\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage[ngerman]{babel} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
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\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Partialbruchzerlegung}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=30mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Prinzip der Zerlegung}
\subsection{Nenner mit einfachen Nullstellen}
Es kommt vor, dass man einen Term in der Form eines \textbf{einzelnen Bruches}
in eine \textbf{Summe mehrerer Brüche} umformen möchte. Hierbei besteht der
Einzelbruch aus einem Polynom im Zähler und einem anderen Polynom im Nenner.
Die Einzelbrüche enthalten dann im Nenner jeweils nur ein Polynom
\textbf{ersten Grades} im Nenner und eine Konstante im Zähler. Allgemein sieht
das ganze so aus:
\[\cfrac{a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}
 {b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_2x^2+b_1x+b_0}
 =\cfrac{c_1}{x-x_1}+\cfrac{c_2}{x-x_2}+\ldots+\cfrac{c_m}{x-x_m}\]

Im Zähler haben wir ein Polynom $n$-ten Grades und im Nenner ein Polynom
$m$-ten Grades. Hierbei soll \mbox{$m > n$} sein.\footnote{Ist diese
Bedingung nicht erfüllt, dann kann zunächst eine unvollständige Polynomdivision
mit "`Rest"' durchgeführt werden. Für den Restterm gilt diese Bedingung dann.
Die Gesamtzerlegung beginnt in diesem Fall mit dem Ergebnis aus der
Polynomdivision, nur der Restterm wird mit dem hier beschriebenen
Verfahren in Summanden zerlegt.} Dabei sind die Werte $x_1$ bis $x_m$ die
Nullstellen des Nennerpolynoms und $c_1$ bis $c_m$ Konstanten, die bestimmt
werden müssen.\\

Damit die Beschreibung der Vorgehensweise nicht zu theoretisch wird, führe ich
sie an einem Beispiel vor. Dies ist unser zu zerlegender Beispielterm:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{4x^2+20x+12}{2x^3+4x^2-2x-4}$}
\end{center}

Zunächst müssen die Nennernullstellen\footnote{Einzelheiten zur
Nullstellenbestimmung
siehe hier: \ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/nullst.pdf}\fi} gefunden werden.
\[\begin{array}{rcll}
2x^3+4x^2-2x-4&=&0 &|:2 \\
x^3+2x^2-x-2&=&0 \\
\end{array}\]
Die Nullstellen eines Polynomes dritten Grades können nicht analytisch bestimmt
werden. Durch \textbf{planvolles} Probieren\footnote{Wenn es ganzzahlige
Nullstellen gibt, dann sind es Teiler des absoluten Gliedes. Das ist der Term
ohne $x$, in unserem Beispiel die 2. Hier kommen also
in Frage: $\pm 1$ und $\pm 2$} erhält man beispielsweise die erste Nullstelle
\mbox{$x_{01}=1$}.\\

Hiermit kann eine Polynomdivision\footnote{Einzelheiten zur Polynomdivision
siehe hier: \ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi} durch
\mbox{$(x-x_{01})$} durchgeführt werden.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+2x^2\ &-x\ &-2) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&3x^2\ &-x\ &-2\ \\
-&(3x^2\ &-3x) \\
\hline
&&2x\ &-2\ \\
&-&(2x\ &-2) \\
\hline
&&&0\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x-1)&=&x^2+3x+2 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array}\]

\newpage
Der Ergebnisterm kann nun mit der $p$-$q$-Formel weiter aufgelöst werden.

\[\begin{array}{rcll}
x^2+3x+2&=&0 \\
x_{02/03}&=&-\cfrac{3}{2}\pm \sqrt{\cfrac{9}{4}-2}\\
&=&-\cfrac{3}{2}\pm \cfrac{1}{2}\\
x_{02}=-1 &&x_{03}=-2 \\
\end{array}\]

Mit dieser Nennerzerlegung kann jetzt der Ansatz für die Partialbruchzerlegung
gemacht werden. Aus Bequemlichkeit verwende ich hier die Buchstaben $a$, $b$
und $c$ anstelle der Bezeichnungen $c_1$, $c_2$ und $c_3$ für die noch zu
bestimmenden Parameter.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4x^2+20x+12}{2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2)}
 &=&\cfrac{a}{x-1}+\cfrac{b}{x+1}+\cfrac{c}{x+2}\\
\end{array}\]
Es müssen jetzt nur noch die Parameter $a$, $b$ und $c$ bestimmt werden.
Dazu wird mit dem Hauptnenner multipliziert.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4x^2+20x+12}{2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2)}&=&
  \cfrac{a}{x-1}+\cfrac{b}{x+1}+\cfrac{c}{x+2}\\
4x^2+20x+12&=&a \cdot 2 \cdot (x+1) \cdot (x+2)+ \ldots \\
&&\ldots +b \cdot 2 \cdot (x-1) \cdot (x+2)+ \ldots \\
&&\ldots +c \cdot 2 \cdot (x-1) \cdot (x+1) \\
4x^2+20x+12&=&2a x^2+6a x+4a+ \ldots \\
&&\ldots +2b x^2+2b x-4b+ \ldots \\
&&\ldots +2c x^2-2c \\
4x^2+20x+12&=&(2a+2b+2c)\cdot x^2+(6a+2b)\cdot x+4 a-4 b-2 c \\
\end{array}\]
Die Frage, die sich stellt ist die: Wie kann man aus nur \textbf{einer}
Gleichung \textbf{drei} Parameter bestimmen? Die Antwort lautet: Durch
"`Koeffizientenvergleich"'. Da die Variable $x$ (zumindest im
Definitionsbereich) jeden beliebigen Wert annehmen kann und die Gleichung
\textbf{immer} richtig sein muss, müssen auf beiden Seiten die Koeffizienten
von $x^2$ und $x$ sowie die absoluten Glieder jeweils gleich sein. Das führt zu
einem Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)&2a&+2b&+2c&=&4 \\
(2)&6a&+2b&&=&20 \\
(3)&4 a&-4 b&-2 c&=&12 \\
\hline
\end{array}\]
Das Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren\footnote{Einzelheiten
dazu findet man z. B. hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi} gelöst werden.
Wir erhalten:

\[a=3 \qquad b=1 \qquad c=-2\]

\newpage
Mit diesen Werten lautet die Zerlegung:

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{4x^2+20x+12}{2x^3+4x^2-2x-4}=
 \cfrac{3}{x-1}+\cfrac{1}{x+1}-\cfrac{2}{x+2}$}
\end{center}

\subsection{Nenner mit mehrfachen Nullstellen}
Es kann vorkommen, dass der Nenner eine (oder mehrere) Doppel- oder
Mehrfach-Nullstellen enthält. Das bedeutet, es gibt bei der Faktorisierung des
Nenners einen Term der Form \mbox{$(x-x_0)^n$} mit \mbox{$n>1$}. Dann müssen
beim Ansatz für die Partialbruchzerlegung die Nenner
\[ (x-x_0)^1, \quad (x-x_0)^2, \quad \ldots \quad (x-x_0)^n\]
verwendet werden. Am besten wird dies durch ein Beispiel deutlich.

\[ \cfrac{7x^2-6x+3}{(x-1)^2 \cdot (x+1)}
  =\cfrac{a}{x-1}+\cfrac{b}{(x-1)^2}+\cfrac{c}{x+1} \]

Der Nenner liegt schon in faktorisierter Form vor. Eine Doppel-Nullstelle bei
\mbox{$x_0=1$} ist erkennbar. Daher lauten die ersten beiden Nenner in dem
Ansatz für die Zerlegung \mbox{$(x-1)^1$} und \mbox{$(x-1)^2$}. (Die 1 als
Exponent kann natürlich weggelassen werden.)\\

Die Gleichung wird nun so weit umgeformt, dass der Koeffizientenvergleich
durchgeführt werden kann.

\[\begin{array}{rcll}
 \cfrac{7x^2-6x+3}{(x-1)^2 \cdot (x+1)}
  &=&\cfrac{a}{x-1}+\cfrac{b}{(x-1)^2}+\cfrac{c}{x+1}&| \cdot \textnormal{HN}\\
7x^2-6x+3&=&a \cdot (x^2-1)+b \cdot (x+1)+c \cdot (x^2-2x+1) \\
7x^2-6x+3&=&ax^2-a+bx+b+cx^2-2cx+c \\
7x^2-6x+3&=&(a+c) \cdot x^2+(b-2c) \cdot x+(-a+b+c) \\
\end{array}\]

Durch den Koeffizientenvergleich erhalten wir dieses Gleichungssystem:

\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1) & a &&+c&=&7 \\
(2) & &b&-2c&=&10 \\
(3) &-a&+b&+c&=&3 \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem kann wie beschrieben mit einem beliebigen Verfahren gelöst
werden. Wir erhalten die Ergebnisse:

\[a=3 \qquad b=2 \qquad c=4\]

Mit diesen Werten lautet die Zerlegung:

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\cfrac{7x^2-6x+3}{(x-1)^2 \cdot (x+1)}=
 \cfrac{3}{x-1}+\cfrac{2}{(x-1)^2}+\cfrac{4}{x+1}$}
\end{center}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
Führen Sie eine Partialbruchzerlegung durch!
\subsection{Aufgabe 1}
\[\cfrac{7x+1}{x^2-1}= \ldots\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\cfrac{3x+23}{x^2-x-12}= \ldots \]
\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{-x+11}{2x^2+5x-3}= \ldots \]
\subsection{Aufgabe 4}
\[\cfrac{2x^2-6x-32}{x^3+x^2-17x+15}= \ldots \]
\subsection{Aufgabe 5}
\[\cfrac{3x^2+13x+12}{x^3+5x^2+8x+4}= \ldots\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}= \ldots \]


\newpage
\section{Ergebnisse}
Hier stehen nur die Ergebnisse, komplette Lösungswege sind im nächsten Kapitel
zu finden.
\subsection{Aufgabe 1}
\[\cfrac{7x+1}{x^2-1}=\cfrac{3}{x+1}+\cfrac{4}{x-1}\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\cfrac{3x+23}{x^2-x-12}=\cfrac{5}{x-4}-\cfrac{2}{x+3}\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{-x+11}{2x^2+5x-3}=\cfrac{3}{2x-1}-\cfrac{2}{x+3}\]
\subsection{Aufgabe 4}
\[\cfrac{2x^2-6x-32}{x^3+x^2-17x+15}
  =\cfrac{3}{x-1}+\cfrac{1}{x+5}-\cfrac{2}{x-3}\]
\subsection{Aufgabe 5}
\[\cfrac{3x^2+13x+12}{x^3+5x^2+8x+4}
  =\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{x+2}+\cfrac{2}{(x+2)^2}\]
\subsection{Aufgabe 6}
\[\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}
 =2+\cfrac{1}{x+2}-\cfrac{2}{x-3}-\cfrac{3}{x-4}\]


\newpage
\section{Komplettlösungen}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\cfrac{7x+1}{x^2-1}= \ldots\]
Der Nenner ist einfach zu zerlegen. Die dritte Binomische Formel steckt da
drin. Damit ergibt sich dieser Ansatz:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{7x+1}{x^2-1}&=&\cfrac{a}{x+1}+\cfrac{b}{x-1}&| \cdot (x+1) \cdot (x-1)\\
7x+1&=&a \cdot (x-1)+b \cdot (x+1) \\
7x+1&=&ax-a+bx+b \\
7x+1&=&(a+b) \cdot x+(-a+b) \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir dieses Lineargleichungssystem:
\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(1)&a&+b&=&7 \\
(2)&-a&+b&=&1 \\
\hline
\end{array}\]

Durch Addition der Gleichungen fällt $a$ weg, $b$ kann berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
2b&=&8 &|:2 \\
b&=&4 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (1) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&7 \\
a+4&=&7&|-4 \\
a&=&3 \\
\end{array}\]

Hiermit ergibt sich die Zerlegung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{7x+1}{x^2-1}=\cfrac{3}{x+1}+\cfrac{4}{x-1}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\[\cfrac{3x+23}{x^2-x-12}= \ldots \]
Die Nennernullstellen können mit der $p$-$q$-Formel bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
x^2-x-12&=&0 \\
x_{1/2}&=&\cfrac{1}{2}\pm \sqrt{\cfrac{1}{4}+\cfrac{48}{4}}\\
&=&\cfrac{1}{2}\pm \cfrac{7}{2}\\
x_1=4 && x_2=-3 \\
\end{array}\]

Nach dem Satz von Vieta kann der Nenner demnach folgendermaßen faktorisiert
werden:
\[x^2-x-12=(x-4) \cdot (x+3)\]
Mit dieser Zerlegung kann der Ansatz gemacht werden:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{3x+23}{x^2-x-12}&=&\cfrac{a}{x-4}+\cfrac{b}{x+3}
  &| \cdot (x-4) \cdot (x+3)\\
3x+23&=&a \cdot (x+3)+b \cdot (x-4) \\
3x+23&=&ax+3a+bx-4b \\
3x+23&=&(a+b) \cdot x+(3a-4b) \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenvergleich entsteht ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(1)&a&+b&=&3 \\
(2)&3a&-4b&=&23 \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Ich
löse dazu Gleichung (1) nach $b$ auf und setze das Ergebnis in (2) ein.
\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&3 &|-a \\
b&=&3-a \\
\end{array}\]
Einsetzen in (2):
\[\begin{array}{rcll}
3a-4b&=&23 \\
3a-4 \cdot (3-a)&=&23 \\
3a-12+4a&=&23 &|+12 \\
7a&=&35 &|:7 \\
a&=&5 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.
\[b=3-a=3-5=-2\]

Hiermit ergibt sich diese endgültige Zerlegung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{3x+23}{x^2-x-12}=\cfrac{5}{x-4}-\cfrac{2}{x+3}$}\end{center}

\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{-x+11}{2x^2+5x-3}= \ldots \]

Die Zerlegung des Nenners kann wieder mit $p$-$q$-Formel und dem Satz von Vieta
erfolgen.
\[\begin{array}{rcll}
2x^2+5x-3&=&0 &|:2 \\
x^2+\cfrac{5}{2}-\cfrac{3}{2}&=&0 \\
x_{1/2}&=&-\cfrac{5}{4}\pm \sqrt{\cfrac{25}{16}+\cfrac{24}{16}}\\
x_{1/2}&=&-\cfrac{5}{4}\pm \cfrac{7}{4}\\
x_1=\cfrac{1}{2} && x_2=-3 \\
\end{array}\]

Mit dem Satz von Vieta ergibt sich folgende Zerlegung, die anschließend noch
etwas umgeformt wird.
\[2x^2+5x-3=2 \cdot \left(x-\cfrac{1}{2}\right)\cdot (x+3) =
(2x-1) \cdot (x+3) \]

\underline{Anmerkung:} Indem die 2 in die \textbf{erste} Klammer
hineingerechnet wird, kann man Brüche vermeiden.\\

Mit dieser Zerlegung kann der Ansatz gemacht werden:
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{-x+11}{2x^2+5x-3}&=&\cfrac{a}{2x-1}+\cfrac{b}{x+3}
 &| \cdot (2x-1) \cdot (x+3) \\
-x+11&=&a \cdot (x+3)+b \cdot (2x-1) \\
-x+11&=&ax+3a+2bx-b \\
-x+11&=&(a+2b) \cdot x+(3a-b) \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenvergleich entsteht ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrcl|}
\hline
(1)&a&+2b&=&-1 \\
(2)&3a&-b&=&11 \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Ich
löse dazu Gleichung (1) nach $a$ auf und setze das Ergebnis in (2) ein.

\[\begin{array}{rcll}
a+2b&=&-1 &|-2b \\
a&=&-1-2b \\
\end{array}\]

Einsetzen in (2):
\[\begin{array}{rcll}
3a-b&=&11 \\
3 \cdot (-1-2b)-b&=&11 \\
-3-6b-b&=&11 &|+3 \\
-7b&=&14 &|:(-7) \\
b&=&-2 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in die umgestellte Gleichung (1) eingesetzt.
\[a=-1-2b=-1-2 \cdot (-2)=3\]

Hiermit ergibt sich diese endgültige Zerlegung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{-x+11}{2x^2+5x-3}=\cfrac{3}{2x-1}-\cfrac{2}{x+3}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
\[\cfrac{2x^2-6x-32}{x^3+x^2-17x+15}= \ldots \]

Der Nenner stellt ein Polynom dritten Grades dar. Durch
planvolles\footnote{Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, dann sind sie Teiler
des absoluten Gliedes.} Raten wird die erste Nullstelle ermittelt:
\[x_1=1\]

Damit ist eine \textbf{Polynomdivision}\footnote{Einzelheiten zur
Polynomdivision findet man hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi}
durch $(x-x_1)$ -- also $(x-1)$ -- möglich.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+x^2\ &-17x\ &+15) \\
-(x^3&-x^2) \\
\hline
&2x^2\ &-17x\ &+15\ \\
-&(2x^2\ &-2x) \\
\hline
&&-15x\ &+15\ \\
&-&(-15x\ &+15) \\
\hline
&&& 0\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x-1)&=&x^2+2x-15 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array} \]

Der Nenner kann also folgendermaßen zerlegt werden:
\[x^3+x^2-17x+15=(x^2+2x-15) \cdot (x-1) \]

Jetzt muss nur noch der Quadratische Term weiter zerlegt werden. Das geht mit
der $p$-$q$-Formel und dem Satz von Vieta.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+2x-15&=&0 \\
x_{2/3}&=&-1 \pm \sqrt{1+15}\\
x_{2/3}&=&-1 \pm 4 \\
x_2=-5 && x_3=3 \\
\end{array}\]

Hiermit lässt sich der Gesamtnenner folgendermaßen faktorisieren:
\[x^3+x^2-17x+15=(x-1) \cdot (x+5) \cdot (x-3)\]

Jetzt können wir den Ansatz zur Partialbruchzerlegung machen.
\[\begin{array}{rcl}
\cfrac{2x^2-6x-32}{x^3+x^2-17x+15}
&=&\cfrac{a}{x-1}+\cfrac{b}{x+5}+\cfrac{c}{x-3} \quad | \cdot \textnormal{HN}\\
2x^2-6x-32&=&a \cdot (x+5) \cdot (x-3)+b \cdot (x-1) \cdot (x-3)
 +c \cdot (x-1) \cdot (x+5) \\
2x^2-6x-32&=&ax^2+2ax-15a+bx^2-4bx+3b+cx^2+4cx-5c \\
2x^2-6x-32&=&(a+b+c) \cdot x^2+(2a-4b+4c) \cdot x+(-15a+3b-5c) \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenverleich erhält man ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)& a& +b& +c&=&2 \\
(2)&2a&-4b&+4c&=&-6 \\
(3)&-15a&+3b&-5c&=&-32 \\
\hline
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem kann mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden. Ich
löse es beispielhaft mit der Cramerschen Regel\footnote{Einzelheiten zur
Cramerschen Regel siehe hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi}.

\[\begin{array}{rcll}
a&=&\cfrac{\begin{array}{|rrr|}
2 & 1 & 1 \\
-6&-4 & 4 \\
-32& 3&-5 \\
\end{array}}{\begin{array}{|rrr|}
1  & 1 & 1 \\
2  &-4 & 4 \\
-15& 3 &-5 \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{40-128-18-128-24-30}{20-60+6-60-12+10}\\
&=&\cfrac{-288}{-96}\\
a&=&3 \\
\end{array}\]

Da die Nennerdeterminante bereits bekannt ist, muss sie zur Bestimmung von $b$
nicht erneut berechnet werden.

\[\begin{array}{rcll}
b&=&\cfrac{\begin{array}{|rrr|}
1 & 2 & 1 \\
2 &-6 & 4 \\
-15&-32&-5 \\
\end{array}}{-96}\\
&=&\cfrac{30-120-64-90+128+20}{-96}\\
&=&\cfrac{-96}{-96}\\
b&=&1 \\
\end{array}\]

Diese Werte für $a$ und $b$ werden in (1) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c&=&2 \\
3+1+c&=&2 &|-4 \\
c&=&-2 \\
\end{array}\]

Hiermit ergibt sich diese Zerlegung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{2x^2-6x-32}{x^3+x^2-17x+15}
=\cfrac{3}{x-1}+\cfrac{1}{x+5}-\cfrac{2}{x-3}$}\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
\[\cfrac{3x^2+13x+12}{x^3+5x^2+8x+4}= \ldots \]

Der Nenner stellt ein Polynom dritten Grades dar. Durch
planvolles Raten wird die erste Nullstelle ermittelt:
\[x_1=-1\]

Damit ist eine \textbf{Polynomdivision} durch $(x-x_1)$ -- also $(x+1)$ --
möglich.

\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&+5x^2\ &+8x\ &+4) \\
-(x^3&+x^2) \\
\hline
&4x^2\ &+8x\ &+4\ \\
-&(4x^2\ &+4x) \\
\hline
&&4x\ &+4\ \\
&-&(4x\ &+4) \\
\hline
&&& 0\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x+1)&=&x^2+4x+4 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array} \]

Der Nenner kann also folgendermaßen zerlegt werden:
\[x^3+5x^2+8x+4=(x^2+4x+4) \cdot (x+1) \]

Jetzt muss nur noch der Quadratische Term weiter zerlegt werden. Das geht mit
der $p$-$q$-Formel und dem Satz von Vieta.
\[\begin{array}{rcll}
x^2+4x+4&=&0 \\
x_{2/3}&=&-2 \pm \sqrt{4-4}\\
x_{2/3}&=&-2 \pm 0 \\
\end{array}\]

Hier liegt eine Doppelnulstelle vor.
Hiermit lässt sich der Gesamtnenner folgendermaßen faktorisieren:
\[x^3+5x^2+8x+4=(x+1) \cdot (x+2)^2 \]

Jetzt können wir den Ansatz zur Partialbruchzerlegung machen.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{3x^2+13x+12}{x^3+5x^2+8x+4}
 &=&\cfrac{a}{x+1}+\cfrac{b}{x+2}+\cfrac{c}{(x+2)^2} &| \cdot \textnormal{HN}\\
3x^2+13x+12&=&a \cdot (x+2)^2+b \cdot (x+1) \cdot (x+2)+c \cdot (x+1) \\
3x^2+13x+12&=&ax^2+4ax+4a+bx^2+3bx+2b+cx+c \\
3x^2+13x+12&=&(a+b) \cdot x^2+(4a+3b+c) \cdot x+4a+2b+c \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenverleich erhält man ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|crrrcl|}
\hline
(1)& a& +b&  &=&3 \\
(2)&4a&+3b&+c&=&13 \\
(3)&4a&+2b&+c&=&12 \\
\hline
\end{array}\]

Zur Lösung bietet sich hier das Additions-/Subtraktionsverfahren an.
Subtrahiert man nämlich Gleichung (3) von Gleichung (2), dann fällt sowohl $a$
als auch $c$ weg.

\[\begin{array}{crrrcll}
(2)&4a&+3b&+c&=&13 &| \\
(3)&4a&+2b&+c&=&12 &|- \\
\hline
   &&b&&=&1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (1) eingesetzt:
\[\begin{array}{rcll}
a+b&=&3 \\
a+1&=&3 &|-1 \\
a&=&2 \\
\end{array}\]

Beide Ergebnisse können in (2) oder (3) eingesetzt werden. Willkürlich wähle
ich Glei\-chung (3).

\[\begin{array}{rcll}
4a+2b+c&=&12 \\
4 \cdot 2+2 \cdot 1+c&=&12 \\
10+c&=&12 &|-10 \\
c&=&2 \\
\end{array}\]

Hiermit ergibt sich diese Zerlegung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{3x^2+13x+12}{x^3+5x^2+8x+4}
  =\cfrac{2}{x+1}+\cfrac{1}{x+2}+\cfrac{2}{(x+2)^2}$}\end{center}


\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
\[\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}= \ldots \]
Der Grad des Zählerpolynoms ist \textbf{nicht kleiner} als der Grad des
Nennerpolynoms. Daher muss zunächst eine Polynomdivision\footnote{Einzelheiten
zur Polynomdivision findet man hier:
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/polynomd.pdf}\fi} mit "`Rest"' durchgeführt
werden.

\[\begin{array}{rrrr}
(2x^3&-14x^2 &-4x&+94) \\
-(2x^3&-10x^2&-4x&+48) \\
\hline
&-4x^2 & &+46\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x^3-5x^2-2x+24)&=&2 \\ \\ \\
\end{array} \]

Der erste Zerlegungsschritt sieht damit so aus:
\[\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}=2+\cfrac{-4x^2+46}{x^3-5x^2-2x+24}\]

Als nächstes werden die Nennernullstellen benötigt. Durch planvolles Raten
erhält man z.B. $x_{01}=-2$. Wir können eine Polynomdivision durch
\mbox{$(x-x_{01})$}, also durch \mbox{$(x+2)$} durchführen.
\[\begin{array}{rrrr}
(x^3&-5x^2\ &-2x\ &+24) \\
-(x^3&+2x^2) \\
\hline
&-7x^2\ &-2x\ &+24\ \\
-&(-7x^2\ &-14x) \\
\hline
&&12x\ &+24\ \\
&-&(12x\ &+24) \\
\hline
&&& 0\ \\
\end{array} \begin{array}{rrrr}
:&(x+2)&=&x^2-7x+12 \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\
\end{array} \]

Der Nenner kann also folgendermaßen zerlegt werden:
\[x^3-5x^2-2x+24=(x+2) \cdot (x^2-7x+12) \]

Die zweite Klammer kann nun mit Hilfe der $p$-$q$-Formel und dem Satz von Vieta
weiter zerlegt werden.
\[\begin{array}{rcll}
x^2-7x+12&=&0 \\
x_{02/03}&=&\cfrac{7}{2}\pm \sqrt{\cfrac{49}{4}-\cfrac{48}{4}}\\
x_{02/03}&=&\cfrac{7}{2}\pm \cfrac{1}{2}\\
x_{02}=3 && x_{03}=4 \\
\end{array}\]

Hiermit sieht die komplette Zerlegung des Nenners so aus:
\[x^3-5x^2-2x+24=(x+2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) \]

Mit dem Teilbruch aus der ersten Zerlegung des Bruches und dieser
Nennerzerlegung kann nun der Ansatz für die Partialbruchzerlegung gemacht
werden.
\[\begin{array}{rcl}
\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}
  &=&2+\cfrac{a}{x+2}+\cfrac{b}{x-3}+\cfrac{c}{x-4}\\
2+\cfrac{-4x^2+46}{x^3-5x^2-2x+24}
  &=&2+\cfrac{a}{x+2}+\cfrac{b}{x-3}+\cfrac{c}{x-4}\quad |-2 \\
\cfrac{-4x^2+46}{x^3-5x^2-2x+24}
 &=&\cfrac{a}{x+2}+\cfrac{b}{x-3}+\cfrac{c}{x-4}\quad | \cdot \textnormal{HN}\\
-4x^2+46&=&a \cdot (x-3) \cdot (x-4)+b \cdot (x+2) \cdot (x-4)
  +c \cdot (x+2) \cdot (x-3) \\
-4x^2+46&=&ax^2-7ax+12a+bx^2-2bx-8b+cx^2-cx-6c \\
-4x^2+46&=&(a+b+c) \cdot x^2+(-7a-2b-c) \cdot x+(12a-8b-6c) \\
\end{array}\]

Durch Koeffizientenvergleich erhält man ein Lineargleichungssystem 3.
Ordnung.\\
\underline{Anmerkung:} Da auf der linken Gleichungsseite kein Linearer Term mit
einfachem $x$ auftritt, ist der zugehörige Koeffizient Null.
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(1)& a & +b & +c&=&-4 \\
(2)&-7a&-2b & -c&=&0 \\
(3)&12a&-8b &-6c&=&46 \\
\hline
\end{array}\]

Zur Abwechslung verwende ich diesmal für den ersten Reduktionsschritt das
\textbf{Einsetzungsverfahren}. Dazu wird Gleichung (1) nach $c$ umgestellt.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c&=&-4 &|-a-b \\
c&=&-4-a-b \\
\end{array}\]

Das Ergebnis wird in (2) und (3) eingesetzt.
\[\begin{array}{crcll}
(2)&-7a-2b-(-4-a-b)&=&0 \\
(3)&12a-8b-6 \cdot (-4-a-b)&=&46 \\
\hline
(2)&-7a-2b+4+a+b&=&0 &|-4 \\
(3)&12a-8b+24+6a+6b&=&46 &|-24 \\
\hline
(2)&-6a\ -b&=&-4 \\
(3)&18a-2b&=&22 \\
\hline
\end{array}\]

Für den zweiten Reduktionsschritt möchte ich das
Additions-/Subtraktionsverfahren verwenden. Ich dividiere Gleichung (3) durch
2, damit beim Subtrahieren $b$ wegfällt.
\[\begin{array}{crrcll}
(2a)&-6a&-b&=&-4 \\
(3a)&18a&-2b&=&22&|:2 \\
\hline
(2a)&-6a&-b&=&-4&|- \\
(3a)& 9a&-b&=&11&| \\
\hline
   &15a&  &=&15 &|:15 \\
   &  a&&=&1 \\
\end{array}\]

Dieses Ergebnis setze ich in $(2a)$ ein, um $b$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
-6a-b&=&-4 \\
-6 \cdot 1-b&=&-4 &|+6 \\
-b&=&2 &| \cdot (-1) \\
b&=&-2 \\
\end{array}\]

Beide Ergebnisse werden in (1) eingesetzt, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c&=&-4 \\
1-2+c&=&-4 &|+1 \\
c&=&-3 \\
\end{array}\]

Mit diesen Werten kann nun die Zerlegung des ursprünglichen Bruches angegeben
werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\cfrac{2x^3-14x^2-4x+94}{x^3-5x^2-2x+24}
 =2+\cfrac{1}{x+2}-\cfrac{2}{x-3}-\cfrac{3}{x-4}$}\end{center}



\end{document}
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