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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}

\title{Der Operationsverstärker}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Grundlagen des idealen Operationsverstärkers}
\subsection{Die Bezeichnungen}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=12mm}
 \begin{pspicture}(1,2.8)(7.2,6)
   \pnode(2,3){A}
   \pnode(7,3){B}
   \pnode(2,5.25){E}
   \pnode(3,4.25){F}
   \pnode(7,4.75){H}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \wire(A)(B)
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.35)(3.1,5.15)
   \uput{0.1}[180](3.1,4.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.15)(3.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](3.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E+}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(2.1,5.15)(2.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](2.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E-}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(6.9,4.65)(6.9,3.1)
   \uput{0.1}[180](6.9,3.9){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \uput{0.1}[180](A){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Operationsverstärker}}
\end{wrapfigure}

Der Operationsverstärker -- im folgenden einfach \textbf{OP} genannt -- ist ein
recht universell einsetzbares Bauelement. Er wird immer gegen ein
Bezugspotential betrieben. Das Bezugspotential ist hier mit 0 Volt bezeichnet.
Es ist sicher etwas gewöhnungsbedürftig, dass das Bezugspotential scheinbar
nirgendwo mit dem OP verbunden ist. In Wirklichkeit scheint das   aber nur so.\\

Natürlich benötigt der OP eine Spannungsversorgung. Diese wird aber in der
Regel nicht mit eingezeichnet. Über diese Spannungsversorgung hat der OP dann
doch eine Verbindung zum Bezugspotential. Die Versorgungsspannung liegt meist
symmetrisch zum Bezugspotential\footnote{In der Praxis gibt es jedoch viele
andere Möglichkeiten, auch eine unsymmetrische Spannungsversorgung zu
verwenden. Einige OPs sind sogar speziell dafür gebaut.}, beispielsweise
$\pm \unit[15]{V}$.\\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=12mm}
 \begin{pspicture}(1,2.8)(7.2,6)
   \pnode(2,3){A}
   \pnode(7,3){B}
   \pnode(2,5.25){E}
   \pnode(3,4.25){F}
   \pnode(7,4.75){H}
   \OA(E)(F)(H)
   \wire(A)(B)
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.35)(3.1,5.15)
   \uput{0.1}[180](3.1,4.75){\textcolor{blue}{$U_{d}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(3.1,4.15)(3.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](3.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E+}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(2.1,5.15)(2.1,3.1)
   \uput{0.1}[180](2.1,3.8){\textcolor{blue}{$U_{E-}$}}
   \psline[linecolor=blue]{->}(6.9,4.65)(6.9,3.1)
   \uput{0.1}[180](6.9,3.9){\textcolor{blue}{$U_{A}$}}
   \uput{0.1}[180](A){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Amerikanisches Schaltzeichen}}
\end{wrapfigure}
Oben dargestellt ist der OP mit seinem Europäischen Schaltzeichen. In der
Literatur findet man auch oft die Darstellung mit dem Amerikanischen
Schaltzeichen. Dieses ist hier nebenstehend dargestellt.\\

In dieser Darstellung sind die Bezeichnungen die gleichen, lediglich die
Darstellung des Symbols sieht etwas anders aus. Da man bei der Arbeit mit
OP-Schaltungen auch oft Amerikanische Literatur\footnote{Auch in Fernost werden
die Amerikanischen Zeichen verwendet.} in die Hände bekommt, wird das
Symbol hier gezeigt. Im Falle eines Falles können Sie das Symbol dann als OP
deuten. Im weiteren Verlauf des Artikels verwende ich aber die
Europäische Norm.\\

Der OP hat zwei Eingänge und einen Ausgang. Daher gibt es auch zwei
Eingangsspannungen ($U_{E+}$ und $U_{E-}$) und eine Ausgangsspannung ($U_A$).
Entscheidend für die Funktion des OP sind aber nicht $U_{E+}$ und $U_{E-}$,
sondern die sogenannte \textbf{\emph{Differenzeingangsspannung}} $\mathbf{U_d}$ mit
$U_d=U_{E+}-U_{E-}$.\\

\subsection{Bedingungen des idealen Operationsverstärkers}
Wir wollen den OP zunächst als \emph{ideales} Bauelement betrachten. Er ist
vollständig beschrieben durch drei Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item Die Spannungsverstärkung des OP ist unendlich groß:
  \[V_U=\cfrac{U_A}{U_d}= \infty \]
\item Die Eingangswiderstände an beiden Eingängen sind unendlich groß:
  \[R_{E+}=R_{E-}=R_E= \infty\]
\item Der Ausgangswiderstand ist gleich Null:
  \[R_A=0\]
\end{enumerate}

Auf den ersten Blick führt speziell die erste Bedingung zu einem absurden, kaum
pra\-xis\-taug\-li\-chen Verhalten. Sobald $U_d$ auch nur geringfügig positiv
ist, erhalten wir eine unendlich große positive Ausgangsspannung. Wechselt
$U_d$ in den negativen Bereich, dann springt die Ausgangsspannung sofort auf
einen unendlich großen negativen Wert. Ist dagegen $U_d$ genau gleich Null,
dann ist \textbf{jede} Ausgangsspannung möglich.\\

\section{Invertierender Verstärker}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7)
   \pnode(1,4.25){B}
   \pnode(1,2){C}
   \pnode(4,5.5){D}
   \pnode(4,4.25){E}\qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,3.25){F}
   \pnode(7,5.5){G}
   \pnode(7,3.75){H}\qdisk(H){2pt}
   \pnode(8,3.75){I}
   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Invertierender Verstärker}}
\end{wrapfigure}
Aus diesem Grund ist es eigentlich fast immer notwendig, den OP mit einer
\textbf{Gegenkopplung} zu betreiben. Darunter versteht man eine Rückführung der
Ausgangsspannung in geeigneter Form auf den negativen Eingang des OP. Dadurch
erhält man einen klar definierten Zustand des OP.\\

In nebenstehend dargestellter Schaltung eines Invertierenden Verstärkers ist
diese Gegenkopplung durch den Widerstand $R_2$ gegeben. Hierdurch wird
erreicht, dass die Differenz-Eingangsspannung $U_d$ des OP immer Null ist.
Wieso?\\

Nehmen wir einmal an, es sei nicht so. Nehmen wir beispielsweise an, dass das
Potential am Minus-Eingang positiv sei (dann ist $U_d<0$), dann müsste sich die
Ausgangsspannung schnell in Richtung $-\infty$ bewegen. Über $R_2$ ,,zieht''
sie damit das Potential am Minus-Eingang nach unten, bis $U_d=\unit[0]{V}$
erreicht ist. Wäre das Potential am Minus-Eingang negativ gewesen, hätte ein
Ausgleichsvorgang in der umgekehrten Richtung stattgefunden. In jedem Fall
ergibt sich nur dann ein konsistenter Zustand, wenn $U_d=\unit[0]{V}$ ist. Nach
außen hin wirkt es so, als ob zwischen den beiden Eingängen des OP ein
Kurzschluss bestünde. Tatsächlich ist das natürlich nicht der Fall, die
Eingangswiderstände sind ja unendlich groß. Aus diesem Grund spricht man bei
einem OP mit Gegenkopplung von einem "`\textbf{\emph{Virtuellen Kurzschluss}}"'
zwischen den Eingängen.\\

\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.5,1.8)(9,7)
   \pnode(1,4.25){B}
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   \pnode(4,2){J}\qdisk(J){2pt}
   \pnode(8,2){K}
   \OA[tripolestyle=french](E)(F)(H)
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_1$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](B)(E){$R_1$}
   \resistor[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_2$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,
    tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.4,tensionlabel=$U_2$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.7,
     tensionwidth=\pslinewidth,labeloffset=-0.6](D)(G){$R_2$}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](0.95,4.15)(0.95,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_E$}}
   \tension[tensioncolor=blue,labeloffset=-0.4](8.05,3.65)(8.05,2.1)
     {\textcolor{blue}{$U_A$}}
   \wire(D)(E)
   \wire(F)(J)
   \wire(C)(K)
   \wire(H)(I)
   \wire(G)(H)
   \pscircle(0.95,2){2pt}
   \pscircle(0.95,4.25){2pt}
   \pscircle(8.05,2){2pt}
   \pscircle(8.05,3.75){2pt}
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=green](E)(F)
   \uput{0.3}[180](C){$\unit[0]{V}$}
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Virtueller Kurzschluss}}
\end{wrapfigure}

Mit dem Virtuellen Kurzschluss erhält man nun einen guten Ansatz zur Berechnung
von gegengekoppelten OP-Schaltungen in die Hand. Natürlich muss man sich immer
vergegenwärtigen, dass man mit diesem Ansatz eigentlich Ursache und Wirkung
vertauscht, aber für die Schaltungsanalyse ist diese Denkweise sehr hilfreich.
Nebenstehend ist der Virtuelle Kurzschluss mit einer grünen gestrichelten Linie
eingezeichnet.\\

Wir gehen das Prinzip einmal an einem Beispiel durch. Gegeben seien:\\
\mbox{$R_1=\unit[1]{k \Omega}$, $R_2=\unit[10]{k \Omega}$ und $U_E=\unit[1]{V}$.}\\

Der Virtuelle Kurzschluss sorgt dafür, dass am Minus-Eingang des OP das gleiche
Potential anliegt, wie am Plus-Eingang, nämlich $\unit[0]{V}$. Daher ist die Spannung
$U_1$ genau so groß, wie die Spannung $U_E$. Damit kann der Strom $I_1$
bestimmt werden.
\[I_1=\cfrac{U_1}{R_1}=\cfrac{U_E}{R_1}=\cfrac{\unit[1]{V}}{\unit[1]{k \Omega}}
=\unit[1]{mA}\]
Nun kommt das Besondere am Virtuellen Kurzschluss: Er ist hochohmig! Der Strom
$I_1$ kann nicht über diesen Kurzschluss nach unten zum $\unit[0]{V}$-Punkt abfließen.
Er kann auch nicht in den Minus-Eingang des OP fließen, der Eingangswiderstand
ist auch hochohmig. Nach der Kirchhoffschen Knotenregel kann er nur über $R_2$
nach rechts weiterfließen.\\

Wenn wir dieses Grundprinzip am OP verstanden haben, dann können wir so auch
alle unbekannten Schaltungen berechnen. Führen wir aber nun die begonnene
Berechnung fort.\\

Da der Strom $I_1$ nur über $R_2$ weiterfließen kann, ist demnach $I_2=I_1$.
Wir können die Spannung $U_2$ mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes berechnen.
\[U_2=R_2 \cdot I_2=R_2 \cdot I_1=\unit[10]{k \Omega} \cdot
\unit[1]{mA}=\unit[10]{V}\]
Nun kann die Ausgangsspannung $U_A$ bestimmt werden. Dazu machen wir einen
Maschenumlauf vom $\unit[0]{V}$-Punkt über den Virtuellen Kurzschluss, den
Widerstand $R_2$ und die Ausgangsspannung $U_A$.
\begin{eqnarray*}
U_2+U_A&=&0 \\
U_A&=&-U_2 \\
U_A&=&-\unit[10]{V}
\end{eqnarray*}

\paragraph*{Aufgabe:}
Versuchen Sie bitte zunächst selbst, anhand der Vorgehensweise mit konkreten
Zahlen eine \textbf{Formel} zu entwickeln, mit der die Spannungsverstärkung mit
$V_U=\cfrac{U_A}{U_E}$ bestimmt werden kann. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor:
\begin{itemize}
\item Gehen Sie von einer Eingangsspannung $U_E$ aus.
\item Bestimmen Sie damit die Formel zur Bestimmung des Stromes $I_1$.
\item Bestimmen Sie daraus die Formel zur Bestimmung der Spannung $U_2$.
\item Leiten Sie daraus die Formel zur Bestimmung von $U_A$ ab.
\item Setzen Sie nun das Ergebnis in die oben angegebene Formel für $V_U$ ein.
\end{itemize}
Bei der Bearbeitung können Sie sich an jeder Stelle an die vorstehend
durchgeführte Berechnung mit konkreten Zahlen orientieren.\\ \\ \\

\emph{(Führen Sie bitte die Berechnungen durch, bevor Sie weiterblättern.)}
\newpage
\paragraph*{Hier die Lösung:}
\begin{eqnarray*}
U_1&=&U_E \\
I_1&=&\cfrac{U_1}{R_1}= \cfrac{U_E}{R_1}\\
I_2&=&I_1=\cfrac{U_E}{R_1}\\
U_2&=&R_2 \cdot I_2=R_2 \cdot \cfrac{U_E}{R_1}\\
U_A&=&-U_2=-R_2 \cdot \cfrac{U_E}{R_1} \\
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis wird in die Definitionsgleichung für $V_U$ eingesetzt.
\[V_U=\cfrac{U_A}{U_E}=\cfrac{-R_2 \cdot \frac{U_E}{R_1}}{U_E}
=-\cfrac{R_2 \cdot U_E}{U_E \cdot R_1}=-\cfrac{R_2}{R_1}\]
Zusammengefasstes Ergebnis:
\fcolorbox{red}{yellow}{$V_U=-\cfrac{R_2}{R_1}$}

\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
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%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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