\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Quadratische Gleichungen}
\author{Wolfgang Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!

\newpage
\section{Lösungsverfahren}
Zunächst muss diese Frage geklärt werden:
\begin{quote}
\emph{\textbf{Was ist eine Quadratische Gleichung?}}
\end{quote}

Unter einer \textbf{Quadratischen Gleichung} versteht man eine Gleichung
in der Form eines \emph{Polynomes 2. Grades}\footnote{Einzelheiten zu Polynomen
siehe hier: \ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}.
Allgemein hat sie diese Form:
\[ax^2+bx+c=0\]

Dabei stellt $x$ die zu bestimmende Variable dar, $a$, $b$ und $c$ sind
sogenannte \emph{Parameter}, also Zahlen, die man zwar zunächst nicht kennen
muss, die aber feste Werte für eine konkrete Gleichung darstellen. Ein
Beispiel:
\[2x^2-8x-10=0\]
In diesem Beispiel ist \mbox{$a=1$}, \mbox{$b=-4$} und \mbox{$c=-5$}.

\subsection{Lösung mit Quadratischer Ergänzung}
Gegeben sei diese Quadratische Gleichung:
\[2x^2-8x-10=0\]

Als erstes wird man die Gleichung so umformen wollen, dass vor dem $x^2$ keine
Zahl mehr steht (also sozusagen eine unsichtbare 1):
\[\begin{array}{rcll}
2x^2-8x-10&=&0 &|:2 \\
x^2-4x-5&=&0 \\
\end{array}\]

Zur weiteren Lösung kann man versuchen, eine geeignete \emph{Binomische
Formel}\footnote{Einzelheiten zu Binomischen Formeln siehe hier:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/binom.pdf}\fi} dort
"`einzubauen"'. Dazu schauen wir uns zunächst die ersten beiden Summanden
\[x^2-4x\]
genau an. Sie könnten die ersten beiden Summanden aus der Auflösung mit der
zweiten Binomischen Formel darstellen. Diese sieht ja bekanntlich so aus:
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Dann entspricht das $a^2$ in der Binomischen Formel dem $x^2$ und das $-2ab$
dem $-4x$ in der Quadratischen Gleichung. Was würde dann dem $b^2$
entsprechen?\\

Zusammengefasst könnte man das so schreiben:
\[ \underbrace{a^2}_{x^2}-\underbrace{2ab}_{4x}+\underbrace{b^2}_{?}=(a-b)^2\]

Wir können $a$ und $b$ ausrechnen:
\[\begin{array}{rcll}
a^2&=&x^2 &|\sqrt{\ }\\
a&=&x \\
\end{array}\]

Im Folgenden können wir dann das $a$ durch das $x$ ersetzen und damit $b$
ausrechnen:
\[\begin{array}{rcll}
2ab&=&4x &| x \textnormal{ durch }a \textnormal{ ersetzen}\\
2xb&=&4x &|:(2x) \\
b&=&2 \\
\end{array}\]

Jetzt sind \mbox{$a=x$} und \mbox{$b=2$} bekannt. Es wäre nun wunderschön, wenn
der dritte Term aus der Quadratischen Gleichung (die $-5$) dem dritten Term aus
der Binomischen Formel (dem $b^2$) entsprechen würde. Dann könnte man nämlich
die drei Terme in der Quadratischen Gleichung so umschreiben:
\[x^2-4x-5=(x-2)^2 \quad \textnormal{\textbf{ACHTUNG! FALSCH!}}\]

In aller Regel ist das leider nicht der Fall, auch hier nicht. Man kann
nachrechnen:
\[b^2=2^2=4 \not= -5\]

Wenn anstelle der $-5$ dort eine $+4$ stehen würde, könnte man so umformen.
Deswegen wendet man einen Trick an. Man addiert die gewünschte 4 und
subtrahiert sie sofort wieder. Das sieht dann so aus:
\[\begin{array}{rcll}
x^2-4x-5&=&0 \\
x^2-4x+4-4-5&=&0 \\
\end{array}\]

Das hat auf den ersten Blick überhaupt nichts gebracht. Tatsächlich kann man
aber die ersten drei Terme wie folgt zusammenfassen:

\[\begin{array}{rcll}
x^2-4x+4-4-5&=&0 \\
(x^2-4x+4)-4-5&=&0 \\
(x-2)^2-4-5&=&0 \\
(x-2)^2-9&=&0 \\
\end{array}\]

In dieser Form lässt sich die Gleichung nun einfach lösen.
\[\begin{array}{rcll}
(x-2)^2-9&=&0 &|+9 \\
(x-2)^2&=&9 &|\sqrt{\ } \\
x-2&=&\pm 3 \\
\end{array}\]

Beim Wurzelziehen muss man hier aufpassen. Da sowohl eine \textbf{positive} als
auch eine \textbf{negative} Zahl im Quadrat eine \textbf{positive} Zahl ergibt,
muss man hier beim Aufheben des Quadrates durch die Wurzel auch das
\textbf{negative} Ergebnis mitberücksichtigen. Wir erhalten daher \textbf{zwei}
Lösungen!

\[\begin{array}{rclcrcll}
x_1-2&=&3 &\textnormal{oder}& x_2-2&=&-3 &|+2 \\
x_1&=&5   &\textnormal{oder}& x_2&=&-1 \\
\end{array}\]
Als Lösungsmenge geschrieben: \mbox{$L=\{-1;5\}$}\\

\paragraph{Zusammenfassung des Lösungsweges:}
\begin{itemize}
\item Man wandelt zunächst die gegebene Quadratische Gleichung so um, dass auf
  einer Seite der Gleichung eine Null steht.
\item Falls vor dem Term $x^2$ noch ein Koeffizient (eine Zahl) steht,
  dividiert man durch diese Zahl, damit das $x^2$ alleine steht.
\item Mann bildet die \textbf{Quadratische Ergänzung}. Das ist
\textbf{\emph{die Hälfte von dem Koeffizienten (der Vorzahl) von x zum
  Quadrat}}. Diese Quadratische Ergänzung addiert man und subtrahiert sie
  sofort wieder.
\item Man wandelt die beiden Summanden, die $x$ enthalten zusammen mit der
  addierten Quadratischen Ergänzung gemäß der ersten oder zweiten Binomischen
  Formel in eine Summe um, die quadriert wird.
\end{itemize}

Das Ganze möchte ich noch einmal am Stück an einem Beispiel zeigen.
\[\begin{array}{rcll}
3x^2+12x+9&=&0 &|:3 \\
x^2+4x+3&=&0 &| \textnormal{ Quadratische Ergänzung addieren/subtrahieren}\\
\underbrace{x^2+4x \textcolor{red}{+2^2}}_{\textnormal{\footnotesize Quadr. Term}}
   \textcolor{green}{-2^2}+3&=&0 \\
(x+2)^2-4+3&=&0 \\
(x+2)^2-1&=&0 &|+1 \\
(x+2)^2&=&1 &|\sqrt{\ }\\
x_{1/2}+2&=&\pm 1 &|-2 \\
x_{1/2}&=&-2 \pm 1 \\
x_1=-1 &\vee& x_2=-3 \\
L&=&\{-1;-3\} \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Lösung mit Formel}
Führt man diese Lösungsmethode ein einziges mal an der allgemeinen Form der
Gleichung
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$x^2+px+q=0$}
\end{center}
durch, dann erhält man
die Standardmethode für das Lösen von Quadratischen Gleichungen mit der
\emph{Lösungsformel}, die auch als \textbf{p-q-Formel} bekannt ist.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{1/2}=-\cfrac{p}{2} \pm
 \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}$}
\end{center}
Man sieht an der Formel, dass es meist zwei Lösungen gibt, nämlich $x_1$ und
$x_2$.
Die Werte für $p$ und $q$ entnimmt man der gegebenen Gleichung, die allerdings
gegebenenfalls zuvor in die Normalform gebracht wurde. \\
\subsubsection{Beispiel 1: }
Gesucht ist die Lösungsmenge nachfolgender Gleichung. \\
\[x^2+4x+3=0\]
Wir vergleichen mit der Normalform, um die Werte für $p$ und $q$ zu bestimmen.
$p$ ist die Zahl, die vor dem $x$ steht, also die 4. $q$ ist die Zahl, die ohne
$x$ allein steht, also die 3. Wir halten fest:
\[p=4 \qquad q=3\]
Diese Werte setzen wir in die p-q-Formel ein und erhalten:
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&-\cfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{4}{2}\right)^2-3}\\
&=&-2 \pm \sqrt{4-3} \\
&=&-2 \pm 1 \\
x_1&=&-2+1=-1 \\
x_2&=&-2-1=-3 \\
L&=&\{-1;-3\}
\end{array}\]
War das noch einfach? Es folgt auf der nächsten Seite ein anderes Beispiel.
\newpage
\subsubsection{Beispiel 2: }
Die zu lösende Gleichung lautet:
\[x^2-6x+5=0\]
Wir suchen zunächst wieder $p$ und $q$. Aber aufgepasst: Es heißt $-6x$, in der
Normalform steht aber $+px$, wir haben also unterschiedliche Vorzeichen!
Demnach gehört das Minuszeichen bei $-6x$ \textbf{als fester Bestandteil zum
\emph{p}!} Schreiben wir es ganz deutlich:
\[p=-6 \qquad q=+5\]
Damit können wir die Werte in die Formel einsetzen und lösen:
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&-\cfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-6}{2}\right)^2-5}\\
&=&-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-5}\\
&=&3 \pm \sqrt{9-5}\\
&=&3 \pm \sqrt{4}\\
&=&3 \pm 2\\
x_1&=&3+2=5 \\
x_2&=&3-2=1 \\
L&=&\{1;5\}
\end{array}\]

Beide Werte, sowohl $p$ als auch $q$ können negativ sein. Auch dazu ein
Beispiel:
\[x^2-4x-5=0\]
Die Werte für  $p$ und $q$ lauten:
\[p=-4 \qquad q=-5\]
Wir setzen die Werte in die Lösungsformel ein und bestimmen die Lösung:
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&-\cfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2}\right)^2-(-5)}\\
&=&-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2+5}\\
&=&2 \pm \sqrt{4+5}\\
&=&2 \pm \sqrt{9}\\
&=&2 \pm 3 \\
x_1&=&2+3=5 \\
x_2&=&2-3=-1 \\
L&=&\{-1;5\}
\end{array}\]
\newpage
Wenn die Quadratische Gleichung nicht in der Normalform angegeben ist, dann
muss man sie zuerst umformen.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
  {Nur in der Normalform lässt sich die p-q-Formel anwenden!}
\end{center}
\subsubsection{Beispiel 3: }
\[2x^2-20x=-42\]
Aus mehreren Gründen ist die Gleichung noch nicht in der Normalform:
\begin{itemize}
\item Es stehen nicht alle Terme auf der gleichen Seite des Gleichheitszeichens.
\item Vor dem $x^2$ steht noch eine Zahl, hier eine 2.
\end{itemize}
Also formen wir erst um, bevor die Lösungsformel angewendet wird.
\[\begin{array}{rcll}
2x^2-20x&=&-42 \quad &|+42 \\
2x^2-20x+42&=&0 \quad &| :2 \\
x^2-10x+21&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel: }
  p=-10 \textnormal{, } q=21 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{-10}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-10}{2}\right)^2-21} \\
&=&5 \pm \sqrt{(-5)^2-21} \\
&=&5 \pm \sqrt{25-21} \\
&=&5 \pm \sqrt{4} \\
&=&5 \pm 2 \\
x_1&=&5+2=7 \\
x_2&=&5-2=3 \\
L&=&\{3;7\}
\end{array}\]
\subsubsection{Beispiel 4: }
\[x^2-4x=0\]
In diesem Beispiel scheint $q$ zu fehlen. Das bedeutet ganz einfach, dass $q=0$
ist. Damit können wir die Lösung bilden. Es ist $p=-4$.
\[\begin{array}{rcll}
x_{1/2}&=&-\cfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-4}{2}\right)^2-0} \\
&=&2 \pm \sqrt{(-2)^2} \\
&=&2 \pm 2 \\
x_1&=&2+2=4 \\
x_2&=&2-2=0 \\
L&=&\{0;4\}
\end{array}\]
\newpage
Wenn während der Lösung keine ganzen Zahlen bestehen bleiben, dann ist es
zweckmäßig, mit Brüchen und nicht mit Dezimalzahlen weiter zu rechnen. Auch
hierzu folgen Beispiele.
\subsubsection{Beispiel 5: }
\[\begin{array}{rcll}
x^2-7x+10&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{-7}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-7}{2}\right)^2-10} \\
&=&\cfrac{7}{2} \pm \sqrt{\cfrac{49}{4}-10} \\
&=&\cfrac{7}{2} \pm \sqrt{\cfrac{49}{4}-\cfrac{40}{4}} \\
&=&\cfrac{7}{2} \pm \sqrt{\cfrac{49-40}{4}} \\
&=&\cfrac{7}{2} \pm \sqrt{\cfrac{9}{4}} \\
&=&\cfrac{7}{2} \pm \cfrac{3}{2} \\
x_1&=&\cfrac{7+3}{2}=\cfrac{10}{2}=5 \\
x_2&=&\cfrac{7-3}{2}=\cfrac{4}{2}=2 \\
L&=&\{2;5\}
\end{array}\]
\newpage
\subsubsection{Beispiel 6: }
\[\begin{array}{rcll}
3x^2-8x-3&=&0 \quad &| :3 \textnormal{ (wg. Normalform)}\\
x^2-\cfrac{8}{3}x-1&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{-\cfrac{8}{3}}{2} \pm \sqrt{\left( \cfrac{-\cfrac{8}{3}}{2}\right)^2-(-1)} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \sqrt{\left(-\cfrac{4}{3}\right)^2+1} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \sqrt{\cfrac{16}{9}+\cfrac{9}{9}} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \sqrt{\cfrac{25}{9}} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \cfrac{5}{3} \\
x_1&=& \cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3}=\cfrac{9}{3}=3 \\
x_2&=& \cfrac{4}{3}-\cfrac{5}{3}=\cfrac{-1}{3}=-\cfrac{1}{3} \\
L&=&\left\{-\cfrac{1}{3};3\right\}
\end{array}\]
Es ist nicht unbedingt zweckmäßig, unnötig viele Schritte aufzuschreiben. Das
ist letztlich unnötige Arbeit. Sinnvoll und auch gut machbar sind folgende
Zusammenfassungen.
\begin{itemize}
\item Man kann das Ergebnis für $-\frac{p}{2}$ sofort ausrechnen, bevor man es
 hinschreibt.
\item Da man das Ergebnis für $\frac{p}{2}$ vor der Wurzel schon schon
  ausgerechnet hat, kann man auch unter der Wurzel das Ergebnis für
  $(\frac{p}{2})^2$ sofort ausrechnen. Dabei darf man sogar ein eventuell
  vorhandenes Minuszeichen unter den Tisch fallen lassen, weil es beim
  Quadrieren ja sowieso wegfallen würde.
\item Hat man für das Ergebnis von $(\frac{p}{2})^2$ einen Bruch erhalten, dann
  kann man $q$ unter der Wurzel gleich beim ersten Hinschreiben schon in einen
  Bruch verwandeln und auf den gleichen Nenner bringen.
\end{itemize}
\newpage
Mit diesen Zusammenfassungen sähe die Lösung des vorangegangenen Beispiels so
aus:
\subsubsection{Beispiel 6: }
\[\begin{array}{rcll}
3x^2-8x-3&=&0 \quad &| :3 \textnormal{ (wg. Normalform)}\\
x^2-\cfrac{8}{3}x-1&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=& \cfrac{4}{3} \pm \sqrt{\cfrac{16}{9}+\cfrac{9}{9}} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \sqrt{\cfrac{25}{9}} \\
&=& \cfrac{4}{3} \pm \cfrac{5}{3} \\
x_1&=& \cfrac{4}{3}+\cfrac{5}{3}=\cfrac{9}{3}=3 \\
x_2&=& \cfrac{4}{3}-\cfrac{5}{3}=\cfrac{-1}{3}=-\cfrac{1}{3} \\
L&=&\left\{-\cfrac{1}{3};3\right\}
\end{array}\]
Hierdurch erspart man sich doch eine Menge Schreibarbeit, ohne dass die Lösung
dadurch schwieriger wird. \\ \\
Die häufigsten Fehler, die beim Lösen von Quadratischen Gleichungen gemacht
werden, sind folgende:
\begin{enumerate}
\item Die Gleichung wurde vor dem Anwenden der Lösungsformel nicht in die
  Normalform gebracht.
\item Wenn $p$ und/oder $q$ negativ sind, werden beim Einsetzen die
  Minuszeichen vergessen.
\item Beim Anwenden der Formel wird das Minuszeichen ganz vorn bei
  $-\frac{p}{2}$ oder unter der Wurzel bei $-q$ vergessen.
\end{enumerate}
Daher empfehle ich, diese Fehlermöglichkeiten ins Regelheft zu schreiben und
nach erfolgter Lösung den Rechenweg daraufhin zu überprüfen.
\newpage
Es kann vorkommen, dass der Wert unter der Wurzel 0 oder sogar negativ wird.
Dann gibt es nur eine oder gar keine Lösung. Auch dazu zwei Beispiele:
\subsubsection{Beispiel 7: }
\[\begin{array}{rcll}
2x^2-8x+8&=&0 \quad &| :2 \\
x^2-4x+4&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&2 \pm \sqrt {4-4} \\
&=&2 \pm \sqrt{0} \\
&=&2 \pm 0 \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{array}\]
Es gibt nur eine einzige Lösung, da $x_1=2+0$ und  $x_2=2-0$ beide $x=2$
ergeben.
\paragraph*{Beispiel 8: }
\[\begin{array}{rcll}
5x^2-10x&=&-10 \quad &|+10 \\
5x^2-10x+10&=&0 \quad &| :5 \\
x^2-2x+2&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt {1-2} \\
&=&2 \pm \sqrt{-1} \quad &| \textnormal{ keine reelle Lösung!} \\
L&=&\{\ \}
\end{array}\]
Da für die Wurzel keine (reelle) Lösung existiert, gibt es keine einzige
Lösung! Die Lösungsmenge ist die leere Menge.\\ \\ \\

\newpage
\subsection{Lösung mit dem Satz von Vieta}
Gehen wir zunächst einmal davon aus, dass eine Quadratische Gleichung in der
Form
\[x^2+px+q=0\]
die beiden Lösungen $x_1$ und $x_2$ hat. Dann gelten folgende Beziehungen
zwischen $p$, $q$, $x_1$ und $x_2$.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$x_1+x_2=-p \quad \textnormal{ und }\quad x_1 \cdot x_2=q$}\end{center}

Mit der Kenntnis dieser Zusammenhänge kann man bei relativ einfachen
Quadratischen Gleichungen durch "`scharfes Hinsehen"' auf die Lösung kommen.
Das klappt aber nur bei ganzzahligen Lösungen.
Ein Beispiel dazu:
\[x^2-8x+15=0\]
Man schaut zuerst auf $q$ und fragt sich, in welche Faktoren es zerlegt werden
kann. Hier sind es z. B. die 3 und die 5. (Alternativ auch $-3$ und $-5$ und
natürlich auch 1 und 15 bzw. $-1$ und $-15$.) Dann
schaut man, ob die Summe $-p$ ergibt. Wenn es passt, hat man schon die beiden
Lösungen. Hier wäre \mbox{$3+5=8=-p$}, also schon der Treffer mit den Lösungen
\mbox{$x_1=3$} und \mbox{$x_2=5$}.\\

Wenn $q$ \textbf{positiv} ist, haben beide Lösungen das gleiche Vorzeichen, ist
es \textbf{negativ}, sind die Vorzeichen verschieden. Auch hierzu ein Beispiel:
\[x^2-5x-14=0\]
Die Zahl \mbox{$14$} läst sich zerlegen in z. B. \mbox{$2 \cdot 7$}. Weil $q$
negativ ist, kommen als Lösungen hiermit also $+2$ und $-7$ oder $-2$ und $+7$
infrage. Addiert man die vermuteten Lösungen, so erhält man:
\[+2-7=-5\]
Das Ergebnis ist $p$, nicht $-p$. Also sind die vorzeichenmäßig
entgegengesetzten Werte \mbox{$x_1=-2$} und \mbox{$x_2=7$} die Lösungen.\\

Ein weiteres Beispiel:
\[2x^2+14x-16=0\]
Diese Gleichung liegt \textbf{nicht} in Normalform vor. Wir haben vor dem $x^2$
eine 2. Die Gleichung muss also erst durch 2 dividiert werden. Wer hinreichend
pfiffig ist, weiß hier auch schon ohne Hinschreiben, dass dann \mbox{$p=7$} und
\mbox{$q=-8$} ist. Teiler von 8 sind die Zahlen 1, 2, 4 und 8 sowie die
zugehörigen negativen Werte. Weil $q$ negativ ist, müssen $x_1$ und $x_2$
unterschiedliche Vorzeichen haben. Als Paarungen kommen damit zunächst in
Frage:
\[ \{1;-8 \}\quad \{-1;8 \}\quad \{2;-4 \}\quad \{-2;4 \}\]
Man muss also nur noch maximal 4 Additionen im Kopf durchführen, bis man zur
Lösungsmenge \mbox{$L=\{1;-8 \}$} kommt.\\

Es folgen Übungsaufgaben und nachfolgend die zugehörigen Lösungen. Hier wird
die Lösung mit dem Satz von Vieta nicht explizit dargestellt, ist aber vielfach
anwendbar.
\newpage

\section{Übungsaufgaben zu Quadratische Gleichungen}
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der nachfolgenden Quadratischen Gleichungen!
\subsection{Aufgabe 1} $x^2-6x+8=0$
\subsection{Aufgabe 2} $x^2+5x-6=0$
\subsection{Aufgabe 3} $x^2+7x+10=0$
\subsection{Aufgabe 4} $x^2-6x=0$
\subsection{Aufgabe 5} $x^2-x-6=0$
\subsection{Aufgabe 6} $x^2+10=11x$
\subsection{Aufgabe 7} $7x^2+42x+63=0$
\subsection{Aufgabe 8} $14x-x^2=24$
\subsection{Aufgabe 9} $-x^2+6x-13=0$
\subsection{Aufgabe 10} $x^2=-2x+8$
\subsection{Aufgabe 11} $12x^2-7x=-1$
\subsection{Aufgabe 12} $2x-x^2=15$
\subsection{Aufgabe 13} $16x^2+3=16x$
\subsection{Aufgabe 14} $9x^2=6x-1$
\subsection{Aufgabe 15} $2x-x^2=-15$
\subsection{Aufgabe 16} $(x-6) \cdot x=-5$
\subsection{Aufgabe 17} $\frac{1}{2}x^2+20-7x=0$
\subsection{Aufgabe 18} $x+4-\frac{5}{x}=0$
\subsection{Aufgabe 19} $(2x-6) \cdot (x+4)=0$
\subsection{Aufgabe 20} $(x+2)^2=9$
\subsection{Aufgabe 21} $\frac{20-2x}{3}+\frac{10}{x+3}=3$
\newpage

\section{Ergebnisse der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1} $L=\{2;4\}$
\subsection{Aufgabe 2} $L=\{-6;1\}$
\subsection{Aufgabe 3} $L=\{-5;-2\}$
\subsection{Aufgabe 4} $L=\{0;6\}$
\subsection{Aufgabe 5} $L=\{-2;3\}$
\subsection{Aufgabe 6} $L=\{1;10\}$
\subsection{Aufgabe 7} $L=\{-3\}$
\subsection{Aufgabe 8} $L=\{2;12\}$
\subsection{Aufgabe 9} $L=\{\ \}$
\subsection{Aufgabe 10} $L=\{-4;2\}$
\subsection{Aufgabe 11} $L=\{\frac{1}{4};\frac{1}{3}\}$
\subsection{Aufgabe 12} $L=\{\ \}$
\subsection{Aufgabe 13} $L=\{\frac{1}{4};\frac{3}{4}\}$
\subsection{Aufgabe 14} $L=\{\frac{1}{3}\}$
\subsection{Aufgabe 15} $L=\{-3;5\}$
\subsection{Aufgabe 16} $L=\{1;5\}$
\subsection{Aufgabe 17} $L=\{4;10\}$
\subsection{Aufgabe 18} $L=\{-5;1\}$
\subsection{Aufgabe 19} $L=\{-4;3\}$
\subsection{Aufgabe 20} $L=\{-5;1\}$
\subsection{Aufgabe 21} $L=\{-4{,}5 | 7\}$
\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben mit Lösungsweg}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
x^2-6x+8&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-8} \\
&=&3 \pm 1 \\
x_1&=&2 \\
x_2&=&4 \\
L&=&\{2;4\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
x^2+5x-6&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{5}{2} \pm \sqrt{\cfrac{25}{4}+\cfrac{24}{4}} \\
&=&-\cfrac{5}{2} \pm \cfrac{7}{2} \\
x_1&=&-\cfrac{5}{2}-\cfrac{7}{2}=-\cfrac{12}{2}=-6 \\
x_2&=&-\cfrac{5}{2}+\cfrac{7}{2}= \cfrac{2}{2}=1 \\
L&=&\{-6;1\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
x^2+7x+10&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{7}{2} \pm \sqrt{\cfrac{49}{4}-\cfrac{40}{4}} \\
&=&-\cfrac{7}{2} \pm \cfrac{3}{2} \\
x_1&=&-\cfrac{7}{2}+\cfrac{3}{2}=-\cfrac{4}{2}=-2 \\
x_2&=&-\cfrac{7}{2}-\cfrac{3}{2}=-\cfrac{10}{2}=-5 \\
L&=&\{-5;-2\}
\end{array}\]
\newpage %---------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
x^2-6x&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-0} \\
x_{1/2}&=&3 \pm 3 \\
x_1&=&3+3=6 \\
x_2&=&3-3=0 \\
L&=&\{0;6\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
x^2-x-6&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{24}{4}} \\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{5}{2} \\
x_1&=&\cfrac{1}{2}+\cfrac{5}{2}=\cfrac{6}{2}=3 \\
x_2&=&\cfrac{1}{2}-\cfrac{5}{2}=-\cfrac{4}{2}=-2 \\
L&=&\{-2;3\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rcll}
x^2+10&=&11x \quad &| -11x \\
x^2-11x+10&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{11}{2} \pm \sqrt{\cfrac{121}{4}-\cfrac{40}{4}} \\
&=&\cfrac{11}{2} \pm \sqrt{\cfrac{81}{4}} \\
&=&\cfrac{11}{2} \pm \cfrac{9}{2} \\
x_1&=&\cfrac{11}{2}+\cfrac{9}{2}=\cfrac{20}{2}=10 \\
x_2&=&\cfrac{11}{2}-\cfrac{9}{2}=\cfrac{2}{2}=1 \\
L&=&\{1;10\}
\end{array}\]
\newpage %------------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rcll}
7x^2+42x+63&=&0 \quad &| :7 \\
x^2+6x+9&=&0 \\
x_{1/2}&=&-3 \pm \sqrt{9-9} \\
x&=&-3 \\
L&=&\{-3\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rcll}
14x-x^2&=&24 \quad &|-24 \textnormal{ (und umsortieren)} \\
-x^2+14x-24&=&0 \quad &| \cdot (-1) \\
x^2-14x+24&=&0 \\
x_{1/2}&=&7 \pm \sqrt{49-24} \\
&=&7 \pm \sqrt{25} \\
&=&7 \pm 5 \\
x_1&=&7+5=12 \\
x_2&=&7-5=2 \\
L&=&\{2;12\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rcll}
-x^2+6x-13&=&0 \quad &| \cdot (-1) \\
x^2-6x+13&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-13} \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{-4} \quad &| \textnormal{ keine reelle Lösung!}\\
L&=&\{\ \}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rcll}
x^2&=&-2x+8 \quad &|+2x-8 \\
x^2+2x-8&=&0 \\
x_{1/2}&=&-1 \pm \sqrt{1+8} \\
&=&-1 \pm \sqrt{9} \\
&=&-1 \pm 3 \\
x_1&=&-1+3=2 \\
x_2&=&-1-3=-4 \\
L&=&\{-4;2\}
\end{array}\]
\newpage  %---------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11}
\[\begin{array}{rcll}
12x^2-7x&=&-1 \quad &| +1 \\
12x^2-7x+1&=&0 \quad &| :12 \\
x^2-\cfrac{7}{12}x+\cfrac{1}{12}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{7}{24} \pm \sqrt{\cfrac{49}{576}-\cfrac{48}{576}} \\
&=&\cfrac{7}{24} \pm \sqrt{\cfrac{1}{576}} \\
&=&\cfrac{7}{24} \pm \cfrac{1}{24} \\
x_1&=&\cfrac{7}{24}+\cfrac{1}{24}=\cfrac{8}{24}=\cfrac{1}{3} \\
x_2&=&\cfrac{7}{24}-\cfrac{1}{24}=\cfrac{6}{24}=\cfrac{1}{4} \\
L&=&\left\{\cfrac{1}{3};\cfrac{1}{4}\right\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 12}
\[\begin{array}{rcll}
2x-x^2&=&15 \quad &| -15 \textnormal{ (und umsortieren)} \\
-x^2+2x-15&=&0 \quad &| \cdot (-1) \\
x^2-2x+15&=&0 \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1-15} \\
&=&1 \pm \sqrt{-14} \quad &| \textnormal{ Wurzel nicht reell zu bestimmen!}\\
L&=&\{\ \}
\end{array}\]
\newpage  %-------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 13}
\[\begin{array}{rcll}
16x^2+3&=&16x \quad &| -16x \\
16x^2-16x+3&=&0 \quad &| :16 \\
x^2-x+\cfrac{3}{16}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}-\cfrac{3}{16}} \\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{4}{16}-\cfrac{3}{16}} \\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{16}} \\
&=&\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{1}{4} \\
&=&\cfrac{2}{4} \pm \cfrac{1}{4} \\
x_1&=&\cfrac{2}{4}+\cfrac{1}{4}=\cfrac{3}{4} \\
x_2&=&\cfrac{2}{4}-\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{4} \\
L&=&\left\{\cfrac{1}{4};\cfrac{3}{4}\right\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 14}
\[\begin{array}{rcll}
9x^2&=&6x-1 \quad &| -6x+1 \\
9x^2-6x+1&=&0 \quad &| :9 \\
x^2-\cfrac{2}{3}x+\cfrac{1}{9}&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{1}{3} \pm \sqrt{\cfrac{1}{9}-\cfrac{1}{9}} \\
x&=&\cfrac{1}{3} \\
L&=&\left\{\cfrac{1}{3}\right\}
\end{array}\]
\newpage  %----------------------------------
\subsection{Aufgabe 15}
\[\begin{array}{rcll}
 2x-x^2&=&-15 \quad &| +15 \textnormal{ (und umsortieren)} \\
-x^2+2x+15&=&0 \quad &| \cdot (-1) \\
x^2-2x-15&=&0 \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1+15} \\
&=&1 \pm \sqrt{16} \\
&=&1 \pm 4 \\
x_1&=&1+4=5 \\
x_2&=&1-4=-3 \\
L&=&\{-3;5\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 16}
\[\begin{array}{rcll}
(x-6) \cdot x&=&-5 \quad &| +5 \textnormal{ (und Klammer auflösen)} \\
x^2-6x+5&=&0 \\
x_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{9-5} \\
&=&3 \pm \sqrt{4} \\
&=&3 \pm 2 \\
x_1&=&3+2=5 \\
x_2&=&3-2=1 \\
L&=&\{1;5\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 17}
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{1}{2}x^2+20-7x&=&0 \quad &| \cdot 2 \\
x^2+40-14x&=&0 \quad &| \textnormal{ umsortieren} \\
x^2-14x+40&=&0 \\
x_{1/2}&=&7 \pm \sqrt{49-40} \\
&=&7 \pm \sqrt{9} \\
&=&7 \pm 3 \\
x_1&=&7+3=10 \\
x_2&=&7-3=4 \\
L&=&\{4;10\}
\end{array}\]
\newpage  %-----------------------------
\subsection{Aufgabe 18}
\[\begin{array}{rcll}
x+4-\cfrac{5}{x}&=&0 \quad &| \cdot x \\
x^2+4x-5&=&0 \\
x_{1/2}&=&-2 \pm \sqrt{4+5} \\
&=&-2 \pm \sqrt{9} \\
&=&-2 \pm 3 \\
x_1&=&-2+3=1 \\
x_2&=&-2-3=-5 \\
L&=&\{-5;1\}
\end{array}\]
\subsection{Aufgabe 19}
\[\begin{array}{rcll}
(2x-6) \cdot (x+4)&=&0 \quad &| \textnormal{ Klammern ausmultiplizieren}\\
2x^2+8x-6x-24&=&0 \quad &| \textnormal{ zusammenfassen} \\
2x^2+2x-24&=&0 \quad &|  :2 \\
x^2+x-12&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{48}{4}} \\
&=&-\cfrac{1}{2} \pm \sqrt{\cfrac{49}{4}} \\
&=&-\cfrac{1}{2} \pm \cfrac{7}{2} \\
x_1&=&-\cfrac{1}{2}+\cfrac{7}{2}=\cfrac{6}{2}=3 \\
x_1&=&-\cfrac{1}{2}-\cfrac{7}{2}=-\cfrac{8}{2}=-4 \\
L&=&\{-4;3\}
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 20}
\[\begin{array}{rcll}
(x+2)^2&=&9 \quad &| \textnormal{ Klammer auflösen (Binomische Formel)} \\
x^2+4x+4&=&9 \quad &| -9 \\
x^2+4x-5&=&0 \\
x_{1/2}&=&-2 \pm \sqrt{4+5} \\
&=&-2 \pm \sqrt{9} \\
&=&-2 \pm 3 \\
x_1&=&-2+3=1 \\
x_2&=&-2-3=-5 \\
L&=&\{-5;1\}
\end{array}\]

\newpage %---------------------------------------
\subsection{Aufgabe 21}
\[\cfrac{4}{7x-8}+\cfrac{x}{15}=3\]
In dieser Gleichung haben wir Brüche. Für solche Fälle hilft immer das
Standardrezept:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Man multipliziert die Gleichung mit dem Hauptnenner.}
\end{center}
Die Frage ist nur: Wie heißt der Hauptnenner\footnote{Einzelheiten zur
Hauptnennersuche siehe hier in Kapitel 2.3:\\
\ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/bruch.pdf}\fi}?
Wenn man das nicht weiß, kann man
auch einzeln mit \textbf{jedem} Nenner multiplizieren. In dieser Aufgabe ist
der Hauptnenner tatsächlich das Produkt der beiden Nenner.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{20-2x}{3}+\cfrac{10}{x+3}&=&3 \quad &| \cdot 3 \cdot (x+3) \\
\cfrac{20-2x}{3} \cdot 3 \cdot (x+3)+\cfrac{10}{x+3} \cdot 3 \cdot (x+3)
  &=&3 \cdot 3 \cdot (x+3) \\
(20-2x) \cdot (x+3)+10 \cdot 3&=& 9 \cdot (x+3) \\
20x+60-2x^2-6x+30&=&9x+27 \\
-2x^2+14x+90&=&9x+27 \quad &| -9x-27 \\
-2x^2+5x+63&=&0 \quad &| :(-2) \\
x^2-\cfrac{5}{2}x-\cfrac{63}{2}&=&0 \quad &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{25}{16}+\cfrac{504}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \sqrt{\cfrac{529}{16}} \\
&=&\cfrac{5}{4} \pm \cfrac{23}{4} \\
x_1&=&\cfrac{5}{4}+\cfrac{23}{4}=\cfrac{28}{4}=7 \\
x_2&=&\cfrac{5}{4}-\cfrac{23}{4}=-\cfrac{18}{4}=-4{,}5 \\
L&=&\{-4{,}5 | 7\}
\end{array}\]
\newpage  %--------------------------------------------

\section{Spezielle Lösungswege zu bestimmten Aufgaben}
Wer etwas pfiffig ist, dem wird nicht entgangen sein, dass einige Aufgaben auch
etwas einfacher zu lösen sind. Dies betrifft die Aufgaben 4 und 20. Die
alternativen Lösungen will ich hier vorstellen.
\subsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
x^2-6x&=&0 \quad &| \textnormal{ $x$ ausklammern} \\
x \cdot (x-6) &=&0
\end{array}\]
Ein Produkt ist (bekanntlich) genau dann $=0$, wenn einer der Faktoren $=0$
ist. Es ist also entweder $x=0$ oder $x-6=0$. Damit erhalten wir sofort die
Lösungen $x_1=0$ und $x_2=6$.\\

\textbf{Achtung!} Ein oft gemachter Fehler ist der, dass man die Gleichung
sofort durch $x$ dividiert. Dabei geht dann die Lösung $x=0$ verloren, denn man
dividiert in dem Fall durch Null, ohne es zu merken.


\subsection{Aufgabe 20}
\[\begin{array}{rcll}
(x+2)^2&=&9 \quad &| \sqrt{\quad} \\
x+2&=& \pm 3 \quad &| -2 \\
x_{1/2}&=&-2 \pm 3
\end{array}\]
\textbf{Achtung!} Ein oft gemachter Fehler ist der, dass man beim Wurzelziehen
vergisst, dass es ja zwei Lösungen gibt, eine mit $+$, eine mit $-$.\\

Welchen Lösungsweg man verwendet, entscheidet natürlich jeder selbst. Wem das
elegante pfiffige Verfahren nicht einfällt, der findet natürlich mit dem
Standardverfahren auch immer die Lösung.\\


\end{document}


