\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Rotationskörper mit Integralrechnung}
\author{W. Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Grundlagen}
\begin{wrapfigure}{r}{8.2cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.4,-4.6)(6.3,4.6)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub -1 mul}
   \gsave
   \psline(5,-4)(5,0)(1,0)(1,-1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psellipticarc*[linecolor=lightgray]{-}(1,0)(0.2,1.6){0}{360}
   \psellipticarc*[linecolor=lightgray!50]{-}(5,0)(0.5,4){0}{360}
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-0.4,-4.6)(6.3,4.6)
  \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=lightgray](0.8,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=1.8pt,linecolor=lightgray!50](4.5,0)(5,0)
  \psline[linestyle=dashed](0.8,0)(5,0)
  \uput[-90](6.1,0){x}  \uput[180](0,4.4){y}
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub}
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub -1 mul}
   \psellipticarc[linewidth=1.5pt]{-}(1,0)(0.2,1.62){90}{270}
   \psellipticarc[linewidth=1.5pt]{-}(5,0)(0.5,4.02){0}{360}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine (von vielen) Anwendungen sind \emph{Rotationskörper}. Darunter versteht
man Körper, die durch Rotation eines Funktionsgraphen um die Abszisse
($x$-Achse) entstehen. Man könnte sie auf der Drehmaschine herstellen, indem
der Drehmeißel den Funktionsgraphen entlang fährt.\\

Nebenstehend ist ein Beispiel dazu dargestellt. Die Oberkante stellt eine
beliebige Funktion $f(x)$ dar. Durch Rotation um die $x$-Achse beschreibt
dieser Funktionsgraph die Oberfläche des Drehkörpers. Links und rechts ist der
Drehkörper durch einen senkrechten Schnitt begrenzt.\\

\subsection{Herleitung der Berechnungsformel}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.4,-4.6)(6.3,4.6)
  \pscustom{
   \psplot{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linestyle=none]{1}{5}
     {0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub -1 mul}
   \gsave
   \psline(5,-4)(5,0)(1,0)(1,-1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psline*[linecolor=yellow]{-}(3,-2.8)(3,2.8)(3.3,2.8)(3.3,-2.8)(3,-2.8)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-0.4,-4.6)(6.3,4.6)
  \uput[-90](6.1,0){x}  \uput[180](0,4.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
      {0.5}{5.5}{0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60,linestyle=dashed]
   {0.5}{5.5}{0.1 x 3 exp mul 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add 0.5 sub -1 mul}
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(1,-1.6)(1,1.6)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(5,-4)(5,4)
   \uput[135](2,2.5){\textcolor{red}{$y=f(x)$}}
   \uput[-130](1,0){$a$}
   \uput[-45](5,0){$b$}
   \uput[-135](3,0){$x$}
   \uput[180](3.1,1.5){$y$}
   \uput[70](3,2.8){$\Delta x$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist der Rotationskörper in der Seitenansicht dargestellt. Die
Oberkante stellt die Funktion $f(x)$ dar. Spiegelbildlich entsteht dazu durch
die Rotation die untere Be\-gren\-zungs\-li\-nie, die man durch $-f(x)$
beschreiben könnte.\\

Nun stellt man sich vor, dass der Rotationskörper durch eine Anzahl
zylinderförmiger Scheiben angenähert wird. Eine solche Scheibe ist in der
Skizze stellvertretend für alle gelb eingezeichnet. Ihr Volumen ist das
Produkt aus ihrer Höhe -- hier $\Delta x$ -- und ihrer kreisförmigen
Grundfläche. Dabei ist der Radius der $y$-Wert, der zum betrachteten $x$-Wert
gehört, an der die Scheibe betrachtet wird. Demnach kann die Kreisfläche so
bestimmt werden:
\[A= \pi \cdot r^2= \pi \cdot y^2= \pi \cdot \Bigl(f(x) \Bigr)^2
 = \pi \cdot f^2(x)\]

Das Volumen der Scheibe ist dann:\\
\[ \Delta V=A \cdot h= \pi \cdot f^2(x) \cdot \Delta x\]

Das Volumen des Drehkörpers kann man sich nun zusammengesetzt vorstellen aus
ganz vielen solcher Scheiben. Das Gesamtvolumen ist dann die Summe aller
Scheibenvolumen:
\[V= \sum_{x=a}^b \Delta V(x) = \sum_{x=a}^b  \pi \cdot f^2(x) \cdot \Delta x\]

Macht man nun den Grenzwertübergang mit $\Delta x \to 0$, damit das Ergebnis
genauer wird, dann erhält man ein Integral.
\[V= \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{x=a}^b  \pi \cdot f^2(x) \cdot \Delta x
 = \int \limits_a^b \pi \cdot f^2(x) \ dx\]

Wenn man nun noch das $\pi$ aus dem Integral herausnimmt, erhält man
zusammengefasst die Formel für einen Rotationskörper in den Grenzen von $a$ bis
$b$:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$V= \pi \cdot \int \limits_a^b f^2(x) \ dx$}\end{center}

\subsection{Beispiele}
\subsubsection{Beispiel 1}
\begin{wrapfigure}{r}{8.2cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.4,-2.5)(6.3,3.6)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{4}
     {x x mul -1 mul 5 x mul add 4 sub}
   \gsave
   \psline(4,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{4}
     {x x mul 5 x mul sub 4 add}
   \gsave
   \psline(4,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=1]{->}(0,0)(-0.4,-2.5)(6.3,3.6)
  \uput[-90](6.1,0){x}  \uput[180](0,3.3){y}
   \psplot[linewidth=1.5pt]{0.5}{4.5}
     {x x mul -1 mul 5 x mul add 4 sub}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Parabel mit der Funk\-tions\-glei\-chung \mbox{$f(x)=-x^2+5x-4$} wird im
Bereich zwischen den Nullstellen um die $x$-Achse rotiert, wie nebenstehend
dargestellt. Bestimmen Sie das Volumen das dabei entstehenden
Rotationskörpers!

\paragraph{Lösung:}
Zunächst müssen die Integrationsgrenzen bestimmt werden. Das sind die
Nullstellen der gegebenen Funktion $f(x)$. Dazu wird die Funktion gleich Null
gesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0&=&0 \\
-x_0^2+5x_0-4&=&0 &| \cdot (-1) \\
x_0^2-5x_0+4&=&0 \\
x_{01/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{25}{4}-4}\\
x_{01/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \cfrac{3}{2}\\
x_{01}=1 && x_{02}=4 \\
\end{array}\]

Damit sind die Integrationsgrenzen bekannt, das Volumenintegral kann
aufgestellt werden.
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
V&=&\pi \cdot \int \limits_{x_{01}}^{x_{02}} f^2(x)\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^4 (-x^2+5x-4)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^4 x^4-5x^3+4x^2-5x^3+25x^2-20x+4x^2-20x+16\ dx\\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^4 x^4-10x^3+33x^2-40x+16\ dx\\
&=&\pi\cdot \left[\cfrac{1}{5}x^5-\cfrac{5}{2}x^4+11x^3-20x^2+16x \right]_1^4\\
&=&\pi \cdot \left( \left[ \cfrac{1}{5} \cdot 4^5-\cfrac{5}{2} \cdot 4^4
   +11 \cdot 4^3-20 \cdot 4^2+16 \cdot 4 \right]
  -\left[ \cfrac{1}{5} \cdot 1^5-\cfrac{5}{2} \cdot 1^4
   +11 \cdot 1^3-20 \cdot 1^2+16 \cdot 1 \right] \right)   \\
&=&\pi \cdot (12{,}8-4{,}7)\\
&=&\pi \cdot 8{,}1 \\
V&\approx& 25{,}447 \\
\end{eqnarray*}
}
Ergebnis: Das Volumen beträgt ungefähr \textbf{25,447 Volumeneinheiten.}

\newpage
\subsubsection{Beispiel 2}
\begin{wrapfigure}{r}{5.3cm}
\psset{xunit=0.7mm,yunit=0.7mm}
\begin{pspicture}(-33,-22)(40,26)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add}
   \gsave
   \psline(5,10)(5,0)(-5,0)(-5,10)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add -1 mul}
   \gsave
   \psline(5,-10)(5,0)(-5,0)(-5,-10)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psline*[linecolor=lightgray](-30,-10)(-30,10)(30,10)(30,-10)(-30,-10)
  \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](-33,0)(33,0)
  \psline[linewidth=1.5pt](-5,10)(-30,10)(-30,-10)(-5,-10)
  \psline[linewidth=1.5pt](5,10)(30,10)(30,-10)(5,-10)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add -1 mul}
  \psline[linewidth=0.5pt](-5,10)(-5,23)
  \psline[linewidth=0.5pt](5,10)(5,23)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-5,21)(5,21)
  \uput[90](0,20){\footnotesize 10}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-17.5)(0,17.5)
  \rput{90}(-3,5){\footnotesize \O 35}
  \psline[linewidth=0.5pt](30,10)(40,10)
  \psline[linewidth=0.5pt](30,-10)(40,-10)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(38,10)(38,-10)
  \rput{90}(35,0){\footnotesize \O 20}
  \psline[linewidth=0.5pt](30,-10)(30,-22)
  \psline[linewidth=0.5pt](-30,-10)(-30,-22)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(-30,-20)(30,-20)
  \uput[90](10,-21){\footnotesize 60}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Ein zylinderförmiges Drehteil mit einer Länge von \mbox{$\unit[60]{mm}$} und
einem Durchmesser von \mbox{$\unit[20]{mm}$} hat in der Mitte einen
parabelförmigen Wulst, wie nebenstehend dargestellt. Der Wulst ist
\mbox{$\unit[10]{mm}$} breit und hat einen Außendurchmesser von
\mbox{$\unit[35]{mm}$}.\\

Das Drehteil soll aus Drehstahl S235JR mit der Dichte
\mbox{$\rho = \unit[7{,}85]{\frac{g}{cm^3}}$} gefertigt werden. Welche Masse
hat das Drehteil?

\paragraph{Lösung:}

\begin{wrapfigure}{r}{5.3cm}
\psset{xunit=0.7mm,yunit=0.7mm}
\begin{pspicture}(-33,-21)(40,26)
  \psline*[linecolor=yellow](-30,-10)(-30,10)(30,10)(30,-10)(-30,-10)
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add}
   \gsave
   \psline(5,10)(5,0)(-5,0)(-5,10)
   \fill[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add -1 mul}
   \gsave
   \psline(5,-10)(5,0)(-5,0)(-5,-10)
   \fill[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=100,Dx=100]{->}(0,0)(-33,-21)(40,26)
  \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](-33,0)(33,0)
  \psline[linewidth=1.5pt](-5,10)(-30,10)(-30,-10)(-5,-10)
  \psline[linewidth=1.5pt](5,10)(30,10)(30,-10)(5,-10)
  \psline[linewidth=1.5pt](-5,10)(-5,-10)
  \psline[linewidth=1.5pt](5,10)(5,-10)
  \uput[-90](35,0){x}  \uput[180](0,22){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-5}{5}{x x mul -0.3 mul 17.5 add -1 mul}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Für die Lösung muss man zunächst ein passendes Koordinatensystem in das
Drehteil le\-gen. Dabei muss die Abszisse in die Ro\-ta\-tions\-ach\-se gelegt
werden. Wo die Ordinate hingelegt wird, ist zweitrangig, es ist aber
zweckmäßig, sie in diesem Beispiel genau in die Mitte zu le\-gen.\\

Der Rotationskörper kann nun in drei Teile zerlegt werden, das blau markierte
Mittelteil mit der parabelförmigen Begrenzungslinie und die beiden gelb
markierten zylindrischen Randstücke. Diese Randstücke können zu einem einzigen
Zylinder mit \mbox{$\unit[50]{mm}$} Länge und \mbox{$\unit[20]{mm}$}
Durchmesser zusammengelegt und separat auf klassische Weise berechnet werden.
Für das Mittelteil kommt die Integralformel für Rotationskörper zum Einsatz.\\

Innerhalb der Rechnung wird in Millimetern gerechnet, die Einheit aber aus
Vereinfachungsgründen weggelassen.\\

Nun ist aus den gegebenen Abmessungen die Funktionsgleichung für die obere
Parabel zu bestimmen. Wegen der symmetrischen Lage zur Ordinate lautet die
allgemeine Form nicht: \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} sondern: \mbox{$f(x)=ax^2+c$}.
Da hierbei der Parameter $c$ den $y$-Achsenabschnitt darstellt, kann dieser
Wert als halber Durchmesser des Wulstes übernommen werden:
\[c=\cfrac{35}{2}=17{,}5\]

Damit lautet die Funktionsgleichung: \mbox{$f(x)=ax^2+17{,}5$}\\

Es muss nur noch der Parameter $a$ bestimmt werden. Dazu kann man
beispielsweise den rechten oberen Randpunkt des Mittelteiles verwenden:
\mbox{$P(5;10)$}. Wir setzen diese Koordinaten in die Funktionsgleichung für
$x$ und $y$ ein:

\[\begin{array}{rcll}
f(x_P)&=&y_P \\
a \cdot 5^2+17{,}5&=&10 &|-17{,}5 \\
25a&=&-7{,}5 &|:25 \\
a&=&-0{,}3 \\
\end{array}\]

Hiermit lautet die Funkktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-0{,}3x^2+17{,}5$}\\

Jetzt kann mit dieser Funktionsgleichung das Volumen des Mittelteils bestimmt
werden.

{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
V_{Wulst}&=&\pi \cdot \int \limits_{x_1}^{x_2}f^2(x)\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_{-5}^5 \left( -0{,}3x^2+17{,}5 \right)^2 \ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_{-5}^5 0{,}09x^4-10{,}5x^2+306{,}25 \ dx \\
&=&\pi \cdot \left[ 0{,}018x^5-3{,}5x^3+306{,}25x \right]_{-5}^5 \\
&=&\pi  \cdot \Bigl( \left(0{,}018 \cdot 5^5-3{,}5 \cdot 5^3
   +306{,}25 \cdot 5 \right) -\left(0{,}018 \cdot (-5)^5-3{,}5 \cdot (-5)^3
   +306{,}25 \cdot (-5) \right) \Bigr)  \\
&=&\pi  \cdot \Bigl( 1\,150-(-1\,150) \Bigr) \\
V_{Wulst}&=&2\,300 \pi \\
\end{eqnarray*}
}
Das Gesamtvolumen der beiden (gelb markierten) Zylinder wird berechnet:
\[\begin{array}{rcll}
V_{Zyl}&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\
&=&\pi \cdot 10^2 \cdot 50 \\
V_{Zyl}&=&5\,000 \pi \\
\end{array}\]

Das Volumen des gesamten Drehteils ist dann die Summe beider Teilvolumen.
\[\begin{array}{rcll}
V&=&V_{Zyl}+V_{Wulst}\\
&=&5\,000 \pi + 2\,300 \pi \\
V&=&7\,300 \pi \\
V&\approx&22\,994 \\
\end{array}\]

Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[22\,994]{mm^2}$}\\

Jetzt kann die gesuchte Masse bereechnet werden. \enlargethispage{10mm}

\[\begin{array}{rcll}
m&=&\rho \cdot V \\
&\approx&\unit[7{,}85]{\cfrac{g}{cm^3}} \cdot \unit[22\,994]{mm^2} \\
m&\approx&\unit[180{,}029]{g}\\
\end{array}\]

Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$m \approx \unit[180{,}029]{g}$}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(6,4)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{0 x x mul sub 6 x mul add 5 sub}
   \gsave
   \psline(5,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x x mul 6 x mul sub 5 add}
   \gsave
   \psline(5,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-0.5,-4)(6,4)
  \uput[-90](5.8,0){x}  \uput[180](0,3.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{0 x x mul sub 6 x mul add 5 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x x mul 6 x mul sub 5 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Berechnen Sie das Volumen des Ro\-ta\-tions\-kör\-pers, der sich ergibt, wenn
der Funktionsgraph der Funktion
\[f(x)=-x^2+6x-5\]
um die Abszisse ($x$-Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des
Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion $f(x)$.

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(8,2)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{7}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp}
   \gsave
   \psline(7,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{7}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp -1 mul}
   \gsave
   \psline(7,0)(1,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-0.5,-2)(8,2)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,1.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{2}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{2}{6}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{6}{7}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{2}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{2}{6}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{6}{7}
     {-0.25 x x mul mul 2 x mul add 1.75 sub 0.5 exp -1 mul}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Berechnen Sie das Volumen des Elipsoides, der sich ergibt, wenn
der Funktionsgraph der Funktion
\[f(x)= \sqrt{-\cfrac{1}{4}x^2+2x-\cfrac{7}{4}}\]
um die Abszisse ($x$-Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des
Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion $f(x)$.

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(3,2)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{2}
     {0.25 x x mul mul}
   \gsave
   \psline(2,1)(-2,1)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-3,-0.5)(3,2)
  \uput[-90](2.7,0){x}  \uput[180](0,1.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{-2}{2}
     {0.25 x x mul mul}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Eine Blechschüssel mit einem parabelförmigen Querschnitt hat einen Durchmesser
von \mbox{$\unit[40]{cm}$}. Die zugehörige Funktionsgleichung \textbf{in der
Einheit Dezimeter} lautet:
\[f(x)=0{,}25x^2\]
Wieviele Liter Wasser können darin eingefüllt werden?


\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=0.15mm,yunit=0.15mm}
\begin{pspicture}(-90,-160)(430,190)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{400}{2.71828 0.0085 x mul exp 5 mul}
   \gsave
   \psline(400,150)(0,30)(0,5)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{400}{2.71828 0.0085 x mul exp -5 mul}
   \gsave
   \psline(400,-150)(0,-30)(0,-5)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](-10,0)(410,0)
  \psline[linewidth=1.5pt](400,150)(0,30)(0,5)
  \psline[linewidth=1.5pt](400,-150)(0,-30)(0,-5)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{400}{2.71828 0.0085 x mul exp 5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{400}{2.71828 0.0085 x mul exp -5 mul}
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt](-20,30)(0,30)
  \psline[linewidth=0.5pt](-20,-30)(0,-30)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-15,85)(-15,30)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-15,-55)(-15,-30)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(-15,-30)(-15,30)
  \rput{90}(-30,55){\footnotesize \O 60}
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt](-60,5)(0,5)
  \psline[linewidth=0.5pt](-60,-5)(0,-5)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-55,65)(-55,5)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-55,-35)(-55,-5)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(-55,-5)(-55,5)
  \rput{90}(-70,40){\footnotesize \O 10}
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(420,-150)(420,150)
  \psline[linewidth=0.5pt](400,150)(430,150)
  \psline[linewidth=0.5pt](400,-150)(430,-150)
  \rput{90}(400,50){\footnotesize \O 300}
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt](0,15)(0,170)
  \psline[linewidth=0.5pt](400,150)(400,170)
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,165)(400,165)
  \uput[90](200,160){400}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Für den Anschluss einer Goubeau-Leitung wird ein Trichter mit einer
exponentiellen Innenform benötigt. Dieser Trichter mit einer Länge von
\mbox{$\unit[400]{mm}$} soll aus Mes\-sing hergestellt werden. Die Außenkontur
des Trichters ist ein Pyramidenstumpf mit \mbox{$\unit[60]{mm}$} Durchmesser am
linken und \mbox{$\unit[300]{mm}$} Durchmesser am rechten Rand.
Die verwendete Mes\-sing\-le\-gie\-rung CuZn5 hat eine Dichte von
\mbox{$\rho=\unit[8{,}86]{\frac{g}{cm^3}}$}.\\

Der Trichter beginnt links mit einem Innendurchmesser von\mbox{$\unit[10]{mm}$}
und endet rechts mit gleichem Innen- und Au\-ßen\-durch\-mes\-ser.\\

Legt man das Koordinatensystem mit der Abszisse auf die Rotationsachse und die
Ordinate auf die linke Randfläche, dann hat die Funktionsgleichung für die
Innenkontur diese Form:
\[f(x)=a \cdot e^{bx}\]

% Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $b$ in der Funktionsgleichung!
Bestimmen Sie die Masse des fertigen Goubeau-Exponentialtrichters!
% Wieviel Prozent des Rohlings muss zerspant werden?


\newpage
\section{Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1}
Zunächst müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden,
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
-x_0^2+6x_0-5&=&0 &| \cdot (-1) \\
x_0^2-6x_0+5&=&0 \\
x_{01/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5}\\
x_{01/2}&=&3 \pm 2 \\
x_{01}=1 && x_{02}=5 \\
\end{array}\]

Hiermit sind die Integrationsgrenzen bekannt, das Volumenintegral kann
aufgestellt werden.
{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
V&=&\pi \cdot \int \limits_a^b f^2(x)\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^5 \left( -x^2+6x-5 \right)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^5 x^4-6x^3+5x^2-6x^3+36x^2-30x+5x^2-30x+25 \ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^5 x^4-12x^3+46x^2-60x+25 \ dx \\
&=&\pi \cdot
   \left[ \cfrac{1}{5}x^5-3x^4+\cfrac{46}{3}x^3-30x^2+25x \right]_1^5 \\
&=&\pi \cdot \left( \left[ \cfrac{1}{5} \cdot 5^5-3 \cdot 5^4
   +\cfrac{46}{3} \cdot 5^3-30 \cdot 5^2+25 \cdot 5 \right]
   -\left[ \cfrac{1}{5} \cdot 1^5-3 \cdot 1^4
   +\cfrac{46}{3} \cdot 1^3-30 \cdot 1^2+25 \cdot 1 \right] \right) \\
&=&\pi \cdot \left(\cfrac{625}{15}-\cfrac{113}{15}\right) \\
&=&\pi \cdot \cfrac{512}{15}\\
V&\approx&107{,}233 \\
\end{eqnarray*}
}
Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[107{,}233]{VE}$}\\


\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
Zunächst müssen die Nullstellen bestimmt werden. Diese stellen die
Integrationsgrenzen dar.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
\sqrt{-\cfrac{1}{4}x_0^2+2x_0-\cfrac{7}{4}}&=&0 &| (\ )^2 \\
-\cfrac{1}{4}x_0^2+2x_0-\cfrac{7}{4}&=&0 &| \cdot (-4) \\
x_0^2-8x_0+7&=&0 \\
x_{01/2}&=&4 \pm \sqrt{16-7}\\
x_{01/2}&=&4 \pm 3 \\
x_{01}=1 && x_{02}=7 \\
\end{array}\]

Hiermit kann das Volumen über die Integralformel bestimmt werden.
\begin{eqnarray*}
V&=&\pi \cdot \int \limits_a^b f^2(x) \ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^7
  \left( \sqrt{-\cfrac{1}{4}x^2+2x-\cfrac{7}{4}} \right)^2 \ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_1^7
  -\cfrac{1}{4}x^2+2x-\cfrac{7}{4}\ dx \\
&=&\pi \cdot
 \left[-\cfrac{1}{12} \cdot x^3+x^2-\cfrac{7}{4} \cdot x \right]_1^7 \\
&=&\pi \cdot \left(
 \left[ -\cfrac{1}{12} \cdot 7^3+7^2-\cfrac{7}{4} \cdot 7 \right]-
 \left[ -\cfrac{1}{12} \cdot 1^3+1^2-\cfrac{7}{4} \cdot 1 \right] \right) \\
&=&\pi \cdot \left(  \cfrac{98}{12}- \left(-\cfrac{10}{12}\right) \right) \\
&=&\pi \cdot \cfrac{108}{12}\\
&=&\pi \cdot 9 \\
V&\approx&28{,}274 \\
\end{eqnarray*}

Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[28{,}274]{VE}$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{3.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}
     {4 x mul sqrt}
   \gsave
   \psline(1,2)(1,0)(0,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}
     {4 x mul sqrt -1 mul}
   \gsave
   \psline(1,-2)(1,0)(0,0)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=10]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
  \uput[-90](1.7,0){x}  \uput[180](0,1.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}
     {4 x mul sqrt}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}
     {4 x mul sqrt -1 mul}
  \uput[-45](1,2){\footnotesize $f^{-1}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Die parabelförmige Schüssel hat für die Anwendung der Integralformel nicht die
richtige Lage. In der angegebenen Form erfolgt die Rotation um die Ordinate
($y$-Achse). Die Integralformel verlangt jedoch eine Rotation um die Abszisse
($x$-Achse). Eine Spiegelung an der $45^\circ$-Achse im ersten Quadranten muss
durchgeführt werden. Dies geschieht durch Bilden der Umkehrfunktion
$f^{-1}(x)$.\\

Mit der Umkehrfunktion erhalten wir den nebenstehend dargestellten Verlauf des
Funktionsgraphen.\\

\[\begin{array}{rcll}
0{,}25y^2&=&x &| \cdot 4 \\
y^2&=&4x &| \sqrt{\ }\\
y&=&\pm \sqrt{4x}\\
f^{-1}(x)&=&\sqrt{4x}\\
\end{array}\]

Beim Ziehen der Wurzel kommt die positive und die negative Wurzel in Betracht.
Da eine Funktion aber \textbf{rechtseindeutig} sein muss (ein eindeutiges
Ergebnis liefern muss), entfällt für die Umkehrfunktion das Minuszeichen.\\

Die Integrationsgrenzen werden benötigt. Die untere mit \mbox{$a=0$} ist
bekannt, die obere kann mit Hilfe des Schüsseldurchmessers bestimmt werden. Bei einem
\textbf{Schüs\-sel\-durch\-mes\-ser} von \mbox{$d=\unit[40]{cm}=\unit[4]{dm}$}
beträgt der \textbf{Schüsselradius} $\unit[2]{dm}$. Dies ist der
Funk\-tions\-wert an der oberen Integrationsgrenze $b$.
\[\begin{array}{rcll}
f^{-1}(b)&=&2 \\
\sqrt{4 \cdot b}&=&2 &|(\ )^2 \\
4 \cdot b&=&4 &|:4 \\
b&=&1 \\
\end{array}\]

Hiermit kann nun das Volumenintergal aufgestellt werden.

\begin{eqnarray*}
V&=&\pi \cdot \int \limits_a^b \Bigl( f^{-1}(x) \Bigr)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^1 \left( \sqrt{4x} \right)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^1 4x\ dx \\
&=&\pi \cdot \left[ 2x^2 \right]_0^1 \\
&=&\pi \cdot \Bigl( \left[ 2 \cdot 1^2 \right]
  -\left[ 2 \cdot 0^2 \right] \Bigr) \\
&=&\pi \cdot (2-0) \\
V&\approx&6{,}283 \\
\end{eqnarray*}

Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[6{,}283]{l}$}\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Ich rechne in der Einheit Millimeter. Aus Vereinfachungsgründen lasse ich
während der Rechnung diese Einheit weg.\\

Zunächst müssen die Parameter $a$ und $b$ in der Funktionsgleichung bestimmt
werden. Dazu können die Punkte auf dem Funktionsgraphen am linken und am
rechten Rand verwendet werden: \mbox{$P_1(0;5)$} und \mbox{$P_2(400;150)$}.
Die Koordinaten werden für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung eingesetzt.

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)& f(0)&=&5 &\Rightarrow& a \cdot e^{b \cdot 0}&=&5 \\
(2)& f(400)&=&150 &\Rightarrow& a \cdot e^{b \cdot 400}&=&150 \\
\end{array}\]

Aus Gleichung (1) kann sofort $a$ bestimmt werden:
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot e^{b \cdot 0}&=&5 \\
a \cdot e^0&=&5 \\
a \cdot 1&=&5 \\
a&=&5 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (2) eingesetzt, um $b$ zu berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
5 \cdot e^{b \cdot 400}&=&150 &|:5 \\
e^{b \cdot 400}&=&30 &| \ln \ldots \\
b \cdot 400&=&\ln 30 &|:400 \\
b&=&\cfrac{\ln 30}{400}\\
b&\approx& 0{,}0085 \\
\end{array}\]

Damit lautet die Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=5 \cdot e^{0{,}0085x}$}\\

Ab hier gibt es (mindestens) zwei verschiedene Methoden, wie man weitermachen
kann, um zu einer Lösung zu gelangen.
\begin{enumerate}
\item Man berechnet das Volumen des (massiven) Kegelstumpfes auf klassische
  Weise und das Volumen des Hohlraumes mit der Integralformel und
  subtrahiert die Ergebnisse voneinander.
\item Man bestimmt die Funktionsgleichung der Linearen Funktion, die den Körper
  außen als Rotationskörper begrenzt. Dann bestimmt man sowohl das Volumen des
  (massiven) Kegelstumpfes als auch das Volumen des Hohlraumes mit der
  Integralformel und subtrahiert die Ergebnisse voneinander.
\end{enumerate}

\newpage
\textbf{Lösungsvariante 1:}\\
Das Volumen des Kegelstumpfes wird berechnet:
\[\begin{array}{rcll}
V_{KS}&=&\cfrac{\pi \cdot h}{3} \cdot \left(R^2+R \cdot r+r^2\right) \\
&=&\cfrac{\pi \cdot 400}{3} \cdot \left(150^2+150 \cdot 30+30^2 \right) \\
&=&3\,720\,000 \cdot \pi \\
V_{KS}&\approx&11\,686\,725 \\
\end{array}\]

%Als nächstes bestimme ich das Volumen des zylindrischen Rohlings.
%\[\begin{array}{rcll}
%V_{Zyl}&=&A \cdot h \\
%&=&\pi \cdot r^2 \cdot h \\
%&=&\pi \cdot 150^2 \cdot 400 \\
%V_{Zyl}&\approx&28\,274\,000 \\
%\end{array}\]
%Das Volumen des Kegelstumpfes beträgt:
%\fcolorbox{red}{yellow}{$V_{KS} \approx \unit[11\,687\,000]{mm^3}$}\\

Das Hohlraumvolumen des Trichters wird mit der Integralformel bestimmt.
\begin{eqnarray*}
V_{Trichter}
&=&\pi \cdot \int \limits_a^b \Bigl(f(x) \Bigr)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int\limits_0^{400}\left(5 \cdot e^{0{,}008\,5x}\right)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int\limits_0^{400}25 \cdot e^{0{,}017x}\ dx \\
&=&25 \pi \cdot \int\limits_0^{400}e^{0{,}017x}\ dx \\
&=&25 \pi \cdot \left[ \cfrac{e^{0{,}017x}}{0{,}017}\right]_0^{400}\\
&\approx&1\,470 \pi \cdot \left[e^{0{,}017x}\right]_0^{400}\\
&\approx&4\,618 \cdot \left[e^{0{,}017x}\right]_0^{400}\\
&=&4\,618 \cdot \Bigl( \left[e^{0{,}017 \cdot 400}\right]
  -\left[e^{0{,}017 \cdot 0}\right] \Bigr) \\
&\approx&4\,618 \cdot (900-1) \\
V_{Trichter}&\approx&4\,152\,000 \\
\end{eqnarray*}

Hiermit wird nun das Gesamtvolumen des fertigen Exponentialtrichters bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
V_{ges}&=&V_{KS}-V_{Trichter}\\
&=&11\,687\,000-4\,152\,000 \\
V_{ges}&=&7\,535\,000 \\
\end{array}\]
Das Gesamtvolumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V_{ges}=\unit[7\,535]{cm^3}$}\\

\newpage
Hiermit kann die Masse berechnet werden.
\[m= \rho \cdot V_{ges}
 =\unit[8{,}86]{\cfrac{g}{cm^3}} \cdot \unit[7\,535]{cm^3}
 \approx \unit[66\,760]{g}\]

Die Gesamtmasse beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$m=\unit[66{,}760]{kg}$} \\

\textbf{Lösungsvariante 2:}\\
Für diese Variante muss zunächst die Lineare Funktion für die Außenseite des
Ke\-gel\-stum\-pfes bestimmt werden.
\[g(x)=m \cdot x+b\]
Der Parameter $b$ ist als Ordinatenabschnitt $y_0$ mit $b=30$ bekannt. Nur noch
die Steigung $m$ muss berechnet werden.
\[m=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
 =\cfrac{150-30}{400-0}=0{,}3\]
Die Funktionsgleichung lautet damit: $g(x)=0{,}3 \cdot x+30$\\

Hiermit kann das Kegelstumpfvolumen mit der Integralformel berechnet werden:
\begin{eqnarray*}
V_{KS}&=&\pi \cdot \int \limits_a^b \Bigl(g(x) \Bigr)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^{400} \left( 0{,}3 \cdot x+30 \right)^2\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^{400} 0{,}09 \cdot x^2+18x+900\ dx \\
&=&\pi \cdot \left[0{,}03x^3+9x^2+900x \right]_0^{400}\\
&=&\pi \cdot \Bigl( [0{,}03 \cdot 400^3+9 \cdot 400^2+900 \cdot 400]
  -[0{,}03 \cdot 0^3+9 \cdot 0^2+900 \cdot 0] \Bigr) \\
&=&\pi \cdot 3\,720\,000 \\
V_{KS}&\approx&11\,686\,725 \\
\end{eqnarray*}

Der restliche Lösungsweg ist mit dem ersten identisch.

\end{document}

\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=0.45mm,yunit=0.48mm}
\begin{pspicture}(-45,-25)(145,17)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{0.0025 x x mul mul 0.3 x mul sub 7 sub}
   \gsave
   \psline(140,0)(0,0)(0,-7)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{-0.0025 x x mul mul 0.3 x mul add 7 add}
   \gsave
   \psline(140,0)(0,0)(0,7)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](-45,0)(145,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{-0.0025 x x mul mul 0.3 x mul add 7 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{0.0025 x x mul mul 0.3 x mul sub 7 sub}
%-------------
  \psline[linewidth=1.5pt](0,7)(-40,7)
  \psline[linewidth=1.5pt](0,-7)(-40,-7)
  \pslineByHand(-40,-7.5)(-40,7.5)
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(60,-16)(60,16)
  \rput{90}(55,6){\scriptsize \O 32}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,-22)(60,-22)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(60,-16)(60,-24)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(0,-7)(0,-24)
  \uput[90](30,-24){\scriptsize 60}
%-------------
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-10,-25)(-10,-7)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-10,12)(-10,7)
  \psline[linewidth=0.5pt]{-}(-10,-7)(-10,7)
  \rput{90}(-15,-17){\scriptsize \O 14}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Eine modern gestylte Türklinke soll als Griff einen Drehkörper aus Edelstahl
X8CrNi18-9 mit einer Dichte von \mbox{$\rho =\unit[7{,}852]{\frac{g}{cm^3}}$}
bekommen. Die Oberflächenkontur im Längsschnitt ist eine Parabel. Am linken
Rand hat der Griff einen Durchmesser von \emph{$\unit[14]{mm}$}.
\emph{$\unit[60]{mm}$} rechts davon hat der Körper seinen größten Durchmesser
mit \emph{$\unit[32]{mm}$}. Am rechten Ende läuft der Griff spitz zu. Berechnet
werden soll nur der hier grau markierte Teil, der zylindrische Ansatz am linken
Rand bleibt unberücksichtigt.
\begin{enumerate}
\item Legen Sie eingeeignetes Koordinatensystem in das Werkstück!
\item Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f(x)$ der Parabel!
\item Welche Länge hat der grau markierte Türklinkenteil?
\item Welche Masse hat dieser Türklinkenteil?
\end{enumerate}


\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{9.5cm}
\psset{xunit=0.45mm,yunit=0.48mm}
\begin{pspicture}(-45,-25)(155,17)
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{0.0025 x x mul mul 0.3 x mul sub 7 sub}
   \gsave
   \psline(140,0)(0,0)(0,-7)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{-0.0025 x x mul mul 0.3 x mul add 7 add}
   \gsave
   \psline(140,0)(0,0)(0,7)
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
%  \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](-45,0)(145,0)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=100,Dx=1000]{->}(0,0)(-45,-25)(155,17)
  \uput[-90](150,0){x}  \uput[180](0,14){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{-0.0025 x x mul mul 0.3 x mul add 7 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{140}{0.0025 x x mul mul 0.3 x mul sub 7 sub}
%-------------
  \psline[linewidth=1.5pt](0,7)(-40,7)
  \psline[linewidth=1.5pt](0,-7)(-40,-7)
  \pslineByHand(-40,-7.5)(-40,7.5)
%-------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
\paragraph{Teil 1:}
Das Koordinatensystem muss mit seiner Abszisse auf die Rotationsachse des
Drehkörpers gelegt werden. Wo die Ordinate liegt, ist zweitrangig. Sinnvoll ist
es beispielsweise, sie auf die linke Begrenzung der Klinke zu legen, wie
nebenstehend dargestellt. Von deren Lage hängt dann natürlich auch die
Funk\-tions\-glei\-chung ab. Bei anderer Festlegung bekommt man ggf.
zwischendurch andere Werte.

\paragraph{Teil 2}
Die Funktionsgleichung wird bestimmt. Die Normalform einer Parabelgleichung
lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]

Da ein Hochpunkt bekannt ist, benötigt man auch die erste Ableitung:
\[f'(x)=2ax+b\]

Ich rechne in der Einheit \textbf{Millimeter}. Aus Vereinfachungsgründen wird
wähhrend der Rechnung die Einheit weggelssen.\\

Aus den Daten für den linken Randpunkt und den Hochpunkt erhält man folgende
Gleichungen:

\[\begin{array}{crclcrclcc}
(1)& f(0)&=&7  &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&7 &\Rightarrow& c=7 \\
(2)& f(60)&=&16 &\Rightarrow& a \cdot 60^2+b \cdot 60+c&=&16 \\
(3)& f'(60)&=&0 &\Rightarrow& 2a \cdot 60+b&=&0 \\
\end{array}\]

Aus der ersten Gleichung ergab sich sofort der Parameter $b$. Dieser Wert wird
in (2) eingesetzt. Die Gleichungen werden dann noch zusammengefasst. Man erhält
dann ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung:

\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(2) & 3\,600a&+60b&=&9 \\
(3) & 120a &+b &=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Das
\textbf{Einsetzungsverfahren} bietet sich hier jedoch besonders an. Gleichung
(3) wird nach $b$ aufgelöst und in (2) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
120a+b&=&0 &|-120a \\
b&=&-120a \\
\end{array}\]

Einsetzen in (2):
\[\begin{array}{rcll}
3\,600a+60b&=&9 \\
3\,600a+60 \cdot (-120a)&=&9 \\
3\,600a-7\,200a&=&9 \\
-3\,600a&=&9 &|:(-3\,600) \\
a&=&-0{,}0025 \\
\end{array}\]

Der Parameter $b$ wird aus der umgestellten Gleichung (3) berechnet:
\[b=-120a=-120 \cdot (-0{,}0025)=0{,}3 \]

Die Funktionsgleichung lautet damit:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-0{,}0025x^2+0{,}3x+7$}

\paragraph{Teil 3:}
Zur Bestimmung der Länge müssen die Nullstellen von $f(x)$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
-0{,}0025x_0^2+0{,}3x_0+7&=&0 &|:(-0{,}0025) \\
x_0^2-120x_0-2\,800&=&0 \\
x_{01/2}&=&60 \pm \sqrt{3\,600+2\,800}\\
x_{01/2}&=&60 \pm 80 \\
x_{01}=140 && x_{02}=-20 \\
\end{array}\]
Der Wert für $x_{02}$ entfällt, er liegt links neben dem Türklinkenteil. Der
Wert \mbox{$x_{01}=140$} stellt das rechte Ende der Klinke dar. Da er im
Koordinatenursprung beginnt, ist das zugleich auch seine Länge.\\

Die Länge des Türklinkenteils beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$l=\unit[140]{mm}$}

\paragraph{Teil 4:}
Das Volumen des Rotationskörpers wird berechnet.

{\footnotesize
\begin{eqnarray*}
V&=&\pi \cdot \int \limits_a^b f^2(x)\ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^{140}\left(-0{,}0025x^2+0{,}3x+7 \right)^2 \ dx \\
&=&\pi \cdot \int \limits_0^{140}
   0{,}000\,006\,25x^4-0{,}0015x^3+0{,}055x^2+4{,}2x+49 \ dx \\
&\approx&\pi \cdot \left[ 0{,}000\,001\,25x^5-0{,}000\,35x^4+0{,}018\,333x^3
   +2{,}1x^2+49x \right]_0^{140}\\
&\approx&\pi \cdot \Bigl( [0{,}000\,001\,25 \cdot 140^5-0{,}000\,35 \cdot 140^4
  +0{,}018\,333 \cdot 140^3+2{,}1 \cdot 140^2+49 \cdot 140]-[0] \Bigr) \\
&\approx&\pi \cdot 31\,099 \\
V&\approx& 97\,700 \\
\end{eqnarray*}
}

Das Volumen beträgt:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[97\,700]{mm^3}$}\\

Damit kann die Masse bestimmt werden.
\[m= \rho \cdot V \approx
\unit[7{,}852]{\cfrac{g}{cm^3}}\cdot\unit[97{,}7]{cm^3}
\approx \unit[767{,}14]{g}\]

Das Klinkenteil hat eine Masse von
\fcolorbox{red}{yellow}{$V \approx \unit[767{,}14]{g}$}\\


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%\caption{Bildunterschrift}
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