\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
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\captionsetup{labelformat=empty}
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Quadratische Funktion}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\enlargethispage{15mm}
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Zusammenstellung der Grundlagen}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=7.8mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[135](4,3){\textcolor{red}{$f(x)$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,-1){2.5pt}
   \uput[-45](2,-1){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist eine typische Quadratische Funktion dargestellt. Das Beispiel
stellt diese Funktion dar:
\[f(x)=x^2-4x+3\]
Diese Kurvenform nennt man \textbf{Parabel}.
Der tiefste Punkt\footnote{Wenn die Parabel nach unten geöffnet
ist, ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt.} der Parabel heißt
\textbf{\emph{Scheitelpunkt}} der Parabel. Er wird meist mit dem Buchstaben
$\mathbf S$ bezeichnet.\\

Eine Quadratische Funktion ist jede Funktion, die sich in der Normalform
schreiben lässt:
\begin{center}
\textbf{Normalform:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^2+bx+c$}
\end{center}

\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul 2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.8}{3.8}{x x mul 0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{3.8}{x x mul -0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{x x mul -0.2 mul}
   \uput[-45](2,1){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[40](2,2){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-60](2,4.2){\textcolor{red}{$f_3$}}
   \uput[130](1.5,4){\textcolor{red}{$f_4$}}
   \uput[45](3,-2){\textcolor{blue}{$f_5$}}
   \uput[-40](2.2,-2){\textcolor{blue}{$f_6$}}
   \uput[60](2,-4.2){\textcolor{blue}{$f_7$}}
   \uput[-130](1.5,-4){\textcolor{blue}{$f_8$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Um zu untersuchen, welche Auswirkungen der Parameter $a$ auf den
Funktionsgraphen hat, sind nebenstehend 8 Funktionen mit unterschiedlichem
Parameter $a$ dargestellt. Bei allen ist \mbox{$b=0$} und \mbox{$c=0$}. Die
Funktionsgleichungen lauten:\\
$f_1(x)=0{,}2x^2$\\
$f_2(x)=0{,}5x^2$\\
$f_3(x)=1x^2$\\
$f_4(x)=2x^2$\\
$f_5(x)=-0{,}2x^2$\\
$f_6(x)=-0{,}5x^2$\\
$f_7(x)=-1x^2$\\
$f_8(x)=-2x^2$\\

Man kann gut erkennen, dass alle Parabeln eine unterschiedliche Form haben.
Der Parameter \textbf{\emph{a}} wird deshalb \textbf{Formfaktor} genannt, weil
er die Form der Parabel bestimmt. Ist \textbf{\emph{a}} groß, ist die Parabel
schmal, ist \textbf{\emph{a}} negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.8}{4.8}{x x mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=magenta!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 1 add}
   \uput[-60](2,4.2){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[135](2.8,2){\textcolor{green}{$f_2$}}
   \uput[-60](1,-3){\textcolor{magenta}{$f_3$}}
   \uput[-60](4,-2){\textcolor{cyan}{$f_4$}}
   \uput[-60](4.2,3){\textcolor{blue}{$f_5$}}
   \uput[-90](-1.5,-2.2){\textcolor{orange}{$f_6$}}
   \uput[-130](-3,-2){\textcolor{blue}{$f_7$}}
   \uput[60](-3,1){\textcolor{green}{$f_8$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Um zu zeigen, dass tatsächlich nur der Parameter \textbf{\emph{a}} für die
Form der Parabel zuständig ist, sind nebenstehend diverse Funktionen
dargestellt. Für alle ist \mbox{$a=1$}, jedoch haben $b$ und $c$ jeweils
unterschiedliche Werte. Die Funktionsgleichungen lauten:\\
$f_1(x)=x^2$\\
$f_2(x)=x^2-2x$\\
$f_3(x)=x^2-2x-2$\\
$f_4(x)=x^2-4x-2$\\
$f_5(x)=x^2-4x+2$\\
$f_6(x)=x^2+3x$\\
$f_7(x)=x^2+3x-2$\\
$f_8(x)=x^2+3x+1$\\

Trotz allem "`Gewusel"' kann man aber doch gut erkennen, dass alle Parabeln die
gleiche Form haben. Nur die Lage ist jeweils unterschiedlich.\\

Kümmern wir uns als nächstes um den Parameter \textbf{\emph{c}}. Hierfür
können wir ganz gut die selben hier dargestellten Funktionsgraphen der
Funktionen $f_1$ bis $f_8$ verwenden.\\

Betrachten wir dazu zunächst die Funktionen $f_1$, $f_2$ und $f_6$. Bei allen
drei Funktionen ist \mbox{$c=0$}. Als Gemeinsamkeit der drei Funktionsgraphen
sollte auffallen, dass sie alle durch den Koordinatenursprung verlaufen. Hier
ist \mbox{$y=0$}.\\

Auch die Funktionen $f_3$, $f_4$ und $f_7$ haben alle den selben Parameter
$c$, nämlich \mbox{$c=-2$}. Alle zugehörigen Funktionsgraphen schneiden die
$y$-Achse an der selben Stelle, bei \mbox{$y=-2$}.\\

Offensichtlich gibt der Parameter $\mathbf{c}$ den \textbf{Abschnitt auf der
$\mathbf{y}$-Achse} an.\\

Wir können das noch mit $f_5$ und $f_8$ überprüfen. Bei  $f_5$ ist
\mbox{$c=2$}, die $y$-Achse wird bei \mbox{$y=2$} geschnitten. Bei der
Funktion $f_8$ ist \mbox{$c=1$}, die $y$-Achse wird bei \mbox{$y=1$}
geschnitten. Es ist also richtig:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Parameter $\mathbf{c}$ gibt den \textbf{Abschnitt auf der
$\mathbf{y}$-Achse} an.}\end{center}

\underline{Anmerkung:} Natürlich kann man das auch "`richtig"' beweisen. Wenn
man den Funktionswert von \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$} für \mbox{$x=0$} berechnet,
dann ist \mbox{$a \cdot 0^2=0$} und \mbox{$b \cdot 0=0$}. Es bleibt also nur
$c$ übrig.\\

Leider ist die Rolle des Parameters $b$ nicht ganz so offensichtlich, wie die
von $a$ und $c$. Daher wird hierauf erst später eingegangen.

\newpage
\subsection{Nullstellen}
Unter der \textbf{Nullstelle} einer Funktion versteht man die Stelle (den
$x$-Wert, genannt $x_0$), an der der Funktionswert (der $y$-Wert) Null wird.
Um mögliche Nullstellen zu bestimmen, wird der Funktionsterm gleich Null
gesetzt. Am anfangs vorgestellten Beispiel \mbox{$f(x)=x^2-4x+3$} möchte ich
die Vorgehensweise darstellen. Man benötigt dazu die
$p$-$q$-Formel.\footnote{Einzelheiten zur $p$-$q$-Formel siehe hier:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}

\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
x_0^2-4x_0+3&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel anwenden}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\cfrac{-4}{2} \right)^2-3}\\
&=&2 \pm \sqrt{4-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm 1 \\
x_{01}=1 && x_{02}=3 \\
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:} Die Nullstellen liegen bei $x_{01}=1$ und $x_{02}=3$.\\
Man kann das auch so ausdrücken: Die $x$-Achse wird bei $x_{01}=1$ und
$x_{02}=3$ geschnitten.

\ifpdf \hypertarget{K22}{}\fi
\subsection{Scheitelpunkt}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-1.8,-2.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.4){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{2 x x mul mul 8 x mul sub 6 add}
   \pscircle*[linecolor=red](2,-2){2.5pt}
   \uput[-45](2,-2){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Was ist ein \textbf{Scheitelpunkt} bei einer Quadratischen Funktion?\\

Die Definition lautet wie bereits erwähnt: \emph{Der \textbf{Scheitelpunkt}
einer Quadratischen Funktion ist der tiefste bzw. der höchste Punkt der
zugehörigen Parabel.}\\

Nebenstehend ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=2x^2-8x+6\]
dargestellt. Der Scheitelpunkt $S$ ist eingetragen.

Da die Parabel nach
\textbf{oben} geöffnet ist, gibt es nur einen \textbf{tiefsten} Punkt, nach
oben gibt es keinerlei Begrenzung. Deswegen ist hier der Scheitelpunkt der
tiefste Punkt.\\

Schauen wir uns den Funktionsgraphen einmal näher an. Man erkennt, dass
der Scheitelpunkt wegen der Symmetrie der Parabel genau in der Mitte zwischen
den Nullstellen liegt. Aus dieser Tatsache lässt sich eine Formel zur einfachen
Scheitelpunktbestimmung herleiten. Bestimmen wir dazu zunächst bei diesem
Beispiel die Nullstellen.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
2x_0^2-8x_0+6&=&0 &|:2 \\
x_0^2-4x_0+3&=&0 \\
p&=&-4 \\
q&=&3 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{p}{1}\pm \sqrt{\left( \cfrac{p}{2}\right)^2-q}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2}\right)^2-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm \sqrt{2^2-3}\\
x_{01/02}&=&2 \pm 1 \\
\end{array}\]

Ohne, dass man die beiden Nullstellen konkret ausrechnen muss, kann man an
dieser Formel sofort erkennen, dass die Nullstellen symmetrisch zu \emph{$x=2$}
liegen, die eine 1 darüber und die andere 1 darunter. Das bedeutet im
Umkehrschluss, dass die Zahl \textbf{vor} dem Zeichen $\pm$ den $x$-Wert des
Scheitelpunktes $x_S$ darstellen muss. Sie liegt ja in der Mitte zwischen den
Nullstellen.\\

\underline{Ergebnis:} \fcolorbox{red}{white}{$x_S=2$} \\

Diese Erkenntnis möchte ich jetzt ausnutzen, um allgemein eine einfache Formel
zur Bestimmung des $x$-Wertes $x_S$ des Scheitelpunktes $S(x_S|y_S)$ einer
Quadratischen Funktion herzuleiten.\\

Ich gehe dazu von der Normalform aus und bestimme zunächst die Nullstellen.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^2+bx+c &| \textnormal{ Funktionsterm gleich Null setzen}\\
0&=&ax^2+bx+c  &|:a \\
0&=&x^2+\cfrac{b}{a}x+\cfrac{c}{a} &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel anwenden}\\
x_{01/02}&=&-\cfrac{b}{2a}\pm \sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
x_{01}&=&-\cfrac{b}{2a}+\sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
x_{02}&=&-\cfrac{b}{2a}-\sqrt{\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2-\cfrac{c}{a}}\\
\end{array}\]
Ich bilde den Mittelwert, um den $x$-Wert $x_S$ des Scheitelpunktes zu
erhalten.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&\cfrac{x_{01}+x_{02}}{2}\\
x_S&=&\cfrac{\left(-\frac{b}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\right)
 +\left( -\frac{b}{2a}-\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}\right)}
 {2}\\
&=&\cfrac{-2 \cdot \frac{b}{2a}}{2}\\
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
\end{array}\]

\textbf{Ergebnis:}
Wenn die Funktionsgleichung in der Normalform
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^2+bx+c$}\end{center}
bekannt ist, dann kann die $x$-Koordinate $\mathbf{x_S}$ des Scheitelpunktes
mit Hilfe dieser Formel bestimmt werden:
\begin{center}
\textbf{Scheitelpunktformel:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_S=-\cfrac{b}{2a}$}
\end{center}
Kommen wir zu unserem Beispiel zurück.
\[f(x)=2x^2-8x+6\]
Wir bestimmen $x_S$ mit der oben hergeleiteten Formel:
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-8}{2 \cdot 2}\\
x_S&=&2 \\
\end{array}\]

Der zugehörige $y$-Wert $y_S$ kann dadurch bestimmt werden, dass der gefundene
Wert für $x_S$ in die Funktionsgleichung eingesetzt wird. In unserem Beispiel
sieht das so aus:
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&2x_S^2-8x_S+6 \\
&=&2 \cdot 2^2-8 \cdot 2+6 \\
y_S&=&-2 \\
\end{array}\]
Der Scheitelpunkt in unserem Beispiel ist damit:
\fcolorbox{red}{white}{$S(2|-2)$}\\

\newpage
\subsection{Scheitelpunktform}
Die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion kann nicht nur in der
Normalform, sondern auch in der Scheitelpunktform angegeben werden. Zur
Erinnerung -- die Normalform lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]

Gibt man die Funktionsgleichung in der \textbf{Scheitelpunktform} an, dann
sieht das so aus:
\begin{center}
\textbf{Scheitelpunktform:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=a \cdot (x-x_S)^2+y_S$}
\end{center}
Hierin sind $\mathbf{x_S}$ und $\mathbf{y_S}$ die Koordinaten des
Scheitelpunktes $S(x_S|y_S)$ und $\mathbf{a}$ der bereits aus der Normalform
bekannte Formfaktor. \\

Diese Formel möchte ich an dieser Stelle nicht herleiten. Das wäre recht
einfach mit der nachfolgenden Formel für eine Verschiebung.
Verschiebt man den Graphen einer beliebige Funktion $f(x)$ (nicht nur einer
Quadratischen Funktion) um den Wert $x_v$ nach rechts und $y_v$ nach oben, so
hat die verschobene Funktion $f_v(x)$ die Funktionsgleichung:
\begin{center}
\textbf{Verschobene Funktion:} \\
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_v(x)=f(x-x_v)+y_v$}
\end{center}
Auch zu dieser Formel möchte ich mir den Beweis an dieser Stelle
ersparen.\footnote{Die Einzelheiten zum Verschieben eines Funktionsgraphen habe
ich hier beschrieben:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/transfo.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/transfo.pdf}\fi}
\\

\underline{Wichtig:}
Die Scheitelpunktform bietet gegenüber der Normalform zwei Vorteile.
\begin{enumerate}
\item Ist die Funktionsgleichung einer Quadratischen
  Funktion in der Scheitelpunktform angegeben, dann kann man sofort die
  \textbf{Koordinaten des Scheitelpunktes darin ablesen}.
\item Sucht man die Funktionsgleichung einer Quadratischen Funktion und kennt
  man den Formfaktor und die Koordinaten des Scheitelpunktes, dass kann die
  Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform \textbf{ohne weitere Rechnung}
  direkt angegeben werden.
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{Schnittpunktbestimmung}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-7.8)(4.8,1.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.8,-7.8)(4.8,1.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,1.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{0}{5.8}
{x x mul 6 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.8}{3.5}
{2 x mul x x mul sub 3 sub}
   \uput[-135](2,-5){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[45](2,-3){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](1,-2){2.5pt}
   \uput[150](1,-2){$S_1$}
   \pscircle*[linecolor=black](3,-6){2.5pt}
   \uput[-135](3,-6){$S_2$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Auch Parabeln von Quadratischen Funktionen können Schnittpunkte miteinander
haben. Nebenstehend sind die beiden Funktionsgraphen von
\[f_1(x)=x^2-6x+3 \quad \textnormal{und}\quad f_2(x)=-x^2+2x-3\]
dargestellt.\\

In diesem Fall gibt es zwei Schnittpunkte, $S_1$ und $S_2$. Es ist aber auch
möglich, dass die beiden Parabeln so liegen, dass sie sich garnicht treffen.
Läge beispielsweise der Funktionsgraph von $f_1$ um 5 Einheiten höher, dann
liefen die beiden Funktionsgraphen aneinander vorbei, es gäbe keine
Schnittpunkte. Möglich ist es auch, dass die Funktionsgraphen sich
"`streifen"', also nur in einem einzigen Punkt gerade noch berühren.\\

Wie bei Linearen Funktionen auch können die Schnittpunkte durch
Gleichsetzen der Funktionsterme berechnet werden. Das möchte ich an den
gegebenen Beispiel einmal vorrechnen.

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
x_S^2-6x_S+3&=&-x_S^2+2x_S-3 &|+x_S^2-2x_S+3 \\
2x_S^2-8x_S+6&=&0 &|:2 \\
x_S^2-4x_S+3&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{S1/2}&=&-\cfrac{-4}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2} \right)^2-3}\\
&=&2 \pm \sqrt{2^2-3}\\
&=&2 \pm 1 \\
x_{S1}=2-1=1 && x_{S2}=2+1=3 \\
\end{array}\]

Die zugehörigen $y$-Werte erhält man durch Einsetzen der gefundene $x$-Werte
in eine (beliebige) der beiden Funktionsgleichungen. Willkürlich wähle ich
hier $f_1$.
\[y_{S1}=f_1(x_{S1})=x_{S1}^2-6x_{S1}+3=1^2-6 \cdot 1+3=-2\]
\[y_{S2}=f_1(x_{S2})=x_{S2}^2-6x_{S2}+3=3^2-6 \cdot 3+3=-6\]

Damit erhalten wir die beiden Schnittpunkte:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(1|-2)$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2(3|-6)$}

\newpage %----------------------------------------
\section{Beispiele}
\subsection{Beispiel 1}
Eine Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(-1|12)$ und eine Nullstelle
bei \mbox{$x_0=-3$}. Wie lautet die zugehörige Funktionsgleichung in
\textbf{Normalform}?

\paragraph{Lösung:}
Weil ein Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich zum Aufstellen zunächst die
Scheitelpunktform der Funktionsgleichung an.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
&=&a \cdot \bigl(x-(-1) \bigr)^2+12 \\
f(x)&=&a \cdot (x+1)^2+12 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $a$. Zur Berechnung von $a$ können wir die
Angabe zur Nullstelle benutzen. An einer Nullstelle ist immer der $y$-Wert
Null. Wenn wir also den Funktionswert an der Nullstelle berechnen, erhalten wir
den Wert Null.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
a \cdot (x_0+1)^2+12&=&0 \\
a \cdot (-3+1)^2+12&=&0 \\
a \cdot (-2)^2+12&=&0 \\
4a+12&=&0 &|-12 \\
4a&=&-12 &|:4 \\
a&=&-3 \\
\end{array}\]

Mit diesem Wert kann nun die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform angegeben
werden.
\[f(x)=-3 \cdot (x+1)^2+12\]
Jetzt muss die Scheitelpunktform nur noch in die Normalform umgeformt werden.
Dazu wird die Klammer mit der ersten Binomischen
Formel\footnote{Einzelheiten zum den Binomischen Formeln siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/binom.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/binom.pdf}\fi}
umgeformt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-3 \cdot (x+1)^2+12 \\
&=&-3 \cdot (x^2+2x+1)+12 \\
&=&-3x^2-6x-3+12 \\
f(x)&=&-3x^2-6x+9
\end{array}\]
Die gesuchte Funktion lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-3x^2-6x+9$}

\newpage
\subsection{Beispiel 2}
Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(3|9)$ und $P_2(4|19)$. Sie
schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Wo liegt ihr Scheitelpunkt?

\paragraph{Lösung:}
Eine Parabel ist eine Quadratische Funktion. Wir können von der Normalform
ausgehen:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Da der $y$-Achsenabschnitt mit \mbox{$y_0=3$} bekannt ist, kennen wir auch
schon den Parameter $c$.
\[c=y_0=3\]

Damit lässt sich die Funktionsgleichung schon wie folgt konkretisieren:
\[f(x)=ax^2+bx+3\]

Wir können die Koordinaten der bekannten Punkte in die Funktionsgleichung
einsetzen:
\[\begin{array}{llcrcll}
P_1(3|9): & f(3)=9 &\Rightarrow& a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=& 9 \\
P_2(4|19): & f(4)=19 &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+3&=& 19 \\
\end{array}\]

Die beiden Gleichungen werden zunächst vereinfacht:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=& 9 \\
(2)& a \cdot 4^2+b \cdot 4+3&=& 19 \\
\hline
(1)& 9a+3b+3&=&9  &|-3 \\
(2)& 16a+4b+3&=&19 &|-3 \\
\hline
(1)& 9a+3b&=&6 \\
(2)& 16a+4b&=&16 \\
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden.\footnote{Einzelheiten zu Lösungsverfahren von Lineargleichungssystemen
siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
Willkürlich verwende ich das \textbf{Einsetzungsverfahren}. Dazu löse ich
Gleichung (1) nach $b$ auf und setze das Ergebnis in (2) ein.
\[\begin{array}{rcll}
9a+3b&=&6 &|-9a \\
3b&=&6-9a &|:3 \\
b&=&2-3a \\
\end{array}\]

Einsetzen in (2):
\[\begin{array}{rcll}
16a+4b&=&16 \\
16a+4 \cdot (2-3a)&=&16 \\
16a+8-12a&=&16 &|-8 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt, um $b$ zu
erhalten.
\[b=2-3a=2-3 \cdot 2=2-6=-4\]

Mit diesen Ergebnissen kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
\[f(x)=2x^2-4x+3\]

Jetzt muss nur noch der Scheitelpunkt berechnet werden. Die Scheitelpunktformel
hilft dabei.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{-4}{2 \cdot 2}\\
x_S&=&1 \\
\end{array}\]

Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&2x_S^2-4x_S+3 \\
&=&2 \cdot 1^2-4 \cdot 1+3 \\
&=&2-4+3 \\
y_S&=&1 \\
\end{array}\]

Der gesuchte Scheitelpunkt lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(1|1)$}

\newpage
\subsection{Beispiel 3}
Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=-1$} verläuft durch die Punkte
$P_1(1|4)$ und $P_2(4|1)$. Berechnen Sie ihren Scheitelpunkt.

\paragraph{Lösung:}
Die \textbf{Normalform} der Funktionsgleichung lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Da der Formfaktor mit \mbox{$a=-1$} bekannt ist, lautet die Funktionsgleichung:
\[f(x)=-x^2+bx+c\]

Die Koordinaten beider Punkte können eingesetzt werden.
\[\begin{array}{llcrcll}
P_1(1|4): & f(1)=4 &\Rightarrow& -1^2+b \cdot 1+c&=& 4 \\
P_2(4|1): & f(4)=1 &\Rightarrow& -4^2+b \cdot 4+c&=& 1 \\
\end{array}\]

Die beiden Gleichungen werden zunächst vereinfacht:
\[\begin{array}{crcll}
(1)& -1^2+b \cdot 1+c&=&4 \\
(2)& -4^2+b \cdot 4+c&=&1 \\
\hline
(1)&-1+b+c&=&4 &|+1 \\
(2)&-16+4b+c&=&1 &|+16 \\
\hline
(1)&b+c&=&5 \\
(2)&4b+c&=&17 \\
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann mit jedem beliebigen Lösungsferfahren gelöst
werden.\footnote{Einzelheiten zu Lösungsverfahren von Lineargleichungssystemen
siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
Weil hier die Koeffizienten (die Vorzahlen) von $c$ übereinstimmen, bietet sich
das Additions-/Subtraktionsverfahren an. Wenn man Gleichung (1) von (2)
subtrahiert, fällt $c$ sofort weg.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&b&+c&=&5 &|- \\
(2)&4b&+c&=&17&| \\
\hline
&3b&&=&12 &|:3 \\
&b&&=&4 \\
\end{array}\]

Zur Bestimmung des Parameters $c$ wird dieses Ergebnis in eine der beiden
Gleichungen eingesetzt. Weil mir Gleichung (1) einfacher erscheint, nehme ich
diese.
\[\begin{array}{rcll}
b+c&=&5 \\
4+c&=&5 &|-4 \\
c&=&1 \\
\end{array}\]

Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
\[f(x)=-x^2+4x+1\]

Jetzt muss der Scheitelpunkt berechnet werden. Die Scheitelpunktformel hilft
dabei.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{4}{2 \cdot (-1)}\\
x_S&=&2 \\
\end{array}\]

Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&-x_S^2+4x_S+1 \\
&=&-2^2+4 \cdot 2+1 \\
&=&-4+8+1 \\
y_S&=&5 \\
\end{array}\]

Der gesuchte Scheitelpunkt lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(2|5)$}



\newpage
\subsection{Beispiel 4}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.1)(9.8,11)
  \psline(-1.8,0)(9.8,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-0.5,0.5)(-0.5,1.2)  % Der
  \psline[linecolor=red](-0.7,0)(-0.5,1)(-0.3,0)            % Feuer-
  \psline[linecolor=red](-1,1)(-0.5,1.25)(0,1)              % wehr-
  \pscircle[linecolor=red](-0.5,1.4){1.5pt}                 % mann
  \psline*[linecolor=lightgray](8,0)(8,9)(10,11)(10,0)(8,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{8}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add 1 add}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Feuerwehrmann will mit dem Wasserstrahl aus seiner Löschspritze ein Gebäude
löschen, das 8 Meter entfernt von ihm steht. Der Wasserstrahl trifft auf ein
Fenster in 7,40 Meter Höhe. Der Feuerwehrmann hält die Löschspritze einen Meter
über dem Boden fest. In einer waagerecht gemessenen Entfernung von 5 Metern vom
Feuerwehrmann hat der Bogen des Wasserstrahls seine größte Höhe. Wie hoch kommt
der Wasserstrahl dort? Der Wasserstrahl hat die Form einer Parabel.\\

\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-0.8)(9.8,11.8)
  \psline(-1.8,0)(9.8,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-0.5,0.5)(-0.5,1.2)  % Der
  \psline[linecolor=red](-0.7,0)(-0.5,1)(-0.3,0)            % Feuer-
  \psline[linecolor=red](-1,1)(-0.5,1.25)(0,1)              % wehr-
  \pscircle[linecolor=red](-0.5,1.4){1.5pt}                 % mann
  \psline*[linecolor=lightgray](8,0)(8,9)(10,11)(10,0)(8,0)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{8}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add 1 add}
%-----
  \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.8,-0.8)(9.8,11.8)
  \uput[-90](9.2,0){$x$}  \uput[180](0,11.2){$y$}
  \pscircle*[linecolor=blue](0,1){2.5pt} \uput[-10](0,1){\textcolor{blue}{$L$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](5,11){2.5pt} \uput[-70](5,11){\textcolor{blue}{$S$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](8,7.4){2.5pt} \uput[-150](8,7.4){\textcolor{blue}{$F$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Zur Lösung legt man zunächst sinnvollerweise ein geeignetes Koordinatensystem
in die Planskkizze. Hier gibt es natürlich nicht nur eine einzige Möglichkeit.
Hat man es aber festgelegt, dann orientiert sich die Funktionsgleichung
natürlich an diesem Koordinatensystem.\\

Ich lege mein Koordinatensystem mit der $x$-Achse auf den Erdboden und der
$y$-Achse durch die Austrittsöffnung der Löschspritze bei $L$. Außerdem benenne
ich den Scheitelpunkt des Wasserstrahls mit $S$ und den Eintrittspunkt des
Wasserstrahles ins Fenster mit $F$.\\

Für die weitere Rechnung werden alle Maße in der Einheit \emph{Meter}
angegeben. Dann kann man sie der Einfachheit halber in der Rechnung weglassen.
Mit den angegebenen Daten können die Punkte mit ihren Koordinaten in dieser
Form angegeben werden:
\[L(0|1) \qquad F(8|7{,}4) \qquad S(5|y_S)\]
Hierbei ist der Parameter $y_S$ gesucht.\\

Da der Wasserstrahl die Form einer \textbf{Parabel} hat, stellt die zugehörige
Funktion eine Quadratische Funktion dar. Daher gibt es für die Lösung zwei
unterschiedliche mögliche Ansätze:
\begin{enumerate}
\item Die Scheitelpunktform
\item Die Normalform
\end{enumerate}

\newpage
\subparagraph{Lösungsvariante 1:}
Beginnen wir mit der \textbf{Scheitelpunktform} der Quadratischen Funktion.
\[f(x)=a \cdot (x-x_S)^2+y_S\]
Der bereits bekannte Wert \mbox{$x_S=5$} kann eingesetzt werden.
\[f(x)=a \cdot (x-5)^2+y_S\]
In diese Funktionsgleichung werden nun die Parameter der beiden Punkte $L(0|1)$
und $F(8|7{,}4)$ eingesetzt.

\[\begin{array}{rlcrcll}
L(0|1): & f(0)=1 &\Rightarrow& a \cdot (0-5)^2+y_S&=&1 \\
F(8|7{,}4): & f(8)=7{,}4 &\Rightarrow& a \cdot (8-5)^2+y_S&=&7{,}4 \\
\end{array}\]

Die beiden Gleichungen -- ich nennen sie Gleichung (1) und (2) -- werden nun
vereinfacht.
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a \cdot (0-5)^2+y_S&=&1 \\
(2)&a \cdot (8-5)^2+y_S&=&7{,}4 \\
\hline
(1)&a \cdot 5^2+y_S&=&1 \\
(2)&a \cdot 3^2+y_S&=&7{,}4 \\
\hline
(1)&25a+y_S&=&1 \\
(2)&9a+y_S&=&7{,}4 \\
\end{array}\]

Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Das \textbf{Subtraktionsverfahren}\footnote{Einzelheiten zum
Additions-/Subtraktionsverfahren siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}
bietet sich an, denn wenn man Gleichung (2) von Gleichung (1) subtrahiert,
fällt sofort $y_S$ weg, weil die Koeffizienten von $y_S$ (die Vorzahlen) gleich
sind. (Beide sind 1, weshalb man sie auch weglassen darf.)
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&25a&+y_S&=&1 &| \\
(2)&9a&+y_S&=&7{,}4 &|- \\
\hline
&16a&&=&-6{,}4 &|:16 \\
&a&&=&-0{,}4 \\
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $y_S$ wird der gefundene Wert für den Parameter $a$ in eine
der beiden Gleichungen eingesetzt. Ich wähle willkürlich dafür Gleichung (1).
\[\begin{array}{rcll}
25a+y_S&=&1 \\
25 \cdot (-0{,}4)+y_S&=&1 \\
-10+y_S&=&1 &|+10 \\
y_S&=&11 \\
\end{array}\]

\newpage
\subparagraph{Lösungsvariante 2:}
Führen wir nur die Lösung mit der \textbf{Normalform} der Quadratischen
Funktion durch.
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Im Gegensatz zur Lösungsvariante 1 gibt es hier nicht nur zwei ($a$ und $y_S$)
sondern \textbf{drei} Parameter ($a$, $b$ und $c$), die bestimmt werden müssen,
um die Funktionsgleichung zu erhalten.\\

Zunächst können -- ähnlich, wie bei Lösungsvariante 1 -- die Koordinaten der
beiden Punkte $L(0|1)$ und $F(8|7{,}4)$ in die Normalform eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rlcrcll}
L(0|1): & f(0)=1 &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&1 \\
F(8|7{,}4): & f(8)=7{,}4 &\Rightarrow& a \cdot 8^2+b \cdot 8+c&=&7{,}4 \\
\end{array}\]
Zunächst vereinfacht man die beiden Gleichungen.
\[\begin{array}{crclcl}
(1)& 0a+0b+c&=&1 &\Rightarrow& c=1\\
(2)& 64a+8b+c&=&7{,}4 \\
\end{array}\]
Aus Gleichung (1) haben wir sofort den Parameter \mbox{$c=1$} erhalten.

Den können wir in Gleichung (2) einsetzen und diese weiter zusammenfassen.
\[\begin{array}{crcll}
(2)&64a+8b+c&=&7{,}4 \\
(2)&64a+8b+1&=&7{,}4 &|-1 \\
(2)&64a+8b&=&6{,}4 \\
\end{array}\]
Wir haben noch nicht ausgenutzt, dass der $x$-Wert des Scheitelpunktes mit
\mbox{$x_S=5$} bekannt ist. Er kann in die Scheitelpunktformel eingesetzt
werden.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
5&=&-\cfrac{b}{2a}
\end{array}\]
Diese Gleichung kann leicht nach $b$ umgestellt werden, damit das Ergebnis in
die umgestellte Gleichung 2 eingesetzt werden kann. Man spricht dann vom
\textbf{Einsetzungsverfahren}.\footnote{Einzelheiten zum
Einsetzungsverfahren siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}
\[\begin{array}{rcll}
5&=&-\cfrac{b}{2a} &| \cdot (-2a) \\
-10a&=&b \\
\end{array}\]

In (2) einsetzen:
\[\begin{array}{rcll}
64a+8b&=&6{,}4 \\
64a+8 \cdot (-10a)&=&6{,}4 \\
64a-80a&=&6{,}4 \\
-16a&=&6{,}4 &|:(-16) \\
a&=&-0{,}4 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird in die umgeformte Scheitelpunktformel eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
b&=&-10a \\
&=&-10 \cdot (-0{,}4) \\
b&=&4 \\
\end{array}\]

Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
\[f(x)=-0{,}4x^2+4x+1\]

Setzt man für $x$ den Wert \mbox{$x_S=5$} ein, erhält man den $y$-Wert des
Scheitelpunktes $S(x_S|y_S$).
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&-0{,}4x_S^2+4x_S+1 \\
&=&-0{,}4 \cdot 5^2+4 \cdot 5+1 \\
&=&-10+20+1 \\
y_S&=&11 \\
\end{array}\]

Vergleicht man beide Lösungswege, dann fällt vermutlich auf, dass der erste
etwas kürzer ist. Aber unabhängig vom Lösungsweg kommt man zum selben Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Der Wasserstrahl kommt bis auf 11 Meter
hoch.}\end{center}

\newpage
\subsection{Beispiel 5}
Ein Kind springt auf die Straße. Ein Autofahrer, der mit der innerorts
erlaubten Geschwindigkeit von $\unit[50]{\frac{km}{h}}$ fährt, kann gerade noch
unmittelbar vor dem Kind anhalten. Mit welcher Geschwindigkeit würde er das
Kind anfahren, wenn er unzulässigerweise "`ein bischen"' zu schnell, nämlich
mit $\unit[70]{\frac{km}{h}}$ gefahren wäre?

\paragraph{Lösung:}
Hier brauchen wir zunächst ein paar physikalische Grundlagen. Der in der Zeit
$t$ zurückgelegte Weg $s$ eines bremsenden Fahrzeuges stellt eine Quadratische
Funktion dar. Sie lautet:
\[s(t)=-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+v_0 \cdot t\]
\underline{Achtung!} Der Parameter $a$ in dieser Formel ist nicht identisch mit
dem Parameter $a$ aus der Normalform der Quadratischen Funktion.
Hier ist $a$ die Bremsverzögerung und $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit des
Fahrzeuges. Dabei verringert sich die Geschwindigkeit nach der Linearen
Funktion:
\[v(t)=v_0-a \cdot t\]

\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-1.4,-1.4)(10.8,11)
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{0}{5}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{5}{10}
{-0.4 x x mul mul 4 x mul add}
  \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.4,-0.8)(10.8,11)
  \uput[-90](10.2,0){$t$}  \uput[180](0,10.2){$s$}
  \pscircle*[linecolor=blue](5,10){2.5pt} \uput[-70](5,10){\textcolor{blue}{$S$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist der Verlauf der Weg-Zeit-Funktion des Bremsvorgangs
dargestellt. Am Koordinatenursprung beim Zeitpunkt \mbox{$t=0$} beginnt der
Bremsvorgang. Das Fahrzeug bewegt sich zunächst weiter vorwärts. Der steile
Kurvenverlauf ganz links kurz nach dem Beginn des Bremsvorgangs lässt
auf eine hohe Geschwindigkeit schließen. Dann wird die Kurve immer flacher, das
Fahrzeug wird langsamer. Im Scheitelpunkt $S$ kommt das Fahrzeug zum Stehen.
Weil hier der Bremsvorgang endet, endet hier auch der Definitionsbereich der
Quadratischen Funktion für den Bremsvorgang. Würde weiterhin eine Kraft wie die
Bremskraft am Fahrzeug nach hinten ziehen, dann würde sich das Fahrzeug
rückwärts beschleunigen und dem gestrichelten Kurvenverlauf folgen. Da das aber
nicht passiert, ist der Kurvenverlauf hier nur gestrichelt eingezeichnet.\\

Man kann unter normalen Bedingungen von einer Bremsverzögerung von
etwa \mbox{$\unit[4]{\frac{m}{s^2}}$} ausgehen.
% (Für das Ergebnis spielt der genaue Wert aber keine Rolle, wie wir noch sehen werden.)
\\

Zum bequemen Rechnen möchte ich die Einheiten weglassen. Da alle Zeiten in
Sekunden und alle Wege im Metern angegeben werden sollen, müssten die
Geschwindigkeiten eigentlich in Meter pro Sekunde umgerechnet werden. Man kann
das aber auch in die Formeln hineinnehmen. Da
\mbox{$\unit[1]{\frac{m}{s}}=\unit[3{,}6]{\frac{km}{h}}$} sind, muss nur der
Faktor 3,6 in die Formeln eingebaut werden. Damit erhalten wir die
nachfolgenden Formen der Formeln. Zunächst die Weg-Zeit-Funktion:
\[s(t)=-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t\]

Und hier die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{v(t)}{3{,}6}&=&\cfrac{v_0}{3{,}6}-a \cdot t &| \cdot 3{,}6 \\
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot a \cdot t \\
\end{array}\]

Zur Erinnerung: Verwendet man diese Form der Formeln, dann wird $s$ in Metern,
$t$ in Sekunden, $a$ in $\unit[]{\frac{m}{s^2}}$ und $v$ in
$\unit[]{\frac{km}{h}}$ eingesetzt.\\


Hiermit ergibt sich folgender Lösungsweg:
\begin{enumerate}
\item Man berechnet für die erlaubte Geschwindigkeit die Zeit bis zum
  Stillstand des Fahrzeuges, indem man den $t_S$-Wert ($x_S$-Wert) des
  Scheitelpunktes der Quadratischen Weg-Zeit-Funktion mit Hilfe der
  Scheitelpunktformel berechnet.
\item Mit dieser Zeit kann der Bremsweg als $s_S$-Wert ($y_S$-Wert) der
  Quadratische Weg-Zeit-Funktion ermittelt werden.
\item Mit diesem errechneten Bremsweg wir die Zeit ausgerechnet, nach der das
  zu schnelle Fahrzeug auf das Kind trifft.
\item Mit dieser Zeit und der schnelleren Anfangsgeschwindigkeit kann über die
  Lineare Geschwindigkeits-Zeit-Funktion die Geschwindigkeit berechnet werden,
  mit der das Kind angefahren wird.
\end{enumerate}

Zunächst setzen wir den angenommenen Wert der Bremsverzögerung von
\mbox{$\unit[4]{\frac{m}{s^2}}$} in die Formeln ein und vereinfachen diese.
\[\begin{array}{rcll}
s(t)&=&-\cfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
s(t)&=&-\cfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
s(t)&=&-2 \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot a \cdot t \\
v(t)&=&v_0-3{,}6 \cdot 4 \cdot t \\
v(t)&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
\end{array}\]

Dann wird die Zeit für die Bremsung bei erlaubter Geschwindigkeit berechnet.
Das ist der $t$-Wert $t_S$ des Scheitelpunktes.
\[\begin{array}{rcll}
t_S&=&-\cfrac{b}{2a} \\
&=&-\cfrac{\frac{50}{3{,}6}}{2 \cdot (-2)} \\
t_S&=&3{,}472 \\
\end{array}\]

Nach 3,472 Sekunden kommt das Fahrzeug zu Stehen. Der Bremsweg $s_S$ wird
berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
s_S&=&-2 \cdot t^2+\cfrac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
&=&-2 \cdot (3{,}472)^2+\cfrac{50}{3{,}6} \cdot 3{,}472 \\
s_S&=&24{,}11 \\
\end{array}\]
Der Bremsweg bei den erlaubten $\unit[50]{\frac{km}{h}}$ beträgt
$\unit[24{,}11]{m}$.\\

Jetzt wird berechnet, wie lange es bei einer Anfangsgeschwindigkeit von
$\unit[70]{\frac{km}{h}}$ dauert, bis $\unit[24{,}11]{m}$ zurückgelegt sind.
Die dabei entstehende Quadratische Gleichung wird mit der
$p$-$q$-Formel\footnote{Einzelheiten zur
$p$-$q$-Formel siehe hier:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi}
gelöst.

\[\begin{array}{rcll}
s&=&-2 \cdot t^2+\frac{v_0}{3{,}6} \cdot t \\
24{,}11&=&-2 \cdot t^2+\frac{70}{3{,}6} \cdot t
   &|+2 \cdot t^2-\frac{70}{3{,}6}\\
2 \cdot t^2-\frac{70}{3{,}6} \cdot t+24{,}11&=&0 &|:2 \\
t^2-9{,}72 \cdot t+12{,}055&=&0 \\
t_{1/2}&=&-\frac{-9{,}72}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-9{,}72}{2} \right)^2
 -12{,}055}\\
t_{1/2}&=&4{,}86 \pm 3{,}40 \\
t_1=1{,}46 && t_2=8{,}26 \\
\end{array}\]

Jetzt stellt sich vermutlich die Frage, wieso wir denn zwei Ergebnisse erhalten
haben. Der Grund ist folgender:\\

Wie bereits weiter vorne erwähnt, bedeutet
"`Bremsen"' für das Fahrzeug eine Kraft, die es nach hinten zieht.
Dadurch wird es langsamer, bis zum Stillstand. Würde jetzt immer noch eine
Kraft wirken, die nach hinten zieht, dann würde das Fahrzeug rückwärts
beschleunigt und irgendwann wieder an der Wegmarke bei 24,11\,m
vorbeikommen.
Deswegen verliert die Formel zum Zeitpunkt des Stillstandes ihre Gültigkeit,
die größere Zeit liegt \textbf{außerhalb} des Gültigkeitsbereiches der
Formel. Deshalb müssen wir mit der kleineren Zeit von
\mbox{$t_1=\unit[1{,}46]{s}$} rechnen.\\

\[\begin{array}{rcll}
v&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
&=&70-14{,}4 \cdot 1{,}46 \\
v&=&48{,}98 \\
\end{array}\]

Das Kind wird demnach mit einer Geschwindigkeit von
$\unit[48{,}98]{\frac{km}{h}}$. Das ist ungefähr die erlaubte Geschwindigkeit.
Ein "`bischen"' schneller hat also sehr gravierende Folgen für das Kind.\\

\paragraph{Nachtrag:}
Was wäre gewesen, wenn wir mit der größeren Zeit von
\mbox{$t_1=\unit[8{,}26]{s}$} gerechnet hätten? Probieren wir es aus.

\[\begin{array}{rcll}
v&=&v_0-14{,}4 \cdot t \\
&=&70-14{,}4 \cdot 8{,}26 \\
v&=&-48{,}94 \\
\end{array}\]

Das ist (von Rundungsfehlern abgesehen) der gleiche Betrag, wie bei der
kleineren Zeit, nur mit negativem Vorzeichen. Mit dieser Geschwindigkeit käme
das Fahrzeug also \textbf{rückwärts} wieder an der Wegmarke bei 24,11\,m
vorbei, wenn die rückwärtsgerichtete bremsende Kraft auch nach dem Stillstand
weiter wirken würde. Aber das tut sie bekanntlich ja nicht.

\newpage
\section{Aufgaben}
\subsection{Aufgabe 1:}
Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem Formfaktor 1 an, deren
Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!

\subsection{Aufgabe 2:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
Einheiten nach unten verschoben ist!

\subsection{Aufgabe 3:}
Die Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

\subsection{Aufgabe 4:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!

\subsection{Aufgabe 5:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=-16x^2-16x+5$!

\subsection{Aufgabe 6:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!

\subsection{Aufgabe 7:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!

\subsection{Aufgabe 8:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?

\subsection{Aufgabe 9:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.

\subsection{Aufgabe 10:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.

\subsection{Aufgabe 11:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
Tangente berührt.

\subsection{Aufgabe 12:}
Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
$f(x)$!

\subsection{Aufgabe 13:}
Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Quadratischen Funktion
(soweit vorhanden):
\[f(x)=-16x^2+24x-25\]

\subsection{Aufgabe 14:}
Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(4|3)$} und
verläuft durch den Punkt \mbox{$P(6|11)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
von $f(x)$!

\subsection{Aufgabe 15:}
Die Quadratische Funktion $f(x)$ verläuft durch die drei Punkte
\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} und \mbox{$P_3(2|7)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung an!

\subsection{Aufgabe 16:}
Eine verschobene Normalparabel (Formfaktor $a=1$) verläuft durch die Punkte
\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. Geben Sie die Funktionsgleichung
$f(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 17:}
Eine Parabel (Quadratische Funktion) verläuft durch die drei Punkte
\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} und \mbox{$P_3(2|0)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 18:}
Eine Parabel (Quadratische Funktion) hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(-2|0)$}
und verläuft durch den Punkt \mbox{$P(-1|-2)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 19:}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} so nach \textbf{oben}, dass die neue
Parabel durch den Punkt $P(2|3)$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 20:}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so nach \textbf{links}, dass die neue
Parabel durch den Punkt $P(0|\frac{7}{2})$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
Funktionsgleichung $f_2(x)$ an! (Geben Sie \textbf{alle} Lösungen an!)

\subsection{Aufgabe 21:}
Wie ist die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} zu verändern, damit bei \textbf{gleichem
Scheitelpunkt} der Punkt $P(3|-6)$ zur neuen Parabel gehört. Geben Sie die
zugehörige Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 22:}
Die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)$ schneidet die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=x-2$} bei \mbox{$x_1=-4$} und \mbox{$x_2=1$}.
Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=2$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f_1(x)$ an!

\subsection{Aufgabe 23:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte -- falls vorhanden -- der beiden Parabeln mit
den Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} und
\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.

\newpage
\subsection{Aufgabe 24:}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(3.8,6.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(3.8,6.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{3.8}
{2 x x mul mul 4 x mul sub 1 add}
   \pscircle*[linecolor=red](1,-1){2.5pt}
   \uput[-20](1,-1){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,1){2.5pt}
   \uput[135](2,1){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=2$} verläuft durch die Punkte
\mbox{$P_1(1|-1)$} und \mbox{$P_2(2|1)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
$f(x)$!\\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 25:}
\begin{wrapfigure}{r}{4.2cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.8)(3.8,8.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.8,-1.8)(3.8,8.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,8.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.8}{3.8}
{-1 x x mul mul 4 x mul add 3 add}
   \pscircle*[linecolor=red](2,7){2.5pt}
   \uput[-120](2,7){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,6){2.5pt}
   \uput[45](3,6){\textcolor{red}{$P_2$}}
   \pscircle*[linecolor=red](0,3){2.5pt}
   \uput[180](0,3){\textcolor{red}{$y_0$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Parabel verläuft durch die Punkte \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$}
und schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$!\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 26:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.2cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=0.6mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-19)(7.8,79)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=10]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-19)(7.8,79)
  \uput[-90](7.5,0){$x$}  \uput[180](0,74){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.5}
{3 x x mul mul 4 sub}
   \uput[-30](5,70){\textcolor{blue}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.5}{7.8}
{3 x x mul mul 30 x mul sub 65 add}
   \uput[30](1,38){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,2){2.5pt}
   \uput[45](3,2){\textcolor{red}{$P_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](6,-7){2.5pt}
   \uput[-30](6,-7){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$}
so, dass sie durch die Punkte \mbox{$P_1(3|2)$} und \mbox{$P_2(6|-7)$}
verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)$} der so
entstandenen Funktion.\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

\newpage
\subsection{Aufgabe 27:}
Eine Quadratische Funktion hat den Formfaktor \mbox{$a=-1$} und den
Scheitelpunkt $S(2|3)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
und in Normalform an!

\subsection{Aufgabe 28:}
Der Funktionsgraph einer Quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt $S(3|-1)$
verläuft durch den Punkt $P(1|7)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in
Scheitelpunktform und in Normalform an!

\subsection{Aufgabe 29:}
Gegeben ist eine Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
\[f(x)=-2x^2-4x+6\]
Berechnen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen.

\subsection{Aufgabe 30:}
Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(4|7)$ schneidet die $y$-Achse bei
$y_0=3$. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung!

\subsection{Aufgabe 31:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
\[f_1(x)=3x^2+24x+53\]
Gesucht ist die Funktion $f_2$, deren Funktionsgraph den selben
Scheitelpunkt hat wie $f_1$. Der Funktionsgraph von $f_2$ verläuft außerdem
durch den Punkt $P(-2|-3)$.

\subsection{Aufgabe 32:}
Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(0|14)$ und $P_2(2|-2)$. Der
Scheitelpunkt liegt an der Stelle \mbox{$x_S=3$}. Wie lautet die
zugehörige Funktionsgleichung?

\subsection{Aufgabe 33:}
Welche dieser fünf Funktionen haben den selben Scheitelpunkt?
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^2-10x+21 \\
f_2(x)&=&3x^2-30x+71 \\
f_3(x)&=&-2x^2+20x-48 \\
f_4(x)&=&0{,}5x^2+5x+8{,}5 \\
f_5(x)&=&4 \cdot (x-5)^2-4 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 34:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 5 add}
   \uput[135](3.9,4){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul -1 mul 4 x mul add 3 sub}
   \uput[-135](3.9,-2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*(2,1){2.5pt}
   \uput[90](2,1){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Funktionsgleichung
\[f_1(x)=4x^2-24x+37\]
Gesucht ist die Funktion $f_2$, die aus $f_1$ dadurch entstanden ist, dass man
die Parabel von $f_1$ um $180^\circ$ um deren Scheitelpunkt $S$ gedreht hat,
wie nebenstehend dargestellt.\\

\subsection{Aufgabe 35:}
Bestimmen Sie die Normalform der Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion
f(x) mit dem Formfaktor $a=1$, die den Scheitelpunkt $S(4|-7)$ hat!

\subsection{Aufgabe 36:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung der Funktion $f_2(x)$, deren Graph gegenüber dem von $f_1$
um 3 Einheiten nach \textbf{rechts} und 2 Einheiten nach \textbf{unten}
verschoben ist.

\subsection{Aufgabe 37:}
Der Graph der Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Er schneidet die
$y$-Achse bei $y_0=7$. Bestimmen Sie die Normalform der zugehörigen
Funktionsgleichung!

\subsection{Aufgabe 38:}
Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=3x^2-12x+15\]
Bestimmen Sie die Nullstellen und den Wertebereich!

\subsection{Aufgabe 39:}
Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=-16x^2-16x+5\]
Bestimmen Sie die Nullstellen, den Scheitelpunkt und den Wertebereich!

\subsection{Aufgabe 40:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$.

\subsection{Aufgabe 41:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=9x-3$.

\subsection{Aufgabe 42:}
Berechnen Sie den Scheitelpunkt und bestimmen Sie die Umkehrfunktion
$f^{-1}(x)$ der Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Welchen \textbf{Definitionsbereich}
hat die Umkehrfunktion?

\subsection{Aufgabe 43:}
Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit:
\[f_1(x)=4x^2+3x-8 \quad \textnormal{ und }\quad f_2(x)=7x^2+9x+17\]

\subsection{Aufgabe 44:}
Bestimmen Sie die Quadratische Funktion $f(x)$, deren Funktionsgraph durch
diese drei Punkte verläuft:
\[P_1(-1|8) \quad P_2(2|-1) \quad P_3(4|3)\]

\subsection{Aufgabe 45:}
Gegeben ist die Parabel mit der Funktionsgleichung $f_1(x)=x^2-4x+4$. Bestimmen
Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren Funktionsgraph
die Parabel als Tangente bei $x_B=4$ berührt!

\subsection{Aufgabe 46:}
Der Funktionsgraph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt
$S(3|2)$ und verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$!

\newpage  %-----------------------------------------
\section{Lösungen}
\subsection{Aufgabe 1:} Geben Sie Quadratische Funktion $f(x)$ mit dem
Formfaktor 1 an, deren Scheitelpunkt $S(4|-7)$ lautet!
\paragraph*{Lösung:} Es bietet sich an, die Scheitelpunktform der
Funktionsgleichung zu verwenden.
\[f(x)=a \cdot (x-x_S)^2+y_S\]
Setzt man die bekannten Koordinaten und den ebenfalls bekannten Formfaktor ein,
ist man schon fertig.
\[f(x)=1 \cdot (x-4)^2-7\]
Wenn man möchte, kann man die Klammer noch auflösen, um die Gleichung in die
Normalform zu bringen.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&1 \cdot (x-4)^2-7 \\
&=&x^2-8x+16-7 \\
f(x)&=&x^2-8x+9
\end{array}\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(9.8,10.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{x x mul 8 x mul sub 9 add}
   \uput[45](1,2){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
   \uput[-45](4,-7){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 2:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Geben Sie die Funktion $f_2(x)$
an, die gegenüber der Funktion $f_1(x)$ um 3 Einheiten nach rechts und 2
Einheiten nach unten verschoben ist!
\paragraph*{Lösung:} Für dieses Problem bietet sich die Verschiebeformel an.
2 Einheiten nach unten entsprechen dabei $-2$ Einheiten nach oben.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&f_1(x-3)+(-2) \\
&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \cdot (x-3)+3-2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4x+12+1 \\
&=&2x^2-12x+18-4x+13 \\
f_2(x)&=&2x^2-16x+31
\end{array}\]

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-3.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,17.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}
{2 x x mul mul 4 x mul sub 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 16 x mul sub 31 add}
   \uput[45](3,1){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-45](3,9){\textcolor{blue}{$f_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %------------------------------------
\subsection{Aufgabe 3:}
Die Quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Der Graph
schneidet die $y$-Achse bei $y_0=-7$. Wie lautet die Funktionsgleichung?
\paragraph*{Lösung:} Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+1
\end{array}\]
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse bedeutet: $f(0)=y_S$. Das setzen wir ein.

\[\begin{array}{rcll}
-7&=&a \cdot (0-4)^2+1 \\
-7&=&a \cdot 16+1 &|-1 \\
-8&=&16a &|:16 \\
a&=&-\cfrac{8}{16} \\
a&=&-\cfrac{1}{2}
\end{array}\]
Mit diesem Wert für $a$ erhalten wir die gesuchte Funktion:
\[f(x)=-\frac{1}{2} \cdot (x-4)^2+1=-\frac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1=-\frac{1}{2}x^2+4x-7\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-12.8)(9.8,5.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,5.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{-0.5 x x mul mul 4 x mul add 7 sub}
   \uput[45](5,0.5){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,1){2.5pt}
   \uput[-45](4,1){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 4:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=3x^2-12x+15$!
\paragraph*{Lösung:} An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
\[\begin{array}{rcll}
3x_0^2-12x_0+15&=&0 &|:3 \\
x_0^2-4x_0+5&=&0 \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{4-5} \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{-1}
\end{array}\]

Da es für die Wurzel keine reelle Lösung gibt, gibt es keine Nullstellen.
Andererseits kann man an dieser Gleichung schon den $x$-Wert des
Scheitelpunktes ablesen. Es ist immer die Zahl, die vor der Wurzel steht, also
$x_S=2$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ bekommt man durch Einsetzen von $x_S$
in die Funktionsgleichung.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&3 \cdot 2^2-12 \cdot 2+15 \\
y_S&=&3
\end{array}\]

Der Formfaktor ist mit $a=3$ positiv, darum ist die Parabel nach oben geöffnet.
Das wiederum bedeutet, dass der Scheitelpunkt der tiefste Punkt der Kurve ist.
Also lautet der Wertebereich:
\[W=\{y|y \geq 3\}\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,17.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,17.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{3 x x mul mul 12 x mul sub 15 add}
   \uput[-45](3,6){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](2,3){2.5pt}
   \uput[-45](2,3){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5:}
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt, die Nullstellen und den Wertebereich der
Quadratischen Funktion $f(x)=-16x^2-16x+5$!
\paragraph*{Lösung:} An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher
lautet der Ansatz zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.

\[\begin{array}{rcll}
-16x_0^2-16x_0+5&=&0 &|:(-16) \\
x_0^2+x_0-\cfrac{5}{16}&=&0 \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{4}{16}+\cfrac{5}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{16}} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{3}{4} \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{2}{4} \pm \cfrac{3}{4} \\
x_{01}&=&\cfrac{1}{4} \\
x_{02}&=&-\cfrac{5}{4}
\end{array}\]

Wie schon bei Aufgabe 4 können wir daraus auch den $x$-Wert des Scheitelpunktes
als die Zahl vor der Wurzel ablesen, also:
\[x_S=-\frac{1}{2}\]
Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ finden wir wieder durch Einsetzen in die
Funktionsgleichung:
\[y_S=f(x_S)=-16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2-16 \cdot
\left(-\frac{1}{2}\right)+5=9\]
Der Scheitelpunkt lautet demnach:
\begin{center}$S\left(-\frac{1}{2}|9\right)$\end{center}
Da der Formfaktor mit $-16$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Der Wertebereich liegt also \textbf{unterhalb} des Scheitelpunktes:
\[W=\{x|x \leq 9\}\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=20mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \psgrid[subgriddiv=10,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=0.5]{->}(0,0)(-1.8,-8.8)(1.8,11.6)
  \uput[-90](1.7,0){$x$}  \uput[180](0,11.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{1}
{-16 x x mul mul 16 x mul sub 5 add}
   \uput[0](0.2,2.5){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](-0.5,9){2.5pt}
   \uput[135](-0.5,9){\textcolor{red}{S}}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %-----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$!
\paragraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
4x_S^2-9x_S+1&=&3x_S+17 &|-3x_S-17 \\
4x_S^2-12x_S-16&=&0 &|:4 \\
x_S^2-3x_S-4&=&0 \\
x_{S1/2}&=&\cfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \cfrac{9}{4}+\cfrac{16}{4}} \\
&=&\cfrac{3}{2} \pm \sqrt{ \cfrac{25}{4}} \\
&=&\cfrac{3}{2} \pm \cfrac{5}{2} \\
x_{S1}&=&\cfrac{3}{2}+\cfrac{5}{2}=4 \\
x_{S2}&=&\cfrac{3}{2}-\cfrac{5}{2}=-1
\end{array}\]

Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_2(x_S) \\
y_{S1}&=&3x_{S1}+17=3 \cdot 4+17=29 \\
y_{S2}&=&3x_{S2}+17=3 \cdot (-1)+17=14
\end{array}\]

Damit lauten die Schnittpunkte:
\[S_1(4|29) \textnormal{ und } S_2(-1|14)\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2.8,-9.8)(7.8,37.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,36.8){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{5}
{4 x x mul mul 9 x mul sub 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{9.8}{3 x mul 17 add}
   \uput[-45](3,10){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-45](1,20){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,14){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](4,29){2.5pt}
   \uput[180](-1,14){$S_2$}
   \uput[-35](4,29){$S_1$}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=-12x+5$!
\paragraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
9x_S^2+12x_S-4&=&-12x_S+5 &|+12x_S-5 \\
9x_S^2+24x_S-9&=&0 &|:9 \\
x_S^2+\cfrac{8}{3}x_S-1&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-\cfrac{4}{3} \pm \sqrt{ \cfrac{16}{9}+\cfrac{9}{9}} \\
&=&-\cfrac{4}{3} \pm \sqrt{ \cfrac{25}{9}} \\
&=&-\cfrac{4}{3} \pm \cfrac{5}{3} \\
x_{S1}&=&-\cfrac{4}{3}-\cfrac{5}{3}=-3 \\
x_{S2}&=&-\cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3}=\cfrac{1}{3}
\end{array}\]

Die zugehörigen $y$-Werte bekommt man durch Einsetzen in eine der beiden
Funktionsgleichungen. Ich wähle dafür $f_2$ aus, da sie etwas einfacher ist.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_2(x_S) \\
y_{S1}&=&-12x_{S1}+5=-12 \cdot (-3)+5=41 \\
y_{S2}&=&-12x_{S2}+5=-12 \cdot \cfrac{1}{3}+5=1
\end{array}\]

Damit lauten die Schnittpunkte:
\begin{center}$S_1(-3|41)$ und $S_2\left(\frac{1}{3}|1\right)$\end{center}

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=2mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=5]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=5]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,49.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,47.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.2}{2}
{9 x x mul mul 12 x mul add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4}{2}{-12 x mul 5 add}
   \uput[35](0.5,5){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[0](-1.8,27){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-3,41){2.5pt}
   \pscircle*[linecolor=black](0.333,1){2.5pt}
   \uput[35](-3,41){$S_1$}
   \uput[25](0.333,1){$S_2$}
\end{pspicture}\end{center}


\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Geben Sie den
Scheitelpunkt an und bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$. Welchen
Definitionsbereich hat die Umkehrfunktion?
\paragraph*{Lösung:} Den Scheitelpunkt bekommt man zweckmäßigerweise mit der
Scheitelpunktformel.
\[x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2 \cdot (-2)}=\frac{5}{4}\]
\[y_S=f(x_S)=-2x_S^2+5x_S-3=-2\left(\frac{5}{4}\right)^2+5 \cdot \frac{5}{4}-3
  =\frac{1}{8}\]
\begin{center}$S\left(\frac{5}{4}|\frac{1}{8}\right)$\end{center}
Die Umkehrfunktion wird bestimmt, indem man die Rollen von $x$ und $y$ tauscht
und die dadurch entstandene Gleichung wieder nach $y$ auflöst.

\[\begin{array}{rcll}
y&=&-2x^2+5x-3 &|\textnormal{ $x$ und $y$ tauschen} \\
x&=&-2y^2+5y-3 &|+2y^2-5y+3 \\
2y^2-5y+3+x&=&0 &|:2 \\
y^2-\cfrac{5}{2}y+\cfrac{3}{2}+\cfrac{x}{2}&=&0 &|\textnormal{ p-q-Formel} \\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{25}{16}-\cfrac{24}{16}-\cfrac{8x}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{1-8x}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{1-8x}}{4} \\
f^{-1}(x)&=&\cfrac{5}{4} \pm \cfrac{1}{4}\sqrt{1-8x}
\end{array}\]

Der Definitionsbereich wird dadurch eingeschränkt, dass der Wurzelinhalt
(Radikand) nicht kleiner als Null weden darf.

\[\begin{array}{rcll}
1-8x&\geq&0 &|-1 \\
-8x&\geq&-1 &|:(-8) \\
x&\leq&\cfrac{1}{8} \\
D&=&\left\{x|x \leq \cfrac{1}{8}\right\}
\end{array}\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-6.8,-9.8)(3.8,4.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,47.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{4}
{-2 x x mul mul 5 x mul add 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-6.8}{0}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{0}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{0}{0.125}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{-6.8}{0}
{1.25 1 8 x mul sub 0.5 exp 4 div sub}
   \uput[35](2,-1){\textcolor{red}{$f$}}
   \uput[45](-2,2.3){\textcolor{blue}{$f^{-1}$}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit den
Funktionsgleichungen $f_1(x)=4x^2+3x-8$ und $f_2(x)=7x^2+9x+7$.
\paragraph*{Lösung:} Die Schnittpunkte sind ja genau die Punkte beider
Kurven, bei denen $x$- und $y$-Wert übereinstimmen. Ich kann also zur
Schnittpunktbestimmung die Funktionsgleichungen gleichsetzen.
\[\begin{array}{rcll}
4x_S^2+3x_S-8&=&7x_S^2+9x_S+7 &|-7x_S^2-9x_S-7 \\
-3x_S^2-6x_S-15&=&0 &| :(-3) \\
x_S^2+2x_S+5&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1-5} \\
x_{S1/2}&=&-1 \pm \sqrt{-4}
\end{array}\]
Da diese Wurzel nicht reell zu lösen ist, gibt es \textbf{keine
Schnittpunkte}.\\

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=15mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-9.8)(3.8,15.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,15.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3}{2.2}
{4 x x mul mul 3 x mul add 8 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2}{1}
{7 x x mul mul 9 x mul add 7 add}
   \uput[-45](0.22,9.8){\textcolor{red}{$f_2$}}
   \uput[-45](1.4,4){\textcolor{blue}{$f_1$}}
   \pscircle*[linecolor=red](4,-7){2.5pt}
\end{pspicture}\end{center}



\newpage  %----------------------------------------
\enlargethispage{15mm}
\subsection{Aufgabe 10:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion, deren Graph
durch die Punkte $P_1(-1|8)$, $P_2(2|-1)$ und $P_3(4|3)$ verläuft.
\paragraph*{Lösung:} Zur Lösung gehen wir von der Normalform der
Quadratischen Funktion aus. Wenn wir jeweils die Koordinaten eines Punktes
einsetzen, dann erhalten wir drei Gleichungen als Lineargleichungssystem, aus
denen wir die Parameter $a$, $b$ und $c$ berechnen können. Die Normalform
lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Wir setzen die Koordinaten der drei Punkte ein.
\begin{displaymath}
\begin{array}{rclcrcl}
f(-1)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&8 \\
f(2)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&-1 \\
f(4)&=&3  &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+c&=&3
\end{array}
\end{displaymath}
Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
wir:
\begin{displaymath}
\begin{array}{rrrcl}
  a& -b &+c &=&8 \\
 4a&+2b &+c&=&-1 \\
16a&+4b &+c&=&3
\end{array}
\end{displaymath}
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden, also beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren, dem
Additions-/Subtraktionsverfah\-ren, der Cramerschen Regel oder dem
Gauß-Jordan-Verfahren. Ich verwende hier als Beispiel die Cramersche Regel.
Ich bestimme zunächst $a$:
\[a = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 8 &-1 & 1 \\
-1 & 2 & 1 \\
 3 & 4 & 1
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rrr}
1 & -1& 1 \\
4 & 2 & 1 \\
16& 4 & 1
\end{array} \right| }
= \frac{16-3-4-6-32-1}{2-16+16-32-4+4}=\frac{-30}{-30}=1\]
Mit der nun bekannten Nennerdeterminante ist auch $b$ schnell bestimmt:
\[b = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
 1 & 8 & 1 \\
 4 &-1 & 1 \\
16 & 3 & 1
\end{array} \right| }{-30}
=\frac{-1+128+12+16-3-32}{-30}=\frac{120}{-30}=-4\]
Den Parameter $c$ bestimmt man nun am einfachsten durch
Einsetzen der bereits bekannten Parameter in eine der drei Gleichungen. Ich
nehme dazu die erste.

\[\begin{array}{rcll}
a-b+c&=&8 \\
1-(-4)+c&=&8 \\
5+c&=&8 &| -5 \\
c&=&3
\end{array}\]

Setzen wir die Werte in die Ausgangsform ein, erhalten wir die gesuchte
Funktionsgleichung.
\[f(x)=x^2-4x+3\]

\newpage
Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,19.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 3 add}
   \uput[-35](5,8){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=black](-1,8){2.5pt}
   \uput[-135](-1,8){$P_1$}
   \pscircle*[linecolor=black](2,-1){2.5pt}
   \uput[-135](2,-1){$P_2$}
   \pscircle*[linecolor=black](4,3){2.5pt}
   \uput[-35](4,3){$P_3$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11:}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren
Graph die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)=x^2-4x+4$ bei $x_b=4$ als
Tangente berührt.
\paragraph*{Lösung:} Zunächst einmal können wir von der Normalform der
Linearen Funktion ausgehen. Die gesuchte Funktion hat also diese Form:
\[f_2(x)=mx+b\]
Wir müssen nur die beiden Parameter $m$ und $b$ bestimmen. Aus dem $x$-Wert des
Berührpunktes kann der dazugehörige $y$-Wert mit $y_b=f_1(x_b)$ berechnet
werden.
\[y_b=x_b^2-4x_b+4=4^2-4 \cdot 4+4=4\]
Damit können wir die erste von zwei notwendigen Gleichungen aufstellen.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(x_b)=y_b & \Rightarrow & (1)& m \cdot 4+b=4
\end{array}\]

Die beiden Graphen \emph{berühren} sich, sie \emph{schneiden} sich nicht. Das
bedeutet, es gibt nur genau \emph{einen einzigen} gemeinsamen Punkt. Daraus
können wir eine weitere Gleichung gewinnen. Wie das geht? \\
Setzen wir zunächst die beiden Funktionsgleichungen wie zur
Schnittpunktbestimmung gleich.

\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_b)&=&f_2(x_b) \\
x_b^2-4x_b+4&=&mx_b+b &| -mx_b-b \\
x_b^2-4x_b-mx_b+4-b&=&0 &| \textnormal{ $x_b$ ausklammern} \\
x_b^2-(4+m)x_b+(4-b)&=&0 &| \textnormal{ p-q-Formel} \\
x_{b1/2}&=&\cfrac{4+m}{2} \pm \sqrt{\left(\cfrac{4+m}{2}\right)^2-(4-b)}
\end{array}\]

Wann gibt es \emph{genau einen} Schnittpunkt? Das kann doch nur dann der Fall
sein, wenn der Wert der Wurzel $=0$ ist. Der "`Rest"' vor der Wurzel muss
demnach unser $x_b=4$ sein.
Das ergibt dann unsere zweite Gleichung.

\[\begin{array}{crcll}
(2)&\cfrac{4+m}{2}=4
\end{array}\]
Aus dieser Gleichung kann ich sofort m berechnen.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4+m}{2}&=&4 &| \cdot 2 \\
4+m&=&8 &| -4 \\
m&=&4
\end{array}\]

Das setzen wir in Gleichung (1) ein.
\[\begin{array}{rcll}
4m+b&=&4 &| \textnormal{ 4 für $m$ einsetzen} \\
4 \cdot 4+b&=&4 \\
16+b&=&4 &| -16 \\
b&=&-12
\end{array}\]

Die gesuchte Gleichung lautet also:
\[f_2(x)=4x-12\]

Nachfolgend ist der Verlauf der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=12mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-2.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,19.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3}{6.7}
{x x mul 4 x mul sub 4 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{2}{8}
{4 x mul 12 sub}
   \uput[145](5,9){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-45](6,12){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*[linecolor=black](4,4){2.5pt}
   \uput[-35](4,4){$B$}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 12:}
Der Graph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(3|2)$ und
verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von
$f(x)$!
\paragraph*{Lösung:}  Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x-3)^2+2
\end{array}\]

Neben $S$ ist auch noch der Punkt $P$ auf dem Graphen bekannt. Seine
Koordinaten müssen auch die Funktionsgleichung erfüllen.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p-3)^2+2&=&y_p \\
a \cdot (5-3)^2+2&=&10 \\
a \cdot 2^2+2&=&10 &| -2 \\
a \cdot 4&=&8 &| :4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

Diesen Wert für $a$ setze ich ein und erhalte die gesuchte Funktionsgleichung.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2+2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)+2 \\
&=&2x^2-12x+18+2 \\
f(x)&=&2x^2-12x+20
\end{array}\]

Nachfolgend ist der Verlauf des Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}\psset{xunit=10mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(9.8,15.6)
  \uput[-90](9.6,0){$x$}  \uput[180](0,15.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{9.8}
{2 x x mul mul 12 x mul sub 20 add}
   \uput[-135](2,4){\textcolor{red}{$f$}}
   \pscircle*[linecolor=red](3,2){2.5pt}
   \uput[-45](3,2){\textcolor{red}{S}}
   \pscircle*[linecolor=red](5,10){2.5pt}
   \uput[-45](5,10){\textcolor{red}{P}}
\end{pspicture}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13:}
Bestimmen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Quadratischen Funktion
(soweit vorhanden):
\[f(x)=-16x^2+24x-25\]
\paragraph*{Lösung:}
An einer Nullstelle ist der Funktionswert $=0$. Daher lautet der Ansatz
zur Nullstellenbestimmung: $f(x_0)=0$.
\[\begin{array}{rcll}
-16x_0^2+24x_0-25&=&0 &|:(-16) \\
x_0^2-\cfrac{3}{2}x_0+\cfrac{25}{16}&=&0 \\
x_{01/02}&=&\cfrac{3}{4}\pm \sqrt{\cfrac{9}{16}-\cfrac{25}{16}}\\
x_{01/02}&=&\cfrac{3}{4}\pm \sqrt{-1}\\
\end{array}\]
Da es für die Wurzel keine reelle Lösung gibt, gibt es \textbf{keine}
Nullstellen. Andererseits kann man an dieser Gleichung schon den $x$-Wert des
Scheitelpunktes ablesen. Es ist immer die Zahl, die vor der Wurzel steht, also
$x_S=\frac{3}{4}$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ bekommt man durch Einsetzen
von $x_S$ in die Funktionsgleichung.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S)\\
&=&-16x_S^2+24x_S-25 \\
&=&-16 \cdot \left(\cfrac{3}{4}\right)^2+24 \cdot \cfrac{3}{4}-25 \\
&=&-9+18-25 \\
y_S&=&16 \\
\end{array}\]
Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}{Scheitelpunkt $S\left(\frac{3}{4} |16 \right)$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 14:}
Die Quadratische Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(4|3)$} und
verläuft durch den Punkt \mbox{$P(6|11)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
von $f(x)$!
\paragraph*{Lösung:}
Zur Lösung bietet sich die \textbf{Scheitelpunktform} der Quadratischen
Funktion an.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+3 \\
\end{array}\]
Zur Bestimmung des Parameters $a$ werden die Koordinaten des Punktes $P$ in
die Funktion eingesetzt.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_P)&=&y_P \\
f(6)&=&11 \\
a \cdot (6-4)^2+3&=&11 \\
a \cdot 4+3&=&11 &|-3 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

Wer mag, kann die Funktion noch aus der Scheitelpunktform in die Normalform
umwandeln.
\[f(x)=2 \cdot (x-4)^2+3=2 \cdot (x^2-8x+16)+3
 =2x^2-16x+32+3=2x^2-16x+35\]

Die gesuchte Funktion lautet damit:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-4)^2+3=2x^2-16x+35$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 15:}
Die Quadratische Funktion $f(x)$ verläuft durch die drei Punkte
\mbox{$P_1(-3|32)$}, \mbox{$P_2(-1|10)$} und \mbox{$P_3(2|7)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung an!

\paragraph*{Lösung:}
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-3)&=&32 &\Rightarrow& a \cdot (-3)^2+b \cdot (-3)+c&=&32 \\
(2)&f(-1)&=&10 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&10 \\
(3)&f(2)&=&7  &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&7 \\
\end{array}\]

Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
wir:

\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& 9a& -3b &+c &=&32 \\
(2)&  a& -b &+c&=&10 \\
(3)& 4a&+2b &+c&=&7 \\
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden, also beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren, dem
Additions-/Subtraktionsverfah\-ren, der Cramerschen Regel oder dem
Gauß-Jordan-Verfahren. Ich verwende hier als Beispiel die Cramersche Regel.
Ich bestimme zunächst $a$:
\[a = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
32& -3 & 1 \\
10& -1 & 1 \\
 7&  2 & 1 \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rrr}
9& -3 & 1 \\
1& -1 & 1 \\
4&  2 & 1 \\
\end{array} \right| }
=\cfrac{-32-21+20+7-64+30}{-9-12+2+4-18+3}=\cfrac{-60}{-30}=2 \]

Mit der mittlerweile bereits bekannten Nennerdeterminante ist auch $b$ schnell
bestimmt:
\[b = \frac
{\left| \begin{array}{rrr}
9& 32 & 1 \\
1& 10 & 1 \\
4&  7 & 1 \\
\end{array} \right| }{-30}
=\frac{90+128+7-40-63-32}{-30}=\frac{90}{-30}=-3\]
Den Parameter $c$ bestimmt man nun am einfachsten durch
Einsetzen der bereits bekannten Parameter in eine der drei Gleichungen. Ich
nehme dazu Gleichung (2).

\[\begin{array}{rcll}
a-b+c&=&10 \\
2+3+c&=&10 &|-5 \\
c&=&5 \\
\end{array}\]

Die gesuchte Funktion lautet damit:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-3x+5$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 16:}
Eine verschobene Normalparabel (Formfaktor $a=1$) verläuft durch die Punkte
\mbox{$P_1(-1|-2)$} und \mbox{$P_2(0|1)$}. Geben Sie die Funktionsgleichung
$f(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:}
Mit dem bekannten Formfaktor lautet die Funktionsgleichung in Normalform:
\[f(x)=x^2+bx+c\]

Die bekannten Punkte können eingesetzt werden.
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-1)&=&-2 & \Rightarrow & (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&-2 \\
(2)&f(0)&=&1   & \Rightarrow & 0^2+b \cdot 0+c&=&1 \\
\end{array}\]

Aus Gleichung (2) erhält man sofort:
\[c=1\]

Das wird in (1) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
(-1)^2+b \cdot (-1)+1&=&-2 \\
1-b+1&=&-2 &|-2 \\
-b&=&-4 &| \cdot (-1) \\
b&=&4 \\
\end{array}\]

Die gesuchte Funktion lautet damit:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2+4x+1$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 17:}
Eine Parabel (Quadratische Funktion) verläuft durch die drei Punkte
\mbox{$P_1(0|8)$}, \mbox{$P_2(1|3)$} und \mbox{$P_3(2|0)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:}
Die Koordinaten werden in die Normalform eingesetzt: \mbox{$f(x)=ax^2+bx+c$}
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(0)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&8 \\
(2)&f(1)&=&3 &\Rightarrow& a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&3 \\
(3)&f(2)&=&0  &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&0 \\
\end{array}\]

Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
wir:

\[\begin{array}{crrrcl}
(1)& & & c &=&8 \\
(2)&  a& +b &+c&=&3 \\
(3)& 4a&+2b &+c&=&0 \\
\end{array}\]
Dieses Lineargleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Es sollte aber auffallen, dass aus (1) bereits der erste Parameter
$c=8$ bekannt ist. Dieser Wert wird vorab in (2) und (3) eingesetzt, die
Gleichungen werden vereinfacht.

\[\begin{array}{crcll}
(2)&a+b+8&=&3 &|-8 \\
(2)&a+b&=&-5 \\
\hline
(3)&4a+2b+8&=&0 &|-8 \\
(3)&4a+2b&=&-8 \\
\end{array}\]

Zusammengefasst bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig:

\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(2)&a&+b&=&-5 \\
(3)&4a&+2b&=&-8 \\
\hline
\end{array}\]
Gleichung (2) lässt sich bequem für die Anwendung des Einsetzungsverfahrens
nach $a$ oder $b$ umstellen. Ich stelle sie nach $a$ um.

\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&-5 &|-b \\
a&=&-5-b \\
\end{array}\]

Einsetzen in (3):

\[\begin{array}{rcll}
4a+2b&=&-8 \\
4 \cdot (-5-b)+2b&=&-8 \\
-20-4b+2b&=&-8 &|+20 \\
-2b&=&12 &|:(-2) \\
b&=&-6 \\
\end{array}\]

Mit der umgestellten Gleichung (2) erhalten wir sofort $a$.
\enlargethispage{15mm}
\[a=-5-b=-5-(-6)=-5+6=1\]
Mit diesen Ergebnissen lautet die gesuchte Funktion:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2-6x+8$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 18:}
Eine Parabel (Quadratische Funktion) hat den Scheitelpunkt \mbox{$S(-2|0)$}
und verläuft durch den Punkt \mbox{$P(-1|-2)$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:} Da der Scheitelpunkt bekannt ist, bietet sich die
Scheitelpunktform an. Es muss dann nur noch $a$ berechnet werden.

\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x+2)^2+0
\end{array}\]
Neben $S$ ist auch noch der Punkt $P$ auf dem Graphen bekannt. Seine
Koordinaten müssen auch die Funktionsgleichung erfüllen.

\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p+2)^2&=&y_p \\
a \cdot (-1+2)^2&=&-2 \\
a \cdot 1^2&=&-2 \\
a&=&-2
\end{array}\]

Diesen Wert für $a$ setze ich ein und erhalte die gesuchte Funktionsgleichung.
\[ f(x)=-2 \cdot (x+2)^2 \]

Wer mag, kann die Funktionsgleichung noch in die Normalform umwandeln.
\[f(x)=-2x^2-8x-8\]

Die gesuchte Funktion lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2 \cdot (x+2)^2$}
oder
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2x^2-8x-8$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 19:}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1$} so nach \textbf{oben}, dass die neue
Parabel durch den Punkt $P(2|3)$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:}
Für eine vertikale Verschiebung muss lediglich ein Parameter (ich nenne ihn
$k$) addiert werden.
\[f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1+k\]

Damit der Punkt $P$ auf der Parabel liegt, müssen seine Koordinaten die
Funktionsgleichung erfüllen.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(x_P)&=&y_P \\
f_2(2)&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot (2-4)^2-1+k&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot (-2)^2-1+k&=&3 \\
\cfrac{1}{2} \cdot 4-1+k&=&3 \\
2-1+k&=&3 &|-1 \\
k&=&2 \\
\end{array}\]

Der Wert wird kür $k$ eingesetzt.
\[f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-1+2=\frac{1}{2}(x-4)^2+1\]

Wer mag, kann die Funktionsgleichung noch in die Normalform umwandeln:
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&=\frac{1}{2}(x-4)^2+1 \\
&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1 \\
&=&\cfrac{1}{2}x^2-4x+8+1 \\
f_2(x)&=&\cfrac{1}{2}x^2-4x+9 \\
\end{array}\]

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2+1$}
oder:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+9$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 20:}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} so nach \textbf{links}, dass die neue
Parabel durch den Punkt $P(0|\frac{7}{2})$ verläuft. Geben Sie die zugehörige
Funktionsgleichung $f_2(x)$ an! (Geben Sie \textbf{alle} Lösungen an!)

\paragraph*{Lösung:}
Eine \textbf{Rechts}verschiebung um $k$ bedeutet, dass anstelle der
Variablen $x$ ein $(x-k)$ eingesetzt wird. Entsprechend bedeutet ein im
Ergebnis \textbf{negatives} $k$ dann eine \textbf{Links}verschiebung. Wünscht
man ein \textbf{positives} $k$, dann kann auch $(x+k)$ für eine
\textbf{Links}verschiebung eingesetzt werden. Ich verwende in meiner
Musterlösung die erste Möglichkeit.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&f_1(x-k) \\
f_2(x)&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x-k)^2-4(x-k)+7 \\
\end{array}\]
Jetzt werden für $x$ und $y$ die Koordinaten des Punktes $P$ eingesetzt. Damit
kann $k$ bestimmt werden.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(0)&=&\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{1}{2} \cdot (0-k)^2-4 \cdot (0-k)+7&=&\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{1}{2} \cdot k^2+4k+7&=&\cfrac{7}{2} &| \cdot 2 \\
k^2+8k+14&=&7 &|-7 \\
k^2+8k+7&=&0 \\
k_{1/2}&=&-4 \pm \sqrt{4^2-7}\\
k_{1/2}&=&-4 \pm 3 \\
k_1=-1 && k_2=-7 \\
\end{array}\]
Da beide Werte \textbf{negativ} sind, handelt es sich in beiden Fällen um eine
\textbf{Links}verschiebung. Beide Lösungen sind also gültig. Die Werte werden
für $k$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rclcrcl}
f_{21}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x+1)^2-4 \cdot (x+1)+7 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x+7)^2-4 \cdot (x+7)+7 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2+2x+1)-4x-4+7 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2} \cdot (x^2+14x+49)-4x-28+7 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2}x^2+x+\cfrac{1}{2}-4x+3 &&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2}x^2+7x+\cfrac{49}{2}-4x-21 \\
f_{21}&=&\cfrac{1}{2}x^2-3x+\cfrac{7}{2}&&
  f_{22}&=&\cfrac{1}{2}x^2+3x+\cfrac{7}{2}\\
\end{array}\]

Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_{21}=\frac{1}{2}x^2-3x+\frac{7}{2}$}
oder:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_{22}=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{7}{2}$}


\newpage
\subsection{Aufgabe 21:}
Wie ist die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+7$} zu verändern, damit bei \textbf{gleichem
Scheitelpunkt} der Punkt $P(3|-6)$ zur neuen Parabel gehört. Geben Sie die
zugehörige Funktionsgleichung $f_2(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:} Damit man sich die Zusammenhänge besser vorstellen kann,
ist hier eine Skizze der beiden Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-7.8)(7.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1.8,-7.8)(7.8,6.6)
  \uput[-90](7.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{0}{7.8}
{0.5 x x mul mul 4 x mul sub 7 add}
   \pscircle*(3,-6){2.5pt}
   \uput[150](3,-6){$P$}
   \pscircle*(4,-1){2.5pt}
   \uput[-90](4,-1){$S$}
   \uput[60](1.5,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
%-----
   \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{2}{6}{x 4 sub 2 exp -5 mul 1 sub}
   \uput[0](4.7,-4){\textcolor{blue}{$f_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Zunächst muss der (gemeinsame) Scheitelpunkt bestimmt werden. Dies kann
entweder mit der Mitte zwischen den Nullstellen von $f_1$ oder einfacher mit
der Scheitelpunkt-Formel geschehen:\footnote{Siehe \ifpdf
\hyperlink{K22}{Kapitel 2.2}\fi}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=ax^2+bx+c \qquad \Rightarrow \qquad x_S=-\cfrac{b}{2a}$}
\end{center}

\[ x_S=-\cfrac{b}{2a}=-\cfrac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}}=4 \]
\[ y_S=f(x_S)=\cfrac{1}{2} \cdot 4^2-4 \cdot 4+7=-1\]

Mit bekanntem Scheitelpunkt kann die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
aufgestellt werden.
\[ f_2(x)=a \cdot (x-4)^2-1\]
Zur Bestimmung des Parameters $a$ werden die Koordinaten des Punktes $P$ in
die Funktionsgleichung eingesetzt.

\[\begin{array}{rcll}
f_2(3)&=&-6 \\
a \cdot (3-4)^2-1&=&-6 \\
a \cdot (-1)^2-1&=&-6 \\
a-1&=&-6 &|+1\\
a&=&-5 \\
\end{array}\]

Die Funktionsgleichung kann angegeben werden:
\begin{center} \fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-5 \cdot (x-4)^2-1$} \end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 22:}
Die Parabel der Quadratischen Funktion $f_1(x)$ schneidet die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=x-2$} bei \mbox{$x_1=-4$} und \mbox{$x_2=1$}.
Die Parabel schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=2$}. Geben Sie die
Funktionsgleichung $f_1(x)$ an!

\paragraph*{Lösung:}
Damit man sich die Zusammenhänge besser vorstellen kann, ist hier eine
Skizze der Funktionsgraphen dargestellt.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-6.8)(3.8,3.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-5.8,-6.8)(3.8,3.6)
  \uput[-90](3.6,0){$x$}  \uput[180](0,3.2){$y$}
  \psline(-0.15,2)(0.15,2) \uput[180](0,2){2}
  \psline[linewidth=0.5pt](1,3.6)(1,-6.8) \uput[-90](1,0){1}
  \psline[linewidth=0.5pt](-4,3.6)(-4,-6.8) \uput[-90](-4,0){$-4$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{3.8}
{-1 x x mul mul 2 x mul sub 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{3.8}{x 2 sub}
   \pscircle*(-4,-6){2.5pt}
   \uput[150](-4,-6){$P_1$}
   \pscircle*(1,-1){2.5pt}
   \uput[-20](1,-1){$P_2$}
   \uput[120](-2,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-90](-2,-2.8){\textcolor{blue}{$f_2$}}
\end{pspicture}
\end{center}



Zunächst werden die $y$-Werte der Schnittpunkte $P_1$ und $P_2$ bestimmt.
Dazu werden die $x$-Werte in $f_2$ eingesetzt.

\[\begin{array}{rclcrcl}
y_1&=&f_2(x_1) && y_2&=&f_2(x_2) \\
y_1&=&-4-2 && y_2&=&1-2 \\
y_1&=&-6 && y_2&=&-1\\
\end{array}\]

Damit lauten die Schnittpunkte $P_1(-4|-6)$ und $P_2(1|-1)$. Der Schnittpunkt
mit der $y$-Achse liegt bei $x=0$, damit heist dieser Punkt $P_3(0|2)$.
Mit drei bekannten Punkten kann ein Lineargleichungssystem aufgestellt werden,
wenn man von der Normalform der Quadratischen Funktion ausgeht:
\[f_2(x)=ax^2+bx+c\]

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-4)&=&-6 &\Rightarrow& a \cdot (-4)^2+b \cdot (-4)+c&=&-6 \\
(2)&f(1)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-1 \\
(3)&f(0)&=&2  &\Rightarrow& a \cdot 0^2+b \cdot 0+c&=&2
\end{array}\]
Wenn wir das rechts stehende Lineargleichungssystem zusammenfassen, erhalten
wir:
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)&  16a& -4b &+c &=&-6 \\
(2)& a&+b &+c&=&-1 \\
(3)& & &c&=&2 \\
\hline
\end{array}\]

Da aus (3) sofort das Ergebnis für $c$ bekannt ist, kann der Wert in beide
anderen Gleichungen eingesetzt werden. Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem
2. Ordnung.

\[\begin{array}{crcll}
(1)&  16a -4b +2 &=&-6 &|-2 \\
(2)& a+b+2&=&-1 &|-2 \\
\hline
(1)& 16a-4b&=&-8 \\
(2)& a+b&=&-3 \\
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.
Beispielsweise kann zum Einsetzungsverfahren (2) nach $a$ aufgelöst und in (1)
eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&-3 &|-b \\
a&=&-3-b \\
\end{array}\]
Einsetzen in (1):

\[\begin{array}{rcll}
16a-4b&=&-8 \\
16 \cdot (-3-b)-4b&=&-8 \\
-48-16b-4b&=&-8 &|+48 \\
-20b&=&40 &|:(-20) \\
b&=&-2 \\
\end{array}\]

Dieses Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.

\[a=-3-b=-3-(-2)=-1\]
Jetzt sind alle Parameter bekannt. Die Funktionsgleichung kann angegeben
werden.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-x^2-2x+2$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 23:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte -- falls vorhanden -- der beiden Parabeln mit
den Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=x^2-2x+3$} und
\mbox{$f_2(x)=2x^2-8x+12$}.

\paragraph*{Lösung:}
Zur Schnittpunktbestimmung werden die Funktionsterme gleichgesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
x_S^2-2x_S+3&=&2x_S^2-8x_S+12 &| -2x_S^2+8x_S-12 \\
-x_S^2+6x_S-9&=&0 &| \cdot (-1) \\
x_S^2-6x_S+9&=&0 \\
x_{S1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-9}\\
x_S&=&3 \\
\end{array}\]

Es gibt nur ein Ergebnis, also auch nur einen einzigen Schnittpunkt. Zur
Bestimmung des $y$-Wertes wird dieser $x_S$-Wert in $f_1$ oder in $f_2$
eingesetzt. Ich wähle dazu $f_1$, weil die Zahlen etwas kleiner sind.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_1(x_S) \\
&=&x_S^2-2x_S+3 \\
&=&3^2-2 \cdot 3+3 \\
y_S&=&6 \\
\end{array}\]

Hiermit kann der Schnittpunkt angegeben werden:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(3|6)$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 24:}
Eine Parabel mit dem Formfaktor \mbox{$a=2$} verläuft durch die Punkte
\mbox{$P_1(1|-1)$} und \mbox{$P_2(2|1)$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
$f(x)$!

\paragraph{Lösung:}
Die Normalform der Quadratischen Funktion lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Da $a$ mit \mbox{$a=2$} bekannt ist, erhalten wir diese Form:
\[f(x)=2x^2+bx+c\]
Jetzt müssen nur noch die Parameter $b$ und $c$ berechnet werden. Dazu werden
die Koordinaten der bekannten Punkte für $x$ und $y$ eingesetzt.
\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(1|-1) & \Rightarrow & f(1)=-1 & \Rightarrow & 2 \cdot 1^2+b \cdot 1+c&=&-1\\
P_2(2|1) & \Rightarrow & f(2)=1 & \Rightarrow & 2 \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&1\\
\end{array}\]
Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
die Normalform gebracht.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 2+b+c&=&-1 &|-2 \\
(2)& 8+2b+c&=&1 &|-8 \\
\hline
(1)& b+c&=&-3 \\
(2)& 2b+c&=&-7 \\
\end{array}\]

Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil in beiden Gleichungen $c$ ohne
Vorzahl vorkommt, bietet es sich an, die Gleichungen voneinander zu
subtrahieren. Dabei fällt dann $c$ weg. Weil die Vorzahl von $b$ in Gleichung
(2) -- hier: $2b$ -- größer, als die in Gleichung (1) -- hier: $1b$ -- ist,
subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2). Dann bleibt mir ein
\textbf{positives} Ergebnis. (Natürlich geht es auch anders herum, dann erhält
man halt $-b$.)
\[\begin{array}{rrclll}
(1)& b&+c&=&-3 &|- \\
(2)& 2b&+c&=&-7&| \\
\hline
(2)-(1)&b &&=&-4 \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits $b$. Um den noch verbleibenden Parameter $c$ zu
berechnen, wird das Ergebnis in eine beliebige der beiden Gleichungen
eingesetzt. Weil in Gleichung (1) die Zahlen kleiner sind, verwende ich diese.
\[\begin{array}{rcll}
b+c&=&-3 \\
-4+c&=&-3 &|+4 \\
c&=&1 \\
\end{array}\]
Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-4x+1$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 25:}
Eine Parabel verläuft durch die Punkte \mbox{$P_1(2|7)$} und \mbox{$P_2(3|6)$}
und schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=3$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$!

\paragraph{Lösung:}
Die Normalform der Quadratischen Funktion lautet:
\[f(x)=ax^2+bx+c\]
Der $y$-Achsenabschnitt bei \mbox{$y_0=3$} bedeutet \mbox{$c=y_0=3$}.
Damit erhalten wir diese Form:
\[f(x)=ax^2+bx+3\]
Jetzt müssen nur noch die Parameter $a$ und $b$ berechnet werden. Dazu werden
die Koordinaten der bekannten Punkte für $x$ und $y$ eingesetzt.
\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(2|7) & \Rightarrow & f(2)=7 & \Rightarrow & a \cdot 2^2+b \cdot 2+3&=&7\\
P_2(3|6) & \Rightarrow & f(3)=6 & \Rightarrow & a \cdot 3^2+b \cdot 3+3&=&6\\
\end{array}\]
Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
die Normalform gebracht.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 4a+2b+3&=&7 &|-3 \\
(2)& 9a+3b+3&=&6 &|-3 \\
\hline
(1)& 4a+2b&=&4 \\
(2)& 9a+3b&=&3 \\
\end{array}\]

Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil keine Vorzahlen in den Gleichungen
übereinstimmen, bietet sich kein Lösungsverfahren besonders an. Ich verwende
willkürlich das \textbf{Einsetzungsverfahren}. Dazu löse ich Gleichung (1)
nach $b$ auf.
\[\begin{array}{rrcll}
(1)&4a+2b&=&4 &|-4a \\
&2b&=&4-4a &|:2 \\
&b&=&2-2a \\
\end{array}\]
Der Ergebnisterm wird in Gleichung (2) eingesetzt.
\[\begin{array}{rrcll}
(2)&9a+3b&=&3 \\
&9a+3 \cdot (2-2a)&=&3 \\
&9a+6-6a&=&3 &|-6\\
&3a&=&-3 &|:3 \\
&a&=&-1 \\
\end{array}\]
Um den noch fehlenden Parameter $b$ zu ermitteln, wird der gefundene Wert in
die schon passend umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.
\[b=2-2a=2-2 \cdot (-1)=2+2=4\]
Damit erhalten wir die gesuchte Funktionsgleichung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^2+4x+3$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 26:}
Verschieben Sie die Parabel mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=3x^2-4$}
so, dass sie durch die Punkte \mbox{$P_1(3|2)$} und \mbox{$P_2(6|-7)$}
verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)$} der so
entstandenen Funktion.

\paragraph{Lösung:}
Das Einzige, was sich beim Verschieben nicht ändert, ist die Form der Parabel
und somit der Formfaktor $a$. In $f_1$ kann man $a$ ablesen mit \mbox{$a=3$}.
Die gesuchte Funktionsgleichung hat damit diese Form:
\[f_2(x)=3x^2+bx+c\]

\[\begin{array}{lclcrcl}
P_1(3|2) & \Rightarrow & f(3)=2 & \Rightarrow & 3 \cdot 3^2+b \cdot 3+c&=&2\\
P_2(6|-7) & \Rightarrow & f(6)=-7 & \Rightarrow & 3 \cdot 6^2+b \cdot 6+c&=&-7\\
\end{array}\]
Die beiden dabei entstandenen Gleichungen werden zunächst vereinfacht und in
die Normalform gebracht.
\[\begin{array}{crcll}
(1)& 27+3b+c&=&2 &|-27 \\
(2)& 108+6b+c&=&-7 &|-108 \\
\hline
(1)& 3b+c&=&-25 \\
(2)& 6b+c&=&-115 \\
\end{array}\]

Jetzt haben wir ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung erhalten, das man mit
einem beliebigen Verfahren lösen kann. Weil in beiden Gleichungen $c$ ohne
Vorzahl vorkommt, bietet es sich an, die Gleichungen voneinander zu
subtrahieren. Dabei fällt dann $c$ weg. Weil die Vorzahl von $b$ in Gleichung
(2) -- hier: $6b$ -- größer, als die in Gleichung (1) -- hier: $3b$ -- ist,
subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2). Dann bleibt mir ein
\textbf{positives} Ergebnis. (Natürlich geht es auch anders herum, dann erhält
man halt einen negativen Wert mit $b$.)
\[\begin{array}{rrclll}
(1)& 3b&+c&=&-25 &|- \\
(2)& 6b&+c&=&-115&| \\
\hline
(2)-(1)&3b &&=&-90 &|:3 \\
&b&&=&-30 \\
\end{array}\]

Damit haben wir bereits $b$. Um den noch verbleibenden Parameter $c$ zu
berechnen, wird das Ergebnis in eine beliebige der beiden Gleichungen
eingesetzt. Weil in Gleichung (1) die Zahlen kleiner sind, verwende ich diese.
\[\begin{array}{rcll}
3b+c&=&-20 \\
3 \cdot (-30)+c&=&-25 \\
-90+c&=&-25 &|+90 \\
c&=&65 \\
\end{array}\]
Damit kann die Funktionsgleichung angegeben werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=3x^2-30x+65$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 27:}
Eine Quadratische Funktion hat den Formfaktor \mbox{$a=-1$} und den
Scheitelpunkt $S(2|3)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform
und in Normalform an!

\paragraph{Lösung:}
Die Lösung in Scheitelpunktform kann sofort aufgeschrieben werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-(x-2)^2+3$}\end{center}

Die Umformung in die Normalform erfolgt schrittweise mit der 2. Binomischen
Formel.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&-(x-2)^2+3 \\
&=&-(x^2-4x+4)+3 \\
&=&-x^2+4x-4+3 \\
f(x)&=&-x^2-4x-1 \\
\end{array}\]
Die Funktionsgleichung in Normalform lautet:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x^2-4x-1$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 28:}
Der Funktionsgraph einer Quadratische Funktion mit dem Scheitelpunkt $S(3|-1)$
verläuft durch den Punkt $P(1|7)$. Geben Sie die Funktionsgleichung in
Scheitelpunktform und in Normalform an!

\paragraph{Lösung:}
Zunächst wird der Ansatz in Scheitelpunktform gemacht.
\[f(x)=a \cdot (x-3)^2-1\]

Um den noch unbekannten Formfaktor $a$ zu bestimmen, werden die Koordinaten des
bekannten Punktes $P(1|7)$ eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_p)&=&y_p \\
a \cdot (x_p-3)^2-1&=&y_p \\
a \cdot (1-3)^2-1&=&7 \\
a \cdot (-2)^2-1&=&7 \\
4a-1&=&7 &|+1 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]
Hiermit kann die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform angegeben werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-3)^2-1$}\end{center}

Nun kann die Funktionsgleichung mit Hilfe der 2. Binomischen Formel in die
Normalform umgeformt werden.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2-1 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-1 \\
&=&2x^2-12x+18-1 \\
f(x)&=&2x^2-12x+17
\end{array}\]
Die Funktionsgleichung in Normalform lautet:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^2-12x+17$}\end{center}
\newpage
\subsection{Aufgabe 29:}
Gegeben ist eine Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
\[f(x)=-2x^2-4x+6\]
Berechnen Sie den Scheitelpunkt und die Nullstellen.

\paragraph{Lösung:}
Der $x$-Wert des Scheitelpunktes $x_S$ kann über die
Scheitelpunkformel bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-4}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\cfrac{4}{-4}\\
x_S&=&-1 \\
\end{array}\]
Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ liefert die Funktionsgleichung.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&-2x_S^2-4x_S+6 \\
&=&-2 \cdot (-1)^2-4 \cdot (-1)+6 \\
&=&-2+4+6 \\
y_S&=&8 \\
\end{array}\]

Der Scheitelpunkt lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S(-1|8)$}\\

Zum Berechnen der Nullstellen muss der Funktionsterm gleich Null gesetzt
werden.
\[\begin{array}{rcll}
-2x_0^2-4x_0+6&=&0 &|:(-2) \\
x_0^2+2x_0-3&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel anwerden}\\
x_{01/02}&=&-\frac{2}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{2}{2}\right)^2-(-3)}\\
&=&-1 \pm \sqrt{1+3}\\
&=&-1 \pm 2 \\
x_01=-1+2=1 && x_02=-1-2=-3 \\
\end{array}\]

Die Nullstellen lauten
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{01}=1$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{02}=-3$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 30:}
Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(4|7)$ schneidet die $y$-Achse bei
$y_0=3$. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung!

\paragraph{Lösung:}
Der Ansatz kann mit Hilfe der Scheitelpunktform gemacht werden.
\[f(x)=a \cdot (x-4)^2+7\]

Um den noch fehlenden Formfaktor $a$ zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.
\subparagraph{Lösungvariante 1:}
Die $y$-Achse liegt an der Stelle \mbox{$x=0$}. Damit sind Koordinaten des
Schnittpunktes mit $(0|y_0)$ bzw. $(0|3)$ bekannt und können in die Gleichung
in Scheitelpunktform eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
f(0)&=&3 \\
a \cdot (0-4)^2+7&=&3 \\
a \cdot 16+7&=&3 &|-7 \\
16a&=&-4 &|:16 \\
a&=&-\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]
Da die Form der Funktionsgleichung nicht vorgegeben ist, reicht die Angabe in
der Scheitelpunktform:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\frac{1}{4} \cdot (x-4)^2+7$}
\end{center}

\subparagraph{Lösungsvariante 2:}
Man kann auch den Ansatz in der Scheitelpunktform machen, diese in die
Normalform umwandeln und dort den $y$-Achsenabschnitt als absolutes Glied $c$
ablesen. Das sieht dann so aus:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+7 \\
&=&a \cdot (x^2-8x+16)+7 \\
f(x)&=&ax^2-8ax+\underbrace{16a+7}_{c} \\
\end{array}\]
Da der $y$-Achsenabschnitt mit \mbox{$y_0=3$} bekannt ist, kann dieser mit $c$
gleichgesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
c&=&y_0 \\
16a+7&=&3 &|-7 \\
16a&=&-4 &|:16 \\
a&=&-\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]
Auch so erhalten wir die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\frac{1}{4} \cdot (x-4)^2+7$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 31:}
Gegeben ist die Quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung:
\[f_1(x)=3x^2+24x+53\]
Gesucht ist die Funktion $f_2$, deren Funktionsgraph den selben
Scheitelpunkt hat wie $f_1$. Der Funktionsgraph von $f_2$ verläuft außerdem
durch den Punkt $P(-2|-3)$.

\paragraph{Lösung:}
Zunächst muss der Scheitelpunkt von $f_1$ bestimmt werden. Dazu beginnen wir mit
$x_S$.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{24}{2 \cdot 3}\\
x_S&=&-4 \\
\end{array}\]
Den zugehörigen $y$-Wert liefert die Funktionsgleichung von $f_1$.
\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_1(x_S) \\
&=&3x_S^2+24x_S+53 \\
&=&3 \cdot (-4)^2+24 \cdot (-4)+53 \\
&=&48-96+53 \\
y_S&=&5 \\
\end{array}\]
Der Scheitelpunkt der Funktion $f_1$ -- und damit auch von $f_2$ -- lautet:
\fcolorbox{red}{white}{$S(-4|5)$}\\

Hiermit kann die Funktionsgleichung von $f_2$ in der Scheitelpunktform
aufgestellt werden.
\[f_2(x)=a \cdot (x+4)^2+5\]
Um nun den Formfaktor $a$ zu bestimmen, werden die Koordinaten des gegebenen
Punktes $P(-2|-3)$ in diese Gleichung eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f_2(-2)&=&-3 \\
a \cdot (-2+4)^2+5&=&-3 &|-5 \\
a \cdot 2^2&=&-8 \\
4a&=&-8 &|:4 \\
a&=&-2 \\
\end{array}\]
Hiermit kann die Funktionsgleichung von $f_2$ angegeben werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-2 \cdot (x+4)^2+5$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 32:}
Eine Parabel verläuft durch die Punkte $P_1(0|14)$ und $P_2(2|-2)$. Der
Scheitelpunkt liegt an der Stelle \mbox{$x_S=3$}. Wie lautet die
zugehörige Funktionsgleichung?

\paragraph{Lösung:}
Mit dem Scheitelpunkt $S(3|y_S)$ kann der Ansatz der Funktionsgleichung in der
Scheitelpunktform gemacht werden.
\[f(x)=a \cdot (x-3)^2+y_S\]

In diese Funktionsgleichung können die Koordinaten beider Punkte eingesetzt
werden.
\[\begin{array}{rlcrcl}
P_1(0|3): & f(0)=3 &\Rightarrow& a \cdot (0-3)^2+y_S&=&14\\
P_2(2|-2): & f(2)=-2 &\Rightarrow& a \cdot (2-3)^2+y_S&=&-2 \\
\end{array}\]
Wir haben ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung mt den Variablen $a$ und $y_S$
erhalten. Die Gleichungen werden noch ein wenig zusammengefasst.
\[\begin{array}{crcll}
(1)&a \cdot (0-3)^2+y_S&=&14 \\
(2)&a \cdot (2-3)^2+y_S&=&-2 \\
\hline
(1)&9a+y_S&=&14 \\
(2)&a+y_S&=&-2 \\
\end{array}\]

Zur Lösung dieses Gleichungssystems bietet sich das
Additions-/Subtraktionsverfahren\footnote{Einzelheiten zum
Additions-/Subtraktionsverfahren siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi}
an. Man kann Gleichung (2) von Gleichung (1)
subtrahieren, dann fällt $y_S$ weg.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&9a &+y_S&=&14 &| \\
(2)&a &+y_S&=&-2 &|- \\
\hline
   &8a &&=&16 &|:8 \\
   &a&&=&2 \\
\end{array}\]
Mit Hilfe der Gleichung (2) kann damit $y_S$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
a+y_S&=&-2 \\
2+y_S&=&-2 &|-2 \\
y_S&=&-4 \\
\end{array}\]
Jetzt sind alle Parameter bekannt, die Funktionsgleichung kann angegeben
werden:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-3)^2-4$}\end{center}
Wer mag, kann das noch in die Normalform umwandeln:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4 \\
&=&2x^2-12x+18-4 \\
f(x)&=&2x^2-12x+14 \\
\end{array}\]

\newpage

\subsection{Aufgabe 33:}
Welche dieser fünf Funktionen haben den selben Scheitelpunkt?
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^2-10x+21 \\
f_2(x)&=&3x^2-30x+71 \\
f_3(x)&=&-2x^2+20x-48 \\
f_4(x)&=&0{,}5x^2+5x+8{,}5 \\
f_5(x)&=&4 \cdot (x-5)^2-4 \\
\end{array}\]

\paragraph{Lösung:}
Um die Frage beantworten zu können, müssen alle Scheitelpunkte bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
x_{S1}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-10}{2 \cdot 1}\\
x_{S1}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{S1}&=&f_1(x_{S1})\\
&=&x_{S1}^2-10x_{S1}+21 \\
&=&5^2-10 \cdot 5+21 \\
y_{S1}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S_1(5|-4)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{S2}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-30}{2 \cdot 3}\\
x_{S2}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{S2}&=&f_2(x_{S2})\\
&=&3x_{S2}^2-30x_{S2}+71 \\
&=&3 \cdot 5^2-30 \cdot 5+71 \\
&=&75-150+71 \\
y_{S2}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S_2(5|-4)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{S3}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{20}{2 \cdot (-2)}\\
x_{S3}&=&5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{S3}&=&f_3(x_{S3})\\
&=&-2 \cdot x_{S3}^2+20x_{S3}-48 \\
&=&-2 \cdot 5^2+20 \cdot 5-48 \\
&=&-50+100-48 \\
y_{S3}&=&2 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S_3(5|2)$}\end{center}

\[\begin{array}{rcll}
x_{S4}&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{5}{2 \cdot 0{,}5}\\
x_{S4}&=&-5 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_{S4}&=&f_4(x_{S4})\\
&=&0{,}5 \cdot x_{S4}^2+5x_{S4}+8{,}5 \\
&=&0{,}5 \cdot (-5)^2+5 \cdot (-5)+8{,}5 \\
&=&12{,}5-25+8{,}5 \\
y_{S4}&=&-4 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S_4(-5|-4)$}\end{center}

An $f_5$ können die Koordinaten von $x_S$ und $y_S$ direkt abgelesen werden,
weil die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform angegeben ist.

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S_5(5|-4)$}\end{center}

\underline{Ergebnis:}
Die Scheitelpunkte $S_1$, $S_2$ und $S_5$ sind identisch. Bei $S_3$ gibt es
einen anderen $y$-Wert und bei $S_4$ einen anderen $x$-Wert.

\newpage
\subsection{Aufgabe 34:}
\begin{wrapfigure}{r}{6.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1.8,-3.8)(5.8,6.6)
  \uput[-90](5.6,0){$x$}  \uput[180](0,6.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul 4 x mul sub 5 add}
   \uput[135](3.9,4){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.8}{5.8}
{x x mul -1 mul 4 x mul add 3 sub}
   \uput[-135](3.9,-2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \pscircle*(2,1){2.5pt}
   \uput[90](2,1){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist die Funktion $f_1$ mit der Funktionsgleichung
\[f_1(x)=4x^2-24x+37\]
Gesucht ist die Funktion $f_2$, die aus $f_1$ dadurch entstanden ist, dass man
die Parabel von $f_1$ um $180^\circ$ um deren Scheitelpunkt $S$ gedreht hat,
wie nebenstehend dargestellt.

\paragraph{Lösung:}
Zunächst wird der Scheitelpunkt von $f_1$ mit Hilfe der Scheitelpunktformel
bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&-\cfrac{b}{2a}\\
&=&-\cfrac{-24}{2 \cdot 4}\\
x_S&=&3 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f_1(x_S)\\
&=&4x_S^2-24x_S+37 \\
&=&4 \cdot 3^2-24 \cdot 3+37 \\
&=&36-72+37 \\
y_S&=&1 \\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{white}{$S(3|1)$}\end{center}

Durch die Drehung der Parabel um $180^\circ$ wird der Formfaktor \mbox{$a_1=4$}
von $f_1$ im Vorzeichen umgekehrt.
\[\begin{array}{rcll}
a_2&=&-a_1 \\
a_2&=&-4 \\
\end{array}\]
Mit diesen Daten kann die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform
aufgestellt werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-4 \cdot (x-3)^2+1$}\end{center}

Wer mag, kann das noch in die Normalform umwandeln, auch wenn das hier nicht
verlangt ist:
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&-4 \cdot (x-3)^2+1 \\
&=&-4 \cdot (x^2-6x+9)+1 \\
f_2(x)&=&-4x^4+24x-35 \\
\end{array}\]

\subsection{Aufgabe 35:}

Bestimmen Sie die Normalform der Funktionsgleichung der Quadratischen Funktion
f(x) mit dem Formfaktor $a=1$, die den Scheitelpunkt $S(4|-7)$ hat!

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
&=&1 \cdot (x-4)^2+(-7) \\
&=&(x-4)^2-7 \\
&=&x^2-8x+16-7 \\
f(x)&=&x^2-8x+9 \\
\end{array}\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2-8x+9$}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 36:}
Gegeben ist die Funktion $f_1(x)=2x^2-4x+3$. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung der Funktion $f_2(x)$, deren Graph gegenüber dem von $f_1$
um 3 Einheiten nach \textbf{rechts} und 2 Einheiten nach \textbf{unten}
verschoben ist.

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f_2(x)&=&f_1(x-x_v)+y_v \\
&=&f_1(x-3)-2 \\
&=&2 \cdot (x-3)^2-4 \cdot (x-3)+3-2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)-4x+12+3-2 \\
&=&2x^2-12x+18-4x+12+3-2 \\
f_2(x)&=&2x^2-16x+31 \\
\end{array}\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=2x^2-16x+31$}

%---------------------------------------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 37:}
Der Graph der Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt $S(4|1)$. Er schneidet die
$y$-Achse bei $y_0=7$. Bestimmen Sie die Normalform der zugehörigen
Funktionsgleichung!

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&a \cdot (x-x_S)^2+y_S \\
f(x)&=&a \cdot (x-4)^2+1 \\
f(0)&=&-7 \\
a \cdot (0-4)^2+1&=&-7 \\
a \cdot 16+1&=&-7 &|-1 \\
16a&=&-8 &|:16 \\
a&=&-\cfrac{1}{2}\\
f(x)&=&-\cfrac{1}{2} \cdot (x-4)^2+1 \\
&=&-\cfrac{1}{2} \cdot (x^2-8x+16)+1 \\
&=&-\cfrac{1}{2}x^2+4x-8+1 \\
f(x)&=&-\cfrac{1}{2}x^2+4x-7 \\
\end{array}\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\cfrac{1}{2}x^2+4x-7$}

%---------------------------------------------------------------------
\newpage
\subsection{Aufgabe 38:}
Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=3x^2-12x+15\]
Bestimmen Sie die Nullstellen und den Wertebereich!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Nullstellenbestimmung}
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
3x_0^2-12x_0+15&=&0 &|:3 \\
x_0^2-4x_0+5&=&0 \\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{2^2-5}\\
x_{01/2}&=&2 \pm \sqrt{-1}\\
\end{array}\]

Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}
{Es gibt \textbf{keine} (reellen) Nullstellen, da der Wurzelinhalt negativ
ist.}

\subparagraph{Wertebereich}
Für den Wertebereich benötigen wir den $y$-Wert des Scheitelpunktes.
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&\cfrac{-b}{2a}\\
&=&\cfrac{-(-12)}{2 \cdot 3}\\
&=&\cfrac{12}{6}\\
x_S&=&2 \\
\end{array}\]
\underline{Anmerkung:}
Diesen Wert hätte man auch aus der Nullstellenbestimmung als Zahlenwert vor der
Wurzel herauslesen können.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&3x_S^2-12x_S+15 \\
&=&3 \cdot 2^2-12 \cdot 2+15 \\
y_S&=&3 \\
\end{array}\]

Mit $a>0$ sind alle $y$-Werte \textbf{oberhalb} von $y_S$ im Wertebereich.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$W=\{ y|y \geq 3 \}$}\end{center}
%---------------------------------------------------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 39:}
Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
\[f(x)=-16x^2-16x+5\]
Bestimmen Sie die Nullstellen, den Scheitelpunkt und den Wertebereich!

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Nullstellenbestimmung}
\[\begin{array}{rcll}
f(x_0)&=&0 \\
-16x_0^2-16x_0+5&=&0 &|:(-16) \\
x_0^2+x_0-\cfrac{5}{16}&=&0 \\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{5}{16}}\\
&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{16}}\\
x_{01/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{3}{4}\\
x_{01}=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{3}{4}=\cfrac{1}{4}
  && x_{02}=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{5}{4}\\
\end{array}\]

Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{01}=\frac{1}{4} \quad x_{02}=-\frac{5}{4}$}

\subparagraph{Scheitelpunkt:}
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&\cfrac{-b}{2a}\\
&=&\cfrac{-(-16)}{2 \cdot (-16)}\\
&=&\cfrac{16}{-32}\\
x_S&=&-\cfrac{1}{2} \\
\end{array}\]
\underline{Anmerkung:}
Diesen Wert hätte man auch aus der Nullstellenbestimmung als Zahlenwert vor der
Wurzel herauslesen können.

\[\begin{array}{rcll}
y_S&=&f(x_S) \\
&=&-16x_S^2-16x_S+5 \\
&=&-16 \cdot \left(-\cfrac{1}{2}\right)^2-16 \cdot \left(-\cfrac{1}{2}\right)+5 \\
y_S&=&9 \\
\end{array}\]

Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S \left( -\frac{1}{2}|9 \right)$}

\subparagraph{Wertebereich:}
Mit $a<0$ sind alle $y$-Werte \textbf{unterhalb} von $y_S$ im Wertebereich.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$W=\{ y|y \in \mathbb{R} \wedge y \leq 9 \}$}\end{center}
%---------------------------------------------------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 40:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=4x^2-9x+1$ und der
Geraden mit $f_2(x)=3x+17$.
\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
4x_S^2-9x_S+1&=&3x_S+17 &|-3x_S-17 \\
4x_S^2-12x_S-16 &=&0 &|:4 \\
x_S^2-3x_S-4&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{S1/2}&=&\cfrac{3}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9}{4}+\cfrac{16}{4}}\\
&=&\cfrac{3}{2}\pm \cfrac{5}{2}\\
x_{S1}=\cfrac{3}{2}+\cfrac{5}{2}=2 && x_{S2}=\cfrac{3}{2}-\cfrac{5}{2}=-1 \\
y_{S1}&=&f_2(x_{S1}) \\
&=&3 \cdot 2+17 \\
y_{S1}&=&23 \\
y_{S2}&=&f_2(x_{S1}) \\
&=&3 \cdot (-1)+17 \\
y_{S2}&=&14 \\
\end{array}\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(2|23)$} \qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2(-1|14)$}

%---------------------------------------------------------------------
%\newpage
\subsection{Aufgabe 41:}
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit $f_1(x)=9x^2+12x-4$ und der
Geraden mit $f_2(x)=9x-3$.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
10x_S^2+12x_S-4&=&9x_S-3 &|-9x_S+3 \\
10x_S^2+3x_S-1&=&0 &|:10 \\
x_S^2+0{,}3x_S-0{,}1&=&0 \\
x_{S1/2}&=&-0{,}15 \pm \sqrt{0{,}15^2+0{,}1}\\
&=&-0{,}15 \pm 0{,}35 \\
x_{S1}=-0{,}15+0{,}35=0{,}2 &&
x_{S2}=-0{,}15-0{,}35=-0{,}5\\
y_{S1}&=&f_2(x_{S1}) \\
&=&9 \cdot 0{,}2-3 \\
y_{S1}&=&-1{,}2 \\
y_{S2}&=&f_2(x_{S2}) \\
&=&9 \cdot (-0{,}5)-3 \\
y_{S1}&=&-7{,}5 \\
\end{array}\]
Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_1(0{,}2|-1{,}2)$} \qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$S_2(-0{,}5|-7{,}5)$}
%---------------------------------------------------------------------
\newpage

\subsection{Aufgabe 42:}
Berechnen Sie den Scheitelpunkt und bestimmen Sie die Umkehrfunktion
$f^{-1}(x)$ der Funktion $f(x)=-2x^2+5x-3$. Welchen \textbf{Definitionsbereich}
hat die Umkehrfunktion?

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
x_S&=&\cfrac{-b}{2a}\\
&=&\cfrac{-5}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\cfrac{-5}{-4}\\
x_S&=&\cfrac{5}{4}\\
y_S&=&f(x_S) \\
&=&-2x_S^2+5x_S-3 \\
&=&-2 \cdot \left( \cfrac{5}{4}\right)^2+5 \cdot \cfrac{5}{4}-3 \\
&=&-\cfrac{25}{8}+\cfrac{50}{8}-\cfrac{24}{8}\\
y_S&=&\cfrac{1}{8}\\
\end{array}\]
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$S \left( \frac{5}{4}|\frac{1}{8}\right)$}
\end{center}

Zur Bestimmung der Umkehrfunktion werden die Rollen von $x$ und $y$ getauscht.
\[\begin{array}{rcll}
x&=&-2y^2+5y-3 &|+2y^2-5y+3 \\
2y^2-5y+3+x&=&0 &|:2 \\
y^2-\cfrac{5}{2}y+\cfrac{3}{2}+\cfrac{x}{2}&=&0 \\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{4}\pm \sqrt{\cfrac{25}{16}-\cfrac{3}{2}-\cfrac{x}{2}}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{4}\pm \sqrt{\cfrac{25}{16}-\cfrac{24}{16}-\cfrac{8x}{16}}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{4}\pm \cfrac{\sqrt{1-8x}}{4}\\
f_{1/2}^{-1}(x)&=&\cfrac{5}{4}\pm \cfrac{\sqrt{1-8x}}{4}\\
\end{array}\]
Da eine Quadratische Funktion nicht umkehrbar ist, gibt es \textbf{zwei}
Umkehrfunktionen. Eine stellt den oberen, die andere den unteren Parabelast
dar.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1^{-1}(x)=\frac{5}{4}+\frac{\sqrt{1-8x}}{4}$} \qquad
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2^{-1}(x)=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{1-8x}}{4}$}
\end{center}

\newpage
Einschränkend für den Definitionsbereich der beiden Umkehrfunktionen ist die
Wurzel. Der Radikand (der Wurzelinhalt) darf nicht \textbf{negativ} werden.\\

Mit diesem kann der Definitionsbereich bestimmt werden. Bei der Berechnung ist
darauf zu achten, dass bei der Division durch eine \textbf{negative} Zahl sich
das Ungleichheitszeichen umdreht.\footnote{Einzelheiten dazu siehe hier:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}\fi}

\[\begin{array}{rcll}
1-8x &\geq&0 &|-1 \\
-8x&\geq&-1 &|:(-8) \\
x&\leq&\cfrac{1}{8}\\
\end{array}\]
Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}
{$D=\left\{x|x \in \mathbb{R} \wedge x \leq \frac{1}{8} \right\}$}

%---------------------------------------------------------------------
%\newpage
\subsection{Aufgabe 43:}
Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Parabeln mit:
\[f_1(x)=4x^2+3x-8 \quad \textnormal{ und }\quad f_2(x)=7x^2+9x+17\]

\paragraph{Lösung:}
Zur Schnittpunktbestimmung werden die beiden Funktionsterme gleichgesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_S)&=&f_2(x_S) \\
4x_S^2+3x_S-8&=&7x_S^2+9x_S+17 &|-7x_S^2-9x_S-17 \\
-3x_S^2-6x_S-25&=&0 &|:(-3) \\
x_S^2+2x_S+\cfrac{25}{3}&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{S1/3}&=&-1 \pm \sqrt{1^2-\cfrac{25}{3}}\\
x_{S1/3}&=&-1 \pm \sqrt{-\cfrac{22}{3}} \\
\end{array}\]
Ergebnis: \fcolorbox{red}{yellow}
{Da der Radikand \textbf{negativ} ist, gibt es \textbf{keine Schnittpunkte}.}
%---------------------------------------------------------------------
\newpage
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 44:}
Bestimmen Sie die Quadratische Funktion $f(x)$, deren Funktionsgraph durch
diese drei Punkte verläuft:
\[P_1(-1|8) \quad P_2(2|-1) \quad P_3(4|3)\]

\paragraph{Lösung:} Grundlage zur Lösung ist die allgemeine Normalform der
Quadratischen Funktion.
\[y=f(x)=ax^2+bx+c\]
Um die Parameter $a$, $b$ und $c$ zu bestimmen, werden die Koordinaten der drei
Punkte in die Funktionsgleichung eingesetzt.
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(-1)&=&8 &\Rightarrow& a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c&=&8 \\
(2)&f(2)&=&-1 &\Rightarrow& a \cdot 2^2+b \cdot 2+c&=&-1 \\
(3)&f(4)&=&3 &\Rightarrow& a \cdot 4^2+b \cdot 4+c&=&3 \\
\end{array}\]
Wir haben ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung\footnote{Einzelheiten zum
Lösen von Lineargleichungssystemen siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
erhalten. Vereinfacht man es noch ein wenig, erhalten wir diese Form:
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)& a &-b &+c&=&8 \\
(2)&4a&+2b &+c&=&-1 \\
(3)&16a&+4b&+c&=&3 \\
\hline
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.
Willkürlich verwende ich die Cramersche Regel.\footnote{Einzelheiten zur
Cramerschen Regel siehe hier:\\
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
%{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi}

\[\begin{array}{rcll}
a&=&\cfrac{\begin{array}{|rrr|}
8 & -1 & 1 \\
-1&  2 & 1 \\
3&  4 & 1 \\
\end{array}
\textcolor{green}{\begin{array}{rr}
8 &-1 \\
-1&2 \\
3& 4 \\
\end{array}}
}{\begin{array}{|rrr|}
1 &-1 & 1 \\
4 & 2 & 1 \\
16& 4 & 1 \\
\end{array}
\textcolor{green}{\begin{array}{rr}
1 &-1 \\
4&2 \\
16& 4 \\
\end{array}}
}\\
&=&\cfrac{16-3-4-6-32-1}{2-16+16-32-4+4}\\
&=&\cfrac{-30}{-30}\\
a&=&1 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b&=&\cfrac{\begin{array}{|rrr|}
1 & 8 & 1 \\
4& -1 & 1 \\
16& 3 & 1 \\
\end{array}
\textcolor{green}{\begin{array}{rr}
1& 8 \\
4&-1 \\
16&3 \\
\end{array}}}
{-30}\\
&=&\cfrac{-1+128+12+16-3-32}{-30}\\
&=&\cfrac{120}{-30}\\
b&=&-4 \\
\end{array}\]

Die Ergebnisse werden in (1) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcll}
a-b+c&=&8 \\
1-(-4)+c&=&8 &|-5 \\
c&=&3 \\
\end{array}\]
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^2-4x+3$}

\newpage
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 45:}
Gegeben ist die Parabel mit der Funktionsgleichung $f_1(x)=x^2-4x+4$. Bestimmen
Sie die Funktionsgleichung der Linearen Funktion $f_2(x)$, deren Funktionsgraph
die Parabel als Tangente bei $x_B=4$ berührt!

\paragraph{Lösung:}
Die Geradengleichung lautet:
\[f_2(x)=mx+b\]
Die Lösungsidee ist folgende: Eine Gerade \textbf{berührt} die Parabel genau
dann, wenn es nur \textbf{einen einzigen} gemeinsamen Punkt gibt, nämlich den
Berührpunkt und nicht \textbf{zwei Schnittpunkte}.\\

Wir können den Ansatz wie zur Schnittpunktberechnung machen. Der $x$-Wert des
Schnittpunktes heißt dann $x_B$.
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x_B)&=&f_2(x_B) \\
x_B^2-4x_B+4&=&m \cdot x_B+b &|-m \cdot x_B-b \\
x_B^2-4x_B-m \cdot x_B+4-b&=&0 \\
x_B^2-(4+m) \cdot x_B+4-b&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{B1/2}&=&\cfrac{4+m}{2}\pm \sqrt{ \left( \cfrac{4+m}{2}\right)^2-4+b}\\
\end{array}\]
Wie bereits erwähnt, gibt es nur \textbf{nur einen} gemeinsamen Punkt, wenn die
Gerade die Parabel nicht \textbf{schneidet}, sondern nur \textbf{berührt}. Das
ist nur erfüllt, wenn die Wurzel Null ergibt. Übrig bleibt dann:
\[x_B=\cfrac{4+m}{2}\]
Da wir schon $x_B=4$ kennen, können wir daraus $m$ berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
x_B&=&\cfrac{4+m}{2}\\
4&=&\cfrac{4+m}{2} &| \cdot 2 \\
8&=&4+m &|-4 \\
4&=&m \\
\end{array}\]

Wir wissen, dass der Radikand Null sein muss. Daraus ergibt sich eine
Gleichung, mit deren Hilfe wir $b$ berechnen können.
\[\begin{array}{rcll}
\left( \cfrac{4+m}{2}\right)^2-4+b&=&0 \\
\left( \cfrac{4+4}{2}\right)^2-4+b&=&0 \\
16-4+b&=&0 \\
12+b&=&0 &|-12 \\
b&=&-12 \\
\end{array}\]

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet damit:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=4x-12$}

%\newpage
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 46:}
Der Funktionsgraph der Quadratischen Funktion $f(x)$ hat den Scheitelpunkt
$S(3|2)$ und verläuft durch den Punkt $P(5|10)$. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung $f(x)$!

\paragraph{Lösung:}
Zum Ansatz bietet sich die \textbf{Scheitelpunktform} an. Hier können die
Koordinaten des Scheitelpunktes eingesetzt werden.
\[ f(x)=a \cdot (x-x_S)^2+y_S=a \cdot (x-3)^2+2 \]
Da wir außerdem noch den Punkt $P(5|10)$ kennen, können wir seine Koordinaten
für $x$ und $y$ einsetzen.
\[\begin{array}{rcll}
f(x_P)&=&y_P \\
a \cdot (x_P-3)^2+2&=&y_P \\
a \cdot (5-3)^2+2&=&10 \\
4a+2&=&10 &|-2 \\
4a&=&8 &|:4 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

Damit können wir die Funktionsgleichung angeben:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2 \cdot (x-3)^2+2$}\\

Wer mag, kann die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform noch in die
Normalform umwandeln.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&2 \cdot (x-3)^2+2 \\
&=&2 \cdot (x^2-6x+9)+2 \\
&=&2x^2-12x+18+2 \\
f(x)&=&2x^2-12x+20 \\
\end{array}\]


\end{document}

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%\caption{Bildunterschrift}
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