\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
\usepackage{ngerman}
%\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{color}
\usepackage{pst-pdf,pstricks,pst-plot}
\usepackage{ifpdf}    % "workaround" um Fehler in hyperref mit pstricks
\ifpdf                %
\usepackage{hyperref} %
\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{picins} % Paket für Umfließen der Grafik
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}

\title{Lösen linearer Gleichungssysteme}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=45mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Was ist ein Lineargleichungssystem? Wenn mehrere Variablen miteinander
verknüpft sind, benötigt man mehrere Gleichungen, um eine eindeutige Lösung für
alle Variablen zu erhalten. Die Zahl der Variablen muss dabei gleich der Zahl
der Gleichungen sein. Ein solches Gleichungssystem kann beispielsweise so
aussehen:
\[\begin{array}{|rrrrcr|}
\hline
(1)& 2x &+5y & +2z&=&-15 \\
(2)& 3x & -y & +2z&=&5 \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]
Hierbei handelt es sich um ein Gleichungssystem \textbf{dritter Ordnung}. Das
bedeutet, wir haben \textbf{drei} Variablen -- hier $x$, $y$ und $z$ -- und
\textbf{drei} Gleichungen. Setzt man für $x$ die 2, für $y$ die $-3$ und für
$z$ die $-2$ ein, dann stellt jede Gleichung eine \textbf{wahre Aussage} dar.
Daher nennt man das Zahlentripel:
\[x=2 \quad y=-3 \quad z=-2\]
die Lösung des Gleichungssystems. Als Lösungsmenge wird es so geschieben:
\[L=\{(2|-3|-2)\} \textnormal{ oder auch so: }L=\{(2;-3;-2)\} \]

Beschrieben werden nachfolgend diese Lösungsverfahren\footnote{Andere Verfahren
sind nachfolgend zu finden und zwar die Cramersche Regel hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi \\
und das Gauß-Jordan-Verfahren hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/gauss.pdf}\fi}:
\begin{itemize}
\item Einsetzungsverfahren
\item Additions- /Subtraktionsverfahren
\item Gleichsetzungsverfahren
\end{itemize}

Übungsaufgaben zu diesen Verfahren sind mit durchgerechneten Lösungen
beispielsweise hier zu finden:
\begin{center}
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf}\fi
\end{center}

\newpage
\section{Einsetzungsverfahren}
Das Verfahren kann durch einen einzigen Merksatz beschrieben werden.
\begin{center}
\textbf{Merksatz:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Man stellt \emph{\textbf{eine}} beliebige Gleichung
nach einer beliebigen Variablen}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{um und setzt den Ergebnisterm in \emph{\textbf{alle
anderen}} Gleichungen ein.}
\end{center}
Dadurch erhält man ein Gleichungssystem mit einer Gleichung und einer Variablen
weniger, als zuvor. Man führt diesen Schritt so lange durch, bis man nur noch
eine einzige Gleichung mit einer einzigen Variablen hat. Diese kann man lösen.
Das Ergebnis setzt man in die letzte nach einer Variablen aufgelöste Gleichung
ein und bestimmt so die nächste Variable. Man geht dann rückwärts durch alle
Einsetzungsterme durch und bestimmt so nach und nach alle Variablen.\\

Ein Beispiel mit einem Gleichungssystem 3. Ordnung (3 Gleichungen mit 3
Variablen) soll das Vorgehen erläutern.
\[\begin{array}{|rrrrcr|}
\hline
(1)& 2x &+5y & +2z&=&-15 \\
(2)& 3x & -y & +2z&=&5 \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]
Welche Gleichung man nach welcher Variablen umstellt, ist im Prinzip
gleichgültig. Es bietet sich jedoch an, Gleichung (2) nach $y$ umzustellen,
weil das besonders einfach geht, da hier keine Zahl vor dem $y$ steht. Die
dadurch entstehende Gleichung nenne ich Gleichung (4).
\[\begin{array}{lrcll}
(2)&3x-y+2z&=&5 &|+y-5 \\
&3x+2z-5&=&y \\
(4)&y&=&3x+2z-5
\end{array}\]
Der Term aus Gleichung (4) muss nun in \textbf{\emph{alle anderen}} Gleichungen
für $y$ eingesetzt werden, also in Gleichung (1) und in Gleichung (3). Dadurch
erhält man ein Gleichungssystem 2. Ordnung, also nur noch 2 Gleichungen mit 2
Variablen.
\[\begin{array}{|rrrrcr|}
\hline
(1)&2x &+5 \cdot (3x+2z-5) & +2z&=&-15 \\
(3)&5x &+2 \cdot (3x+2z-5) & -6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]
Wir müssen jetzt nur noch die beiden Gleichungen zusammenfassen und
vereinfachen.
\[\begin{array}{|rrcr|}
\hline
(1)&2x+15x+10z-25+2z&=&-15 \\
(3)&5x+6x+4z-10-6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|rrcrl|}
\hline
(1)&17x+12z-25&=&-15&|+25 \\
(3)&11x-2z-10&=&16&|+10 \\
\hline
\end{array}\]
\[\begin{array}{|rrcr|}
\hline
(1)&17x+12z&=&10 \\
(3)&11x\ -2z&=&26 \\
\hline
\end{array}\]
Dieses neu entstandene Gleichungssystem 2. Ordnung lässt sich nun mit jedem
beliebigen Verfahren weiter reduzieren. Um das Einsetzungsverfahren noch besser
zu verdeutlichen, verwende ich für den nächsten Reduktionsschritt ebenfalls
dieses Verfahren. Dazu löse ich Gleichung (3) nach $z$ auf. Das Ergebnis nenne
ich dann (5).
\[\begin{array}{lrcll}
(3) &11x-2z&=&26 &|-11x \\
 &-2z&=&26-11x&|:(-2) \\
(5)&z&=&-13+5,5x
\end{array}\]
Der Ergebnisterm aus Gleichung (5) muss nun in \textbf{\emph{alle anderen}}
Gleichungen für $z$ eingesetzt werden. "`Alle"' bedeutet jetzt natürlich nur
noch "`eine"', nämlich nur die Glei\-chung (1).
\[\begin{array}{rrcll}
(1)&17x+12 \cdot (-13+5,5x)&=&10 \\
&17x-156+66x&=&10&|+156 \\
&83x&=&166&|:83 \\
&x&=&2
\end{array}\]
Damit haben wir bereits die Lösung der ersten Variablen gefunden. \\

Jetzt müssen noch die anderen Variablen bestimmt werden. Das geht am
einfachsten, indem man den Lösungsweg langsam rückwärts verfolgt. Man sucht die
erste nach einer Variablen umgestellte Gleichung. Das ist hier Gleichung (5).
Dort kann die bereits bestimmte Variable $x$ eingesetzt werden, um die Variable
$z$ zu berechnen. Das sieht dann so aus:
\[(5) \quad z=-13+5,5x=-13+5,5 \cdot 2=-13+11=-2\]
Jetzt wird erneut rückwärts weitergesucht, bis man wieder auf eine nach einer
Variablen umgestellte Gleichung stößt. Das ist hier Gleichung (4). Dort werden
die bisher bekannten Variablen -- $x$ und $z$ -- eingesetzt.
\[(4) \quad y=3x+2z-5=3 \cdot 2+2 \cdot (-2)-5=6-4-5=-3\]
\begin{center}Zusammengefasst: \fcolorbox{red}{yellow}
{$x=2 \quad y=-3 \quad z=-2$}\end{center}

Weiteres zu diesem Verfahren findet man auch hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi


\newpage
\section{Additions-/Subtraktionsverfahren}
Das Verfahren ist nicht so simpel, wie das Einsetzungsverfahren. Zur
Beschreibung benötige ich vier Merksätze. Dafür ist dieses Verfahren meist aber
effektiver.
\begin{center}
\textbf{Merksatz 1:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Stimmen die Koeffizienten einer Variablen betragsmäßig
in zwei Gleichungen überein,}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{ so fällt diese Variable weg, wenn man die Gleichungen
addiert oder subtrahiert.}\\
\vspace{5mm}
\textbf{Merksatz 2:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
Bei \textbf{\emph{unterschiedlichen}} Vorzeichen \textbf{\emph{addiert}} man
die Gleichungen, bei \textbf{\emph{gleichen}}}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
Vorzeichen muss man eine Gleichung von der anderen
\textbf{\emph{subtrahieren}}.}\\
\vspace{5mm}
\textbf{Merksatz 3:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
Stimmen die Koeffizienten \textbf{\emph{nicht}} überein, dann können sie durch
Multiplikation}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
einer oder beider Gleichungen mit einem \textbf{\emph{geeigneten Faktor}}
gleich gemacht werden.}\\
\vspace{5mm}
\textbf{Merksatz 4:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
Enthält das Gleichungssystem mehr als zwei Gleichungen,}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
dann müssen sie mehrfach paarweise so miteinander kombiniert werden,}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{
dass \textbf{\emph{jedes mal die gleiche Variable}} wegfällt.}\\
\end{center}

Auch dieses Verfahren sehen wir uns am besten am gleichen Beispiel an.
\[\begin{array}{|rrrrcr|}
\hline
(1)& 2x &+5y & +2z&=&-15 \\
(2)& 3x & -y & +2z&=&5 \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]
Zunächst schaue ich nach Übereinstimmungen gemäß Merksatz 1. In Gleichung (1)
und Gleichung (2) stimmen die Koeffizienten von $z$ überein. Es bietet sich
also an, diese beiden Gleichungen zu kombinieren, um $z$ zu eliminieren. Da die
Koeffizienten (Vorzahlen) von $z$ beide positiv sind (beide +2), muss ich die
Gleichungen nach Merksatz 2 voneinander subtrahieren. Ich bilde die Differenz
(1)-(2). Die dabei entstehende Gleichung bekommt die Nummer (4).
\[\begin{array}{rrrrcrl}
(1)& 2x &+5y & +2z&=&-15&| \\
(2)& 3x & -y & +2z&=&5&|- \\
\hline
(4)&-x  &+6y &    &=&-20
\end{array}\]
Wir haben bisher erst \textbf{\emph{eine}} neue Gleichung erhalten, die aber
\textbf{\emph{zwei}} Variablen enthält. Nach Merksatz 4 müssen wir daher noch
eine andere Kombination zweier Gleichungen durchführen, bei der
\textbf{\emph{ebenfalls die Variable $z$}} wegfällt. In Frage kommt die
Kombination von Gleichung (3) mit (1) oder (2). Willkürlich wähle ich Gleichung
(2) aus. \\

Die Koeffizienten (Vorzahlen) von $z$ sind in Gleichung (2) und (3)
unterschiedlich. Daher kommt Merksatz 3 zur Anwendung. Multipliziert man
Gleichung (2) mit dem Faktor 3, dann werden beide Koeffizienten betragsmäßig
gleich, nämlich $+6$ in Gleichung (2) und $-6$ in Gleichung (3). \\
\[\begin{array}{|rrrrcrl|}
\hline
(2)& 3x & -y & +2z&=&5&| \cdot 3 \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16& \\
\hline
\end{array}\]
Dadurch sind die Koeffizienten von $z$ nun gleich. Nach Merksatz 2 können die
Gleichungen \textbf{\emph{addiert}} werden. Die Ergebnisgleichung bekommt die
Gleichungsnummer (5).
\[\begin{array}{rrrrcrl}
(2)&9x &-3y & +6z&=&15&| \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16&|+ \\
\hline
(5)&14x&-y  &    &=&31
\end{array}\]

Die Gleichungen (4) und (5) bilden jetzt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung,
wir haben also eine Variable und eine Gleichung weniger, als zuvor.
\[\begin{array}{|rrrcr|}
\hline
(4)&-x&+6y &=&-20 \\
(5)&14x&-y &=&31 \\
\hline
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem kann nun mit einem beliebigen Verfahren gelöst werden.
Ich verwende dazu erneut das Additions-/Subtraktionsverfahren.
\[\begin{array}{rrrcll}
(4)&-x&+6y &=&-20 \\
(5)&14x&-y &=&31 &| \cdot 6 \\
\hline
(4)&-x&+6y &=&-20 &|\\
(5)&84x&-6y &=&186 &|+ \\
\hline
   &83x&    &=&166 &|:83 \\
   &x&      &=&2
\end{array}\]
Die fehlenden Variablen $y$ und $z$ werden durch Einsetzen dieses Ergebnisses
in vorangehende Gleichungen bestimmt. Beispielsweise kann ich den gefundenen
Wert für $x$ in Gleichung (5) einsetzen.
\begin{eqnarray*}
14x-y&=&31 \\
14 \cdot 2-y&=&31 \\
28-y&=&31 \quad|-28 \\
-y&=&3 \\
y&=&-3
\end{eqnarray*}
\newpage
Die beiden nun bekannten Lösungen für $x$ und $y$ werden nun in eine der
Ursprungsgleichungen eingesetzt, zum Beispiel in Gleichung (1).
\begin{eqnarray*}
2x+5y+2z&=&-15 \\
2 \cdot 2+5 \cdot (-3)+2z&=&-15 \\
4-15+2z&=&-15 \\
-11+2z&=&-15 \quad|+11 \\
2z&=&-4 \quad|:2 \\
z&=&-2
\end{eqnarray*}

Weiteres zu diesem Verfahren findet man auch hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi

\newpage
\section{Gleichsetzungsverfahren}
Das Gleichsetzungsverfahren ist ein Verfahren, das relativ selten verwendet
wird. Nur dann, wenn die Gleichungen in einer bestimmten Form gegeben sind,
bietet es sich an. \\
\begin{center}
\textbf{Merksatz:}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{Alle Gleichungen werden nach der gleichen Variablen
umgestellt.} \\
\fcolorbox{red}{yellow}{Dann setzt man die Gleichungen paarweise gleich.}
\end{center}
Dadurch erhält man ein Gleichungssystem mit einer Gleichung und einer Variablen
weniger, als zuvor. Man führt diesen Schritt so lange durch, bis man nur noch
eine einzige Gleichung mit einer einzigen Variablen hat. Diese kann man
lösen.\\

Das bekannte Beispiel mit einem Gleichungssystem 3. Ordnung (3 Gleichungen mit
3 Variablen) soll das Vorgehen erläutern.
\[\begin{array}{|rrrrcr|}
\hline
(1)& 2x &+5y & +2z&=&-15 \\
(2)& 3x & -y & +2z&=&5 \\
(3)&5x &+2y & -6z&=&16 \\
\hline
\end{array}\]

Ich stelle alle Gleichungen nach $y$ um.
\begin{center}\underline{Gleichung (1):}\end{center}
\begin{eqnarray*}
2x+5y+2z&=&-15 \quad|-2x-2z \\
5y&=&-15-2x-2z \quad|:5 \\
y&=&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z
\end{eqnarray*}
\begin{center}\underline{Gleichung (2):}\end{center}
\begin{eqnarray*}
3x-y+2z&=&5 \quad|-3x-2z \\
-y&=&5-3x-2z \quad| \cdot (-1) \\
y&=&-5+3x+2z
\end{eqnarray*}
\begin{center}\underline{Gleichung (3):}\end{center}
\begin{eqnarray*}
5x+2y-6z&=&16 \quad|-5x+6z \\
2y&=&16-5x+6z \quad|:2 \\
y&=&8-\frac{5}{2}x+3z
\end{eqnarray*}

Das Gleichungssystem sieht damit so aus:
\[\begin{array}{|rrcl|}
\hline
(1)&y&=&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z \\
(2)&y&=&-5+3x+2z \\
(3)&y&=&8-\frac{5}{2}x+3z \\
\hline
\end{array}\]
Ich setze nun Gleichung (1) mit Gleichung (2) gleich; die dabei entstehende
Gleichung nenne ich dann Gleichung (4). Ebenso setze ich Gleichung (1) mit
Gleichung (3) gleich. Diese Gleichung nenne ich Gleichung (5). Damit erhalte
ich folgendes Gleichungssystem:
\[\begin{array}{|rrcl|}
\hline
(4)&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z&=&-5+3x+2z \\
(5)&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z&=&8-\frac{5}{2}x+3z \\
\hline
\end{array}\]
Die Gleichungen müssen nun vereinfacht und zusammengefasst werden.
\[\begin{array}{rrcll}
(4)&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z&=&-5+3x+2z&| \cdot 5 \\
(5)&-3-\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}z&=&8-\frac{5}{2}x+3z&| \cdot 10 \\
\hline
(4)&-15-2x-2z&=&-25+15x+10z&|+15-15x-10z \\
(5)&-30-4x-4z&=&80-25x+30z&|+30+25x-30z \\
\hline
(4)&-17x-12z&=&-10 \\
(5)&21x-34z&=&110 \\
\end{array}\]
Wir haben damit ein Gleichungssystem zweiter Ordnung erhalten. Das kann nun mit
einem beliebigen Verfahren gelöst werden. \\

Ich verwende erneut das Gleichsetzungsverfahren. Dazu löse ich beide
Gleichungen nach $z$ auf.
\begin{center}\underline{Gleichung (4):}\end{center}
\begin{eqnarray*}
-17x-12z&=&-10 \quad|+17x \\
-12z&=&-10+17x \quad|:(-12) \\
z&=&\frac{5}{6}-\frac{17}{12}x
\end{eqnarray*}
\begin{center}\underline{Gleichung (5):}\end{center}
\begin{eqnarray*}
21x-34z&=&110 \quad|-21x \\
-34z&=&110-21x \quad|:(-34) \\
z&=&-\frac{55}{17}+\frac{21}{34}x
\end{eqnarray*}
Jetzt können beide Gleichungen gleichgesetzt werden. Wir erhalten eine
Gleichung, aus der dann $x$ berechnet werden kann.
\begin{eqnarray*}
\frac{5}{6}-\frac{17}{12}x&=&-\frac{55}{17}+\frac{21}{34}x \quad| \cdot 204 \\
170-289x&=&-660+126x \quad|-170-126x \\
-415x&=&-830 \quad|:(-415) \\
x&=&2
\end{eqnarray*}
Die restlichen Variablen bestimmt man durch Einsetzen in vorangehende
umgestellte Gleichungen, ähnlich wie beim Einsetzungsverfahren. Das führe ich
hier jetzt nicht mehr vor. \\

An diesem Beispiel kann man schon erkennen, dass das Gleichsetzungsverfahren
recht aufwendig und ineffizient ist. Daher wird man es nur dann verwenden, wenn
die Gleichungen schon in der Form gegeben sind, dass eine Variable allein auf
einer Seite steht. \\ \\ \\

Ein weiteres sehr effizientes Lösungsverfahren ist die \textbf{Cramersche
Regel}. Die Beschreibung des Verfahrens findet man hier:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi
\\ \\ \\

Übungsaufgaben mit Lösungen zu Lineargleichungssystemen sind hier zu finden:\\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linglsys.pdf}\fi



\end{document}
%\piccaption{Bildunterschrift}
%\parpic[r]{\includegraphics[width=12.5cm]{Bilddatei}}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}