\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
% \pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Prozentrechnung}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage
\section{Grundlagen}
Der Begriff \textbf{\emph{Prozent}} bedeutet auf Deutsch übersetzt:
\textbf{\emph{von Hundert}}. Es geht in der Prozentrechnung demnach immer um
Anteile "`von Hundert"'. Genau drei Begriffe sind von zentraler Bedeutung:
\begin{enumerate}
\item \textbf{Grundwert}
\item \textbf{Prozentwert}
\item \textbf{Prozentsatz}
\end{enumerate}

Diese Begriffe sollen zunächst genau erklärt werden.
\paragraph{Der Grundwert}
Diese Größe stellt für alle Problemstellungen, die in der Prozentrechnung
auftreten, die \textbf{Bezugsgröße} dar. Ein erstes Beispiel:
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent aller abgegebenen Stimmen entfallen auf die Partei
XYZ?}
\end{quote}
Es gibt viele Einwohner in Deutschland. Wahlberechtigt sind nur die, die
mindestens 18 Jahre alt und Deutsche Staatsbürger sind. Nicht alle davon gehen
zur Wahl, einige bleiben zu Hause. Um festzustellen, ob jetzt alle Einwohner,
alle Wahlberechtigten oder nur die, die tatsächlich zur Wahl gegangen sind, den
Grundwert darstellen, \textbf{muss man den Text der Aufgabenstellung sorgfältig
lesen!} Dies ist das einzige Kriterium. Dort steht:
"`\ldots aller abgegebenen Stimmen \ldots"'. Sind das alle Einwohner, alle
Wahlberechtigten, oder nur die, die auch zur Wahl gegangen sind? Auch wenn es
anders formuliert ist, eine Stimme haben nur die abgegeben, die auch zur Wahl
gegangen sind. Wenn man so will, dienten die zusätzlichen Angaben nur der
Verwirrung.\\

Es mag trivial erscheinen, aber etwa die Hälfte aller Fehler, die bei der
Prozentrechnung gemacht werden, beruhen auf einem falschen Grundwert.\\

Ein zweites Beispiel soll dies weiter verdeutlichen.
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent aller Wahlberechtigten haben sich an der Wahl
beteiligt?}
\end{quote}
Natürlich ist der Grundwert bei diesem Problem ein anderer, denn es steht da
ja:"`\ldots aller Wahlberechtigten \ldots"'. Diesmal ist also die Anzahl aller
derjenigen, die zur Wahl berechtigt sind, der Grundwert. Dass einige nicht
hingegangen sind, ändert daran nichts.\\

\newpage
Ein drittes Beispiel aus der Politik:
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent der Einwohner Deutschlands sind wahlberechtigt?}
\end{quote}

Auch bei dieser Fragestellung ist völlig egal, wer zur Wahl ging und wer nicht
und wer welche Partei gewählt hat, die Anzahl \textbf{aller} Einwohner stellt
für diese Fragestellung den Grundwert dar.\\

Weil das so entscheidend ist folgen hier noch zwei weitere Beispiele aus einem
anderen Bereich.
Beispiel 4:
\begin{quote}
\emph{Franz verdient in der Stunde \EUR{15,50}. Nun soll er eine Lohnerhöhung
von 4 Prozent erhalten. Wieviel verdient er dann?}
\end{quote}
Hier ist die Sachlage klar. Der bekannte Stundenlohn von \EUR{15,50} wird
erhöht. Die Erhöhung wird von diesem Stundenlohn berechnet. Daher ist dieser
der Grundwert.\\

\ifpdf \hypertarget{label}{Beispiel 5:}
\begin{quote}
\emph{Fritz bekommt nach einer Lohnerhöhung um 3 Prozent einen Stundenlohn von
\EUR{17,51}. Wieviel hat er vorher verdient?}
\end{quote}
Eine weit verbreitete Meinung ist die, dass der Stundenlohn von \EUR{17,51} der
Grundwert sein muss, weil ja kein anderer Zahlenwert angegeben ist. \textbf{Das
ist falsch!} Warum? Wenn eine Lohnerhöhung anfällt, wird der \textbf{alte Lohn}
erhöht, darauf bezieht sich die Lohnerhöhung. Darum stellt der \textbf{alte
Lohn} den Grundwert dar.\\

\paragraph{Der Prozentsatz}
Der Prozentsatz ist die Größe, die die "`Einheit"' Prozent hat. Streng genommen
ist das keine richtige Einheit. Wie bereits erwähnt, bedeutet \textbf{Prozent}
schlicht \textbf{von Hundert}. Man kann das also umrechnen. Dazu drei
Beispiele:
\[\begin{array}{rclcl}
\unit[25]{\%}&=&\cfrac{25}{100}&=&0{,}25 \\
\unit[7{,}2]{\%}&=&\cfrac{7{,}2}{100}&=&0{,}072 \\
\unit[0{,}04]{\%}&=&\cfrac{0{,}04}{100}&=&0{,}000\,4 \\
\end{array}\]

Wenn also eine Zahl die "`Einheit"' Prozent hat, dann kann diese Zahl ganz
einfach als Zahlenwert ohne Einheit geschrieben werden, indem man schlicht das
Komma \textbf{um zwei Stellen nach links} verschiebt. Gibt es kein Komma, dann
kann man es hinter der letzten Stelle ergänzen. Dann klappt die
Kommaverschiebung wieder.

\paragraph{Der Prozentwert}
Der eben beschriebene Prozentsatz bezieht sich auf eine bestimmte Größe. Genau
diese Größe -- \textbf{nicht} in der Einheit Prozent -- stellt den
\textbf{Prozentwert} dar. Sehen wir uns dazu noch einmal Beispiel 1 an:
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent aller abgegebenen Stimmen entfallen auf die Partei
XYZ?}
\end{quote}
Der Prozentsatz ist gesucht. Er beschreibt die Zahl der Stimmen, die für die
Partei XYZ abgegeben wurden. Deshalb stellt der Prozentwert ebenfalls die Zahl
der Stimmen dar, die für die Partei XYZ abgegeben wurden.\\

Der zweithäufigste Fehler beim Anwenden der Prozentrechnung liegt übrigens
darin, dass sich Prozentwert und Prozentsatz \textbf{nicht auf die selbe Größe}
beziehen. Nachdem die Grundformel bekannt ist, wird das an einigen Beispielen
deutlicher.

\section{Die Grundformel}
Bevor eine Formel angegeben werden kann, benötigen wir geeignete
Formelbuchstaben. Leider wird das in der Literatur nicht ganz einheitlich
gehandhabt. Daher stelle ich zunächst zwei verschiedene verwendete Varianten
vor.\\

\subsection{Die Formelzeichen}
Das Formelzeichen für den \textbf{Grundwert} ist immer das \textbf{\emph{G}}.\\

Für den \textbf{Prozentsatz} kann man das Zeichen
\textbf{\emph{P}}$_\textnormal{\textbf{\emph{s}}}$
verwenden. Manchmal wir dafür auch das Formelzeichen
\textbf{\emph{P}}$_\textnormal{\textbf{\emph{\%}}}$
benutzt. Ich werde im weiteren Verlauf bei dem Zeichen $P_s$ bleiben.\\

Für den \textbf{Prozentwert} wird vielfach die Bezeichnung
\textbf{\emph{P}}$_\textnormal{\textbf{\emph{w}}}$
benutzt. Eine Alternative ist das einfache \textbf{\emph{P}} ohne Index.
Ich werde im weiteren Verlauf dieses Skriptes das Zeichen $P_w$ verwenden.\\

\subsection{Die Formel}
Mit diesen Zeichen lautet die Grundformel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$P_w=\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}$}\end{center}

\textbf{\underline{Anmerkung 1:}}
Die $\unit[100]{\%}$ im Nenner ist eine "`Krücke"', denn eigentlich müsste die
Formel lauten:
\[P_w=G \cdot P_s\]
Dabei müsste allerdings der Prozentsatz in eine Dezimalzahl ohne die
"`Einheit"' Prozent umgewandelt werden. Da das in der Regel nur ungern gemacht
wird, kann man durch $\unit[100]{\%}=1$ dividieren. Gibt man jetzt den
Prozentsatz im Zähler mit der "`Einheit"' Prozent an, kürzt sich diese Einheit
heraus, die Division durch die verbleibende 100 bewirkt die notwendige
Kommaverschiebung.\\

\textbf{\underline{Anmerkung 2:}}
Tatsächlich wird des öfteren auch diese unter \emph{Anmerkung 1} vorgestellte
Form der Formel für die Prozenzrechnung verwendet. Auch im Gebrauch ist leider
auch diese Form der Formel:
\[P_w=\cfrac{G \cdot P_s}{100}\]
Ich persönlich lehne diese Form ab, weil sie falsch ist. Hier wird mit den
Einheiten "`geschlampt"'. Trotzdem findet sie aber gelegentlich Anwendung. Ich
werde im Folgenden ausschließlich die anfangs vorgestellte Formel
\[P_w=\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\]
verwenden.

\subsection{Umgestellte Hauptformel}
Dumme, aber fleißige Leute mögen es gern, wenn sie die Grundformel in allen
möglichen umgestellten Formen fertig zur Verfügung gestellt bekommen. Die
Pfiffigeren, die keine Lust haben, sich unnötig viel zu merken, kommen mit der
Grundformel aus und leiten sich diese bei Bedarf dann selbst um. Auch wenn ich
selbst zur zweiten Gattung gehöre, stelle ich die umgestellten Formeln gern
auch zur Verfügung.\\

\subsubsection{Zur Grundmenge umgestellte Hauptformel}
Gehen wir von der Hauptformel aus:
\[P_w=\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\]
Multipliziert man die Gleichung mit $\frac{\unit[100]{\%}}{P_s}$, dann erhält
man:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$G=\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}$}\end{center}

\subsubsection{Zum Prozentsatz umgestellte Hauptformel}
Gehen wir auch hier von der Hauptformel aus:
\[P_w=\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\]
Multipliziert man die Gleichung mit $\frac{\unit[100]{\%}}{G}$, dann erhält
man:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$P_s=\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}$}\end{center}

\section{Beispiele}
Gehen wir zunächst die Beispiele vom Anfang durch.
\subsection{Beispiel 1}
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent aller abgegebenen Stimmen entfallen auf die Partei
XYZ?}
\end{quote}
Die Bezugsgröße -- also der \textbf{Grundwert} -- ist die Zahl aller
abgegebenen Stimmen, wie wir zu Beginn schon festgestellt haben. Gesucht ist
der \textbf{Prozentsatz}, der zur Zahl der Stimmen für die Partei XYZ passt.
Diese Größe stellt auch den \textbf{Prozentwert} dar.
Wir haben demnach folgendes Lösungsmuster:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&44\,800\,000 \\
&P_w&=&15\,680\,000 \\
\textnormal{gesucht:} &P_s&=&? \\
\end{array}\]
Der \textbf{Prozentsatz} ist gesucht, wir können die dafür passende umgestellte
Hauptformel verwenden.
\[\begin{array}{rcll}
P_s&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}\\
&=&\cfrac{15\,680\,000 \cdot \unit[100]{\%}}{44\,800\,000}\\
P_s&=&\unit[35]{\%}\\
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:} $\unit[35]{\%}$ aller abgegebenen Stimmen entfallen auf die
Partei XYZ.

\newpage
\subsection{Beispiel 2}
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent aller Wahlberechtigten haben sich an der Wahl
beteiligt?}
\end{quote}
Die Bezugsgröße -- also der \textbf{Grundwert} -- ist die Zahl aller
wahlberechtigten Bürger, wie wir zu Beginn schon festgestellt haben. Gesucht
ist der \textbf{Prozentsatz}, der zur Zahl der Wähler passt, die zur Wahl
gegangen sind. Diese Größe stellt natürlich auch den \textbf{Prozentwert} dar.
Wir haben demnach folgendes Lösungsmuster:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&64\,000\,000 \\
&P_w&=&44\,800\,000 \\
\textnormal{gesucht:} &P_s&=&? \\
\end{array}\]
Der \textbf{Prozentsatz} ist gesucht, wir können die dafür passende umgestellte
Hauptformel verwenden.
\[\begin{array}{rcll}
P_s&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}\\
&=&\cfrac{44\,800\,000 \cdot \unit[100]{\%}}{64\,000\,000}\\
P_s&=&\unit[70]{\%}\\
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:} $\unit[70]{\%}$ aller wahlberechtigten Bürger sind zur Wahl
gegangen.


\subsection{Beispiel 3}
\begin{quote}
\emph{Bei einer Bundestagswahl wird festgestellt:
Deutschland hat 80\,000\,000 Einwohner, von denen 64\,000\,000 wahlberechtigt
sind. 44\,800\,000 sind zur Wahl gegangen, 15\,680\,000 haben die Partei
XYZ gewählt. Wieviel Prozent der Einwohner Deutschlands sind wahlberechtigt?}
\end{quote}
Die Bezugsgröße -- also der \textbf{Grundwert} -- ist die Zahl aller
Einwohner Deuschlands. Gesucht ist der \textbf{Prozentsatz}, der zur Zahl der
wahlberechtigten Bürger passt. Diese Größe stellt natürlich auch den
\textbf{Prozentwert} dar. Wir haben demnach folgendes Lösungsmuster:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&80\,000\,000 \\
&P_w&=&64\,000\,000 \\
\textnormal{gesucht:} &P_s&=&? \\
\end{array}\]
Der \textbf{Prozentsatz} ist gesucht, wir können die dafür passende umgestellte
Hauptformel verwenden.
\[\begin{array}{rcll}
P_s&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}\\
&=&\cfrac{64\,000\,000 \cdot \unit[100]{\%}}{80\,000\,000}\\
P_s&=&\unit[80]{\%}\\
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:} $\unit[80]{\%}$ aller Bürger Deutschlands sind
wahlberechtigt.

\subsection{Beispiel 4}
\begin{quote}
\emph{Franz verdient in der Stunde \EUR{15,50}. Nun soll er eine Lohnerhöhung
von 4 Prozent erhalten. Wieviel verdient er dann?}
\end{quote}
Die Sachlage ist zunächst klar. Der bekannte Stundenlohn von \EUR{15,50} wird
erhöht. Die Erhöhung wird von diesem Stundenlohn berechnet. Daher ist dieser
ursprüngliche Stundenlohn der Grundwert.\\

Etwas schwieriger wird die Frage nach der Größe, die den \textbf{Prozentwert}
und den \textbf{Prozentsatz} darstellen. Als \textbf{Prozentsatz} ist die
Erhöhung des Lohnes angegeben, gesucht ist aber eine andere Größe, nämlich der
Gesamtlohn nach der Erhöhung. Derhalb muss zunächst als \textbf{Prozentwert}
die Lohnerhöhung berechnet werden. Am Schluss kann dann damit der neue Lohn
bestimmt werden. Das sieht dann so aus:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&\textnormal{\EUR{15,50}}\\
&P_s&=&\unit[4]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]

Hier passt die nicht umgestellte Grundformel:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{15,50}} \cdot \unit[4]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&\textnormal{\EUR{0,62}}\\
\end{array}\]

Das ist natürlich noch nicht der gesuchte neue Lohn, sondern nur die
Lohnerhöhung. Es muss addiert werden.
\[\begin{array}{rcll}
\textnormal{Neuer Lohn}&=&\textnormal{Alter Lohn }+ \textnormal{ Lohnerhöhung}\\
&=&\textnormal{\EUR{15,50}}+\textnormal{\EUR{0,62}}\\
\textnormal{Neuer Lohn}&=&\textnormal{\EUR{16,12}}
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:}
Der neue Stundenlohn beträgt \EUR{16,12}.

\newpage
\subsection{Beispiel 5}
\begin{quote}
\emph{Fritz bekommt nach einer Lohnerhöhung um 3 Prozent einen Stundenlohn von
\EUR{17,51}. Wieviel hat er vorher verdient?}
\end{quote}
Hier ist die Sachlage etwas verzwickter. Wie wir bereits im Kapitel zum
\ifpdf \hyperlink{label}{Grundwert}\fi{}
gesehen haben, ist hier der \textbf{Grundwert} gesucht, denn das ist der
ursprüngliche Stundenlohn. Die angegebenen $\unit[3]{\%}$ und der neue
Stundenlohn mit \EUR{17,51} passen aber nicht zusammen, sie beschreiben
\textbf{nicht} die gleiche Größe! Was kann man da tun?\\

Da $P_w$ und $P_s$ sich \textbf{zwingend} auf die gleiche Größe beziehen
müssen, muss eine der beiden Angaben umgerechnet werden. Mit dem Prozentwert
ist das nicht möglich, denn dazu wäre der noch unbekannte Grundwert
erforderlich. Stattdessen kann man den Prozentsatz bestimmen, der zum neuen
Lohn gehört. Das geht so:\\

Der alte Lohn sind $\unit[100]{\%}$.\\
Die Lohnerhöhung sind $\unit[3]{\%}$\\
Der neue Lohn ist die Summe aus beidem, also $\unit[103]{\%}$.\\

Jetzt haben wir eine Prozentzahl, die sich auf die gleiche Größe bezieht, wie
die bekannten \EUR{17,51}, also auf den neuen Lohn. Damit kann der Ansatz
gemacht werden:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{17,51}}\\
&P_s&=&\unit[103]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &G&=&? \\
\end{array}\]

Da der Grundwert gesucht ist, verwenden wir die auf den Grundwert umgestellte
Formel:
\[\begin{array}{rcll}
G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{17,51}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[103]{\%}}\\
G&=&\textnormal{\EUR{17,00}}
\end{array}\]
\textbf{Ergebnis:}
Franz verdiente vor der Lohnerhöhung \EUR{17,00} in der Stunde.

\newpage
\subsection{Beispiel 6}
\begin{quote}
\emph{Matthias hat heute in seinem neuen spannenden Buch die ersten 400 Seiten
gelesen. Es sagt:"`Die letzten 36 Prozent schaffe ich morgen locker."' Wieviele
Seiten will er morgen lesen?}
\end{quote}

Ausnahmsweise starte ich hier zunächst mit einem \textbf{falschen}
Lösungsansatz.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&400 \\
&P_s&=&\unit[36]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]
Damit sieht die Lösung so aus:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{400 \cdot \unit[36]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&144 \\
\end{array}\]
Matthias hätte morgen noch 144 Seiten zu lesen.\\

Was ist an dieser Lösung falsch?\\

Wenn Matthias von den "`letzten 36 Prozent"' spricht, bezieht er die auf das
\textbf{ganze} Buch, nicht auf die 400 Seiten, die er gerade gelesen hat. Daher
ist die \textbf{Gesamtseitenzahl} des Buches der \textbf{Grundwert}. Sind dann
die heute gelesenen 400 Seiten der Prozentwert?\\

Da diese Seitenzahl die einzige bekannte Zahl ist, muss das so sein. Allerdings
passt dazu nicht der bekannte Prozentsatz von $\unit[36]{\%}$. Was kann man da
tun?\\

Man kann (und muss) den gegebenen Prozentsatz von $\unit[36]{\%}$ auf die heute
gelesenen Seiten umrechnen.
\[P_s=\unit[100]{\%}-\unit[36]{\%}=\unit[64]{\%}\]
Damit kann zunächst die Gesamtseitenzahl des Buches (als Grundwert) berechnet
werden. Mit diesem Ergebnis wird dann in einer zweiten Rechnung der Prozentwert
berechnet, der zu den morgigen 36 Prozent passt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &P_w&=&400 \\
&P_s&=&\unit[64]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &G&=&? \\
\end{array}\]
Die nach $G$ umgestellte Grundformel wird benötigt.
\[\begin{array}{rcll}
G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&=&\cfrac{400 \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[64]{\%}}\\
G&=&625 \\
\end{array}\]
Das Buch hat insgesamt 625 Seiten. Es folgt der zweite Lösungsschritt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&625 \\
&P_s&=&\unit[36]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]
Wir können die unveränderte Grundformel verwenden.
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{625 \cdot \unit[36]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&225 \\
\end{array}\]

Eine alternative (und einfachere) Lösungsmöglichkeit für den zweiten Schritt
wäre eine einfache Differenzbildung zwischen Gesamtseitenzahl und Zahl der
gelesenen Seiten gewesen:
\[625-400=225\]
\textbf{Ergebnis:} Matthias will morgen die restlichen 225 Seiten lesen.

\newpage
\subsection{Beispiel 7}
\begin{quote}
\emph{In Deutschland wird beim Verkauf einer Ware eine Mehrwertsteuer von
$\unit[19]{\%}$ des Warenwertes erhoben. Diese Mehrwertsteuer bezahlt der
Käufer zusammen mit dem eigentlichen Warenwert als Kaufpreis. Für eine
Kaffeemaschine soll der Käufer \EUR{76,16} bezahlen. Wieviel davon erhält der
Staat?}
\end{quote}

Auch diesmal stelle ich zunächst eine gern gemachte \textbf{falsche} Lösung vor.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&\textnormal{\EUR{76,16}} \\
&P_s&=&\unit[19]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]
Damit ergibt sich diese Lösung:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{\EUR{76,16} \cdot \unit[19]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&\EUR{14,47}
\end{array}\]
Demnach beträgt der Steueranteil \EUR{14,47}.\\

Warum ist das falsch?\\

Der beliebteste Fehler, nämlich einen falschen Grundwert anzunehmen, wurde hier
wieder gemacht. Die Steuer wird auf den Netto-Warenwert erhoben, nicht auf den
Bruttopreis, in dem die Steuer schon enthalten ist. Also ist der Grundwert der
(noch unbekannte) Nettopreis.\\

Was ist dann der Geldbetrag von \EUR{76,16}? Ist das der Prozentwert? Und sind
die $\unit[19]{\%}$ der Prozentsatz?\\

Diese beiden Daten passen nicht zusammen, sie beschreiben verschiedene Daten.
Da nur der Geldbetrag von \EUR{76,16} als einziger Geldbetrag bekannt ist, muss
das der Prozentwert sein. Wir müssen den dazugehörenden Prozentsatz finden. In
diesem Betrag sind der Nettowert mit $\unit[100]{\%}$ und die Mehrwertsteuer
mit $\unit[19]{\%}$ enthalten, also zusammen $\unit[119]{\%}$. Damit können wir
den Ansatz machen:
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{76,16}} \\
&P_s&=&\unit[119]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &G&=&? \\
\end{array}\]
Mit diesem Ansatz wird zunächst der Nettowert berechnet, der Steueranteil kann
danach berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{76,16}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[119]{\%}}\\
G&=&\textnormal{\EUR{64,00}}\\
\end{array}\]
Der Steueranteil ist die Differenz.
\[S=\textnormal{\EUR{76,16}}-\textnormal{\EUR{64,00}}=\textnormal{\EUR{12,16}}\]

\textbf{Ergebnis:} Der Steueranteil beträgt \EUR{12,16}.\\ \\

\textbf{Anmerkung:}
Diese Aufgabe ist auch mit Hilfe eines Dreisatzes lösbar. Das sieht dann etwa
so aus:
\[\begin{array}{r|l}
\textnormal{Prozentsatz} & \textnormal{Betrag}\\
\hline
\unit[119]{\%} & \textnormal{\EUR{76,16}}\\
\unit[19]{\%}  & ? \\
\hline
\unit[119]{\%} & \textnormal{\EUR{76,16}}\\
\unit[1]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{76,16}}}{119}\\
\unit[19]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{76,16}}}{119} \cdot 19
               = \textnormal{\EUR{12,16}} \\
\end{array}\]


\newpage
\subsection{Beispiel 8}
\begin{quote}
\emph{Ferdinand bekommt von seinem Chef folgenden Brief:"`Lieber Mitarbeiter!
Leider habe ich im Augenblick ein kleines Liquiditätsproblem. Daher möchte ich
Ihr Gehalt für den nächsten Monat um $\unit[20]{\%}$ kürzen. Einen Monat später
werde ich es dann zum Dank für Ihr Verständnis dauerhaft um $\unit[22]{\%}$
anheben. Den ausgefallenen Lohn im Monat der Kürzung bekommen Sie dann
ebenfalls nachgezahlt."' Soll Ferdinand auf dieses Angebot eingehen?}
\end{quote}

Zunächst hört sich das Angebot gut an, die dauerhaft bleibende Erhöhung ist
offenbar größer als die Verringerung zuvor. Aber ist das wirklich so? Dazu
müssen wir genau rechnen.\\

Es ergibt sich folgendes Problem: Es sind nur zwei Prozentsätze gegeben, alle
anderen Zahlen fehlen. Dass man das Problem zweistufig lösen muss, nämlich
zunächst die Lohnreduktion um $\unit[20]{\%}$ und danach die Erhöhung um
$\unit[22]{\%}$, ist dagegen relativ klar. Wie kann man also vorgehen?\\

Es fehlt das Anfangsgehalt. Wenn man das hätte, könnte man es zunächst
erniedrigen und dann das so berechnete neue erhöhen.\\

Zur Lösung gibt es zwei mögliche Ansätze zum Anfangsgehalt.
\begin{enumerate}
\item Man denkt sich ein Anfangsgehalt aus und schaut, wie es sich verändert.
\item Man bezeichnet das Anfangsgehalt mit einem Formelzeichen und rechnet
  damit so, als ob es bekannt wäre.
\end{enumerate}
Ich möchte beide Lösungsansätze hier vorführen.

\paragraph{Lösungsvariante 1:}
Damit wir leicht rechnen können, nehmen ich willkürlich ein Anfangsgehalt von
\EUR{1\,000} an. Das ist dann unser Grundwert. Der Prozentsatz von
$\unit[20]{\%}$ ist die Lohnerniedrigung, womit der Prozentwert auch die
Lohnerniedrigung darstellt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&\textnormal{\EUR{1\,000}}\\
&P_s&=&\unit[20]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]

Hier passt die nicht umgestellte Grundformel:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{1\,000}} \cdot \unit[20]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&\textnormal{\EUR{200}}\\
\end{array}\]

Das verbleibende Gehalt ergibt sich durch Subtraktion:
\[\begin{array}{rcll}
\textnormal{Neues Gehalt}
&=&\textnormal{Altes Gehalt }-\textnormal{ Verringerung}\\
&=&\textnormal{\EUR{1\,000}}-\textnormal{\EUR{200}}\\
\textnormal{Neues Gehalt}&=&\textnormal{\EUR{800}}\\
\end{array}\]

Jetzt kommt der zweite Schritt, die nachfolgende Gehaltserhöhung. Die Basis zur
Berechnung (der Grundwert) ist jetzt das eben bestimmte neue Gehalt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&\textnormal{\EUR{800}}\\
&P_s&=&\unit[22]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]
Wieder passt die nicht umgestellte Grundformel:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{800}} \cdot \unit[22]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&\textnormal{\EUR{176}}\\
\end{array}\]

Durch die Gehaltserhöhung erhöht es sich um \EUR{176} auf \EUR{976}. Das ist
\textbf{weniger}, als zuvor! Wir sollten Ferdinand also von der Annahme dieses
Angebotes abraten.

\paragraph{Lösungsvariante 2:}
Geben wir dem ursprünglichen Gehalt vor der ganzen Aktion das Formelzeichen
$x_1$. Dann soll das Gehalt nach der Absenkung $x_2$ heißen und ganz am Schluss
nach der Erhöhung $x_3$. Analog zur Lösungsvariante berechnen wir zunächst die
Verringerung als Prozentwert.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&x_1 \\
&P_s&=&\unit[20]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]

Hier passt wieder die nicht umgestellte Grundformel:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{x_1 \cdot \unit[20]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&0{,}2 \cdot x_1 \\
\end{array}\]

Das verbleibende Gehalt ergibt sich durch Subtraktion:
\[\begin{array}{rcll}
\textnormal{Neues Gehalt}
&=&\textnormal{Altes Gehalt }-\textnormal{ Verringerung}\\
x_2&=&x_1-0{,}2 \cdot x_1 \\
x_2&=&0{,}8 \cdot x_1 \\
\end{array}\]

Jetzt kommt der zweite Schritt, die nachfolgende Gehaltserhöhung. Die Basis zur
Berechnung (der Grundwert) ist jetzt das eben bestimmte neue Gehalt $x_2$.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{gegeben:} &G&=&x_2 \ = \ 0{,}8 \cdot x_1 \\
&P_s&=&\unit[22]{\%}\\
\textnormal{gesucht:} &P_w&=&? \\
\end{array}\]
Auch jetzt passt wieder die nicht umgestellte Grundformel:
\[\begin{array}{rcll}
P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{x_2 \cdot \unit[22]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
&=&\cfrac{0{,}8 \cdot x_1 \cdot \unit[22]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
P_w&=&0{,}176 \cdot x_1\\
\end{array}\]

Durch Summenbildung wird das endgültige Gehalt bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
x_3&=&x_2+P_w \\
&=&0{,}8 \cdot x_1+0{,}176 \cdot x_1 \\
x_3&=&0{,}976 \cdot x_1 \\
\end{array}\]
Auch hier zeigt das Ergebnis, dass das endgültige Gehalt etwas kleiner als das
ursprüngliche ist, nämlich nur das 0,976-fache des alten Gehaltes.
Wir raten Ferdinand davon ab, dieses Angebot anzunehmen.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Fahrrad soll \EUR{1\,250} kosten. Durch geschicktes Verhandeln erhält der
Käufer einen Rabatt von $\unit[4]{\%}$. Wieviel spart er, wieviel muss er
tatsächlich bezahlen?

\subsection{Aufgabe 2}
In einer Lieferung von Transistoren dürfen laut Liefervertrag maximal
$\unit[0{,}25]{\%}$ defekt sein. In einer Packung mit 3\,000 Stück werden 8
defekte Transistoren entdeckt. Kann der Kunde die Packung zurückgeben?

\subsection{Aufgabe 3}
Eine Versicherung soll jährlich netto \EUR{135} kosten. Dazu kommt noch die
Versicherungssteuer von $\unit[14]{\%}$. Welchen Jahresbetrag muss der Kunde
tatsächlich bezahlen?

\subsection{Aufgabe 4}
Eine Kaffeemaschine kostet einschließlich $\unit[16]{\%}$ Mehrwertsteuer
\EUR{15,37}. Wie hoch ist der Steueranteil in Euro?

\subsection{Aufgabe 5}
Eine Aktie ist von \EUR{35,20} auf \EUR{37,84} gestiegen. Wieviel Prozent
beträgt der Wertzuwachs?

\subsection{Aufgabe 6}
Ein Elektroinstallateur rechnet beim Verlegen von Kabeln mit einem Verschnitt
von $\unit[15]{\%}$. Wieviel Meter muss er bereithalten, wenn die tatsächliche
Gesamtlänge aller erforderlichen Kabelstücke $\unit[208{,}25]{m}$ beträgt?

\subsection{Aufgabe 7}
Eine Hausfrau berichtet:"`Ich habe heute \EUR{9,10} gespart, weil der Pullover,
den ich gekauft habe, um $\unit[20]{\%}$ reduziert worden ist."' Wieviel hat
sie tatsächlich bezahlt?

\subsection{Aufgabe 8}
Kuno überlegt:"`Eigentlich wäre es schön, nur von den Zinsen eines großen
Vermögens leben zu können."' Wieviel Geld müsste er zu $\unit[6]{\%}$
jährlichen Zinsen anlegen können, damit er monatlich \EUR{2\,500} ausbezahlt
bekommen könnte, ohne das Vermögen zu verbrauchen?

\subsection{Aufgabe 9}
Messing besteht zu $\unit[60]{\%}$ aus Kupfer, der Rest ist Zink. Mit wieviel
kg Kupfer müssen $\unit[25]{kg}$ Zink zur Herstellung einer Messing-Legierung
gemischt werden?

\subsection{Aufgabe 10}
Für eine Sammelbestellung Taschenrechner wurde ein Preisnachlass von
$\unit[10]{\%}$ ausgehandelt. Dieser wird vom Listenpreis abgezogen,
anschließend $\unit[16]{\%}$ Mehrwertsteuer dazugezählt. Wie hoch ist der
Listenpreis, wenn der Rechnungsbetrag \EUR{93,86} beträgt?

\subsection{Aufgabe 11}
Bei einer Landtagswahl sind 4\,500\,000 Bürger wahlberechtigt.
$\unit[42{,}5]{\%}$ der \textbf{abgegebenen} Stimmen entfallen auf die Partei
A, das sind 1\,193\,400 Wähler. Wieviel Prozent beträgt die Wahlbeteiligung?

\subsection{Aufgabe 12}
Ein Markthändler rechnet damit, dass er $\unit[30]{\%}$ der eingekauften Ware
nicht weiterverkaufen kann. Wieviel Prozent muss er auf den Einkaufspreis
schlagen, damit ihm noch ein Gewinn von $\unit[20]{\%}$ des Einkaufpreises
bleibt?

\subsection{Aufgabe 13}
Nachdem der Wert einer Aktie vorgestern um $\unit[10]{\%}$ gefallen war ist er
gestern um $\unit[11]{\%}$ gestiegen. Kann der Aktionär mit diesem Kursverlauf
zufrieden sein?

\subsection{Aufgabe 14}
Ein Schrank kostet inclusive $\unit[16]{\%}$ Mehrwertsteuer \EUR{399,50}. Wie
viel Euro beträgt der Steueranteil?

\subsection{Aufgabe 15}
Lötzinn L-Sn50PbAg einhält $\unit[50]{\%}$ Zinn und $\unit[3{,}5]{\%}$ Silber,
der Rest ist Blei. Wieviel kg Zinn und Silber sind erforderlich, wenn
$\unit[37{,}2]{kg}$ Blei verarbeitet werden soll?

\subsection{Aufgabe 16}
Bei der Herstellung einer Schmelze von $\unit[350]{kg}$ Konstantan (CuNi6:
$\unit[6]{\%}$ Nickel, Rest Kupfer) wurden versehentlich $\unit[2]{kg}$ zu viel
verarbeitet. Wie groß ist der Nickelanteil in der Schmelze? Wieviel kg Kupfer
müssen zum Ausgleich zugegeben werden, damit die Schmelze wieder das korrekte
Verhältnis enthält?

\subsection{Aufgabe 17}
Der Nettolohn eines Arbeitnehmers beträgt \EUR{1\,488,00} bei $\unit[38]{\%}$
Abzügen (Lohnsteuer, Krankenversicherung, Arbeitslosenversicherung). Wieviel
Euro betragen die Abzüge?

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Fahrrad soll \EUR{1\,250} kosten. Durch geschicktes Verhandeln erhält der
Käufer einen Rabatt von $\unit[4]{\%}$. Wieviel spart er, wieviel muss er
tatsächlich bezahlen?

\paragraph{Lösung:}
Der Grundwert ist der ursprüngliche Preis von \EUR{1\,250}, der Rabatt der
Prozentsatz. Gesucht ist zunächst die Ersparnis, die den Prozentwert darstellt.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&\textnormal{\EUR{1\,250}} \\
&P_s&=&\unit[4]{\%}\\
\textnormal{ges:} &P_w&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{1\,250}} \cdot \unit[4]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
&P_w&=&\textnormal{\EUR{50}}\\
\end{array}\]
Das ist die Ersparnis. Der Kaufpreis ist dann die Differenz zum Sollpreis.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Käufer spart \EUR{50}, er muss \EUR{1\,200} bezahlen.}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
In einer Lieferung von Transistoren dürfen laut Liefervertrag maximal
$\unit[0{,}25]{\%}$ defekt sein. In einer Packung mit 3\,000 Stück werden 8
defekte Transistoren entdeckt. Kann der Kunde die Packung zurückgeben?

\paragraph{Lösung:}
Hier gibt es zwei grundsätzlich unterschiedliche Lösungsansätze.
\begin{enumerate}
\item Man berechnet, wieviel Prozent in der Lieferung defekt sind und
  vergleicht den Wert mit den erlaubten $\unit[0{,}25]{\%}$.
\item Man berechnet, wieviele Transistoren in einer solchen Packung laut
  Liefervertrag defekt sein dürfen und vergleicht den Wert mit den
  festgestellten 8 Stück.
\end{enumerate}
Ich möchte beide Varianten vorstellen. Für beide Lösungsvarianten stellt die
Gesamtzahl der Transistoren den Grundwert dar.
\subparagraph{Variante 1:}
Hier ist die Anzahl der defekten Transistoren der Prozentwert, der Prozentsatz
ist gesucht.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&3\,000 \\
&P_w&=&8 \\
\textnormal{ges:} &P_s&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_s&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}\\
&&=&\cfrac{8 \cdot \unit[100]{\%}}{3\,000}\\
&P_s&\approx&\unit[0{,}267]{\%}\\
\end{array}\]
Das ist mehr, als die vereinbarten $\unit[0{,}25]{\%}$.

\subparagraph{Variante 2:}
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&3\,000 \\
&P_s&=&\unit[0{,}25]{\%}\\
\textnormal{ges:} &P_w&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&&=&\cfrac{3\,000 \cdot \unit[0{,}25]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
&P_w&=&7{,}5 \\
\end{array}\]

Da 8 Defekte mehr als die erlaubten 7,5 sind, ist der Liefervertrag
\textbf{nicht} erfüllt. Dabei spielt es keine Rolle, dass die Zahl der defekten
Transistoren nur eine \textbf{Ganze Zahl} sein kann.

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Kunde kann die Packung zurückgeben.}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Eine Versicherung soll jährlich netto \EUR{135} kosten. Dazu kommt noch die
Versicherungssteuer von $\unit[14]{\%}$. Welchen Jahresbetrag muss der Kunde
tatsächlich bezahlen?

\paragraph{Lösung:}
Der angegebene Prozentsatz für die Versicherungssteuer bezieht sich auf den
Nettobetrag. Dieser ist angegeben, er stellt daher den Grundwert dar. Der
gesuchte Jahresbetrag passt allerdings nicht zu dem angegebenen Prozentsatz.
Zwei Lösungsmöglichkeiten bieten sich an.
\begin{enumerate}
\item Man berechnet zunächst den Geldbetrag für die Steuer und addiert sie zum
  Netto-Versicherungsbeitrag.
\item Man bestimmt zunächst den Prozentsatz, der zum Brutto-Betrag gehört und
  rechnet damit den Prozentwert aus.
\end{enumerate}

\subparagraph{Variante 1:}
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&\textnormal{\EUR{135}} \\
&P_s&=&\unit[14]{\%}\\
\textnormal{ges:} &P_w&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{135}} \cdot \unit[14]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
&P_w&=&\textnormal{\EUR{18,90}}\\
\end{array}\]
Das ist der Steueranteil. Der Brutto-Beitrag wird berechnet:
\[\textnormal{\EUR{135}}+\textnormal{\EUR{18,90}}=\textnormal{\EUR{153,90}}\]

\subparagraph{Variante 2:}
Der Prozentsatz, der zum Brutto-Beitrag gehört, wird bestimmt.
\[\unit[14]{\%}+\unit[100]{\%}=\unit[114]{\%}\]
Der zugehörige Prozentwert wird berechnet.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&\textnormal{\EUR{135}} \\
&P_s&=&\unit[114]{\%}\\
\textnormal{ges:} &P_w&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_w&=&\cfrac{G \cdot P_s}{\unit[100]{\%}}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{135}} \cdot \unit[114]{\%}}{\unit[100]{\%}}\\
&P_w&=&\textnormal{\EUR{153,90}}\\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Die Versicherung kostet brutto \EUR{153,90}}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Eine Kaffeemaschine kostet einschließlich $\unit[16]{\%}$ Mehrwertsteuer
\EUR{15,37}. Wie hoch ist der Steueranteil in Euro?

\paragraph{Lösung:}
Der angegebene Kaufpreis beinhaltet sowohl den Netto-Preis (das ist Grundwert)
als auch den Steueranteil (das sind die angegebenen $\unit[16]{\%}$). Ein sehr
beliebter Fehler besteht darin, den angegebenen Kaufpreis als Grundwert
anzusehen.\\

Da der angegebene Kaufpreis der einzig bekannte Zahlenwert ist, wird zunächst
der dazu passende Prozentsatz bestimmt.
\[P_s=\unit[100]{\%}+\unit[16]{\%}=\unit[116]{\%}\]
Hiermit wird als nächstes der Netto-Preis als Grundwert bestimmt.

\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{15,37}}\\
&P_s&=&\unit[116]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{15,37}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[116]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{13,25}}
\end{array}\]
Der Netto-Preis beträgt \EUR{13,25}. Der Steueranteil $S$ ist die Differenz zum
Brutto-Preis.
\[S=\textnormal{\EUR{15,37}}+\textnormal{\EUR{13,25}}=\textnormal{\EUR{2,12}}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Steueranteil beträgt \EUR{2,12}.}\end{center}
\vspace{5mm}

\textbf{Anmerkung:}
Es ist auch möglich, die Lösung durch einen Dreisatz vorzunehmen. Das sieht
dann etwas so aus:
\[\begin{array}{r|l}
\textnormal{Prozentsatz} & \textnormal{Betrag}\\
\hline
\unit[116]{\%} & \textnormal{\EUR{15,37}}\\
\unit[16]{\%}  & ? \\
\hline
\unit[116]{\%} & \textnormal{\EUR{15,37}}\\
\unit[1]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{76,16}}}{116}\\
\unit[16]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{76,16}}}{116} \cdot 16
               = \textnormal{\EUR{2,12}} \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
Eine Aktie ist von \EUR{35,20} auf \EUR{37,84} gestiegen. Wieviel Prozent
beträgt der Wertzuwachs?

\paragraph{Lösung:}
Der alte Aktienpreis ist der Grundwert. Auf den bezieht sich der Wertzuwachs.
Da der Prozentwert des \textbf{Wertzuwachses} gesucht ist, müssen wir zunächst
dessen Geldbetrag als Prozentwert bestimmen.

\[P_w=\textnormal{\EUR{37,84}}-\textnormal{\EUR{35,20}}
 =\textnormal{\EUR{2,64}}\]

Mit diesen Werten kann die eigentliche Lösung beginnen.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &G&=&\textnormal{\EUR{35,20}}\\
&P_w&=&\textnormal{\EUR{2,64}}\\
\textnormal{ges:} &P_s&=&? \\
\textnormal{Lös:}&P_s&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{G}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{2,64}} \cdot \unit[100]{\%}}
  {\textnormal{\EUR{35,20}}}\\
&P_s&=&\unit[7{,}5]{\%}\\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Aktienwert ist um $\unit[7{,}5]{\%}$ gestiegen.}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
Ein Elektroinstallateur rechnet beim Verlegen von Kabeln mit einem Verschnitt
von $\unit[15]{\%}$. Wieviel Meter muss er bereithalten, wenn die tatsächliche
Gesamtlänge aller erforderlichen Kabelstücke $\unit[208{,}25]{m}$ beträgt?

\paragraph{Lösung:}
Der Verschnitt bezieht sich auf das vorhandene Kabel auf der Rolle. Wir suchen
demnach den Grundwert. Der gegebene Prozentsatz bezieht sich auf den
Verschnitt, gegeben als Prozentwert ist aber der genutzte Teil. Deswegen muss
der Prozentsatz auf den genutzen Teil umgerechnet werden.
\[P_s=\unit[100]{\%}-\unit[15]{\%}=\unit[85]{\%}\]
Mit diesen Daten kann jetzt die Aufgabe gelöst werden.

\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\unit[208{,}25]{m}\\
&P_s&=&\unit[85]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\unit[208{,}25]{m} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[85]{\%}}\\
&G&=&\unit[245]{m}\\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Installateur muss $\unit[245]{m}$ bereithalten.}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 7}
Eine Hausfrau berichtet:"`Ich habe heute \EUR{9,10} gespart, weil der Pullover,
den ich gekauft habe, um $\unit[20]{\%}$ reduziert worden ist."' Wieviel hat
sie tatsächlich bezahlt?

\paragraph{Lösung:}
Eine Preisreduktion bezieht sich immer auf den ursprünglichen Preis. Daher ist
dieser der Grundwert. Gegeben sind ein Prozentwert und ein Prozentsatz, die
sich beide auf die Ersparnis beziehen. Damit kann zunächst der ursprüngliche
Preis als Grundwert bestimmt werden.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{9,10}}\\
&P_s&=&\unit[20]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{9,10}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[20]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{45,50}}\\
\end{array}\]
Den tatsächlich bezahlen Preis $P$ erhalten wir aus der Differenz zwischen
ursprünglichem Preis und der Ersparnis.
\[P=\textnormal{\EUR{45,50}}-\textnormal{\EUR{9,10}}
 =\textnormal{\EUR{36,40}}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Sie hat für den Pullover \EUR{36,40} bezahlt.}\end{center}

\textbf{Anmerkung:}
Das Problem kann auch mit Hilfe eines Dreisatzes gelöst werden. Dazu muss
vorweg ausgerechnet werden, wieviel Prozent des ursprünglichen Preises auf den
tatsächlich bezahlten Preis entfällt.
\[P_{s2}=\unit[100]{\%}-P_{s1}=\unit[100]{\%}-\unit[20]{\%}=\unit[80]{\%}\]
\[\begin{array}{r|l}
\textnormal{Prozentsatz} & \textnormal{Betrag}\\
\hline
\unit[20]{\%} & \textnormal{\EUR{9,10}}\\
\unit[80]{\%}  & ? \\
\hline
\unit[20]{\%} & \textnormal{\EUR{9,10}}\\
\unit[1]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{9,10}}}{20}\\
\unit[80]{\%} & \cfrac{\textnormal{\EUR{9,10}}}{20} \cdot 80
               = \textnormal{\EUR{36,40}} \\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 8}
Kuno überlegt:"`Eigentlich wäre es schön, nur von den Zinsen eines großen
Vermögens leben zu können."' Wieviel Geld müsste er zu $\unit[6]{\%}$
jährlichen Zinsen anlegen können, damit er monatlich \EUR{2\,500} ausbezahlt
bekommen könnte, ohne das Vermögen zu verbrauchen?

\paragraph{Lösung:}
Der angegebene Zinssatz bezieht sich auf ein Jahr, die Auszahlungen auf einen
Monat. Deshalb müssen entweder der Jahreszinssatz auf den Monatszinssatz oder
die monatlichen auf jährliche Auszahlungen umgerechnet werden. Ich verwende
hier die zweite Variante. Ich berechne also die Jahreszinsen $Z_J$.
\[Z_J=12 \cdot Z_M=12 \cdot \textnormal{\EUR{2\,500}}
 =\textnormal{\EUR{30\,000}}\]
Gesucht ist das Kapital, also der Grundwert.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{30\,000}}\\
&P_s&=&\unit[6]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{30\,000}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[6]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{500\,000}}\\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Er müsste ein Vermögen von \EUR{500\,000} anlegen können.}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 9}
Messing besteht zu $\unit[60]{\%}$ aus Kupfer, der Rest ist Zink. Mit wieviel
kg Kupfer müssen $\unit[25]{kg}$ Zink zur Herstellung einer Messing-Legierung
gemischt werden?

\paragraph{Lösung:}
Die Prozentangaben beziehen sich immer auf das Ergebnis, also die fertige
Legierung. Das ist demnach der Grundwert. Die Zinkmasse $m_{Sn}$ ist bekannt.
Wenn wir die als Prozentwert nehmen wollen, müssen wir vorweg den
\textbf{zugehörigen} Prozentsatz $P_{sSn}$ für den Zinkanteil bestimmen.
\[P_{sCu}=\unit[100]{\%}-P_{sSn}=\unit[100]{\%}-\unit[60]{\%}=\unit[40]{\%}\]

Hiermit kann zunächst der Grundwert berechnet werden.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\unit[25]{kg}\\
&P_s&=&\unit[40]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\unit[25]{kg} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[40]{\%}}\\
&G&=&\unit[62{,}5]{kg}\\
\end{array}\]

Die Kupfermasse wird jetzt über die Differenz gebildet.
\[\begin{array}{rcll}
m_{Cu}&=&m_{Ms}-m_{Sn}\\
&=&\unit[62{,}5]{kg}-\unit[25]{kg}\\
m_{Cu}&=&\unit[37{,}5]{kg}
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Es werden $\unit[37{,}5]{kg}$ Kupfer benötigt.}\end{center}

\textbf{Anmerkung:}
Diese Aufgabe lässt sich auch mit einem Dreisatz lösen. Das sieht dann so aus:
\[\begin{array}{r|l}
\textnormal{Prozentsatz} & \textnormal{Masse}\\
\hline
\unit[40]{\%} & \unit[25]{kg}\\
\unit[60]{\%}  & ? \\
\hline
\unit[40]{\%} & \textnormal{\EUR{9,10}}\\
\unit[1]{\%} & \cfrac{\unit[25]{kg}}{40}\\
\unit[60]{\%} & \cfrac{\unit[25]{kg}}{40} \cdot 60
               = \unit[37{,}5]{kg}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
Für eine Sammelbestellung Taschenrechner wurde ein Preisnachlass von
$\unit[10]{\%}$ ausgehandelt. Dieser wird vom Listenpreis abgezogen,
anschließend $\unit[16]{\%}$ Mehrwertsteuer dazugezählt. Wie hoch ist der
Listenpreis, wenn der Rechnungsbetrag \EUR{93,86} beträgt?

\paragraph{Lösung:}
Dieses Problem ist zweistufig. Ein beliebter Fehler ist dieser: Man vermutet,
dass ein Abzug von $\unit[10]{\%}$ und ein anschließender Aufschlag von
$\unit[16]{\%}$ gleichbedeutend mit einem Aufschlag von $\unit[6]{\%}$ ist. Das
ist leider falsch. Für eine korrekte Lösung bieten sich zwei Lösungsvarianten
an.
\begin{enumerate}
\item Man rechtet zweistufig rückwärts. Dazu berechnet man zunächst den Preis
  ohne Mehrwertsteuer und dann im zweiten Schritt den Betrag ohne Rabatt.
\item Man berechnet vorweg vorwärts, was aus $\unit[100]{\%}$ wird, wenn
  zunächst ein Abschlag von $\unit[10]{\%}$ erfolgt und anschließend ein
  Zuschlag von $\unit[16]{\%}$ addiert wird.
\end{enumerate}

\subparagraph{Variante 1:}
Im \textbf{Schritt 1} wird der Einfluss der Mehrwertsteuer herausgerechnet. In
diesem Fall ist der Nettopreis ohne Mehrwertsteuer der Grundwert, der Preis
inclusive der Mehrwertsteuer der Prozentwert. Zu diesem Prozentwert gehört
dieser Prozentsatz:
\[P_s=\unit[100]{\%}+\unit[16]{\%}=\unit[116]{\%}\]
Damit kann der Nettopreis als Grundwert berechnet werden.
\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{93{,}86}}\\
&P_s&=&\unit[116]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{93{,}86}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[116]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{80{,}91}}\\
\end{array}\]

Es folgt \textbf{Schritt 2}. Jetzt wird aus dem reduzierten Nettopreis auf den
Listenpreis zurückgeschlossen. Jetzt ist der Listenpreis der Grundwert und der
reduzierte Nettopreis der Prozentwert. Wir benötigen zunächst den Prozentsatz,
der zu diesem Prozentwert gehört.
\[P_s=\unit[100]{\%}-\unit[10]{\%}=\unit[90]{\%}\]
Damit kann der Grundwert berechnet werden.

\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{80{,}91}}\\
&P_s&=&\unit[90]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{80{,}91}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[90]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{89{,}90}}\\
\end{array}\]

\subparagraph{Variante 2:}
\[\textnormal{Reduzierter Preis}=\unit[100]{\%} \cdot 0{,}9=\unit[90]{\%}\]
\[\textnormal{Brutto-Preis}=\unit[90]{\%} \cdot 1{,}16=\unit[104{,}4]{\%}\]
Mit diesem Prozentsatz, der zum Brutto-Preis gehört, kann auf den Listenpreis
geschlossen werden, der jetzt der Grundwert ist.

\[\begin{array}{lrcl}
\textnormal{geg:} &P_w&=&\textnormal{\EUR{93{,}86}}\\
&P_s&=&\unit[104{,}4]{\%}\\
\textnormal{ges:} &G&=&? \\
\textnormal{Lös:}&G&=&\cfrac{P_w \cdot \unit[100]{\%}}{P_s}\\
&&=&\cfrac{\textnormal{\EUR{93{,}86}} \cdot \unit[100]{\%}}{\unit[104{,}4]{\%}}\\
&G&=&\textnormal{\EUR{89{,}90}}\\
\end{array}\]

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Der Listenpreis beträgt \EUR{89{,}90}.}\end{center}


\newpage
\subsection{Aufgabe 11}
Bei einer Landtagswahl sind 4\,500\,000 Bürger wahlberechtigt.
$\unit[42{,}5]{\%}$ der \textbf{abgegebenen} Stimmen entfallen auf die Partei
A, das sind 1\,193\,400 Wähler. Wieviel Prozent beträgt die Wahlbeteiligung?

\paragraph{Lösung:}


\paragraph{Lösung:}
\paragraph{Lösung:}
\paragraph{Lösung:}
\paragraph{Lösung:}
\paragraph{Lösung:}
\paragraph{Lösung:}


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%-------------------------
%\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
%  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
%    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
%    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
%  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
%    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
%    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
%     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
%     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
%  \pscustom{
%   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
%   \gsave
%   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
%   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
%  \grestore }
%  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
%          gridcolor=black!50,yunit=2]
%  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
%  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
%  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%-------------------------
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
