\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\fi                   %
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\title{Polynome}
\author{W. Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Definition}
Ein Polynom ist eine Funktion, die sich in dieser Form darstellen lässt:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x^1+a_0x^0$}\end{center}

Hierbei heißt $n$ der \textbf{Grad des Polynoms}.\\

Wegen $x^1=x$ und $x^0=1$ kann man diese Definition auch etwas einfacher so
schreiben:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0$}\end{center}

\section{Polynome 1. und 2. Grades}
Wählen wir $n=1$, erhalten wir als Polynom ersten Grades:
\[f(x)=a_1x+a_0\]
Das kennen wir bereits als "`Lineare Funktion"', auch wenn
wir dort anstelle von $a_1$ $m$ und anstelle von $a_0$ $b$ geschrieben haben,
also so:
\[f(x)=mx+b\]

\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-7.9,-6.8)(3.9,3.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-7.9,-6.8)(3.9,3.9)
  \uput[-90](3.7,0){x}  \uput[180](0,3.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.9}{3.9}{3 x mul 2 add}
   \uput[-35](0,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.9}{3.9}{-1 x mul 4 sub}
   \uput[-130](1,-3){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-7.9}{3.9}{-2 x mul 8 sub}
   \uput[45](-5,2){\textcolor{green}{$f_3$}}
%  \pscircle*(-2,-4){2.5pt}
%   \uput[-160](-2,-4){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend sind als Beispiel drei Lineare Funktionen mit den
Funktionsgleichungen \\
\mbox{$f_1(x)=3x+2$}, \\
\mbox{$f_2(x)=-x-4$} und \\
\mbox{$f_3(x)=-2x-8$} \\
dargestellt.\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\


Ausführliche Einzelheiten zur Linearen Funktion finden Sie hier:\\
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lin.pdf}\fi

\newpage

Mit $n=2$ erhalten wir als Polynom 2. Grades die "`Quadratische
Funktion"':

\[f(x)=a_2x^2+a_1x+a_0 \textnormal \quad \textnormal{ oder bekannter in dieser
Form:} \quad f(x)=ax^2+bx+c\]

\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 div}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=magenta!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 2 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{x x mul 4 x mul sub 2 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-4.8}{4.8}{x x mul 3 x mul add 1 add}
   \uput[-60](2,4.2){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[135](2.8,2){\textcolor{green}{$f_2$}}
   \uput[-60](1,-3){\textcolor{magenta}{$f_3$}}
   \uput[-60](4,-2){\textcolor{cyan}{$f_4$}}
   \uput[-60](4.2,3){\textcolor{blue}{$f_5$}}
   \uput[-90](-1.5,-2.2){\textcolor{orange}{$f_6$}}
   \uput[-130](-3,-2){\textcolor{blue}{$f_7$}}
   \uput[60](-3,1){\textcolor{green}{$f_8$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend habe ich einige Quadratische Funktionen dargestellt. Die
Funktionsgleichungen lauten:\\
$f_1(x)=\frac{1}{2}x^2$\\
$f_2(x)=x^2-2x$\\
$f_3(x)=x^2-2x-2$\\
$f_4(x)=x^2-4x-2$\\
$f_5(x)=x^2-4x+2$\\
$f_6(x)=x^2+3x$\\
$f_7(x)=x^2+3x-2$\\
$f_8(x)=x^2+3x+1$\\
\\ \\

Auf Einzelheiten zur Quadratischen Funktion möchte ich an dieser Stelle nicht
weiter eingehen. Bei Interesse finden Sie alles Weitergehende hier:\\
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quadfkt.pdf}\fi\\

\newpage
\section{Polynome 3. Grades}
Nach der zuvor genannten Definition haben sie diese Form:
\[f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\]

Damit man nicht so viel mit den lästigen Indizes zu tun hat, schreibt man das
allgemeine Polynom dritten Grades in der Regel so:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$}\end{center}

Wenn man die Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ kennt, dann kennt man auch das
Polynom.\\

Nachfolgend möchte ich ungeordnet ein paar Polynome dritten Grades darstellen.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-6.8)(8.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-6.8,-6.8)(8.8,8.8)
  \uput[-90](8.6,0){$x$}  \uput[180](0,8.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-3}{3}{x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp x 3 mul sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-2}{6}{x 4 sub 3 exp x add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan]{-6.5}{-2}{x 4 add 3 exp -1 mul 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=magenta]{-0.5}{8.7}
    {x 4 sub 3 exp -0.2 mul 5 sub x 2 mul add}
\end{pspicture}
\end{center}
Während wir beim Polynom 2. Grades (der Quadratischen Funktion) ausschließlich
Parabeln als Funktionsgraphen erhalten haben (mal breit, mal schmal, mal nach
oben, mal nach unten geöffnet), bekommen wir hier unterschiedliche Formen. Es
lohnt sich also zu untersuchen, welchen Einfluss die Parameter $a$, $b$, $c$
und $d$ haben.

\newpage
Beginnen wir mit dem Parameter $a$. Dargestellt werden die Funktionen:
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^3 \\
f_2(x)&=&4x^3 \\
f_3(x)&=&0{,}2x^3 \\
f_4(x)&=&-x^3 \\
\end{array}\]

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-3}{3}{x 3 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 4 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3}{3}{x 3 exp -1 mul}
   \uput[-35](1.4,3){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[135](1,4){\textcolor{green}{$f_2$}}
   \uput[-35](2.5,3){\textcolor{blue}{$f_3$}}
   \uput[-135](-1.5,3){\textcolor{orange}{$f_4$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Wir erkennen, dass durch Verändern von $a$ die Kurve nur gedehnt, gestaucht
oder vertikal gespiegelt wird. Mit \textbf{großem} $a$ verlaufen die Kurven
\textbf{steiler}, mit \textbf{kleinem} $a$ \textbf{flacher}. Ist $a$
\textbf{positiv}, verlaufen die Kurven \textbf{von links unten nach rechts
oben}, bei \textbf{negativem} $a$ verlaufen sie \textbf{von links oben nach
rechts unten}.\\

Alle Kurven verlaufen waagerecht durch den Koordinatenursprung im Punkt
$P(0|0)$.

\newpage
Wie sieht es aber aus, wenn für $b$, $c$ und $d$ Zahlenwerte $\not=0$
ausgewählt werden?
Dazu habe ich ebenfalls vier Funktionen verwendet, die sich nur durch
Parameter $a$ unterscheiden.

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-1.5}{2}
    {x 3 exp x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.5}{2}
    {x 3 exp 3 mul x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-1.5}{4.5}
    {x 3 exp 0.4 mul x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3.5}{2}
    {x 3 exp -1 mul x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 4 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp 0.2 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3}{3}{x 3 exp -1 mul}
   \uput[-35](1,2){\textcolor{red}{$f_1=x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[0](-2.35,2.5){\textcolor{blue}{$f_2=2x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[-90](3,-0.5){\textcolor{green}{$f_3=0{,}4x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[-90](-2.5,-3.2){\textcolor{orange}{$f_4=-x^3-2x^2+2x+1$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Die Kurvenformen sind jetzt durchaus sehr unterschiedlich. Mal schlängelt sie
sich fast gerade von unten nach oben durch, wie bei $f_1$ oder erst recht bei
$f_2$, und manchmal erhalten wir eine erhebliche "`Beule"', bei der die Kurve
zwischendurch auch mal die Richtung wechselt, wie bei $f_3$ und $f_4$.\\

Es gibt allerdings auch Übereinstimmungen zwischen allen Kurven.
Beispielsweise schneiden \textbf{alle} die $y$-Achse bei $y_0=1$. Außerdem
"`schmiegen"' sich in diesem Bereich alle Kurven aneinander an, verlaufen dort
also gleich steil. Geblieben ist auch das zuvor bereits festgestellte
Verhalten in Richtung $\pm \infty$.\\

Erinnern wir uns: Das war doch schon vorher bei den Funktionen mit $b=c=d=0$
ähnlich. Die Kurven liefen alle durch den $y$-Achsenabschnitt $y_0=0$, hier
durch $y_0=1$. Woher kommt das?\\

\enlargethispage{10mm}
Die Antwort ist ganz einfach. Wenn $x=0$ ist, bleibt von jeder Funktion nur der
Parameter $d$ als Funktionswert übrig. Bei $d=0$ verlaufen die Kurven durch
den Koordinatenursprung und bei $d=1$ durch den $y$-Achsenabschnitt $y_0=1$.
Zusammengefasst kann man also sagen: \fcolorbox{red}{yellow}{$d=y_0$}\\

\newpage
Bleibt noch die Frage klären, welcher Parameter wohl dafür verantwortlich
ist, dass die Kurven beim Schneiden der $y$-Achse alle
parallel\footnote{\textbf{Parallel} bedeutet \textbf{gleiche Steigung}. Was es
aber mit der Steigung einer gekrümmten Kurve auf sich hat, ist nicht ganz
trivial. Die \textbf{Differentialrechnung} befasst sich mit genau diesem
Thema. Die Hintergründe findet man beispielsweise hier:
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf}\fi} verlaufen.\\

Variieren wir nun den Parameter $b$. Dazu habe ich drei Funktionen
ausgewählt, die sich nur durch unterschiedliche Werte für den Parameter $b$
unterscheiden.

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp 4 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp -1 mul sub 2 x mul add 1 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 4 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp 0.2 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3}{3}{x 3 exp -1 mul}
   \uput[-35](0.6,1.7){\textcolor{red}{$f_1=x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[-90](2,-3.4){\textcolor{blue}{$f_2=x^3-4x^2+2x+1$}}
   \uput[180](-1.5,-2.5){\textcolor{green}{$f_3=x^3+x^2+2x+1$}}
%   \uput[-135](-1.5,3){\textcolor{orange}{$f_4$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Wieder fällt auf, dass alle Kurven den selben $y$-Achsenabschnitt haben,
nämlich wieder \mbox{$y_0=1$}. Das bestätigt unsere Vermutung von vorhin, dass
offenbar \mbox{$y_0=d$} ist. Ein offensichtlicher eindeutiger Einfluss des
Parameters $b$ auf die Kurvenform ist aber leider nicht erkennbar.\\

Prüfen wir nun den Einfluss des Parameters $c$ durch drei Funktionen mit
unterschiedlichem Wert für $c$.

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-5.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp 2 mul sub 5 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2}{4}
    {x 3 exp x 2 exp 2 mul sub -3 x mul add 1 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 4 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp 0.2 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3}{3}{x 3 exp -1 mul}
   \uput[-45](0.2,1.5){\textcolor{red}{$f_1=x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[180](0.1,2.5){\textcolor{blue}{$f_2=x^3-2x^2+5x+1$}}
   \uput[180](-1.5,-2.5){\textcolor{green}{$f_3=x^3-2x^2-3x+1$}}
%   \uput[-135](-1.5,3){\textcolor{orange}{$f_4$}}
\end{pspicture}
\end{center}

Es fällt auf, dass nun alle Kurven unterschiedlich steil durch den
$y$-Achsenabschnitt bei \mbox{$y_0=1$} verlaufen. Das war zuvor bei den
Funktionen mit dem identischen Parameter $c$ nicht der Fall. Wir sehen, dass
bei $f_1$ mit \mbox{$c=2$} die Kurve dort \textbf{flacher} verläuft, als bei
$f_2$ mit \mbox{$c=5$}. In beiden Fällen steigt die Kurve aber \textbf{nach
rechts an}. Bei $f_3$ mit \mbox{$c=-3$} dagegen fällt die Kurve \textbf{nach
rechts ab}. Offenbar bestimmt der Parameter $c$ die Steigung beim Schneiden
der $y$-Achse.\\

\paragraph{Zusammenfassung:}
Der Parameter $a$ bestimmt den Verlauf Richtung $\pm \infty$. Mit
\textbf{großem} $a$ verlaufen die Kurven \textbf{steiler}, mit
\textbf{kleinem} $a$ \textbf{flacher}. Ist $a$ \textbf{positiv}, verlaufen die
Kurven \textbf{von links unten nach rechts oben}, bei \textbf{negativem} $a$
verlaufen sie \textbf{von links oben nach rechts unten}.
Ein einfach zu überblickender Einfluss des Parameters $b$ ist nicht erkennbar.
Der Parameter $c$ bestimmt, wie steil die $y$-Achse geschnitten wird und der
Parameter $d$ gibt den $y$-Achsenabschnitt $y_0$ an.\\

Möchte man die Nullstellen eines Polynomes dritten Grades bestimmen, hilft
dieses Skript weiter:
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi

\newpage
\section{Polynome 4. Grades}
Bei Polynomen 4. Grades hat man diese allgemeine Form:
\[f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\]

Damit man nicht so viel mit den lästigen Indizes zu tun hat, schreibt man das
allgemeine Polynom 4. Grades (ähnlich, wie wir es schon beim Polynom 3. Grades
gemacht haben) in der Regel so:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$}\end{center}

Wenn man die Parameter $a$ bis $e$ kennt, dann kennt man auch das
Polynom.\\

Nachfolgend möchte ich ungeordnet ein paar typische Polynome 4. Grades darstellen.
\begin{center}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-6.8,-6.8)(8.8,8.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-6.8,-6.8)(8.8,8.8)
  \uput[-90](8.6,0){$x$}  \uput[180](0,8.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2}{2}{x 4 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-2.5}{2.5}{x 4 exp 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{x 4 exp x 2 exp 3 mul sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{2}{6}{x 4 sub 4 exp x add 4 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=cyan]{1.5}{5.5}
    {x 3 sub 4 exp x 3 sub 3 exp 2 mul sub -1 mul 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=magenta]{-5}{-1}
    {x 3 add 4 exp 3 sub x add -1 mul 4 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

Wenn wir uns die Kurvenformen ansehen, dann können wir erkennen, dass einige
an eine Parabel erinnern (zum Teil etwas "'mit dem Hammer plattgeklopft"', wie
die rote und die grüne), andere dagegen haben deutliche Beulen wie die
violetteoder die orangfarbene, oder sie laufen mehrfach auf
und ab, wie die dunkelblaue. Die hellblaue stellt einen Grenzfall dazwischen
dar.\\

\newpage
Um den Zusammenhang zu den Parametern $a$ bis $e$ zu untersuchen schauen wir
uns zunächst ein paar Kurven mit unterschiedlichem $a$ und mit
\mbox{$b=c=d=e=0$} an. Dargestellt werden die Funktionen:
\[\begin{array}{rcll}
f_1(x)&=&x^4 \\
f_2(x)&=&4x^4 \\
f_3(x)&=&0{,}2x^4 \\
f_4(x)&=&-x^4 \\
\end{array}\]

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2}{2}{x 4 exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-2}{2}{x 4 exp 4 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{x 4 exp 0.2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-2}{2}{x 4 exp -1 mul}
   \uput[-35](1.3,3){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[135](1,4){\textcolor{green}{$f_2$}}
   \uput[-35](2,3){\textcolor{blue}{$f_3$}}
   \uput[-135](-1.5,-3){\textcolor{orange}{$f_4$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Wir erkennen, dass ähnlich wie bei Polynomen 3. Grades, durch Verändern von
$a$ die Kurve nur gedehnt, gestaucht oder vertikal gespiegelt wird. Mit
\textbf{großem} $a$ verlaufen die Kurven \textbf{steiler}, mit
\textbf{kleinem} $a$ \textbf{flacher}. Ist $a$ \textbf{positiv}, verlaufen die
Kurven \textbf{von links oben nach rechts oben}, bei \textbf{negativem} $a$
verlaufen sie \textbf{von links unten nach rechts unten}.\\

Wie schon bei Polynomen 3. Grades verlaufen auch hier alle Kurven waagerecht
durch den Koordinatenursprung im Punkt $P(0|0)$.

\newpage
Wie sieht es aber aus, wenn für die Parameter $b$ bis $e$ Zahlenwerte $\not=0$
ausgewählt werden?
Dazu habe ich ebenfalls vier Funktionen verwendet, die sich nur durch
Parameter $a$ unterscheiden.

\begin{center}
\psset{xunit=16mm,yunit=12mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-4.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.6,0){$x$}  \uput[180](0,4.5){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-1.8}{2}
    {x 4 exp x 3 exp sub x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{2}
    {x 4 exp 3 mul x 3 exp sub x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{-2}{3.2}
    {x 4 exp 0.5 mul x 3 exp sub x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-1.5}{1.5}
    {x 4 exp -1 mul x 3 exp sub x 2 exp 2 mul sub 2 x mul add 1 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-4}{4}{x 3 exp 4 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x 3 exp 0.2 mul}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=orange]{-3}{3}{x 3 exp -1 mul}
   \uput[-35](1.5,1.7){\textcolor{red}{$f_1=x^4-x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[0](-1.6,3.5){\textcolor{blue}{$f_2=2x^4-x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[-90](3,-3.1){\textcolor{green}{$f_3=0{,}4x^4-x^3-2x^2+2x+1$}}
   \uput[-90](-2.8,-3.2){\textcolor{orange}{$f_4=-x^4-x^3-2x^2+2x+1$}}
\end{pspicture}
\end{center}
Wir sehen, dass es wie zuvor dabei bleibt, dass bei \textbf{positivem} $a$,
die Kurven \textbf{von links oben nach rechts oben} verlaufen, bei
\textbf{negativem} $a$ verlaufen sie \textbf{von links unten nach rechts
unten}.\\

Jetzt verlaufen alle Kurven durch den $y$-Achsenabschnitt $y_0=1$. Das liegt
daran, dass das \textbf{absolute Glied} $e=1$ ist. Hier gilt: $y_0=e$.\\

Hier schneiden alle Kurven gleich steil die $y$-Achse. Dafür verantwortlich
ist (ähnlich wie zuvor bei den Polynomen 3. Grades) der Parameter im
"'Linearen Glied"', der hier allerdings $d$ heißt (und nicht $c$, wie bei
Polynomen 3. Grades). In allen dargestellten Funktionen ist $d=2$. Woran das
liegt und was eigentlich die Steigung bei einer krummlienigen Kurve genau ist,
ist Thema in der sogenannten \textbf{Differentialrechnung}. Das habe ich
ausführlich in diesem Skript dargestellt:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf}\fi
\end{center}

Was die Parameter $b$ und $c$ angeht, gibt es leider kein Merkmal, das man
ausschließlich diesen Parametern zuordnen kann. Das war ja auch schon beim
Parameter $b$ bei Polynomen 3. Grades so.\\

%\enlargethispage{10mm}
Wie man Nullstellen eines Polynomes 4. Grades bestimmt, habe ich wie bereits
erwähnt hier beschrieben:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi
\end{center}



\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\psset{xunit=8mm,yunit=5mm}
%\begin{pspicture}(-1.8,-2.8)(5.8,9.6)
%\end{pspicture}
%\end{wrapfigure}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%-------------------------
%\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
%  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
%    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
%    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
%  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
%    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
%    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
%     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
%     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
%  \pscustom{
%   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
%   \gsave
%   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
%   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
%  \grestore }
%  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
%          gridcolor=black!50,yunit=2]
%  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
%  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
%  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
%  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{180}{90}
%-------------------------
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}{text}}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
%\ifpdf \hyperlink{label}{Text}\fi
%\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
%\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
%\EUR{185}
% \^=                  % "entspricht"
