\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage[ngerman]{babel} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
\usepackage{caption} % Bildunterschrift
\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Besondere Problemstellung aus dem Bereich Flächen, Volumen, Dreisatz}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Es gibt eine ganze Reihe praktischer Probleme, die mit Hilfsmitteln aus dem
Bereich der Mathematik gelöst werden können. Manchmal führt eine "`blinde"'
Anwendung mathematischer Methoden zu falschen Ergebnissen, wenn bestimmte
Randbedingungen nicht beachtet werden. Hier soll eine Aufgabensammlung solcher
Aufgaben vorgestellt werden. Mögliche Lösungen dazu stehen in einem späteren
Kapitel.

\section{Aufgabenstellungen}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Fußboden mit einer Länge von $\unit[3{,}40]{m}$ und einer Breite von
$\unit[2{,}90]{m}$ soll gefliest werden. Die Fliesen haben die Abmessungen
$\unit[60]{cm}\times\unit[30]{cm}$. Darin ist die erforderliche Fugenbreite
zwischen den Fliesen bereits enthalten. Die lange Seite der Fliesen soll in der
Richtung der Länge des Fußbodens ausgelegt werden.

\subsection{Aufgabe 2}
An einem Grundstück soll zur Straßenseite ein Maschendrahtzaun aufgespannt
werden. Die Frontseite des Grundstückes hat eine Länge von 5,80 Meter. Der Zaun
wird durch Zaunpfähle aufgespannt. Der Abstand zwischen zwei Zaunpfählen darf
keinesfalls größer als 80 Zentimeter sein.
\begin{enumerate}
\item Wieviele Zaunpfähle sind erforderlich?
\item Welchen Abstand sollen die Zaunpfähle haben, wenn die Abstände immer
  gleich groß sein sollen?
\end{enumerate}

\subsection{Aufgabe 3}
In der Krankenstation eines Krankenhauses sind 6 Krankenpfleger beschäftigt. Um
am Morgen bei allen 36 Patienten den Blutdruck und das Fieber zu messen,
benötigen sie 18 Minuten. In welcher Zeit ist die Arbeit erledigt, wenn ein
Krankenpfleger ausfällt?

%\subsection{Aufgabe 4}
%\subsection{Aufgabe 5}

\newpage
\section{Lösungen der Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Fußboden mit einer Länge von $\unit[3{,}40]{m}$ und einer Breite von
$\unit[2{,}90]{m}$ soll gefliest werden. Die Fliesen haben die Abmessungen
$\unit[60]{cm}\times\unit[30]{cm}$. Darin ist die erforderliche Fugenbreite
zwischen den Fliesen bereits enthalten. Die lange Seite der Fliesen soll in der
Richtung der Länge des Fußbodens ausgelegt werden.

\paragraph{Zunächst eine falsche Lösung:}
Ich benenne die Bodenfläche des Raumes mit $A_B$ und die Fläche einer Fliese
mit $A_F$.
\[\begin{array}{rcll}
A_B&=&l \cdot b \\
&=&\unit[3{,}40]{m} \cdot \unit[2{,}90]{m}\\
&=&\unit[340]{cm} \cdot \unit[290]{cm}\\
A_B&=&\unit[98\,600]{cm^2}\\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
A_F&=&\unit[60]{cm} \cdot \unit[30]{cm}\\
A_F&=&\unit[1\,800]{cm^2}\\
\end{array}\]

Ich nenne die Anzahl der erforderlichen Fliesen $n$.
\[\begin{array}{rcll}
n \cdot A_F&=&A_B &|:A_F \\
n&=&\cfrac{A_B}{A_F}\\
&=&\cfrac{\unit[98\,600]{cm^2}}{\unit[1\,800]{cm^2}}\\
&\approx&54{,}444 \\
\end{array}\]

Ich runde auf ganze Fliesen und erhalte 54 erfoderliche Fliesen.\\

\textbf{\emph{Welche Fehler wurden hier gemacht?}}
\subparagraph{Fehler 1:}
Es wurde \textbf{ab}gerundet. Das ist zwar mathematisch korrekt, weil aber 54
Fliesen eben \textbf{nicht ganz} ausreichen, um den Boden komplett zu bedecken,
reicht das nicht aus. Fast eine halbe Fliese fehlt. Wenn kein anderer Fehler
vorhanden wäre, müssten wir also 55 Fliesen bereithalten.

\subparagraph{Fehler 2:}
Legt man beispielsweise entlang der Länge des Raumes Fliesen aneinander, dann
passen sie nicht \textbf{genau} auf die Raumlänge von $\unit[3{,}40]{m}$. 5
Fliesen decken $\unit[3{,}00]{m}$ ab, 6 Fliesen würden auf eine Länge von
$\unit[3{,}60]{m}$ passen. Das bedeutet, von der letzten Fliese müssen
$\unit[20]{cm}$ abgeschnitten werden. Dieses Reststück ist zu kurz, als dass
man es in der nächsten Reihe hinter 5 komplette Fliesen legen könnte. (Außerdem
kann es sein, dass das auch aus Gründen des Fliesenmusters nicht passt. Dies
wollen wir an dieser Stelle einmal außer Acht lassen.) Mit anderen Worten: In
jeder Reihe bleibt ein Reststück übrig, das als sogenannter "`Verschnitt"' --
also Abfall -- keine weitere Verwendung finden kann. Sinngemäß das gleiche gilt
auch für die Breite des Raumes. Auch hier passen die Abmessungen einer Fliese
nicht genau zur Raumbreite.\\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=2mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(0,0)(36,30)
 \psline[linecolor=black!30](0,0)(36,0)
 \psline[linecolor=black!30](0,3)(36,3)
 \psline[linecolor=black!30](0,6)(36,6)
 \psline[linecolor=black!30](0,9)(36,9)
 \psline[linecolor=black!30](0,12)(36,12)
 \psline[linecolor=black!30](0,15)(36,15)
 \psline[linecolor=black!30](0,18)(36,18)
 \psline[linecolor=black!30](0,21)(36,21)
 \psline[linecolor=black!30](0,24)(36,24)
 \psline[linecolor=black!30](0,27)(36,27)
 \psline[linecolor=black!30](0,30)(36,30)
 \psline[linecolor=black!30](0,0)(0,30)
 \psline[linecolor=black!30](6,0)(6,30)
 \psline[linecolor=black!30](12,0)(12,30)
 \psline[linecolor=black!30](18,0)(18,30)
 \psline[linecolor=black!30](24,0)(24,30)
 \psline[linecolor=black!30](30,0)(30,30)
 \psline[linecolor=black!30](36,0)(36,30)
 \psline[linewidth=1.5pt](0,0)(34,0)(34,29)(0,29)(0,0)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
\paragraph{Es folgt eine korrekte Lösung:}
Nebenstehend ist ein Lageplan der Fliesen dargestellt.\\

Wir bestimmen zunächst die Zahl der Fliesen $n_1$, die für jede Reihe
erfoderlich ist. Hier muss \textbf{immer} auf eine ganze Zahl aufgerundet
werden.
\[\begin{array}{rcll}
n_1 \cdot \unit[60]{cm}&=&\unit[3{,}40]{m} &|:\unit[60]{cm} \\
n_1&=&\cfrac{\unit[3{,}40]{m}}{\unit[60]{cm}} \\
&=&\cfrac{\unit[340]{cm}}{\unit[60]{cm}}\\
&\approx&5{,}667 \\
\end{array}\]
Durch \textbf{Aufrunden} erhalten wir \mbox{$n_1=6$}.
%Weil jeweils von der
%letzten Fliese einer Reihe etwas abgeschnitten werden muss, was nicht weiter
%verwendet werden kann, muss \textbf{immer} aufgerundet werden, auch wenn die
%mathematische Regel ein Abrunden vorsehen würde.
\\

Die erforderliche Anzahl der Reihen nenne ich $n_2$. Ich berechne $n_2$:
\[\begin{array}{rcll}
n_2 \cdot \unit[30]{cm}&=&\unit[2{,}90]{m}&|:\unit[30]{cm}\\
n_2&=&\cfrac{\unit[2{,}90]{m}}{\unit[30]{cm}}\\
&\approx&9{,}667 \\
\end{array}\]
Durch \textbf{Aufrunden} erhalten wir $n_2=10$.\\

Es sind also 10 Reihen zu je 6 Fliesen erfoderlich. Das sind $n=10 \cdot 6=60$
Fliesen.

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
An einem Grundstück soll zur Straßenseite ein Maschendrahtzaun aufgespannt
werden. Die Frontseite des Grundstückes hat eine Länge von 5,80 Meter. Der Zaun
wird durch Zaunpfähle aufgespannt. Der Abstand zwischen zwei Zaunpfählen darf
keinesfalls größer als 80 Zentimeter sein.
\begin{enumerate}
\item Wieviele Zaunpfähle sind erforderlich?
\item Welchen Abstand sollen die Zaunpfähle haben, wenn die Abstände immer
  gleich groß sein sollen?
\end{enumerate}

\paragraph{Aufgabenteil 1:}
\subparagraph{Zunächst eine fehlerhafte Lösung.}
\[\begin{array}{rcll}
n&=&\cfrac{\unit[5{,}80]{m}}{\unit[0{,}80]{m}}\\
&=&7{,}25 \\
&\approx&7 \\
\end{array}\]
7 Zaunpfähle sind erforderlich.
\subparagraph{Erster Fehler:}
Hier darf nicht \textbf{ab}gerundet werden. Die Pfahlabstände würden sonst
dadurch größer, als die maximal zulässigen 80 Zentimeter. Wir müssten deshalb
auf 8 Pfähle \textbf{auf}runden.
\subparagraph{Zweiter Fehler:}
Was hier berechnet wurde, ist die Anzahl der Zaunsegmente, nicht die Anzahl der
Pfähle. Es muss berücksichtigt werden, dass am Anfang \textbf{und} am Ende des
Zaunes ein Pfahl steht. Hätten wir nur ein einziges Segment, dann wären dafür
schon \textbf{zwei} Pfähle nötig. Bei zwei Segmenten wären es drei Pfähle usw.
Wir benötigen also immer einen Pfahl mehr, als die Anzahl der Zaunsegmente
angibt. Daher lautet das richtige Ergebnis:\\
\textbf{Es sind 9 Pfähle erforderlich.}

\paragraph{Aufgabenteil 2:}
Hier ist die Gefahr, etwas falsch zu machen, nicht sehr groß. Man könnte jedoch
\emph{fälschlicherweise} mit der Zahl der Pfähle, anstatt mit der Zahl der
Zaunsegmente rechnen.\\

Ich benenne den Pfahlabstand mit $a$, die Anzahl der Zaunsegmente mit $n$ und
die Zaunlänge mit $l$.
\[\begin{array}{rcll}
a&=&\cfrac{l}{n}\\
&=&\cfrac{\unit[5{,}80]{m}}{8}\\
&=&\unit[0{,}725]{m}\\
\end{array}\] \enlargethispage{5mm}
\underline{Ergebnis:} Die Zaunpfähle haben einen Abstand von 72,5 Zentimeter voneinander.

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
In der Krankenstation eines Krankenhauses sind 6 Krankenpfleger beschäftigt. Um
am Morgen bei allen 36 Patienten den Blutdruck, den Puls und das Fieber zu
messen, benötigen sie 18 Minuten. In welcher Zeit ist die Arbeit erledigt, wenn
ein Krankenpfleger ausfällt?

\paragraph{Ein falscher Lösungsweg:}
Man macht daraus einen einfachen Dreisatz.\footnote{Mehr zum Dreisatz siehe
hier: \ifpdf \url
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/3satz.pdf}\fi}

\begin{center}\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-7,-7.5)(7,0.5)
  \pnode(-5.6,-3){A1}
  \pnode(-5.6,-3.4){A2}
  \pnode(-5.6,-3.8){A3}
  \pnode(5.6,-3){B1}
  \pnode(5.6,-3.4){B2}
  \pnode(5.6,-3.8){B3}
  \pnode(-5.6,-4.0){A4}
  \pnode(-5.6,-4.8){A5}
  \pnode(-5.6,-5.6){A6}
  \pnode(5.6,-4.0){B4}
  \pnode(5.6,-4.8){B5}
  \pnode(5.6,-5.6){B6}
  \uput[180](A2){$:6$}
  \uput[0](B2){$ \cdot 6$}
  \uput[180](A5){$ \cdot 5$}
  \uput[0](B5){$ :5$}
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A1)(A3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B1)(B3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(A4)(A6)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(B4)(B6)
  \uput[-90](-0.7,1){$
\begin{array}{c|ll}
\textnormal{\textbf{Pfleger:}}&\textnormal{\textbf{Zeit:}}\\
\hline
6 &\unit[18]{min}\\
5 &\unit[?]{min}\\
\hline
6 &\unit[18]{min}\\
1 &\unit[18 \cdot 6]{min}\\
5 &\unit[\cfrac{18 \cdot 6}{5}]{min}=\unit[21{,}6]{min}\\
\end{array}
  $}
\end{pspicture}\end{center}
Man könnte das noch in Minuten und Sekunden umrechnen:
\[\unit[21{,}6]{min}=\unit[21]{min}+\unit[0{,}6 \cdot 60]{s}
=\unit[21]{min}+\unit[36]{s}\]
\underline{Ergebnis:} Die Arbeit dauert mit nur 5 Krankenpflegern 21 Minuten
und 36 Sekunden.

\paragraph{Korrekter Lösungsweg:}
Warum ist die vorgestellte Lösung falsch?\\

Gehen wir das einfach mal praktisch durch. Die 5 Krankenpfleger beginnen mit
der Arbeit. Jeder kümmert sich um genau einen Patienten. Es werden also 5
Patienten gleichzeitig versorgt. Danach kommen die nächsten 5 Patienten an die
Reihe, usw. Nach 7 Zyklen sind 35 Patienten versorgt, ein einzelner Patient
bleibt noch. Wenn sich alle Krankenpfleger auf diesen stürzen würde, wäre die
Arbeit trotzdem nicht in einem Fünftel der Zeit zu erledigen. Die Arbeit
braucht die selbe Zeit.\\

Aus den angegebenen Daten kann man zunächst ermitteln, wie lange die Versorgung
eines Patienten dauert. Bei 36 Patienten und 6 Pflegern muss jeder Pfleger
\mbox{$36:6=6$} Patienten versorgen. Dafür benötigt er 18 Minuten. Je Patient
sind das \mbox{$18:6=3$} Minuten. Wie wir eben gesehen haben, sind \mbox{7+1=8}
Zyklen zu je 3 Minuten notwendig, bis auch der letzte Patient untersucht ist.
Das ergibt eine Gesamtzeit von:
\[t_{ges}=\unit[3]{min} \cdot 8=\unit[24]{min}\]


\end{document}
%------------------------
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
 \^=                  % "entspricht"
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi
\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
