\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
\usepackage{ngerman} % Deusche Rechtschreibung
\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}  % Zeichencodierung
%\usepackage[right]{eurosym}   % Das Euro-Zeichen ist hier drin
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot,pst-node,pst-circ}
%\usepackage{wasysym}  % Isländische Zeichen
\usepackage{color}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} % Einbinden von Grafik
\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\usepackage{caption} % Bildunterschrift
%\captionsetup{labelformat=empty} % Keine Nummerierung der Bilder
\usepackage{units}     % Einheiten in Formeln
%\usepackage{rotating} % vertikales Beschriften in Tabelle
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Gemischte Ungleichungen mit Brüchen und Beträgen}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
%\newpage


\section{Einleitung}
Zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen sind Kenntnisse zu Ungleichungen
und zu Beträgen erforderlich. Eine Anleitung zu Ungleichungen finden Sie hier:
\begin{center}
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ungleich.pdf}\fi\end{center}

Eine Anleitung zum Rechnen mit Beträgen finden Sie hier:
\begin{center}\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/betrag.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/betrag.pdf}\fi \end{center}

\newpage
\section{Grundsätzliche Vorgehensweise an einem Beispiel}
Anhand des nachfolgenden Beispiels wollen wir uns eine mögliche Vorgehensweise
ansehen.
\[\cfrac{|x+4|}{|x-1|}\leq \cfrac{|x-1|}{x}\]
Zunächst wir der Definitionsbereich bestimmt. Aus den Nennernullstellen ergibt
sich:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{0;1\}$}
\end{center}
Bei einer Ungleichung dieser Art ist es sinnvoll, zunächst alle Grenzen zu
bestimmen, bei denen Betragsinhalte und/oder Nenner das Vorzeichen wechseln.
Dann können die sich ergebenden Bereiche einzeln untersucht werden. Die
Nennernullstellen sind schon in den Definitionslücken erkennbar. Der Nenner des
linken Bruches ist gleichzeitig als Betragsinhalt im rechten Zähler enthalten.
Bleibt also nur noch der linke Zähler. \mbox{$(x+4)$} wird Null für
\mbox{$x=-4$}. Wir erhalten also vier zu untersuchende Bereiche:
\begin{enumerate}
\item $x<-4$
\item $-4 \leq x<0$
\item $0<x<1$
\item $x>1$
\end{enumerate}
Diese Bereiche werden nun einzeln nacheinander untersucht.

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-4:}\]

\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{|x+4|}{|x-1|}&\leq&\cfrac{|x-1|}{x}\\
\cfrac{-(x+4)}{-(x-1)}&\leq&\cfrac{-(x-1)}{x}\\
\cfrac{-x-4}{-x+1}&\leq&\cfrac{-x+1}{x}&| \cdot (-x+1)
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
-x-4&\leq&\cfrac{(-x+1) \cdot (-x+1)}{x}&| \cdot x 
 & \textnormal{\emph{(negativ)}}\\
(-x-4) \cdot x&\geq&(-x+1) \cdot (-x+1) \\
-x^2-4x&\geq&x^2-2x+1 &|-x^2+2x-1 \\
-2x^2-2x-1&\geq&0 &| \cdot (-2) & \textnormal{\emph{(negativ)}}\\
x^2+x+\frac{1}{2}&\leq&0 &|-\frac{1}{2}\\
x^2+x&\leq&-\frac{1}{2} &|+\left(\frac{1}{2}\right) \\
x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2&\leq&-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\\
\left(x+\frac{1}{2}\right)^2&\leq&-\frac{1}{4}\\
x+\frac{1}{2}&\leq&\left| \sqrt{-\frac{1}{4}} \right| \\
L_1&=&\{\ \} \\
\end{array}\]
Die Lösungsmenge ist leer, da das Ergebnis der Wurzel \textbf{nicht reell} ist.

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }-4 \leq x<0:}\]
In diesem Bereich sind nur die beiden gleichen Betragsinhalte \textbf{negativ}.
Beim Auflösen dieser Beträge entsteht daher ein Minuszeichen. Bei einer
Multiplikation mit einem Nenner muss man prüfen, ob der Nenner positiv ist oder
nicht. Ist er negativ, kehrt sich das Ungleichungszeichen um.

\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{|x+4|}{|x-1|}&\leq&\cfrac{|x-1|}{x}\\
\cfrac{x+4}{-(x-1)}&\leq&\cfrac{-(x-1)}{x}\\
\cfrac{x+4}{-x+1}&\leq&\cfrac{-x+1}{x}&| \cdot (-x+1)
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
x+4&\leq&\cfrac{(-x+1) \cdot (-x+1)}{x}&| \cdot x 
 & \textnormal{\emph{(negativ)}}\\
(x+4) \cdot x&\geq&(-x+1)^2 \\
x^2+4x&\geq&x^2-2x+1 &|-x^2+2x \\
6x&\geq&1 &|:6 \\
x&\geq&\frac{1}{6}\\
L_2&=&\{\ \}\\
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-4.5,-2)(1.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-4.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-o}(-4,1)(0,1)
    \psline[linecolor=blue]{o-}(0.17,2)(0.9,2)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[0](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](0,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Die Lösungsmenge ist leer, da das Ergebnis \textbf{außerhalb} des
untersuchten Bereiches liegt. Die Bereiche überschneiden sich nicht.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }0<x<1:}\]
In diesem Bereich sind nur die beiden gleichen Betragsinhalte \textbf{negativ}.
Beim Auflösen dieser Beträge entsteht daher ein Minuszeichen. Beide Nenner sind
positiv.

\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{|x+4|}{|x-1|}&\leq&\cfrac{|x-1|}{x}\\
\cfrac{x+4}{-(x-1)}&\leq&\cfrac{-(x-1)}{x}\\
\cfrac{x+4}{-x+1}&\leq&\cfrac{-x+1}{x}&| \cdot (-x+1)
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
x+4&\leq&\cfrac{(-x+1) \cdot (-x+1)}{x}&| \cdot x 
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
(x+4) \cdot x&\leq&(-x+1)^2 \\
x^2+4x&\leq&x^2-2x+1 &|-x^2+2x \\
6x&\leq&1 &|:6 \\
x&\leq&\frac{1}{6}\\
L_3&=&\{0<x \leq\frac{1}{6}\}\\
\end{array}\]
\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.4,-2)(1.4,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.4,-0.4)(1.4,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(0,1)(1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.4,2)(0.2,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(0,3)(0.2,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt teilweise im untersuchten Bereich, beide
Bereiche überschneiden sich. Daher liegt im Überschneidungsbereich die
Lösungsmenge (\textcolor{green}{$L_3$}).

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x>1:}\]
In diesem Bereich sind alle Betragsinhalte \textbf{positiv}. Beim Auflösen
dieser Beträge entsteht daher kein Minuszeichen. Beide Nenner sind positiv.

\[\begin{array}{rclll}
\cfrac{|x+4|}{|x-1|}&\leq&\cfrac{|x-1|}{x}\\
\cfrac{x+4}{x-1}&\leq&\cfrac{x-1}{x}&| \cdot (x-1)
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
x+4&\leq&\cfrac{(x-1) \cdot (x-1)}{x}&| \cdot x 
 & \textnormal{\emph{(positiv)}}\\
(x+4) \cdot x&\leq&(x-1)^2 \\
x^2+4x&\leq&x^2-2x+1 &|-x^2+2x \\
6x&\leq&1 &|:6 \\
x&\leq&\frac{1}{6}\\
L_4&=&\{\ \}\\
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=9mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(1,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.5,2)(0.2,2)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.2,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Die Lösungsmenge ist leer, da das Ergebnis \textbf{außerhalb} des
untersuchten Bereiches liegt. Es gibt keine Überlappung.\\

Die Gesamtlösungsmenge ist gleich der Teillösungsmenge $L_3$, da alle anderen
Teillösungsmengen leer sind.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{0<x \leq\frac{1}{6}\}$}\end{center}

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\cfrac{|2x+2|}{x+1} \leq 12\]
\subsection{Aufgabe 2}
\[\cfrac{|2x+1|}{|2x-1|}\leq 3\]
\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{4}{1-|2x+1|}\leq \cfrac{7}{2}\]


\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\[\cfrac{|2x+2|}{x+1} \leq 12\]
Zunächst wird der Definitionsbereich bestimmt. Der Nenner wird Null für
\mbox{$x=-1$}.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1\}$}
\end{center}
Der Betragsinhalt wechselt ebenfalls bei \mbox{$x=-1$} sein Vorzeichen. Daher
haben wir nur zwei Bereiche zu untersuchen, nämlich \mbox{$x<-1$} und
\mbox{$x>-1$}.

\[\cfrac{|2x+2|}{x+1} \leq 12 \quad | \cdot (x-2)\]
\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x>-1:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-1:} \\
\begin{array}{rcl}
+(2x+2)&\leq&12 \cdot (x+1) \\
2x+2&\leq&12x+12 \quad |-12x-2 \\
-10x&\leq&10 \quad|:(-10) \\
x&\geq&-1 \\
L_1&=&\{x|x>-1 \}\\
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
-(2x+2)&\geq&12 \cdot (x+1) \\
-2x-2&\geq&12x+12 \quad|-12x+2 \\
-14x&\geq&14 \quad |:(-14) \\
x&\leq&-1 \\
L_2&=&\{x|x<-1 \}\\
\end{array}
\end{array}\]
\hspace{15mm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.4,-2)(0.4,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.4,-0.4)(0.4,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(-1,1)(0.4,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-1,2)(0.4,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(-1,3)(0.4,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
\hspace{35mm}
  \psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
    \begin{pspicture}(-2.4,-2)(0.4,3.5)
      \psaxes{-}(0,0)(-2.4,-0.4)(0.4,0.4)
      \psline[linecolor=red]{-o}(-2.4,1)(-1,1)
      \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.4,2)(-1,2)
      \psline[linecolor=green]{-o}(-2.4,3)(-1,3)
      \uput{0.32}[-90](0,0){0}
      \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
      \uput{0.1}[0](-1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
      \uput{0.1}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \end{pspicture}

Fasst man beide Teillösungsmengen zusammen, dann gehören alle Reellen Zahlen
außer der $-1$ zur Lösungsmenge.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L= \mathbb{R}\setminus \{-1\}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
\[\cfrac{|2x+1|}{|2x-1|}\leq 3\]
Zuerst wird der Definitionsbereich bestimmt. Der Nenner wird Null für
\mbox{$x=0{,}5$}.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{0{,}5\}$}
\end{center}

Der Betragsinhalt des Zählers wechselt sein Vorzeichen bei \mbox{$x=-0{,}5$}.
Dadurch erhalten wir \textbf{drei} Bereiche, die untersucht werden müssen,
nämlich \mbox{$x<-0{,}5$} und \mbox{$-0{,}5<x<0{,}5$} und \mbox{$x \geq 0{,}5$}.
Aus Platzgründen untersuche ich die drei Bereiche nacheinander.

\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-0{,}5:}\]
In diesem Bereich sind beide Betragsinhalte \textbf{negativ}. Beim Auflösen
dieser Beträge entsteht daher überall Minuszeichen. Der Nenner ist wegen des
Betrages positiv.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{|2x+1|}{|2x-1|}&\leq& 3 \\
\cfrac{-(2x+1)}{-(2x-1)}&\leq& 3 \\
\cfrac{-2x-1}{-2x+1}&\leq& 3  &| \cdot (-2x+1) \\
-2x-1 &\leq&3 \cdot (-2x+1) \\
-2x-1 &\leq&-6x+3 &|+1+6x \\
4x&\leq &4 &|:4 \\
x&\leq &1 \\
L_1&=& \{x|x<-0{,}5\}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.4,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.4,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-1.4,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.4,2)(1,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-1.4,3)(-0.5,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt teilweise im untersuchten Bereich, der
untersuchte Bereich wird durch das Ergebnis komplett abgedeckt. Die
Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_1$}) ist identisch mit dem untersuchten
Bereich.

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }-0{,}5<x<0{,}5:}\]
In diesem Bereich ist der Betragsinhalt des Nenners \textbf{negativ}, der des
Zählers \textbf{positiv}. Beim Auflösen entsteht daher im Nenner ein
Minuszeichen, der Zähler bleibt positiv.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{|2x+1|}{|2x-1|}&\leq& 3 \\
\cfrac{+(2x+1)}{-(2x-1)}&\leq& 3 \\
\cfrac{2x+1}{-2x+1}&\leq& 3  &| \cdot (-2x+1) \\
2x+1 &\leq&3 \cdot (-2x+1) \\
2x+1 &\leq&-6x+3 &|-1+6x \\
8x&\leq &2 &|:8 \\
x&\leq &0{,}25 \\
L_2&=& \{x|-0{,}5<x \leq 0{,}25\}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.4,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.4,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-0.5,1)(0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.4,2)(0.25,2)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-0.5,3)(0.25,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](0.25,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](-0.5,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt teilweise im untersuchten Bereich. Die
Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_2$}) liegt im Bereich der
Überschneidung.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x \geq 0{,}5:}\]
In diesem Bereich ist der Betragsinhalt beider Beträge \textbf{positiv}. Beim
Auflösen bleiben daher beide Beträge positiv.

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{|2x+1|}{|2x-1|}&\leq& 3 \\
\cfrac{+(2x+1)}{+(2x-1)}&\leq& 3 \\
\cfrac{2x+1}{2x-1}&\leq& 3  &| \cdot (2x-1) \\
2x+1 &\leq&3 \cdot (2x11) \\
2x+1 &\leq&6x-3 &|-1-6x \\
-4x&\leq &-4 &|:(-4) \\
x&\geq &1 \\
L_3&=& \{x|x \geq 1\}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-2)(2.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-0.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-}(0.5,1)(2.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(1,2)(2.5,2)
    \psline[linecolor=green]{|-}(1,3)(2.5,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](1,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt komplett im untersuchten Bereich. Die
Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_3$}) ist also identisch mit dem
Ergebnis.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=11mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(2.5,2.3)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(2.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-1.5,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=green]{o-|}(-0.5,1)(0.25,1)
    \psline[linecolor=green]{|-}(1,1)(2.5,1)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[90](-1,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](-0.1,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_2$}}}
    \uput{0.1}[90](2,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_3$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die gesamte Lösungsmenge besteht aus den drei Teillösungsmengen $L_1$ bis
$L_3$. Dabei stoßen keine benachbarten Teillösungsmengen direkt aneinander.
Eine vereinfachte Zusammenfassung ist daher nicht möglich.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_2 \cup L_3=
 \{x|x<-0{,}5 \vee -0{,}5<x \leq 0{,}25 \vee x \geq 1 \}$}
\end{center}

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
\[\cfrac{4}{1-|2x+1|}\leq \cfrac{7}{2}\]

Zur Bestimmung des Definitionsbereiches muss zunächst der Nenner auf
Nullstellen untersucht werden.
\[\begin{array}{rcll}
1-|2x+1|&=&0 &|-1 \\
-|2x+1|&=&-1 &| \cdot (-1) \\
|2x+1|&=&1 \\
\end{array}\]
Der Betragsinhalt ist \textbf{positiv} (oder =0) für \mbox{$x \geq -0{,}5$} und
\textbf{negativ} für \mbox{$x < -0{,}5$}. Wir benötigen also auch für diese
Nebenrechnung eine \textbf{Fallunterscheidung}.

\[\begin{array}{ccc}
\underline{\textnormal{für }x\geq -0{,}5:} &&
 \underline{\textnormal{für }x<-0{,}5:} \\
\begin{array}{rcl}
|2x+1|&=&1 \\
2x+1&=&1 \quad |-1 \\
2x&=&0 \quad |:2 \\
x&=&0 \\ \\
\end{array}&&\begin{array}{rcl}
|2x+1|&=&1 \\
-(2x+1)&=&1 \\
-2x-1&=&1 \quad | +1 \\
-2x&=&2 \quad | :(-2) \\
x&=&-1 \\
\end{array}\end{array}\]

Beide Ergebnisse liegen innerhalb des jeweils untersuchten Bereiches, also kann
für beide Werte der Nenner Null werden. Beide müssen aus dem Definitionsbereich
\textbf{ausgeschlossen} werden.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{R}\setminus \{-1;0\}$}
\end{center}

Wie wir oben schon gesehen haben, wechselt der Betragsinhalt bei
\mbox{$x=-0{,}5$} sein Vorzeichen. Hier liegt also eine weitere Grenze für die
notwendigen Fallunterscheidungen für die Lösung. Diese Bereiche sind demnach zu
untersuchen:
\[x<-1 \qquad -1<x<-0{,}5 \qquad -0{,}5 \leq x < 0 \qquad x>0\]

Aus Platzgründen führe ich die Fallunterscheidungen nacheinander durch.

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }x<-1:}\]

In diesem Bereich ist der Betragsinhalt \textbf{negativ}, beim Auflösen muss
also das Vorzeichen vor dem Betrag \textbf{gewechselt} werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+(2x+1)}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+2x+1}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{2x+2}&\leq &\cfrac{7}{2} &| \cdot (2x+2) \quad (negativ) \\
4&\geq &\cfrac{7}{2} \cdot (2x+2)\\
4&\geq &\cfrac{14x+14}{2}\\
4&\geq &7x+7 &|-7 \\
-3&\geq &7x &|:7 \\
-\cfrac{3}{7}&\geq&x \\
x&\leq&-\cfrac{3}{7}\\
L_1&=&\{ x|x<-1 \}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(0.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-2.5,2)(-0.4,2)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,3)(-1,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[0](-1,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-0.4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[0](-1,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis ragt noch über den untersuchten Bereich hinaus. Die
Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_1$}) ist also identisch mit dem
untersuchten Bereich.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }-1<x<-0{,}5:}\]

In diesem Bereich ist der Betragsinhalt \textbf{negativ}, beim Auflösen muss
also das Vorzeichen vor dem Betrag \textbf{gewechselt} werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+(2x+1)}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1+2x+1}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{2x+2}&\leq &\cfrac{7}{2} &| \cdot (2x+2) \quad (positiv) \\
4&\leq &\cfrac{7}{2} \cdot (2x+2)\\
4&\leq &\cfrac{14x+14}{2}\\
4&\leq &7x+7 &|-7 \\
-3&\leq &7x &|:7 \\
-\cfrac{3}{7}&\leq&x \\
x&\geq&-\cfrac{3}{7}\approx -0{,}429 \\
L_2&=&\{ \ \}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=25mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(0.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-o}(-1,1)(-0.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-0.4,2)(0.5,2)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[0](-0.5,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-0.4,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt komplett außerhalb des untersuchten Bereiches.
Die Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_2$}) ist also leer.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für }-0{,}5 \leq x<0:}\]

In diesem Bereich ist der Betragsinhalt \textbf{positiv}, beim Auflösen muss
also das Vorzeichen vor dem Betrag \textbf{erhalten} bleiben.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-(2x+1)}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-2x-1}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{-2x}&\leq &\cfrac{7}{2} &| \cdot (-2x) \quad (positiv) \\
4&\leq &\cfrac{7}{2} \cdot (-2x)\\
4&\leq &\cfrac{-14x}{2}\\
4&\leq &-7x &|:(-7) \\
-\cfrac{4}{7}&\geq&x \\
x&\leq&-\cfrac{4}{7}\approx -0{,}571 \\
L_3&=&\{\ \}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=25mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(0.5,2.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(0.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{|-o}(-0.5,1)(0,1)
    \psline[linecolor=blue]{-|}(-1.5,2)(-0.6,2)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[0](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[0](-0.6,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis liegt komplett außerhalb des untersuchten Bereiches.
Die Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_3$}) ist also leer.\\

\newpage
\[\underline{\textnormal{Untersuchung für } x>0:}\]

In diesem Bereich ist der Betragsinhalt \textbf{positiv}, beim Auflösen muss
also das Vorzeichen vor dem Betrag \textbf{erhalten} bleiben.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{4}{1-|2x+1|}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-(2x+1)}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{1-2x-1}&\leq &\cfrac{7}{2}\\
\cfrac{4}{-2x}&\leq &\cfrac{7}{2} &| \cdot (-2x) \quad (negativ) \\
4&\geq &\cfrac{7}{2} \cdot (-2x)\\
4&\geq &\cfrac{-14x}{2}\\
4&\geq &-7x &|:(-7) \\
-\cfrac{4}{7}&\leq&x \\
x&\geq&-\cfrac{4}{7}\approx -0{,}571 \\
L_4&=&\{x|x>0 \}
\end{array}\]

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-1.5,-2)(1.5,3.5)
    \psaxes{-}(0,0)(-1.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=red]{o-}(0,1)(1.5,1)
    \psline[linecolor=blue]{|-}(-0.6,2)(1.5,2)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,3)(1.5,3)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[180](0,1){\textcolor{red}{{\footnotesize Bed.}}}
    \uput{0.1}[180](-0.6,2){\textcolor{blue}{{\footnotesize Erg.}}}
    \uput{0.1}[180](0,3){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Bedingung für den untersuchten Bereich
(\textcolor{red}{Bed.}) und das Ergebnis der Rechnung (\textcolor{blue}{Erg.})
dargestellt. Das Ergebnis ragt noch über den untersuchten Bereich hinaus. Die
Teillösungsmenge (\textcolor{green}{$L_4$}) ist also identisch mit dem
untersuchten Bereich.\\

\begin{wrapfigure}{r}{4.5cm}
\psset{xunit=11mm,yunit=3mm}
  \begin{pspicture}(-2.5,-2)(1.5,2.3)
    \psaxes{-}(0,0)(-2.5,-0.4)(1.5,0.4)
    \psline[linecolor=green]{-o}(-2.5,1)(-1,1)
    \psline[linecolor=green]{o-}(0,1)(1.5,1)
    \uput{0.32}[-90](0,0){0}
    \uput{0.1}[90](-1.8,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_1$}}}
    \uput{0.1}[90](0.8,1){\textcolor{green}{{\footnotesize $L_4$}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Da die Teillösungsmengen $L_2$ und $L_3$ leer sind, besteht die
Gesamtlösungsmenge nur aus $L_1$ und $L_4$.
Dabei stoßen die beiden Teillösungsmengen nicht direkt aneinander.
Eine vereinfachte Zusammenfassung ist daher nicht möglich.\\

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$L=L_1 \cup L_4=
 \{x|x<-1 \vee x>0 \}$}
\end{center}


\end{document}


%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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