\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Lösen von Textaufgaben}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf
stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form
an die nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Sehr oft liegt ein Problem mit mathematischem Hintergrund nicht in Form einer
(oder mehrerer) Gleichung(en) vor, sondern in Textform. Dann muss der Text in
eine mathematich bearbeitbare Form umgewandelt werden, also in eine oder
(meist) mehrere Gleichung(en). Obwohl jeder Text anders ist, ist aber trotzdem
eine strukturierte Vorgehensweise möglich und auch notwendig.

\section{Grundsätzliche Vorgehensweise}
Wie man dabei vorgehen kann, möchte ich anhand eines Beispiels erläutern. Vom
Prinzip sieht der Leitfaden so aus:
\begin{enumerate}
\item Man bezeichnet alle gesuchten Größen mit einem geeigneten
  Formelbuchstaben.
\item Man stellt mögliche Zusammenhänge durch Terme dar, wobei man so tut, als
  seien die gesuchten Größen schon bekannt.
\item Irgendwann stellt man fest, dass bestimmte Zusammenhänge auf zwei
  unterschiedliche Arten angegeben werden können. Die zugehörigen Terme werden
  dann gleichgesetzt, wir erhalten (jeweils) eine Gleichung.
\end{enumerate}

Da sich das alles sehr theoretisch anhört, möchte ich die Vorgehensweise an
zwei Beispielen vorführen.

\newpage
\paragraph{Beispiel 1}
\begin{quote}
  \textbf{Zur Verfügung steht ein Behälter mit 30-prozentigem Alkokol und ein
  Behälter mit 40-prozentigem Alkohol. Durch geeignetes Zusammenmischen soll
  ein Liter 32-prozentiger Alkohol hergestellt werden. Wieviel aus jedem
  Behälter muss für diese Mischung verwendet werden?}
\end{quote}

\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen\\

Gesucht sind die Mengen aus Behälter A und Behälter B. Daher bezeichne ich
diese Mengen mit $x$ und $y$. (Natürlich ist auch jedes andere Formelzeichen
möglich.)
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Menge aus Behälter A:}& x \\
\textnormal{Menge aus Behälter B:}& y \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängem\\

Man könnte fragen, wieviel Alkohol aus Behälter A bzw. B in der fertigen
Mischung enthalten ist. Das geben wir an. Hierbei ist zu beachten, dass
\mbox{$30 \%=0,3$} und \mbox{$40 \%=0,4$} ist.
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Alkoholmenge aus Behälter A:}& 0{,}3 \cdot x \\
\textnormal{Alkoholmenge aus Behälter B:}& 0{,}4 \cdot x \\
\end{array}\]

Hiermit können wir auch die Gesamtmenge an Alkohol in der fertigen Mischung
angeben.
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Gesamt-Alkoholmenge:}& 0{,}3 \cdot x+0{,}4 \cdot y \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 3:} Gleichung erstellen \\

Diese Gesamt-Alkoholmenge kann nun auch anders, nämlich mit Hilfe des
vorgesehenen Prozentanteils der fertigen Mischung bestimmt werden. Dadurch
erhalten wir eine Gleichung.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Gesamt-Alkoholmenge:}& 0{,}3 \cdot x+0{,}4 \cdot y
   &=&0{,}32 \cdot \unit[1]{l} \\
\end{array}\]

Da wir \textbf{zwei} Variable haben benötigen wir auch \textbf{zwei}
Gleichungen. Es kommt also noch einmal Schritt 2 und Schritt 3.\\

Ein einfacher Zusammenhang, den wir auch aufstellen können, ist die gesamte
Flüssigkeitsmenge. Diese ist zudem noch mit einem Liter bekannt. Wir erhalten
sofort eine zweite Gleichung.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Gesamt-Flüssigkeitsmenge:}& x+y&=&\unit[1]{l} \\
\end{array}\]

\newpage
Wir haben ein Gleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das wir mit einem
beliebigen Lösungsverfahren\footnote{Lösungsverfahren für
Lineargleichungssysteme z.B. siehe hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
lösen können.

\[\begin{array}{|rrcl|}
\hline
(1) & 0{,}3 \cdot x+0{,}4 \cdot y&=&0{,}32 \cdot \unit[1]{l} \\
(2) & x+y&=&\unit[1]{l} \\
\hline
\end{array}\]

Als Lösungsmethode möchte ich das Einsetzungsverfahren verwenden. Dazu löse ich
Gleichung (2) nach $x$ auf.
\[\begin{array}{rcll}
x+y&=&\unit[1]{l} &| -y \\
x&=&\unit[1]{l}-y \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in Gleichung (1) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
0{,}3x+0{,}4y&=&\unit[0{,}32]{l} \\
0{,}3 \cdot (\unit[1]{l}-y)+0{,}4y&=&\unit[0{,}32]{l} \\
\unit[0{,}3]{l}-0{,}3y+0{,}4y&=&\unit[0{,}32]{l} &|-\unit[0{,}3]{l} \\
0{,}1y&=&\unit[0{,}02]{l}&|:0{,}1 \\
y&=&\unit[0{,}2]{l}\\
\end{array}\]

Durch Einsetzen des Ergebnisses in die umgestellte Gleichung (2) erhalten wir
sofort auch $x$.
\[x=\unit[1]{l}-y=\unit[1]{l}-\unit[0{,}2]{l}=\unit[0{,}8]{l}\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{quote}
\textbf{Man erhält einen Liter 32-prozentigen Alkohol durch Mischung von 0,8 Liter
30-prozentigem und 0,2 Liter 40-prozentigem Alkohol.}
\end{quote}

\newpage
\paragraph{Beispiel 2}
\begin{quote}
  \textbf{Auto A -- ein Benziner -- kostet \EUR{15\,000}. Es verbraucht auf 100
  Kilometern 8 Liter Benzin. Auto B -- ein Dieselfahrzeug -- verbraucht auf 100
  Kilometern 6 Liter Diesel und kostet \EUR{16\,900}. Nach welcher Wegstrecke
  lohnt sich das Dieselfahrzeug, wenn ein Liter Diesel \EUR{1,10} und ein Liter
  Benzin \EUR{1,30} kostet?}
\end{quote}

\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen\\

Gesucht ist die Wegstrecke, bei der die Gesamtkosten beider Fahrzeuge gleich
sind. Hierfür verwende ich den Formelbuchstaben \textbf{emph{s}}.

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängem\\
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Auto A Betriebskosten je } \unit[100]{km}:
  &  8 \cdot \textnormal{\EUR{1,30}}&=&\textnormal{\EUR{10,40}}\\
\textnormal{Auto B Betriebskosten je } \unit[100]{km}:
  &  6 \cdot \textnormal{\EUR{1,10}}&=&\textnormal{\EUR{6,60}}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Auto A Betriebskosten für Gesamtstrecke:}
  & \textnormal{\EUR{10,40}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\\
\textnormal{Auto B Betriebskosten für Gesamtstrecke:}
  & \textnormal{\EUR{6,60}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Gesamtkosten Auto A:}&
\textnormal{\EUR{15\,000}}+
  \textnormal{\EUR{10,40}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\\
\textnormal{Gesamtkosten Auto B:}&
\textnormal{\EUR{16\,900}}+
  \textnormal{\EUR{6,60}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 3:} Gleichung erstellen\\

Da die Strecke \textbf{\emph{s}} gesucht ist, bei der die Gesamtkosten für
beide Fahrzeuge gleich sind, können diese gleichgesetzt werden.

\[\textnormal{\EUR{15\,000}}+
  \textnormal{\EUR{10,40}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}
  =\textnormal{\EUR{16\,900}}+
  \textnormal{\EUR{6,60}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\]

Diese Gleichung kann nun gelöst werden.
\[\begin{array}{rcll}
\textnormal{\EUR{15\,000}}+
  \textnormal{\EUR{10,40}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}
  &=&\textnormal{\EUR{16\,900}}+
  \textnormal{\EUR{6,60}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}
  &|-\textnormal{\EUR{15\,000}}
   -\textnormal{\EUR{6,60}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}\\
\textnormal{\EUR{3,80}} \cdot \cfrac{s}{\unit[100]{km}}
  &=&\textnormal{\EUR{1\,900}}
  &| \cdot \cfrac{\unit[100]{km}}{\textnormal{\EUR{3,80}}}\\
s&=&\unit[50\,000]{km}
\end{array}\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{quote}
  \textbf{Nach 50\,000 Kilometern lohnt sich das Dieselauto.}
\end{quote}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Hotel bestätigt eine Buchung:"`Wir haben für 50 Personen 36 Zimmer
reserviert. Unsere Zimmer sind ausschließlich Einbett- und Zweibettzimmer."'
Wieviele Einbett- und wieviele Zweibettzimmer sind reserviert worden?

\subsection{Aufgabe 2}
Schäfer Anton sagt zu Schäfer Karl:"`Gib mir zwei von deinen Schafen, dann habe
ich doppelt so viele Schafe wie du."' Darauf antwortet Schäfer Karl:"`Gib mir
lieben zwei von deinen Schafen, dann haben wir beide gleichviele Schafe."'
Wieviele Schafe hat Anton, wieviele Karl?

\subsection{Aufgabe 3}
Beim Marathonlauf (42,2 Kilometer) läuft da Costa mit einer Geschwindigkeit von
\mbox{$\unit[19]{\frac{km}{h}}$} der Wendemarke bei km 21,1 entgegen. Der
Läufer Baumann folgt mit einer Geschwindigkeit von
\mbox{$\unit[18{,}5]{\frac{km}{h}}$}. In welcher Entfernung von der Wendemarke
gegegnen sie sich?

\subsection{Aufgabe 4}
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 140 mm. Die dritte Seite
ist 20 mm länger als die beiden Schenkel. Bestimmen Sie die Seitenlängen des
Dreiecks!

\subsection{Aufgabe 5}
Drei Arbeitskollegen spielen einen Lotto-Systemtip und haben dafür wöchentlich
\EUR{40,20} zu zahlen. Davon zahlt A \EUR{20}, B \EUR{10} und C den Rest.
Wie ist ein Lottogewinn von \EUR{35\,000,-} aufzuteilen, wenn gerecht nach den
Einzahlungsanteilen ausgezahlt werden soll?

\subsection{Aufgabe 6}
Ein PKW vom Typ A kostet \EUR{40\,000,00} bei der Anschaffung und benötigt
pro 100 gefahrene Kilometer Wartungs- und Benzinkosten von \EUR{120,00}; ein
PKW vom Typ B kostet \EUR{35\,000,00} beim Kauf und verursacht Kosten von
\EUR{130,00} je 100 gefahrene Kilometer. Von welcher jährlichen Fahrstrecke an
ist das Fahrzeug A preiswerter als Fahrzeug B, wenn man eine Nutzungsdauer von
8 Jahren zugrunde legt?

\subsection{Aufgabe 7}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Alle vier Seiten müssen mit einem Zaun
versehen werden. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\subsection{Aufgabe 8}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Eine Seite grenzt an einen Fluss. Dort wird
kein Zaun benötigt.
Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\subsection{Aufgabe 9}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Zwei benachbarte Seiten grenzen jeweils an
einen Fluss. Dort wird kein Zaun benötigt.
Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\subsection{Aufgabe 10}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Eine Seite grenzt an einen Fluss und an
einer benachbarten Seite soll ein 4 Meter breites Tor im Zaun vorgesehen
werden. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\newpage
\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
22 Einbettzimmer und 14 Zweibettzimmer

\subsection{Aufgabe 2}
Anton hat 14 und Karl 10 Schafe

\subsection{Aufgabe 3}
$s=\unit[281]{m}$

\subsection{Aufgabe 4}
$a=b=\unit[40]{mm}$ und $c=\unit[60]{mm}$

\subsection{Aufgabe 5}
A: \EUR{17\,412,93}, B: \EUR{8\,706,47}, C: \EUR{8\,880,60}

\subsection{Aufgabe 6}
$\unit[6\,250]{km}$

\subsection{Aufgabe 7}
Die Rechteckseiten betragen $\unit[13{,}82]{m}$ und $\unit[36{,}18]{m}$.

\subsection{Aufgabe 8}
1. Lösung: Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[11{,}32]{m}$,
die andere Seite $\unit[44{,}34]{m}$.\\
2. Lösung: Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[88{,}72]{m}$,
die andere Seite $\unit[5{,}64]{m}$.

\subsection{Aufgabe 9}
Die Rechteckseiten betragen $\unit[94{,}72]{m}$ und $\unit[5{,}28]{m}$.

\subsection{Aufgabe 10}
1. Lösung: Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[42{,}06]{m}$,
die andere Seite $\unit[11{,}88]{m}$.\\
2. Lösung: Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[5{,}94]{m}$,
die andere Seite $\unit[84{,}12]{m}$.

\newpage
\section{Komplette Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Hotel bestätigt eine Buchung:"`Wir haben für 50 Personen 36 Zimmer
reserviert. Unsere Zimmer sind ausschließlich Einbett- und Zweibettzimmer."'
Wieviele Einbett- und wieviele Zweibettzimmer sind reserviert worden?

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen

\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Anzahl der Einzelzimmer: }& e \\
\textnormal{Anzahl der Doppelzimmer: }& d \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen

\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Gesamtanzahl der Zimmer: }& e+d&=&36 \\
\textnormal{Gesamtanzahl der Personen: }& e+2d&=&50 \\
\end{array}\]

Das Gleichungssystem kann bequem mit dem
Additions-/Subtraktionsverfahren\footnote{Näheres dazu siehe z.B. hier:
\ifpdf \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}
(oder einem beliebigen anderen Lösungsverfahren) gelöst werden.

\[\begin{array}{crrcll}
(1)& e&+d &=&36 &|- \\
(2)& e&+2d&=&50 &| \\
\hline
&& d&=&14 \\
\end{array}\]

Durch Einsetzen des Ergebnisses in Gleichung (1) bestimme ich $e$.
\[\begin{array}{rcll}
e+d&=&36 \\
e+14&=&36 |-14 \\
e&=&22 \\
\end{array}\]

\paragraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Es wurden 22 Einbettzimmer und 14 Zweibettzimmer
gebucht.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
Schäfer Anton sagt zu Schäfer Karl:"`Gib mir zwei von deinen Schafen, dann habe
ich doppelt so viele Schafe wie du."' Darauf antwortet Schäfer Karl:"`Gib mir
lieben zwei von deinen Schafen, dann haben wir beide gleichviele Schafe."'
Wieviele Schafe hat Anton, wieviele Karl?

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Anzahl Schafe Anton: }& x \\
\textnormal{Anzahl Schafe Karl: }& y \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Anzahl Schafe Anton erster Tausch: }& x+2 \\
\textnormal{Anzahl Schafe Karl erster Tausch: }& y-2 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Anzahl Schafe Anton erster Tausch: }& x+2&=&2 \cdot (y-2) \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Anzahl Schafe Anton zweiter Tausch: }& x-2 \\
\textnormal{Anzahl Schafe Karl zweiter Tausch: }& y+2 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Anzahl Schafe Anton zweiter Tausch: }& x-2&=&y+2 \\
\end{array}\]

Zunächst werden die beiden Gleichungen vereinfacht.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)& x+2&=&2 \cdot (y-2) \\
(2)& x-2&=&y+2 \\
\hline
(1)& x+2&=&2y-4 &|-2-2y \\
(2)& x-2&=&y+2 &|+2-y \\
\hline
(1)& x-2y&=&-6 \\
(2)& x-y&=&4 \\
\end{array}\]

Wir haben ein Gleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das wir mit einem
beliebigen Lösungsverfahren\footnote{Lösungsverfahren für
Lineargleichungssysteme z.B. siehe hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
lösen können. Es bietet sich das Additions-/Subtraktionsverfahren an.

\[\begin{array}{crrcll}
(1)& x &-2y&=&-6 &|- \\
(2)& x &-y &=&4  &|  \\
\hline
&&y&=&10 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis setze ich in (2) ein, um $x$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
x-y&=&4 \\
x-10&=&4 &|+10 \\
x&=&14 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Anton besitzt 14 und Karl 10 Schafe}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Beim Marathonlauf (42,2 Kilometer) läuft da Costa mit einer Geschwindigkeit von
\mbox{$\unit[19]{\frac{km}{h}}$} der Wendemarke bei km 21,1 entgegen. Der
Läufer Baumann folgt mit einer Geschwindigkeit von
\mbox{$\unit[18{,}5]{\frac{km}{h}}$}. In welcher Entfernung von der Wendemarke
gegegnen sie sich?

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Abstand Treffpunkt -- Wendepunkt: }& x \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\

Zunächst wird die Grundformel für die Geschwindigkeit nach $t$ umgestellt.
\[\begin{array}{rcll}
v&=&\cfrac{s}{t}&| \cdot t \\
v \cdot t&=&s &|:v \\
t&=&\cfrac{s}{v}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Laufstrecke da Costa bis Treffpunkt: }& 21{,}1+x \\
\textnormal{Laufstrecke Baumann bis Treffpunkt: }& 21{,}1-x \\
\textnormal{Laufzeit da Costa bis Treffpunkt: }&t=\cfrac{s}{v}
  =\cfrac{21{,}1+x}{19}\\
\textnormal{Laufzeit Baumann bis Treffpunkt: }&t=\cfrac{s}{v}
  =\cfrac{21{,}1-x}{18{,}5}\\
\end{array}\]

Da beide Zeiten gleich sein müssen (sonst träfen sie sich ja nicht), können sie
gleichgesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{21{,}1+x}{19}&=&\cfrac{21{,}1-x}{18{,}5} &| \cdot 19 \cdot 18{,}5 \\
(21{,}1+x) \cdot 18{,}5&=&(21{,}1-x) \cdot 19 \\
390{,}35+18{,}5x&=&400{,}9-19x &|-390{,}35+19x \\
37{,}5x&=&10{,}55 &|:37{,}5 \\
x&\approx&0{,}281 \\
\end{array}\]
\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Sie treffen sich in einer Entfernung von 281\,m von
der Wendemarke.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 140 mm. Die dritte Seite
ist 20 mm länger als die beiden Schenkel. Bestimmen Sie die Seitenlängen des
Dreiecks!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Schenkellänge: }& x \\
\textnormal{dritte Seite: }& y \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{dritte Seite: }&y=x+20 \\
\textnormal{Umfang: }& 2x+y=140 \\
\end{array}\]

Damit haben wir zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Dieses Gleichungssystem
wird sinnvollerweise gelöst, indem man das Ergebnis der ersten Gleichung
\mbox{$(y=x+20)$} in die zweite Gleichung einsetzt.
\[\begin{array}{rcll}
2x+y&=&140 \\
2x+(x+20)&=&140 \\
2x+x+20&=&140 &|-20 \\
3x&=&120 &|:3 \\
x&=&40 \\
\end{array}\]

Mit diesem Ergebnis kann mit Hilfe der ersten Gleichung $y$ bestimmt werden.

\[y*x+20=40+20=60\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Schenkellänge beträgt 40\,mm, die dritte Seite ist 60\,mm lang.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
Drei Arbeitskollegen spielen einen Lotto-Systemtip und haben dafür wöchentlich
\EUR{40,20} zu zahlen. Davon zahlt A \EUR{20}, B \EUR{10} und C den Rest.
Wie ist ein Lottogewinn von \EUR{35\,000,-} aufzuteilen, wenn gerecht nach den
Einzahlungsanteilen ausgezahlt werden soll?

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Gewinn A: }& a \\
\textnormal{Gewinn B: }& b \\
\textnormal{Gewinn C: }& c \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Beitrag A: }&20  \\
\textnormal{Beitrag B: }&10  \\
\textnormal{Beitrag C: }&40{,}20-20-10=10{,}20  \\
\textnormal{Beitrag-Anteil A: }&\cfrac{20}{40{,}20}=0{,}497\,512\,438 \\
\textnormal{Beitrag-Anteil B: }&\cfrac{10}{40{,}20}=0{,}248\,756\,219 \\
\textnormal{Beitrag-Anteil C: }&\cfrac{10{,}20}{40{,}20}=0{,}253\,731\,343 \\
\textnormal{Gewinn-Anteil A: }&\cfrac{a}{35\,000}\\
\textnormal{Gewinn-Anteil B: }&\cfrac{b}{35\,000}\\
\textnormal{Gewinn-Anteil C: }&\cfrac{c}{35\,000}\\
\textnormal{Gewinn-Anteil A=Beitrag-Anteil A }&\cfrac{a}{35\,000}
  =0{,}497\,512\,438\\
\textnormal{Gewinn-Anteil B=Beitrag-Anteil B }&\cfrac{b}{35\,000}
  =0{,}248\,756\,219\\
\textnormal{Gewinn-Anteil C=Beitrag-Anteil C }&\cfrac{c}{35\,000}
  =0{,}253\,731\,343 \\
\end{array}\]

Mit diesen drei Gleichungen können die Gewinne $a$, $b$ und $c$ bestimmt
werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{a}{35\,000}&=&0{,}497\,512\,438 &| \cdot 35\,000 \\
a&=&17\,412{,}93 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{b}{35\,000}&=&0{,}248\,756\,219 &| \cdot 35\,000 \\
a&=&8\,706{,}47 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{c}{35\,000}&=&0{,}253\,731\,343 &| \cdot 35\,000 \\
a&=&8\,880{,}60 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Spieler A erhält \EUR{17\,412{,}93}, Spieler B
\EUR{8\,706{,}47} und Spieler C \EUR{8\,880{,}60}.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
Ein PKW vom Typ A kostet \EUR{40\,000,00} bei der Anschaffung und benötigt
pro 100 gefahrene Kilometer Wartungs- und Benzinkosten von \EUR{120,00}; ein
PKW vom Typ B kostet \EUR{35\,000,00} beim Kauf und verursacht Kosten von
\EUR{130,00} je 100 gefahrene Kilometer. Von welcher jährlichen Fahrstrecke an
ist das Fahrzeug A preiswerter als Fahrzeug B, wenn man eine Nutzungsdauer von
8 Jahren zugrunde legt?

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Jahres-Kilometer bei gleichen Kosten: }& x \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Jährliche Betriebskosten Fahrzeug A: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{120,00}} \\
\textnormal{Jährliche Betriebskosten Fahrzeug B: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{130,00}} \\
\textnormal{Betriebskosten Fahrzeug A in 8 Jahren: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{120,00}} \cdot 8 \\
\textnormal{Betriebskosten Fahrzeug B in 8 Jahren: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{130,00}} \cdot 8 \\
\textnormal{Gesamtkosten Fahrzeug A in 8 Jahren: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{120,00}} \cdot 8 + \textnormal{\EUR{40\,000}}\\
\textnormal{Gesamtkosten Fahrzeug B in 8 Jahren: }& \cfrac{x}{\unit[100]{km}}
\cdot \textnormal{\EUR{130,00}} \cdot 8 + \textnormal{\EUR{35\,000}}\\
\end{array}\]

Da die Gesamtkosten beider Fahrzeuge bei der zu bestimmenden
Jahreskilometerleistung gleich sind, können sie \textbf{gleichgesetzt} werden.
Die Einheiten werden jetzt weggelassen.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{x}{100} \cdot 120 \cdot 8 + 40\,000
&=&\cfrac{x}{100} \cdot 130 \cdot 8 + 35\,000 \\
9{,}6x+40\,000&=&10{,}4x+35\,000 &|-10{,}4x-40\,000 \\
-0{,}8x&=&-5\,000 &|:(-0{,}8) \\
x&=&6\,250 \\
\end{array}\]

\subparagraph{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Ab einer jährlichen Fahrstrecke von 6\,250 Kilometern ist Fahrzeug A
günstiger.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 7}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Alle vier Seiten müssen mit einem Zaun
versehen werden. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Länge 1: }& a \\
\textnormal{Länge 2: }& b \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{gesamte Zaunlänge: }& 2a+2b=\unit[100]{m} \\
\textnormal{Fläche des Feldes: }& a \cdot b=\unit[500]{m^2} \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Zur Lösung stelle
ich beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ um. In der Rechnung wird die
Grundeinheit "`Meter"' verwendet, die während der Rechnung aus
Vereinfachungsgründen weggelassen werden soll.

\[\begin{array}{rcll}
2a+2b&=&100 &|-2b \\
2a&=&100-2b &|:2 \\
a&=&50-b \\
\end{array}\]

Dieser Term wird in der zweiten Gleichung für $a$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot b&=&500 \\
(50-b) \cdot b&=&500 \\
50b-b^2&=&500 &|-500 \\
-b^2+50b-500&=&0 &|:(-1) \\
b^2-50b+500&=&0 &|\textnormal{ p-q-Formel}\\
b_{1/2}&=&25 \pm \sqrt{25^2-500}\\
b_{1/2}&=&25 \pm \sqrt{625-500}\\
b_{1/2}&=&25 \pm \sqrt{125}\\
b_{1/2}&\approx&25 \pm 11{,}18 \\
b_1 \approx 13{,}82 && b_2 \approx 36{,}18 \\
\end{array}\]

Die zugehörigen Werte für $a$ werden berechnet:
\[\begin{array}{rclcrcl}
a_1&=&50-b_1           && a_2&=&50-b_2 \\
a_1&\approx&50-13{,}82 && a_2&\approx&50-36{,}18 \\
a_1&\approx&36{,}18    && a_2&\approx&13{,}82\\
\end{array}\]

Wie man sieht, sind die zugehörigen $a$-Werte der jeweils andere $b$-Wert. Das
Ergebnis lautet also:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseiten betragen $\unit[13{,}82]{m}$
und $\unit[36{,}18]{m}$.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 8}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Eine Seite grenzt an einen Fluss. Dort wird
kein Zaun benötigt.
Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Länge am Fluss: }& a \\
\textnormal{Länge quer zum Fluss: }& b \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{gesamte Zaunlänge: }& a+2b=\unit[100]{m} \\
\textnormal{Fläche des Feldes: }& a \cdot b=\unit[500]{m^2} \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Zur Lösung stelle
ich beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ um. In der Rechnung wird die
Grundeinheit "`Meter"' verwendet, die während der Rechnung aus
Vereinfachungsgründen weggelassen werden soll.

\[\begin{array}{rcll}
a+2b&=&100 &|-2b \\
a&=&100-2b \\
\end{array}\]

Dieser Term wird in der zweiten Gleichung für $a$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot b&=&500 \\
(100-2b) \cdot b&=&500 \\
100b-2b^2&=&500 &|-500 \\
-2b^2+100b-500&=&0 &|:(-2) \\
b^2-50b+250&=&0 &| \textnormal{ p-q-Formel}\\
b_{1/2}&=&25 \pm \sqrt{625-250}\\
b_{1/2}&=&25 \pm \sqrt{375}\\
b_{1/2}&\approx&25 \pm 19{,}36 \\
b_1 \approx 44{,}36 && b_2 \approx 5{,}64 \\
\end{array}\]

Die zugehörigen Werte für $a$ werden berechnet:

\[\begin{array}{rclcrcl}
a_1&=&100-2b_1 && a_2&=&100-2b_2 \\
a_1&\approx &100-2 \cdot 44{,}34 && a_2&\approx &100-2 \cdot 5{,}64 \\
a_1&\approx & 11{,}32 && a_2&\approx & 88{,}72 \\
\end{array}\]

Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[11{,}32]{m}$,
die andere Seite $\unit[44{,}34]{m}$.}\\ oder: \\
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[88{,}72]{m}$,
die andere Seite $\unit[5{,}64]{m}$.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 9}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Zwei benachbarte Seiten grenzen jeweils an
einen Fluss. Dort wird kein Zaun benötigt.
Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Länge 1: }& a \\
\textnormal{Länge 2: }& b \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{gesamte Zaunlänge: }& a+b=\unit[100]{m} \\
\textnormal{Fläche des Feldes: }& a \cdot b=\unit[500]{m^2} \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Zur Lösung stelle
ich beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ um. In der Rechnung wird die
Grundeinheit "`Meter"' verwendet, die während der Rechnung aus
Vereinfachungsgründen weggelassen werden soll.

\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&100 &|-b \\
a&=&100-b \\
\end{array}\]

Dieser Term wird in der zweiten Gleichung für $a$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot b&=&500 \\
(100-b) \cdot b&=&500 \\
100b-b^2&=&500 &|-500 \\
-b^2+100b-500&=&0 &|:(-1) \\
b^2-100b+500&=&0 &|\textnormal{ p-q-Formel}\\
b_{1/2}&=&50 \pm \sqrt{50^2-500}\\
b_{1/2}&=&50 \pm \sqrt{2\,500-500}\\
b_{1/2}&=&50 \pm \sqrt{2\,000}\\
b_{1/2}&\approx&50 \pm 44{,}72 \\
b_1 \approx 94{,}72 && b_2 \approx 5{,}28 \\
\end{array}\]

Die zugehörigen Werte für $a$ werden berechnet:
\[\begin{array}{rclcrcl}
a_1&=&100-b_1           && a_2&=&100-b_2 \\
a_1&\approx&100-94{,}72 && a_2&\approx&100-5{,}28 \\
a_1&\approx&5{,}28    && a_2&\approx&94{,}72\\
\end{array}\]

Wie man sieht, sind die zugehörigen $a$-Werte der jeweils andere $b$-Wert. Das
Ergebnis lautet also:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseiten betragen $\unit[94{,}72]{m}$
und $\unit[5{,}28]{m}$.}
\end{center}

\newpage

\subsection{Aufgabe 10}
Mit $\unit[100]{m}$ Zaun sollen $\unit[500]{m^2}$ Feld abgesteckt werden. Das
Feld soll \textbf{rechteckig} sein. Eine Seite grenzt an einen Fluss und an
einer benachbarten Seite soll ein 4 Meter breites Tor im Zaun vorgesehen
werden. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechteckes!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Schritt 1:} Festlegung der Variablen
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Länge am Fluss: }& a \\
\textnormal{Länge quer zum Fluss: }& b \\
\end{array}\]

\subparagraph{Schritt 2:} Aufstellen von Zusammenhängen\\
\[\begin{array}{rl}
\textnormal{Zaunlänge Seite mit Torlücke: }& b-\unit[4]{m} \\
\textnormal{gesamte Zaunlänge: }& a+b+(b-\unit[4]{m})=\unit[100]{m} \\
\textnormal{Fläche des Feldes: }& a \cdot b=\unit[500]{m^2} \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Zur Lösung stelle
ich beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ um. In der Rechnung wird die
Grundeinheit "`Meter"' verwendet, die während der Rechnung aus
Vereinfachungsgründen weggelassen werden soll.

\[\begin{array}{rcll}
a+b+b-4&=&100 &|-2b+4 \\
a&=&96-2b \\
\end{array}\]

Dieser Term wird in der zweiten Gleichung für $a$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot b&=&500 \\
(96-2b) \cdot b&=&500 \\
96b-2b^2&=&500 &|-500 \\
-2b^2+96b-500&=&0 &|:(-2) \\
b^2-48b+250&=&0 &| \textnormal{ p-q-Formel}\\
b_{1/2}&=&24 \pm \sqrt{576-250}\\
b_{1/2}&=&24 \pm \sqrt{326}\\
b_{1/2}&\approx&24 \pm 18{,}06 \\
b_1 \approx 42{,}06 && b_2 \approx 5{,}94 \\
\end{array}\]

Die zugehörigen Werte für $a$ werden berechnet:

\[\begin{array}{rclcrcl}
a_1&=&96-2b_1 && a_2&=&96-2b_2 \\
a_1&\approx &96-2 \cdot 42{,}06 && a_2&\approx &96-2 \cdot 5{,}94 \\
a_1&\approx & 11{,}88 && a_2&\approx & 84{,}12 \\
\end{array}\]  \enlargethispage{15mm}

Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[42{,}06]{m}$,
die andere Seite $\unit[11{,}88]{m}$.} oder: \\
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Rechteckseite am Fluss beträgt $\unit[5{,}94]{m}$,
die andere Seite $\unit[84{,}12]{m}$.}
\end{center}


\end{document}
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