\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
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\hypersetup{colorlinks=true,urlcolor=cyan,linkcolor=blue}
\fi                   %
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\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
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%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
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%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Ungleichungen 2. und höheren Grades}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Beim Lösen von Ungleichungen\footnote{Grundlagen dazu siehe auch hier:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}\fi}
stößt man gelegentlich auch auf eine Ungleichung in einer solchen Form:
\[x^2+5<6x\]
Man spricht hier von einer \textbf{Quadratischen} Ungleichung oder auch von
einer Ungleichung \textbf{zweiten Grades}.\\

Es gibt auch Ungleichungen, in denen Potenzen mit einem größeren Exponenten als
2 auftaucht. Das könnte beispielsweise so aussehen:
\[2x^3-12x^2+22x>12\]
oder auch so:
\[x^4-5x^3+5x^2+5x \leq 6 \]
Hier haben wir eine Ungleichung 3. bzw. 4. Grades.\\

Da man bei Ungleichungen mit einem höheren Grad als 2 andes vorgehen muss,
möchte ich die in einem eigenen Kapitel behandeln.

\newpage
\section{Quadratische Ungleichungen}
Quadratische Gleichungen kann man bekanntlich mit Hilfe der $p$-$q$-Formel
lösen.\footnote{Einzelheiten sind beispielsweise hier nachzulesen:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
Bei Quadratischen Ungleichungen geht man im Prinzip genau so vor, jedoch gibt
es im Detail entscheidende Unterschiede. Die $p$-$q$-Formel für Quadratische
\textbf{Gleichungen} ist ja bekanntlich dadurch entstanden, dass man die
Normalform der Quadratischen Gleichungen \fcolorbox{red}{yellow}{$x^2+px+q=0$}
ein einziges Mal mit der klassischen Methode (mithilfe einer Quadratischen
Ergänzung) gelöst hat. Das sah dann so aus:

\[\begin{array}{rcll}
x^2+px+q&=&0 &|-q \\
x^2+px&=&-q &|+\left(\cfrac{p}{2}\right)^2 \textnormal{ (Quadr. Ergänz.)}\\
x^2+px+\left(\cfrac{p}{2}\right)^2&=&\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q \\
\left(x+\cfrac{p}{2}\right)^2&=&\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q&|\sqrt{\ }\\
x+\cfrac{p}{2}&=&\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}&|-\cfrac{p}{2} \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
\end{array}\]

\subsection{Lösungsprinzip}
Im folgenden möchte ich -- ähnlich dem eben dargestellten Prinzip bei der
Quadratischen Gleichung -- eine \textbf{Ungleichung in Normalform} bearbeiten.
Dabei ist natürlich auf die Besonderheiten bei Ungleichungen zu achten.\\

Für Ungleichungen kommen die Zeichen $<$, $>$, $\leq$ und $\geq$ in Betracht.
Exemplarisch für alle verwende ich in dem Beispiel für die Herleitung das
Zeichen $\geq$. Die Bezugs-Ungleichung sieht damit also so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x^2+px+q\geq0$}\end{center}

Beginnen wir mit der Umformung dieser Ungleichung.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+px+q&\geq&0 &|-q \\
x^2+px&\geq&-q &|+\left(\cfrac{p}{2}\right)^2 \textnormal{ (Quadr. Ergänz.)}\\
x^2+px+\left(\cfrac{p}{2}\right)^2&\geq&\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q \\
\left(x+\cfrac{p}{2}\right)^2&\geq&\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q\\
\end{array}\]
Bis hierher wurde bei der Ungleichung nur addiert und subtrahiert. Auch
Termumformungen fanden statt. Das ist bekanntlich unproblematisch und erfordert
keine Fallunterscheidungen.\\

Im nächsten Schritt müsste nun auf beiden Seiten die Wurzel gezogen werden. Das
bedeutet zum einen, dass die Terme auf beiden Seiten der Ungleichung vorher
\textbf{nicht negativ} sein dürfen. Ansonsten gäbe es keine (reelle) Lösung für
die Wurzel.

\begin{center}\begin{tabular}{|p{145mm}|}
\hline
\textbf{\underline{Wichtig:} Damit sich beim Wurzelziehen das
Ungleichheitszeichen \emph{nicht umkehrt}, muss dafür gesorgt werden, dass nach
dem Wurzelziehen auf beiden Seiten immer noch \emph{etwas Nicht-Negatives}
steht!}\\
\hline
\end{tabular}\end{center}

Dabei kann der Inhalt der Klammer auf der linken Seite (vor dem
Wurzelziehen) durchaus negativ sein. Durch das Quadrieren wird in jedem Fall
etwas Positives daraus.
Am einfachsten wird diese Bedingung dadurch gewährleistet, dass man nach dem
Wurzelziehen auf beiden Seiten der Ungleichung den jeweiligen Gesamt-Term in
Betragsstriche setzt. Das sähe dann so aus:
\[\left|x+\cfrac{p}{2}\right|
  \geq\left|\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}\right| \]
Bei genauerer Betrachtung kann man erkennen, dass diese Betragsstriche auf der
rechten Seite entbehrlich sind. Die Schreibweise der Wurzel bedeutet
bekanntlich vereinbarungsgemäß stets die \textbf{positive} Wurzel. Damit
erhalten wir diese Form als Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\left|x+\cfrac{p}{2}\right|\geq\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}$}
\end{center}

\enlargethispage{12mm}
Dieses Ergebnis könnte man "`$p$-$q$-Formel für Quadratische Ungleichungen"'
nennen. Leider liegt in dieser Form keine so einfache Form mit
\mbox{$x_{1/2}=\ldots$} vor, wie bei der Quadratischen Gleichung, aber damit
müssen wir leben. Den Rest der Lösung muss man halt "`zu Fuß"' durchführen, wie
mit anderen Betragsungleichungen auch.\footnote{Einzelheiten sind
beispielsweise hier nachzulesen:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/betrag.pdf}\fi}\\

\newpage
Als nächstes wäre die Frage zu klären, was denn passiert, wenn der Radikand
(der Inhalt der Wurzel) \textbf{negativ} ist. Gibt es dann keine Lösungen?\\

Dazu gehe ich genau einen Schritt zurück. Vor dem Wurzelziehen haben wir
folgende Ungleichung:
\[\left(x+\cfrac{p}{2}\right)^2 \geq \left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q\]
Die rechte Seite der Ungleichung stellt in diesem Fall eine \textbf{negative}
Zahl dar. Links steht jedoch auf keinen Fall etwas Negatives, denn ein Quadrat
kann nur Null oder positiv sein, nicht jedoch negativ. In unserer Ungleichung
steht dann auf jeden Fall links ein größerer Wert als rechts. Enthält unsere
Ungleichung nun das Zeichen $>$ oder $\geq$, dann ist diese Ungleichung
\textbf{immer} erfüllt. Es ist dann $L= \mathbb{R}$. Bei den Zeichen $<$ oder
$\leq$ dagegen ist die Ungleichung \textbf{nie} erfüllt, die Lösungsmenge ist
in diesen Fällen \textbf{leer}.

\subsection{Verdeutlichung an zwei Beispielen}
Am besten zeige ich an Beispielen, wie der komplette Lösungsweg mit den hier
gewonnen Erkenntnissen aussieht.
\subsubsection{Beispiel 1}
Als erstes Beispiel verwende ich das erste Anfangsbeispiel aus der Einleitung.
Die Ungleichung muss aber zuerst in die Normalform gebracht werden.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+5&<&6x &|-6x \\
x^2-6x+5&<&0 \\
\end{array}\]

Hier ist jetzt \mbox{$p=-6$} und \mbox{$q=5$}. Damit kann ich den Lösungsansatz
mit der neuen Formel machen. Hierbei ist zu beachten, dass das
Ungleichungszeichen $\geq$ nur stellvertretend in der Formel vorkommt. Hier
muss es durch das Zeichen $<$ ersetzt werden. Der Lösungsansatz sieht dann so
aus:

\[\begin{array}{rcll}
x^2-6x+5&<&0 \\
\left|x+\cfrac{p}{2}\right|&<&\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
|x-3|&<&\sqrt{(-3)^2-5}\\
|x-3|&<&2 \\
\end{array}\]

Als nächstes muss der Betrag aufgelöst werden. Dazu ist eine
\textbf{Fallunterscheidung} erforderlich.
In diesem Beispiel ist der Betragsinhalt positiv oder Null für $x \geq 3$, wie
man leicht mit Hilfe des Ansatzes $x-3 \geq 0$ bestimmen kann. Negativ ist
dann der Betragsinhalt für $x<3$. Das sind demnach die beiden Fälle für unsere
Fallunterscheidung.

\newpage
\[|x-3|<2 \]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq3:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<3:} \\
\begin{array}{rcll}
x-3&<&2 &| +3 \\
x &<&5 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-3)&<&2 \\
-x+3&<&2 &|-3 \\
-x&<&-1 &| \cdot (-1) \\
x&>&1 \\
\end{array}\end{array}\]
Wie von Ungleichungen\footnote{Einzelheiten siehe hier:
\ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf} \fi}
gewohnt, möchte ich auch hier die Lösungsmengenbestimmung mit graphischer
Unterstützung am Zahlenstrahl durchführen. Dabei wird die
\textcolor{red}{Bedingung}, unter der gerechnet wurde, mit dem
\textcolor{blue}{Ergebnisterm} übereinandergelegt. Dort, wo sie übereinstimmen,
liegt die zugehörige \textcolor{green}{Teillösungsmenge}.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(3,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(0.5,2)(5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(3,3)(5,3)
    \uput{0.2}[180](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-0.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(1,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(1,3)(3,3)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \uput{0.2}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](3,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|3 \leq x < 5\}$ && $L_2=\{x|1< x <3\}$
\end{tabular}
\end{center}

Die beiden Teillösungsmengen $L_1$ und $L_2$ können aneinander gelegt werden.
Bei der Zahl 3 stoßen sie "`nahtlos"' aneinander an. Die "`3"' gehört zwar
nicht mehr zur Menge $L_2$, aber in $L_1$ ist sie enthalten. Daher können sie
zu einer einzigen Menge zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt:
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-o}(3,1)(5,1)
    \psline[linecolor= green]{o-o}(1,2)(3,2)
    \uput{0.1}[90](4,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](2,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|1< x <5\}$}\end{center}

\subsubsection{Beispiel 2}
Hier ist das zweite Beispiel:
\[2x^2+20 \leq 12x\]

Zunächst muss auch hier die Ungleichung in die Normalform umgewandelt werden,
bevor die spezielle $p$-$q$-Formel angewendet werden kann.
\[\begin{array}{rcll}
2x^2+20&\leq&12x &|-12x \\
2x^2-12x+20&\leq&0 &|:2 \\
x^2-6x+10&\leq&0 \\
|x-3|&\leq&\sqrt{(-3)^2-10}\\
|x-3|&\leq&\sqrt{-1}\\
\end{array}\]
Der Radikand ist negativ, es existiert keine (reelle) Lösung für die Wurzel.
Wie zuvor beschrieben ist dann der Term auf der linken Seite auf jeden Fall
größer, als der Term rechts. (Dies bezieht sich eigentlich auf den Schritt
\textbf{vor} dem Wurzelziehen, der ist hier aber nicht dargestellt. Das
Ergebnis können wir dennoch übertragen.) Die Ungleichung verlangt jedoch mit
dem Zeichen $\leq$, dass der Term links \textbf{kleiner} sein soll. Deswegen
ist die Lösungsmenge leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{\ \}$}\end{center}

\section{Ungleichungen höheren Grades als 2}
Betrachten wir zunächst das Beispiel einer Ungleichung dritten Grades aus der
Einleitung.
\[2x^3-12x^2+22x>12\]

Die Lösungsidee ist folgende:
\begin{itemize}
\item Zunächst wird die Ungleichung in die Normalform gebracht. Das bedeutet,
  dass auf einer Seite (meist rechts) nur noch eine Null steht, und dass der
  Koeffizient (die Vorzahl) vor der höchsten vorkommenden Potenz 1 ist. Man
  erhält auf einer Seite der Gleichung (links) ein \textbf{Polynom}.
\item Dann zerlegt man das Polynom so weit es geht in Faktoren.
\item Anschließend untersucht man für jeden Faktor einzeln, wo er positiv oder
  negativ ist.
\item Danach kann man eine Vorzeichentabelle erstellen, in der für jeden Faktor
  für jeden Bereich das Vorzeichen eingetragen werden kann.
\item Indem man für jeden Bereich prüft, ob eine gerade oder ungerade Anzahl an
  Minuszeichen vorliegt, kann man das Vorzeichen für das ganze Polynom
  bestimmen. Daraus ergibt sich die Lösungsmenge.
\end{itemize}

Bringen wir also unsere Ungleichung in die Normalform.
\[\begin{array}{rcll}
2x^3-12x^2+22x&>&12 &|-12 \\
2x^3-12x^2+22x-12&>&0 &|:2 \\
x^3-6x^2+11x-6&>&0 \\
\end{array}\]
Damit haben wir wie gewüscht auf der linken Seite ein Polynom erhalten.
Es gibt nun Methoden, mit denen man ein solches Polynom
faktorisieren, also in mehrere Faktoren zerlegen kann. Dazu benötigt man
zunächst alle Nullstellen des Polynoms.\footnote{Grundlagen dazu siehe auch
hier: \ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi}\\

Das möchte ich an diesem Beispiel vorführen. Wir suchen also zunächst alle
Nullstellen dieses Polynoms, also die Lösungen der Gleichung:
\[x^3-6x^2+11x-6=0\]
Wie in meinen Skript hier \ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi{}
beschrieben, muss man zunächst eine Nullstelle durch \textbf{planvolles} Raten
ermitteln. Dabei hilft dieser Lehrsatz:
\begin{quote}
\textbf{\emph{Wenn ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind sie
Teiler des absoluten Gliedes.}}
\end{quote}
Das absolute Glied ist der Summenterm, in dem kein $x$ auftritt, hier also die
$-6$. Teiler von $-6$ sind die Zahlen $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ und $\pm 6$.
Wir müssen hier also maximal mit 8 Zahlen testen, bis wir fündig werden.
Allerdings gilt leider die Einschränkung:"`\ldots falls das Polynom ganzzahlige
Nullstellen hat\ldots"' Wenn wir Pech haben, dann gibt es keine ganzzahligen
Nullstellen und wir haben ein Problem. Dann helfen nur noch Näherungsverfahren
wie eine Iteration weiter, auf die ich hier aber nicht weiter eingehen
möchte.\\

Wer faul ist, beginnt das Testen immer mit den kleinsten Zahlen, weil sich
damit am einfachsten rechnen lässt. So stößt man sehr schnell auf die erste
Nullstelle bei $x_{01}=1$. Man kann leicht nachprüfen, dass das stimmt:
\[1^3-6 \cdot 1^2+11 \cdot 1-6=0\]

Jetzt hilft ein anderer Lehrsatz weiter, der besagt:
\begin{quote}
\textbf{\emph{Wenn x$\mathbf{_0}$ eine Nullstelle eines Polynomes ist, dann
lässt sich das Polynom durch den Faktor (x$-$x$\mathbf{_0}$) dividieren.}}
\end{quote}

Wenn das so ist, dann kann man den Faktor $(x-x_0)$ aus dem Polynom
ausklammern. Wie wir später sehen werden, hilft uns das entscheidend weiter.\\

Bleiben wir bei unserem Beispiel. Wir kennen $x_{01}=1$, also können wir unser
Polynom durch $(x-1)$ dividieren. Wir führen eine
Polynomdivision\footnote{Einzelheiten zur Polynomdivision siehe auch hier:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}
durch.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-6x^2&+11x&-6) \\
-(x^3&-x^2)& \\
\hline
&-5x^2&+11x&-6\ \\
-&(-5x^2&+5x)& \\
\hline
&&6x&-6\ \\
&-&(6x&-6) \\
\hline
&&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{clcl}
:&(x-1)&=&x^2-5x+6 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\]

Mit diesem Ergebnis lässt sich unser Polynom wie folgt faktorisieren:
\[x^3-6x^2+11x-6=(x^2-5x+6) \cdot (x-1)\]

Der erste Klammerterm $(x^2-5x+6)$ lässt sich nun weiter faktorisieren. Da es
sich um einen Quadratischen Term handelt, hilft der Satz von
Vieta\footnote{Einzelheiten zum Satz von Vieta siehe auch hier:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
{}weiter. Wir müssen zunächst die Nullstellen bestimmen, was einfach mit der
$p$-$q$-Formel zu bewerkstelligen geht.

\[\begin{array}{rcll}
x^2-5x+6&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{5}{2} \right)^2-6}\\
&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{25}{4}-\cfrac{24}{4}}\\
&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{1}{4}}\\
&=&\cfrac{5}{2}\pm \cfrac{1}{2} \\
x_1=\cfrac{5}{2}-\cfrac{1}{2}=3 && x_2=\cfrac{5}{2}-\cfrac{1}{2}=2 \\
\end{array}\]

Nach dem Satz von Vieta lässt sich unser Quadratischer Term folgendermaßen
faktorisieren:
\[(x^2-5x+6)=(x-2) \cdot (x-3)\]

Der ursprüngliche Kubische Term lässt sich damit folgendermaßen faktorisieren:
\[x^3-6x^2+11x-6=(x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)\]

Mit diesen Ergebnissen können wir unsere ursprüngliche Ungleichung wie folgt
darstellen:
\[\begin{array}{rcll}
x^3-6x^2+11x-6&>&0 \\
(x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)&>&0 \\
\end{array}\]

Unser Term besteht aus drei Faktoren, die alle in Abhängigkeit von der
Variablen $x$ positiv oder negativ sein können. Nun kommt die eigentliche
Lösungsidee: Wir können für jeden Faktor relativ einfach feststellen, für
welche $x$-Werte er welches Vorzeichen hat. Jeder Faktor kann sein Vorzeichen
nur an seiner Nullstelle wechseln. Wenn wir alle Nullstellen kennen (und das
tun wir ja), dann können wir eine Tabelle erstellen, in der für jeden Faktor
für jeden Bereich das zugehörige Vorzeichen steht. Eine ähnliche
Vorzeichentabelle habe ich auch in Kapitel 2.2 in dem bereits erwähnten Skript
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}\fi
{} verwendet.\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-2$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x-3$}
    \uput{0.4}[180](N4){P}
    \uput{0.1}[90](C3){$1$}
    \uput{0.1}[90](D3){$2$}
    \uput{0.1}[90](E3){$3$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Die Vorzeichentabelle ist folgendermaßen aufgebaut: Auf der linken Seite werden
in jeder Zeile die verschiedenen zu untersuchenden Faktoren eingetragen. In der
letzten Zeile steht das gesamte Polynom, also das Produkt aller untersuchten
Faktoren, mit einem \textbf{P} angedeutet. Rechts
daneben stehen in mehreren Spalten die jeweiligen zugehörigen Vorzeichen. Oben
sind an den senkrechten
Strichen die jeweiligen Bereichsgrenzen wie an einem Zahlenstrahl angetragen.
Diese Tabelle liest sich folgendermaßen:\\

Nehmen wir die erste Zeile, wo der Faktor $(x-1)$ untersucht wird. Rechts oben
stehen die Zahlen 1, 2 und 3 als Bereichsgrenzen. Links von der 1 liegen alle Zahlen ($x$-Werte),
die kleiner als 1 sind. In diesem Bereich ist der Term $(x-1)$ immer
\textbf{negativ}. Der Bereich zwischen der 1 und der 2 steht für alle $x$-Werte
zwischen 1 und 2. Das Pluszeichen hier drückt aus, dass in diesem Bereich der
Term $(x-1)$ stets positiv ist. Entsprechend sieht es mit den Termen $(x-2)$
und $(x-3)$ aus. Im Bereich zwischen 2 und 3 sind die ersten beiden Terme
positiv, oberhalb von 3 alle.\\

Die letzte Zeile steht für das ganze Polynom, ausgedrückt durch das P. Ist eine
\textbf{ungerade} Anzahl von Faktoren negativ (hier 1 oder 3), dann ist das
Polynom \textbf{negativ}, bei einer \textbf{geraden} Anzahl (hier 0 oder 2),
ist es positiv. An den Bereichsgrenzen ist das Polynom stets Null.\\

In unserer Beispielaufgabe ist gesucht, wo (nach ein paar Umstellungsschritten)
diese Ungleichung erfüllt ist:
\[x^3-6x^2+11x-6>0\]
Für die Lösungsmenge müssen wir jetzt nur die Bereiche aufschreiben, wo die
Vorzeichentabelle ein positives Ergebnis anzeigt. Das ist der Bereich zwischen
1 und 2 sowie der Bereich oberhalb von 3. Als Lösungsmenge geschrieben sieht das
dann so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|1<x<2 \vee x>3 \}$}\end{center}

Wenn das Zeichen in der Ungleichung kein $>$ ist sondern ein $<$, ein $\geq$
oder ein $\leq$ ist, muss man ggf. die negativen Bereiche in die Lösungsmenge
holen oder auch die Bereichsgrenzen mit dazunehmen. Hätten wir beispielsweise
diese Ungleichung:
\[x^3-6x^2+11x-6 \leq 0\]
dann sähe die Lösungsmenge entsprechend so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \leq 1 \vee 1 \leq x \leq 3 \}$}
\end{center}

\underline{\textbf{Anmerkung:}}
Natürlich lässt sich dieses Verfahren auch für einfache \textbf{Quadratische}
Ungleichungen anwenden. Mir erscheint aber das im vorangegangenen Kapitel
beschriebene eigene Verfahren etwas schneller zum Ziel zu führen. Wer jedoch
keine Lust hat, sich noch ein weiteres spezielles Verfahren zu merken, der kann
auch ausschließlich mit der hier beschriebenen Vorgehensweise arbeiten.

\newpage  %------------------------------------------------------------
\section{Übungsaufgaben}
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen!
\subsection{Aufgabe 1}
\[x^2+x<6\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[x^2 \leq 4x-3\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[x^2-4x-5>0\]
\subsection{Aufgabe 4}
\[x^2<10x-25\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[12x+x^2 \leq -36\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[4x^2+49 \geq 28x\]
\subsection{Aufgabe 7}
\[168x>-441-16x^2\]
\subsection{Aufgabe 8}
\[3x^2+8x+6 \leq 0\]
\subsection{Aufgabe 9}
\[2x^2+28x>-100\]
\subsection{Aufgabe 10}
\[x+\cfrac{15}{x}\geq-8 \]
\subsection{Aufgabe 11}
\[\cfrac{2x+2}{x+1}\leq x-2\]
\subsection{Aufgabe 12}
\[\cfrac{13x+9}{3-x}\leq x-2\]
\subsection{Aufgabe 13}
\[\cfrac{x-6}{2x-6}\geq \cfrac{x+4}{x+1}\]
\subsection{Aufgabe 14}
\[\cfrac{2x-5}{x-2}\geq \cfrac{x-5}{x-4}\]
\subsection{Aufgabe 15}
\[\cfrac{2x+3}{x+1}<\cfrac{-2x-1}{x+5}\]
%--
\subsection{Aufgabe 16}
\[(x-3) \cdot (x+1)^2 \cdot (x-1)<0\]
\subsection{Aufgabe 17}
\[(x-3) \cdot (x+1)^2 \cdot (x-1)>0\]
\subsection{Aufgabe 18}
\[3x^3-3x^2 \leq 6x\]
\subsection{Aufgabe 19}
\[5x^3+5x^2+5x \geq 15\]
\subsection{Aufgabe 21}
\[\cfrac{7-3x^2}{x+1}>x^2+1\]
\subsection{Aufgabe 21}
\[\cfrac{7-3x^2}{x+1}>x^2+1\]

\newpage
\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|-3<x<2 \}\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|1 \leq x \leq 3 \}\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|x<-1 \vee x>5 \}\]
\subsection{Aufgabe 4}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{\ \}\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{-6 \}\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[D= \mathbb{R} \qquad L= \mathbb{R}\]
\subsection{Aufgabe 7}
\[D= \mathbb{R} \qquad L= \mathbb{R}\setminus \{-5{,}25\}\]
\subsection{Aufgabe 8}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{\ \}\]
\subsection{Aufgabe 9}
\[D= \mathbb{R} \qquad L= \mathbb{R}\]
\subsection{Aufgabe 10}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{0\} \qquad L=\{x|-5 \leq x \leq -3 \vee x>0 \}\]
\subsection{Aufgabe 11}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1\} \qquad L=\{x|x \geq 4 \}\]
\subsection{Aufgabe 12}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{3\} \qquad L=\{x|-5 \leq x \leq -3 \vee x> 3\}\]
\subsection{Aufgabe 13}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1;3\} \qquad L=\{x|-9 \leq x <-1 \vee 2 \leq x <3 \}\]
\subsection{Aufgabe 14}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{2;4\} \qquad L=\{x|x<2 \vee x>4 \}\]
\subsection{Aufgabe 15}
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-5;-1\} \qquad L=\{x|-5<x<-2 \vee -2<x<-1 \}\]
\subsection{Aufgabe 16}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|1<x<3 \} \}\]
\subsection{Aufgabe 17}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|x<-1 \vee -1<x<1 \vee x>3 \}\]
\subsection{Aufgabe 18}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|x \leq -1 \vee 0 \leq x \leq 2 \}\]
\subsection{Aufgabe 19}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{x|x \geq 1 \}\]
\subsection{Aufgabe 20}
\[D= \mathbb{R} \qquad L=\{-3;1 \}\]
\subsection{Aufgabe 21}
\[\cfrac{7-3x^2}{x+1}>x^2+1\]
\[D= \mathbb{R}\setminus \{-1\} \qquad L=\{-1<x<1 \vee 2<x<3 \}\]


\newpage
\section{Durchgerechnete Lösungen}
Für Aufgabe 1 bis 9 und  Aufgabe 16 bis 20 gilt: Es gibt keine Einschränkungen
für den Definitionsbereich, daher:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}$}\end{center}
Bei diesen Aufgaben wird der Definitionsbereich nicht jedes mal neu angegeben.

\subsection{Aufgabe 1}
\[x^2+x<6\]
Bevor die spezielle $p$-$q$-Formel angewendet werden kann, muss die Ungleichung
in die Normalform gebracht werden.

\[\begin{array}{rcll}
x^2+x&<&6 &|-6 \\
x^2+x-6&<&0 \\
|x+\frac{1}{2}|&<&\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{24}{4}}\\
|x+\frac{1}{2}|&<&\frac{5}{2}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq-\frac{1}{2}:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-\frac{1}{2}:} \\
\begin{array}{rcll}
x+\frac{1}{2}&<&\frac{5}{2} &|-\frac{1}{2}\\
x &<&2 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x+\frac{1}{2})&<&\frac{5}{2}\\
-x-\frac{1}{2}&<&\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\
-x&<&3 &| \cdot (-1) \\
x&>&-3 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{|-}(-0.5,1)(3.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-2.5,2)(2,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-0.5,3)(2,3)
    \uput{0.2}[180](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-4.5,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(-3,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-o}(-3,3)(-0.5,3)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \uput{0.2}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](-3,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|-\frac{1}{2} \leq x < 2\}$ && $L_2=\{x|-3< x <-\frac{1}{2}\}$
\end{tabular}
\end{center}
Die beiden Teillösungsmengen $L_1$ und $L_2$ können aneinander gelegt werden.
Bei der Zahl $-\frac{1}{2}$ stoßen sie "`nahtlos"' aneinander an. Die
"`$-\frac{1}{2}$"' gehört zwar nicht mehr zur Menge $L_2$, aber in $L_1$ ist
sie enthalten. Daher können beide Teillösungsmengen zu einer einzigen Menge
zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt:
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor= green]{o-o}(-3,2)(-0.5,2)
    \uput{0.1}[90](0.75,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-1.75,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-3< x <2\}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}

\[\begin{array}{rcll}
x^2 &\leq& 4x-3 &|-4x+3 \\
x^2-4x+3&\leq&0 \\
|x-2|&\leq&\sqrt{4-3}\\
|x-2|&\leq&1 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq 2:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcll}
x-2&\leq&1 &|+2 \\
x&\leq&3 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-2)&\leq&1 \\
-x+2&\leq&1 &|-2 \\
-x&\leq&-1 &| \cdot (-1) \\
x&\geq&1 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{|-}(2,1)(4.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-0.5,2)(3,2)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(2,3)(3,3)
    \uput{0.2}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](3,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-0.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(1,2)(4.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(1,3)(2,3)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \uput{0.2}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](2,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|2 \leq x \leq 3\}$ && $L_2=\{x|1 \leq x <2\}$
\end{tabular}
\end{center}
Die beiden Teillösungsmengen $L_1$ und $L_2$ können aneinander gelegt werden.
Bei der Zahl 2 stoßen sie "`nahtlos"' aneinander an. Die
2 gehört zwar nicht mehr zur Menge $L_2$, aber in $L_1$ ist
sie enthalten. Daher können beide Teillösungsmengen zu einer einzigen Menge
zusammengefasst werden, wie nachfolgend dargestellt:
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(4.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(4.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-|}(2,1)(3,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(1,2)(2,2)
    \uput{0.1}[90](2.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](1.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|1 \leq x \leq 3\}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}

\[\begin{array}{rcll}
x^2-4x-5&>&0 \\
|x-2|&>&\sqrt{4+5}\\
|x-2|&>&3 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq 2:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<2:} \\
\begin{array}{rcll}
x-2&>&3 &|+2 \\
x&>&5 \\ \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcll}
-(x-2)&>&3 \\
-x+2&>&3 &|-2 \\
-x&>&1 &| \cdot (-1) \\
x&<&-1 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
\begin{tabular}{cp{20mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(0.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(0.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{|-}(2,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(5,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(5,3)(6.5,3)
    \uput{0.2}[180](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[180](5,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(3.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(3.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(2,1)
    \psline[linecolor=blue]{-o}(-2.5,2)(-1,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,3)(-1,3)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \uput{0.2}[0](2,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.2}[0](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x > 5\}$ && $L_2=\{x|x < -1\}$
\end{tabular}
\end{center}

Die Teillösungsmengen stoßen \textbf{nicht} aneinander. Die Gesamtlösungsmenge
muss demnach mit zwei Teilstücken angegeben werden.

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=\{x|x<-1 \vee x>5\}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 4}

\[\begin{array}{rcll}
x^2&<&10x-25 &|-10x+25 \\
x^2-10x+25&<&0 \\
|x-5|&<&\sqrt{5^2-25}\\
|x-5|&<&0 \\
\end{array}\]
Hier kann man schon abbrechen. Ein Betrag kann niemals kleiner als Null sein.
Die Lösungsmenge ist daher leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=\{\ \}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}

\[\begin{array}{rcll}
12x+x^2 &\leq& -36 &|+36 \\
x^2+12x+36&\leq&0 \\
|x+6|&\leq&\sqrt{6^2-36}\\
|x+6|&\leq&0 \\
\end{array}\]
Hier kann man schon aufhören. Ein Betrag kann niemals kleiner als Null werden,
er kann nur gleich Null werden. Das ist der Fall für \mbox{$x=-6$}.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=\{-6 \}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 6}

\[\begin{array}{rcll}
4x^2+49 &\geq& 28x &|-28x \\
4x^2-28x+49&\geq&0 &|:4 \\
x^2-7x+\frac{49}{4}&\geq&0 \\
|x-\frac{7}{2}|&\geq&\sqrt{\frac{49}{4}-\frac{49}{4}}\\
|x-\frac{7}{2}|&\geq&0 \\
\end{array}\]
Hier kann man schon aufhören. Ein Betrag ist \textbf{immer} größer oder gleich
Null. \textbf{Alle} Reellen Zahlen erfüllen diese Ungleichung.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L= \mathbb{R}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 7}

\[\begin{array}{rcll}
168x&>&-441-16x^2 &|+441+16x^2 \\
16x^2+168x+441&>&0&|:16 \\
x^2+\frac{21}{2}x+\frac{441}{16}&>&0 \\
|x+\frac{21}{4}|&>&\sqrt{\frac{441}{16}-\frac{441}{16}}\\
|x+\frac{21}{4}|&>&0 \\
\end{array}\]
Hier kann man schon aufhören. Ein Betrag ist \textbf{immer} größer oder gleich
Null. \textbf{Alle} Reellen Zahlen erfüllen diese Ungleichung außer genau der
einen der Zahl, für die der Betrag Null wird. Die muss in der Lösungsmenge aus
der Menge der Reellen Zahlen ausgeschlossen werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L= \mathbb{R}\setminus \{ -\frac{21}{4}\}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 8}

\[\begin{array}{rcll}
3x^2+8x+6 &\leq& 0 &|:3 \\
x^2+\frac{8}{3}x+2&\leq&0 \\
|x+\frac{4}{3}|&\leq&\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{18}{9}}\\
|x+\frac{4}{3}|&\leq&\sqrt{-\frac{2}{9}}\\
\end{array}\]
Da der Radikand negativ ist, ist die rechte Seite der Ungleichung (im virtuell
vorletzten Schritt) auf jeden Fall negativ, die linke größer oder gleich Null.
Das vorgegebene Ungleichungszeichen verlangt aber, dass die \textbf{linke}
Seite \textbf{kleiner} als die rechte (oder gleich) ist. Diese Bedingung kann
niemals erfüllt sein, die Lösungsmenge ist daher leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=\{\ \}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 9}

\[\begin{array}{rcll}
2x^2+28x&>&-100 &|+100 \\
2x^2+28x+100&>&0 &|:2 \\
x^2+14x+50&>&0 \\
|x+7|&>&\sqrt{49-50}\\
|x+7|&>&\sqrt{-1}\\
\end{array}\]
Da der Radikand negativ ist, ist die rechte Seite der Ungleichung (im virtuell
vorletzten Schritt) auf jeden Fall negativ, die linke größer oder gleich Null.
Das vorgegebene Ungleichungszeichen verlangt, dass die linke Seite
\textbf{größer} als die rechte sein soll, die Ungleichung ist daher
\textbf{immer} erfüllt.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L= \mathbb{R}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
\[x+\cfrac{15}{x}\geq-8 \]

Ein Bruch steht in der Ungleichung. Für $x=0$ ist der Nenner Null, der Bruch
also nicht definiert. Die Null ist aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{0\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x+\cfrac{15}{x}&\geq&-8 &| \cdot x \\
\end{array}\]
An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein.\footnote{Einzelheiten siehe hier:
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf} \fi}
Aus Platzgründen behandele ich die Fälle nacheinander.

\[\underline{\textnormal{für }x>0:} \]
\[\begin{array}{rcll}
x^2+15&\geq&-8x &|+8x \\
x^2+8x+15&\geq&0 \\
|x+4|&\geq&\sqrt{16-15}\\
|x+4|&\geq&1 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq-4:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-4:} \\
\begin{array}{rcll}
x+4&\geq&1 &|-4 \\
x &\geq&-3 \\
\end{array}&&
\textnormal{(entfällt)}\\ \\
\end{array}\]
Der zweite Fall entfällt, da er komplett außerhalb des Bereiches der
vorgeschalteten Bedingung $(x>0)$ liegt. Es folgt die grafische
Veranschaulichung der ersten Teillösungsmenge.
\begin{center}  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-5.9,-2)(2.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-5.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-}(0,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-4,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-3,3)(2.5,3)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,4)(2.5,4)
    \uput{0.2}[180](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-3,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](0,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}

  $L_1=\{x|x > 0\}$
\end{center}

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu gerechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{für }x<0:} \]
\[\begin{array}{rcll}
|x+4|&\leq&1 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq-4:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-4:} \\
\begin{array}{rcll}
x+4&\leq&1 &|-4 \\
x &\leq&-3 \\ \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-(x+4)&\leq&1 \\
-x-4&\leq&1 &|+4 \\
-x&\leq&5 &| \cdot (-1) \\
x&\geq&-5 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
\begin{tabular}{cp{5mm}c}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(2.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-6.5,1)(0,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-4,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-6.5,3)(-3,3)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(-4,4)(-3,4)
    \uput{0.2}[0](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](-3,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
&&
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(2.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-6.5,1)(0,1)
    \psline[linecolor=magenta]{-o}(-6.5,2)(-4,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-5,3)(2.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-5,4)(-4,4)
    \uput{0.2}[0](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-5,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_2=\{x|-4 \leq x \leq -3\}$ && $L_3=\{x|-5 \leq x \leq -4\}$
\end{tabular}
\end{center}

Schauen wir uns nun die drei Teillösungsmengen in einem gemeinsamen Diagramm
an.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-|}(-4,1)(-3,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-5,2)(-4,2)
    \psline[linecolor= green]{o-}(0,1)(2.5,1)
    \uput{0.1}[90](-3.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[90](-4.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
    \uput{0.1}[90](1.25,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Die Teillösungsmengen $L_2$ und $L_3$ stoßen direkt aneinander. Sie können also
zusammengefasst werden. Zur Teillösungsmenge $L_1$ klafft dann allerdings eine
Lücke, so dass diese separat angegeben werden muss.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-5 \leq x \leq -3 \vee x>0 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 11}
\[\cfrac{2x+2}{x+1}\leq x-2\]

Ein Bruch steht in der Ungleichung. Für \mbox{$x=-1$} ist der Nenner Null, der
Bruch also nicht definiert. Die $-1$ ist aus dem Definitionsbereich
auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2x+2}{x+1}&\leq& x-2 &| \cdot (x+1) \\
\end{array}\]
An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander.

\[\underline{\textnormal{für }x>-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
2x+2&\leq&(x+1) \cdot (x-2) \\
2x+2&\leq&x^2-2x+x-2 &|-x^2+x+2 \\
-x^2+3x+4&\leq&0 &| \cdot (-1) \\
x^2-3x-4&\geq&0 \\
\left|x-\cfrac{3}{2}\right|&\geq&\sqrt{\cfrac{9}{4}+\cfrac{16}{4}}\\ \\
\left|x-\cfrac{3}{2}\right|&\geq&\cfrac{5}{2}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq \frac{3}{2}:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< \frac{3}{2}:} \\
\begin{array}{rcll}
x-\cfrac{3}{2}&\geq&\cfrac{5}{2} &|+\cfrac{3}{2}\\
x&\geq&4 \\ \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-\left(x-\cfrac{3}{2}\right)&\geq&\cfrac{5}{2}\\
-x+\cfrac{3}{2}&\geq&\cfrac{5}{2} &|-\cfrac{3}{2}\\
-x&\geq&1 &| \cdot (-1) \\
x&\leq&-1 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
 \begin{tabular}{cp{5mm}c}
 \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(1.5,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(4,3)(5.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-}(4,4)(5.5,4)
    \uput{0.2}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](1.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](4,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
 \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{-|}(-3.5,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-3.5,3)(-1,3)
%    \psline[linecolor=green]{|-}(4,4)(5.5,4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \uput{0.2}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](1.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](-1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
%    \uput{0.2}[180](4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|x \geq 4 \}$ && $L_2=\{\ \}$
\end{tabular}
\end{center}

Im zweite Fall liegt das Ergebnis \textbf{außerhalb} des Bereiches von
Bedingung 1. Die Teil\-lö\-sungs\-men\-ge $L_2$ ist daher leer.\\

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu berechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.\\

\[\underline{\textnormal{für }x<-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
\left|x-\cfrac{3}{2}\right|&\leq&\cfrac{5}{2}\\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq \frac{3}{2}:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< \frac{3}{2}:} \\
\begin{array}{rcll}
\textnormal{(entfällt)}\\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-\left(x-\cfrac{3}{2}\right)&\leq&\cfrac{5}{2} \\
-x+\cfrac{3}{2}&\leq&\cfrac{5}{2} &|-\cfrac{3}{2}\\
-x&\leq&1 &| \cdot (-1) \\
x&\geq&-1 \\
\end{array}
\end{array}\]

Der linke Fall entfällt, da er komplett außerhalb des Bereiches der
vorgeschalteten Bedingung \mbox{$(x<-1)$} liegt. Es folgt die grafische
Veranschaulichung der dritten Teillösungsmenge.
\begin{center}  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-3.5,-2)(5.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-3.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-3.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=magenta]{-|}(-3.5,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-1,3)(5.5,3)
    \uput{0.2}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](1.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-1,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}

  $L_3=\{\ \}$
\end{center}
Da das Ergebnis komplett außerhalb von Bedingung 1 liegt, ist die
Teillösunhsmenge $L_3$ leer. Damit ist die Gesamtlösungsmenge identisch mit der
Teillösungsmenge $L_1$.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \geq 4 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 12}
\[\cfrac{13x+9}{3-x}\leq x-2\]

Ein Bruch steht in der Ungleichung. Für $x=3$ ist der Nenner Null, der Bruch
also nicht definiert. Die 3 ist aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{3\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{13x+9}{3-x}&\leq& x-2 &| \cdot (3-x)\\
\end{array}\]
An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander. Ich beginne mit dem \textbf{positiven} Fall.\\

\underline{Aufgepasst:} Im Fall \mbox{$x<3$} ist der Faktor \mbox{$(3-x)$}, mit
dem multipilizert wird, nicht negativ, sondern \textbf{positiv}! Das wird
erfahrungsgemäß leicht übersehen.

\[\underline{\textnormal{für }x<3:} \]
\[\begin{array}{rcll}
13x+9&\leq&(x-2) \cdot (3-x) \\
13x+9&\leq&3x-x^2-6+2x \\
13x+9&\leq&-x^2+5x-6 &|+x^2-5x+6 \\
x^2+8x+15&\leq&0 \\
|x+4|&\leq&\sqrt{16-15}\\
|x+4|&\leq&1 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq -4:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< -4:} \\
\begin{array}{rcll}
x+4&\leq&1 &|-4\\
x&\leq&-3 \\ \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-(x+4)&\leq&1 \\
-x-4&\leq&1 &|+4\\
-x&\leq&5 &| \cdot (-1) \\
x&\geq&-5 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
 \begin{tabular}{cp{5mm}c}
 \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(6.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-6.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-4,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-6.5,3)(-3,3)
    \psline[linecolor=green]{|-|}(-4,4)(-3,4)
    \uput{0.2}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](-3,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
 \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.6,-2)(6.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-6.5,1)(3,1)
    \psline[linecolor=magenta]{-o}(-6.5,2)(-4,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-5,3)(6.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-5,4)(-4,4)
    \uput{0.2}[0](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-5,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-4,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|-4 \leq x \leq -3 \}$ && $L_2=\{x|-5 \leq x <-4 \}$\\
\end{tabular}
\end{center}

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu gerechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{für }x>3:} \]
\[\begin{array}{rcll}
|x+4|&\geq&1 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq -4:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< -4:} \\
\begin{array}{rcll}
x+4&\geq&1 &|-4\\
x&\geq&-3 \\
\end{array}&&
\textnormal{(entfällt)}
\end{array}\]

Der rechte Fall entfällt, da er komplett außerhalb des Bereiches der
vorgeschalteten Bedingung \mbox{$(x>3)$} liegt. Es folgt die grafische
Veranschaulichung der dritten Teillösungsmenge.
\begin{center}  \psset{xunit=5mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(6.5,4.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(6.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-4,2)(6.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-3,3)(6.5,3)
    \psline[linecolor=green]{o-}(3,4)(6.5,4)
    \uput{0.2}[180](3,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-4,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-3,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](3,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}

  $L_3=\{x|x>3 \}$
\end{center}

Schauen wir uns nun die drei Teillösungsmengen in einem gemeinsamen Diagramm
an.
\begin{center}
  \psset{xunit=6mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-6.5,-2)(6.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-6.5,-0.4)(6.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-|}(-4,1)(-3,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-5,2)(-4,2)
    \psline[linecolor= green]{o-}(3,1)(6.5,1)
    \uput{0.1}[90](-3.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-4.5,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[90](4.75,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Die Teillösungsmengen $L_2$ und $L_1$ stoßen direkt aneinander. Sie können also
zusammengefasst werden. Zur Teillösungsmenge $L_3$ klafft dann allerdings eine
Lücke, so dass diese separat angegeben werden muss.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-5 \leq x \leq -3 \vee x>3 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
\[\cfrac{x-6}{2x-6}\geq \cfrac{x+4}{x+1}\]

Zwei Brüche stehen in der Ungleichung. Für \mbox{$x=3$} und \mbox{$x=-1$} sind
die Nenner Null, die Brüche also nicht definiert. Die 3 und die $-1$ sind daher
aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1;3\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{x-6}{2x-6}&\geq& \cfrac{x+4}{x+1} &| \cdot (2x-6) \cdot (x+1) \\
\end{array}\]

An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander. Ich beginne mit dem \textbf{positiven} Fall.\\

\[\underline{\textnormal{für }x<-1 \vee x>3:} \]
\[\begin{array}{rcll}
(x-6) \cdot (x+1)&\geq&(x+4) \cdot (2x-6) \\
x^2+x-6x-6&\geq&2x^2-6x+8x-24 &|-2x^2-2x+24 \\
-x^2-7x+18&\geq&0 &| \cdot (-1) \\
x^2+7x-18&\leq&0 \\
|x+\frac{7}{2}|&\leq&\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{72}{4}}\\
|x+\frac{7}{2}|&\leq&\sqrt{\frac{121}{4}}\\
|x+\frac{7}{2}|&\leq&\frac{11}{2}\\
\end{array}\]

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq -3{,}5:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< -3{,}5:} \\
\begin{array}{rcll}
x+3{,}5&\leq&5{,}5 &|-3{,}5 \\
x&\leq&2 \\ \\ \\
\end{array}&&
\begin{array}{rcll}
-(x+3{,}5)&\leq&5{,}5 \\
-x-3{,}5&\leq&5{,}5 &|+3{,}5 \\
-x&\leq&9 &| \cdot (-1) \\
x&\geq&-9 \\
\end{array}\end{array}\]

\begin{center}
 \begin{tabular}{cp{5mm}c}
 \psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-11.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes[Dx=2]{-}(0,0)(-11.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-11.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-3.5,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-11.5,3)(2,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-3.5,4)(-1,4)
    \uput{0.2}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-3.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[0](2,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](-3.5,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
&&
 \psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-11.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes[Dx=2]{-}(0,0)(-11.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{-o}(-11.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=red]{o-}(3,1)(5.5,1)
    \psline[linecolor=magenta]{-o}(-11.5,2)(-3.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-9,3)(5.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(-9,4)(-3.5,4)
    \uput{0.2}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[0](-3.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](-9,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[0](-3.5,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}\\
  $L_1=\{x|-3{,}5 \leq x < -1 \}$ && $L_2=\{x|-9 \leq x <-3 \}$\\
\end{tabular}
\end{center}

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu gerechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{für }-1<x<3:} \]
\[\begin{array}{rcll}
|x+3{,}5|&\geq&5{,}5 \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq -3{,}5:} &&
 \underline{\textnormal{für }x< -3{,}5:} \\
\begin{array}{rcll}
x+3{,}5&\geq&5{,}5 &|-3{,}5\\
x&\geq&2 \\
\end{array}&&
\textnormal{(entfällt)}
\end{array}\]

Der rechte Fall entfällt, da er komplett außerhalb des Bereiches der
vorgeschalteten Bedingung \mbox{$(-1<x<3)$} liegt. Es folgt die grafische
Veranschaulichung der dritten Teil\-lö\-sungs\-men\-ge.

\begin{center}
 \psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-11.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes[Dx=2]{-}(0,0)(-11.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1,1)(3,1)
    \psline[linecolor=magenta]{|-}(-3.5,2)(5.5,2)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(2,3)(5.5,3)
    \psline[linecolor=green]{|-o}(2,4)(3,4)
    \uput{0.2}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed. 1}}}
    \uput{0.2}[180](-3.5,2){\textcolor{magenta}{{\footnotesize Bed. 2}}}
    \uput{0.2}[180](2,3){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.2}[180](2,4){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}

  $L_3=\{x|2 \leq x<3 \}$
\end{center}

Schauen wir uns nun die drei Teillösungsmengen in einem gemeinsamen Diagramm
an.
\begin{center}
  \psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-11.5,-2)(5.5,4.5)
    \psaxes[Dx=2]{-}(0,0)(-11.5,-0.4)(5.5,0.4)
    \uput{0.31}[-90](0,0){0}
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-3.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(-9,2)(-3.5,2)
    \psline[linecolor= green]{|-o}(2,1)(3,1)
    \uput{0.1}[90](-2.25,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-6.25,2){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[90](2.5,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{center}

Die Teillösungsmengen $L_2$ und $L_1$ stoßen direkt aneinander. Sie können also
zusammengefasst werden. Zur Teillösungsmenge $L_3$ klafft dann allerdings eine
Lücke, so dass diese separat angegeben werden muss.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-9 \leq x < -1 \vee 2 \leq x < 3 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 14}
\[\cfrac{2x-5}{x-2}\geq \cfrac{x-5}{x-4}\]

Zwei Brüche stehen in der Ungleichung. Für \mbox{$x=2$} und \mbox{$x=4$} sind
die Nenner Null, die Brüche also nicht definiert. Die 2 und die 4 sind daher
aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{2;4\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2x-5}{x-2}&\geq& \cfrac{x-5}{x-4} &| \cdot (x-2) \cdot (x-4) \\
\end{array}\]

An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander. Ich beginne mit dem \textbf{positiven} Fall.\\

\[\underline{\textnormal{für }x<2 \vee x>4:} \]
\[\begin{array}{rcll}
(2x-5) \cdot (x-4)&\geq&(x-5) \cdot (x-2) \\
2x^2-8x-5x+20&\geq&x^2-2x-5x+10 &|-x^2+7x-10 \\
x^2-6x+10&\geq&0 \\
|x-3|&\geq&\sqrt{9-10}\\
|x-3|&\geq&\sqrt{-1}\\
\end{array}\]
Der Radikand ist \textbf{negativ}. Das bedeutet, die linke Seite der
Ungleichung ist \textbf{stets größer}, als die rechte. Da genau das durch das
Zeichen $\geq$ gefordert wird, ist die Ungleichung \textbf{immer erfüllt}. Alle
$x$ aus dem untersuchten Bereich gehören zur Lösungsmenge.
\[L_1= \{x|x<2 \vee x>4 \}\]

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu gerechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.
\[\underline{\textnormal{für }2<x<4:} \]
\[\begin{array}{rcll}
|x-3|&\leq&\sqrt{-1}\\
\end{array}\]

Wie oben beschrieben ist die linke Seite der Ungleichung stets \textbf{größer},
als die rechte Seite. Das geforderte Zeichen $\leq$ steht dazu im Widerspruch.
Die zweite Teillösungsmenge ist daher leer.
\[L_2=\{\ \}\]

Die Teillösungsmenge $L_1$ ist deshalb gleichzeitig die Gesamtlösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<2 \vee x>4 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 15}
\[\cfrac{2x+3}{x+1}<\cfrac{-2x-1}{x+5}\]

Zwei Brüche stehen in der Ungleichung. Für \mbox{$x=-1$} und \mbox{$x=-5$} sind
die Nenner Null, die Brüche also nicht definiert. Die $-1$ und die $-5$ sind
daher aus dem Definitionsbereich auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{-5;-1\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{2x+3}{x+1}&<&\cfrac{-2x-1}{x+5} &| \cdot (x+1) \cdot (x+5) \\
\end{array}\]

An dieser Stelle ist die erste \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander. Ich beginne mit dem \textbf{positiven} Fall.\\

\[\underline{\textnormal{für }x<-5 \vee x>-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
(2x+3) \cdot (x+5)&<&(-2x-1) \cdot (x+1) \\
2x^2+10x+3x+15&<&-2x^2-2x-x-1 &|+2x^2+3x+1 \\
4x^2+16x+16&<&0 &|:4 \\
x^2+4x+4&<&0 \\
|x+2|&<&\sqrt{4-4}\\
|x+2|&<&0 \\
\end{array}\]

Da ein Betrag \textbf{auf keinen Fall negativ} sein kann, kann diese
Ungleichung niemals erfüllt sein. Die erste Teillösungsmenge ist leer.
\[L_1=\{\ \}\]

Der zweite Fall der ersten Fallunterscheidung muss nicht neu gerechnet werden.
Bis auf die Richtung des Ungleichungszeichens ist die Rechnung identisch mit
dem ersten Fall. Daher übernehme ich das Ergebnis direkt aus der ersten
Rechnung.

\[\underline{\textnormal{für }-5<x<-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
|x+2|&>&0 \\
\end{array}\]

Da ein Betrag stets größer oder gleich Null ist, ist diese Ungleichung fast
immer erfüllt. Lediglich der $x$-Wert, für den der Betrag Null wird (also
\mbox{$x=-2$}) muss aus der zweiten Teillösungsmenge ausgeschlossen werden.
Ansonsten ist diese Lösungsmenge identisch mit der Bedingung für den
untersuchten Bereich. Da $L_1$ leer ist, ist dies auch die Gesamtlösungsmenge.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-5<x<-2 \vee -2<x<-1 \}$}
oder
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|-5<x<-1 \} \setminus \{-2\}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 16}
\[(x-3) \cdot (x+1)^2 \cdot (x-1)<0\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-3$}
    \uput{0.2}[180](N2){$(x+1)^2$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x-1$}
    \uput{0.4}[180](N4){P}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){$1$}
    \uput{0.1}[90](E3){$3$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$+$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$+$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Hier haben wir bereits eine Polynomform vorliegen, wobei das Polynom sogar
schon faktorisiert ist. Das erspart viel Arbeit. Ohne weitere Rechnung kann man
sofort die Nullstellen ablesen. Die Nullstelle des ersten Faktors liegt bei
\mbox{$x_{01}=3$}, des zweiten bei \mbox{$x_{02}=-1$} und des dritten bei
\mbox{$x_{03}=1$}. Die Werte werden in eine aufsteigende Reihenfolge gebracht
und die Vorzeichentabelle kann erstellt werden.\\

Unterhalb von 3 ist der erste Term \mbox{$(x-3)$} stets negativ. Für den
dritten Term \mbox{$(x-1)$} gilt das überall unterhalb von 1. Der zweite Term
\mbox{$(x+1)^2$} ist niemals negativ, weil es ein Quadratischer Term ist, er
nimmt jedoch bei $x=-1$ den Wert 0 an.\\

Wir können ablesen, dass unser Gesamt-Polynom nur im Bereich zwischen 1 und 3
negativ ist. Das ergibt diese Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|1<x<3 \}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 17}
\[(x-3) \cdot (x+1)^2 \cdot (x-1)>0\]

Diese Aufgabe ist fast identisch mit der vorstehenden Aufgabe, nur das
Ungleichheitszeichen steht in der anderen Richtung. Die Untersuchungen auf
Nullstellen und die Vorzeichentabelle sind aber identisch. Trotzdem muss man
bei der Erstellung der Lösungsmenge aufpassen.\\

Betrachten wir die Vorzeichentabelle. Auf den ersten Blick ist das
Gesamt-Polynom unterhalb von 1 und oberhalb von 3 positiv. Aber bei
\mbox{$x=-1$} ist er Null. Daher muss die $-1$ aus der Lösungsmenge entfernt
werden. Die Lösungsmenge sieht damit so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<-1 \vee -1<x<1 \vee x>3 \}$}
oder
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x<1 \vee x>3 \} \setminus \{-1\}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 18}
\[3x^3-3x^2 \leq 6x\]

Zunächst wird die Ungleichung in die Polynomform gebracht.
\[\begin{array}{rcll}
3x^3-3x^2& \leq &6x &|-6x \\
3x^3-3x^2-6x& \leq &0 &|:3 \\
x^3-x^2-2x& \leq & 0 \\
\end{array}\]

Im Folgenden muss also dieser Term faktorisiert werden:
\[x^3-x^2-2x\]
Zur Faktorisierung kann $x$ ausgeklammert werden, weil das absolute Glied
fehlt.

\[x^3-x^2-2x=x \cdot (x^2-x-2)\]
%Es gilt der Lehrsatz:
%\begin{quote}
%\textbf{Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.}
%\end{quote}
Der erste Faktor ist $x$.
Damit ist sofort die erste Nullstelle bei \mbox{$x_{01}=0$} bekannt.\\

Der Klammerterm ist ein Quadratischer Term. Dessen Nullstellen können wir mit
der $p$-$q$-Formel bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
x^2-x-2&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{1}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{1}{2}\right)^2+2}\\
&=&\cfrac{1}{2}\pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{8}{4}}\\
&=&\cfrac{1}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9}{4}}\\
x_{02/3}&=&\cfrac{1}{2}\pm \cfrac{3}{2}\\
x_{02}=\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{2}=2 && x_{03}=\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2}=-1 \\
\end{array}\]

Mit Hilfe des Satzes von Vieta kann damit die vollständige Faktorisierung des
Polynomes vorgenommen werden.
\[\begin{array}{rcll}
x^3-x^2-2x&=&x \cdot (x^2-x-2) \\
x^3-x^2-2x&=&x \cdot (x-2) \cdot (x+1) \\
\end{array}\]

\newpage
Damit ist die Lösungsmenge von dieser Ungleichung zu bestimmen:
\[x \cdot (x-2) \cdot (x+1) \leq 0\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-2$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x+1$}
    \uput{0.4}[180](N4){P}
    \uput{0.1}[90](C3){$-1$}
    \uput{0.1}[90](D3){$0$}
    \uput{0.1}[90](E3){$2$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$-$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Jetzt kann die zugehörige Vorzeichentabelle erstellt werden. Die einzutragenden
Grenzen sind die drei Nullstellen bei 0, 2 und $-1$. Sie müssen in
aufsteigender Reihenfolge an die Bereichsgrenzen geschrieben werden. Die drei
Faktoren auf der linken Seite können in beliebiger Reihenfolge eingetragen
werden. Negativ ist das Vorzeichen des Polynoms untergalb von $-1$ sowie
zwischen 0 und 2. Diese Bereiche müssen in die Lösungsmenge übernommen werden.
Weil das Zeichen $\leq$ auch das Gleichheitszeichen beinhaltet, zählen die
Bereichsgrenzen mit zur Lösungsmenge. Die sieht somit so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=\{x|x \leq -1 \vee 0 \leq x \leq 2 \}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 19}
\[5x^3+5x^2+5x \geq 15\]

Auch diese Ungleichung bringen wir zuerst in die Polynomform.
\[\begin{array}{rcll}
5x^3+5x^2+5x& \geq &15 &|-15 \\
5x^3+5x^2+5x-15& \geq 0 &|:5 \\
x^3+x^2+x-3& \geq 0 \\
\end{array}\]

Wir suchen die Nullstellen dieses Terms:
\[x^3+x^2+x-3\]
Da keine Besonderheiten vorliegen, muss eine Nullstelle durch
\textbf{planvolles} Raten ermittelt werden. Teiler des absoluten Gliedes sind
$\pm 1$ und $\pm 3$. Recht schnell findet man die erste Nullstelle bei
\mbox{$x_{01}=1$} heraus, wie die Probe zeigt:
\[1^3+1^2+1-3=0\]
Also kann man den Term \mbox{$(x-1)$} ausklammern. Den Restterm erhalten wir
durch eine Polynomdivision.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+x^2&+x&-3) \\
-(x^3&-x^2)& \\
\hline
&2x^2&+x&-3\ \\
-&(2x^2&-2x)& \\
\hline
&&3x&-3\ \\
&-&(3x&-3) \\
\hline
&&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{clcl}
:&(x-1)&=&x^2+2x+3 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\]

Mit diesem Ergebnis lässt sich unser Polynom wie folgt faktorisieren:
\[x^3+x^2+x-3=(x-1) \cdot (x^2+2x+3)\]

Der zweite Faktor ist ein Quadratischer Term. Dessen Nullstellen können wir mit
der $p$-$q$-Formel ermitteln.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+2x+3&=&0 \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1^2-3}\\
&=&1 \pm \sqrt{-2} \\
\end{array}\]

Offensichtlich existieren keine (reellen) Nullstellen, weil die Wurzel aus
einer negativen Zahl keine (reellen) Lösungen hat. Das bedeutet einerseits,
dass wir den Term nicht weiter faktorisieren können. Andererseits bedeutet das
aber auch, dass der Term sein Vorzeichen nicht wechseln kann. Da eine
Polynomfunktion stetig ist, müsste beim Vorzeichenwechsel die Null auftreten.
Es genügt daher, wenn man für einen beliebigen $x$-Wert das Vorzeichen
bestimmt. Dieses Vorzeichen gilt dann im gesamten Bereich der Reellen Zahlen,
egal, mit welchem $x$-Wert man gerechnet hat. Ich bestimme das Vorzeichen
exemplarisch für $x=0$:
\[0^2+2 \cdot 0+3=3>0\]
Der Klammerterm \mbox{$(x^2+2x+3)$} ist demnach stets positiv. Daher bestimmt
der andere Term \mbox{$(x-1)$} ganz allein das Vorzeichen des gesamten
Polynoms. Auch ohne Rechnung ist sofort klar, dass das Vorzeichen oberhalb von
1 positiv ist. Die Rechnung ist trivial:
\[\begin{array}{rcll}
x-1 &\geq &0 &|+1 \\
x&\geq&1 \\
\end{array}\]

Damit kann die Lösungsmenge angegeben werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{x|x \geq 1 \}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 20}
\[x^4+4x^3-2x^2+9 \leq 12x\]

Zuerst wird die Ungleichung in die Polynomform gebracht.
\[\begin{array}{rcll}
x^4+4x^3-2x^2+9& \leq &12x &|-12x \\
x^4+4x^3-2x^2-12x+9& \leq &0 \\
\end{array}\]

Wir suchen die Nullstellen dieses Terms:
\[x^4+4x^3-2x^2-12x+9\]
Da keine Besonderheiten vorliegen, muss eine Nullstelle durch
\textbf{planvolles} Raten ermittelt werden. Teiler des absoluten Gliedes sind
$\pm 1$, $\pm 3$ und $\pm 9$. Recht schnell findet man die erste Nullstelle bei
\mbox{$x_{01}=1$} heraus, wie die Probe zeigt:
\[1^4+4 \cdot 1^3-1^2-12 \cdot 1+9=0\]
Also kann man den Term \mbox{$(x-1)$} ausklammern. Den Restterm erhalten wir
durch eine Polynomdivision.

\[\begin{array}{rrrrr}
(x^4&+4x^3&-2x^2&-12x&+9) \\
-(x^4&-x^3)& \\
\hline
&5x^3&-2x^2&-12x&+9\ \\
-&(5x^2&-5x)& \\
\hline
&&3x^2&-12x&+9\ \\
&-&(3x^2&-3x) \\
\hline
&&&-9x&+9\ \\
&&-&(-9x&+9) \\
\hline
&&&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{clcl}
:&(x-1)&=&x^3+5x^2+3x-9 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\]

Mit diesem Ergebnis lässt sich unser Polynom wie folgt faktorisieren:
\[x^4+4x^3-2x^2-12x+9=(x-1) \cdot (x^3+5x^2+3x-9) \]

Es bleibt noch ein Polynom 3. Grades, das wir faktorisieren müssen. Wiederum
müssen wir eine Nullstelle durch
\textbf{planvolles} Raten ermitteln. Teiler des absoluten Gliedes sind
$\pm 1$, $\pm 3$ und $\pm 9$. Recht schnell findet man wiederum eine Nullstelle
bei \mbox{$x_{01}=1$} heraus, wie die Probe zeigt:
\[1^3+5 \cdot 1^2+3 \cdot 1-9=0\]
Also kann man den Term \mbox{$(x-1)$} ausklammern. Den Restterm erhalten wir
erneut durch eine Polynomdivision.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+5x^2&+3x&-9) \\
-(x^3&-x^2)& \\
\hline
&6x^2&+3x&-9\ \\
-&(6x^2&-6x)& \\
\hline
&&9x&-9\ \\
&-&(9x&-9) \\
\hline
&&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{clcl}
:&(x-1)&=&x^2+6x+9 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\]

Mit diesem Ergebnis können wir das Ursprungs-Polynom weiter faktorisieren:
\[x^4+4x^3-2x^2-12x+9=(x-1)^2 \cdot (x^2+6x+9) \]

Den Quadratischen Restterm kann man nun mit der $p$-$q$-Formel und dem Satz von
Vieta weiter zerlegen. Eventuell erkennt man in ihm aber auch ein Binom:
\[x^2+6x+9=(x+3)^2\]

Gleichgültig, mit welcher Methode die Faktorisierung erfolgte, können wir das
Ursprungs-Polynom endgültig faktorisieren:
\[x^4+4x^3-2x^2-12x+9=(x-1)^2 \cdot (x+3)^2 \]

\begin{wrapfigure}{r}{4.8cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,0)(7.5,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(7.5,2){E2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(7.5,1){E1}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,0){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,0){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,0){D0}
   \pnode(3,2.5){N1}
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   \pnode(6.75,1){M6}
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    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(E3)
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    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \uput{0.2}[180](N1){$(x-1)^2$}
    \uput{0.2}[180](N2){$(x+3)^2$}
    \uput{0.4}[180](N3){T}
    \uput{0.1}[90](C3){$-3$}
    \uput{0.1}[90](D3){1}
    \uput{0.15}[90](M1){$+$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$+$}
    \uput{0.15}[90](M5){$+$}
    \uput{0.15}[90](M6){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$+$}
    \uput{0.15}[90](M8){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die beiden Nullstellen liegen bei 1 und $-3$. Damit kann die Vorzeichentabelle
angelegt werden.\\

Nun sind aber beide Terme, deren Vorzeichen hier eingetragen werden,
quadratische Terme, die deshalb niemals negativ werden können. Deswegen enthält
die Vorzeichentabelle ausschließlich Pluszeichen. Lediglich an den
Bereichsgrenzen ist mal der eine mal der andere Term Null und somit auch das
gesamte Polynom.\\

Die (umgeformte) Ungleichung, deren Lösungsmenge wir suchen, lautet:
\[x^4+4x^3-2x^2-12x+9 \leq 0\]

Das Polynom wird zwar niemals negativ, erreicht aber die Null bei $x=-3$ und
bei $x=1$. Daher lautet die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{-3;1 \}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 21}
\[\cfrac{7-3x^2}{x+1}>x^2+1\]

\paragraph{Lösung:}
Ein Bruch steht in der Ungleichung. Für \mbox{$x=-1$} ist der Nenner Null, der
Bruch also nicht definiert. Die $-1$ ist aus dem Definitionsbereich
auszuschließen.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1\}$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{7-3x^2}{x+1}>x^2+1 &| \cdot (x+1) \\
\end{array}\]
An dieser Stelle ist bereits eine \textbf{Fallunterscheidung} notwendig wie bei
allen Ungleichungen mit Brüchen, denn der Term, mit dem multipliziert werden
soll, kann positiv oder negativ sein. Aus Platzgründen behandele ich die Fälle
nacheinander.

\[\underline{\textnormal{für }x>-1:} \]
\[\begin{array}{rcll}
7-3x^2&>&(x^2+1) \cdot (x+1) \\
7-3x^2&>&x^3+x^2+x+1 &|-7+3x^2 \\
0&>&x^3+4x^2+x-6 \\
\end{array}\]

Dieser Term muss jetzt faktorisiert werden:
\[x^3+4x^2+x-6\]

Durch \textbf{planvolles} Probieren kommt man schnell auf die erste Nullstelle
\mbox{$x_{01}=1$}:
\[1^3+4 \cdot 1^2+1-6=0\]

Demnach kann der Term \mbox{$(x-1)$} aus unserem Gesamt-Polynom ausgeklammert
werden. Durch eine Polynomdivision bestimme ich den Restterm.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+4x^2&+x&-6) \\
-(x^3&-x^2)& \\
\hline
&5x^2&+x&-6\ \\
-&(5x^2&-5x)& \\
\hline
&&6x&-6\ \\
&-&(6x&-6) \\
\hline
&&&0 \ \\
\end{array}
\begin{array}{clcl}
:&(x-1)&=&x^2+5x+6 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}
\]

Unser Polynom kann also wie folgt faktorisiert werden:
\[x^3+4x^2+x-6=(x-1) \cdot (x^2+5x+6)\]

Der zweite Klammerterm ist ein Quadratischer Term. Seine Nullstellen können wir
mit der $p$-$q$-Formel bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+5x+6&=&0 \\
x_{02/3}&=&-\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{5}{2} \right)^2-6}\\
&=&-\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{25}{4}-\cfrac{24}{4}}\\
x_{02/3}&=&-\cfrac{5}{2}\pm \cfrac{1}{2}\\
x_{02}=\cfrac{6}{2}=3 && x_{03}=\cfrac{4}{2}=2 \\
\end{array}\]\
Mit diesen Ergebnissen und dem Satz von Vieta können wir unsere Faktorisierung
komplettieren:
\[x^3+4x^2+x-6=(x-1) \cdot (x^2+5x+6)=(x-1) \cdot (x-3) \cdot (x-2)\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
  \psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
  \begin{pspicture}(0,-1)(9,4)
   \pnode(0,3){A3}
   \pnode(9,3){F3}
   \pnode(0,2){A2}
   \pnode(9,2){F2}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(9,1){F1}
   \pnode(0,0){A0}
   \pnode(9,0){F0}
   \pnode(3,4){B4}
   \pnode(3,-1){B0}
   \pnode(4.5,3){C3}
   \pnode(4.5,-1){C0}
   \pnode(6,3){D3}
   \pnode(6,-1){D0}
   \pnode(7.5,3){E3}
   \pnode(7.5,-1){E0}
   \pnode(3,2.5){N1}
   \pnode(3,1.5){N2}
   \pnode(3,0.5){N3}
   \pnode(3,-0.5){N4}
   \pnode(3.75,2){M1}
   \pnode(5.25,2){M2}
   \pnode(6.75,2){M3}
   \pnode(8.25,2){M3A}
   \pnode(3.75,1){M4}
   \pnode(5.25,1){M5}
   \pnode(6.75,1){M6}
   \pnode(8.25,1){M6A}
   \pnode(3.75,0){M7}
   \pnode(5.25,0){M8}
   \pnode(6.75,0){M9}
   \pnode(8.25,0){M9A}
   \pnode(3.75,-1){M10}
   \pnode(5.25,-1){M11}
   \pnode(6.75,-1){M12}
   \pnode(8.25,-1){M12A}
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A3)(F3)
    \psline{-}(A2)(F2)
    \psline{-}(A1)(F1)
    \psline[linewidth=1.5pt]{-}(A0)(F0)
    \psline{-}(B4)(B0)
    \psline{-}(C3)(C0)
    \psline{-}(D3)(D0)
    \psline{-}(E3)(E0)
    \uput{0.2}[180](N1){$x-1$}
    \uput{0.2}[180](N2){$x-3$}
    \uput{0.2}[180](N3){$x-2$}
    \uput{0.4}[180](N4){P}
    \uput{0.1}[90](C3){$1$}
    \uput{0.1}[90](D3){$2$}
    \uput{0.1}[90](E3){$3$}
    \uput{0.15}[90](M1){$-$}
    \uput{0.15}[90](M2){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3){$+$}
    \uput{0.15}[90](M3A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M4){$-$}
    \uput{0.15}[90](M5){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6){$-$}
    \uput{0.15}[90](M6A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M7){$-$}
    \uput{0.15}[90](M8){$-$}
    \uput{0.15}[90](M9){$+$}
    \uput{0.15}[90](M9A){$+$}
    \uput{0.15}[90](M10){$-$}
    \uput{0.15}[90](M11){$+$}
    \uput{0.15}[90](M12){$-$}
    \uput{0.15}[90](M12A){$+$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Unsere Aufgabe können wir jetzt auf die Lösung dieser Ungleichung beziehen:
\[0>(x-1) \cdot (x-3) \cdot (x-2)\]
Die Vorzeichentabelle kann erstellt werden. Bei der Bestimmung der ersten
Teillösungsmenge müssen wir beachten, dass die Rechnung zunächst nur für den 1.
Fall, also für \mbox{$x>-1$} gilt. Wie man aber leicht sieht, liegen alle
Grenzen in diesem Bereich. Es kommt somit nur eine zusätzliche untere
Begrenzung bis \mbox{$x=-1$} dazu. Unser Polynom ist demnach negativ zwischen
$-1$ und 1 sowie zwischen 2 und 3. Als Teillösungemenge geschrieben sieht das
so aus:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L_1=\{-1<x<1 \vee 2<x<3 \}$}\end{center}


\[\underline{\textnormal{für }x<-1:} \]
Für diesem Bereich muss die Rechnung nicht erneut durchgeführt werden. Im
Vergleich zu Fall 1 kehrt sich nur das Ungleichungszeichen um. Zu bestimmen ist
die zweite Teillösungsmenge für:
\[0<(x-1) \cdot (x-3) \cdot (x-2)\]
Die Vorzeichentabelle, die wir ja natürlich vom Fall 1 weiterverwenden können,
zeigt, dass das Polynom unterhalb von 1 stets \textbf{negativ} ist, erst recht
also im Bereich unterhalb von $-1$. Daher ist die zweite Teilösungsmenge leer.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L_2=\{\ \}$}\end{center}

Damit ist die Gesamt-Lösungsmenge identisch mit $L_1$.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$L=L_1=\{-1<x<1 \vee 2<x<3 \}$}\end{center}




\end{document}
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%\caption{Bildunterschrift}
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