\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\fi                   %
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}

\section*{Subtrahierer}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,7)
   \pnode(1,6){A}
   \pnode(1,4){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(4,6){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.5){E}
   \pnode(4,4){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(7,6){G}
   \pnode(7,4.25){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,4.25){I}
   \pnode(4,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](A)(D){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(F){$R_2$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_4$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_4$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_4$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_3$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](F)(J){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,4.15)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.9,1){2pt}
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,6){2pt}
   \pscircle(8.1,1){2pt}
   \pscircle(8.1,4.25){2pt}
   \uput{0.3}[180](A){$U_{E1}$}
   \uput{0.3}[180](B){$U_{E2}$}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[0](I){$U_{A}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Subtrahierer}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend sehen Sie eine Schaltung mit Operationsverstärker. Die Schaltung
heißt "`Subtrahierer"'. Warum sie so heißt, sollen Sie durch Herleiten der
Formel für $U_A$ ermitteln. Die Werte der Wider\-stände sind alle gleich
groß, es gilt also: \mbox{$R_1=R_2=R_3=R_4=R$}.

An den beiden Eingängen der Schaltung sind die Spannungen
$U_{E1}$ und $U_{E2}$ angeschlossen.

Sie sollen die Formel herleiten, die die Ausgangsspannung $U_A$ in Abhängigkeit
von den Eingangsspannungen $U_{E1}$ und $U_{E2}$ angibt. Gehen Sie dazu die
Fragen, die als Leitfaden zur Herleitung der gesuchten Formel dienen, der Reihe
nach durch.
\begin{enumerate}
\item Kann man bei der Schaltung mit einem Virtuellen Kurzschluss rechnen?
\item Wie groß ist die Spannung $U_{3}$ am Widerstand $R_3$?
\item Wie groß ist die Spannung $U_{1}$ am Widerstand $R_1$?
\item Wie groß ist der Strom $I_1$ im Widerstand $R_1$?
\item Wie groß ist die Spannung $U_{4}$ am Widerstand $R_4$ (Spannungsrichtung
  nach rechts)?
\item Wie groß ist die Ausgangsspannung $U_A$ der Schaltung?
\end{enumerate}
\emph{Bitte beantworten Sie alle Fragen, bevor Sie weiterblättern.}
\newpage

\section*{Subtrahierer (Herleitung der Formel)}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,7)
   \pnode(1,6){A}
   \pnode(1,4){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(4,6){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.5){E}
   \pnode(4,4){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(7,6){G}
   \pnode(7,4.25){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,4.25){I}
   \pnode(4,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](A)(D){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(F){$R_2$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_4$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_4$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_4$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_3$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](F)(J){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,4.15)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=green](E)(F) \qdisk(E){2pt} \qdisk(F){2pt}
   \pscircle(0.9,1){2pt}
   \pscircle(0.9,4){2pt}
   \pscircle(0.9,6){2pt}
   \pscircle(8.1,1){2pt}
   \pscircle(8.1,4.25){2pt}
   \uput{0.3}[180](A){$U_{E1}$}
   \uput{0.3}[180](B){$U_{E2}$}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[0](I){$U_{A}$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wenn Sie die Aufgabe gelöst haben dann können Sie Ihre Lösung jetzt mit der
Musterlösung vergleichen.  \\ \\
Gehen wir die Fragen der Reihe nach durch. \\ \\ \\ \\ \\ \\

\begin{enumerate}
\item Wenn wir uns die Schaltung genau ansehen, dann erkennen wir, dass der
  +Ausgang über $R_4$ mit dem $-$Eingang des OP verbunden ist. Wir haben also
  eine Gegenkopplung, können demnach mit dem Prinzip des Virtuellen
  Kurzschlusses\footnote{Der Virtuelle Kurzschluss ist mit einer
  \textcolor{green}{grünen} gestrichelten Linie angedeutet.} arbeiten.
\item Die Widerstände $R_2$ und $R_3$ stellen einen Spannungsteiler dar. Da die
  Widerstände gleich groß sind, teilt er die Spannung auf die Hälfte herunter:
  \[U_{3}=\frac{1}{2}U_{E2} \]
\item Um die Spannung an $R_1$ zu bestimmen, benötigen wir das
  Potential am \mbox{$-$Eingang} des Operationsverstärkers. Da wir mit dem
  Virtuellen Kurzschluss rechnen dürfen, liegt dort das gleiche Potential an,
  wie am +Eingang, also $U_{3}$. Demnach gilt:
  \[U_{1}=U_{E1}-U_{3}=U_{E1}-\frac{1}{2}U_{E2} \]
\item Zur Berechnung des Stromes $I_1$ benötigen wir die Spannung $U_{1}$ am
  Widerstand $R_1$, den wir eben berechnet haben. Nach dem Ohmschen Gesetz
  folgt:
  \[I_1=\frac{U_{1}}{R_1}=\frac{U_{E1}-\frac{1}{2}U_{E2}}{R_1}
  =\frac{U_{E1}}{R_1}-\frac{U_{E2}}{2R_1} \]
\item Der Strom $I_1$ fließt am $-$Eingang des OP vorbei weiter durch $R_4$, da
  der Eingang des OP ja hochohmig ist. $U_{4}$ kann also mit dem Ohmschen
  Gesetz an $R_4$ bestimmt werden. Wir legen die Richtung von $U_{4}$ nach
  rechts fest.
  \[U_{4}=R_4 \cdot I_1=R_4 \cdot \left(
  \frac{U_{E1}}{R_1}-\frac{U_{E2}}{2R_1}\right)
  =\frac{R_4 \cdot U_{E1}}{R_1}-\frac{R_4 \cdot U_{E2}}{2R_1} \]
\item Zur Bestimmung der Spannung $U_A$ machen wir einen Maschenumlauf vom
  Ausgang des OP über die 0-V-Leitung, den Widerstand $R_3$, den Virtuellen
  Kurzschluss und über $R_4$ zurück um Ausgang des OP:
  \[U_A-U_{3}+U_{4}=0 \Rightarrow U_A=U_{3}-U_{4}=\frac{1}{2}U_{E2}
  -\left( \frac{R_4 \cdot U_{E1}}{R_1}-\frac{R_4 \cdot U_{E2}}{2R_1}\right) \]
  Berücksichtigen wir jetzt die Angabe, dass alle Widerstände gleich groß sind,
  dann können wir zusammenfassen:
  \[U_A=\frac{1}{2}U_{E2}-\left( \frac{R \cdot U_{E1}}{R}-\frac{R \cdot
  U_{2}}{2R}\right)
  =\frac{1}{2}U_{E2}-\left( U_{E1}-\frac{1}{2}U_{E2}\right)
  =\frac{1}{2}U_{E2}-U_{E1}+\frac{1}{2}U_{E2} \]
\begin{center}Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_A=U_{E2}-U_{E1}$}\end{center}
  Wie man sieht, ist die Ausgangsspannung $U_A$ die Differenz der
  Eingangsspannungen $U_{E2}$ und $U_{E1}$. Daher heißt die Schaltung
  \textbf{Subtrahierer}.
\end{enumerate}


\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
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