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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Der Operationsverstärker}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf
stehen (oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form
an die nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!

\newpage
\section{Grundlagen des idealen Operationsverstärkers}
\subsection{Die Bezeichnungen}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=12mm}
 \begin{pspicture}(1,2.8)(7.2,6)
   \pnode(2,3){A}
   \pnode(7,3){B}
   \pnode(2,5.25){E}
   \pnode(3,4.25){F}
   \pnode(7,4.75){H}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \wire(A)(B)
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.35)(3.1,5.15)
   \uput{0.1}[180](3.1,4.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.15)(3.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](3.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E+}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(2.1,5.15)(2.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](2.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E-}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(6.9,4.65)(6.9,3.1)
   \uput{0.1}[180](6.9,3.9){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \uput{0.1}[180](A){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Operationsverstärker}}
\end{wrapfigure}

Der Operationsverstärker -- im folgenden einfach \textbf{OP} genannt -- ist ein
recht universell einsetzbares Bauelement. Er wird immer gegen ein
Bezugspotential betrieben. Das Bezugspotential ist hier mit 0 Volt bezeichnet.
Es ist sicher etwas gewöhnungsbedürftig, dass das Bezugspotential scheinbar
nirgendwo mit dem OP verbunden ist. In Wirklichkeit scheint das aber nur so.\\

Natürlich benötigt der OP eine Spannungsversorgung. Diese wird jedoch
üblicherweise nicht mit eingezeichnet. Über diese Spannungsversorgung hat der
OP dann doch eine Verbindung zum Bezugspotential. Die Versorgungsspannung liegt
meist symmetrisch zum Bezugspotential\footnote{In der Praxis gibt es jedoch
viele andere Möglichkeiten, auch eine unsymmetrische Spannungsversorgung zu
verwenden. Einige OPs sind sogar speziell dafür gebaut.}, beispielsweise
$\pm \unit[15]{V}$.\\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=12mm}
 \begin{pspicture}(1,2.8)(7.2,6)
   \pnode(2,3){A}
   \pnode(7,3){B}
   \pnode(2,5.25){E}
   \pnode(3,4.25){F}
   \pnode(7,4.75){H}
   \OA(E)(F)(H)
   \wire(A)(B)
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.35)(3.1,5.15)
   \uput{0.1}[180](3.1,4.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.15)(3.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](3.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E+}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(2.1,5.15)(2.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](2.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E-}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(6.9,4.65)(6.9,3.1)
   \uput{0.1}[180](6.9,3.9){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \uput{0.1}[180](A){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Amerikanisches Schaltzeichen}}
\end{wrapfigure}
Oben dargestellt ist der OP mit seinem Europäischen Schaltzeichen. In der
Literatur findet man auch oft die Darstellung mit dem Amerikanischen
Schaltzeichen. Dieses ist hier nebenstehend dargestellt.\\

In dieser Darstellung sind die Bezeichnungen die gleichen, lediglich die
Darstellung des Symbols sieht etwas anders aus. Da man bei der Arbeit mit
OP-Schaltungen auch oft Amerikanische Literatur\footnote{Auch in Fernost werden
die Amerikanischen Zeichen verwendet.} in die Hände bekommt, wird das
Symbol hier gezeigt. Im Falle eines Falles können Sie das Symbol dann als OP
deuten. Im weiteren Verlauf des Artikels verwende ich aber die
Europäische Norm.\\

Der OP hat zwei Eingänge und einen Ausgang. Daher gibt es auch zwei
Eingangsspannungen ($U_{E+}$ und $U_{E-}$) und eine Ausgangsspannung ($U_A$).
Entscheidend für die Funktion des OP sind aber nicht $U_{E+}$ und $U_{E-}$,
sondern die sogenannte \textbf{\emph{Differenzeingangsspannung}} $\mathbf{U_d}$ mit
$U_d=U_{E+}-U_{E-}$.\\

\subsection{Bedingungen des idealen Operationsverstärkers}
Wir wollen den OP zunächst als \emph{ideales} Bauelement betrachten. Er ist
vollständig beschrieben durch drei Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Die Leerlaufverstärkung $V_0$\footnote{Hiermit ist der Verstärkungsfaktor
  des unbeschalteten OP gemeint. Später werden wir auch den Verstärkungsfaktor
  einer \textbf{Schaltung} kennen lernen. Das ist etwas anderes.} des OP ist
  unendlich groß:
  \[V_0=\cfrac{U_A}{U_d}= \infty \]
\item Die Eingangswiderstände an beiden Eingängen sind unendlich groß:
  \[R_{E+}=R_{E-}=R_E= \infty\]
\item Der Ausgangswiderstand ist gleich Null:
  \[R_A=0\]
\end{enumerate}

Auf den ersten Blick führt speziell die erste Bedingung zu einem absurden, kaum
praxistauglichen Verhalten. Sobald $U_d$ auch nur geringfügig positiv
ist, erhalten wir eine unendlich große positive Ausgangsspannung. Wechselt
$U_d$ in den negativen Bereich, dann springt die Ausgangsspannung sofort auf
einen unendlich großen negativen Wert. Ist dagegen $U_d$ genau gleich Null,
dann ist \textbf{jede} Ausgangsspannung möglich.\\

Wie dieses scheinbare Dilemma in der Praxis zu sinnvollen Ergebnissen führen
kann, wird in den nachfolgenden Kapiteln bei der Beschreibung der Schaltungen
mit OP deutlich.



\newpage %----------------------------------------------
\section{Schaltungen mit einem Operationsverstärker}
\label{gegenkopplung}
Wegen der beschriebenen Eigenschaften eines idealen OP ist es eigentlich fast
immer notwendig, den OP mit einer \textbf{Gegenkopplung} zu betreiben. Darunter
versteht man eine Rückführung der Ausgangsspannung in geeigneter Form auf den
\textbf{negativen} Eingang des OP. Dadurch erhält man einen klar definierten
Zustand des OP. Wie das im einzelnen aussehen kann, möchte ich ausführlich
am Beispiel des invertierenden Verstärkers erläutern. Für alle Schaltungen soll
gelten: Wir betrachten zunächst die Funktionen der Schaltungen mit den
Bedingungen des \textbf{idealen} Operationsverstärkers. Erst in späteren
Kapiteln möchte ich auf die zusätzlichen Bedingungen eingehen, die der
\textbf{reale} Operationsverstärker mitbringt.\\

\subsection{Der Invertierende Verstärker}
\subsubsection{Schaltung und Funktionsweise}
\label{verstaerker}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,6.5)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
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   \pnode(4,3.25){F}
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   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \psline[linecolor=blue]{->}(4,3.4)(4,4.1)
   \uput{0.1}[180](4,3.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Invertierender Verstärker}}
\end{wrapfigure}
In nebenstehend dargestellter Schaltung eines Invertierenden Verstärkers ist
die Gegenkopplung durch den Widerstand $R_2$ gegeben. Hierdurch wird
erreicht, dass die Differenz-Eingangsspannung $U_d$ des OP immer Null ist.
Wieso?\\

Nehmen wir einmal an, es sei nicht so. Nehmen wir beispielsweise an, dass das
Potential am Minus-Eingang positiv sei (dann ist $U_d<0$), dann müsste sich die
Ausgangsspannung schnell in Richtung $-\infty$ bewegen. Über $R_2$ "`zieht"'
sie damit das Potential am Minus-Eingang nach unten, bis
\mbox{$U_d=\unit[0]{V}$} erreicht ist. Wäre das Potential am Minus-Eingang
negativ gewesen, hätte ein Ausgleichsvorgang in der umgekehrten Richtung
stattgefunden. In jedem Fall ergibt sich nur dann ein konsistenter Zustand,
wenn \mbox{$U_d=\unit[0]{V}$} ist. Nach außen hin wirkt es so, als ob zwischen
den beiden Eingängen des OP ein Kurzschluss bestünde. Tatsächlich ist das
natürlich nicht der Fall, die Eingangswiderstände sind ja unendlich groß. Aus
diesem Grund spricht man bei einem OP mit Gegenkopplung von einem
"`\textbf{\emph{Virtuellen Kurzschluss}}"' zwischen den Eingängen.\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
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   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
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     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
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     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
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   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=green](E)(F)
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Virtueller Kurzschluss}}
\end{wrapfigure}

Mit dem Virtuellen Kurzschluss erhält man nun einen guten Ansatz zur Berechnung
von gegengekoppelten OP-Schaltungen in die Hand. Natürlich muss man sich immer
vergegenwärtigen, dass man mit diesem Ansatz eigentlich Ursache und Wirkung
vertauscht, aber für die Schaltungsanalyse ist diese Denkweise sehr hilfreich.
Nebenstehend ist der Virtuelle Kurzschluss mit einer grünen gestrichelten Linie
eingezeichnet.\\

Wir gehen das Prinzip einmal an einem Beispiel durch. Gegeben seien:\\
\mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$, $R_2=\unit[10]{k \Omega}$ und $U_E=\unit[1]{V}$.}\\

Der Virtuelle Kurzschluss sorgt dafür, dass am Minus-Eingang des OP das gleiche
Potential anliegt, wie am Plus-Eingang, nämlich $\unit[0]{V}$. Daher ist die Spannung
$U_1$ genau so groß, wie die Spannung $U_E$. Damit kann der Strom $I_1$
bestimmt werden.
\[I_1=\cfrac{U_1}{R_1}=\cfrac{U_E}{R_1}=\cfrac{\unit[1]{V}}{\unit[1]{k \Omega}}
=\unit[1]{mA}\]
Nun kommt das Besondere am Virtuellen Kurzschluss: Er ist hochohmig! Der Strom
$I_1$ kann \textbf{nicht} über diesen Kurzschluss (also über die grüne
gestrichelte Linie) nach unten zum $\unit[0]{V}$-Punkt abfließen.
Er kann auch nicht in den Minus-Eingang des OP fließen, der Eingangswiderstand
ist ja hochohmig (ideal: unendlich groß). Nach der Kirchhoffschen Knotenregel
kann er nur über $R_2$ nach rechts weiterfließen.\\

Wenn wir dieses Grundprinzip am OP verstanden haben, dann können wir so auch
alle unbekannten Schaltungen berechnen. Ich betone noch einmal: Hier werden
Ursache und Wirkung vertauscht. Tatsächlich stellt der OP seine
Ausgangsspannung $U_A$ genau so ein, dass sich an seinen beiden Eingängen das
selbe Potential einstellt. Genau das selbe Ergebnis hätten wir bei einem echten
Kurzschluss.\\

Führen wir aber nun die begonnene Berechnung fort.\\

Da der Strom $I_1$ nur über $R_2$ weiterfließen kann, ist demnach $I_2=I_1$.
Wir können die Spannung $U_2$ mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen.
\[U_2=R_2 \cdot I_2=R_2 \cdot I_1=\unit[10]{k \Omega} \cdot
\unit[1]{mA}=\unit[10]{V}\]

Nun kann die Ausgangsspannung $U_A$ bestimmt werden. Dazu machen wir einen
Maschenumlauf vom $\unit[0]{V}$-Punkt über den Virtuellen Kurzschluss, den
Widerstand $R_2$ und die Ausgangsspannung $U_A$.

\begin{eqnarray*}
U_2+U_A&=&0 \\
U_A&=&-U_2 \\
U_A&=&-\unit[10]{V}
\end{eqnarray*}

Wir wollen nun analog zu der Vorgehensweise mit konkreten Zahlenwerten eine
Formel entwickeln, mit der die Spannungsverstärkung $V_U=\frac{U_A}{U_E}$ der
Schaltung bestimmt werden kann.

\begin{eqnarray*}
U_1&=&U_E \\
I_1&=&\cfrac{U_1}{R_1}= \cfrac{U_E}{R_1}\\
I_2&=&I_1=\cfrac{U_E}{R_1}\\
U_2&=&R_2 \cdot I_2=R_2 \cdot \cfrac{U_E}{R_1}\\
U_A&=&-U_2=-R_2 \cdot \cfrac{U_E}{R_1} \\
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis wird in die Definitionsgleichung für $V_U$ eingesetzt.
\[V_U=\cfrac{U_A}{U_E}=\cfrac{-R_2 \cdot \frac{U_E}{R_1}}{U_E}
=-\cfrac{R_2 \cdot U_E}{U_E \cdot R_1}=-\cfrac{R_2}{R_1}\]
Zusammengefasstes Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=-\cfrac{R_2}{R_1}$}\\

\underline{Zur Verdeutlichung:} Das Minuszeichen in dieser Formel sagt uns,
dass diese Schaltung ein \textbf{Invertierender} Verstärker ist. Die Polarität
der Ausgangsspannung ist genau umgekehrt zur Polarität der Eingangsspannung.

\enlargethispage{10mm}
\subsubsection{Merkmale des Invertierenden Verstärkers}
\begin{enumerate}
\item Wir kennen bereits seinen Verstärkungsfaktor:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=-\cfrac{R_2}{R_1}$}
\item Der Eingangswiderstand $R_E$ der Schaltung ist identisch mit $R_1$,
  obwohl doch der OP unendlich große Eingangswiderstände hat. Warum?\\

  Der Grund ist recht einfach. Die Eingangsspannung $U_E$ liegt am Widerstand
  $R_1$ an, wie vorstehend beschrieben. Daher fließt ein Eingangsstrom in die
  Schaltung hinein, der durch $U_E$ und $R_1$ bestimmt wird. Daher:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$R_E=R_1$}
\item Der Ausgangswiderstand der Schaltung ist $\unit[0]{\Omega}$, da auch der
  Ausgangswiderstand des OP $\unit[0]{\Omega}$ beträgt. Daher:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$R_A=\unit[0]{\Omega}$}
\end{enumerate}

\subsection{Der Inverter}
\label{inverter}
Eigentlich ist der Inverter keine eigenständige Schaltung. Diese ist identisch
mit dem vorstehend beschriebenen Invertierenden Verstärker. Die einzige
Besonderheit ist: \mbox{$R_1=R_2$}. Dadurch wird der Verstärkungsfaktor
\mbox{$V_U=-1$}. Die Eingangsspannung erscheint in gleicher Größe, aber mit
umgekehrter Polarität am Ausgang. Die Schaltung noch hier einmal anzugeben,
erübrigt sich.

\subsection{Der Nichtinvertierende Verstärker}
\subsubsection{Schaltung und Funktionsweise}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,7)
   \pnode(1,3.25){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(3,5.5){D}
   \pnode(3,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(3,3.25){F}
   \pnode(7,5.5){G}
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   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](F)(J){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.5,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=0.6](G)(D){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,3.15)(0.95,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(B)(F)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \wire(E)(F)
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(0.95,3.25){2pt}
   \pscircle(8.05,1){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Nichtinvertierender Verstärker}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Schaltung eines Nichtinvertierenden Verstärkers
dargestellt. Zur Analyse der Schaltung gehe ich wieder von einem Virtuellen
Kurzschluss zwischen den beiden Eingängen des OP aus. Das ist zulässig, denn
der Widerstand $R_2$ stellt eine \textbf{Gegenkopplung} dar, also eine
Rückführung der Ausgangsspannung auf den \textbf{negativen} Eingang des OP.\\

Aufgrund des Ansatzes mit dem Virtuellen Kurzschluss muss gelten:
\[U_1=U_E\]
Diese Bedingung kann nur erfüllt sein mit einem Strom
\[I_1=\cfrac{U_1}{R_1}\]
Es stellt sich die Frage, woher der Strom dann kommen muss. Der Eingang des OP
ist hochohmig, der Virtuelle Kurzschluss auch, also kann der Strom nur über
$R_2$ kommen. $I_1$ ist demnach identisch mit $I_2$.\\

Die beiden Widerstände stellen einen Spannungsteiler dar, der die Spannung
$U_A$ auf die Spannung $U_1$ herunter teilt. Nach Kirchhoff gilt:
\[U_1+U_2=U_A\]
Löst man die Gleichung nach $U_2$ auf, erhält man:
\[U_2=U_A-U_1\]
Ebenfalls nach Kichhoff gilt:
\[\cfrac{U_2}{U_1}=\cfrac{R_2}{R_1}\]
Setzt man das eben gefundene Ergebnis für $U_2$ in diese Gleichung ein, dann
kann man die resultierende Gleichung nach $U_A$ auflösen.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{U_2}{U_1}&=&\cfrac{R_2}{R_1}\\
\cfrac{U_A-U_1}{U_1}&=&\cfrac{R_2}{R_1} &| \cdot U_1 \\
U_A-U_1&=&\cfrac{R_2 \cdot U_1}{R_1} &|+U_1 \\
U_A&=&\cfrac{R_2 \cdot U_1}{R_1}+U_1 \\
U_A&=&\cfrac{R_2 \cdot U_1}{R_1}+\cfrac{R_1 \cdot U_1}{R_1} \\
U_A&=&\cfrac{R_2 \cdot U_1+R_1 \cdot U_1}{R_1}\\
U_A&=&\cfrac{R_2+R_1}{R_1} \cdot U_1 \\
\end{array}\]
Mit $V_U=\frac{U_2}{U_1}$ können wir die Spannungsverstärkung der Schaltung
daraus berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
V_U&=&\cfrac{U_2}{U_1}\\
&=&\cfrac{\frac{R_2+R_1}{R_1} \cdot U_1}{U_1}\\
V_U&=&\cfrac{R_2+R_1}{R_1}\\
\end{array}\]

Damit haben wir die Formel zur Spannungsverstärkung dieser Schaltung erhalten:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=\cfrac{R_1+R_2}{R_1}$}
\end{center}

\underline{Zur Verdeutlichung:}
Hier haben wir in der Formel \textbf{kein} Minuszeichen, wie beim
Invertierenden Verstärker. Hier wird tatsächlich die Ausgangsspannung
\textbf{nicht} invertiert.

\subsubsection{Merkmale des Nichtinvertierenden Verstärkers}
\begin{enumerate}
\item Wir haben den Verstärkungsfaktor hergeleitet:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=\cfrac{R_1+R_2}{R_1}$}
\item Der Eingangswiderstand der Schaltung ist \textbf{unendlich} groß, denn
  der Schaltungseingang ist ausschließlich mit einem (hochohmigen) Eingang des
  OP verbunden. Das ist anders, als beim Invertierenden Verstärker. Also:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$R_E=\infty$}
\item Der Ausgangswiderstand der Schaltung ist $\unit[0]{\Omega}$, da auch der
  Ausgangswiderstand des OP $\unit[0]{\Omega}$ beträgt. Daher:
  \fcolorbox{red}{yellow}{$R_A=\unit[0]{\Omega}$}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection{Der Spannungsfolger}
\label{spannungsfolger}
\begin{wrapfigure}{r}{6cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(1,1.8)(9,5.1)
   \pnode(2.5,3.25){B}
   \pnode(2.5,2){C}
   \pnode(3,5){D}
   \pnode(3,4.25){E}
   \pnode(3,3.25){F}
   \pnode(7,5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(3,2){J}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \wire(G)(D)
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](2.45,3.15)(2.45,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(B)(F)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(2.45,2){2pt}
   \pscircle(2.45,3.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Der Spannungsfolger}}
\end{wrapfigure}
Der Spannungsfolger ist eine Sonderform des Nichtinvertierenden Verstärkers.
Hier wurde \mbox{$R_1= \infty$} und \mbox{$R_2=0$}, also $R_1$ entfernt und
$R_2$ durch eine Drahtbrücke ersetzt.\\

Leider kann man zur Herleitung einer Formel für den Verstärkungsfaktor nicht
einfach die beiden Werte in die Formel des Nichtinvertierenden Verstärkers
einsetzen. Man erhielte dann nämlich:
\[V_U=\cfrac{\infty}{\infty}\]
Der Ansatz mit der Denkweise des virtuellen Kurzschlusses dagegen hilft sofort
weiter. Über den Virtuellen Kurzschluss (nicht mit eingezeichnet) und die
Drahtbrücke zwischen Minus-Eingang und Ausgang wird $U_E$ unmittelbar auf den
Ausgang übertragen: $U_A=U_E$. Noch einmal zum Verständnis: Natürlich wird hier
Ursache und Wirkung wieder vertauscht. Die Ausgangsspannung $U_A$ stellt sich
genau so ein, dass am Minuseingang des OP die gleiche Spannung wie am
Pluseingang anliegt, also $U_A=U_E$ ist. Die Ausgangsspannung folgt also genau
der Eingangsspannung. Daher heißt die Schaltung ja auch
\textbf{Spannungsfolger}.\\

Hier stellt sich natürlich die Frage: \textbf{Welchen Sinn hat denn diese
Schaltung?} Die Eingangsspannung $U_E$ wird ohne jede Verstärkung auf den
Ausgang als $U_A$ übertragen. Das hätte man auch ohne OP einfacher haben
können. Das ist jedoch nur auf den ersten Blick richtig. Tatsächlich erfolgt
nämlich doch eine Verstärkung, wenn auch keine Spannungsverstärkung.\\

Weil der Schaltungseingang nur an einem Eingang des OP angeschlossen ist, wirkt
hier sein hochohmiger Eingangswiderstand. Die Quelle, aus der $U_E$ kommt, wird
durch \textbf{keinen} Strom belastet. Am Schaltungsausgang können wir dagegen
einen (nahezu) beliebigen Strom entnehmen, ohne die Quelle zu belasten. Wir
haben also eine \textbf{Stromverstärkung} und eine
\textbf{Leistungsverstärkung}. Daher findet diese Schaltung gern in der
Messtechnik eine Anwendung, wo man eventuell auch Spannungen an einer
Spannungsquelle mit hohem Innenwiderstand messen möchte.\\

\newpage
\subsection{Der Addierer}
\label{addierer}
\subsubsection{Addierer mit zwei Eingängen}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7.3)
   \pnode(1,6.25){A}
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,6.25){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,6.25){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](A)(D){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R_2$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_3$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(0.95,6.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \psline[linecolor=blue]{->}(4,3.4)(4,4.1)
   \uput{0.1}[180](4,3.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
   \uput{0.1}[180](0.9,6.25){\textcolor{blue}{$U_{E1}$}}
   \uput{0.1}[180](0.9,4.25){\textcolor{blue}{$U_{E2}$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Addierer}}
\end{wrapfigure}
Manchmal ist es erforderlich, die Summe zweier verschiedener Spannungen zu
bilden. Dabei fällt einem natürlich zunächst die Reihenschaltung der beiden
Spannungsquellen ein. Das funktioniert aber nur dann, wenn beide
Spannungsquelle potentialfrei sind. Haben sie dagegen einen gemeinsamen
Bezugspunkt, dann hilft die Schaltung des Addierers weiter.\\

Nebenstehend ist die Schaltung des Addierers dargestellt. Sie erinnert sehr an
die Schaltung eines Invertierenden Verstärkers (siehe
Seite~\pageref{verstaerker}). Hier ist jedoch noch ein zweiter Eingang
hinzugekommen. Als weitere Besonderheit haben wir die Bedingung:
\[R_1=R_2=R_3\]

Gehen wir nun die Funktion der Schaltung Schritt für Schritt durch.\\

Zunächst können wir festhalten, dass wir mit $R_3$ eine \textbf{Gegenkopplung}
haben. Wir können also mit dem Virtuellen Kurzschluss rechnen. Mit
\mbox{$U_d=\unit[0]{V}$} bedeutet das:
\[U_1=U_{E1} \quad \textnormal{und} \quad U_2=U_{E2}\]

An $R_1$ gilt das Ohmsche Gesetz:
\[I_1=\cfrac{U_1}{R_1}\]

Auch an $R_2$ gilt das Ohmsche Gesetz:
\[I_2=\cfrac{U_2}{R_2}\]
Diese beiden Ströme treffen sich am Verbindungsknoten von $R_1$, $R_2$ und
$R_3$. Herr Kirchhoff sorgt mit seiner Knotenregel dafür, dass diese beiden
Ströme nun gemeinsam durch $R_3$ weiterfließen, der OP-Eingang ist ja
hochohmig.
\[I_3=I_1+I_2=\cfrac{U_1}{R_1}+\cfrac{U_2}{R_2}\]

Über das Ohmsche Gesetz an $R_3$ kann damit $U_3$ berechnet werden.
\[U_3=R_3 \cdot I_3=R_3 \cdot \left( \cfrac{U_1}{R_1}+\cfrac{U_2}{R_2}\right)\]
Wir erinnern uns jetzt daran, dass alle Widerstände gleich groß sind. Wir
können alle einfach durch $R$ ersetzen.
\[U_3=R \cdot \left( \cfrac{U_1}{R}+\cfrac{U_2}{R}\right)
=R \cdot \cfrac{U_1+U_2}{R}=U_1+U_2\]

Mit $U_3$ kann jetzt $U_A$ bestimmt werden. Ein Maschenumlauf vom Ausgang des
OP über $U_A$, $U_d$ und $R_3$ ergibt:
\[\begin{array}{rcll}
U_A+\underbrace{U_d}_0+U_3&=&0 &|-U_3 \\
U_A&=&-U_3 \\
U_A&=&-(U_1+U_2) \\
\end{array}\]

Wir haben die Formel für die Ausgangsspannung erhalten:
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_A=-(U_1+U_2)$}\\

Es wird also die \textbf{negative Summe} der beiden Eingangsspannungen am
Ausgang ausgegeben. Wenn die Polarität in einer Anwendung stört, dann muss man
halt noch einen Inverter dahinterschalten (siehe Seite~\pageref{inverter}), der
die Polarität noch einmal umdreht.\\

\subsubsection{Addierer mit mehr als zwei Eingängen}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7.5)
   \pnode(1,5.75){A}
   \pnode(1,7.25){A1}
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.75){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,7.25){D1}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.75){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](A1)(D1){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.6](A)(D){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.6](B)(E){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-0.6](D)(G){$R$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D1)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(0.95,5.75){2pt}
   \pscircle(0.95,7.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.1}[180](0.9,7.25){\textcolor{blue}{$U_{E1}$}}
   \uput{0.1}[180](0.9,5.75){\textcolor{blue}{$U_{E2}$}}
   \uput{0.1}[180](0.9,4.25){\textcolor{blue}{$U_{E3}$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Addierer für drei Spannungen}}
\end{wrapfigure}
Man kann auch Addiererschaltungen bauen, die mehr als zwei Spannungen addieren
können. Im Prinzip ist nach oben keine Grenze gesetzt. Als Beispiel ist
nebenstehend ein Addierer für \textbf{drei} Spannungen dargestellt.\\

Die Herleitung der zugehörigen Formel erfolgt ähnlich, wie beim Addierer mit
zwei Eingängen. Hier erhalten wir statt nur zwei eben drei (oder mehr) Ströme
durch die Widerstände $R_1$, $R_2$, $R_3$,\ldots, die jeweils proportional zu
den Spannungen $U_{E1}$, $U_{E2}$, $U_{E3}$,\ldots, sind und deren Summe durch
$R$ fließt. Auch hier müssen natürlich alle Widerstände gleich sein, also
\mbox{$R_1=R_2=R_3= \ldots =R$}. Wir erhalten entsprechend diese Formel:

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_A=-(U_1+U_2+U_3+\ldots)$}
\end{center}

Zu allen Addiererschaltungen kann man festhalten, dass die Eingangswiderstände
aller Eingänge identisch mit den jeweils angeschlossenen Widerständen $R_1$,
$R_2$, \ldots, sind.

\subsubsection{Addierer mit unterschiedlich bewerteten Eingängen}
Man kann die Addiererschaltung noch weiter abwandeln. Wenn man möchte, kann man
beispielsweise alle Eingangsspannungen mit einem bestimmten Faktor versehen.
Nehmen wir einmal an, wir möchten eine Ausgangsspannung $U_A$ erzeugen mit der
Bedingung:
\[U_A=-(U_1+0{,}1 \cdot U_2+2 \cdot U_3+5 \cdot U_4)\]

Dann müssen wir die Widerstände $R_1$ \ldots $R_n$ entsprechend unterschiedlich
gewählt werden. Wir nehmen den Widerstand $R$ als Bezug. Gehen wir nun der
Reihe nach durch.\\

Die Spannung $U_1$ soll unverändert in $U_A$ einfließen. Dann muss auch
\mbox{$R_1=R$} sein. $U_2$ soll nur mit dem Faktor 0,1 in die Ausgangsspannung
$U_A$ eingehen. Daher muss man dafür sorgen, dass der Strom, der über $R_2$
fließt, nur ein Zehntel des Stromes ist, der fließen würde, wenn \mbox{$R_2=R$}
wäre. Das bewerkstelligt man dadurch, dass man \mbox{$R_2=10 \cdot R$} wählt.
Weiter geht es mit $U_3$. Diese Spannung soll doppelt in $U_A$ eingehen, also
muss \mbox{$R_3=\frac{1}{2} \cdot R$} sein. Nach dem selben Prinzip wird $R_4$
bestimmt mit \mbox{$R_4=\frac{1}{5} \cdot R$}.\\

Ich hoffe, mit diesem Beispiel ist das Prinzip klar geworden. Der Phantasie
sind da keine Grenzen gesetzt.\\

\subsubsection{Der D/A-Wandler}
Eine spezielle Variante des Addierers mit mehr als zwei Eingängen ist der
Di\-gi\-tal/Ana\-log-Wand\-ler. Hiermit soll eine im Binärsystem vorliegende
mehrstellige Zahl in eine analoge Spannung umgewandelt werden. In der
Regelungstechnik kommen solche Anwendungen vor, aber auch bei so etwas
einfachem, wie dem Abspielen einer CD, auf der ja nur Digitalwerte gespeichert
sind.\\

Wir benötigen dazu eine geringfügig abgewandelte Addiererschaltung mit genau so
vielen Eingängen, wie die Digitalzahl Stellen hat. Die Schaltung an sich ist
die selbe, wie der Addierer mit mehreren Eingängen. Dashalb gebe ich das
Schaltbild hier nicht erneut an. Der Unterschied liegt nur in den
Widerstandswerten.\\

Nehmen wir an, wir wollen eine Binärzahl mit 8 Bit darstellen. Das sind dann im
Dezimalsystem die Zahlen von 0 bis 255. Natürlich sind auch deutlich mehr als 8
Bit möglich, aber für unser Beispiel soll das reichen. Jedes Bit
kommt aus einer Digitalschaltung, die dann natürlich 8 Ausgänge haben muss.\\

Jeder Ausgang kann einen High-Wert oder einen Low-Wert als Spannungswert
ausgeben. Nehmen wir einmal an, diese beiden Werte liegen bei 5 und bei 0
Volt.\footnote{Andere Werte sind möglich, je nach verwendeter Logikfamilie.
Denkbar ist auch ein Wert von z.B. $\unit[0{,}5]{V}$ als Low-Wert. In diesem
Fall muss das eigentlich mit $\unit[0]{V}$ bezeichnete Bezugspotential des
Addierers auf ein 0,5-Volt-Potential gelegt werden.} Ich wähle zunächst den
Gegenkoppelwiderstand $R$ mit \mbox{$R=\unit[1]{k \Omega}$}. Als nächstes lege
ich $R_1$ auf den selben Wert fest: \mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$}. Der
Eingang für $U_{E1}$ an $R_1$ soll das höchstwertige Bit der Binärzahl
darstellen. (Um die anderen Widerstände $R_2$ bis $R_8$ kümmern wir uns etwas
später.) \\

Was passiert nun, wenn wir die Zahl 128=10000000bin mit den jeweiligen
Pegeln der treibenden Digitalschaltung an die Eingänge $U_{E1}$ bis $U_{E8}$
bringen? Die Spannungen $U_{E2}$ bis $U_{E8}$ stellen alle das Low-Potential
dar, also $\unit[0]{V}$. Wegen des Virtuellen Kurzschlusses am OP wird durch
keinen der Widerstände $R_2$ bis $R_8$ ein Strom fließen. Nur an $R_1$ liegt
das High-Potential an -- in unserem Beispiel $\unit[5]{V}$. Wirksam ist quasi
nur ein Invertierender Vertärker mit $R_1$ und $R$, siehe
Seite~\pageref{verstaerker}. Sein Verstärkungsfaktor beträgt \mbox{$V_U=-1$}.
Wir erhalten also eine Ausgangsspannung von $-\unit[5]{V}$.\\

Man kann sagen, das höchstwertige Bit hat in dieser Schaltung eine Wertigkeit
von 5 Volt. (Das Vorzeichen lasse ich der Einfachheit halber jetzt weg.) Das
nächst-niederwertige Bit muss dann die halbe Wertigkeit bekommen, also 2,5
Volt. Liegt am Eingang $U_{E2}$ der High-Pegel (von hier 5 Volt) an, dann darf
durch $R_2$ nur die \textbf{Hälfte} des Stromes im Vergleich zu $R_1$ fließen.
Das wird bewirkt, indem man einfach \mbox{$R_2=2 \cdot R_1$} wählt. Nach diesem
System werden nun alle Widerstände von $R_3$ bis $R_8$ festgelegt. Jeder
Widerstand ist \textbf{doppelt so groß wie sein Vorgänger}. Das wären hier:
\[R_1=\unit[1]{k \Omega} \quad R_2=\unit[2]{k \Omega} \quad
R_3=\unit[4]{k \Omega} \quad R_4=\unit[8]{k \Omega}\]
\[R_5=\unit[16]{k \Omega} \quad R_6=\unit[32]{k \Omega} \quad
R_7=\unit[64]{k \Omega} \quad R_8=\unit[128]{k \Omega} \]

Im Normalfall "`bastelt"' man natürlich nicht blind los, sondern legt zunächst
einen Bereich der Ausgangsspannungen fest. Er muss logischerweise innerhalb
des Bereiches liegen, den der vorgesehene OP mit der vorgesehenen
Betriebsspannung abgeben kann (siehe Seite~\pageref{ausgangsspannung}).
Genauer gesagt muss man einen \textbf{Maßstab} festlegen, mit dem die
Ausgangsspannung die Binärzahl darstellt.\\

Am einfachsten geschieht das, indem man zunächst (wie im vorstehenden Beispiel)
den Spannungswert für das höchstwertigste Bit festlegt. Die maximal auftretende
Ausgangsspannung ist dann knapp das Doppelte davon. Mit dem Spannungswert
für das höchstwertige Bit kann man $R$ und $R_1$ über den notwendigen
Verstärkungsfaktor des "`Invertierenden Verstärkers"' aus $R_1$ und $R$
festlegen, siehe Seite~\pageref{verstaerker}. Steht das fest, ist der Rest
simpel. Die durchnummerierten Widerstände $R_2$ bis $R_n$ haben jeweils den
\textbf{doppelten} Wert des jeweilige Vorgängers.

\newpage
\subsection{Der Subtrahierer}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,7)
   \pnode(1,6){A}
   \pnode(1,3.75){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(4,6){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.75){E}
   \pnode(4,3.75){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(7,6){G}
   \pnode(7,4.25){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,4.25){I}
   \pnode(4,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](A)(D){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(F){$R_2$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_4$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_4$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_4$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_3$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_3$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](F)(J){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,4.15)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.9,1){2pt}
   \pscircle(0.9,3.75){2pt}
   \pscircle(0.9,6){2pt}
   \pscircle(8.1,1){2pt}
   \pscircle(8.1,4.25){2pt}
   \uput{0.3}[180](A){\textcolor{blue}{$U_{E1}$}}
   \uput{0.3}[180](B){\textcolor{blue}{$U_{E2}$}}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[0](I){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=0.4](4.2,3.8)(4.2,4.7)
     {\textcolor{blue}{$U_d$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Subtrahierer}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend sehen Sie eine Schaltung mit Operationsverstärker. Die Schaltung
heißt "`Subtrahierer"'. Warum sie so heißt, wollen wir gleich durch Herleiten
der Formel für $U_A$ ermitteln. Die Werte der Wider\-stände sind alle gleich
groß, es gilt also:
\[R_1=R_2=R_3=R_4=R \]

An den beiden Eingängen der Schaltung sind die Spannungen
$U_{E1}$ und $U_{E2}$ angeschlossen.\\

Wir wollen nun die Formel herleiten, die die Ausgangsspannung $U_A$ in
Abhängigkeit von den Eingangsspannungen $U_{E1}$ und $U_{E2}$ angibt. Dazu
sehen wir zunächst nach, ob wir eine Gegenkopplung haben. Die ist mit $R_4$
zwischen dem Ausgang und dem Minuseingang des OP gegeben. Wir dürfen somit mit
einem Virtuellen Kurzschluss rechnen.\\

Beginnen wir mit $U_{E2}$. Diese Spannung wird mit dem Spannungsteiler
\mbox{$R_2/R_3$} heruntergeteilt. Da \mbox{$R_2=R_3$} ist, erhalten wir:
\[U_3=\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2}\]

Dieses Potential überträgt sich über den Virtuellen Kurzschluss auch auf dem
Minuseingang des OP. Mit der Kirchhoffschen Maschenregel können wir die
Spannung $U_1$ berechnen.
\[U_1=U_{E1}-U_3=U_{E1}-\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2}\]

Über das Ohmsche Gesetz an $R_1$ berechnen wir $I_1$.
\[I_1=\cfrac{U_1}{R_1}=\cfrac{U_{E1}-\frac{1}{2} \cdot U_{E2}}{R_1}\]

Dieser Strom fließt nun durch $R_4$ weiter, in den OP hinein kann er wegen des
(unendlich) großen Eingangswiderstandes ja nicht. Es ist \mbox{$I_4=I_1$}.
Mit dem Ohmschen Gesetz an $R_4$ können wir $U_4$ berechnen.

\[U_4=R_4 \cdot I_4=R_4 \cdot I_1=R_4 \cdot
\cfrac{U_{E1}-\frac{1}{2} \cdot U_{E2}}{R_1}\]

Wir erinnern uns daran, dass alle Widerstände gleich groß sind. Daher kann ich
$R_4$ gegen $R_1$ kürzen und erhalte:
\[U_4=U_{E1}-\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2}\]

Nun machen wir einen Maschenumlauf, beginnend am OP-Ausgang über $U_A$, $R_3$,
$U_d$ und $R_4$ zurück zum OP-Ausgang.
\[\begin{array}{rcll}
U_A-U_3+U_d+U_4&=&0 &|U_d=0 \\
U_A-U_3+U_4&=&0 &|+U_3-U_4 \\
U_A&=&U_3-U_4 &| \textnormal{ Formeln einsetzen}\\
&=&\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2}-\left( U_{E1}-\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2} \right) \\
&=&\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2}-U_{E1}+\cfrac{1}{2} \cdot U_{E2} \\
U_A&=&U_{E2}-U_{E1} \\
\end{array}\]

Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_A=U_{E2}-U_{E1}$}\\

Die Ausgangsspannung $U_A$ ist die \textbf{Differenz} der beiden
Eingangsspannungen $U_{E2}$ und $U_{E1}$. Daher ist der Name "`Subtrahierer"'
für diese Schaltung gerechtfertigt.\\

\underline{Anmerkung:}
Die Eingangswiderstände für beide Eingänge sind übrigens nicht identisch. Für
$U_{E2}$ ist der Gesamtwiderstand aus $R_2$ und $R_3$ maßgeblich. Also ist
\mbox{$R_{E2}=2R$}. Wegen des Virtuellen Kurzschlusses ist für $U_{E1}$ nur
$R_1$ wirksam: \mbox{$R_{E1}=R$}.

\newpage
\subsection{Der Differenzierer}
\label{differenzierer}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \capacitor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$i$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.6,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$u_C$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.9](B)(E){$C$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$i$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,tensionlabel=$u_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$0V$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Differenzierer}}
\end{wrapfigure}
Für das Verständnis des Differenzierers sind Kenntnisse der Grundlagen der
Differenzialrechnung\footnote{siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/diffrech.pdf}\fi
}
erforderlich.\\

Nebenstehend ist die Prinzip-Schaltung eines Differenzierers dargestellt. Im
Gegensatz zur Grundschaltung eines Integrierers\footnote{Näheres zum
Intergierer siehe Seite~\pageref{integrierer}}
ist diese Schaltung in dieser Form uneingeschränkt praxistauglich.\\

Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion bestimmen wir zunächst den Strom $i$ im
Kondensator $C$. Aufgrund des Virtuellen Kurzschlusses ist die Spannung am
Kondensator $u_C$ gleich der Eingangsspannung $u_E$. Wir rechnen sofort mit
zeitlich veränderlichen Größen für Strom und Spannung, also mit kleinen
Buchstaben.\\

Am Kondensator gilt:
\[i=C \cdot \frac{du_C}{dt}=C \cdot \frac{du_E}{dt}\]
Dieser Strom fließt weiter durch $R$, da der OP-Eingang ja hochohmig ist. Damit
können wir die Spannung $u_R$ an $R$ bestimmen:
\[u_R=R \cdot i=R \cdot C \cdot \frac{du_E}{dt}\]
Ein Maschenumlauf vom Minuseingang des OP über $R$, die Ausgangsspannung $u_A$
und den Virtuellen Kurzschluss ergibt:
\[u_A=-u_R=-R \cdot C \cdot \frac{du_E}{dt}\]
Die Ausgangsspannung stellt also die \textbf{Ableitung} der Eingangsspannung
nach der Zeit dar, die mit dem Faktor $-RC$ multipliziert wird. Die Schaltung
kann also die Eingangsspannung differenzieren. Deshalb nennt man die Schaltung
\textbf{Differenzierer}. Häufig schreibt man anstelle des Produktes $RC$
einfach $\tau$, auch Zeitkonstante genannt. Damit lautet die Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$u_A=-\tau \cdot \cfrac{du_E}{dt}$}\quad mit \quad{$\tau =R \cdot C$}
\end{center}


\newpage
\subsection{Der Integrierer}
\label{integrierer}
\subsubsection{Grundschaltung des Integrierers}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$i$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$u_R$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R$}
   \capacitor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$i$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,tensionlabel=$u_C$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.7](D)(G){$C$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$0V$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Grundschaltung des Integrierers}}
\end{wrapfigure}
Für das Verständnis des Integrierers sind Kenntnisse der Grundlagen der
Integralrechnung\footnote{siehe beispielsweise hier:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/integral.pdf}\fi
}
erforderlich.\\

Nebenstehend ist die Prinzip-Schaltung eines Integrierers dargestellt. In
dieser Form ist die Schaltung (außer in der Anwendung als I-Regler) leider
nicht praktikabel, da die Ausgangsspannung
vom Prinzip her ungewiss ist. Je nach dem, wie der Kondensator $C$ gerade
geladen ist, ergibt sich eine andere Ausganggspanung. In der Praxis würde die
Ausgangsspannung irgendwann an die obere oder die untere Begrenzung durch die
Betriebsspannung stoßen, der Integrierer würde dadurch seinen Arbeitsbereich
verlassen.\\

Zur Bestimmung der Übertragungsfunktion bestimmen wir zunächst den Strom $i$ im
Widerstand $R$. Aufgrund des Virtuellen Kurzschlusses ist die Spannung am
Widerstand $u_R$ gleich der Eingangsspannung $u_E$. Wir rechnen sofort mit
zeitlich veränderlichen Größen für Strom und Spannung, also mit kleinen
Buchstaben.
\[i=\frac{u_R}{R}=\frac{u_E}{R}\]
Dieser Strom fließt jetzt weiter durch den Kondensator $C$. An einem
Kondensator gilt bekanntlich:
\[i=C \cdot \frac{du_c}{dt}\]
Hier können wir den eben gefundenen Wert für den Strom $i$ einsetzen. (Die
Spannungsrichtung von $u_c$ geht von links nach rechts.)
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{u_E}{R}&=&C \cdot \cfrac{du_c}{dt} &\big|:C \\
\cfrac{u_E}{R \cdot C}&=& \cfrac{du_c}{dt} \\
\cfrac{du_c}{dt}&=&\cfrac{u_E}{R \cdot C} \\
\end{array}\]

Um an die Spannung $u_c$ zu kommen, müssen wir demnach die Stammfunktion dieser
Funktion suchen, also das unbestimmte Integral.
\[u_c(t)=\int \frac{u_E}{R \cdot C}\ dt=\frac{1}{R \cdot C} \cdot \int u_E \ dt\]
Die Ausgangsspannung der Schaltung ist aufgrund ihrer Polarität genau $-u_c$,
also:
\[u_A=-\frac{1}{R \cdot C} \cdot \int u_E \ dt\]
Diese Formel zeigt, dass die Ausgangsspannung dem unbestimmten Integral der
Eingangsspannung (multipliziert mit einem Faktor) entspricht.  Häufig schreibt
man anstelle des Produktes $RC$ einfach $\tau$, auch Zeitkonstante genannt.
Damit lautet die Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$u_A=-\cfrac{1}{\tau} \cdot \int u_E \ dt$}\end{center}

Da das unbestimmte Integral immer die allgemeine Integrationskonstante $c$
enthält, ist auch in dieser Schaltung die tatsächliche Ausgangsspannung
ungewiss. Für praktische Anwendungen dieser Schaltung muss dafür gesorgt
werden, dass die Ausgangsspannung nicht unkontrolliert wegdriftet. Durch
Offseteffekte\footnote{siehe Seite~\pageref{offset}} am realen
Operationsverstärker und Leckströme im Kondensator wird das nämlich passieren,
wenn die Schaltung längere Zeit eingeschaltet ist.\\

Lediglich in der Anwendung als I-Regler ist das kein Problem, denn das
Wegdriften würde dann ja auch wieder über die Regelstrecke die Eingangsspannung
beeinflussen und dem Wegdriften entgegenwirken. In allen anderen Anwendungen
muss diesem Problem jedoch anders begegnet werden. Wie das gemacht werden kann,
wird in den nachfolgenden Kapiteln dargestellt.

\newpage
\subsubsection{Der Integrierer mit geschalteter Rückstellung}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,8.7)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.75){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(4,7.8){A}
   \pnode(7,5.75){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(7,7.8){L}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](B)(E){$R$}
   \capacitor[labeloffset=-0.8](D)(G){$C$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_A$}}
   \switch[labeloffset=-0.9](A)(L){$S_1$}
   \wire(A)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(L)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$0V$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Integrierer mit Schalter}}
\end{wrapfigure}
Bei einigen Anwendungen ist es notwendig, dass man zum Beginn der Integration
einen definierten Startzustand hat. Dies ist etwa dann notwendig, wenn ein
\textbf{bestimmtes} Integral gebildet werden soll. Beispielsweise bei einem
A/D-Wandler ist diese Funktion gefordert. \\

Die nebenstehend dargestellte Schaltung ermöglicht diese Funktion. Der Schalter
S ist dabei in der Regel kein mechanischer Schalter, sondern ein elektronischer
Schalter, zum Beispiel ein Feldeffekttransistor. Vor dem Start der Integration
wird der Schalter S geschlossen und der Kondensator C entladen. Zum
Startzeitpunkt wird der Schalter geöffnet, die Integration kann beginnen.

\subsubsection{Der Integrierer mit kontinuierlicher Rückstellung}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7.9)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.75){D}\qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(4,7.4){A}
   \pnode(7,5.75){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(7,7.4){L}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](B)(E){$R_1$}
   \capacitor[labeloffset=-0.8](D)(G){$C$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$u_A$}}
   \resistor[labeloffset=-0.6](A)(L){$R_2$}
   \wire(A)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(L)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$0V$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Integrierer mit Hilfswiderstand}}
\end{wrapfigure}
Es gibt auch Anwendungen für den Integrierer, bei denen eine kontinuierliche
Integration stattfinden muss. Hierbei ist es nur wichtig, dass die
Integration über einen \textbf{begrenzten Zeitraum} genau ist, längerfristig
dürfen sich ruhig Abweichungen ergeben. Dafür soll sich aber beim Anlegen einer
Eingangsspannung von 0 Volt der Kondensator nach einer angemessenen Zeit wieder
entladen. Die Schaltung soll also längerfristig gesehen nicht unkontrolliert
wegdriften, sondern immer wieder in Richtung 0 Volt zurückkehren. \\

Dies erreicht man mit dem Einbau des Widerstandes $R_2$. Liegt keine
Eingangsspannung an der Schaltung an, fließt also kein Strom über $R_1$ durch
$C$, dann kann sich der Kondensator langsam über $R_2$ entladen. Man muss nur
darauf achten, dass der Widerstand $R_2$ groß ist im Vergleich zum Widerstand
$R_1$, damit die Integration nicht zu sehr gestört wird.


\newpage
\subsection{Der Schmitt-Trigger}
\label{schmitt}
Ein Schmitt-Trigger ist eine Schaltung, die aus einer sich kontinuierlich
verändernden Eingangsspannung eine rechteckige Ausgangsspannung formt. Ein
Schmitt-Trigger schaltet zwischen zwei verschiedenen Schaltzuständen hin und
her. Das wird beispielsweise dann benötigt, wenn eine sich analog verändernde
Spannung eine Digitalschaltung ansteuern soll.
\subsubsection{Der Invertierende Schmitt-Trigger}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,6.6)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(3,5.5){D}
   \pnode(3,4.25){E}
   \pnode(3,3.25){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(7,5.5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(3,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](F)(J){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.5,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-0.8,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=0.6](G)(D){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(B)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \wire(E)(F)
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,1){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.8,3.4)(3.8,4.1)
   \uput{0.1}[180](3.8,3.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Invertierender Schmitt-Trigger}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Schaltung eines Invertierenden Schmitt-Triggers
dargestellt. Auf den ersten Blick könnte man meinen, es handelt sich um die
Schaltung eines Nichtinvertierenden Verstärkers. Beim genaueren Hinsehen sollte
man aber bemerken, dass $R_2$ nicht mit dem Minuseingang, sondern mit dem
Pluseingang des OP verbunden ist. Deshalb haben wir \textbf{keine}
Gegenkopplung, sondern eine \textbf{Mitkopplung}, wir können daher auch
\textbf{nicht} mit einem Virtuellen Kurzschluss rechnen.\\

Für das Verständnis der Schaltung ist es notwendig, an einer Stelle von den
Bedingungen des \textbf{idealen} OP abzuweichen. Wie auf
Seite~\pageref{ausgangsspannung} beschrieben ist, ist die mögliche
Ausgangsspannung eines realen OP begrenzt. Nennen wir diese Spannungsgrenzen
$U_{Amax}$ und $U_{Amin}$.\\

Der Schmitt-Trigger kennt nur zwei mögliche Ausgangsspannungen: $U_{Amax}$ und
$U_{Amin}$. Zwischenwerte sind nicht möglich, die Schaltung stellt einen
\textbf{Schalter} dar. Aber warum ist das so?\\

\enlargethispage{5mm}
Betrachten wir die Schaltung zunächst mit einer Eingangsspannung von
\mbox{$U_E=\unit[0]{V}$}. Nehmen wir nun an, dass beim Einschalten der
Betriebsspannung $U_A$ einen kleinen \textbf{positiven} Wert angenommen hat.
Diese positive Spannung wird dann durch den Spannungsteiler \mbox{$R_2/R_1$}
zum Pluseingang des OP auf einen kleineren, aber \textbf{immer noch positiven}
Wert heruntergeteilt. Dadurch erhalten wir eine \textbf{positive}
Differenz-Eingangsspannung $U_d$. Diese Spannung wird nun mit der
Leerlaufverstärkung (ideal unendlich) verstärkt. Das bewirkt ein Ansteigen der
Ausgangsspannung in der positiven Richtung, bis die obere Grenze $U_{Amax}$
erreicht ist. Der Spannungsteiler \mbox{$R_2/R_1$} liefert so immer noch eine
positive Spannung zum OP-Eingang, ein stabiler Zustand ist erreicht. Hätten wir
beim Einschalten der Betriebsspannung zufällig eine (kleine) negative
Ausgangsspannung $U_A$ erhalten, dann hätte sich diese nach dem selben Prinzip
bis auf $U_{Amin}$ verändert.\\

Damit haben wir die möglichen Vorgänge geklärt, die sich beide bei
\mbox{$U_E=\unit[0]{V}$} einstellen können. Noch einmal: Es ist nicht
vorhersagbar, \textbf{welcher} Zustand sich einstellt. Es ist nur klar, dass
sich \textbf{einer dieser beiden Zustände} einstellt. (Das ist ähnlich, wie bei
einem Bleistift, den man senkrecht auf die Spitze stellt. Er wird umfallen, man
weiß nur nicht, nach welcher Seite.) Wir haben mit dem
Schmitt-Trigger eine Schaltung, die zwischen diesen beiden stabilen Zuständen
schalten kann.\\

Jetzt kommt die nächste Frage: \textbf{Was muss am Eingang der Schaltung
passieren, damit sich der Schaltzustand des Schmitt-Triggers ändert?} Nehmen
wir dazu einmal an, der Schmitt-Trigger sei auf $U_{Amax}$ geschaltet. Der
Spannungsteiler \mbox{$R_2/R_1$} teilt die Spannung $U_A$ nach der
Spannungsteilerformel auf diese Spannung $U_1$ herunter:
\[U_1=\cfrac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_A\]

Da diese Spannung auf jeden Fall auch positiv ist, ändert sich am Schaltzustand
des Schmitt-Triggers zunächst nichts, solange noch $U_E=\unit[0]{V}$ ist.
\mbox{$U_d=U_1-U_E$} ist dann auch positiv. Erhöhen wir nun langsam $U_E$, dann
passiert erstmal: nichts. $U_A$ bleibt auf dem Wert $U_{Amax}$. Erst dann, wenn
$U_E$ den Wert von $U_1$ erreicht, bzw. überschreitet, schaltet der
Schmitt-Trigger um. Sobald nämlich \mbox{$U_E>U_1$} wird, kehrt sich die
Polarität von $U_d$ ins Negative um. Dadurch springt $U_A$ auf einen negativen
Wert. Weil das über den Spannungsteiler \mbox{$R_2/R_1$} (wenn auch im
verminderten Maße) auch auf $U_1$ übetragen wird, wird $U_d$ schlagartig noch
negativer, die Ausgangsspannung bewegt sich erst recht weiter ins Negative, bis
der Wert $U_{Amin}$ erreicht ist. Der Schmitt-Trigger hat umgeschaltet. Weil
bei einer Eingangsspannung $U_E$ mit dem Wert der eben berechneten Spannung
$U_1$ der Schmitt-Trigger \textbf{aus}schaltet, nenne ich diese Spannung
$U_{Eaus}$.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_{Eaus}=\cfrac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_{Amax}$}
\end{center}

Dieser Zustand bleibt erhalten, auch wenn jetzt $U_E$ wieder kleiner, oder gar
0 werden würde. Erst dann, wenn $U_E$ so stark negativ wird, bis der aktuelle
negative Wert von $U_1$ \textbf{unterschritten} wird, kippt der Schmitt-Trigger
wieder um in den \textbf{ein}geschalteten Zustand. Aus Symmetriegründen
erhalten wir die Einschaltspannung $U_{Eein}$ nach einer ähnlichen Formel.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_{Eein}=\cfrac{R_1}{R_1+R_2} \cdot U_{Amin}$}
\end{center}

\enlargethispage{10mm}
Halten wir fest: Die Ausgangsspannung kippt in den negativen Endwert
$U_{Amin}$, wenn die Eingangsspannung einen bestimmten Wert \textbf{nach oben}
überschritten hat und kippt in den positiven Endwert $U_{Amax}$, wenn die
Eingangsspannung einen anderen, kleineren Wert \textbf{nach unten}
unterschritten hat. Die Differenz dieser beiden Eingangsspannung, die ein
Umkippen des Schmitt-Triggers in den jeweils anderen Zustand bewirken, nennt
man \textbf{Hysteresespannung} $\mathbf{U_H}$.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{$U_H=U_{Eaus}-U_{Eein}=\cfrac{R_1}{R_1+R_2} \cdot
\left(U_{Amax}-U_{Amin}\right)$}
\end{center}

\newpage
\subsubsection{Der Nichtinvertierende Schmitt-Trigger}
\begin{wrapfigure}{r}{7.9cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9.5,6.5)
   \pnode(1,3.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(3.5,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}
   \pnode(3.5,3.25){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(8,5.5){G}
   \pnode(8,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(9,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(9,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(F){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,3.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](9.05,3.65)(9.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(F)
   \wire(E)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,3.25){2pt}
   \pscircle(9.05,2){2pt}
   \pscircle(9.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \psline[linecolor=blue]{->}(4.8,3.4)(4.8,4.1)
   \uput{0.1}[180](4.8,3.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Nichtinvertierender Schmitt-Trigger}}
\end{wrapfigure}
Wie bei Verstärkerschaltungen gibt es auch beim Schmitt-Trigger eine
invertierende und eine nichtinvertierende Version. Letztere Schaltung ist hier
nebenstehend abgebildet.\\

Wie beim Invertierenden Schmitt-Trigger auch können wir zum Verständnis dieser
Schaltung von einem idealen OP ausgehen, mit der bereits angesprochenen
Einschränkung der Minimal- und Maximalwerte der Ausgangsspannung $U_{Aminx}$
und $U_{Amax}$. Auch hier haben wir zwei stabile Schaltzustände, zwischen denen
der Schmitt-Trigger hin- und herschalten kann.\\

Gehen wir zum Verständnis beide Zustände durch. Nehmen wir zunächst an, es sei
$U_E=\unit[0]{V}$ und $U_A$ positiv. Dann teilt der Spannungsteiler $R_2/R_1$
diese positive Spannung auf eine kleinere positive Spannung am Plus-Eingang des
OP herunter, $U_d$ wird positiver. Dadurch wird $U_A$ erst recht positiv und
bleibt dann bei $U_A=U_{Amax}$ hängen. Der Schmitt-Trigger ist (und bleibt) im
eingeschalteten Zustand hängen. Dieser Zustand bleibt erhalten, bis $U_E$ so
stark negativ wird, bis auch $U_d$ negativ wird. Dann kippt die Schaltung in
den ausgeschalteten Zustand um, bis irgendwann $U_E$ wieder hinreichend groß
wird und $U_d$ seine Polarität auch auf positiv ändert.\\

Ähnlich, wie beim Invertierenden Schmitt-Trigger erhalten wir zwei Formeln für
die Ein- und Ausschaltspannung.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_{Eein}=-\cfrac{R_1}{R_2} \cdot U_{Amin}$}
\quad und \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$U_{Eaus}=-\cfrac{R_1}{R_2} \cdot U_{Amax}$}
\end{center}
Die Minuszeichen kommen daher, dass die Polarität der Eingangsspannungen zum
jeweiligen Umschalten entgegengesetzt der Polarität der Ausgangsspannungen vor
dem Umschalten ist.\\

Auch hier gibt es eine Hysteresespannung $U_H$ als Differenz der beiden
Umschaltspannungen.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}
{$U_H=U_{Eein}-U_{Eaus}=\cfrac{R_1}{R_2} \cdot
\left(U_{Amax}-U_{Amin}\right)$}
\end{center}

\newpage
\subsubsection{Vergleich der beiden Schmitt-Trigger-Schaltungen}
Beginnen wir mit den Details, die für beide Schaltungen gleich sind.
\begin{itemize}
\item Beide Schaltungen schalten zwischen zwei verschiedenen Ausgangsspannungen
  hin und her, abhängig von einer variablen Eingangsspannung.
\item Für beide Schaltungen gibt es zwei unterschiedliche Eingangsspannungen,
  bei denen sie vom einen in den anderen zustand umschalten.
\item Beide Schaltungen benötigen \textbf{keinen} kompensierten
  Operationsverstärker, siehe Seite~\pageref{frequenzgang} ff.
\end{itemize}
Es folgen die Unterschiede:
\begin{itemize}
\item Die Formeln für Ein- und Ausschaltspannung und auch für die
  Hysteresespannung sind unterschiedlich.
\item Eine Schaltung schaltet bei einer positiven Eingangsspannung ein (der
  Nichtinvertierende Schmitt-Trigger), der andere aus (der Invertierende
  Schmitt-Trigger).
\item Der Invertierende Schmitt-Trigger hat einen unndlich großen
  Eingangswiderstand, der Eingangswiderstand des Nichtinvertierenden
  Schmitt-Triggers liegt in der Grö\-ßen\-ord\-nung von $R_1$. (Da wir nicht
  mit einem virtuellen Kurzschluss rechnen dürfen, ist er \textbf{nicht
  identisch} mit $R_1$.)
\end{itemize}


\newpage
\subsection{Der Komparator}
\label{komparator}
\begin{wrapfigure}{r}{6.0cm}
 \psset{unit=12mm}
 \begin{pspicture}(2.4,2.8)(7.2,6)
   \pnode(3,3){A}
   \pnode(7,3){B}
   \pnode(3,5.25){E}
   \pnode(3,4.25){F}
   \pnode(7,4.75){H}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \wire(A)(B)
   \psline[linecolor=blue]{->}(6.9,4.65)(6.9,3.1)
   \uput{0.1}[180](6.9,3.9){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \uput{0.1}[180](A){$\unit[0]{V}$}
   \pscircle(2.95,3){2pt}
   \pscircle(2.95,4.25){2pt}
   \pscircle(2.95,5.25){2pt}
   \uput{0.1}[180](2.95,4.25){\textcolor{blue}{$U_2$}}
   \uput{0.1}[180](2.95,5.25){\textcolor{blue}{$U_1$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Komparator}}
\end{wrapfigure}
Der Komparator ist eine Schaltung, die zwei Eingangsspannungen $U_1$ und $U_2$
miteinander vergleicht. Wie der Schmitt-Trigger (wie im vorstehenden Kapitel
beschrieben) hat der Komparator auch nur
zwei mögliche Ausgangsspannungen. Ich nenne sie $U_{Amax}$ und $U_{Amin}$.
Je nachdem, welche der beiden Eingangsspannungen größer ist, liefert der
Komparator $U_{Amax}$ oder $U_{Amin}$ als Ausgangsspannung. Ist
\mbox{$U_1>U_2$}, dann erhalten wir $U_{Amin}$, anderenfalls $U_{Amax}$. Für
den Fall \mbox{$U_1=U_2$} ist die Ausgangsspannung $U_A$ allerdings
undefiniert.\\

Da ein \textbf{idealer} OP eine unendlich große Verstärkung hat, würde diese
Schaltung mit ihm tatsächlich funktionieren. Da es aber leider keine idealen
OPs gibt, wird anstelle dieser Schaltung meist ein
Schmitt-Trigger\footnote{siehe Seite~\pageref{schmitt} ff} mit einer
sehr kleinen Hysteresespannung
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(1,1.8)(9.5,5.9)
   \pnode(2,3.25){B}
   \pnode(2,2){C}
   \pnode(4.5,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}
   \pnode(4.5,3.25){F}\qdisk(F){2pt}
   \pnode(8,5.5){G}
   \pnode(8,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(9,3.75){I}
   \pnode(2,4.25){J}
   \pnode(9,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=-0.6](B)(F){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](9.05,3.65)(9.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(F)
   \wire(E)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(1.95,2){2pt}
   \pscircle(1.95,3.25){2pt}
   \pscircle(1.95,4.25){2pt}
   \pscircle(9.05,2){2pt}
   \pscircle(9.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.1}[180](1.85,4.25){\textcolor{blue}{$U_1$}}
   \uput{0.1}[180](1.85,3.25){\textcolor{blue}{$U_2$}}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Schmitt-Trigger als Komparator}}
\end{wrapfigure}
verwendet. Ist nämlich der Spannungsunterschied zwischen $U_1$ und $U_2$ sehr
klein, dann kann es passieren, dass der OP mit seiner Ausgangsspannung irgendwo
zwischen $U_{Amax}$ und $U_{Amin}$ "`hängen"' bleibt, also weder $U_{Amax}$
noch $U_{Amin}$ als Ausgangsspannung liefert. Je nach Anwendung der Schaltung
kann das unerwünscht sein. Man nimmt dann lieber eine kleine Hysterese in Kauf.
Die Schaltung muss jedoch geringfügig modifiziert werden, weil wir ja
\textbf{zwei} Eingänge benötigen. Diese Schaltung ist nebenstehend
dargestellt. Wenn man das Teilverhältnis des Spannungsteilers \mbox{$R_2/R_1$}
vom Ausgang zum Eingang etwas kleiner wählt, als die Leerlaufverstärkung des
OP, dann wird ein sauberes Schalten sicher erreicht.\\

\underline{Ein Beispiel:}
Nehmen wir an, wir verwenden als OP den TAA861.
Er hat bei niedrigen Frequenzen eine Leerlaufverstärkung von etwa
$\unit[83]{dB}$. Dann wählen wir für den Spannungsteiler z.B. eine Dämpfung von
$\unit[80]{dB}$ (oder auch etwas weniger), was einem Faktor 1:10\,000
entspricht. $R_2$ muss in diesem Fall 10\,000 mal so groß sein, wie $R_1$, also
beispielsweise \mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$} und
\mbox{$R_2=\unit[10]{M \Omega}$}. Wenn sauberes Schalten sehr wichtig ist
und man darüber hinaus Exemplarstreuungen des OP abfangen will, dann kann man
ohne Problem statt \mbox{$R_2=\unit[10]{M \Omega}$} auch
\mbox{$R_2=\unit[4{,}7]{M \Omega}$} oder
\mbox{$R_2=\unit[3{,}3]{M \Omega}$} wählen. Dann ist man auf jeden Fall auf der
sicheren Seite. Allerdings wird die Hysteresespannung größer, wenn $R_2$
kleiner gemacht wird.\\


\newpage
\section{Der reale Operationsverstärker}
Da man nirgendwo einen idealen OP kaufen kann, müssen wir einen realen
verwenden. Dabei sind vielfältige mögliche Problemstellen zu beachten.
Obwohl die meisten Probleme bei vielen Anwendungsschaltungen von Belang sind,
möchte ich zunächst alles am Beispiel des Invertierenden Verstärkers erläutern.
Wenn es bei anderen Anwendungsschaltungen Unterschiede gibt, dann wird dort
darauf näher eingegangen.\\

Vorab sei noch erwähnt, dass es nicht ohne Grund eine vielfältige Auswahl an
OP-Typen gibt. Je nachdem, welche Eigenschaft optimiert werden soll, leiden
beim Schaltungsdesign des Herstellers ggf. andere Eigenschaften darunter. Und
je nach Anwendungsfall ist mal die eine, mal die andere Eigenschaft besonders
wichtig. Sehen wir uns nun die verschiedenen Probleme im Detail an.\\

\subsection{Eingangswiderstände}
Üblicherweise liegen die Eingangswiderstände von realen OPs im Bereich von
einigen $\unit[100]{k \Omega}$, nicht jedoch bei unendlich, wie beim idealen OP.
Je nachdem, welche anderen Eigenschaften dem Hersteller beim Schaltungsdesign
wichtig waren, kann er sogar noch herunter bis zu $\unit[10]{k \Omega}$ liegen.
Möchte der Hersteller einen OP mit besonders hohen Eingangswiderständen
realisieren, dann verwendet er Feldeffekttransistoren an den Eingängen. Mit
FET-Eingängen können die Eingangswiderstände $\unit[10]{M \Omega}$ und mehr
betragen.

\label{ausgangswiderstand}
\subsection{Ausgangswiderstand}
Hier ist die Varianz besonders groß. Im Idealfall soll er möglichst klein sein.
Ein kleiner Ausgangswiderstand geht aber mit einem hohen Strombedarf einher. Da
meist auch ein kleiner Strombedarf angestrebt wird, ist es nur logisch, dass
OPs vom Hersteller mal mehr in die eine, mal mehr in die andere Richtung
optimiert werden. Im Mittelfeld sind Werte von einigen 10 Ohm gebräuchlich.

\subsection{Leistungsgrenzen}
Ein OP kann nur eine begrentze Leistung an seinem Ausgang abgeben. In der Regel
liegt dieser Maximalwert im Bereich von wenigen 100 Milliwatt, oder auch
darunter. Diese Thematik ist eng verknüpft mit der Problematik des
Ausgangswiderstandes (siehe vorangehendes Kapitel zum Ausgangswiderstand).\\

Bei Bedarf besteht jedoch die Möglichkeit, durch einfaches Anfügen einer
Leistungs-Endstufe die mögliche Ausgangsleistung deutlich zu erhöhen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(1,2.8)(9.2,7.2)
   \pnode(2,3){A}
   \pnode(9,3){B}
   \pnode(2,7){C}
   \pnode(9,7){D}
   \pnode(2,5.5){E}
   \pnode(2,4.5){F}
   \pnode(5,5){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(5,6){H1}
   \pnode(5,4){H2}
   \pnode(6,6){T1}
   \pnode(6.5,5){T2}\qdisk(T2){2pt}
   \pnode(6.5,7){T3}\qdisk(T3){2pt}
   \pnode(6,4){T4}
   \pnode(6.5,3){T5}\qdisk(T5){2pt}
   \pnode(8,5){T6}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \transistor[transistorcircle=false,transistortype=NPN](T1)(T2)(T3)
   \transistor[transistorcircle=false,transistortype=PNP](T4)(T5)(T2)
   \wire(A)(B)
   \wire(C)(D)
   \psline{-o}(T2)(T6)
   \psline(T1)(H1)(H2)(T4)
   \uput{0.3}[0](T6){$U_{A}$}
   \uput{0.1}[180](A){$U_{B-}$}
   \uput{0.1}[180](C){$U_{B+}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{OP mit Leistungsendstufe}}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist dazu eine passende Schaltung dargestellt. Der mit $U_A$
bezeichnete Anschluss stellt so den Ausgang des erweiterten OP dar.
Zur Funktion: So lange die Ausgangsspannung des OP \textbf{positiv} ist, wird
der \textbf{obere} Transistor angesteuert, so dass er mehr oder weniger leitend
wird. Wird seine Ausgangsspannung \textbf{negativ}, dann wird entsprechend der
\textbf{untere} Transistor angesteuert. Im Bereich um 0 Volt herum, wo die
Übergabe von einem auf den anderen Transistor stattfindet, muss sich die
Ausgangsspannung des eigentlichen OP sprunghaft ändern. Wird die
Gesamtschaltung mit einer hinreichend starken Gegenkopplung (siehe
Seite~\pageref{gegenkopplung}) betrieben, dann
stellt das kein wirkliches Problem dar. In der Hifi-Technik sollte eine
Schaltung in dieser Art jedoch nicht eingesetzt werden, diese Sprünge sind dann
doch hörbar.

\subsection{Grenzen der Ausgangsspannung}
\label{ausgangsspannung}
Logischerweise kann die Ausgangsspannung nicht unendlich groß werden, weder in
die positive, noch in die negative Richtung. Natürliche Grenzen sind die beiden
Be\-triebs\-span\-nun\-gen $U_{B+}$ und $U_{B-}$. Meist sind beide
Be\-triebs\-span\-nun\-gen vom Betrag her gleich groß, beispielsweise $\pm
\unit[15]{V}$. Diese Spannungen setzen auf jeden Fall sowohl nach unten, als
auch nach oben eine Grenze, die auf keinen Fall überschritten werden kann.
Darüber hinaus gibt es meist eine weitere Begrenzung durch die
Sättigungsspannung eines Transistors. Bei einer Sättigungsspannung von
\mbox{$U_{CEsat}=\unit[0{,}5]{V}$} und einer Betriebsspannung von
$U_B= \pm \unit[15]{V}$ erhält man beispielsweise einen
Ausgangsspannungsbereich von \mbox{$U_A=-\unit[14{,}5]{V}\ldots
+\unit[14{,}5]{V}$}.\\

\textbf{\underline{Anmerkung:}}
Der bereits auf Seite~\pageref{schmitt} beschriebene Schmitt-Trigger oder auch
der auf Seite~\pageref{komparator} beschriebene Komparator benötigt für seine
Funktionsweise genau diese hier beschriebene Begrenzung der möglichen
Ausgangsspannung.\\

An dieser Stelle möchte ich es aber nicht versäumen, darauf hinzuweisen, dass
es auch OPs für eine unsymmetrische Betriebsspannung gibt. Dabei kann die
negative Betriebsspannung sogar \mbox{$U_{B-}=\unit[0]{V}$} betragen.
%Der LM124 ist ein Vertreter dieser Gattung.
In diesem Fall wird 0 Volt auch als untere
mögliche Ausgangsspannung erreicht. In jedem Fall gilt aber für die mögliche
Ausgangsspannung:
\[U_{B-} \leq U_A \leq U_{B+}\]

\newpage
\subsection{Leerlaufverstärkung}
Unter der Leerlaufverstärkung $V_0$ versteht man den Verstärkungsfaktor des
reinen OP. Beim Idealen OP beträgt sie $V_0=\frac{U_A}{U_d}= \infty$.\\

Reale OPs haben üblichweise Leerlaufverstärkungen im Bereich
$V_0=\unit[60 \ldots 100]{dB}$.\footnote{Einzelheiten zum Maß Dezibel siehe
hier: \ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/dezibel.pdf} \fi}
Sind sie jedoch für den Einsatz bei höheren Frequenzen optimiert, dann kann die
Leerlaufverstärkung auch deutlich kleiner sein, beispielsweise bei
$V_0=\unit[30]{dB}$.\\

Will man mit dem OP eine Schaltung mit einer größeren Spannungsverstärkung
realisieren, dann muss auf einen großen Wert füe $V_0$ geachtet werden.

\subsection{Frequenz- und Phasengang}
\label{frequenzgang}
Betrachtet man das Über\-tra\-gungs\-ver\-hal\-ten eines realen OP im Frequenzbereich,
dann muss man feststellen, dass die Leerlaufverstärkung $V_0$ bei niedrigen
Frequenzen bis zu einer bestimmten Grenzfrequenz $f_1$ zunächst konstant ist,
darüber aber immer kleiner wird. Der Abfall liegt bei etwa $\unit[20]{dB}$
pro Dekade.
Betrachtet man weiter steigende Frequenzen, dann gibt es meist eine weitere
Grenzfrequenz $f_2$, ab der der Abfall der Ver\-stär\-kung stärker wird, etwa
$\unit[40]{dB}$ pro Dekade.\\

Man könnte nun denken, dass das kein Problem sein sollte, solange man nur
niedrige Frequenzen verarbeiten möchte. Das ist aber leider ein völlig
falscher Gedanke! Es gibt nämlich mit steigender Frequenz auch eine
zunehmende Phasenverschiebung zwischen Differenz-Eingangsspannung $U_d$ und
Ausgangsspannung $U_A$. Wenn diese Phasenverschiebung für eine bestimmte
Frequenz $180^\circ$ erreicht, dann ist aus der \textbf{Gegenkopplung} eine
\textbf{Mitkopplung} geworden. Wir haben einen Oszillator für diese Frequenz
gebaut, obwohl es eigentlich nur ein invertierender Verstärker für
Gleichspannungen werde sollte!\\

Glücklicherweise ist das nicht zwangsläufig so, man kann auch einiges dagegen
tun. Sehen wir uns das Problem dazu etwas genauer an.\\

Eine schlechte Nachricht vorab: Nicht erst bei einer Phasenverschiebung von
$180^\circ$ beginnt die Schaltung zu schwingen, man kann zeigen, dass schon
eine Phasenverschiebung von $\varphi =115^\circ$ ausreicht. Die gute
Nachricht: Das Schwingen der Schaltung setzt nur dann ein, wenn bei dieser
kritischen Frequenz die sogenannte \textbf{Ringverstärkung} größer als 1
ist. Was das bedeutet, wird im Folgenden erläutert.\\

Nachfolgend ist das sogenannte "`Bodediagramm"' eines beispielhaften OP
mit seinem Frequenz- und Phasengang dargestellt. Die obere Kurve zeigt
Leerlaufverstärkung in Abhängigkeit von der Frequenz, die untere die
Phasenverschiebung zwischen $U_d$ und $U_A$ am OP.

\begin{wrapfigure}{r}{11.8cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(-1,-135)(8.8,135)
  \psaxes[logLines=x,xsubticks=10,xlogBase=10,Dy=20,yticksize=8,
    ysubticks=2,ysubticksize=1](8,120)
  \psline{->}(8.2,0)(8.8,0)
  \uput[-90](8.5,0){\small $\frac{f}{\textnormal{Hz}}$}
  \psline{->}(0,125)(0,135)
  \uput[180](0,130){\small $\frac{V_0}{\textnormal{dB}}$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{7.5}
    {1 0.0002 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0002 10 x exp mul 2 exp add div
1 0.0000005 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0000005 10 x exp mul 2 exp add div mul
    log 20 mul 100 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{7.0}
%    {1 0.01 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.01 10 x exp mul 2 exp add div
%    log 20 mul 100 add}
%  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{5.3}
%    {1 0.5 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.5 10 x exp mul 2 exp add div
%    log 20 mul 100 add}
  \psaxes[logLines=x,xsubticks=10,xlogBase=10,Dy=15,yticksize=8,
    ysubticks=1,ysubticksize=1,labels=none](0,0)(0,-15)(8,-121)
  \uput{0.1}[180](0,-15){$0^\circ$}
  \uput{0.1}[180](0,-60){$-90^\circ$}
  \uput{0.1}[180](0,-105){$-180^\circ$}
  \psline{->}(0,-125)(0,-135)
  \uput[180](0,-130){\small $\varphi$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{8}
    {1 0.0001 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0001 10 x exp mul 2 exp add div
    log 27 mul 15 sub}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed](3.55,0)(3.55,102)
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed](6.3,0)(6.3,53)
  \uput{0.2}[-90](3.55,0){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \uput{0.2}[-90](6.4,0){\textcolor{red}{$f_2$}}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,-72)(6.1,-72)
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](6.1,-72)(6.1,50)
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](6.1,50)(0,50)
  \uput{0.1}[180](0,-71){\textcolor{blue}{$-115^\circ$}}
%  \uput[45](3,100){\small $C_K=$}
%  \uput[45](4.5,80){\small $\unit[0]{pF}$}
%  \uput[45](3.9,58){\small $\unit[15]{pF}$}
%  \uput[45](3,42){\small $\unit[27]{pF}$}
\end{pspicture}
\caption{\emph{Bode-Diagramm eines OP}}
\end{wrapfigure}
Man sieht, dass bis zu einer ersten Grenzfrequenz
$f_1 \approx \unit[4]{kHz}$ die Leer\-lauf\-ver\-stär\-kung $V_0$ bei
$\unit[100]{dB}$ liegt. Darüber nimmt sie kontinuierlich ab bis zur zweiten
Grenzfrequenz $f_2 \approx \unit[2]{MHz}$. Dort beträgt sie nur noch ungefähr
$\unit[45]{dB}$. Bei hö\-he\-ren Frequenzen oberhalb von $f_2$
nimmt sie noch stär\-ker ab.\\

Wichtig ist nun die untere Kurve, die die Phasenverschiebung zwischen $U_d$ und
$U_A$ in Ab\-hän\-gig\-keit von der Frequenz beschreibt. Die Minuszeichen bei den
Phasenwinkeln besagen, dass die Ausgangsspannung $U_A$ der Eingangsspannung
$U_d$ in der Phase \textbf{nacheilt}.\\

Eingetragen ist dort die kritische Phasenverschiebung von
$-115^\circ$.\footnote{Manchmal ist in der Literatur auch von einer
\textbf{Gangreserve} von $65^\circ$ die Rede. Damit ist der \textbf{Abstand}
von $180^\circ$ gemeint, den es zu wahren gilt. Beides führt aber zum selben
Ergebnis.}
An der gestrichelten Linie kann man erkennen, dass diese kritische
Phasenverschiebung bei einer Frequenz von etwa $\unit[1{,}2]{MHz}$ zustande
kommt. Nun folgen wir der gestrichelten Linie nach oben um festzustellen,
welche Leerlaufverstärkung zu dieser kritischen Frequenz gehört. Der
gestrichelten Linie nach links folgend können wir etwa $\unit[50]{dB}$
ablesen. Was aber bedeutet das nun für eine konkrete Schaltung mit dem
zugehörigen OP?\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,6.5)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \psline[linecolor=blue]{->}(4,3.4)(4,4.1)
   \uput{0.1}[180](4,3.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nehmen wir als Beispiel die nebenstehend dargestellte Schaltung eines
Invertierenden Verstärkers. Gehen wir einmal davon aus, dass die
Spannungsquelle $U_E$ einen vernachlässigbar kleinen Innenwiderstand hat. Dann
stellen die Widerstände $R_1$ und $R_2$ einen Spannungsteiler dar, der die
Ausgangsspannung mit dem Faktor \mbox{$k=\frac{R_1}{R_1+R_2}$} zum negativen
Eingang des OP herunterteilt. Die Ausgangsspannung wird bei der Rückführung auf
den Eingang (die \textbf{Gegenkopplung}) um diesen Faktor vermindert.\\

Jetzt kommt der Begriff \textbf{Ringverstärkung} ins Spiel. Darunter versteht
man den Ver\-stär\-kungs\-fak\-tor, der sich aus der Zusammenfassung aller
Teil(verstärkungs)faktoren ergibt, wenn man beispielsweise am Eingang $U_{E-}$
beginnt und die gesamte Schaltung durchläuft, bis man wieder an diesem Punkt
angekommen ist. Nehmen wir die Schaltung von Seite~\pageref{verstaerker}
als Beispiel. Hier ist \mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$} und
\mbox{$R_2=\unit[10]{k \Omega}$}. Damit erhalten wir:
\[k=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}=\cfrac{1}{11}\approx 0{,}0909\]

Aus dem Bode-Diagramm haben wir entnommen, dass die Leerlaufverstärkung $V_0$
bei der kritischen Phasenverschiebung noch $\unit[33]{dB}$ beträgt. Wir rechnen
das in eine Spannungsverstärkung um.\footnote{Infos dazu finden Sie hier:
 \ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/dezibel.pdf} \fi}

\[\begin{array}{rcll}
a&=&\unit[20]{dB} \cdot \lg V_0 \\
\unit[33]{dB}&=&\unit[20]{dB} \cdot \lg V_0 &|:\unit[20]{dB}\\
1{,}65&=&\lg V_0 &|10^{\ldots} \\
10^{1{,}65}&=& V_0 \\
V_0&\approx&44{,}7 \\
\end{array}\]
Unser Eingangssignal durchläuft also vom OP-Eingang zunächst den OP mit
einer Verstärkung $V_0=44{,}7$ und dann den Spannungsteiler mit der
"`Verstärkung"' (eigentlich eine Dämpfung) $k=0{,}0909$. Danach kommt das
Signal wieder beim Eingang an, hat also den "`Ring"' des Signalweges einmal
durchlaufen. Die zugehörige Verstärkung ist das Produkt der beiden Faktoren:
\[V_{Ring}=V_0 \cdot k=44{,}7 \cdot 0{,}0909=4{,}06\]

Da die Ringverstärkung größer als 1 ist, müssen wir damit rechnen, dass die
Schaltung instabil ist und oszillieren wird!\\

Nehmen wir nun einmal an, wir hätten die Schaltung aufgebaut mit
$R_1=\unit[1]{k \Omega}$ und $R_2=\unit[100]{k \Omega}$. Der Verstärkungsfaktor
der \textbf{Schaltung} betrüge damit:
\[V_U=\cfrac{R_2}{R_1}=\cfrac{\unit[100]{k \Omega}}{\unit[1]{k \Omega}}
 =100\]
Berechnen wir nun den Dämpfungsfaktor der Gegenkopplung:
\[k=\cfrac{R_1}{R_1+R_2}=\cfrac{\unit[1]{k \Omega}}{\unit[101]{k \Omega}}
=0{,}0099\]

Damit können wir die Ringverstärkung bestimmen:
\[V_{Ring}=V_0 \cdot k=44{,}7 \cdot 0{,}0099=0{,}443\]

In diesem Fall wäre die Ringverstärkung also deutlich unter 1, die Schaltung
arbeitet stabil.\\

Zusammenfassend kann man also sagen, dass eine \textbf{Schaltung} mit einer
größeren Ver\-stär\-kung stabiler arbeitet, als eine mit einer kleinen
Verstärkung. Auch wenn das hier nicht untersucht wurde, gilt das gleiche
übrigens auch für Nichtinvertierende Ver\-stär\-ker\-schal\-tun\-gen.\\

Man könnte nun auch ausrechnen, welche Mindestverstärkung die Schaltung haben
müsste, damit sie stabil arbeitet. Aber Vorsicht, der Verstärkungsfaktor für
diese Ver\-stär\-kung ich \textbf{nicht} identisch mit der Leerlaufverstärkung
für die kritische Phasenverschiebung (hier: \mbox{$\unit[33]{dB}=44{,}7$}). Das
liegt daran, dass der Dämpfungsfaktor $k$ des Spannungsteilers nicht einfach
der Kehrwert des Verstärkungsfaktors der Schaltung ist. Beachte:
\[k=\cfrac{R_1}{R_1+R_2} \qquad V_U=\cfrac{R_2}{R_1}\]
Wie dem auch sei, man könnte mit diesen Formeln die für stabiles Arbeiten
erforderliche Mindestverstärkung der Schaltung ausrechnen.\\

Viel wichtiger ist aber die Beantwortung folgender Frage:
\textbf{Wie kann ich auch bei kleinen gewünschten Verstärkungsfaktoren einer
Schaltung trotzdem ein stabiles Arbeiten erreichen?}\\

Die Antwort lautet: \textbf{Kompensation}. Aber was bedeutet das? Darunter
versteht man ein eigentlich brutales Verfahren. Man kann durch eine zusätzliche
Beschaltung am OP dafür sorgen, dass der Frequenzgang \textbf{künstlich
verschlechtert} wird. Das hat dann zur Folge, dass die Frequenzgangkurve so
weit nach \textbf{links} verschoben wird, dass die Leerlaufverstärkung bei der
kritischen Frequenz bereits kleiner als 1 (oder kleiner als $\unit[0]{dB}$)
wird. Dadurch ist dann auch die Ringverstärkung kleiner als 1, selbst wenn das
Gegenkoppelnetzwerk keinerlei Dämpfung  hat. (Beispielsweise beim
Spannungsfolger hätten wir eine solche Anwendung, siehe
Seite~\pageref{spannungsfolger}.) \\

%\newpage
Zur Lösung dieses Problemes verfolgen die Hersteller von Operationsverstärkern
zwei grundsätzlich verschiedene Strategien.
\begin{enumerate}
\item Der Hersteller baut direkt ein Kompensationsglied in seine Schaltung mit
  ein. Der Kunde erhält dann einen OP, der bei der kritischen
  Phasenverschiebung eine auf einen Wert unter 1 reduzierte Leerlaufverstärkung
  hat. Damit arbeitet der OP unter allen Bedingungen stabil. Diese
  Anwenderfreundlichkeit hat natürlich einen Nachteil. Der nutzbare
  Frequenzbereich wird dadurch eingeschränkt, was je nach vorgesehener
  Anwendung so nicht notwendig wäre. Der weit verbreitete $µ$A741 ist
  beispielsweise ein Vertreter dieser Gattung. Auf Seite~\pageref{741} ist der
  eingebaute Kompensationskondensator mit $\unit[30]{pF}$ im Schaltbild der
  Innenschaltung erkennbar.
\item Der Hersteller führt zusätzliche Anschlüsse an der Integriereten
  Schaltung nach außen. Hier kann ein Kondensator (manchmal auch eine
  R-C-Kombination) angeschlossen werden, die für eine geeignete Kompensation
  sorgen soll. In seinen Datenblättern gibt der Hersteller die genaue
  Beschaltung an. Oft gibt er auch für unterschiedliche Kapazitäten, die man
  anschließen kann, unterschiedliche Frequenzgangkurven an. Der Anwender kann
  dann aufgrund der vorgesehenen Schaltung die maximal zulässige
  Leer\-lauf\-ver\-stär\-kung bei der kritischen Phasenverschiebung bestimmen
  und danach die geeigneten Werte für die Kompensation bestimmen.
\end{enumerate}

Zur Strategie 2 gehört unser Beispieloperationsverstärker mit dem bereits
bekannten Bode-Diagramm. Ergänzend sind im nachfolgenden Diagramm zwei Kurven
für zwei unterschiedliche Kompensationskondensatoren mit eingezeichnet. Ich
möchte nun zeigen, wie man mit diesen Kurven arbeiten kann.

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{11.8cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=0.5mm}
\begin{pspicture}(-1,-135)(8.8,135)
  \psaxes[logLines=x,xsubticks=10,xlogBase=10,Dy=20,yticksize=8,
    ysubticks=2,ysubticksize=1](8,120)
  \psline{->}(8.2,0)(8.8,0)
  \uput[-90](8.5,0){\small $\frac{f}{\textnormal{Hz}}$}
  \psline{->}(0,125)(0,135)
  \uput[180](0,130){\small $\frac{V_0}{\textnormal{dB}}$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{7.5}
    {1 0.0002 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0002 10 x exp mul 2 exp add div
1 0.0000005 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0000005 10 x exp mul 2 exp add div mul
    log 20 mul 100 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{7.0}
    {1 0.01 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.01 10 x exp mul 2 exp add div
    log 20 mul 100 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{0}{5.3}
    {1 0.5 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.5 10 x exp mul 2 exp add div
    log 20 mul 100 add}
  \psaxes[logLines=x,xsubticks=10,xlogBase=10,Dy=15,yticksize=8,
    ysubticks=1,ysubticksize=1,labels=none](0,0)(0,-15)(8,-121)
  \uput{0.1}[180](0,-15){$0^\circ$}
  \uput{0.1}[180](0,-60){$-90^\circ$}
  \uput{0.1}[180](0,-105){$-180^\circ$}
  \psline{->}(0,-125)(0,-135)
  \uput[180](0,-130){\small $\varphi$}
  \psplot[linewidth=1.5pt]{0}{8}
    {1 0.0001 10 x exp mul 2 exp add sqrt 1 0.0001 10 x exp mul 2 exp add div
    log 27 mul 15 sub}
%  \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed](3.55,0)(3.55,102)
%  \psline[linewidth=1pt,linecolor=red,linestyle=dashed](6.3,0)(6.3,53)
%  \uput{0.2}[-90](3.55,0){\textcolor{red}{$f_1$}}
%  \uput{0.2}[-90](6.4,0){\textcolor{red}{$f_2$}}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,-72)(6.1,-72)
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](6.1,-72)(6.1,50)
%  \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](6.1,50)(0,50)
  \uput{0.1}[180](0,-71){\textcolor{blue}{$-115^\circ$}}
  \uput[45](3,100){\small $C_K=$}
  \uput[45](4.5,80){\small $\unit[0]{pF}$}
  \uput[45](3.9,58){\small $\unit[15]{pF}$}
  \uput[45](3,42){\small $\unit[27]{pF}$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}


Wenn man auf die Kurve für den Phasengang schaut, dann kann man für die
kritischen $115^\circ$ Phasenverschiebung eine Frequenz von ungefähr
$\unit[1{,}2]{MHz}$ ablesen. Bei dieser Frequenz hat der unkompensierte OP
\linebreak[4] noch
eine Leer\-lauf\-ver\-stär\-kung von ungefähr $\unit[50]{dB}$. Wählt man den
ersten vorgeschlagenen Kompensationskondensator von $\unit[15]{pF}$, reduziert
sich die Leer\-lauf\-ver\-stär\-kung auf knapp $\unit[20]{dB}$. Je nach
vorgesehener Anwendung kann das ausreichen. Soll bei\-spiels\-wei\-se ein
Spannungsfolger auf\-ge\-baut werden, dann müss\-ten wir dagegen eine Kapazität
von $\unit[27]{pF}$ wählen. Hiermit läge die Leerlaufverstärkung bei der
kritischen Frequenz unterhalb von $\unit[0]{dB}$.\\

\textbf{\underline{Zusammenfassung:}}
Variante 1 (Einbau einer Kompensation durch Hersteller) er\-mög\-licht einen
sorglosen Umgang mit dem OP. Er arbeitet auf jeden Fall stabil. Das erkauft man sich
durch eine eher niedrige Grenzfrequenz, ab der die Leerlaufverstärkung abnimmt.
Benötigt man eine eher hohe Grenzfrequenz, dann muss man einen OP der Variante
2 (Kompensation durch Zusatzbeschaltung) wählen. Dafür muss man sich dort
selbst über die Stabilität der Schaltung Gedanken machen.\\

\enlargethispage{10mm}
\textbf{\underline{Ergänzende Informationen:}}
Probleme mit der Stabilität kann man nur dann bekommen, wenn die zu erstellende
Schaltung einen OP mit einer \textbf{Gegenkopplung} beinhaltet. Es gibt jedoch
auch Schaltungen \textbf{ohne} Gegenkopplung. Der
Schmitt-Trigger\footnote{siehe Seite ~\pageref{schmitt}} und der
Komparator\footnote{siehe Seite ~\pageref{komparator}} sind solche Schaltungen.
Hier möchte man in der Regel ein schnelles Schalten erreichen. Dazu eignet sich
am besten ein \textbf{unkompensierter} OP.

\subsection{Offset-Problem} \label{offset}
Ein Problem beim realen Operationsverstärker ist der sogenannte
\textbf{Offset}. Darunter versteht man die Tatsache, dass die Ausgangsspannung
nicht genau gleich 0 Volt ist, wenn die Differenz-Ein\-gangs\-span\-nung gleich
0 Volt ist. Tatsächlich muss für \mbox{$U_A=\unit[0]{V}$} die
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,6)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.2){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.2){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Grundschaltung eines invertierenden Verstärkers}}
\end{wrapfigure}
Differenz-Eingangs\-span\-nung etwas von 0 Volt verschieden sein. Der genaue
Wert der Differenz-Eingangs\-span\-nung, für die \mbox{$U_A=\unit[0]{V}$}
gegeben ist, nennt man \textbf{Offset-Ein\-gangs\-span\-nung} $U_{Offs}$. Der
Spannungswert der Offset-Eingangsspannung liegt in der Praxis in der
Größenordnung von etwa \mbox{$U_{Offs}\approx \pm \unit[1]{mV}$}. \\

Wenn man beispielsweise nebenstehende Ver\-stär\-ker\-schal\-tung aufbaut, dann
ist die Ausgangsspannung $U_A$ nicht 0V, wenn die Eingangsspannung
$U_E=\unit[0]{V}$
ist. Ein Rechenbeispiel:\\

Es sei \mbox{$U_{Offs}=\unit[1]{mV}$}, \mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$} und
\mbox{$R_2=\unit[1]{M \Omega}$}. Mit Hilfe der Grundformel für die Verstärkung
dieser Schaltung \mbox{$V_U=-\frac{R_2}{R_1}$} ergibt sich für
\mbox{$U_E=\unit[0]{V}$} $\rightarrow$
\mbox{$U_A=\unit[-1]{V}$} anstatt \mbox{$U_A=\unit[0]{V}$}. Dies dürfte in
aller Regel nicht tolerabel sein.\\

Noch schlimmer wird es, wenn $R_2$ auf \mbox{$\unit[10]{M \Omega}$} vergrößert
wird. Dann ergäbe sich mit \mbox{$U_E=\unit[0]{V}$} ein Wert von
\mbox{$U_A=\unit[-10]{V}$}. Auf der anderen Seite kann es aber (mit kleinen
Werten für $R_2$) auch Fälle geben, wo der Offset nicht sonderlich stört. Das
ist in jedem Einzelfall abzuwägen. \\

Es gibt mehrere Strategien, mit dem Offset-Problem umzugehen:
\begin{enumerate}
\item Es gibt Fälle, da stört der Offset überhaupt nicht. Das ist aber nur bei
      sehr kleinen Verstärkungsfaktoren bis vielleicht 10 der Fall.
\item Wenn der Offset nicht sonderlich stört, kann es ausreichen, wenn man
      dafür sorgt, dass der Effekt nicht unnötig groß wird. In über 90\% aller
      Anwendungsfälle kann so verfahren werden.
\item Man führt eine Kompensation des Offset durch. Dies kann durch
      Abgleich-Elemente in einer entsprechenden Beschaltung geschehen oder auch
      durch Verwendung spezieller OPs, die eine Kompensation automatisch selbst
      durchführen. Bei einer manuellen Kompensation gibt es wiederum zwei
      verschiedene Varianten:
      \begin{enumerate}
      \item Der Operationsverstärker hat spezielle Anschlüsse für eine
        Kompensationsschaltung.
      \item Der Operationsverstärker hat keine speziellen Anschlüsse für eine
        Kompensationsschaltung.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
Die erste Strategie heißt: Nichts tun. Manchmal geht das tatsächlich, wenn
nämlich wie bereits erwähnt der gewünschte Verstärkungsfaktor relativ
klein ist und auch die Eingangsspannungen eher groß sind.\\

\label{offsetklein}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,0.8)(9,6.1)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(4,5.2){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.2){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=0.6](D)(G){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F)(J){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,1){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Invertierender Verstärker mit kleinem Offset}}
\end{wrapfigure}
Kümmern wir uns nun um die zweite Strategie, nämlich das \textbf{Kleinhalten}
des unvermeidlichen Offset-Effektes.
Reale Operationsverstärker haben keinen unendlich großen Eingangswiderstand, es
fließen also auch Eingangsströme. Diese wiederum haben Spannungsfälle an den
Eingangswiderständen und entsprechend auch an den Widerständen der äußeren
Beschaltung der Eingänge zur Folge. Sind diese Widerstände der äußeren
Beschaltung der Eingänge beim positiven bzw. negativen Widerstand
unterschiedlich, dann vergrößert sich entsprechend auch die Offsetspannung.
Theoretisch ist es zwar auch denkbar, dass diese zusätzliche Veränderung
gerade das umgekehrte Vorzeichen hat, wie die eigentliche Offsetspannung und
somit den Offset-Effekt verkleinert, aber das wäre dann ein Zufall, von dem man
nicht ausgehen darf. \\

Obenstehend ist ein Verstärker dargestellt, der um den Widerstand $R_3$
ergänzt worden ist. Dieser Widerstand soll dafür sorgen, dass beide Eingänge des
Operationsverstärkers den gleichen Quellwiderstand "`sehen"'. Unter dem
Quellwiderstand muss man sich den Innenwiderstand der anliegenden
Spannungsquelle vorstellen. Im Fall des nicht-invertierenden Einganges dieser
Schaltung ist es eine 0-Volt-Quelle mit \mbox{$R_i=R_3$}.\\

Für den invertierenden Eingang ist es etwas komplizierter. Die anliegende
Eingangsspannung $U_E$ sei niederohmig; damit ist der Ersatz-Innenwiderstand
der Quelle der Innenwiderstand des Spannungsteilers aus $R_1$ und $R_2$, also
die Parallelschaltung aus $R_1$ und $R_2$. Entsprechend wählt man $R_3$ aus,
also \mbox{$\frac{1}{R_3}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$} oder
\mbox{$R_3=\frac{R_1 \cdot R_2}{R_1+R_2}$}. \\

In sehr vielen Fällen reicht es tatsächlich aus, dafür zu sorgen, dass der
Offset nicht unnötig groß wird. Das ist beispielsweise in folgenden Fällen
gegeben:
\begin{itemize}
\item Die gewünschte Verstärkung ist klein, die Eingangsspannungen sind groß.
\item Wir wollen Wechselspannungen mit einem mäßigen Verstärkungsfaktor
  verstärken.
\item Wir erstellen einen Schmitt-Trigger\footnote{siehe
  Seite~\pageref{schmitt}} oder einen Komparator\footnote{siehe
  Seite~\pageref{komparator}}.\\
\end{itemize}

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(9,6.1)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,1){C}
   \pnode(4,5.2){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.2){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,1){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,1){K}
   \pnode(1,-1){L}
   \pnode(8,-1){M}
   \pnode(4.5,0){N}
   \pnode(6.5,0){O}
   \pnode(5.5,-1){P}\qdisk(P){2pt}
   \pnode(4.5,2){Q}
   \pnode(5,2){R}
   \pnode(5.5,2){S}
   \pnode(6.5,2){T}
   \pnode(5,3){U}
   \pnode(5.5,3){V}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=0.6](D)(G){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F)(J){$R_3$}
   \potentiometer[labeloffset=0.6](N)(O)(P){$R_4$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,1.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \wire(L)(M)
   \wire(N)(Q)
   \wire(Q)(R)
   \wire(R)(U)
   \wire(O)(T)
   \wire(T)(S)
   \wire(S)(V)
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,1){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \pscircle(0.95,-1){2pt}
   \pscircle(8.05,-1){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[180](L){$-U_B$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Invertierender Verstärker mit Offset-Abgleich an speziellem
  Anschluss}}
\end{wrapfigure}
Wenn höhere Ansprüche an den Offset gestellt werden müssen, dann reicht die
vorstehend beschriebene Maßnahme nicht aus. Dies ist besonders dann der Fall,
wenn entweder mit einer sehr großen Verstärkung gearbeitet wird, oder wenn sehr
kleine Eingangsspannungen verarbeitet werden müssen. Daher haben manche
Operationsverstärker zwei Anschlüsse zum Anschluss eines Trimmers für einen
Offset-Ableich vorgesehen. Der bereits angesprochene Operationsverstärker
$µ$A741 ist ein typischer Vertreter dieser Bauform. Nebenstehend ist die
gängige Beschaltung für den Offset-Abgleich bei einem invertierenden Verstärker
dargestellt. Am Trimmer R$_4$ kann der Offset auf 0 Volt eingestellt werden.
Sein Schleifer ist an die negative Betriebsspannung des Operationsverstärkers
angeschlossen, die beiden anderen Anschlüsse sind mit den Offset-Eingängen des
Operationsverstärkers verbunden.\\

\label{741}
\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{OP741_Schaltung.jpg}
\caption{\emph{Innenschaltung des OP $µ$A741}}
\end{wrapfigure}
Wird kein Offset-Abgleich be\-nötigt, dann können bei
Ope\-ra\-ti\-ons\-ver\-stär\-kern dieser Bauform die entsprechenden Anschlüsse
einfach frei bleiben. Warum das so ist,
kann man bei einem Blick auf die Innenschaltung erkennen. Den Aufbau des OP
$µ$A741 zeigt nebenstehendes Bild. Die Anschlüsse für den Offset-Ab\-gleich
sind die Anschlüsse 1 und 5. Man erkennt die Emitterwiderstände mit je
$\unit[1]{k \Omega}$. An die Anschlüsse 7 und 4 wird die positive bzw. die
negative Betriebsspannung angeschlossen. Ist kein Trimmer zwischen 1 und 5
angeschlossen, dann fließt der Gesamtstrom des jeweiligen Emitters durch die
zugehörigen 1-k$\Omega$-Widerstände zum Minuspol. Schließt man den
Trimmer an, dann liegt je eine seiner "`variablen Hälften"' parallel zum
jeweiligen Emitterwiderstand und verringert dessen Wert durch die
Parallelschaltung. Die Anschlüsse 2 und 3 stellen die Eingänge des
Operationsverstärkers dar. \\

Nicht immer sind an einem Operationsverstärker Anschlüsse für einen
Offset-Abgleich herausgeführt. Beispielsweise sind Operationsverstärker oft
nicht einzeln in einem IC enthalten, sondern aus Platz- und Kostengründen baut
man gleich zwei oder vier Operationsverstärker im gleichen IC ein. Für einen
Vierfach-Operationsverstärker hat
man in einem 14-poligen IC nur zwei Anschlüsse für die Stromversorgung und je
Operationsverstärker drei Anschlüsse für Ausgang und Eingänge frei. Muss man
bei einem solchen Operationsverstärker einen Offset-Abgleich vorsehen, dann
ist das ebenfalls möglich. Allerdings geht es nicht ganz so einfach. \\

\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(9.5,6)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.2){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.2){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}
   \pnode(8,2){K}
   \pnode(1,1){L}
   \pnode(3,1){M}
   \pnode(5,1){N}
   \pnode(8,1){O}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[labeloffset=0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=0.6](D)(G){$R_2$}
   \potentiometer[labeloffset=-0.6](M)(N)(F){$R_3$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \wire(L)(M)
   \wire(N)(O)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(8.05,1){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[180](L){$-U_B$}
   \uput{0.3}[0](O){$+U_B$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Prinzip des Offset-Abgleiches ohne speziellen Anschluss}}
\end{wrapfigure}
Bleiben wir dazu beim Beispiel des invertierenden Ver\-stär\-kers. Der
Offset-Abgleich findet dabei am Referenz-Eingang -- dem positiven Eingang des
Operationsver\-stär\-kers -- statt. Das Prin\-zip-Schalt\-bild ist nebenstehend
dargestellt.\\

Die Abgleichschaltung muss es erlauben, die
Spannung dort um wenige Millivolt in den positiven und in den negativen Bereich
zu verstellen. Dies muss einerseits unabhängig von kleinen Unterschieden in der
positiven und negativen Betriebsspannung geschehen, andererseits muss der
Einstellbereich klein genug sein, damit der Abgleich fein genug erfolgen kann.
Das kann diese grundlegende Schaltung nicht gewährleisten, die Einstellung wäre
nicht fein genug und auch nicht unabhängig von Schwankungen der beiden
Betriebsspannungen.\\

Der Einstellbereich kann im Prinzip begrenzt werden, so dass eine ausreichend
feine Einstellung möglich ist, indem einfach zu $R_3$ auf beiden Seiten ein
relativ hochohmiger Widerstand in Reihe geschaltet wird. \\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,2.5)
   \pnode(1,1){A}
   \pnode(3,1){B}
   \pnode(5,1){C}
   \pnode(7,1){D}
   \pnode(4,2){E}
   \resistor[labeloffset=0.6](A)(B){$R_4$}
   \potentiometer[labeloffset=-0.6](B)(C)(E){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=0.6](C)(D){$R_5$}
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(7.05,1){2pt}
   \uput{0.3}[180](A){$-U_B$}
   \uput{0.3}[0](D){$+U_B$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Theoretische Begrenzung des Einstellbereiches}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die notwendige Ergänzung zu $R_3$ dargestellt. An den
Schleifer des Potentiometers $R_3$ wird wie zuvor der Minus-Eingang des OP
angeschlossen (hier nicht mit eingezeichnet).\\

Zu der Schaltung folgt ein Rechenbeispiel:
Angenommen, die Betriebsspannung be\-tra\-ge \mbox{$U_B=\pm \unit[15]{V}$,}
es sei \mbox{$R_3=\unit[100]{\Omega}$}. Wenn wir nun die Widerstände $R_4$ und
$R_5$ mit je \mbox{$\unit[100]{k \Omega}$} wählen, dann erhalten wir einen
Einstellbereich von \mbox{$\pm \unit[7,5]{mV}$}.
Das ist zwar eigentlich schon reichlich viel, ein kleiner Bereich wäre besser
einstellbar, aber trotzdem können wir nicht sicher stellen, dass der
Einstellbereich überhaupt sowohl eine positive als auch eine negative Spannung
abdeckt. Warum?\\
% \enlargethispage{10mm}

An $R_3$ fällt $\unit[15]{mV}$ ab, an $R_4$ und $R_5$ jeweils etwa
$\unit[15]{V}$. Wenn nun beispielsweise $R_5$ nur 1\% kleiner als $R_4$
ist, dann fällt an ihm auch 1\% weniger Spannung ab, also $\unit[150]{mV}$
weniger. Damit läge der Einstellbereich durch $R_3$ nicht mehr symmetrisch um
$\unit[0]{V}$ herum, sondern um $+\unit[75]{mV}$ herum, also von
$+\unit[67,5]{mV}$ bis $+\unit[82,5]{mV}$. Der Einstellbereich wäre also völlig unbrauchbar. Das
gleiche gilt auch, wenn die positive und die negative Betriebsspannung
geringfügig voneinander abweichen. Dabei sind 1\%-Widerstände schon recht
genau (teuer), gängig sind Toleranzen von 5 oder 10 \%. \\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(8.5,2.5)
   \pnode(1,1){A}
   \pnode(3,1){B}\qdisk(B){2pt}
   \pnode(5,1){C}\qdisk(C){2pt}
   \pnode(7,1){D}
   \pnode(4,2){E}
   \pnode(1,-1){F}
   \pnode(3,-1){G}\qdisk(G){2pt}
   \pnode(5,-1){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(7,-1){I}
   \resistor[labeloffset=0.6](A)(B){$R_4$}
   \potentiometer[labeloffset=-0.6](B)(C)(E){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=0.6](C)(D){$R_5$}
   \resistor[labeloffset=-0.6](B)(G){$R_6$}
   \resistor[labeloffset=0.6](C)(H){$R_7$}
   \wire(F)(I)
   \pscircle(0.95,1){2pt}
   \pscircle(7.05,1){2pt}
   \pscircle(0.95,-1){2pt}
   \pscircle(7.05,-1){2pt}
   \uput{0.3}[180](A){$-U_B$}
   \uput{0.3}[0](D){$+U_B$}
   \uput{0.3}[180](F){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Praxisgerechte Begrenzung des Einstellbereiches}}
\end{wrapfigure}

Daher ist es notwendig, den Einstellbereich am 0-V-Potential "`festzubinden"'.
Dies kann beispielsweise durch nebenstehende Schaltung geschehen.
\mbox{$R_4$/$R_6$} stellt (ebenso wie \mbox{$R_5$/$R_7$}) einen Spannungsteiler
dar, der die positive (bzw. die negative)
Betriebsspannung auf wenige Millivolt herunterteilt. An den Enden von $R_3$
steht also eine kleine positive und eine kleine negative Spannung an, die aber
an das 0-Volt-Potential gekoppelt ist. Dadurch sind jetzt handelsübliche
Toleranzen der Widerstände problemlos zulässig.\\

Die Schaltung ist zugegebenermaßen aufwendig. Wenn also ein Offset-Abgleich
erforderlich scheint, wäre es schon sinnvoller, auf einen Operationsverstärker
zurückzugreifen, der die Anschlüsse für einen Offset-Abgleich beinhaltet. \\

Eine Abgleichschaltung hat aber auch Nachteile. Neben den zusätzlichen Kosten
und dem Platzbedarf für die Bauteile müssen auch noch die Kosten für die
Durchführung des Abgleiches berücksichtigt werden. Weiterhin verändert sich der
Offset eines Operationsverstärkers mit der Betriebsspannung, mit der
Temperatur, durch Alterung der Bauelemente und ähnliches. Mögliche
Verschmutzung oder mechanische Belastungen wirken auf den Einstelltrimmer und
verringern die Betriebssicherheit. Wenn es also von daher kritisch wird, dann
sollte eine andere Lösung als ein manueller Offset-Abgleich vorgezogen
werden.\\

Hierfür sind spezielle Operationsverstärker erhältlich, sogenannte
\textbf{Chopper-Opera\-ti\-ons\-verstärker}. Intern bestehen sie aus zwei
voneinander unabhängigen Operationsverstärkern, einer Schaltmatrix und einer
Steuerung. Über die Schaltmatrix ist immer ein Operationsverstärker an die
äußeren Anschlüsse des IC angeschlossen, während der andere
Operationsverstärker im Abgleichmodus arbeitet. Das bedeutet, dass der inaktive
Operationsverstärker automatisch abgeglichen wird. Sobald der Abgleich beendet
ist, wird er an die äußeren Anschlüsse angeschlossen und der andere
Operationsverstärker geht in den Abgleichmodus. Dadurch steht nach außen hin
immer ein optimal abgeglichener Operationsverstärker zur Verfügung. \\

Es soll nicht verschwiegen werden, dass natürlich auch
Chopper-Operationsverstärker Nachteile haben. Kritisch sind beispielsweise die
Umschaltvorgänge. Hierbei können kleine Sprünge oder Spikes am Ausgang
auftreten. In der HiFi-Technik sollte man sie also nicht verwenden. In der
Mess- und Regeltechnik -- speziell beim Verarbeiten sehr kleiner
Eingangsspannungen -- können Chopper-Operationsverstärker aber vorteilhaft
eingesetzt werden.

\newpage
\section{Komplexere Schaltungsbeispiele aus der Praxis}
\subsection{Impulsformer für digitales Strömungsmessgerät}
Die Strömungsgeschwindigkeit eines Flusses soll gemessen werden. Dazu wird ein
Impeller\footnote{Ein Impeller ist ein Flügelrad, ähnlich einem Propeller. Im
Gegensatz zu einem Propeller, der die Flüssigkeit antreibt, wird der Impeller
durch die strömende Flüssigkeit angetrieben.}
in den Fluss getaucht. Die Strömung des Flusses treibt den Impeller an. Um die
Drehzahl des Impellers zu erfassen, befindet sich im rotierenden Teil des
Impellers ein kleiner Magnet, der bei jeder Umdrehung des Flügelrades an einer
Feldplatte\footnote{Eine Feldplatte ist ein magnetfeldabhängiger Widerstand.}
vorbeikommt. Im Einfluss des Mag\-net\-fel\-des erhöht sich jeweis der
Widerstand der Feldplatte um ungefähr 2\,\%.
Mit der hier vorgestellten Schaltung soll die regelmäßige kleine Veränderung
des Widerstandes der Feldplatte $FP$ in rechteckförmige Impulse umgewandelt
werden, mit der dann eine nachfolgende digitale Schaltung die Auswertung
vornehmen kann.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-1.3,-0.5)(13,9.3)
   \pnode(-0.5,0){A01}
   \pnode(0,0){A0}\qdisk(A0){2pt}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(0,2){A4}
   \pnode(0,4.5){A5}
   \pnode(0,7){A9}
   \pnode(-0.6,5.15){A12}
   \pnode(0.6,6.35){A13}
   \pnode(-0.5,9){A11}
   \pnode(1.1,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(1.1,2){B2}
   \pnode(1.1,2){B4}\qdisk(B4){2pt}
   \pnode(1.1,5){B6}
   \pnode(1.1,7.5){B9}
   \pnode(2.1,8.3){B12}
   \pnode(1.5,7){C9}
   \pnode(1.5,9){C10}
   \pnode(3,5.5){D6}
   \pnode(1.5,7){D9}\qdisk(D9){2pt}
   \pnode(3.2,5){D9A}
   \pnode(1.5,9){D10}
   \pnode(1.5,9){D11}\qdisk(D11){2pt}
   \pnode(6,0){E0}
   \pnode(5.5,5.5){E6}
   \pnode(6,7){E9}
   \pnode(6,5){E9A}
   \pnode(7.5,0){F0}
   \pnode(7.5,2.5){F3}
   \pnode(7.5,4.5){F5}\qdisk(F5){2pt}
   \pnode(7.5,6){F7}
   \pnode(8.5,0){G0}
   \pnode(8.5,2.5){G3}
   \pnode(10.5,4.5){H5}
   \pnode(10.5,6.5){H8}\qdisk(H8){2pt}
   \pnode(11,0){I0}
   \pnode(11,6.5){I8}
   \pnode(11,9){I11}
   \pnode(2,4){X1}
   \pnode(5.3,4){X2}
   \pnode(5.3,2.5){X3}\qdisk(X3){2pt}
   \pnode(2,3){X4}
   \pnode(9.5,2.5){X5}\qdisk(X3){2pt}
   \pnode(9.5,0){X6}
   \OA[tripolestyle=french](X4)(B4)(X3)
   \OA[tripolestyle=french](E9)(F7)(H8)
   \resistor[labeloffset=-0.7](B6)(B4){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F5)(F3){$R_5$}
   \resistor[labeloffset=0.6](F5)(H5){$R_7$}
   \resistor[labeloffset=-0.9](A9)(A5){$FP$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C10)(C9){$P_1$}
   \capacitor[dipolestyle=elektorchemical,labeloffset=-0.6](B4)(B0){$C_1$}
   \psline{-|}(B6)(B9)(B12)
   \psline{<->}(A12)(A13)
   \psline(X1)(X2)(X3)(F3)
   \psline(A01)(I0)
   \psline(A11)(I11)
   \psline(C10)(D10)
   \psline(A9)(E9)
   \psline(X1)(X4)
   \psline(F7)(F5)
   \psline(A5)(A0)
   \psline{-o}(H5)(H8)(I8)
   \uput{0.2}[0](I11){$+\unit[1{,}5]{V}$}
   \uput{0.2}[0](I0){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[0](I8){$U_A$}
   \uput{1.5}[-135](X3){$OP_1$}
   \uput{1.5}[135](H8){$OP_2$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das Schaltungsprinzip dargestellt. Die Versorgungsspannungen
wurden wie üblich nicht mit eingezeichnet. Die tatsächliche Schaltung
ist etwas komplizierter, sie wird nachfolgend genauer untersucht.\\

\enlargethispage{10mm}
Die Feldplatte $FP$ bildet zusammen mit dem Stellwiderstand $P_1$ einen
Spannungsteiler. Ändert sich der Widerstand der Feldplatte, dann ändert sich
auch die Spannung am Spannungsteiler. Diese Spannung wird dem
Schmitt-Trigger\footnote{siehe Seite~\pageref{schmitt} ff}
um $OP_2$ zugeführt. Dieser soll die Umformung in eine Rechteckspannung
durchführen. $OP_1$ stellt einen Spannungsfolger\footnote{siehe
Seite~\pageref{spannungsfolger}} dar. Seine Aufgabe ist
es, dem Schmitt-Trigger um $OP_2$ eine feste Vergleichsspannung zur Verfügung
zu stellen. Diese Vergleichsspannung soll geringfügig größer sein, als die
Spannung am Spannungsteiler $P_1/FP$, wenn kein Magnetfeld auf die Feldplatte
einwirkt. Diese Spannung wird an $P_1$ eingestellt. So ist der Ausgang des
Schmitt-Triggers in Ruhe auf $U_{Amax}$ geschaltet. Eine Kopplung der
Vergleichsspannungserzeugung an den Spannungsteiler $P_1/FP$ ist notwendig,
damit nicht kleine Widerstandsänderungen durch Temperaturschwankungen oder
Bauteilalterung die Triggerschwelle ungewollt verschieben.\\

Wenn ein Magnet an der Feldplatte vorbei kommt, erhöht sich kurzfristig ihr
Widerstand, der Spannungsteiler liefert wie bereits erwähnt kurzfristig eine
höhere Spannung an den Minuseingang von $OP_2$. Aber auch am Schleifkontakt von
$P_1$ erhöht sich dabei die Spannung kurzfristig. Da jedoch $OP_1$ eine
\textbf{feste} Vergleichsspannung liefern soll, wird die Spannung mit $C_1$
quasi "`festgehalten"'. Die Zeitkonstante \mbox{$\tau =R_3 \cdot C_1$} ist im
Vergleich zur kurzen Feldplattenwiderstandsänderung sehr groß, der
Spannungsfolger um $OP_1$ liefert eine ziemlich konstante Vergleichsspannung an
den Schmitt-Trigger um $OP_2$. Die Spannung an dessen Minuseingang steigt beim
Vorbeilaufen des Magneten an der Feldplatte über diese Vergleichsspannung an,
der Schmitt-Trigger schaltet um, bis seine Eingangsspannung wieder kleiner
geworden ist.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-1.3,-0.5)(13,11.3)
   \pnode(-0.5,0){A01}
   \pnode(0,0){A0}\qdisk(A0){2pt}
   \pnode(0,1){A1}
   \pnode(0,2){A4}
   \pnode(0,4.5){A5}
   \pnode(0,7){A9}
   \pnode(-0.6,5.15){A12}
   \pnode(0.6,6.35){A13}
   \pnode(-0.5,11){A11}
   \pnode(1.1,0){B0}\qdisk(B0){2pt}
   \pnode(1.1,2){B2}
   \pnode(1.1,2){B4}\qdisk(B4){2pt}
   \pnode(1.1,5){B6}
   \pnode(1.1,7.5){B9}
   \pnode(2.1,8.3){B12}
   \pnode(1.6,7){C9}\qdisk(C9){2pt}
   \pnode(1.6,9){C10}
   \pnode(3,5.5){D6}
   \pnode(3.2,7){D9}\qdisk(D9){2pt}
   \pnode(3.2,5){D9A}
   \pnode(3.2,9){D10}\qdisk(D10){2pt}
   \pnode(3.2,11){D11}\qdisk(D11){2pt}
   \pnode(6,0){E0}\qdisk(E0){2pt}
   \pnode(5.5,5.5){E6}
   \pnode(6,7){E9}\qdisk(E9){2pt}
   \pnode(6,5){E9A}\qdisk(E9A){2pt}
   \pnode(7.5,0){F0}  \qdisk(F0){2pt}
   \pnode(7.5,2.5){F3}\qdisk(F3){2pt}
   \pnode(7.5,4.5){F5}\qdisk(F5){2pt}
   \pnode(7.5,6){F7}
   \pnode(8.5,0){G0}
   \pnode(8.5,2.5){G3}
   \pnode(10.5,4.5){H5}
   \pnode(10.5,6.5){H8}\qdisk(H8){2pt}
   \pnode(11,0){I0}
   \pnode(11,6.5){I8}
   \pnode(11,11){I11}
   \pnode(2,4){X1}
   \pnode(5.3,4){X2}
   \pnode(5.3,2.5){X3}\qdisk(X3){2pt}
   \pnode(2,3){X4}
   \pnode(9.5,2.5){X5}\qdisk(X3){2pt}
   \pnode(9.5,0){X6}\qdisk(X6){2pt}
   \OA[tripolestyle=french](X4)(B4)(X3)
   \OA[tripolestyle=french](E9)(F7)(H8)
   \resistor[labeloffset=-0.7](D11)(D10){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](D10)(D9){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](B6)(B4){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=0.6](X1)(X2){$R_4$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F5)(F3){$R_5$}
   \resistor[labeloffset=0.6](D9)(E9){$R_6$}
   \resistor[labeloffset=0.6](F5)(H5){$R_7$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](X5)(X6){$R_8$}
   \resistor[labeloffset=-0.9](A9)(A5){$FP$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C10)(C9){$P_1$}
   \capacitor[dipolestyle=elektorchemical,labeloffset=-0.6](B4)(B0){$C_1$}
   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](D9)(D9A){$C_2$}
   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](E9)(E9A){$C_3$}
   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](F3)(F0){$C_4$}
   \psline{-|}(B6)(B9)(B12)
   \psline{<->}(A12)(A13)
   \psline(D9A)(E9A)(E0)
   \psline(X2)(X3)(X5)
   \psline(A01)(I0)
   \psline(A11)(I11)
   \psline(C10)(D10)
   \psline(A9)(D9)
   \psline(X1)(X4)
   \psline(F7)(F5)
   \psline(A5)(A0)
   \psline{-o}(H5)(H8)(I8)
   \uput{0.2}[0](I11){$+\unit[1{,}5]{V}$}
   \uput{0.2}[0](I0){$\unit[0]{V}$}
   \uput{0.3}[0](I8){$U_A$}
   \uput{1.5}[-135](X3){$OP_1$}
   \uput{1.5}[135](H8){$OP_2$}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die tat\-säch\-li\-che Schaltung dargestellt.
Bekannt sind folgende Werte:\\
$R_1=\unit[1]{k \Omega}$, $R_2=\unit[3{,}9]{\Omega}$\\
$R_3=\unit[33]{k \Omega}$, $R_4=\unit[33]{k \Omega}$\\
$R_5=\unit[1]{k \Omega}$, $R_6=\unit[1]{k \Omega}$\\
$R_7=\unit[3{,}3]{M \Omega}$, $R_8=\unit[1{,}5]{k \Omega}$\\
$P_1=\unit[100]{\Omega}$\\
$C_1=\unit[100]{µF}$, $C_2=\unit[0{,}1]{µF}$\\
$C_3=\unit[0{,}1]{µF}$, $C_4=\unit[33]{nF}$\\

Beginnen wir mit den zu\-sätz\-li\-chen Widerständen $R_1$ und $R_2$. Da wir an
$P_1$ eine Spannung abgreifen wollen, die nur \textbf{geringfügig} größer ist,
als die Spannung am oberen Ende der Feldplatte, wird mit dem Spannungsteiler
$R_1/R_2$ mit \mbox{$R_2 \ll R_1$} dem Trimmer $P_1$ schon ein sehr eingeengter
Spannungsbereich zugeführt, so dass beim Abgleich die Einstellung viel
feinfühliger erfolgen kann.\\

Weiter geht es mit $R_4$, der hier anstelle einer leitenden Verbindung im
Spannungsfolger eingebaut wurde. Dieser wird verwendet, um den Offset
des Operationsverstärkers klein zu halten.\footnote{siehe
Seite~\pageref{offsetklein}} Deshalb ist \mbox{$R_4=R_3$} gewählt worden.\\

Kommen wir nun zu $R_6$. Er hat die gleiche Funktion, wie $R_4$ bei $OP_1$.
Beide Eingänge des OP sollen den gleichen Quellwiderstand "`sehen"', um den
Offset klein zu halten. Daher ist $R_6=R_5$, weil $R_7$ viel größer ist und
daher nicht ins Gewicht fällt.\\

Nun kommen die Kondensatoren $C_2$, $C_3$ und $C_4$ an die Reihe. Sie sollen
die Schaltung EMV-tauglich machen. Unter der Elektromagnetischen
Verträglichkeit (kurz: EMV) versteht man die Eigenschaft eines Gerätes, auch in
einer Umgebung mit störenden elektromagnetischen Feldern fehlerfrei zu
arbeiten.\footnote{Bekannt ist vielleicht der Absturz einer der ersten Tornados
beim niedrigen Überflug über einen Rundfunksender, weil die Rundfunkwellen die
Steuerelektronik des Flugzeuges störte. Bei früheren Flugzeugen gab es dieses
Problem nicht, da die Steuerung damals rein hydraulisch erfolgte.} Beim Testen
der Schaltung zeigte sich, dass elektromagnetische Störimpulse eines
Gleichstrommotors in der Nähe den Schmitt-Trigger unkontrolliert ansteuern
konnten. Diese Störimpulse werden mit den Kondensatoren $C_2$ und $C_3$
abgeblockt. Die Vergleichsspannung am Ausgang von $OP_1$ wird mit $C_4$
beruhigt. Da eine rein kapazitive Last am Ausgang eines realen OP zu einer
Schwingneigung führen kann, wurde einerseits die Kapazität nicht sehr groß
gewählt und andererseits der Ausgang mit dem Lastwiderstand $R_8$ zusätzlich
bedämpft.\\


Bei den beiden Operationsverstärkern handelt es sich um den CA\,3078\,T, einen
Low-Power-OP, der mit einer Betriebsspannung von \mbox{$\pm \unit[0{,}75]{V}$}
bei einem Ruhestrom im $µA$-Bereich auskommt. In dieser Schaltung wird eine
Betriebsspannung von \mbox{$\pm \unit[1{,}5]{V}$} verwendet, die aber nicht mit
eingezeichnet ist. Da der CA\,3078\,T \textbf{keine} interne
Frequenzkompensation\footnote{siehe Seite~\pageref{frequenzgang}} beinhaltet,
muss überprüft werden, inwieweit die hier erforderlich ist.\\

Sehen wir uns dazu die Schaltungsteile um die OPs genauer an. Wir wissen
bereits, dass $OP_1$ als Spannungsfolger geschaltet ist.
Bei einem Spannungsfolger ist auf jeden Fall eine Frequenzgangkompensation
erforderlich, da die Gegenkopplung mit dem Faktor 1 wirkt. Der erforderliche
Kompensationskondensator mit \mbox{$C=\unit[1]{nF}$} ist wegen der besserer
Übersichtlichkeit hier nicht mit eingezeichnet. Da $OP_2$ als Schmitt-Trigger
arbeitet, ist hier eine Kompensation nicht sinnvoll.\\



\newpage
\subsection{HF-Leistungsmesser für kleine Leistungen}
\begin{center}
 \psset{unit=7mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(22.7,11.8)
   \pnode(0,3){A1}
   \pnode(0,11.5){A2}
   \pnode(0.5,0.5){B1}
   \pnode(0.5,3){B2}
   \pnode(0.5,6){B3}
   \pnode(0.5,2.7){B4}
   \pnode(0.5,3.3){B5}
   \pnode(2,0.5){C1}\qdisk(C1){2pt}
   \pnode(2,3){C2}\qdisk(C2){2pt}
   \pnode(2,5){C3}\qdisk(C3){2pt}
   \pnode(2,6.5){C4}\qdisk(C4){2pt}
   \pnode(2,8.5){C5}\qdisk(C5){2pt}
   \pnode(2,11.5){C6}\qdisk(C6){2pt}
   \pnode(4,5){D1}\qdisk(D1){2pt}
   \pnode(4,6.5){D2}\qdisk(D2){2pt}
   \pnode(4,8.5){D3}\qdisk(D3){2pt}
   \pnode(4,9.5){D4}   \psline[linewidth=1.5pt](3.5,9.5)(4.5,9.5)
   \pnode(4,11.5){D5}\qdisk(D5){2pt}
   \pnode(4,0.5){E1}
   \pnode(4,6){E2}
   \pnode(5.5,3){F1}   \psline[linewidth=1.5pt](5,3)(6,3)
   \pnode(5.5,5.5){F2}\qdisk(F2){2pt}
   \pnode(5.5,6.5){F3}
   \pnode(5.5,8.5){F4}\qdisk(F4){2pt}
   \pnode(7.5,5.25){G1} \psline[linewidth=1.5pt](7,4.5)(8,4.5)
                       \psline[linewidth=1.5pt](7.5,4.5)(7.5,5.25)
   \pnode(7.5,6.75){G2}
   \pnode(7.5,11.5){G3}\qdisk(G3){2pt}
   \pnode(9.5,6.0){H1}
   \pnode(10,5.0){I1}
   \pnode(10,11.5){I2}\qdisk(I2){2pt}
   \pnode(11,5.0){J1}
   \pnode(11,8.5){J2}\qdisk(J2){2pt}
   \pnode(12.5,0){K1}   \psline[linewidth=1.5pt](12,0)(13,0)
   \pnode(12.5,1.5){K2}
   \pnode(12.5,3.5){K3}
   \pnode(12.5,6){K4}
   \pnode(12.5,11.5){K5}\qdisk(K5){2pt}
   \pnode(13.5,2.5){L1}
   \pnode(13.5,3.5){L2}
   \pnode(13.5,4.75){L3}
   \pnode(16.5,3.0){M1}\qdisk(M1){2pt}
   \pnode(16.5,5.75){M2}
   \pnode(16.5,7){M3}\qdisk(M3){2pt}
   \pnode(16.5,8.5){M4}\qdisk(M4){2pt}
   \pnode(16.5,10){M5}
   \pnode(16.5,4.75){M6}\qdisk(M6){2pt}
   \pnode(18.5,1.25){N1}%   \psline[linewidth=1.5pt](18,1.25)(19,1.25)
   \pnode(18.5,3.0){N2} %\qdisk(N2){2pt}
   \pnode(18.5,8.5){N3}
   \pnode(19,7){O1}
   \pnode(19,10){O2}
   \pnode(20.5,8.5){P1}\qdisk(P1){2pt}
   \pnode(21,3.0){Q1}
   \pnode(21,5.25){Q2}\qdisk(Q2){2pt}
   \pnode(21,8.5){Q3}
   \pnode(21,11.5){Q4}
   \pnode(1.8,6){S1}
   \pnode(2.2,6){S2}
   \OA[tripolestyle=french](F3)(F2)(H1) \uput{1}[45](F3){$OP_1$}
    \uput{0.7}[15](F3){\tiny 9}
    \uput{0.6}[17](F2){\tiny 10}
    \uput{0.2}[45](G2){\tiny 4}
    \uput{0.2}[-135](G1){\tiny 11}
    \uput{0.6}[160](H1){\tiny 8}
   \OA[tripolestyle=french](L2)(L1)(M1) \uput{0.8}[40](L2){$OP_2$}
    \uput{0.15}[50](L2){\tiny 13}
    \uput{0.55}[-75](L2){\tiny 12}
    \uput{0.12}[135](M1){\tiny 14}
   \OA[tripolestyle=french](M2)(L3)(Q2) \uput{1.4}[-23](M6){$OP_3$}
    \uput{0.95}[12](M2){\tiny 2}
    \uput{0.95}[12](M6){\tiny 3}
    \uput{0.95}[168](Q2){\tiny 1}
    \uput{0.95}[-90](G1){LM124}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C6)(C5){$R_1$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C5)(C4){$R_2$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](C3)(C2){$R_3$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F4)(F3){$R_4$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](F2)(F1){$R_5$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](K4)(K3){$R_6$}
   \resistor[labeloffset=-0.7](K2)(K1){$R_7$}
   \resistor[labeloffset=0.6](M1)(N2){$R_8$}
   \resistor[labeloffset=0.6](J2)(M4){$R_9$}
   \resistor[labeloffset=0.6](M3)(O1){$R_{10}$}
   \resistor[labeloffset=0.6](M4)(N3){$R_{11}$}
   \resistor[labeloffset=0.6](M5)(O2){$R_{12}$}
   \potentiometer[[labeloffset=0.6](K3)(K2)(L1){}
   \uput{-1.3}[180](L1){$P_1$}
   \resistor[labeloffset=0.8](N2)(Q1){$P_2$}
   \psline(18.9,3.0)(18.9,2.45)(19.3,2.45)(20.1,3.45)
       \psline(20.0,3.55)(20.2,3.35)  \pscircle*(18.9,3.0){2pt}
   \transistor[transistorcircle=false,transistortype=NPN](H1)(I1)(I2)
     \uput{0.6}[100](H1){$V_1$}
     \uput{1.3}[-90](H1){BC108}
   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](C3)(D1){$C_2$}
   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](B2)(C2){$C_3$}
%   \capacitor[dipolestyle=elektor,labeloffset=-0.7](N2)(N1){$C_4$}
   \capacitor[dipolestyle=elektorchemical,labeloffset=-0.7](D5)(D4){$C_5$}
   \capacitor[dipolestyle=elektorchemical,labeloffset=-0.7](D3)(D2){$C_6$}
   \circledipole[labeloffset=-1.2](Q2)(Q1){}
   \uput{0.9}[90](Q1){A}   \uput{0.2}[-55](Q2){\footnotesize +}
   \lamp[labeloffset=0.9](C2)(C1){$H_1$}
   \ground(C1)
   \wire(A2)(Q4)
   \wire(C5)(J2)
   \wire(P1)(Q3)
   \wire(C4)(F3)
   \wire(A1)(B2)
   \wire(I1)(J1)
   \wire(C4)(C3)
   \wire(F3)(F2)
   \wire(G3)(G2)
   \wire(J2)(J1)
   \wire(K5)(K4)
   \wire(L3)(L2)
   \wire(M6)(M1)
   \wire(M5)(M2)
   \wire(Q3)(Q2)
   \pscircle(-0.1,3){2pt}
   \pscircle(19.1,7){2pt}
   \pscircle(18.6,8.5){2pt}
   \pscircle(19.1,10){2pt}
   \psline(19.17,7.07)(P1)
   \uput{0.8}[0](N3){$S$}
   \capacitor[dipolestyle=elektor](S1)(S2){}
   \uput{0.3}[-160](C4){$C_1$}
   \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](B5)(B3)(S1)
   \psline[linestyle=dashed,dash=4.5mm 1mm 0.5mm 1mm](S2)(E2)(E1)(B1)(B4)
   \psline(0.4,3.3)(0.6,3.3)  % Öffnung für HF-Anschluss
   \psline(0.4,2.7)(0.6,2.7)  %  "
   \uput{0.25}[100](A1){HF}
   \uput{0.2}[0](Q4){+12V}
 \end{pspicture}
\[\begin{array}{rlrl}   %{lp{40mm}ll}
R_1:&\unit[2{,}2]{k \Omega} & R_2: &\unit[200]{\Omega}\\
R_3:&\unit[100]{\Omega}&R_4:&\unit[10]{k \Omega}\\
R_5:&\unit[10]{k \Omega}  & R_6:& \unit[220]{k \Omega}\\
R_7:&\unit[150]{k \Omega} & R_8:& \unit[8{,}2]{k \Omega}\\
R_9:&\unit[1]{k \Omega}&R_{10}:&\unit[1]{k\Omega}\\
R_{11}:&\unit[10]{k \Omega}&R_{12}:&\unit[100]{k \Omega}\\
P_1:&\textnormal{Poti }\unit[10]{k \Omega}&
P_2:&\textnormal{Trimmer }\unit[4{,}7]{k \Omega}\\
C_1:&\textnormal{Duko }\unit[1]{nF} & C_2: &\unit[100]{nF} \\
C_3:&\unit[100]{nF} & C_6:&\unit[4{,}7]{µF}\\                    %C_4:&\unit[100]{nF}\\
C_5:&\unit[100]{µF} & OP:&\textnormal{LM124}\\
V_1:&\textnormal{BC108 o. ä.} &A:&\textnormal{Strommesser }\unit[50]{µA}\\
H_1:&\textnormal{Mikro-Glühlampe (ca. $\unit[100]{\Omega}$)}\\

\end{array}\]\\
\emph{Leistungsmesser für kleine Leistungen im Hochfrequenzbereich}
\end{center}

Die vorstehend dargestellte Schaltung stellt ein Leistungsmessgerät für kleine
Hochfrequenzleistungen dar. Verwendet wird hier der
Vierfach-Operationsverstärker LM124.\footnote{Technische Daten des LM124 siehe
hier:\\ \ifpdf
\url{https://pdf1.alldatasheet.com/datasheet-pdf/pdf/97339/TI/LM124.html}\fi}
Wie man aus dem Schaltbild erkennen kann,
werden aus dem IC nur drei OPs benutzt, der vierte liegt brach. Die OPs sind
intern frequenzkompensiert\footnote{siehe Seite~\pageref{frequenzgang}} und für
eine unsymmetrische Betriebsspannung zwischen 3 und 32 Volt ausgelegt.\\

Wir wollen uns die Funktionen der Schaltungen um die drei OPs im Detail
ansehen. Die sind teilweise nicht einfach zu deuten, wir sollten aber immerhin
sofort erkennen können, dass $OP_2$ einen Spannungsfolger darstellt.\\

Beginnen wir ganz links mit der Reihenschaltung $R_1$, $R_2$, $R_3$ und der
Mikro-Glühlampe $H_1$. Über die Widerstände $R_1$ bis $R_3$ wird die Lampe zum
Leuchten gebracht. (Außer über $R_1$ kommt ein wesentlicher Anteil des
Stromes auch über die Kollektor-Emitter-Strecke von $V_1$. Dazu später mehr.)
Dabei interessiert hier nicht das Licht, der Glühfaden der Lampe arbeitet an
dieser Stelle nur als temperaturabhängiger Widerstand\footnote{siehe
beispielsweise hier in Kapitel 8:
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundl.pdf}\fi}.
Solange am HF-Eingang
keine Hochfrequenzleistung eingespeist wird, wird die Lampe gewissermaßen mit
Gleichstrom "`vorgeheizt"'. Sie soll mäßig leuchten.\\

Betrachten wir nun den Hochfrequenzteil, der mit einer
Strichpunktlinie eingerahmt ist. Über den Kondensator $C_3$ wird die zu
messende Hochfrequenzleistung eingekoppelt. Die Ausgangsleistung eines
Hochfrequenz-Generators soll gemessen werden. Üblicherweise erwartet ein
Generator für Hochfrequenz einen Lastwiderstand von $\unit[50]{\Omega}$. Dieser
Widerstandswert soll durch $R_3$ und $H_1$ gewährleistet werden. Da die
Vorgänge etwas kompliziert sind, gehen wir zunächst davon aus, dass der
Widerstandswert des Glühdrahtes in der Glühlampe genau $\unit[100]{\Omega}$
beträgt. $R_3$ hat ebenfalls $\unit[100]{\Omega}$. Für die Hochfrequenz sind
$R_3$ und $H_1$ parallelgeschaltet, da das obere Ende von $R_3$ über $C_1$ und
$C_2$ hochfrequenzmäßig mit dem Massepotential verbunden ist. Diese
Parallelschaltung stellt somit den gewünschten Eingangswiderstand von
$\unit[50]{\Omega}$ dar.\\

Links von $OP_1$ sieht man eine Brückenschaltung, bestehend aus dem linken
Zweig mit $R_2$ und der Schaltung im strichpunktierten Kasten, sowie dem
rechten Zweig mit $R_4$ und $R_5$. Diese Brücke befindet sich im Gleichgewicht,
denn die Brückenspannung liegt als $U_d$ zwischen den beiden Eingängen des OP.
Warum wir tatsächlich eine Gegenkopplung haben, die das Rechnen mit dem
Virtuellen Kurzschluss zulässt, ist auf den ersten Blick alles andere als klar,
denn über $R_4$ haben wir ja auch eine Mitkopplung, also eine Rückführung der
Ausgangsspannung des OP auf den \textbf{Plus}eingang. Dabei stellt der
Transistor $V_1$ als Emitterfolger lediglich eine externe Leistungsendstufe des
OP dar. Für das Verständnis der Vorgänge kann man ihn also auch als Bestandteil
des OP betrachten.\\

Klären wir als nächstes, warum wir denn -- wie behauptet -- eine
\textbf{Gegenkopplung} haben. Nehmen wir dazu einmal an, die Brücke geriete aus
irgendeinem Grund aus dem Gleichgewicht, das Potenzial am Pluseingang werde
etwas größer, als am Minuseingang. Dann wird am OP $U_d>0$. Die Folge ist
ein (starkes) Ansteigen der Ausgangsspannung des OP, $V_1$ wird stärker
angesteuert und auch das Potential am Emitter steigt entsprechend, weil der
Transistor nun besser leitet. Die Gesamtspannung an der Brücke (zwischen $R_1$
und dem Masspotential) steigt. Also muss auch in \textbf{beiden}
Brückenzweigen der Strom ansteigen. Dadurch verändert sich aber das bestehende
Ungleichgewicht in der Brücke zunächst \textbf{nicht}! Da aber auch durch $H_1$
nun ein ansteigender Strom fließt, wird der Glühfaden heißer.  Weil das
Wolframmaterial im Glühfaden einen \textbf{positiven} Temperaturkoeffizienten
hat, steigt dadurch der Widerstandswert von $H_1$. Jetzt verändert sich im
linken Brückenzweig $R_2$ mit $R3+H1$ das Widerstandsverhältnis, so dass die
Spannung am Minuseingang des OP noch mehr ansteigt. Dadurch wird $U_d$ am OP
wieder kleiner. Zusammengefasst: Eine Vergrößerung von $U_d$ aus einem
beliebigen Grund hat zur Folge, dass $U_d$ wieder kleiner wird. Das ist das
klassische Merkmal einer \textbf{Gegenkopplung}.\\

Gehen wir nun davon aus, dass am HF-Eingang eine Hochfrequenzleistung
eingespeist wird. Diese Leistung teilt sich gleichermaßen auf $R_3$ und $H_1$
auf. Durch diese zusätzliche Leistung heizt sich der Glühfaden auf, aus den
vorstehend beschriebenen Gründen gerät die Brücke aus dem Gleichgewicht und der
OP senkt seine Ausgangsspannung ab. Dadurch wird auch der Strom im linken
Brückenzweig so weit abgesenkt, bis die Brücke wieder im Gleichgewicht ist. Da
zu diesem Gleichgewicht eine ganz bestimmte Glühfadentemperatur gehört, sinkt
die Speisespannung der Brücke so weit ab, bis diese Temperatur wieder erreicht
ist. Man kann sagen, dass die Gleichstromleistung, die den Glühfaden heizt, um
den gleichen Betrag abgesenkt wird, der dem Glühfaden als zusätzliche
Hochfrequenzleistung zugeführt wird. Daraus ergibt sich das Messprinzip der
Schaltung.\\

Als nächstes sollte die Funktion des Kondensators $C_6$ erklärt werden. $C_6$
liegt im direkten Gegenkopplungszweig. Damit soll die Wirkung der Gegenkopplung
über $R_2$ im Vergleich zur Mitkopplung über $R_4$ beschleunigt werden, um ein
unkontrolliertes Schwingen der
Schaltung zu verhindern. Das ist wegen der Trägheit der
Tem\-pe\-ra\-tur\-än\-de\-rung/Wi\-der\-stands\-än\-de\-rung in $H_1$
notwendig.\\

$R_1$ könnte eventuell weggelassen werden. Seine Aufgabe besteht lediglich
darin, beim Einschalten der Schaltung dafür zu sorgen, dass die Schaltung in
einen stabilen Zustand startet. Anderenfalls wäre es denkbar, dass der OP am
Ausgang 0 Volt abgibt, weil bei 0 Volt an beiden Eingängen aufgrund einer
winzigen negativen Eingangs-Offsetspannung\footnote{siehe
seite~\pageref{offset}} der OP diesen Zustand nicht verlassen könnte.\\

Schauen wir uns nun den rechten Teil der Schaltung an. Er dient dazu, den
Messwert zur Anzeige zu bringen. Wir haben ja schon festgestellt, dass die
Reduktion der Gleichstromleistung in $H_1$ ein Maß für die zu messende
Hochfrequenzleistung ist. Dazu wird die Speisespannung für die schon mehrfach
erwähnte Brückenschaltung am Emitter von $V_1$ einem Invertierenden
Verstärker\footnote{siehe Seite~\pageref{verstaerker}} mit $OP_3$ zugeführt.
Damit das Messwerk ohne angelegte Hochfrequenzleistung auf Null steht, muss am
Minuseingang eine gleichhohe Vergleichsspnnung angelegt werden. Diese wird mit
dem Spannungsteiler $R_6/P_1/R_7$ erzeugt. An $P_1$ kann vor der Messung der
Zeiger auf Null eingestellt werden. Da durch Umwelteinflüsse und auch durch
Alterung der Mikro-Glühlampe die Arbeitstemperatur des Glühfadens etwas
unterschiedlich sein kann, ist diese Korrekturmöglichkeit sinnvoll. Diese
Vergleichsspannung wird durch den Spannungsfolger mit $OP_2$ entkoppelt und dem
Pluseingang von $OP_3$ zugeführt. Die Widerstände $R_{10}$, $R_{11}$ und
$R_{12}$ dienen dazu, mit dem Schalter $S$ unterschiedliche Messbereiche
schalten zu können. Sie ändern den Verstärkungsfaktor des Invertierenden
Verstärkers um $OP_2$.\\

Da die dem Invertierenden Verstärker um $OP_3$ zugeführte Spannung vom Emitter
von $V_1$ bei \textbf{zunehmender} HF-Leistung \textbf{kleiner} wird, steigt
die Ausgangsspannung an $OP_3$ entsprechend an. Eine Leistungs\textbf{zunahme}
am HF-Eingang geht also einher mit einer Spannungs\textbf{zunahme} am Ausgang
von $OP_3$. Da das verwendete Messwerk eigentlich ein Strommesser ist, wird es
mit Hilfe von $R_8$ und $P_2$ als Spannungsmesser umfunktioniert. Dieser
Spannungsmesser misst die Spannung zwischen der aktuellen Ausgangsspannung am
$OP_3$ und der gepufferten Vergleichsspannung vom Nullabgleich. Man kann nun
ausrechnen, um wieviele Millivolt die Spannung am Emitter von $V_1$ absinkt,
wenn beispielsweise eine HF-Leistung von $\unit[10]{mW}$ eingespeist
wird\footnote{Die Berechnung ist nicht ganz simpel. Wenn man aber weiß, dass
sich Leistungen mit unterschiedlicher Frequenz -- also auch Gleichstrom- und
Wechselstromleistung -- quadratisch addiert werden, also nach der Formel
\mbox{$P^2_{ges}=P_1^2+P_2^2$}, dann kann man mit Kenntnissen von Ohmschem
Gesetz und Kirchhoffschen Regeln diesen Spannungseinbruch selbst ausrechnen.},
dann kann man an $P_1$ das Messgerät unter Zuhilfenahme eines einfachen
Digitalvoltmeters kalibrieren. Man schließt einfach einen
HF-Generator an und misst die dabei beobachtete Spannungsabnahme am Emitter,
berechnet daraus die eingespeiste HF-Leistung und stellt mit $P_1$ den Zeiger
auf den zugehörigen Leistungswert auf der Skala ein.\\

%\newpage
%\section{Übungsaufgaben}
%\subsection{Aufgabe 1}

%\newpage
%\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
%\subsection{Aufgabe 1}





\end{document}

\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
\end{wrapfigure}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
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\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
\hat =                % "entspricht"

