\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
\usepackage{amsmath}       % Für große Brüche
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}


\title{Lineare Funktion}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann würde ich mich dennoch sehr über eine
kleine Spende auf das nachfolgende Konto freuen:
\begin{quote}
  \textbf{Kontoinhaber:} Wolfgang Kippels \\
  \textbf{IBAN:} DE86\,2004\,1155\,0636\,3436\,00 \\
  \textbf{BIC:} COBADEHD055 \\
  bei der comdirect-Bank
\end{quote}
Auch ein einzelner Euro hilft mir bei der Erfüllung meiner Träume. Bitte geben
Sie als Verwendungszweck den Titel der Datei an, dann weiß ich, welche Datei
Ihnen geholfen hat.\\

Vielen Dank!

\newpage
\section{Grundlegende Zusammenhänge}
\subsection{Aufbau der Linearen Funktion}
Eine \textbf{\emph{Lineare Funktion}} ist eine Funktion, die sich in dieser
Form darstellen lässt:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=m\cdot x+b$}\end{center}
Dabei stellen die Parameter $m$ und $b$ bestimmte Eigenschaften der Funktion
dar, und zwar folgende:
\begin{itemize}
\item $m$: Die Steigung der Funktion
\item $b$: Den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.
\end{itemize}
Dabei ist die Steigung wie folgt definiert:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$m=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}
 =\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$}\end{center}
In dieser Formel kommen die Werte $x_1$, $y_1$, $x_2$ und $y_2$ vor. Sie
stellen die Koordinaten von zwei beliebigen Punkten $P_1(x_1|y_1)$ und
$P_2(x_2|y_2)$ dar, die genau auf der Geraden von $f(x)$ liegen. \\

\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-5.8)(5.8,5.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-4.8,-5.8)(5.8,5.8)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,5.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{5.8}{2 x mul 1 add}
   \uput[0](0.25,1.5){\textcolor{red}{$f(x)=2x+1$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](1,3){2.5pt}
   \uput[135](1,3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
  \pscircle*[linecolor=blue](2,5){2.5pt}
   \uput[135](2,5){\textcolor{blue}{$P_2$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](1,3)(2,3)(2,5)
   \uput[-90](1.5,3){\textcolor{blue}{$\Delta x$}}
   \uput[0](2,4){\textcolor{blue}{$\Delta y$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist die Funktion \mbox{$f(x)=2x+1$} dargestellt. Auf den ersten
Blick erkennt man sofort, dass die Gerade bei \mbox{$y_0=1$} die $y$-Achse
schneidet. In der Funktionsgleichung erkennt man das daran, dass \mbox{$b=1$}
ist. \\

Auch die Steigung kann man am Funktionsgraphen ablesen. Geht man von einem
beliebigen Punkt $P_1$ eine Einheit nach \emph{rechts}, dann gibt der Wert der
Steigung an, um wieviele Einheiten man nach \emph{oben} gehen muss. Muss man
nicht nach oben, sondern nach \emph{unten} gehen, dann ist die Steigung
\emph{negativ}.\\

\enlargethispage{15mm}
Im vorgestellten Beispiel muss man für jede Einheit nach rechts um 2 Einheiten
nach oben gehen, da die Steigung der Funktion $m=2$ ist. \\
\newpage  %-----------

\subsection{Nullstellenbestimmung}
Will man den Abschnitt auf der $x$-Achse -- die sogenannte "`Nullstelle"' --
wissen, kan man den entsprechenden Wert nicht sofort an der Funktionsgleichung
ablesen. Man kann ihn aber berechnen. Dies macht man, indem man den
Funktionsterm gleich Null setzt und nach $x$ auflöst:
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=& 0 \\
2x_0+1&=& 0 \quad|-1 \\
2x_0&=&-1 \quad|:2 \\
x_0&=&-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}

\subsection{Schnittpunktbestimmung}
\begin{wrapfigure}{r}{7.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=3.5mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-13.8)(7.8,9.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-2.8,-13.8)(7.8,9.8)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,9.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{7.8}{-3 x mul 5 add}
   \uput[0](0.25,1.5){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{7.8}{2 x mul 10 sub}
   \uput[135](2,-6){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \pscircle*(3,-4){2.5pt}
   \uput[15](3,-4){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Die Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden zeige ich an einem Beispiel.
Gegeben seien die beiden Funktionen \mbox{$f_1(x)=-3x+5$} und
\mbox{$f_2(x)=2x-10$}. \\

Der Schnittpunkt $S(x_s|y_s)$ ist der Punkt, der \textbf{beide}
Funktionsgleichungen erfüllt. Setzen wir seine allgemeinen Koordinaten $x_s$
und $y_s$ in die beiden Funktionsgleichungen ein, dann erhalten wir ein
Lineargleichungssystem mit zwei Variablen.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&-3x_s+5  \\
y_s&=&2x_s-10
\end{eqnarray*}
Da beide Gleichungen nach $y_s$ aufgelöst sind, bietet sich das
\textbf{Gleichsetzungsverfahren} zur Lösung an. Das gilt nicht nur für diese
Aufgabe, das ist bei Schnittpunktbestimmungen \textbf{immer} so.
\begin{eqnarray*}
-3x_s+5&=&2x_s-10 \quad|-2x_s-5 \\
-5x_s&=&-15 \quad| :(-5) \\
x_s&=&3
\end{eqnarray*}
Den zugehörigen Wert $y_s$ kann man beliebig mit einer der beiden Funktionen
bestimmen. Ich wähle dafür $f_2(x)=2x-10$ aus.
\newpage
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f_2(x_s) \\
f_2(x)&=&2x-10 \\
y_s&=&2 \cdot 3-10 \\
y_s&=&-4
\end{eqnarray*}
\begin{center}Schnittpunkt: $S (3|-4)$\end{center}
%\newpage %--------------------------

\subsection{Umkehrfunktion}
Wenn man die "`Rollen"' von $x$ und $y$ tauscht und dann die Gleichung neu nach
$y$ auflöst, erhält man die sogenannte \textbf{\emph{Umkehrfunktion}}
$f^{-1}(x)$. Ein Beispiel soll verdeutlichen, was damit gemeint ist.
\begin{eqnarray*}
y&=&f(x)=2x+1 \quad| \textnormal{ "`Rollentausch"'}\\
x&=&2y+1 \quad| -1 \\
x-1&=&2y \quad|:2 \\
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}&=&y \\
f^{-1}(x)&=&\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
  \uput[-90](2.65,0){x}  \uput[180](0,2.65){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{2.8}{2 x mul 1 add}
   \uput[135](-0.4,0.2){\textcolor{red}{$f(x)=2x+1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{2.8}{0.5 x mul 0.5 sub}
   \uput[-45](0,-0.5){\textcolor{blue}{$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$}}
   \uput[0](1.2,1.2){\textcolor{green}{$y=x$-Achse}}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=green](-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist die eben besprochene Funktion
\mbox{\textcolor{red}{$f(x)=2x+1$}}
in \textcolor{red}{rot} zusammen mit ihrer Um\-kehr\-funk\-tion
\mbox{\textcolor{blue}{$f^{-1}(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$}}
in \textcolor{blue}{blau} dar\-ge\-stellt. \\

Schaut man sich deren Lage
zueinander genauer an, dann kann man feststellen, dass sie spiegelbildlich
zueinander zu einer Achse liegen, die den ersten Quadranten in einem
$45^0$-Winkel teilt. Diese Achse \mbox{nennt} man auch
\mbox{\textcolor{green}{$y=x$-Achse}}, weil die zugehörige Funktionsgleichung
\mbox{$y=f(x)=x$}
heißt. Sie ist hier in der Farbe \textcolor{green}{grün} dargestellt.\\ \\

\newpage %----------------------------------
\subsection{Schnittwinkel zwischen Geraden}
\subsubsection{Allgemeiner Schnittwinkel}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-0.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.65,0){x}  \uput[180](0,4.65){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.8}{4.8}{2 x mul 1 sub}
   \uput[135](2,3){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.8}{4.8}{0.5 x mul 0.5 add}
   \uput[-45](3,2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \psarc[linewidth=1.2pt]{<->}(1,1){1.2}{26.57}{63.43}
   \uput[39](1.2,1.2){\textcolor{black}{$\varphi$}}
   \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Schneiden sich zwei Geraden, dann entsteht zwischen diesen Geraden ein
Schnittwinkel $\varphi$. Man kann zeigen, dass dieser Winkel mit nachfolgender
Formel berechnet werden kann.
\[ \tan \varphi=\frac{m_1-m_2}{1+m_1 \cdot m_2}\]
Hierbei wird davon ausgegangen, dass $m_1$ die Steigung der Funktion $f_1$ und
$m_2$ die Steigung der Funktion $f_2$ ist.\\

Auf den Beweis der Formel soll an dieser Stelle verzichtet werden. Er kann mit
Hilfe der \emph{Additionstheoreme der Trigonometrie} durchgeführt werden.\\

Wenn \mbox{$m_1<m_2$} ist, dann erhalten wir einen \textbf{negativen}
Schnittwinkel. Will man das vermeiden, dann muss man den \textbf{Betrag} des
Bruches bilden. Wir erhalten die endgültige Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$\tan \varphi=\left|\cfrac{m_1-m_2}{1+m_1 \cdot m_2}\right|$}
\end{center}

\underline{Achtung!} Will man mit dieser Formel $\varphi$ berechnen, dann
erhält man für den Fall, dass $\varphi>90^\circ$ ist, über die
Arcustangens-Funktion nur den kleineren \emph{Ergänzungswinkel} $\varphi^*$
mit \mbox{$\varphi^*=180^\circ-\varphi$}. Dies ist immer dann der Fall, wenn
der \textbf{Nenner negativ} wird. In diesem Fall muss also noch umgerechnet
werden.\\

\underline{Anmerkung:} Für den Fall, dass \mbox{$m_1 \cdot m_1=-1$} ist, ist
der Nenner Null, der Bruch also nicht definiert. Mit der angegebenem Formel
kann daher kein Winkel berechent werden. Dieser Fall wird im nächsten Kapitel
behandelt.

\newpage
\paragraph{Beispiel 1}
Gegeben sind die beiden Funktionen:
\[f_1(x)=2x-1\]
\[f_2(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\]
(Das sind die Funktionen aus der obigen Skizze.)\\

Der Schnittwinkel wird berechnet:
\[\begin{array}{rcll}
\tan \varphi&=&\left|\cfrac{m_1-m_2}{1+m_1 \cdot m_2}\right|
\vspace{1mm}\\
\tan \varphi&=&\left|\cfrac{2-\frac{1}{2}}{1+2 \cdot \frac{1}{2}}\right|
\vspace{1mm}\\
\tan \varphi&=&\left|\cfrac{\frac{3}{2}}{2}\right|\\
\tan \varphi&=&\cfrac{3}{4}\\
\varphi&=&\arctan \cfrac{3}{4}\\
\varphi&\approx&36{,}87^\circ \\
\end{array}\]

\paragraph{Beispiel 2}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.8)(4.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-0.8,-0.8)(4.8,4.8)
  \uput[-90](4.65,0){x}  \uput[180](0,4.65){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-0.8}{4.8}{2 x mul 1 sub}
   \uput[135](2,3){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-0.8}{4.8}{-3 x mul 4 add}
   \uput[45](0.3,3){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \psarc[linewidth=1.2pt]{<->}(1,1){0.8}{-71.57}{63.43}
   \uput[0](1,1){\textcolor{black}{$\varphi$}}
   \psarc[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed]{<->}(1,1){1.3}{63.43}{108.43}
   \uput[90](1,1.4){\textcolor{black}{$\varphi^*$}}
   \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben sind die beiden Funktionen:
\[f_1(x)=2x-1\]
\[f_2(x)=-3x+4\]

Nebenstehend sind die beiden Funktionsgraphen dargestellt. Wie man gut
erkennen kann, ist der gesuchte Winkel $\varphi$ \textbf{größer} als
$90^\circ$. Demnach wird bei der Berechnung der Ergänzungswinkel $\varphi^*$
als Ergebnis herauskommen. Wir werden also am Ende der Berechnung den
ge\-such\-ten Winkel $\varphi$ aus $\varphi^*$ umrechnen müssen.\\

Wir berechnen nun den Winkel $\varphi^*$.\\

\begin{eqnarray*}
\tan \varphi^*&=&\left|\cfrac{m_1-m_2}{1+m_1 \cdot m_2}\right|\\
\tan \varphi^*&=&\left|\cfrac{2-(-3)}{1+2 \cdot (-3)}\right|\\
\tan \varphi^*&=&\left|\cfrac{5}{-5}\right| \\
\varphi^*&=&\arctan |-1| \\
\varphi^*&=&45^\circ \\
\end{eqnarray*}

Der Nenner ist negativ geworden; die Vermutung, dass der gesuchte Winkel größer
als $90^\circ$ sein muss, war also richtig.
Damit kann der gesuchte Winkel $\varphi$ bestimmt werden:
\[\varphi=180^\circ-\varphi^*=180^\circ-45^\circ =135^\circ \]

\newpage
\subsubsection{Rechtwinkliges Schneiden}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=15mm,yunit=15mm}
\begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2.8,-2.8)(2.8,2.8)
  \uput[-90](2.65,0){x}  \uput[180](0,2.65){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.8}{2.8}{2 x mul 1 add}
   \uput[0](0.2,1.4){\textcolor{red}{$f_1(x)=2x+1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.8}{2.8}{-0.5 x mul 1 sub}
   \uput[-45](0,-0.5){\textcolor{blue}{$f_2(x)=-\frac{1}{2}x-1$}}
   \uput[-45](-1.5,-2){\textcolor{red}{$g_1$}}
   \uput[-135](2,-2){\textcolor{blue}{$g_2$}}
   \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wie schon im vorangehenden Kapitel dargestellt, gibt es immer einen
\textbf{\emph{Schnitt\-win\-kel}}, wenn sich zwei Geraden schneiden. Ist dieser Schnitt\-win\-kel ein
\textbf{\emph{Rechter Winkel}}, dann sagt man:"`\emph{Die Geraden schneiden
sich rechtwinklig.}"' oder:"`\emph{Die Geraden stehen senkrecht aufeinander.}"'
Man kann auch sagen:"`\emph{Die Geraden sind zueinander orthogonal.}"' \\

Nebenstehend sind die Graphen zweier Funktionen $f_1(x)$ und $f_2(x)$
dargestellt, für die diese Bedingung zutrifft. Wenn man diese beiden Geraden
in Gedanken hin und her dreht, dann kommt man leicht zu folgenden
Zusammen\-hängen:
Wenn die Gerade $g_1$ steigt, dann fällt die Gerade $g_2$ und umgekehrt.
Wenn die Gerade $g_1$ steiler wird, dann verläuft die Gerade $g_2$
entsprechend flacher. Natürlich kann man das auch durch eine Formel ausdrücken.
Die Formel ergibt sich aus der allgemeinen Schnittpunktformel aus dem
vorangegangenen Kapitel. Da der Tangens für einen Rech\-ten Winkel nicht
existiert (bzw. unendlich groß ist), ist in der Schnittwinkel-Formel der
Nenner gleich Null. Das führt zu nachfolgender Formel.
Sie lautet für zwei Funktionen mit $f_1(x)=m_1 \cdot x+b_1$ und
$f_2(x)=m_2 \cdot x+b_2$:
\begin{center}\textbf{Bedingung für Orthogonalität: }
\fcolorbox{red}{yellow}{$m_1 \cdot m_2=-1$}\end{center}
\newpage %----------------------
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=7.5mm,yunit=7.5mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-5.8)(5.8,6.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-5.8,-5.8)(5.8,6.8)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,6.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{5.8}{-0.75 x mul 3 add}
   \uput[45](2.5,1.2){\textcolor{red}{$f_1(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{5.8}{-3 x mul 11 sub}
   \uput[45](-3,-2){\textcolor{blue}{$f_2(x)$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehendes Diagramm zeigt die Funktionsgraphen zweier Funktionen. Die
Funktion $f_1(x)$ ist \textcolor{red}{rot} dargestellt, die Funktion
$f_2(x)$ ist \textcolor{blue}{blau}. \\

Bestimmen die die Funktionsgleichungen $f_1(x)$ und $f_2(x)$ der beiden
Funktionen. \\

Berechnen Sie auch den Schnittpunkt $S$ der beiden
Funktionsgraphen! \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 2}
Eine Gerade hat eine Steigung von \mbox{$m=-0,5$} und eine Nullstelle bei
\mbox{$x_0=12$}. Wie lautet die zugehörige Funktion $f(x)$?
\subsection{Aufgabe 3}
Bestimmen Sie die \textbf{Umkehrfunktionen} \mbox{$f_1^{-1}(x)$} und
\mbox{$f_2^{-1}(x)$} der beiden Funktionen \mbox{$f_1(x)=5x+15$} und
\mbox{$f_2(x)=-x+3$}.
\subsection{Aufgabe 4}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f_1(x)$ der Geraden, die durch den Punkt
\mbox{$P(3|-2)$} parallel zur Geraden mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-5x+9$} verläuft.
\subsection{Aufgabe 5}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f(x)$ der Geraden, die durch die Punkte
\mbox{$P_1(-2|5)$} und \mbox{$P_2(5|-2)$} verläuft!
\newpage  %-------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f_1(x)$ der Geraden $g_1$, die die Gerade
$g_2$ mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=3x-13$} an der Stelle
\mbox{$x_s=6$} rechtwinklig schneidet.
\subsection{Aufgabe 7}
Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ der beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den
zugehörigen Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=12x+5$} und
\mbox{$f_2(x)=10x-3$}.
\subsection{Aufgabe 8}
Die drei Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ mit \mbox{$f_1(x)=3x+2$},
\mbox{$f_2(x)=-x-6$} und \mbox{$f_3(x)=m \cdot x-8$} schneiden sich alle im
gleichen Punkt. Bestimmen Sie die Steigung $m$ in der Funktion \mbox{$f_3(x)$}!
\subsection{Aufgabe 9}
Welchen Abstand hat der Punkt \mbox{$P(7|3)$} von der Geraden $g_1$ mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=\frac{12}{5}x+20$}?\\
\emph{Lösungshinweis}: Bestimmen Sie dazu die Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)$} der Geraden $g_2$ durch $P$ senkrecht zur Geraden $g_1$.
\subsection{Aufgabe 10}
Die Gerade $g$ verläuft in der Mitte zwischen den Punkten \mbox{$P_1(1|-5)$}
und \mbox{$P_2(-5|7)$} hindurch und schneidet ihre Verbindungslinie
rechtwinklig. Wie lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$?\\ \\

\textbf{Weitere Übungsaufgaben sind hier zu finden:}
\begin{center}
\ifpdf \htmladdnormallink{\textcolor{blue}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linfkt2.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/linfkt2.pdf}\fi
\end{center}



\newpage %-------------------------

\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=7.5mm,yunit=7.5mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-5.8)(5.8,6.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1]{->}(0,0)(-5.8,-5.8)(5.8,6.8)
  \uput[-90](5.6,0){x}  \uput[180](0,6.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{5.8}{-0.75 x mul 3 add}
   \uput[45](2.5,1.2){\textcolor{red}{$f_1(x)$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{5.8}{-3 x mul 11 sub}
   \uput[45](-3,-2){\textcolor{blue}{$f_2(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-4,6){2pt}
   \uput[-135](-4,6){\textcolor{red}{$P_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](0,3){2pt}
   \uput[45](0,3){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehendes Diagramm zeigt die Funktionsgraphen zweier Funktionen.
Bestimmen die die Funktionsgleichungen $f_1(x)$ und $f_2(x)$ der beiden
Funktionen. \\
Berechnen Sie auch den Schnittpunkt $S$ der beiden
Funktionsgraphen! \\

\paragraph{Lösung:}
Beginnen wir mit der Funktion $f_1$. Die allgemeine Form lautet:
\[f_1(x)=m \cdot x+b\]
Zwei Punkte, deren Koordinaten man gut ablesen kann, sind
beispielsweise die Punkte \mbox{$P_1(-4|6)$} und \mbox{$P_2(0|3)$}. Wenn man
von $P_1$ nach $P_2$ geht, muss man 4 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten
nach unten gehen. Damit ist \mbox{$\Delta x=4$} und \mbox{$\Delta y=-3$}. Wir
erhalten also:
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}\]
Der Parameter $b$ ist der Abschnitt auf der $y$-Achse, den man mit $y_0=3$
ablesen kann. Eingesetzt in die allgemeine Form erhalten wir:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=-\frac{3}{4}x+3$}\end{center}
Auch für $f_2$ kann man die Steigung gut ablesen. Mit jeder Einheit, die wir
nach rechts gehen, geht man 3 Einheiten nach unten. Damit ist $\Delta x=1$ und
$\Delta y=-3$. Wir erhalten also $m=-3$. Die Funktionsgleichung sieht damit so
aus:
\[f_2(x)=-3x+b\]
Den Abschnitt auf der $y$-Achse kann man nicht ablesen, er liegt außerhalb des
dargestellten Diagramms. Daher setzt man von einem beliebigen Punkt, dessen
Koordinaten man gut ablesen kann, diese in die Funktionsgleichung ein und
bestimmt damit den Parameter $b$. Ich wähle hierzu den Punkt $P_3(-4|1)$ aus.
\begin{eqnarray*}
y&=&-3x+b \\
1&=&-3 \cdot (-4)+b \\
1&=&12+b \quad| -12 \\
b&=&-11
\end{eqnarray*}
Den gefundenen Wert für $b$ setzen wir in die Funktionsgleichung ein und
erhalten $f_2$.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2(x)=-3x-11$}\end{center}
\newpage %--------------------------
Was noch fehlt, ist die Bestimmung des Schnittpunktes. Wie geht das? \\ \\
Der Schnittpunkt $S(x_s|y_s)$ ist der Punkt, der \textbf{beide}
Funktionsgleichungen erfüllt. Setzen wir seine allgemeinen Koordinaten $x_s$
und $y_s$ in die beiden Funktionsgleichungen ein, dann erhalten wir ein
Lineargleichungssystem mit zwei Variablen.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&-\frac{3}{4}x_s+3  \\
y_s&=&-3x_s-11
\end{eqnarray*}
Da beide Gleichungen nach $y_s$ aufgelöst sind, bietet sich das
\textbf{Gleichsetzungsverfahren} zur Lösung an. Das gilt nicht nur für diese
Aufgabe, das ist bei Schnittpunktbestimmungen \textbf{immer} so.
\begin{eqnarray*}
-\frac{3}{4}x_s+3&=&-3x_s-11 \quad|+3x_s-3 \\
\frac{12}{x}x_s-\frac{3}{4}x_s&=&-14 \\
\frac{9}{4}x_s&=&-14 \quad| \cdot \frac{4}{9} \\
x_s&=&-\frac{56}{9}
\end{eqnarray*}
Den zugehörigen Wert $y_s$ kann man beliebig mit einer der beiden Funktionen
bestimmen. Ich wähle dafür $f_2(x)=-3x-11$ aus.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f_2(x_s) \\
f_2(x)&=&-3x-11 \\
y_s&=&-3 \cdot (-\frac{56}{9}) -11 \\
   &=&\frac{56}{3}-\frac{33}{3} \\
y_s&=&\frac{23}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$S \left(-\frac{56}{9}|\frac{23}{3}\right)$}\end{center}
\newpage %--------------------------
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=7.5mm}
\begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(15.2,7.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=2]{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(15.2,7.8)
  \uput[-90](14.8,0){x}  \uput[180](0,7.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.8}{15.2}{-0.5 x mul 6 add}
   \uput[45](4,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \pscircle*[linecolor=red](12,0){2pt}
   \uput[45](12,0){\textcolor{red}{$x_0$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine Gerade hat eine Steigung von \mbox{$m=-0,5$} und eine Nullstelle bei
\mbox{$x_0=12$}. Wie lautet die zugehörige Funktion $f(x)$? \\

\paragraph{Lösung:}
Die Normalform für die Lineare Funktion lautet:
\[f(x)=m \cdot x+b\]
Mit der angegebenen Steigung $m=-0,5$ lautet die Funktionsgleichung:
\[f(x)=-0,5 \cdot x+b\]
Wir müssen nur noch $b$ bestimmen. Das geht, indem wir die Koordinaten der
Nullstelle $N(12|0)$ in die Funktion einsetzen und dann nach $b$ auflösen.
\begin{eqnarray*}
f(x_0)&=&0 \\
-0,5 \cdot 12+b&=&0 \\
-6+b&=&0 \quad|+6 \\
b&=&6
\end{eqnarray*}
Wir setzen die gefundenen Werte in die Normalform ein und erhalten die gesuchte
Funktionsgleichung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-0,5 \cdot x+6$}\end{center}
\newpage %--------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-5.8,-5.8)(17.2,17.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=2]{->}(0,0)(-3.8,-3.8)(17.2,17.8)
  \uput[-90](16.8,0){x}  \uput[180](0,16.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-5.8}{17.2}{x}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.8}{17.2}{5 x mul 15 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.8}{17.2}{-1 x mul 3.05 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60,linestyle=dashed]{-5.8}{17.2}
    {0.2 x mul 3 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{-5.8}{15.2}
    {-1 x mul 2.95 add}
   \uput[0](0,15){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[90](15,0){\textcolor{red}{$f^{-1}_1$}}
   \uput[70](1,2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
   \uput[-110](1,2){\textcolor{blue}{$f^{-1}_2$}}
   \uput[-45](6,6){\textcolor{green}{$y=x$-Achse}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie die \textbf{Umkehrfunktionen} $f_1^{-1}(x)$ und $f_2^{-1}(x)$ der
beiden Funktionen \mbox{$f_1(x)=5x+15$} und \mbox{$f_2(x)=-x+3$}.\\

\paragraph{Lösung:}
Beginnen wir mir $f_1$. Wenn man die "`Rollen"' von $x$ und $y$ tauscht und
dann die Gleichung neu nach $y$ auflöst, erhält man die sogenannte
\textbf{\emph{Umkehrfunktion}} $f^{-1}(x)$.
\[y=5x+15\]
Wir machen den Tausch von $x$ und $y$ und lösen nach $y$ auf.
\begin{eqnarray*}
x&=&5y+15 \quad|-15 \\
x-15&=&5y \quad|:5 \\
\frac{1}{5}x-3&=&y \\
y&=&\frac{1}{5}x-3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1^{-1}(x)=\frac{1}{5}x-3$}\end{center}
Es folgt die Berechnung der Umkehrfunktion von $f_2$.
\[y=-x+3\]
Wir machen den Tausch von $x$ und $y$ und lösen nach $y$ auf.
\begin{eqnarray*}
x&=&-y+3 \quad|+y \\
x+y&=&3 \quad|-x \\
y&=&-x+3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_2^{-1}(x)=-x+3$}\end{center}
\underline{Anmerkung}: Die Umkehrfunktion $f_2^{-1}(x)$ ist identisch mit der
urprünglichen Funktion $f_2(x)$!
\newpage %--------------------
\subsection{Aufgabe 4}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=12mm,yunit=3mm}
\begin{pspicture}(-1.9,-3.8)(4.9,19.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=1]{->}(0,0)(-1.9,-3.8)(4.9,19.8)
  \uput[-90](4.8,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-1.9}{4.9}{-5 x mul 13 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-1.9}{4.9}{-5 x mul 9 add}
   \uput[45](1,8){\textcolor{red}{$f_1$}}
   \uput[-135](1,4){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \pscircle*[linecolor=red](3,-2){2.5pt}
   \uput[45](3,-2){\textcolor{red}{$P$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f_1(x)$ der Geraden, die durch den Punkt
\mbox{$P(3|-2)$} parallel zur Geraden mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-5x+9$} verläuft.

\paragraph{Lösung:}
Wenn zwei Geraden \emph{parallel} verlaufen, dann haben sie die \emph{gleiche
Steigung}. Die Steigung für $f_1(x)$ kann also direkt aus $f_2(x)$ mit $m=-5$
übernommen werden.
\[f_1(x)=-5x+b\]
Zur Bestimmung von $b$ setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes in die
Funktionsgleichung ein.
\begin{eqnarray*}
y&=&-5x+b \\
-2&=&-5 \cdot 3+b \\
-2&=&-15+b \quad|+15 \\
13&=&b
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=-5x+13$}\end{center}
\newpage  %-----------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7.5mm}
\begin{pspicture}(-3.9,-3.8)(7.9,6.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-3.9,-3.8)(7.9,6.9)
  \uput[-90](7.7,0){x}  \uput[180](0,6.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-3.9}{7.9}{-1 x mul 3 add}
   \uput[45](2,1){\textcolor{red}{$f$}}
  \pscircle*[linecolor=red](-2,5){2.5pt}
   \uput[45](-2,5){\textcolor{red}{$P_1$}}
  \pscircle*[linecolor=red](5,-2){2.5pt}
   \uput[45](5,-2){\textcolor{red}{$P_2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f(x)$ der Geraden, die durch die Punkte
$P_1(-2|5)$ und $P_2(5|-2)$ verläuft!

\paragraph{Lösung:}
Zu dieser Aufgabe gibt es zwei grundsätzlich verschiedene
Lö\-sungs\-mög\-lich\-kei\-ten. Ich stelle sie nacheinander dar.\\

\textbf{\emph{Lösungsweg 1:}}\\
In die allgemeine Form der Funk\-ti\-ons\-glei\-chung \mbox{$f(x)=m \cdot
x+b$} setzt man nacheinander die Koordinaten beider Punkte ein und erhält ein
Lineargleichungssystem zweiter Ordnung. In diesem Beispiel soll dieses mit dem
Subtraktionsverfahren gelöst werden.\\
\[\begin{array}{lrrcll}
(1)\quad&m \cdot (-2)&+b&=&5 \\
(2)&m \cdot 5&+b&=&-2 \\
\hline
(1)&-2m&+b&=&5 \quad&|-\\
(2)&5m&+b&=&-2      &| \\
\hline
&7m& &=&-7&|:7 \\
&&m&=&-1
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (1) ein:
\begin{eqnarray*}
-2 \cdot (-1)+b&=&5 \\
2+b&=&5 \quad|-2 \\
b&=&3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x+3$}\end{center}
\textbf{\emph{Lösungsweg 2:}}\\
Aus den Koordinaten der beiden Punkte kann mit Hilfe der Definition der
Steigung direkt $m$ bestimmt werden.
\[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-5}{5-(-2)}
=\frac{-7}{7}=-1\]
Damit erhalte ich die Funktionsgleichung in dieser Form:
\[f(x)=-x+b\]
Um $b$ zu bestimmen, setze ich die Koordinaten des Punktes $P_1$ in diese
Gleichung ein:
\begin{eqnarray*}
5&=&-(-2)+b \\
5&=&2+b \quad|-2 \\
3&=&b
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-x+3$}\end{center}
\newpage %--------------------
\subsection{Aufgabe 6}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-1.9,-1.8)(7.9,8.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-1.9,-1.8)(7.9,8.9)
  \uput[-90](7.7,0){x}  \uput[180](0,8.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-2.9}{7.9}{-1 3 div x mul 7 add}
   \uput[30](3,6){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-2.9}{7.9}{3 x mul 13 sub}
   \uput[135](5,2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \pscircle*(6,5){2.5pt}
   \uput[-160](6,5){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung $f_1(x)$ der Geraden $g_1$, die die Gerade
$g_2$ mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=3x-13$} an der Stelle
\mbox{$x_s=6$} rechtwinklig schneidet. \\

\paragraph{Lösung:}
Die Bedingung für recht\-wink\-liges Schneiden lautet:
\[m_1 \cdot m_2=-1\]
Damit können wir die Steigung für $f_1$ bestimmen.
\begin{eqnarray*}
m_1 \cdot m_2&=&-1 \\
m_1 \cdot 3&=&-1 \quad|:3 \\
m_1&=&-\frac{1}{3} \\
f_1(x)&=&-\frac{1}{3}x+b
\end{eqnarray*}
Die Geraden schneiden sich bei \mbox{$x_s=6$}. Den zugehörigen $y$-Wert können
wir aus der Funktionsgleichung $f_2(x)$ bekommen.
\[y_s=f_2(x_s)=3 \cdot 6-13=5\]
Jetzt können wir die Koordinaten des Schnittpunktes in die Funktionsgleichung
von $f_1(x)$ einsetzen, um $b$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&-\frac{1}{3}x_s+b \\
5&=&-\frac{1}{3}\cdot 6+b \\
5&=&-2+b \quad|+2 \\
7&=&b
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=-\frac{1}{3}x+7$}\end{center}
\newpage %--------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=9mm,yunit=0.9mm}
\begin{pspicture}(-5.9,-59)(3.9,19)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=10,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=10,Dx=1]{->}(0,0)(-5.9,-59)(3.9,19)
  \uput[-90](3.7,0){x}  \uput[180](0,17){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-5.9}{3.9}{12 x mul 5 add}
   \uput[135](-0.5,0){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5.9}{3.9}{10 x mul 3 sub}
   \uput[-45](1.3,10){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \pscircle*(-4,-43){2.5pt}
   \uput[-45](-4,-43){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Bestimmen Sie den Schnittpunkt $S$ der beiden Geraden $g_1$ und $g_2$ mit den
zugehörigen Funktionsgleichungen \mbox{$f_1(x)=12x+5$} und
\mbox{$f_2(x)=10x-3$}. \\

\paragraph{Lösung:}
Zur Schnitt\-punkt\-be\-stim\-mung können die beiden Funk\-ti\-ons\-ter\-me
gleichgesetzt werden. Dadurch erhält man den $x$-Wert $x_S$ des
Schei\-tel\-punk\-tes $S$. Den zugehörigen $y$-Wert $y_S$ findet man
anschließend, indem man $x_S$ in eine der beiden Funktionsgleichungen für $x$
einsetzt. Hierzu habe ich mir $f_1(x)$ ausgesucht.\\
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
12x_s+5&=&10x_s-3 \quad|-10x_s-5 \\
2x_s&=&-8 \quad|:2 \\
x_s&=&-4 \\ \\
y_s&=&f_1(x_s) \\
   &=&12 \cdot (-4)+5 \\
y_s&=&-43
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Schnittpunkt: $S(-4|-43)$}\end{center}

\newpage  %----------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=7mm,yunit=7mm}
\begin{pspicture}(-7.9,-6.8)(3.9,3.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=1,Dx=1]{->}(0,0)(-7.9,-6.8)(3.9,3.9)
  \uput[-90](3.7,0){x}  \uput[180](0,3.7){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.9}{3.9}{3 x mul 2 add}
   \uput[-35](0,2){\textcolor{red}{$f_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-7.9}{3.9}{-1 x mul 6 sub}
   \uput[-130](-4,-2){\textcolor{blue}{$f_2$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=green!60]{-7.9}{3.9}{-2 x mul 8 sub}
   \uput[45](-4,0){\textcolor{green}{$f_3$}}
  \pscircle*(-2,-4){2.5pt}
   \uput[-160](-2,-4){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die drei Geraden $g_1$, $g_2$ und $g_3$ mit \mbox{$f_1(x)=3x+2$},
\mbox{$f_2(x)=-x-6$} und \mbox{$f_3(x)=m \cdot x-8$} schneiden sich alle im
gleichen Punkt. Bestimmen Sie die Steigung $m$ in der Funktion $f_3(x)$! \\

Wir bestimmen zunächst die Koordinaten des Schnittpunktes durch Gleichsetzen
der Funktionsterme von $f_1(x)$ und $f_2(x)$.\\ \\ \\ \\

\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
3x_s+2&=&-x_s-6 \quad|+x_s-2 \\
4x_s&=&-8 \quad|:4 \\
x_s&=&-2 \\ \\
y_s&=&f_1(x_s) \\
   &=&3 \cdot (-2)+2 \\
y_s&=&-4
\end{eqnarray*}
Die Koordinaten des gefundenen Schnittpunktes $S(-2|-4)$ setzen wir nun in
$f_3(x)$ ein und lösen nach $m$ auf.
\begin{eqnarray*}
y_s&=&f_3(x_s) \\
-4&=&m \cdot (-2)-8 \quad|+2m+4 \\
2m&=&-4 \quad|:2 \\
m&=&-2
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Steigung: $m=-2$}\end{center}

\newpage  %-------------------
\subsection{Aufgabe 9}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=4mm}
\begin{pspicture}(-7.9,-3.8)(11.9,23.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=2,xunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=2]{->}(0,0)(-7.9,-3.8)(11.9,23.9)
  \uput[-90](11.5,0){x}  \uput[180](0,23.5){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-7.9}{3.9}{12 5 div x mul 20 add}
   \uput[-35](0,20){\textcolor{red}{$g_1$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-5}{7}
     {-5 12 div x mul 71 12 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{-7.9}{-5}
     {-5 12 div x mul 71 12 div add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed]{7}{11.9}
     {-5 12 div x mul 71 12 div add}
   \uput[35](4,4.4){\textcolor{blue}{$g_2$}}
  \psline[linewidth=1pt,linecolor=green](7,3)(-5,3)(-5,8)
   \uput[-90](1,3){\textcolor{green}{$\Delta x$}}
   \uput[0](-5,5){\textcolor{green}{$\Delta y$}}
  \pscircle*(7,3){2.5pt}
   \uput[30](7,3){$P$}
  \pscircle*(-5,8){2.5pt}
   \uput[100](-5,8){$S$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Welchen Abstand hat der Punkt \mbox{$P(7|3)$} von der Geraden $g_1$ mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)=\frac{12}{5}x+20$}? \\

\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung bestimmen wir die Funktionsgleichung $f_2(x)$ der
Geraden $g_2$ durch $P$ senkrecht zur Geraden $g_1$. Danach wird der
Schnittpunkt $S$ zwischen $f_1$ und $f_2$ wird bestimmt. Anschließend kann die
Strecke $\overline{PS}$ mithilfe des rechtwinkligen Dreiecks aus der Strecke
$\overline{PS}$, $\Delta x$ und $\Delta y$ berechnet werden. Das ganze führen
wir nun Schritt für Schritt durch.\\

Die Geradengleichung dieser Funktion lautet \mbox{$f_2(x)=m_2 \cdot x+b$}. Die
Steigung erhalten wir über die Bedingung für rechtwinkliges Schneiden mit der
Geraden $g_1$.\\ \\
\begin{eqnarray*}
m_1 \cdot m_2&=&-1 \\
\frac{12}{5}\cdot m_2&=&-1 \quad| \cdot \frac{5}{12} \\
m_2&=&-\frac{5}{12}
\end{eqnarray*}
Den Parameter $b$ erhalten wir, indem wir die Koordinaten des Schnittpunktes in
$f_2$ einsetzen und die Gleichung nach $b$ auflösen.
\begin{eqnarray*}
f_2(x_p)&=&y_p \\
-\frac{5}{12}\cdot 7+b&=&3 \\
-\frac{35}{12}+b&=&3 \quad|+\frac{35}{12} \\
b&=&\frac{71}{12} \\ \\
f_2(x)&=&-\frac{5}{12}x+\frac{71}{12}
\end{eqnarray*}
Nun bestimmen wir den Schnittpunkt $S(x_s|y_s)$ zwischen den beiden Geraden.
Dazu setzen wir die beiden Funktionsterme gleich.
\begin{eqnarray*}
f_1(x_s)&=&f_2(x_s) \\
\frac{12}{5}x_s+20&=&-\frac{5}{12}x_s+\frac{71}{12} \quad|\cdot 60 \\
144 x_s+1200&=&-25 x_s+355 \quad|+25x_s-1200 \\
169 x_s&=&-845 \quad|:169 \\
x_s&=&-5 \\ \\
y_s&=&f_1(x_s) \\
y_s&=&\frac{12}{5}\cdot (-5)+20 \\
y_s&=&8
\end{eqnarray*}
Mit dem gefundenen Schnittpunkt $S(-5|8)$ und dem gegebenen Punkt $P(7|3)$ kann
nun der gesuchte Abstand bestimmt werden. Er ist identisch mit der Länge
der Strecke $\overline{PS}$. Zeichnet man zwischen $P$ und $S$ ein
Steigungsdreieck für $g_2$, dann erkennt man, dass die Strecke $\overline{PS}$
aus $\Delta x$ und $\Delta y$ mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden kann.
\begin{eqnarray*}
( \overline{PS})^2&=&(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 \quad| \sqrt{\ } \\
\overline{PS}&=&\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \\
&=&\sqrt{(x_s-x_p)^2+(y_s-y_p)^2} \\
&=&\sqrt{(-5-7)^2+(8-3)^2} \\
&=&\sqrt{144+25} \\
\overline{PS}&=& 13
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{Abstand: 13 Längeneinheiten}\end{center}

\newpage  %-------------------
\subsection{Aufgabe 10}
\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-6.9,-6.9)(4.9,8.9)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2,Dx=2]{->}(0,0)(-6.9,-6.9)(4.9,8.9)
  \uput[-90](4.5,0){x}  \uput[180](0,8.6){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-6.9}{4.9}{0.5 x mul 2 add}
   \uput[135](4,4){\textcolor{red}{$f(x)$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60,linestyle=dashed](-5,7)(1,-5)
  \pscircle*(1,-5){2.5pt}
   \uput[30](1,-5){$P_1$}
  \pscircle*(-5,7){2.5pt}
   \uput[100](-5,7){$P_2$}
  \pscircle*(-2,1){2.5pt}
   \uput[170](-2,1){$M$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Gerade $g$ verläuft in der Mitte zwischen den Punkten $P_1(1|-5)$ und
$P_2(-5|7)$ hindurch und schneidet ihre Verbindungslinie rechtwinklig. Wie
lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$? \\

\paragraph{Lösung:}
Der Lösungsweg könnte folgendermaßen aussehen:\\
Die gesuchte Gerade muss auf der Verbindungslinie $\overline{P_1P_2}$
senkrecht stehen. Man bestimmt also die Steigung $m_v$ der Verbindungslinie
$\overline{P_1P_2}$ und berechnet daraus mit Hilfe der Formel für
rechtwinkliges Schneiden die Steigung $m$ der gesuchten Funktionsgleichung.
Dann bestimmt man den Mittelpunkt $M$ zwischen $P_1$ und $P_2$. Das kann man
durch Mittelwertbildung der Koordinaten machen. Da der Mittelpunkt $M$ einen
Punkt der gesuchten Geraden darstellt, kann man seine Koordinaten in die
Geradengleichung einsetzen, um damit den noch fehlenden Parameter $b$ zu
bestimmen. Diese Schritte führen wir nun der Reihe nach durch.\\

Die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten hat die Steigung $m_v$, die
wir berechnen können. Daraus lässt sich dann die Steigung $m$ der gesuchten
Funktion bestimmen.
\[m_v=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-(-5)}{-5-1}
=\frac{12}{-6}=-2\]
\begin{eqnarray*}
m_v \cdot m&=&-1 \\
-2 \cdot m&=&-1 \quad|:(-2) \\
m&=&\frac{1}{2} \\
\Rightarrow \quad f(x)&=&\frac{1}{2}x+b
\end{eqnarray*}
Um den noch unbekannten Parameter $b$ zu bestimmen, benötigen wir eine weitere
Beziehung. Bekannt ist, dass die gesuchte Gerade genau in der \emph{Mitte}
zwischen den Punkten $P_1$ und $P_2$ hindurch geht. Wenn wir die Koordinaten
dieses Punktes -- nennen wir ihn $M(x_M|y_M)$ -- in die Funktionsgleichung
einsetzen, erhalten wir $b$. Da der Punkt $M$ in der Mitte zwischen den Punkten
$P_1$ und $P_2$ liegt, stellen seine Koordinaten $x_M$ und $y_M$ das
Arithmetische Mittel zwischen den entsprechenden Koordinaten von $P_1$ und
$P_2$ dar.
\begin{eqnarray*}
x_M&=&\frac{x_1+x_2}{2} \\
x_M&=&\frac{1+(-5)}{2} \\
x_M&=&-2 \\ \\
y_M&=&\frac{y_1+y_2}{2} \\
y_M&=&\frac{-5+7}{2} \\
y_M&=&1 \\ \\
y_M&=&f(x_M) \\
1&=&\frac{1}{2} \cdot (-2)+b \\
1&=&-1+b \quad|+1 \\
2&=&b
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=\frac{1}{2}x+2$}\end{center}
\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\htmladdnormallink{text}{URL}
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
