\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption} % Bildunterschrift
\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\usepackage{units}
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Die Strahlensätze}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=30mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Grundlagen}
\subsection{Grundlegende Definitionen}
\begin{description}
\item[Strecken] sind gerade Linien mit einem Anfangspunkt und einem Endpunkt.
  Ein 100-Meter-Lauf findet auf einer Strecke statt. Die Endpunkte sind dabei
  Start und Ziel.
\item[Strahlen] sind gerade Linien, die einen Anfangspunkt, aber keinen
  Endpunkt haben. Man kann sich dazu den Lichtstrahl aus einer Taschenlampe
  vorstellen, den man Richtung Himmel schickt.
\item[Geraden] sind gerade Linien, die weder einen Anfangspunkt noch einen
  Endpunkt haben. Ein praktisches Beispiel dazu kann ich nicht angeben. Meist
  handelt es sich um gedachte Linien, die nur durch ihre Lage irgendwo eine
  Orientierung geben sollen. Die Richtschnur eines Maurers wäre eine solche
  Gerade, wenn man dabei davon absieht, dass die Richtschnur dennoch an beiden
  Enden befestigt ist.
\end{description}

\subsection{Eigenschaften von Geraden}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(14,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(8,0)(14,7)
  \psline(8,1)(14,5)
\end{pspicture}
\caption{\emph{parallele Geraden \qquad sich schneidende Geraden}}
\end{wrapfigure}
Geraden in einer Ebene (beispielsweise in der Zeichenebene) sind entweder
\textbf{parallel} oder sie \textbf{schneiden sich} irgendwo.\footnote{Der
Schnittpunkt der Geraden kann natürlich auch außerhalb eines Papierblattes
liegen, auf das sie gezeichnet sind.} Sind sie parallel, dann
haben sie überall den gleichen Abstand voneinander.\\

Etwas anders sieht es im dreidimensionalen Raum aus. Hier kann es nicht nur
sein, dass die Geraden sich schneiden oder parallel sind, sie können auch
\textbf{windschief}\footnote{"`Windschief"' ist tatsächlich ein mathematischer
Fachausdruck!} zueinander liegen. Man kann sich die Lage beispielsweise in
einem Zimmer vorstellen, wo eine Gerade auf dem Fußboden verläuft und die
andere sich in der Ebene der Zimmerdecke befindet. Wenn sie nicht zufällig
parallel sind, dann sind sie windschief. Sie schneiden sich nirgendwo.

\newpage
\section{Die Lehrsätze}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist ein sogenannter "`Zweistrahl"' mit zwei parallelen Geraden
dargestellt. Die beiden Strahlen heißen $s_1$ und $s_2$. Der gemeinsame
Startpunkt der beiden Strahlen ist der Punkt $S$. Diese beiden Strahlen werden
von den beiden \textbf{parallelen} Geraden $g_1$ und $g_2$ geschnitten. Die
Schnittpunkte der Geraden sind die eingetragenen Punkte $A$, $B$, $C$ und
$D$.\\

Das nebenstehende Bild ist die Planfigur für beide Strahlensätze.

\subsection{Der erste Strahlensatz}
Der \textbf{erste} Strahlensatz beschäftigt sich nur mit den Abschnitten auf
den beiden Strahlen. Er lautet:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Die Verhältnisse der Abschnitte auf dem einen Strahl sind gleich
der Verhältnisse der \underline{entsprechenden} Abschnitte auf dem
\underline{anderen} Strahl.}}
\end{quote}
Hierbei ist zunächst zu klären, was "`\emph{entsprechenden}"' bedeutet. Dazu
sehen wir uns die Planskizze an. Der Strecke $\overline{SA}$ auf dem Strahl $s_1$
entspricht der Strecke $\overline{SC}$ auf dem Strahl $s_2$, der Strecke
$\overline{SB}$ auf dem Strahl $s_1$ entspricht der Strecke $\overline{SD}$ auf
dem Strahl $s_2$, und der Strecke $\overline{AB}$ auf dem Strahl $s_1$
entspricht der Strecke $\overline{CD}$ auf dem Strahl $s_2$.\\

Jetzt kann man zum ersten Strahlensatz drei passende Verhältnisse aufstellen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}
=\cfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}$}
oder:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{\overline{SA}}{\overline{AB}}
=\cfrac{\overline{SC}}{\overline{CD}}$}
oder:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{\overline{SB}}{\overline{AB}}
=\cfrac{\overline{SD}}{\overline{CD}}$}
\end{center}

Alle drei Formel stellen den ersten Strahlensatz dar.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](A)(S)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nach meinen Beobachtungen macht es immer wieder Schwierigkeiten herauszufinden,
wie genau welche Formel anzusetzen ist. Dazu sehen wir uns die nebenstehende
Planskizze an. Ich möchte zunächst eine Formel aufstellen, die mit der Strecke
$\overline{SA}$ beginnt. Das sieht dann so aus:
\[\cfrac{\overline{SA}}{\ldots}=\cfrac{\ldots}{\ldots}\]
Die Strecke $\overline{SA}$ steht auf der linken Seite im Zähler des Bruches.
Was im Nenner steht, ist zunächst ohne Belang. (Da kann ein beliebiger
Abschnitt stehen, der \textbf{auf dem gleichen Strahl} liegt, wie die Strecke
$\overline{SA}$. Das könnte $\overline{SB}$ oder  $\overline{AB}$ sein.) Ich
suche jetzt die Strecke \textbf{auf dem anderen Strahl}, also auf $s_2$, der
der Strecke $\overline{SA}$ auf dem Strahl $s_1$ entspricht. Die muss nämlich
auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens ebenfalls im Zähler stehen.\\

Hier ist es wichtig zu erkennen, was das Wort "`entsprechenden"' bedeutet.
\begin{itemize}
\item Die Strecke $\overline{SA}$ beginnt am gemeinsamen Startpunkt $S$ der
  beiden Strahlen. Also muss die \textbf{entsprechende} Strecke auf dem anderen
  Strahl ebenfalls am gemeinsamen Startpunkt $S$ der beiden Strahlen beginnen.
\item Die Strecke $\overline{SA}$ liegt auf dem Strahl $s_1$. Also muss die
\textbf{entsprechende} Strecke auf dem \textbf{anderen} Strahl, nämlich auf
  $s_2$ liegen.
\item Die Strecke $\overline{SA}$ reicht bis an die Gerade $g_1$ heran. Also
muss die \textbf{entsprechende} Strecke auf dem anderen Strahl ebenfalls bis an
die Gerade $g_2$ heranreichen.
\end{itemize}

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](A)(S)(C)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Betrachtet man diese drei Bedingungen, dann kann die entsprechende Strecke zu
$\overline{SA}$ auf dem Strahl $s_1$ nur die Strecke $\overline{SC}$ auf dem
Strahl $s_2$ sein. Diese ist nebenstehend eingezeichnet. In der Formel sieht
das dann so aus:
\[\cfrac{\overline{SA}}{\ldots}=\cfrac{\overline{SC}}{\ldots}\]

Als nächstes kümmern wir uns nun um die Nenner. In der ersten Hälfte des
Strahlensatzes heißt es:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Die Verhältnisse der Abschnitte auf dem einen Strahl\ldots}}
\end{quote}

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(A)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wenn wir jetzt auf der linken Seite der Gleichung ein solches Verhältnis (also
einen Bruch) aufstellen wollen, dann kommen dort nur Abschnitte auf dem Strahl
$s_1$ in Frage, weil die Strecke $\overline{SA}$, die schon im Zähler steht, ja
auch auf $s_1$ liegt. Dort gibt es noch die Strecken $\overline{SB}$ und
$\overline{AB}$. Mit beiden können wir den ersten Strahlensatz aufstellen.
Ich nehme jetzt willkürlich die Strecke $\overline{AB}$, wie nebenstehend
dargestellt.

\[\cfrac{\overline{SA}}{\overline{AB}}=\cfrac{\overline{SC}}{\ldots}\]

Wieder stellt sich die Frage: Welche Strecke auf dem anderen Strahl ($s_2$) ist
die Strecke, die der Strecke $\overline{AB}$ auf dem Strahl $s_1$ entspricht?\\
\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](D)(C)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(A)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Strecke $\overline{AB}$ beginnt am Schnittpunkt von $s_1$ mit der Geraden
$g_1$ und endet am Schnittpunkt von $s_1$ mit der Geraden $g_2$. Also muss die
"`entsprechende"' Strecke auch am Schnittpunkt mit der Geraden
$g_1$ beginnen und am Schnittpunkt mit der Geraden $g_2$ enden, nur eben auf
dem \textbf{anderen} Strahl, nämlich auf $s_2$.
Das wäre somit die Strecke
$\overline{CD}$, wie nebenstehend dargestellt. Das führt dann zu dieser
Gleichung:

\[\cfrac{\overline{SA}}{\overline{AB}}=\cfrac{\overline{SC}}{\overline{CD}}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(S)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die letzte Variante, die mit der Strecke $\overline{SA}$ im Zähler beginnt,
sähe so aus:

\[\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}=\cfrac{\overline{SC}}{\ldots}\]

Wieder müssen wir eine "`entsprechende"' Strecke auf dem anderen Strahl finden,
diesmal zur Strecke $\overline{SB}$ auf dem Strahl $s_1$. Diese steht nämlich
links im Nenner, der rechte Nenner fehlt noch. Welche könnte das sein?\\

Die Strecke $\overline{SB}$ beginnt am gemeinsamen Startpunkt $S$ beider
Strahlen. Daher muss die gesuchte Strecke auch hier beginnen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(S)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](D)(S)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Strecke $\overline{SB}$ endet am Schnittpunkt mit der Geraden $g_2$. Daher
muss die gesuchte Strecke auch am Schnittpunkt mit der Geraden $g_2$ enden,
allerdings auf dem anderen Strahl. Das ist der Punkt $D$. Die Strecke auf dem
Strahl $s_2$, die der Strecke $\overline{SB}$ auf dem Strahl $s_1$ entspricht
ist daher die Strecke $\overline{SD}$, wie hier nebenstehend eingezeichnet. Die
Formel zum ersten Strahlensatz sieht somit so aus:
\[\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}=\cfrac{\overline{SC}}{\overline{}SD}\]

\newpage
\subsection{Der zweite Strahlensatz}
Der \textbf{zweite} Strahlensatz verknüpft die Abschnitte auf den beiden
parallelen Geraden mit den Abschnitten auf einem der Strahlen. Er lautet:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Das Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen ist gleich dem
Verhältnis der \underline{zugehörigen} Strahlenabschnitte auf \underline{einem}
Strahl.}}
\end{quote}

Hierbei ist es wichtig zu wissen, was genau mit den
\textbf{Strahlenabschnitten} gemeint ist. Es geht dabei immer um die
jeweilige Strecke \textbf{zwischen dem gemeinsamen Punkt $\mathbf{S}$ der
beiden Strahlen und dem jeweiligen Schnittpunkt} mit einer der beiden
Geraden.\\

Weil der zweite Strahlensatz mit dem einen oder anderen Strahl aufgestellt
werden, haben wir zwei Formeln, die diesen Strahlensatz repräsentieren:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}
=\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}$}
oder:
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}
=\cfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}$}
\end{center}

Auch beim zweiten Strahlensatz erscheint es mir notwendig zu sein, etwas
ausführlicher darauf einzugehen, was die \textbf{entsprechenden} Abschnitte
sind. Das möchte ich an einem Beispiel erklären.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(D)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wir suchen die Strecke $\overline{BD}$. Dazu ein Tipp: \textbf{Es ist immer
sinnvoll, den Gleichungansatz mit der gesuchten Größe zu beginnen.} Unser
erster Ansatz sieht dann so aus:
\[\cfrac{\overline{BD}}{\ldots}=\cfrac{\ldots}{\ldots}\]
Zunächst sehen wir nach, was das denn für eine Größe ist, die wir suchen. Es
ist unschwer zu erkennen, dass es sich um einen Abschnitt auf einer der beiden
Parallelen handelt. Im zweiten Strahlensatz steht:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Das Verhältnis der Abschnitte auf den Parallelen ist \ldots}}
\end{quote}

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](A)(C)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(D)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Also muss unsere Strecke $\overline{BD}$ ins Verhältnis zum Abschnitt auf der
anderen Parallelen gesetzt werden. Das ist dann die Strecke $\overline{AC}$,
wie hier nebenstehend dargestellt ist. Unser Formelansatz sieht dann so aus:
\[\cfrac{\overline{BD}}{\overline{AC}}=\cfrac{\ldots}{\ldots}\]

Jetzt fehlt noch die rechte Seite der Gleichung. Schauen wir, wie der zweite
Strahlensatz weiter lautet:
\begin{quote}
\emph{\textbf{\ldots ist gleich dem
Verhältnis der \emph{zugehörigen} Strahlenabschnitte auf \emph{einem} Strahl.}}
\end{quote}

Es heißt dort:"`\ldots auf \textbf{einem} Strahl"'. Das bedeutet, dass wir uns
einen der beiden Strahlen aussuchen können, mit dem wir weiter arbeiten wollen.
In der Praxis nehmen wir natürlich den Strahl, auf dem die Strahlenabschnitte
liegen, deren Länge wir kennen oder auf andere Art ausrechnen können.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](B)(D)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gehen wir hier davon aus, dass wir mit dem Strahl $s_1$ weiterarbeiten
wollen.\\

In unserem Formelansatz steht die Strecke $\overline{BD}$ im Zähler. Auf der
anderen Seite der Gleichung muss dann im Zähler der zur Strecke $\overline{BD}$
\textbf{zugehörige} Strahlenabschnitt stehen. Hierbei ist zu beachten, dass
alle Strahlenabschnitte am gemeinsamen Startpunkt der beiden Strahlen beginnen,
also im Punkt $S$.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](S)(B)(D)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die im linken Zähler stehende Strecke $\overline{BD}$ liegt auf der Geraden
$g_2$. Deswegen muss der \textbf{zugehörige} Strahlenabschnitt bis an diese
Gerade $g_2$ heranreichen. Anderenfalls würde er zu einem anderen
Parallelenabschnitt gehören. Es kann also nur die Strecke $\overline{SB}$ sein.
Damit ist unsere Formel nun bis hierher bekannt:
\[\cfrac{\overline{BD}}{\overline{AC}}=\cfrac{\overline{SB}}{\ldots}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](A)(C)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Jetzt fehlt nur noch der Nenner auf der rechten Seite. Auf der linken Seite
steht im Nenner die Strecke $\overline{AC}$. Wir müssen für den rechnen Nenner
nach dem zur Strecke $\overline{AC}$ \textbf{zugehörigen} Strahlenaschnitt
suchen. Zudem muss er auf dem selben Strahl liegen, wie der Strahlenabschnitt
$\overline{SB}$ im rechten \textbf{Zähler}, also ebenfalls auf dem Strahl
$s_1$.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \pnode(3.6,1.8){A}
  \pnode(1.2,2.6){B}
  \pnode(4.85,2.42){C}
  \pnode(3.7,3.88){D}
  \pnode(6,1){S}
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \psline[linewidth=2.5pt,linecolor=red](S)(A)(C)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
  \uput[10](0,3){$s_1$}
  \uput[-120](3,5){$s_2$}
  \uput[-120](4.8,5.2){$g_2$}
  \uput[10](0,0.7){$g_1$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Strecke $\overline{AC}$ liegt auf der Geraden $g_1$. Der
\textbf{zugehörige} Strahlenabschnitt muss daher bis an diese Gerade
heranreichen. Zudem muss er als \textbf{Strahlenabschnitt} am gemeinsamen
Startpunkt $S$ der beiden Strahlen beginnen. Das kann dann nur noch die Strecke
$\overline{SA}$ sein. Diese ist hier nebenstehend eingezeichnet. Damit können
wir die komplette Formel für den zweiten Strahlensatz angeben:
\[\cfrac{\overline{BD}}{\overline{AC}}=\cfrac{\overline{SB}}{\overline{SA}}\]

Hätten wir uns für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes den Strahl $s_2$
ausgesucht, dann hätten wir diese Gleichung erhalten:
\[\cfrac{\overline{BD}}{\overline{AC}}=\cfrac{\overline{SD}}{\overline{SC}}\]


\newpage
\section{Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planskizze sind folgende Größen bekannt:
\[ \overline{SA}=\unit[3]{cm} \quad \overline{AB}=\unit[2]{cm}
\quad \overline{SC}=\unit[4{,}5]{cm}\]
Gesucht ist die Strecke $\overline{CD}$.\\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planskizze sind folgende Größen bekannt:
\[ \overline{SA}=\unit[3{,}6]{cm} \quad \overline{AB}=\unit[1{,}2]{cm}
\quad \overline{AC}=\unit[2{,}7]{cm}\]
Gesucht ist die Strecke $\overline{BD}$.\\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4.3cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3.5)
  \psline[linewidth=0.5pt](2,1.75)(6,1.75)
  \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(8,0)(4,3.5)(0,0)
  \uput{0.2}[90](4,1.6){\footnotesize $l$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auf einem Dachboden soll Wäsche zum Trocknen aufgehängt werden können. Der
Dachboden ist 9,50 Meter breit und in der Mitte 3,80 Meter hoch. Die
Wäscheleinen sollen 2 Meter über dem Fußboden waagerecht aufgespannt werden.
Welche Länge $l$ hat jede Leine von Haken zu Haken?

\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.9,-0.1)(4.9,5)
  \psline[linewidth=4.5pt](0,0)(2,5)(4,0)
  \psline(-0.9,0)(4.9,0)
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,2.5)(3,2.5)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Stehleiter mit einer Leiterholmlänge von 2,60 Metern wird beim Aufstellen
durch eine Kette gesichert. Die Kette soll verhindern, dass die Holmen zu weit
auseinander stehen und dadurch wegrutschen können.\\

Wenn die Leiter so aufgestellt ist, dass die Kette stramm ist, soll der Abstand
zwischen den Leiterfüßen 80 Zentimeter betragen. Die Kette ist beidseitig in
einem Abstand von 1,43 Metern von den Leiterfüßen entfernt angebracht. Welche
Länge muss diese Kette haben?

\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,5)
  \psline*[linecolor=lightgray](3,0)(3,4.5)(4,5)(4,0)(3,0)
  \psline(3,0)(3,4.5)(4,5)
  \psline[linewidth=2.5pt](-0.1,0)(2.9,4)
  \psline(-0.5,0)(4,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,2.67)(3,2.67)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,0)(2,2.67)
  \uput{0.1}[-90](1.5,0){\footnotesize $a$}
  \uput{0.2}[140](1.5,1.8){\footnotesize $l$}
  \uput{0.1}[-90](2.5,2.6){\footnotesize $x$}
  \rput{90}(0,0){\uput{0.1}[0](1.5,-1){\footnotesize $h$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Leiter mit einer Länge von \mbox{$l=\unit[3{,}90]{m}$} ist an eine
Hauswand angelehnt, wie nebenstehend dargestellt. Der Fußpunkt der Leiter hat
von der Hauswand einen Abstand von \mbox{$a=\unit[1{,}50]{m}$}. In welcher Höhe
$h$ über dem Erdboden beträgt der Abstand $x$ zwischen Leiter und Hauswand
genau 50 Zentimeter?\\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(6,3)
  \psline(6,0)(0,0)(6,3)
  \psline(4,0)(4,2)
  \psline(6,0)(6,3)
  \uput{0.1}[-90](3.5,0){\footnotesize $a$}
  \uput{0.1}[110](3.5,1.8){\footnotesize $b$}
  \uput{0.1}[90](2,0){\footnotesize $c$}
  \uput{0.1}[90](5,0){\footnotesize $d$}
  \uput{0.1}[-20](2.3,1){\footnotesize $e$}
  \uput{0.1}[-90](5,2.55){\footnotesize $f$}
  \uput{0.1}[180](4,1){\footnotesize $g$}
  \uput{0.1}[180](6,1.5){\footnotesize $h$}
  \psarc[linewidth=0.8pt]{-}(6,0){0.3}{90}{180}
  \uput{0.05}[145](6,0){$\cdot$}
  \psarc[linewidth=0.8pt]{-}(4,0){0.3}{90}{180}
  \uput{0.05}[145](4,0){$\cdot$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planfigur sind folgende Größen bekannt:
\[\begin{array}{rcll}
a&=&\unit[18]{cm}\\
d&=&\unit[6]{cm}\\
g&=&\unit[5]{cm}\\
\end{array}\]
Die Strecken $g$ und $h$ sind zueinander parallel, $a$ mit $h$ sowie $c$ mit
$g$ bilden jeweils einen Rechten Winkel.\\

Berechnen Sie alle übrigen Strecken $b$, $c$, $e$, $f$ und $h$. Wählen Sie bei
der Berechnung eine sinnvolle Reihenfolge.


\newpage
\section{Lösungen der Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planskizze sind folgende Größen bekannt:
\[ \overline{SA}=\unit[3]{cm} \quad \overline{AB}=\unit[2]{cm}
\quad \overline{SC}=\unit[4{,}5]{cm}\]
Gesucht ist die Strecke $\overline{CD}$.

\paragraph{Lösung:}
Hier hilft der erste Strahlensatz weiter.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{SA}}{\overline{AB}}&=&\cfrac{\overline{SC}}{\overline{CD}}\\
\cfrac{\unit[3]{cm}}{\unit[2]{cm}}&=&\cfrac{\unit[4{,}5]{cm}}{\overline{CD}}\\
1{,}5&=&\cfrac{\unit[4{,}5]{cm}}{\overline{CD}} &| \cdot \overline{CD}\\
1{,}5 \cdot \overline{CD}&=&\unit[4{,}5]{cm} &|:1{,}5 \\
 \overline{CD}&=&\unit[3]{cm}\\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
  \psline(0,0)(6,3)
  \psline(0,2)(6,5)
  \psline(0,3)(6,1)(2,6)
  \uput[-120](6,1){$S$}
  \uput[-90](3.6,1.7){$A$}
  \uput[-90](1.1,2.5){$B$}
  \uput[0](5,2.3){$C$}
  \uput[0](3.8,3.7){$D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planskizze sind folgende Größen bekannt:
\[ \overline{SA}=\unit[3{,}6]{cm} \quad \overline{AB}=\unit[1{,}2]{cm}
\quad \overline{AC}=\unit[2{,}7]{cm}\]
Gesucht ist die Strecke $\overline{BD}$.

\paragraph{Lösung:}
Da mit der Strecke $\overline{AC}$ ein Abschnitt auf einer der Parallelen
bekannt ist, kommt hier der zweite Strahlensatz zum Einsatz.
Die bekannte Strecke $\overline{AB}$ ist jedoch \textbf{kein}
Strahlenabschnitt, den man für diesen Strahlensatz benötigt, Strahlenabschnitte
haben immer den Punkt $S$ als einen Endpunkt. Aus $\overline{SA}$ und
$\overline{AB}$ kann jedoch $\overline{SB}$ vorab berechnet werden.
\[\overline{SB}=\overline{SA}+\overline{AB}
=\unit[3{,}6]{cm}+\unit[1{,}2]{cm}=\unit[4{,}8]{cm}\]

Der Strahlensatz kann angewendet werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{BD}}{\overline{AC}}&=&\cfrac{\overline{SB}}{\overline{SA}}\\
\cfrac{\overline{BD}}{\unit[2{,}7]{cm}}
  &=&\cfrac{\unit[4{,}8]{cm}}{\unit[3{,}6]{cm}} &| \cdot \unit[2{,}7]{cm}\\
\overline{BD}&=&\cfrac{\unit[4{,}8]{cm}}{\unit[3{,}6]{cm}} \cdot
  \unit[2{,}7]{cm}\\
\overline{BD}&=&\unit[3{,}6]{cm}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{4.3cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3.5)
  \psline[linewidth=0.5pt](2,1.75)(6,1.75)
  \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(8,0)(4,3.5)(0,0)
  \uput{0.2}[90](4.5,1.5){\footnotesize $l$}
  \psline[linewidth=0.5pt](4,3.5)(4,0)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auf einem Dachboden soll Wäsche zum Trocknen aufgehängt werden können. Der
Dachboden ist 9,50 Meter breit und in der Mitte 3,80 Meter hoch. Die
Wäscheleinen sollen 2 Meter über dem Fußboden waagerecht aufgespannt werden.
Welche Länge $l$ hat jede Leine von Haken zu Haken?\\

\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{2.8cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,4)
  \psline(-0.5,1.75)(4.5,1.75)
  \psline(-0.5,-0.45)(4,3.5)(4,-0.45)
  \psline(-0.5,0)(4.5,0)
  \uput{0.1}[180](4,3.5){\footnotesize $S$}
  \uput{0.1}[120](2,1.7){\footnotesize $A$}
  \uput{0.1}[120](0,0){\footnotesize $B$}
  \uput{0.1}[60](4,1.7){\footnotesize $C$}
  \uput{0.1}[60](4,0){\footnotesize $D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zur Lösung wird ein Hilfslinie eingetragen, die die Höhe des Dachbodens
darstellt. Jetzt kann z. B. im linken Teildreieck der zweite
Strahlensatz angewendet werden. Die beiden Strahlen sind die Höhe des
Dachbodens und die Seitenlinie entlang der Dachfläche, die Parallelen sind der
Fußboden des Dachbodens und die Wäscheleinenebene.\\

Bekannt sind die Strecken $\overline{BD}$ als halbe Dachbodenbreite mit
\mbox{$\overline{BD}=\unit[4{,}75]{m}$}, die Strecke $\overline{SD}$ als
Dachbodenhöhe mit \mbox{$\overline{SD}=\unit[3{,}80]{m}$} und die Strecke
$\overline{CD}$ als Leinenhöhe mit \mbox{$\overline{CD}=\unit[2{,}00]{m}$}.\\

Schaut man sich die Lage der gegebenen und gesuchten Größen an, dann erkennt
man, dass die Strecke $\overline{CD}$ nicht zum zweiten Strahlensatz passt. Es
wird jeweils der Abschnitt vom Scheitelpunkt $S$ aus benötigt. Wir müssen also
zunächst die Strecke $\overline{SC}$ berechnen.

\[\overline{SC}=\overline{SD}-\overline{CD}
=\unit[3{,}8]{m}-\unit[2]{m}=\unit[1{,}8]{m}\]

Damit kann der Strahlensatz angesetzt werden:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}&=&\cfrac{\overline{SC}}{\overline{SD}}\\
\cfrac{\overline{AC}}{\unit[4{,}75]{m}}
&=&\cfrac{\unit[1{,}8]{m}}{\unit[3{,}8]{m}} &| \cdot \unit[4{,}75]{m}\\
\overline{AC}&=&\cfrac{\unit[1{,}8]{m}}{\unit[3{,}8]{m}}
 \cdot \unit[4{,}75]{m}\\
\overline{AC}&=&\unit[2{,}25]{m}\\
\end{array}\]

Die Leinenlänge ist aus Symmetriegründen doppelt so groß.
\[l=2 \cdot \overline{AC}=2 \cdot \unit[2{,}25]{m}=\unit[4{,}5]{m}\]

\underline{Ergebnis:}
Die Leinen haben eine Länge von 4,50 Meter.

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.9,-0.1)(4.9,5)
  \psline[linewidth=4.5pt](0,0)(2,5)(4,0)
  \psline(-0.9,0)(4.9,0)
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dotted](1,2.5)(3,2.5)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Stehleiter mit einer Leiterholmlänge von 2,60 Metern wird beim Aufstellen
durch eine Kette gesichert. Die Kette soll verhindern, dass die Holmen zu weit
auseinander stehen und dadurch wegrutschen können.\\

Wenn die Leiter so aufgestellt ist, dass die Kette stramm ist, soll der Abstand
zwischen den Leiterfüßen 80 Zentimeter betragen. Die Kette ist beidseitig in
einem Abstand von 1,43 Metern von den Leiterfüßen entfernt angebracht. Welche
Länge muss diese Kette haben?

\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.9,-0.5)(4.9,5.3)
  \psline(-0.15,-0.5)(2,5)(4.15,-0.5)
  \psline(-0.9,0)(4.9,0)
  \psline(-0.9,2.5)(4.9,2.5)
  \uput{0.1}[0](2,5){\footnotesize $S$}
  \uput{0.1}[120](1,2.5){\footnotesize $A$}
  \uput{0.1}[120](0,0){\footnotesize $B$}
  \uput{0.1}[55](3,2.5){\footnotesize $C$}
  \uput{0.1}[55](4,0){\footnotesize $D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auch hier zeichne ich zunächst eine mathematische Planfigur, in die nun
Bezeichnungen eingetragen werden können.\\

Da auch Parallelenabschnitte vorkommen (Kettenlänge, Leiterfußabstand), muss
der \textbf{zweite} Strahlensatz verwendet werden. Wegen der Symmetrie der
Leiter kann man beliebig den linken oder rechten Holm verwenden. Für den
zweiten Strahlensatz müssen aber beide Abschnitte auf dem \textbf{selben}
Leiterholm liegen.\\

Willkürlich wähle ich für die weiteren Rechnungen den \textbf{linken} Holm aus.
Die Strahlenabschnitte heißen dann $\overline{SA}$ und $\overline{SB}$. Hierbei
ist die Strecke $\overline{SA}$ als Leiterholmlänge mit
\mbox{$\overline{SA}=\unit[2{,}6]{m}$} bekannt, die Strecke $\overline{SB}$
muss zunächst noch aus $\overline{SB}$ und {$\overline{AB}$  berechnet werden.

\[\overline{SA}=\overline{SB}-\overline{AB}
=\unit[2{,}6]{m}-\unit[1{,}43]{m}=\unit[1{,}17]{m}\]

Damit kann der zweite Strahlensatz angewendet werden:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{AC}}{\overline{BD}}&=&\cfrac{\overline{SA}}{\overline{SB}}\\
\cfrac{\overline{AC}}{\unit[0{,}8]{m}}&=&\cfrac{\unit[1{,}17]{m}}{\unit[2{,}6]{m}}
 &| \cdot \unit[0{,}8]{m}\\
\overline{AC}&=&\cfrac{\unit[1{,}17]{m}}{\unit[2{,}6]{m}}
  \cdot \unit[0{,}8]{m}\\
\overline{AC}&=&\unit[0{,}36]{m}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Die Kette muss 36 Zentimeter lang sein.

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,5)
  \psline*[linecolor=lightgray](3,0)(3,4.5)(4,5)(4,0)(3,0)
  \psline(3,0)(3,4.5)(4,5)
  \psline[linewidth=2.5pt](-0.1,0)(2.9,4)
  \psline(-0.5,0)(4,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,2.67)(3,2.67)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,0)(2,2.67)
  \uput{0.1}[-90](1.5,0){\footnotesize $a$}
  \uput{0.2}[140](1.5,1.8){\footnotesize $l$}
  \uput{0.1}[-90](2.5,2.6){\footnotesize $x$}
  \rput{90}(0,0){\uput{0.1}[0](1.5,-1){\footnotesize $h$}}
  %----
  \psline[linecolor=red](-0.9,-1.2)(3,4)(3,-0.5)
  \psline[linecolor=red,linewidth=1pt](-0.5,0)(4,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=1pt](-0.5,2.67)(4,2.67)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Leiter mit einer Länge von \mbox{$l=\unit[3{,}90]{m}$} ist an eine
Hauswand angelehnt, wie nebenstehend dargestellt. Der Fußpunkt der Leiter hat
von der Hauswand einen Abstand von \mbox{$a=\unit[1{,}50]{m}$}. In welcher Höhe
$h$ über dem Erdboden beträgt der Abstand $x$ zwischen Leiter und Hauswand
genau 50 Zentimeter?

\paragraph{Lösung:}
Zunächst sollte die Skizze zu einem Zweistrahl mit geschnittenen Parallelen
ergänzt werden. Die dazu gehörenden Linien wurden hier in \textcolor{red}{Rot}
eingetragen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4,4.4)
  \psline(-0.5,0)(4,0)
  \psline(-0.8,-1.2)(3,4)(3,-0.5)
  \psline(-0.5,2.67)(4,2.67)
  \uput{0.1}[-90](1.5,0){\footnotesize $a$}
  \uput{0.2}[140](1.5,1.6){\footnotesize $l$}
  \uput{0.1}[-90](2.5,2.6){\footnotesize $x$}
  \rput{90}(0,0){\uput{0.1}[0](1.5,-1.6){\footnotesize $h$}}
  %----
  \uput{0.1}[20](3,4){\footnotesize $S$}
  \uput{0.1}[45](3,2.67){\footnotesize $A$}
  \uput{0.1}[115](2,2.67){\footnotesize $C$}
  \uput{0.1}[45](3,0){\footnotesize $B$}
  \uput{0.1}[115](0,0){\footnotesize $D$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wegen der besseren Übersichtlichkeit und damit Punktebezeichnungen eingetragen
werden können, habe ich den Zweistrahl nun nebenstehend noch einmal als
Struktur dargestellt.\\

Mit $x$ und $a$ sind zwei Parallelenabschnitte bekannt. Da nur im
\textbf{zweiten} Strahlensatz Parallelenabschnitte vorkommen, muss dieser hier
zum Einsatz kommen. Schaut man sich den zweiten Strahlensatz genau an, dann
stellt man schnell fest, dass hier nur die Abschnitte auf \textbf{einem
einzigen} Strahl vorkommen. Leider liegen die Leiterlänge $l$ (Strecke
$\overline{SD}$) und die gesuchte Höhe $h$ (Strecke $\overline{AB}$) auf
\textbf{verschiedenen} Strahlen. Man kann jedoch über das Rechtwinklige Dreieck
$\Delta SBD$ aus $a$ und $l$ die Strecke $\overline{SB}$ mit Hilfe des Satzes
des Pythagoras\footnote{Einzelheiten zum Satz des Pythagoras siehe hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/pythagoras.pdf}\fi}
ausrechnen.

\[\begin{array}{rcll}
(\overline{SB})^2+a^2&=&l^2 \\
(\overline{SB})^2+(\unit[1{,}5]{m})^2&=&(\unit[3{,}9]{m})^2
  &|-(\unit[1{,}5]{m})^2 \\
(\overline{SB})^2&=&\unit[15{,}21]{m^2}-\unit[2{,}25]{m^2} &|\sqrt{\ }\\
(\overline{SB})&=&\sqrt{\unit[12{,}96]{m^2}} \\
(\overline{SB})&=&\unit[3{,}6]{m}\\
\end{array}\]

Mit dem zweiten Strahlensatz kann nun nicht direkt die Höhe $h$ berechnet
werden, weil $h$ kein Strahlenabschnitt ist. Es muss zunächst die Strecke
$\overline{SA}$ berechnet werden.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{\overline{SA}}{x}&=&\cfrac{\overline{SB}}{a}\\
\cfrac{\overline{SA}}{\unit[0{,}5]{m}}
  &=&\cfrac{\unit[3{,}6]{m}}{\unit[1{,}5]{m}}\\
\cfrac{\overline{SA}}{\unit[0{,}5]{m}}&=&2{,}4 &| \cdot \unit[0{,}5]{m} \\
\overline{SA}&=&\unit[1{,}2]{m}\\
\end{array}\]

Die gesuchte Höhe $h$ kann nun einfach über die Längendifferenz zwischen
$\overline{SB}$ und $\overline{SA}$ berechnet werden.
\[h=\overline{SB}-\overline{SA}
=\unit[3{,}6]{m}-\unit[1{,}2]{m}=\unit[2{,}4]{m}\]

\underline{Ergebnis:}
In einem Abstand von 50 Zentimetern von der Wand ist die Leiter 2,40 Meter
hoch.

\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.4)(6,3)
  \psline(6,0)(0,0)(6,3)
  \psline(4,0)(4,2)
  \psline(6,0)(6,3)
  \uput{0.1}[-90](3.5,0){\footnotesize $a$}
  \uput{0.1}[110](3.5,1.8){\footnotesize $b$}
  \uput{0.1}[90](2,0){\footnotesize $c$}
  \uput{0.1}[90](5,0){\footnotesize $d$}
  \uput{0.1}[-20](2.3,1){\footnotesize $e$}
  \uput{0.1}[-90](5,2.55){\footnotesize $f$}
  \uput{0.1}[180](4,1){\footnotesize $g$}
  \uput{0.1}[180](6,1.5){\footnotesize $h$}
  \psarc[linewidth=0.8pt]{-}(6,0){0.3}{90}{180}
  \uput{0.05}[145](6,0){$\cdot$}
  \psarc[linewidth=0.8pt]{-}(4,0){0.3}{90}{180}
  \uput{0.05}[145](4,0){$\cdot$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gemäß nebenstehender Planfigur sind folgende Größen bekannt:
\[\begin{array}{rcll}
a&=&\unit[18]{cm}\\
d&=&\unit[6]{cm}\\
g&=&\unit[5]{cm}\\
\end{array}\]
Die Strecken $g$ und $h$ sind zueinander parallel, $a$ mit $h$ sowie $c$ mit
$g$ bilden jeweils einen Rechten Winkel.\\

Berechnen Sie alle übrigen Strecken $b$, $c$, $e$, $f$ und $h$. Wählen Sie bei
der Berechnung eine sinnvolle Reihenfolge.

\paragraph{Lösung:}
Mit der bekannten Strecke $g$ ist ein Parallelenabschnitt bekannt. Da
Parallelenabschnitte nur im \textbf{zweiten} Strahlensatz vorkommen, kommt
dieser zur Anwendung.\\

Im zweiten Strahlensatz kommen neben den Parallelenabschnitten nur die
Strahlenabschnitte auf \textbf{einem der beiden} Strahlen vor. Die gegebenen
Strecken $a$ und $d$ liegen beide auf dem unteren Strahl. Hierbei ist $a$ der
zu $h$ gehörige Strahlenabschnitt, zu $g$ gehört der Strahlenabschnitt $c$.
Dieser ist noch nicht bekannt, kann aber leicht aus $a$ und $d$ berechnet
werden.

\[c=a-d=\unit[18]{cm}-\unit[6]{cm}=\unit[12]{cm}\]

Nun kann mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes die Strecke $h$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{h}{g}&=&\cfrac{a}{c}\\
\cfrac{h}{\unit[5]{cm}}&=&\cfrac{\unit[18]{cm}}{\unit[12]{cm}}\\
\cfrac{h}{\unit[5]{cm}}&=&1{,}5&| \cdot \unit[5]{cm}\\
h&=&\unit[7{,}5]{cm}\\
\end{array}\]

Es fehlen noch die Strecke $b$, $e$ und $f$. Diese liegen alle auf dem anderen
Strahl. Ein Strahlensatz hilft hier nicht weiter, weil dann im Ansatz immer
\textbf{zwei} unbekannte Größen vorkämen.\\

Bei genauerer Betrachtung kann man jedoch zwei \textbf{Rechtwinklige Dreiecke}
erkennen, nämlich die Dreiecke bestehend aus $a$, $h$ und $b$ sowie aus $c$,
$g$ und $e$. In beiden gibt es nur eine Seite, die nicht bekannt ist. Der
\textbf{Satz des Pythagoras} hilft hier weiter.

\[\begin{array}{rcll}
b^2&=&a^2+h^2 \\
&=&(\unit[18]{cm})^2+(\unit[7{,}5]{cm})^2 \\
&=&\unit[324]{cm^2}+\unit[56{,}25]{cm^2}\\
&=&\unit[380{,}25]{cm^2}
&|\sqrt{\ }\\
b&=&\unit[19{,}5]{cm}\\
\end{array}\]

Die Strecke $e$ kann nun ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras, aber auch mit
einem der beiden Strahlensätze ermittelt werden.
\subparagraph{Lösungsvariante 1:} Satz des Pythagoras\\
\[\begin{array}{rcll}
e^2&=&c^2+g^2 \\
&=&(\unit[12]{cm})^2+(\unit[5]{cm})^2 \\
&=&\unit[144]{cm^2}+\unit[25]{cm^2}\\
&=&\unit[169]{cm^2} &|\sqrt{\ }\\
e&=&\unit[13]{cm}\\
\end{array}\]

\subparagraph{Lösungsvariante 2:} Erster Strahlensatz\\
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{e}{c}&=&\cfrac{b}{a}\\
\cfrac{e}{\unit[12]{cm}}&=&\cfrac{\unit[19{,}5]{cm}}{\unit[18]{cm}}
  &| \cdot \unit[12]{cm}\\
e&=&\cfrac{\unit[19{,}5]{cm}}{\unit[18]{cm}}\cdot \unit[12]{cm} \\
e&=&\unit[13]{cm}\\
\end{array}\]

\subparagraph{Lösungsvariante 3:} Zweiter Strahlensatz\\
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{e}{g}&=&\cfrac{b}{h}\\
\cfrac{e}{\unit[5]{cm}}&=&\cfrac{\unit[19{,}5]{cm}}{\unit[7{,}5]{cm}}\\
\cfrac{e}{\unit[5]{cm}}&=&2{,}6 &| \cdot \unit[5]{cm}\\
e&=&\unit[13]{cm}\\
\end{array}\]

Als letzte Größe feht nur noch $f$. Die kann leicht aus $b$ und $e$ berechnet
werden.

\[f=b-e=\unit[19{,}5]{cm}-\unit[13]{cm}=\unit[6{,}5]{cm}\]

Zusammenfassung der Ergebnisse:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$b=\unit[19{,}5]{cm}\qquad
c=\unit[12]{cm}\qquad e=\unit[13]{cm}\qquad f=\unit[6{,}5]{cm}\qquad
h=\unit[7{,}5]{cm}$}\end{center}

\newpage


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
%\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
%\end{pspicture}
%\end{wrapfigure}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%-------------------------
%\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
%  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
%    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
%    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
%  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
%    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
%    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
%     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
%     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
%  \pscustom{
%   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
%   \gsave
%   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
%   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
%  \grestore }
%  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
%          gridcolor=black!50,yunit=2]
%  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
%  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
%  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{180}{90}
%-------------------------
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%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
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%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
