\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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%\usepackage{picins} % Paket für Umfließen der Grafik
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\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Potenzen und Wurzeln}
\author{W. Kippels}


\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Potenzen}
\begin{center}Die Definition für eine Potenz lautet:
\[a^n= \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \textnormal{ Faktoren}}\]
Hierfür gilt: $a \in \mathbb{R}$ und $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$.
\end{center}
Im Klartext bedeutet das: $a$ ist eine beliebige Reelle Zahl\footnote{Reelle
Zahlen sind alle Zahlen, die auf einem Zahlenstrahl darstellbar sind.} und $n$
ist eine Natürliche Zahl\footnote{Natürliche Zahlen sind Zahlen, mit denen man
zählt, also 1, 2, 3 , usw.}, aber $n$ ist mindestens 2.\\

Die Beschränkung für $n$ auf Natürliche Zahlen ab 2 ergibt sich durch $n$ als
\textbf{Anzahl} von Faktoren. Ein Produkt hat eben mindestens 2 Faktoren, sonst
ist es kein Produkt. Es ist aber möglich, den Definitionsbereich so zu
erweitern, dass man für $n$ jede beliebige Ganze Zahl verwenden kann. Man kann
zeigen, dass diese Erweiterungen des Definitionsbereiches von $n$ zu den
selben Rechenregeln passen, die etwas später hier aufgeführt sind.\\

Die Erweiterung des Definitionsbereiches für $n$ wird durch nachfolgende
Definitionen in drei Schritten auf $\mathbb{Z}$\footnote{$\mathbb{Z}$ ist die
Menge aller Ganzen Zahlen, positive wie auch negative. Auch die Null gehört
dazu.} erweitert:
\[a^1=a\]
\[a^0=1\]
\[a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

Nachdem wir nun die Potenz komplett definiert haben, können wir uns um die
Rechengesetze kümmern. Auf die zugehörigen Beweise möchte ich an dieser Stelle
verzichten.\\

Für das Rechnen mit Potenzen gibt es 5 Potenzrechengesetze. Sie lauten:
\begin{eqnarray}
a^n \cdot b^n&=&(a \cdot b)^n \label{pot1} \\
\frac{a^n}{b^n}&=& \left( \frac{a}{b}\right)^n \label{pot2} \\
a^n \cdot a^m&=&a^{n+m} \label{pot3} \\
\frac{a^n}{a^m}&=&a^{n-m} \label{pot4} \\
\left( a^n \right) ^m&=&a^{n \cdot m}= \left( a^m \right) ^n \label{pot5}
\end{eqnarray}

\textbf{\emph{Warnung:} Leider sind in Schülerkreisen noch zwei Gesetze in
Gebrauch, die aber ungültig sind. Ich stelle sie hier vor, um ausdrücklich
davor zu warnen!}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$a^n+b^n\not=(a+b)^n$}
\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{$a^n+a^m\not=a^{n+m}$}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Beachten Sie bitte, dass diese Gesetze falsch sind!}
\end{center}

\newpage
\section{Wurzeln}
Die Wurzel ist eine Umkehrung der Potenz. Es gilt folgender Zusammenhang, der
gleich\-zei\-tig die Wurzel definiert.
\[b=a^n \quad \Leftrightarrow \quad a= \sqrt[n]{b} \]

Ein Problem ergibt sich für die Definitionsmenge von $a$. Während für Potenzen
für $a$ noch gilt: $a \in \mathbb{R}$, muss für \textbf{geradzahlige} $n$ die
Einschränkung gemacht werden: $a \in \mathbb{R^+}$. Warum? \textbf{Jede} Zahl,
die mit 2, 4, 6, $\ldots$ potenziert wird, ist \textbf{positiv}. Daher können
wir aus einer \textbf{negativen} Zahl keine 2., 4., 6., $\ldots$ Wurzel
ziehen.\\

Aus der Definition leiten sich 5 Wurzelrechengesetze ab, die zu den 5
Potenzrechengesetzen in Bezug stehen.
\begin{eqnarray}
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}&=&\sqrt[n]{a \cdot b} \label{wurz1} \\
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}&=&\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \label{wurz2} \\
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a}&=&\sqrt[nm]{a^{n+m}} \label{wurz3} \\
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[m]{a}}&=&\sqrt[nm]{a^{m-n}} \label{wurz4} \\
\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}&=&\sqrt[nm]{a} \label{wurz5}
\end{eqnarray}
Die Gesetze (\ref{wurz3}) und (\ref{wurz4}) wirken kaum verständlich und sind auch nicht einfach zu
merken. Nun kann man glücklicherweise zeigen, dass die Wurzelrechnung auf die
Potenzrechnung zurückgeführt werden kann, indem man folgende Definition macht.
\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\]
Mit dieser Definition muss allerdings der Definitionsbereich von $a$
eingeschränkt werden auf: $a \in \mathbb{R^+}$. Anderenfalls käme es zu
Unstimmigkeiten. Beispielsweise wäre dann möglicherweise
$a^{\frac{1}{3}}\not=a^{\frac{2}{6}}$. Da das nicht sein darf, schränkt man den
Definitionsbereich für $a$ auf $\mathbb{R^+}$ ein. Immerhin ist es so aber
möglich, dass man die "`ungeliebten"' Wurzelgesetze umgeht.\\

\textbf{\emph{Warnung:} Auch hier sind in Schülerkreisen zwei Gesetze in
Gebrauch, die ungültig sind. Ich stelle sie hier ebenfalls vor, um ausdrücklich
davor zu warnen!}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}\not= \sqrt[n]{a+b}$}
\qquad \fcolorbox{red}{yellow}{$\sqrt[n]{a}+\sqrt[m]{a}\not= \sqrt[n+m]{a}$}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Beachten Sie bitte, dass diese Gesetze falsch sind!}
\end{center}
\textbf{Darüber hinaus werden die Gesetze (\ref{wurz3}) und (\ref{wurz4}) sehr
oft missachtet.}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1} Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)} \[a^2 \cdot a^3+a^4 \cdot 2a= \ldots \]
\subparagraph*{b)} \[ \left( 6a \right)^2= \ldots \]
\subparagraph*{c)} \[ m \cdot m^2+m^2 \cdot m^2= \ldots \]
\subparagraph*{d)} \[ 4a^2+3a^2= \ldots \]
\subparagraph*{e)} \[ 2a^3:a^2= \ldots \]
\subparagraph*{f)} \[ \frac{5a^4b^3c^5}{3ab^5c^3}= \ldots \]

\subsection{Aufgabe 2} Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)} \[\frac{\left( 2a \right)^n}{a^n}= \ldots \]
\subparagraph*{b)} \[\frac{\left( 5x \right)^p}{5^p}= \ldots \]
\subparagraph*{c)} \[\frac{(x-y)^{n+2}}{(x-y)^3}= \ldots \]

\newpage
\subsection{Aufgabe 3} Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)}
 \[ \sqrt[6]{x^7 \cdot y^2} \cdot \sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}= \ldots \]
\subparagraph*{b)}
 \[ \sqrt[4]{ \sqrt[5]{x^{10}}}= \ldots \]
\subparagraph*{c)}
 \[ \sqrt[3]{a}+2 \cdot  \sqrt[3]{a}= \ldots \]
\subparagraph*{d)}
 \[ \sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[4]{\sqrt[3]{x^2}}+ \sqrt{y^3 \cdot y^5}= \ldots \]
\subparagraph*{e)}
 \[ \sqrt[4]{ \sqrt[6]{a^7}\cdot \sqrt[2]{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}}= \ldots \]
\subparagraph*{f)}
\[ \frac{4V}{\pi \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}\right)^2}= \ldots \]

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)}
 \[\underbrace{a^2 \cdot a^3}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}
 +\underbrace{a^4 \cdot 2a}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}=a^{2+3}+2a^{4+1}=
 \underbrace{a^5+2a^5}_{a^5\textnormal{ auskl.}}=a^5 \cdot (1+2)=3a^5 \]
\subparagraph*{b)}
 \[ \underbrace{\left( 6a \right)^2}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot1}}=6^2 \cdot a^2=36a^2 \]
\subparagraph*{c)}
 \[ \underbrace{m \cdot m^2}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}
 +\underbrace{m^2 \cdot m^2}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}= m^{1+2}+m^{2+2} =m^3+m^4 \]
\textbf{Achtung!} Diese Terme lassen sich \textbf{nicht} weiter zusammenfassen,
auch wenn man das vielleicht gern möchte. Dafür gibt es kein passendes
Potenzrechengesetz.
\subparagraph*{d)}
 \[ \underbrace{4a^2+3a^2}_{a^2 \textnormal{ auskl.}}=(4+3)a^2 =7a^2 \]
\subparagraph*{e)}
 \[ \underbrace{2a^3:a^2}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot4}}
 = \frac{2a^3}{a^2}=2a^{3-2}=2a^1=2a \]
\subparagraph*{f)} \[ \frac{5a^4b^3c^5}{3ab^5c^3}
 = \frac{5}{3}\cdot a^{4-1}\cdot b^{3-5}\cdot c^{5-3}
 = \frac{5}{3}\cdot a^3 \cdot b^{-2}\cdot c^2=\frac{5a^3c^2}{3b^2} \]
Hierbei ist es gleichgültig, ob man die letzte oder die vorletzte Form als
Endergebnis wählt.

\newpage
\subsection{Aufgabe 2} Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)}
 \[\frac{\overbrace{\left( 2a \right)^n}^{\textnormal{Ges. }\ref{pot2}}}{a^n}
 = \left( \frac{2a}{a}\right)^n=2^n \]
\subparagraph*{b)}
 \[\frac{\overbrace{\left( 5x \right)^p}^{\textnormal{Ges. }\ref{pot2}}}{5^p}
 = \left( \frac{5x}{5}\right)^p=x^p \]
\subparagraph*{c)}
 \[\frac{\overbrace{(x-y)^{n+2}}^{\textnormal{Ges. }\ref{pot4}}}{(x-y)^3}
 =(x-y)^{n+2-3}=(x-y)^{n-1} \]

\newpage
\subsection{Aufgabe 3} Vereinfachen Sie so weit wie möglich!
\subparagraph*{a)} \[
\underbrace{\sqrt[6]{x^7 \cdot y^2} \cdot \sqrt[6]{x^5 \cdot y^4}}
  _{\textnormal{Ges. }\ref{wurz1}}
   = \underbrace
  {\sqrt[6]{x^7 \cdot y^2 \cdot x^5 \cdot y^4}}_{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}
   = \underbrace{\sqrt[6]{x^{12} \cdot y^6}}_{\textnormal{Ges. }\ref{wurz1}}
   = \underbrace{\sqrt[6]{x^{12}} \cdot \sqrt[6]{y^6}}
     _{\textnormal{jeweils kürzen}}
   =x^2 \cdot y \]
\subparagraph*{b)} \[
\underbrace{\sqrt[4]{ \sqrt[5]{x^{10}}}}_{\textnormal{Ges. }\ref{wurz5}}
  = \sqrt[4 \cdot 5]{x^{10}}
  = \underbrace{\sqrt[20]{x^{10}}}_{\textnormal{als Potenz schreiben}}
  =x^\frac{10}{20}=x^\frac{1}{2}= \sqrt{x} \]
\subparagraph*{c)}
 \[ \sqrt[3]{a}+2 \cdot  \sqrt[3]{a}=1 \cdot \sqrt[3]{a}+2 \cdot  \sqrt[3]{a}
 =(1+2) \cdot \sqrt[3]{a}=3 \cdot  \sqrt[3]{a} \]
\subparagraph*{d)}
 \[ \sqrt[6]{x^5} \cdot \underbrace{\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^2}}}
   _{\textnormal{Ges. }\ref{wurz5}}+ \underbrace{\sqrt{y^3 \cdot y^5}}
   _{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}
 = \sqrt[6]{x^5} \cdot \underbrace{\sqrt[12]{x^2}}_{\textnormal{kürzen}}
   + \sqrt{y^{3+5}}
 = \underbrace{\sqrt[6]{x^5} \cdot \sqrt[6]{x}}_{\textnormal{Ges. }\ref{wurz1}}
   + \sqrt{y^8}= \ldots \qquad\]
 \[ \qquad \qquad \ldots = \underbrace{\sqrt[6]{x^5 \cdot x}}
   _{\textnormal{Ges. }\ref{pot3}}+y^4
 = \sqrt[6]{x^6}+y^4
 =x+y^4 \]
\subparagraph*{e)}
 \[ \sqrt[4]{ \sqrt[6]{a^7}\cdot \sqrt[2]{a \cdot \sqrt[3]{a^2}}}
 = \sqrt[4]{ a^{\frac{7}{6}}\cdot \sqrt[2]{a \cdot a^{\frac{2}{3}}}}
 = \sqrt[4]{ a^{\frac{7}{6}}\cdot
   \left(a \cdot a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}
 = \left( a^{\frac{7}{6}}\cdot \left(a^{\frac{3}{3}}
   \cdot a^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}
 = \ldots \qquad \]
\[ \quad \ldots = \left( a^{\frac{7}{6}}\cdot
   \left( a^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}
 = \left( a^{\frac{7}{6}}\cdot a^{\frac{5}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}
 = \left( a^{\frac{7}{6}+\frac{5}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}
 = \left( a^{\frac{12}{6}}\right)^{\frac{1}{4}}
 = a^{\frac{12}{6} \cdot \frac{1}{4}}=a^\frac{12}{24}=a^\frac{1}{2}= \sqrt{a}\]

\subparagraph*{f)}
\[ \frac{4V}{\pi \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}\right)^2}
=\frac{4V}{\pi \cdot \sqrt[3 \ ]{\frac{4^2V^2}{\pi^2}}}
=\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\frac{\pi^3 \cdot 4^2V^2}{\pi^2}}}
=\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\pi \cdot 4^2V^2}}
=\sqrt[3 \ ]{\frac{4^3V^3}{\pi \cdot 4^2V^2}}
=\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}\]

\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
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