.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-1.9,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \{x|-4<x<-3 \vee -2{,}8 \leq x<-1 \}$}
\end{center}

\newpage
%--------------------------
\subsection{Aufgabe 31}
  \[ \frac{x+2}{x^2+x-2}\geq \frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}\]
Da man nicht leicht sieht, ob die Nenner teilerfremd sind, empfiehlt sich die
klassische Nenneranalyse zur Hauptnennerbestimmung\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennerbestimmung und den Erweiterungsfaktoren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}.
\[\begin{array}{lcrr|rcl}
x^2+x-2  &=&(x-1) &\cdot (x+2) & \textnormal{EF}&=& 1 \\
x-1      &=&(x-1) &            & \textnormal{EF}&=& x+2 \\
x+2      &=&      &      (x+2) & \textnormal{EF}&=& x-1 \\
\hline
\textnormal{HN}&=&(x+3) &\cdot (x-3)
\end{array}\]
Unser Hauptnenner besteht aus zwei Faktoren. Damit ergibt sich der
Definitionsbereich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2;1\}$}
\end{center}

Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
    \psline{-}(A2)(E2)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A1)(E1)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x+2$}
    \uput{0.4}[180](N3){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-2$}
    \uput{0.1}[90](D3){1}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv unterhalb von $-2$ sowie oberhalb von 1, und
negativ in dem Bereich dazwischen. Diese Bereiche sind demnach in der
Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{x+2}{x^2+x-2}\geq \frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+2}
  \quad| \cdot \textnormal{HN}\]
Aus Platzgründen bearbeite ich die beiden sich ergebenden Fälle nicht neben-
sondern nacheinander.
\[\underline{\textnormal{für }x<-2 \vee x>1:}\]
\begin{eqnarray*}
x+2&\geq&2 \cdot (x+2)-1 \cdot (x-1) \\
x+2&\geq&2x+4-x+1 \\
x+2&\geq&x+5 \\
2&\geq&5
\end{eqnarray*}
Dies ist eine \textbf{falsche Aussage}. Da sie im untersuchten Bereich immer
falsch ist, ist die Teillösungsmenge $L_1$ leer.
\[L_1=\{\ \}\]
\[\underline{\textnormal{für }-2<x<1:}\]
\begin{eqnarray*}
& \vdots \\
2&\leq&5 \\
\end{eqnarray*}
Dies ist eine \textbf{wahre Aussage}. Da sie im untersuchten Bereich immer
wahr ist, ist der untersuchte Bereich gleichzeitig die Teillösungsmenge $L_2$.
\[L_1=\{x|-2<x<1 \}\]
Damit ist auch die Gesamtlösungsmenge durch $L_2$ gegeben.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_2= \{x|-2<x<1 \}$}
\end{center}

\newpage %-----------
\subsection{Aufgabe 32}
  \[ \frac{1}{x-2}>\frac{5x-5}{x^2-4}-\frac{4}{x-1}\]
Da man nicht leicht sieht, ob die Nenner teilerfremd sind, empfiehlt sich die
klassische Nenneranalyse zur Hauptnennerbestimmung\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennerbestimmung und den Erweiterungsfaktoren siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruchgl1.pdf}\fi}.
\[\begin{array}{lcrrr|rcl}
x-2  &=&(x-2) &             && \textnormal{EF}&=& (x+2) \cdot (x-1)=x^2+x-2 \\
x^2-4&=&(x-2) & \cdot (x+2) && \textnormal{EF}&=& x-1 \\
x-1  &=&      &        &(x-1)& \textnormal{EF}&=& (x+2) \cdot (x-2)=x^2-4 \\
\hline
\textnormal{HN}&=&(x-2) &\cdot (x+2)& \cdot (x-1)
\end{array}\]
Die Definitionsmenge ergibt demnach:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R} \setminus \{-2;1;2\}$}\end{center}
Um die Ungleichung zu lösen, muss diese mit dem Hauptnenner multipliziert
werden. Weil ich feststellen muss, wo der Hauptnenner positiv bzw. negativ ist,
erstelle ich eine Vorzeichentabelle. Dort hinein kommen alle Faktoren des
Hauptnenners.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-2$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x+2$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x-1$}
    \uput{0.4}[180](N4){HN}
    \uput{0.1}[90](C3){$-2$}
    \uput{0.1}[90](D3){$1$}
    \uput{0.1}[90](E3){$2$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{center}

Der Hauptnenner ist also positiv zwischen $-2$ und 1 sowie oberhalb von
2, und negativ unterhalb von $-2$ sowie zwischen 1 und 2. Diese
Bereiche sind demnach in der nachfolgenden Fallunterscheidung zu verwenden.
\[ \frac{1}{x-2}> \frac{5x-5}{x^2-4}-\frac{4}{x-1}\quad| \cdot \textnormal{HN}\]
Aus Platzgründen bearbeite ich die beiden sich ergebenden Fälle nicht neben-
sondern nacheinander.
\[\underline{\textnormal{für }-2<x<1 \vee x>2:}\]
\begin{eqnarray*}
1 \cdot (x^2+x-2)&>&(5x-5) \cdot (x-1)-4 \cdot (x^2-4) \\
x^2+x-2&>&5x^2-5x-5x+5-4x^2+16 \\
x^2+x-2&>&x^2-10x+21 \quad|-x^2+10x+2 \\
11x&>&23 \quad|:11 \\
x&>&\frac{23}{11}\approx 2,09 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}
 \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-2,1)(1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(2,1)(3.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(2.2,2)(3.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(2.2,3)(3.5,3)
    \uput{0.1}[180](-2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](2.2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](2.2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}
\[L_1=\left\{x|x>\frac{23}{11} \right\}\]

\[\underline{\textnormal{für }x<-2 \vee 1<x<2:}\]
\begin{eqnarray*}
& \vdots \\
x&<&\frac{23}{11}\approx 2,09 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
 \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,4.5)
   \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,0.4)
   \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(-2,1)
   \psline[linecolor=red]{o-o}(1,1)(2,1)
   \psline[linecolor=blue]{-o}(-3.5,2)(2.2,2)
   \psline[linecolor=green]{-o}(-3.5,3)(-2,3)
   \psline[linecolor=green]{o-o}(1,3)(2,3)
   \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
   \uput{0.1}[0](2.2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
   \uput{0.1}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
   \uput{0}[-90](0,-1){0}
 \end{pspicture}
\[L_2=\{x|x<-2 \vee 1<x<2\}\]
Die Teil-Lösungsmengen werden zusammengefasst:\\
  \psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(3.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-3.5,1)(-2,1)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(1,1)(2,1)
    \psline[linecolor=green]{o-}(2.2,1)(3.5,1)
    \uput{0.1}[90](-2.7,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_{2a}$}}}
    \uput{0.1}[90](1.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_{2b}$}}}
    \uput{0.1}[90](2.8,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0}[-90](0,-1){0}
  \end{pspicture}
\end{center}\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
 {$L=L_1 \cup L_2= \left\{x|x<-2 \vee 1<x<2 \vee x>\frac{23}{11} \right\}$}
\end{center}

\newpage %-----------
\subsection{Aufgabe 33}
\[\cfrac{4}{1-|2x+1|}\leq \cfrac{7}{2}\]
Hier haben wir nicht nur einen Bruch, sondern zusätzlich auch einen Betrag.
Wie man mit Beträgen umgeht, habe ich hier beschrieben:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/betrag.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/betrag.pdf}\fi\end{center}
Zweckmäßigerweise löst man im ersten Schritt den Betrag auf. Man erhält dadurch
zwei zu untersuchende Fälle, nämlich mit \mbox{$2x+1 \geq0$} und mit
\mbox{$2x+1<0$}. Im nächsten Schritt wird dann mit dem (Haupt-) Nenner
multipliziert, wodurch eine erneute Fallunterscheidung notwendig wird. Man
erhält also insgesamt vier Fälle.\\

Aus Platzgründen werden die Fälle beim Auflösen des Betrages hintereinander
dargestellt. Beginnen wir mit dem Fall, für den der Betragsinhalt positiv ist.
\[\underline{\textnormal{für }x \geq -0{,}5:}\]
\[\begin{array}{rcll}
%\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-(2x+1)}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-2x-1}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{-2x}&\leq& \cfrac{7}{2}&| \cdot 2 \\
-\cfrac{4}{x}&\leq& 7 &| \cdot x \\
\end{array}\]
Für \mbox{$x=0$} ist der linke Term nicht definiert. Daher muss dieser Fall
nicht untersucht werden. Wir kommen daher zu nachfolgender Fallunterscheidung:
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>0:} && \underline{\textnormal{für }x<0:} \\
\begin{array}{rcll}
-4 &\leq& 7x &|:7 \\
-\cfrac{4}{7}&\leq&x \\
\end{array} && \begin{array}{rcl}
\\
-\cfrac{4}{7}&\geq&x \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=50mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.9,-2)(0.3,4.5)  \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psaxes[Dx=0.2]{-}(0,0)(-0.9,-0.4)(0.3,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-0.5,1)(0.3,1)
    \psline[linecolor=brown]{o-}(0,2)(0.3,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-0.57,3)(0.3,3)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,4)(0.3,4)
    \uput{0.1}[180](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.1}[180](0,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.1}[180](-0.57,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=50mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.9,-2)(0.3,4.5)  \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psaxes[Dx=0.2]{-}(0,0)(-0.9,-0.4)(0.3,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(-0.5,1)(0.3,1)
    \psline[linecolor=brown]{-o}(-0.9,2)(0,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-0.9,3)(-0.57,3)
%    \psline[linecolor=green]{o-}(0,4)(0.3,4)
    \uput{0.1}[180](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.1}[0](0,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.1}[0](-0.57,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
%    \uput{0.1}[0](-0.57,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x>0 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}
\end{center}

\newpage
Es folgt der zweite Fall vom Auflösen des Betrages:
\[\underline{\textnormal{für }x<-0{,}5:}\]
\[\begin{array}{rcll}
%\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+(2x+1)}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+2x+1}&\leq& \cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{2x+2}&\leq& \cfrac{7}{2}&| \cdot 2 \\
\cfrac{4}{x+1}&\leq& 7 &| \cdot (x+1) \\
\end{array}\]
Für \mbox{$x=-1$} ist der linke Term nicht definiert. Daher muss dieser Fall
nicht untersucht werden. Wir kommen daher zu nachfolgender Fallunterscheidung:
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>-1:} && \underline{\textnormal{für }x<-1:} \\
\begin{array}{rcll}
4 &\leq& 7 \cdot (x+1) \\
4 &\leq& 7x+7 &|-7 \\
-3&\leq&7x &|:7 \\
-\cfrac{3}{7}&\leq&x \\
\end{array} && \begin{array}{rcl}
\\ \\ \\
-\cfrac{3}{7}&\geq&x \\
\end{array}
\end{array}\]
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{10mm}c}
  \psset{xunit=50mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.3,-2)(-0.1,4.5)
    \psaxes[Dx=0.2]{-}(0,0)(-1.3,-0.4)(-0.1,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-|}(-1.3,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=brown]{o-}(-1,2)(-0.1,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-0.43,3)(0.3,3)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,4)(0.3,4)
    \uput{0.1}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.1}[180](-1,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.1}[180](-0.43,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=50mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.3,-2)(-0.1,4.5)
    \psaxes[Dx=0.2]{-}(0,0)(-1.3,-0.4)(-0.1,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-|}(-1.3,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=brown]{-o}(-1.3,2)(-1,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.3,3)(-0.43,3)
    \psline[linecolor=green]{-|}(-1.3,4)(-1,4)
    \uput{0.15}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.\,1}}}
    \uput{0.15}[0](-1,2){\textcolor{brown}{{\footnotesize Bed.\,2}}}
    \uput{0.15}[0](-0.43,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.15}[0](-1,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_3=\{\ \}$ && $L_4=\{x|x<-1 \}$
\end{tabular}\\
\vspace{5mm}

Zusammengefasste Lösungsmengen: \\
  \psset{xunit=25mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.9,-2)(0.9,2.5)  \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \psaxes[Dx=0.5]{-}(0,0)(-1.9,-0.4)(0.9,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-1.9,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,1)(0.9,1)
    \uput{0.1}[90](0.4,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-1.3,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_4=\{x|x<-1 \vee x>0 \}$}
\end{center}

Bleibt noch die Definitionsmenge nachzutragen. Die Lücken im Definitionsbereich
sind dort, wo der Nenner Null wird. Das ist der Fall bei
$x=0$ und $x=-1$.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R} \setminus \{-1;0\}$}\end{center}

\newpage
%--------------------------


\end{document}


%\begin{window}[2,r,\includegraphics{Bilddatei},Bildunterschrift]
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{$$} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}