\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\fi                   %
\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\usepackage{wrapfig} % Paket für Umfließen der Grafik
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Komplexe Gleichungen}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Grundlagen mit Beispiel}
Grundlage für die Komplexe Rechnung ist die Definition der Imaginären Einheit.
In rein auf Mathematik bezogener Literatur wird dafür der Buchstabe
\textbf{\emph{i}} verwendet. Steht die Elektrotechnik im Hintergrund, muss also
gelegentlich $i$ als Variablenname für Ströme verwendet werden, kann das zu
Verwirrungen führen. Daher verwende ich -- wie allgemein in der Elektrotechnik
üblich -- den Buchstaben \textbf{\emph{j}} für die Imaginäre Einheit. Sie ist
wie folgt definiert:
\begin{center}Definition: \fcolorbox{red}{yellow}{$j^2=-1$}\end{center}
Die Menge der Imaginären Zahlen wird mit $\mathbb{I}$ bezeichnet. Sie werden
dargestellt als Produkt aus der imaginären Einheit und einer Reellen Zahl,
wobei es üblich ist, die Imaginäre Einheit voranzustellen. Beispiele:
\[j1 \qquad j2 \qquad j3 \qquad -j5 \qquad -j\frac{2}{3}\]
Mischt man Reelle Zahlen mit Imaginären Zahlen, so erhält man Komplexe Zahlen.
Die Zahlenmenge der Komplexen Zahlen heißt $\mathbb{C}$. \\

Komplexe Variablen werden mit einem Unterstrich gekennzeichnet. Beispiel:
\[\underline{z}=a+jb\]
Im Beispiel ist $\underline{z}$ eine Komplexe Zahl, $a$ und $b$ sind Reelle
Zahlen. Dabei heißt $a$ Realteil von $\underline{z}$ und $b$ Imaginärteil von
$\underline{z}$. Man schreibt das auch so:
\begin{eqnarray*}
a&=& \textnormal{Re } \underline{z} \\
b&=& \textnormal{Im } \underline{z}
\end{eqnarray*}
\textbf{\underline{Aufgepasst}: \emph{j} ist \emph{nicht} Bestandteil des
Ima\-gi\-när\-teils!} $j$ steht \emph{vor} dem Ima\-gi\-när\-teil,
kennzeichnet ihn also nur. Das wird sehr oft verwechselt. \\

Zur \textbf{Veranschaulichung} Komplexer Zahlen wird die \textbf{Gaußsche
Zahlenebene} verwendt. Dazu wird der waagerecht verlaufende Zahlenstrahl mit
den herkömmlichen Reellen Zahlen um einen senkrecht dazu verlaufenden
Zahlenstrahl erweitert, an dem die Imaginären Zahlen eingetragen sind. Wir
erhalten damit ein Koordinatensystem, bei dem die Achsen mit \emph{Re} (Reelle
Achse) und \emph{Im} (Imaginäre Achse) bezeichnet sind. Die Komplexe Zahl wird
dann als Pfeil dargestellt. Man nennt diesen Pfeil "`\textbf{Zeiger}"'. Aus
diesem Grund werden Komplexe Zahlen auch als "`Zeigergrößen"' bezeichnet. Der
Zeiger beginnt am Koordinatenursprung und endet an dem Punkt, dessen
Koordinaten dem Realteil und dem Imaginärteil von $\underline{z}$ entsprechen.

\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
  \psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
  \begin{pspicture}(-1.8,-1.8)(5.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes{->}(0,0)(-1.8,-1.8)(5.8,4.8)
    \uput[-90](5.5,0){Re} \uput[180](0,4.5){Im}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(4,3)
    \uput[-45](2,1.5){\textcolor{red}{\underline{z}}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Stellen wir das einmal an einem Beispiel dar. Nebenstehend ist die Gaußsche
Zahlenebene dargestellt. Eingezeichnet ist die Komplexe Zahl:
\[\underline{z}=4+j3\]
Dazu wurden an der Reellen Achse 4 Ein\-hei\-ten und an der Imaginären Achse 3
Ein\-hei\-ten abgetragen. \\ \\ \\

Als nächstes möchte ich die Addition zweier Zeiger in der Gaußschen
Zahlenebene darstellen. Als Beispiel wähle ich:
\[\b z_1=4+j1 \qquad \b z_2=-2+j2 \]
Will (oder muss) man mit Komplexen Zahlen rechnen, dann kann man ganz normal
die aus der Algebra bekannten Methoden und Formeln verwenden. Dabei behandelt
man $j$ im Prinzip wie einen Parameter oder eine Variable. Auf diese Weise
wird jetzt die Summe aus $\b z_1$ und $\b z_2$ berechnet.
\[\b z_3=\b z_1+\b z_2=(4+j1)+(-2+j2)=4+j1-2+j2=2+j3\]

\begin{wrapfigure}{l}{8cm}
  \psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
  \begin{pspicture}(-2.8,-2.8)(6.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes{->}(0,0)(-2.8,-2.8)(6.8,4.8)
    \uput[-90](6.5,0){Re} \uput[180](0,4.5){Im}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(4,1)
    \uput[135](2,0.5){\textcolor{red}{$\b z_1$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(-2,2)
    \uput[-135](-1,1){\textcolor{blue}{$\b z_2$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{->}(4,1)(2,3)
    \uput[-135](3,2){\textcolor{blue}{$\b z_2$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{->}(0,0)(2,3)
    \uput[135](1,1.5){\textcolor{green}{$\b z_3$}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

In nebenstehendem Bild sind die drei Zeiger $\b z_1$, $\b z_2$ und $\b z_3$
eingezeichnet. Wie ist nun die Summe geometrisch zu deuten? \\

Schaut man sich die drei Zeiger genau an, dann kann man erkennen, dass der
Zeiger $\b z_2$ so parallelverschoben werden kann, dass sein Anfang auf dem
Ende des Zeigers $\b z_1$ zu liegen kommt. Dann verläuft der Summenzeiger
$\b z_3$ vom Anfang von $\b z_1$ bis zum Ende des verschobenen Zeigers
$\b z_2$. Jede Summe kann auf diese Weise dargestellt werden. Dabei spielt es
keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Zeiger addiert werden. Man kann also
auch $\b z_1$ an die Zeigerspitze von $\b z_2$ anlegen, die Spitze des Zeigers
$\b z_1$ läge wieder genau auf der Spitze des Summenzeigers $\b z_3$, auch
wenn dies hier nicht eingezeichnet ist.

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{8cm}
  \psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
  \begin{pspicture}(-2.8,-1.8)(6.8,4.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes{->}(0,0)(-2.8,-1.8)(6.8,4.8)
    \uput[-90](6.5,0){Re} \uput[180](0,4.5){Im}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(4,1)
    \uput[135](2,0.5){\textcolor{red}{$\b z_1$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(-2,2)
    \uput[-135](-1,1){\textcolor{blue}{$\b z_2$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{->}(6,-1)(4,1)
    \uput[45](5,0){\textcolor{blue}{$\b z_2$}}
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=green]{->}(0,0)(6,-1)
    \uput[-135](3,-0.5){\textcolor{green}{$\b z_3$}}
  \end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Auch die Differenz zweier Zeiger ist auf ähnliche Art darstellbar. Man muss
dann nur beachten, dass dabei der negativ zu verarbeitende Zeiger in
\textbf{umgekehrter} Richtung durchlaufen wird. Bestimmen wir in unserem
Zahlenbeispiel:
\[\b z_3=\b z_1-\b z_2\]
Der Zeiger $\b z_2$ ist negativ im Ergebnis enthalten; deshalb muss er so an
$\b z_1$ angelegt werden, dass er in umgekehrter Richtung durchlaufen wird.
Das geschieht hier dadurch, dass seine Spitze an die Spitze von $\b z_1$
angelegt wird. Sein Anfang liegt dann an der Spitze des Ergebniszeigers
$\b z_3$. Das Ergebnis prüfen wir nun durch eine Rechnung:
\[\b z_3=\b z_1-\b z_2=(4+j1)-(-2+j2)=4+j1+2-j2=6-j1\]
Das Ergebnis stimmt mit der graphisch ermittelten Lösung überein.\\

Das soll an Veranschaulichungen zunächst ausreichen.
Das Rechnen mit Komplexen Zahlen erfolgt -- wie schon erwähnt -- mit den aus
der Algebra bekannten Methoden und Formeln. Dabei wird $j$ im Prinzip wie
einen Parameter oder eine Variable behandelt. Nur dann, wenn einmal $j^2$
auftritt, ersetzt man das durch $-1$. Wir wollen das einmal an einer Komplexen
Gleichung nachvollziehen. \\

\textbf{\underline{Beispielaufgabe:}} Die Definitions- und Lösungsmenge der
Komplexen Gleichung ist gesucht.
\[2 \underline{x}-j1=18-j3 \underline{x}\]
Zunächst zur Definitionsmenge: Es gibt keinerlei Einschränkungen durch Brüche
oder ähnliches, also gilt: \fcolorbox{red}{yellow}{$D= \mathbb{C}$} \\
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, gehen wir genau so vor, wie von Reellen
Gleichungen gewohnt.
\begin{enumerate}
\item Alles mit $\underline{x}$ auf eine Seite bringen, alles ohne
  $\underline{x}$ auf die andere
\item $\underline{x}$ ausklammern
\item Durch den Klammerterm dividieren
\end{enumerate}
Das sieht dann so aus:
\begin{eqnarray*}
2 \underline{x}-j1&=&18-j3 \underline{x} \quad|+j1+j3 \underline{x} \\
2 \underline{x}+j3 \underline{x}&=&18+j1
  \quad| \underline{x}\textnormal{ ausklammern} \\
\underline{x} \cdot (2+j3)&=&18+j1   \quad|:(2+j3) \\
\underline{x}&=&\frac{18+j1}{2+j3} \\
\end{eqnarray*}
Im Prinzip wäre man damit fertig. Allerdings sollte der Bruch noch vereinfacht
werden. Er soll in die Form $(a+jb)$ gebracht werden, damit man Realteil und
Imaginärteil erkennen kann. Dazu ist es erforderlich, den Nenner des Bruches
durch geschicktes Erweitern reell zu machen. Erweitert man mit dem
\textbf{Konjugiert Komplexen Nenner} (das ist der Nenner mit umgekehrtem
Vorzeichen vor dem Imaginärteil), dann sorgt die dritte Binomische Formel
dafür, dass nur noch Quadratterme (und damit Reelle Terme) im neuen Nenner
stehen. Das führen wir in unserem Beispiel einmal durch, damit das verständlich
wird.
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac{18+j1}{2+j3}
  \quad|\textnormal{ mit }(2-j3) \textnormal{ erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{(18+j1) \cdot (2-j3)}{(2+j3) \cdot (2-j3)}
  \quad|\textnormal{ ausmultiplizieren} \\
\underline{x}&=&\frac{36-j54+j2-j^2 3}{4-j^2 9}
  \quad|\textnormal{ ausnutzen: }j^2=-1 \\
\underline{x}&=&\frac{36-j54+j2+3}{4+9} \quad|\textnormal{ zusammenfassen} \\
\underline{x}&=&\frac{39-j52}{13}
  \quad|\textnormal{ mit Bruchrechenregel aufspalten} \\
\underline{x}&=&\frac{39}{13}-j\frac{52}{13}
  \quad|\textnormal{ Brüche ausrechnen}\\
\underline{x}&=&3-j4 \\
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{3-j4\}$}\end{center}
\newpage

\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Lineare Gleichungen:}
Bestimmen Sie die Lösungsmengen im Bereich der Komplexen Zahlen $\mathbb{C}$!
\subsubsection{Aufgabe 1}
\[2 \underline{x}+j3 \underline{x}=19-j4\]
\subsubsection{Aufgabe 2}
\[3 \underline{x}-j5 \underline{x}=-6+j10\]
\subsubsection{Aufgabe 3}
\[2 \underline{x}+j3 \underline{x}=-13+j13\]
\subsubsection{Aufgabe 4}
\[5 \underline{x}-j2 \underline{x}=-1+j12\]
\subsubsection{Aufgabe 5}
\[5 \underline{x}-j5 \underline{x}=50\]
\subsubsection{Aufgabe 6}
\[(5-j4) \cdot (2 \underline{x}+j2)=52+j24\]
\subsubsection{Aufgabe 7}
\[(2-j3) \cdot (4 \underline{x}-j3)=15+j6+2 \underline{x}\]
\subsubsection{Aufgabe 8}
\[(3-j2)(3 \underline{x}+5)=12 \underline{x}-j10\]
\subsubsection{Aufgabe 9}
\[(4-j5)(5-j2 \underline{x})=(3+j2) \underline{x}+4(9-j2)\]
\subsubsection{Aufgabe 10}
\[(5+j4)(2 \underline{x}+j5)=4 \underline{x}-20+j25\]
\subsubsection{Aufgabe 11}
\[(3+j2)(2 \underline{x}+j3 \underline{x})-26=(4-j)( \underline{x}+2)+j42\]
\subsubsection{Aufgabe 12}
\[(2+j)( \underline{x} -j2 \underline{x})+j6
  =(1+j2)(2 \underline{x}-j \underline{x})-12\]
\subsubsection{Aufgabe 13}
\[(2-j4)(3 \underline{x}+j2 \underline{x})-6(4+j)
  =(3-j2)( \underline{x}+j4 \underline{x})-j \underline{x}(10-j11)\]
\subsubsection{Aufgabe 14}
\[(1+j5)(2 \underline{x}-j4 \underline{x})+32+j4
  =(2+j5)(3 \underline{x}-j \underline{x})+2 \underline{x}\]
\subsubsection{Aufgabe 15}
\[\frac{60 \underline{x}-j50}{3-j2}=15 \underline{x}+25\]
\subsubsection{Aufgabe 16}
\[\frac{ \underline{x}-3+j2}{ \underline{x}+j1}
  =\frac{ \underline{x}-2+j5}{ \underline{x}+1+j2}\]
\subsubsection{Aufgabe 17}
\[\frac{2 \underline{x}-j2}{2 \underline{x}+j4}
  -\frac{ \underline{x}+1-j}{3 \underline{x}+j6}
  =\frac{ \underline{x}+2-j}{4 \underline{x}+j8}\]
\subsubsection{Aufgabe 18}
\[\frac{2 \underline{x}+2+j4}{3 \underline{x}-j3+6}
  -\frac{3 \underline{x}-3+j}{4 \underline{x}+8-j4}=2-j\]

\newpage
\subsection{Kompensationsaufgaben:}
Bestimmen Sie die \textbf{reelle} Größe $x$ so, dass der Imaginärteil des Terms
$\b T$ Null wird und bestimmen Sie dann den Wert des Terms $\b T$!
\subsubsection{Aufgabe 19}
\[\b T=\frac{15-j6}{2x+20-j4}\]

\subsubsection{Aufgabe 20}
\[\b T=\frac{5+j(2x+4)}{3+j6}\]

\subsubsection{Aufgabe 21}
\[\b T=\frac{\left( \frac{-j8}{4-j2}+x \right) \cdot j8}
{\frac{-j8}{4-j2}+x+j8}\]

\subsubsection{Aufgabe 22}
\[\b T=\frac{-j25x}{x-j25}+j20\]

\newpage
\subsection{Lineare Gleichungssysteme:}
Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der Komplexen
Lineargleichungssysteme!
\subsubsection{Aufgabe 23}
\begin{eqnarray*}
(-5+j3) \underline{x}+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \\
(2-j) \underline{x}+(2+j4) \underline{y}&=&-3-j \\
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Aufgabe 24}
\begin{eqnarray*}
(3+j2) \underline{x}-(5+j2) \underline{y}&=&-20+j17 \\
(2-j3) \underline{x}+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \\
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Aufgabe 25}
\begin{eqnarray*}
(3-j5) \underline{x}-(1-j3) \underline{y}&=&0 \\
(6-j10) \underline{x}+(2+j5) \underline{y}&=&7-j23 \\
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Aufgabe 26}
\begin{eqnarray*}
(2-j2) \underline{x}+(3-j2) \underline{y}&=&-5 \\
(3-j2) \underline{x}+(2-j3) \underline{y}&=&-2+j7 \\
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Aufgabe 27}
\begin{eqnarray*}
(1+j2) \underline{x}+(2-j2) \underline{y}-(1+j3) \underline{z}&=&-10-j11 \\
(1-j2) \underline{x}+(3-j3) \underline{y}+(1+j3) \underline{z}&=&9+j2 \\
(2+j2) \underline{x}+(1+j2) \underline{y}+(2+j3) \underline{z}&=&11+j22 \\
\end{eqnarray*}
\subsubsection{Aufgabe 28}
\begin{eqnarray*}
(2+j2) \underline{x}-(2+j3) \underline{y}+3 \underline{z}&=&8+j  \\
(3-j2) \underline{x}+(4+j6) \underline{y}+(1+j2) \underline{z}&=&-4+j9 \\
(3+j3) \underline{x}+(2-j3) \underline{y}+(2+j3) \underline{z}&=&7+j6 \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 29}
\[\begin{array}{rcll}
-3\b x-j2\b x+4\b y-j2\b y&=&3-j37 \\
\b x+j2\b x+6\b y-j3\b y&=&-4-j13 \\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 30}
\[\begin{array}{rcll}
3\b x-j2\b x+2\b y+j5\b y&=&23-j3 \\
3\b x-j\b x-2\b y-j\b y&=&-2-j \\
\end{array}\]


\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Lineare Gleichungen:}
\subsubsection{Aufgabe 1}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{2-j5\}\]
\subsubsection{Aufgabe 2}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{-2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 3}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{1+j5\}\]
\subsubsection{Aufgabe 4}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{-1+j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 5}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{5+j5\}\]
\subsubsection{Aufgabe 6}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{2+j3\}\]
\subsubsection{Aufgabe 7}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 8}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{1-j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 9}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\left\{-\frac{378}{269}-j\frac{125}{269}\right\}\]
\subsubsection{Aufgabe 10}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{0\}\]
\subsubsection{Aufgabe 11}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{2-j3\}\]
\subsubsection{Aufgabe 12}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{1-j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 13}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\left\{\frac{72}{65}-j\frac{69}{65}\right\}\]
\subsubsection{Aufgabe 14}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{-2-j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 15}
\[D= \mathbb{C} \qquad L=\{1-j2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 16}
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-j;-1-j2\} \qquad L=\{-1+j\}\]
\subsubsection{Aufgabe 17}
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-j2\} \qquad L=\{2+j\}\]
\subsubsection{Aufgabe 18}
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-2+j\} \qquad
   L=\left\{-\frac{11}{87}-j \frac{158}{87}\right\}\]
\subsection{Kompensationsaufgaben:}
\subsubsection{Aufgabe 19}
\[x=-5 \qquad \b T=1,5\]
\subsubsection{Aufgabe 20}
\[x=3 \qquad \b T=\frac{5}{3}\]
\subsubsection{Aufgabe 21}
\[x_1=2,4 \quad \b T_1=4 \quad ; \quad x_2=-4 \quad \b T_2=-4\]
\subsubsection{Aufgabe 22}
\[x= \pm 50 \qquad \b T= \pm 10\]
\subsection{Lineare Gleichungssysteme:}
\subsubsection{Aufgabe 23}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(1+j3|-2+j)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 24}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(j2|2-j3)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 25}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(1-j3|3-j5)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 26}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(2+j2|-3-j2)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 27}
\[D= \mathbb{C}^3 \qquad L=\{(2+j3|1-j2|-4+j14)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 28}
\[D= \mathbb{C}^3 \qquad L=\{(1-j|1+j|1+j2)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 29}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(3+j5|2-j3)\}\]
\subsubsection{Aufgabe 30}
\[D= \mathbb{C}^2 \qquad L=\{(2-j|2-j3)\}\]

\newpage
\section{Lösungswege der Übungsaufgaben}
\subsection{Lineare Gleichungen:}
Bei Aufgabe 1 bis Aufgabe 14 gibt es keine Einschränkungen im
Definitionsbereich. Daher gilt hier immer $D= \mathbb{C}$, ohne dass jedes Mal
einzeln darauf hingewiesen wird. Bei Aufgabe 15 bis 18 ist eine explizite
Berechnung erforderlich.\\

\subsubsection{Aufgabe 1}
\begin{eqnarray*}
2 \underline{x}+j3 \underline{x}&=&19-j4
  \quad|\textnormal{ \underline{x} ausklammern} \\
\underline{x} \cdot (2+j3)&=&19-j4 \quad|:(2+j3) \\
\underline{x}&=&\frac{19-j4}{2+j3}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert komplex erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{(19-j4) \cdot (2-j3)}{(2+j3) \cdot (2-j3)} \\
\underline{x}&=&\frac{38-j57-j8+j^2 12}{4-j^2 9} \\
\underline{x}&=&\frac{38-j57-j8-12}{4+9} \\
\underline{x}&=&\frac{26-j65}{13} \\
\underline{x}&=&\frac{26}{13}-j\frac{65}{13} \\
\underline{x}&=&2-j5 \\
L&=&\{2-j5\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 2}
\begin{eqnarray*}
3 \underline{x}-j5 \underline{x}&=&-6+j10 \\
\underline{x} \cdot (3-j5)&=&-6+j10 \quad|:(3-j5) \\
\underline{x}&=&\frac{-6+j10}{3-j5}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert komplex erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{(-6+j10) \cdot (3+j5)}{(3-j5) \cdot (3+j5)} \\
\underline{x}&=&\frac{-18-j30+j30+j^2 50}{9-j^2 25} \\
\underline{x}&=&\frac{-18-j30+j30-50}{9+25} \\
\underline{x}&=&\frac{-68}{34} \\
\underline{x}&=&-2 \\
L&=&\{-2\}
\end{eqnarray*}
Hier haben wir zufällig den Sonderfall, dass die Lösung eine Reelle Zahl ist.

\subsubsection{Aufgabe 3}
\begin{eqnarray*}
2 \underline{x}+j3 \underline{x}&=&-13+j13 \\
\underline{x} \cdot (2+j3)&=&-13+j13 \quad|:(2+j3) \\
\underline{x}&=&\frac{-13+j13}{2+j3}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert komplex erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{(-13+j13) \cdot (2-j3)}{(2+j3) \cdot (2-j3)} \\
\underline{x}&=&\frac{-26+j39+j26-j^2 39}{4-j^2 9} \\
\underline{x}&=&\frac{-26+j39+j26+39}{4+9} \\
\underline{x}&=&\frac{13+j65}{13} \\
\underline{x}&=&\frac{13}{13}+j\frac{65}{13} \\
\underline{x}&=&1+j5 \\
L&=&\{1+j5\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 4}
\begin{eqnarray*}
5 \underline{x}-j2 \underline{x}&=&-1+j12 \\
\underline{x} \cdot (5-j2)&=&-1+j12 \quad|:(5-j2) \\
\underline{x}&=&\frac{-1+j12}{5-j2}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert komplex erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{(-1+j12) \cdot (5+j2)}{(5-j2) \cdot (5+j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{-5-j2+j60+j^2 24}{25-j^2 4} \\
\underline{x}&=&\frac{-5-j2+j60-24}{25+4} \\
\underline{x}&=&\frac{-29+j58}{29} \\
\underline{x}&=&-\frac{29}{29}+j\frac{58}{29} \\
\underline{x}&=&-1+j2 \\
L&=&\{-1+j2\}
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 5}
\begin{eqnarray*}
5 \underline{x}-j5 \underline{x}&=&50 \\
\underline{x} \cdot (5-j5)&=&50 \quad|:(5-j5) \\
\underline{x}&=&\frac{50}{5-j5}
  \quad|\textnormal{ Konjugiert komplex erweitern} \\
\underline{x}&=&\frac{50 \cdot (5+j5)}{(5-j5) \cdot (5+j5)} \\
\underline{x}&=&\frac{250+j250}{25-j^2 25} \\
\underline{x}&=&\frac{250+j250}{25+25} \\
\underline{x}&=&\frac{250+j250}{50} \\
\underline{x}&=&\frac{250}{50}+j\frac{250}{50} \\
\underline{x}&=&5+j5 \\
L&=&\{5+j5\}
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 6}
\begin{eqnarray*}
(5-j4) \cdot (2 \underline{x}+j2)&=&52+j24 \\
10 \underline{x}+j10-j8 \underline{x}-j^2 8&=&52+j24 \quad|j^2=-1 \\
10 \underline{x}+j10-j8 \underline{x}+8&=&52+j24 \quad|-8-j10 \\
10 \underline{x}-j8 \underline{x}&=&44+j14 \\
(10-j8) \underline{x}&=&44+j14 \quad|:(10-j8) \\
\underline{x}&=&\frac{44+j14}{10-j8}
   \quad| \textnormal{ Konjugiert komplex erweitern}\\
\underline{x}&=&\frac{(44+j14)(10+j8)}{(10-j8)(10+j8)} \\
\underline{x}&=&\frac{440+j352+j140+j^2 112}{100-j^2 64} \quad|j^2=-1 \\
\underline{x}&=&\frac{440+j352+j140-112}{100+64} \\
\underline{x}&=&\frac{328+j492}{164} \\
\underline{x}&=&\frac{328}{164}+j\frac{492}{164} \\
\underline{x}&=&2+j3 \\
L&=&\{2+j3\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 7}
\begin{eqnarray*}
(2-j3) \cdot (4 \underline{x}-j3)&=&15+j6+2 \underline{x} \\
8 \underline{x}-j6-j12 \underline{x}-9&=&15+j6+2 \underline{x}
  \quad|+j6+9-2 \underline{x} \\
6 \underline{x}-j12 \underline{x}&=&24+j12 \\
(6-j12) \underline{x}&=&24+j12 \quad|:(6-j12) \\
\underline{x}&=&\frac{24+j12}{6-j12}
   \quad| \textnormal{ Konjugiert komplex erweitern}\\
\underline{x}&=&\frac{(24+j12)(6+j12)}{(6-j12)(6+j12)} \\
\underline{x}&=&\frac{144+j288+j72-144}{36+144} \\
\underline{x}&=&\frac{j360}{180} \\
\underline{x}&=&j2 \\
L&=&\{j2\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 8}
\begin{eqnarray*}
(3-j2)(3 \underline{x}+5)&=&12 \underline{x}-j10 \\
9 \underline{x} +15-j6 \underline{x}-j10&=&12 \underline{x}-j10
  \quad|-15+j10-12 \underline{x} \\
-3 \underline{x}-j6 \underline{x}&=&-15 \\
(-3-j6) \underline{x}&=&-15 \quad|:(-3-j6) \\
\underline{x}&=&\frac{-15}{-3-j6}
   \quad| \textnormal{ Konjugiert komplex erweitern}\\
\underline{x}&=&\frac{(-15)(-3+j6)}{(-3-j6)(-3+j6)} \\
\underline{x}&=&\frac{45-j90}{9+36} \\
\underline{x}&=&\frac{45-j90}{45} \\
\underline{x}&=&\frac{45}{45}-j\frac{90}{45} \\
\underline{x}&=&1-j2 \\
L&=&\{1-j2\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 9}
\begin{eqnarray*}
(4-j5)(5-j2 \underline{x})&=&(3+j2) \underline{x}+4(9-j2) \\
20-j8 \underline{x}-j25-10 \underline{x}&=&3 \underline{x}+j2 \underline{x}
  +36-j8 \quad|-20+j25-3 \underline{x}-j2 \underline{x} \\
-13 \underline{x}-j10 \underline{x}&=&16+j17 \\
(-13-j10) \underline{x}&=&16+j17 \quad|:(-13-j10)\\
\underline{x}&=&\frac{16+j17}{-13-j10}
   \quad| \textnormal{ Konjugiert komplex erweitern}\\
\underline{x}&=&\frac{(16+j17)(-13+j10)}{(-13-j10)(-13+j10)} \\
\underline{x}&=&\frac{-208+j160-j221-170}{169+100} \\
\underline{x}&=&\frac{-378-j61}{269} \\
\underline{x}&=&-\frac{378}{269}-j\frac{61}{269} \\
\underline{x}&\approx&-1,405-j0,2268 \\
L&=&\left\{-\frac{378}{269}-j\frac{61}{269}\right\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 10}
\begin{eqnarray*}
(5+j4)(2 \underline{x}+j5)&=&4 \underline{x}-20+j25 \\
10 \underline{x}+j25+j8 \underline{x}-20&=&4 \underline{x}-20+j25
 \quad|-j25+20-4 \underline{x} \\
 6 \underline{x}+j8 \underline{x}&=&0 \\
(6+j8) \underline{x}&=&0 \quad|:(6+j8) \\
\underline{x}&=&\frac{0}{6+j8} \\
\underline{x}&=&0 \\
L&=&\{0\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 11}
\begin{eqnarray*}
(3+j2)(2 \underline{x}+j3 \underline{x})-26&=&(4-j)( \underline{x}+2)+j42 \\
6 \underline{x}+j9 \underline{x}+j4 \underline{x}-6 \underline{x}-26
  &=&4 \underline{x}+8-j \underline{x}-j2+j42
  \quad|+26-4 \underline{x}+j\underline{x} \\
-4 \underline{x}+j14 \underline{x}&=&34+j40 \\
(-4+j14) \underline{x}&=&34+j40 \quad|:(-4-j14) \\
\underline{x}&=&\frac{34+j40}{-4+j14} \\
\underline{x}&=&\frac{(34+j40)(-4-j14)}{(-4+j14)(-4-j14)} \\
\underline{x}&=&\frac{-136-j476-j160+560}{16+196} \\
\underline{x}&=&\frac{424-j636}{212} \\
\underline{x}&=&\frac{424}{212}-j\frac{636}{212} \\
\underline{x}&=&2-j3 \\
L&=&\{2-j3\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 12}
\begin{eqnarray*}
(2+j)( \underline{x} -j2 \underline{x})+j6
  &=&(1+j2)(2 \underline{x}-j \underline{x})-12 \\
2 \underline{x}-j4 \underline{x}+j \underline{x}+2 \underline{x}+j6
  &=&2 \underline{x}-j \underline{x}+j4 \underline{x}+2 \underline{x}-12 \\
4 \underline{x}-j3 \underline{x}+j6&=&4 \underline{x}+j3 \underline{x}-12
  \quad|-j6-4 \underline{x}-j3 \underline{x} \\
-j6 \underline{x}&=&-j6-12 \quad|:(-j6) \\
\underline{x}&=&\frac{-j6-12}{-j6} \\
\underline{x}&=&\frac{(-j6-12) \cdot j}{-j6 \cdot j} \\
\underline{x}&=&\frac{6-j12}{6} \\
\underline{x}&=&1-j2 \\
L&=&\{1-j2\} \\
\end{eqnarray*}

\subsubsection{Aufgabe 13}
\begin{eqnarray*}
(2-j4)(3 \underline{x}+j2 \underline{x})-6(4+j)
  &=&(3-j2)( \underline{x}+j4 \underline{x})-j \underline{x}(10-j11) \\
6 \underline{x}+j4 \underline{x}-j12 \underline{x}+8\underline{x}-24-j6
  &=&3 \underline{x}+j12 \underline{x}-j2 \underline{x}+8 \underline{x}
  -j10 \underline{x}-11 \underline{x} \\
14 \underline{x}-j8 \underline{x}-24-j6&=&0 \\
14 \underline{x}-j8 \underline{x}&=&24+j6 \\
(14-j8) \underline{x}&=&24+j6 \\
\underline{x}&=&\frac{24+j6}{14-j8} \\
\underline{x}&=&\frac{(24+j6)(14+j8)}{(14-j8)(14+j8)} \\
\underline{x}&=&\frac{336+j192+j84-48}{196+64} \\
\underline{x}&=&\frac{288+j276}{260} \\
\underline{x}&=&\frac{288}{260}-j\frac{276}{260} \\
\underline{x}&=&\frac{72}{65}-j\frac{69}{65} \\
L&=&\left\{\frac{72}{65}-j\frac{69}{65}\right\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 14}
\begin{eqnarray*}
(1+j5)(2 \underline{x}-j4 \underline{x})+32+j4
  &=&(2+j5)(3 \underline{x}-j \underline{x})+2 \underline{x} \\
2 \underline{x}-j4 \underline{x}+j10 \underline{x}+20 \underline{x}+32+j4
  &=&6 \underline{x}-j2 \underline{x}+j15 \underline{x}+5 \underline{x}
     +2 \underline{x} \\
22 \underline{x}+j6 \underline{x}+32+j4
  &=&13 \underline{x}+j13 \underline{x} \\
9 \underline{x}-j7 \underline{x}&=&-32-j4 \\
(9-j7) \underline{x}&=&-32-j4 \\
\underline{x}&=&\frac{-32-j4}{9-j7} \\
\underline{x}&=&\frac{(-32-j4)(9+j7)}{(9-j7)(9+j7)} \\
\underline{x}&=&\frac{-288-j224-j36+28}{81+49} \\
\underline{x}&=&\frac{-260-j260}{130} \\
\underline{x}&=&-\frac{260}{130}-j\frac{260}{130} \\
\underline{x}&=&-2-j2 \\
L&=&\{-2-j2\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 15}
\[\frac{60 \underline{x}-j50}{3-j2}=15 \underline{x}+25\]
Da im Nenner kein Term mit $\underline{x}$ vorkommt, gibt es für den
Definitionsbereich keine Einschränkungen.
\[D= \mathbb{C}\]
Bestimmen wir nun die Lösungsmenge.
\begin{eqnarray*}
\frac{60 \underline{x}-j50}{3-j2}&=&15 \underline{x}+25 \quad| \cdot (3-j2) \\
60 \underline{x}-j50&=&(15 \underline{x}+25)(3-j2) \\
60 \underline{x}-j50&=&45 \underline{x}-j30 \underline{x}+75-j50
  \quad |+j50-45 \underline{x}+j30 \underline{x} \\
15 \underline{x}+j30 \underline{x}&=&75 \\
(15+j30) \underline{x}&=&75 \quad|:(15+j30) \\
\underline{x}&=&\frac{75}{15+j30} \\
\underline{x}&=&\frac{75 \cdot (15-j30)}{(15+j30) \cdot (15-j30)} \\
\underline{x}&=&\frac{1125-j2250}{225+900} \\
\underline{x}&=&\frac{1125-j2250}{1125} \\
\underline{x}&=&\frac{1125}{1125}-j\frac{2250}{1125} \\
\underline{x}&=&1-j2 \\
L&=&\{1-j2\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 16}
\[\frac{ \underline{x}-3+j2}{ \underline{x}+j1}
  =\frac{ \underline{x}-2+j5}{ \underline{x}+1+j2}\]
In beiden Nennern tauchen Terme mit $\underline{x}$ auf. Somit müssen die
$\underline{x}$-Werte aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden, für die
der eine oder der andere Nenner Null wird. Für den ersten Nenner ist das der
Fall für $\underline{x}=-j$ und für den zweiten Nenner für
$\underline{x}=-1-j2$. Also sieht der Definitionsbereich so aus:
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-j;-1-j2\}\]
Bestimmen wir nun die Lösungsmenge. \\
Gleichungen mit Brüchen bekommt man bekanntlich am besten in den Griff,
indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Da die beiden Nenner
teilerfremd sind, ist der Hauptnenner das Produkt der Nenner.
\begin{eqnarray*}
\frac{ \underline{x}-3+j2}{ \underline{x}+j1}
  &=&\frac{ \underline{x}-2+j5}{ \underline{x}+1+j2}
  \quad| \cdot ( \underline{x}+j1) \cdot ( \underline{x}+1+j2) \\
( \underline{x}-3+j2)( \underline{x}+1+j2)
  &=&( \underline{x}-2+j5)( \underline{x}+j1) \\
\underline{x}^2+ \underline{x}+j2 \underline{x}-3 \underline{x}-3-j6
  +j2 \underline{x}+j2-4
  &=& \underline{x}^2+j \underline{x}-2 \underline{x}-j2+j5 \underline{x}-5 \\
\underline{x}^2-2 \underline{x}+j4 \underline{x}-7-j4
  &=& \underline{x}^2-2 \underline{x}+j6 \underline{x}-5-j2 \\
j4 \underline{x}-7-j4&=&j6 \underline{x}-5-j2 \quad|-j6 \underline{x}+7+j4 \\
-j2 \underline{x}&=&2+j2 \quad|:(-j2) \\
\underline{x}&=&\frac{2+j2}{-j2} \\
\underline{x}&=&\frac{(2+j2) \cdot j}{(-j2) \cdot j} \\
\underline{x}&=&\frac{j2-2}{2} \\
\underline{x}&=&j\frac{2}{2}-\frac{2}{2} \\
\underline{x}&=&j-1 \\
L&=&\{-1+j\} \\
\end{eqnarray*}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 17}
\[\frac{2 \underline{x}-j2}{2 \underline{x}+j4}
  - \frac{ \underline{x}+1-j}{3 \underline{x}+j6}
  = \frac{ \underline{x}+2-j}{4 \underline{x}+j8}\]
Gleichungen mit Brüchen bekommt man bekanntlich am besten in den Griff,
indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Führen wir also eine
Nenneranalyse durch, wie von Reellen Bruchgleichungen gewohnt.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
2 \underline{x}+j4 &=&2   &  &\cdot ( \underline{x}+j2)&&EF=2 \cdot 3=6 \\
3 \underline{x}+j6 &=&    &3 &\cdot ( \underline{x}+j2)&&EF=2^2=4 \\
4 \underline{x}+j8 &=&2^2 &  &\cdot ( \underline{x}+j2)&&EF=3 \\
\hline
HN                 &=&2^2 &\cdot 3&\cdot ( \underline{x}+j2) \\
\end{array} \]
Aus dem Ansatz $( \underline{x}+j2)=0$ ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-j2\}\]
Bestimmen wir nun die Lösungsmenge. \\
\begin{eqnarray*}
\frac{2 \underline{x}-j2}{2 \underline{x}+j4}
  - \frac{ \underline{x}+1-j}{3 \underline{x}+j6}
  &=& \frac{ \underline{x}+2-j}{4 \underline{x}+j8} \quad|\cdot HN \\
(2 \underline{x}-j2) \cdot 6-(\underline{x}+1-j) \cdot 4
  &=&( \underline{x}+2-j) \cdot 3 \\
12 \underline{x}-j12-4 \underline{x}-4+j4&=&3 \underline{x}+6-j3 \\
8 \underline{x}-4-j8&=&3 \underline{x}+6-j3 \quad|+4+j8-3 \underline{x} \\
5 \underline{x}&=&10+j5 \quad|:5 \\
\underline{x}&=&2+j \\
L&=&\{2+j\}
\end{eqnarray*}
\newpage

\subsubsection{Aufgabe 18}
\[\frac{2 \underline{x}+2+j4}{3 \underline{x}-j3+6}
  -\frac{3 \underline{x}-3+j}{4 \underline{x}+8-j4}=2-j\]
Gleichungen mit Brüchen bekommt man bekanntlich am besten in den Griff,
indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner multipliziert. Führen wir also eine
Nenneranalyse durch, wie von Reellen Bruchgleichungen gewohnt.
\[ \begin{array}{rclrrcl}
3 \underline{x}-j3+6 &=&    &3 &\cdot ( \underline{x}+2-j)&&EF=2^2=4 \\
4 \underline{x}+8-j4 &=&2^2 &  &\cdot ( \underline{x}+2-j)&&EF=3 \\
\hline
HN                 &=&2^2 &\cdot 3&\cdot ( \underline{x}+2-j) \\
\end{array} \]
Aus dem Ansatz $( \underline{x}+2-j)=0$ ergibt sich der Definitionsbereich:
\[D= \mathbb{C} \setminus \{-2+j\}\]
Bestimmen wir nun die Lösungsmenge. \\
\begin{eqnarray*}
\frac{2 \underline{x}+2+j4}{3 \underline{x}-j3+6}
  -\frac{3 \underline{x}-3+j}{4 \underline{x}+8-j4}&=&2-j \quad| \cdot HN \\
(2 \underline{x}+2+j4) \cdot 4-(3 \underline{x}-3+j) \cdot 3
  &=&(2-j) \cdot 12( \underline{x}+2-j) \\
8 \underline{x}+8+j16-9 \underline{x}+9-j3
  &=&(2-j) \cdot (12 \underline{x}+24-j12) \\
-\underline{x}+17+j13
  &=&24 \underline{x}+48-j24-j12 \underline{x}-j24-12 \\
-\underline{x}+17+j13
  &=&24 \underline{x}+36-j48-j12 \underline{x}
  \quad|-17-j13-24 \underline{x}+j12 \underline{x} \\
-25 \underline{x}+j12 \underline{x}&=&19-j61 \\
(-25+j12) \underline{x}&=&19-j61 \quad|:(-25+j12) \\
\underline{x}&=&\frac{19-j61}{-25+j12} \\
\underline{x}&=&\frac{(19-j61)(-25-j12)}{(-25+j12)(-25-j12)} \\
\underline{x}&=&\frac{-475-j228+j1525-732}{625+144} \\
\underline{x}&=&\frac{-1207+j1297}{769} \\
\underline{x}&=&-\frac{1207}{769}+j \frac{1297}{769} \\
L&\approx&\{-1,5696+j1,6866 \}
\end{eqnarray*}
\newpage
\subsection{Kompensationsaufgaben:}
Hier folgen die Lösungen der Aufgaben mit reellem Term.\\

Zu allen Aufgaben gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Lösungswege.
\begin{itemize}
\item Man formt den Term so um, dass er in einen Realteil und in einen
  Imaginärteil zerlegt werden kann. Dann nimmt man den Imaginärteil und setzt
  ihn gleich Null.
\item Man setzt $\b T=T$, da er ja ohne Imaginärteil als Reelle Zahl aufgefasst
  werden kann. Dann formt man die Gleichung mit den beiden reellen Größen $T$
  und $x$ so um, dass eine Lineare Gleichung entsteht. Diese zerlegt man dann
  in eine Gleichung mit den Realteilen und eine mit den Imaginärteilen. Dieses
  Gleichungssystem 2. Ordnung kann dann gelöst werden.
\end{itemize}

Zu Aufgabe 19 und 20 werden beide Lösungsverfahren vorgestellt, Aufgabe 21 und
22 werden nur mit dem zweiten Verfahren gelöst, weil es effizienter ist.

\subsubsection{Aufgabe 19}           \enlargethispage{15mm}
\[\b T=\frac{15-j6}{2x+20-j4}\]
\textbf{1. Lösungsverfahren:}
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{15-j6}{2x+20-j4}\\
&=&\frac{(15-j6) \cdot (2x+20+j4)}{(2x+20-j4) \cdot (2x+20+j4)}\\
&=&\frac{30x+300+j60-j12x-j120-j^224}{(2x+20)^2-j^24^2}\\
&=&\frac{30x+300-j60-j12x+24}{4x^2+80x+400+16}\\
\b T&=&\underbrace{\frac{30x+324}{4x^2+80x+416}}_{Re\b T}
   +j\underbrace{\frac{-60-12x}{4x^2+80x+416}}_{Im\b T}\\ \\
Im\b T&=&0 \\
\frac{-60-12x}{4x^2+80x+416}&=&0 \quad| \cdot (4x^2+80x+416) \\
-60-12x&=&0 \quad|+60 \\
-12x&=&60 \quad|:(-12) \\
x&=&-5
\end{eqnarray*}
\[\b T=Re\b T=\frac{30 \cdot (-5)+324}{4 \cdot (-5)^2+80 \cdot (-5)+416}
  =\frac{174}{116}=1,5\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x=-5 \qquad \b T=1,5$}\end{center}

\newpage
\textbf{2. Lösungsverfahren:}\\
Da $Im\b T=0$ ist, ist $\b T=T$.
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{15-j6}{2x+20-j4}\\
T&=&\frac{15-j6}{2x+20-j4} \quad| \cdot (2x+20-j4) \\
2xT+20T-j4T&=&15-j6
\end{eqnarray*}
Aus dieser Gleichung können nun zwei Gleichungen gemacht werden,
nämlich eine mit den Realteilen und eine mit den Imaginärteilen.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Re:}& 2xT+20T&=&15 \\
\textnormal{Im:}& -4T&=&-6 \\
\end{array}\]
Aus der Imaginären Gleichung kann sofort $T$ bestimmt werden.
\begin{eqnarray*}
-4T&=&-6 \quad|:(-4) \\
T&=&1,5
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setzen wir in die Reelle Gleichung ein und bestimmen $x$.
\begin{eqnarray*}
2xT+20T&=&15 \\
2x \cdot 1,5+20 \cdot 1,5&=&15 \\
3x+30&=&15 \quad|-30 \\
3x&=&-15 \quad|:3 \\
x&=&-5
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x=-5 \qquad \b T=1,5$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 20}
\[\b T=\frac{5+j(2x+4)}{3+j6}\]
\textbf{1. Lösungsverfahren:}
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{5+j(2x+4)}{3+j6}\\
&=&\frac{\Bigl( 5+j(2x+4) \Bigr) \cdot (3-j6)}{(3+j6) \cdot (3-j6)}\\
&=&\frac{15-j30+j3(2x+4)+6(2x+4)}{9+36}\\
&=&\frac{15-j30+j6x+j12+12x+24}{45}\\
&=&\underbrace{\frac{39+12x}{45}}_{Re\b T}
  +j \underbrace{\frac{6x-18}{45}}_{Im\b T}\\ \\
Im\b T&=&0 \\
\frac{6x-18}{45}&=&0 \quad| \cdot 45 \\
6x-18&=&0 \quad|+18 \\
6x&=&18 \quad|:6 \\
x&=&3
\end{eqnarray*}
\[\b T=Re\b T=\frac{39+12x}{45}=\frac{39+12 \cdot 3}{45}=\frac{5}{3}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x=3 \qquad \b T=\frac{5}{3}$}\end{center}

\newpage
\textbf{2. Lösungsverfahren:}\\
Da $Im\b T=0$ ist, ist $\b T=T$.
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{5+j(2x+4)}{3+j6}\\
T&=&\frac{5+j(2x+4)}{3+j6} \quad| \cdot (3+j6) \\
3T+j6T&=&5+j(2x+4) \\
3T+j6T&=&5+j2x+j4 \\
\end{eqnarray*}
Aus dieser Gleichung können nun zwei Gleichungen gemacht werden,
nämlich eine mit den Realteilen und eine mit den Imaginärteilen.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Re:}& 3T&=&5 \\
\textnormal{Im:}& 6T&=&2x+4 \\
\end{array}\]
Aus der Reellen Gleichung kann sofort $T$ bestimmt werden.
\begin{eqnarray*}
3T&=&5 \quad|:5 \\
T&=&\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setzen wir in die Imaginäre Gleichung ein und bestimmen $x$.
\begin{eqnarray*}
6T&=&2x+4 \\
6 \cdot \frac{5}{3}&=&2x+4 \quad|-4 \\
10-4&=&2x \\
6&=&2x \quad|:2 \\
x&=&3
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x=3 \qquad \b T=\frac{5}{3}$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 21}
\[\b T=\frac{\left( \frac{-j8}{4-j2}+x \right) \cdot j8}
{\frac{-j8}{4-j2}+x+j8}\]
Da $Im\b T=0$ ist, ist $\b T=T$.
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{\left( \frac{-j8}{4-j2}+x \right) \cdot j8}
{\frac{-j8}{4-j2}+x+j8}\\
T&=&\frac{\left( \frac{-j8}{4-j2}+x \right) \cdot j8}
{\frac{-j8}{4-j2}+x+j8}\quad| \cdot \left( \frac{-j8}{4-j2}+x+j8 \right) \\
\frac{-j8T}{4-j2}+xT+j8T&=&\left( \frac{-j8}{4-j2}+x \right) \cdot j8 \\
\frac{-j8T}{4-j2}+xT+j8T&=&\frac{-j^2 64}{4-j2}+j8x \quad| \cdot (4-j2) \\
-j8T+xT \cdot (4-j2)+j8T \cdot (4-j2)&=&64+j8x \cdot (4-j2) \\
-j8T+4xT-j2xT+j32T+16T&=&64+j32x+16x \\
4xT-j2xT+j24T+16T&=&64+j32x+16x
\end{eqnarray*}
Aus dieser Gleichung können nun zwei Gleichungen gemacht werden,
nämlich eine mit den Realteilen und eine mit den Imaginärteilen.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Re:}& 4xT+16T&=&64+16x \\
\textnormal{Im:}& -2xT+24T&=&32x
\end{array}\]
Ich löse die Reelle Gleichung nach $T$ auf, um das Ergenbis in die Imaginäre
Gleichung einsetzen zu können.
\begin{eqnarray*}
4xT+16T&=&64+16x \\
(4x+16) \cdot T&=&16x+64 \quad|:(4x+16) \\
\end{eqnarray*}
\textbf{Achtung!} Wenn ich durch einen Term dividiere, dann muss ich sicher
sein, dass der nicht Null werden kann. Für $x=-4$ wäre das aber der Fall. Setze
ich diesen Wert in die Gleichung ein, erhalte ich eine wahre Aussage, der Wert
$x_1=-4$ stellt also eine Lösung dar. Der weitere Lösungsweg betrifft also nur
noch das Wertepaar $x_2/T_2$!
\begin{eqnarray*}
T_2&=&\frac{16x_2+64}{4x_2+16} \\
T_2&=&\frac{16 \cdot (x_2+4)}{4 \cdot (x_2+4)}
  \quad|\textnormal{ Kürzen mit }(x_2+4) \\
T_2&=&\frac{16}{4}\\
T_2&=&4
\end{eqnarray*}

Ich setze den gefundenen Wert in die Imaginäre Gleichung ein, um $x_2$ zu
erhalten.
\begin{eqnarray*}
-2x_2T_2+24T_2&=&32x_2 \\
-2x_2 \cdot 4+24 \cdot 4&=&32x_2 \\
-8x_2+96&=&32x_2 \quad|+8x_2 \\
96&=&40x_2 \quad|:40 \\
x_2&=&2,4
\end{eqnarray*}

Die Lösung $x_1=-4$ setze ich ebenfalls in die Imaginäre Gleichung ein, um
das zugehörige $T_1$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
-2x_1T_1+24T_1&=&32x_1 \\
-2 \cdot (-4) \cdot T_1+24T_1&=&32 \cdot (-4) \\
8T_1+24T_1&=&-128 \\
32T_1&=&-128 \quad|:32 \\
T_1&=&-4
\end{eqnarray*}
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x_1=-4 \textnormal{ ; } \b T_1=-4$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=2,4 \textnormal{ ; } \b T_2=4$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 22}
\[\b T=\frac{-j25x}{x-j25}+j20\]
Da $Im\b T=0$ ist, ist $\b T=T$.
\begin{eqnarray*}
\b T&=&\frac{-jx25}{x-j25}+j20 \\
T&=&\frac{-j25x}{x-j25}+j20 \quad| \cdot (x-j25) \\
xT-j25T&=&-j25x+j20x+500
\end{eqnarray*}
Aus dieser Gleichung können nun zwei Gleichungen gemacht werden,
nämlich eine mit den Realteilen und eine mit den Imaginärteilen.
\[\begin{array}{rrcl}
\textnormal{Re:}& xT&=&500 \\
\textnormal{Im:}& -25T&=&-5x
\end{array}\]
Ich stelle die Imaginäre Gleichung nach $T$ um, damit das Ergebnis in die
Reelle Gleichung eingesetzt werden kann.
\begin{eqnarray*}
-25T&=&-5x \quad|:(-25) \\
T&=&\frac{1}{5}x
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setzen wir in die Imaginäre Gleichung ein und bestimmen $x$.
\begin{eqnarray*}
xT&=&500 \\
x \cdot \frac{1}{5}x&=&500 \\
\frac{1}{5}x^2&=&500 \quad| \cdot 5 \\
x^2&=&2500 \quad| \sqrt{\ } \\
x&=&\pm 50 \\
x_1=50 && x_2=-50
\end{eqnarray*}
Die Ergebnisse für $x$ setzen wir in die umgestellte Reelle Gleichung ein und
erhalten die Werte für $T$.
\[T_1=\frac{1}{5}x_1=\frac{1}{5} \cdot 50=10\]
\[T_2=\frac{1}{5}x_2=\frac{1}{5} \cdot (-50)=-10\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x_1=50 \textnormal{ ; } \b T_1=10$} und
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_2=-50 \textnormal{ ; } \b T_2=-10$}\end{center}

\newpage
\subsection{Lösungen der Lineargleichungssysteme}
Da es bei diesen Aufgaben \textbf{keine} Einschränkungen im Definitionsbereich
durch Brüche oder ähnliches gibt, ist der Definitionsbereich immer
$D= \mathbb{C}^2$ oder $D= \mathbb{C}^3$, je nach Variablenzahl.

\subsubsection{Aufgabe 23}
\begin{eqnarray*}
(-5+j3) \underline{x}+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \\
(2-j) \underline{x}+(2+j4) \underline{y}&=&-3-j \\
\end{eqnarray*}
Ein Lineargleichungssystem kann mit verschiedenen Verfahren gelöst werden. Die
be\-kann\-tes\-ten sind wohl das Einsetzungsverfahren, das
Additions-/Subtraktionsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und die
Cramersche Regel. Dieses Beispiel möchte ich mit der Cramerschen
Regel \footnote{Einzelheiten dazu siehe auch hier: \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi }
lösen,
weil dieses Verfahren recht zügig zu einer Lösung führt. \\

Zur Erinnerung: Ein Gleichungssystem in der Form
\begin{eqnarray*}
a_{11}x_1+a_{12}x_2&=&b_1 \\
a_{21}x_1+a_{22}x_2&=&b_2 \\
\end{eqnarray*}
hat die Lösungen:
\[
x_1=\frac
{\left| \begin{array}{rr}
b_1 & a_{12} \\
b_2 & a_{22} \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rr}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array} \right| }
\qquad \textnormal{ und } \qquad
x_2=\frac
{\left| \begin{array}{rr}
a_{11} & b_1 \\
a_{21} & b_2 \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{rr}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array} \right| }
\]
Das gleiche gilt natürlich auch für komplexe Lineargleichungssysteme. Das
wenden wir nun auf unser Gleichungssystem an.
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac
{\left| \begin{array}{cc}
(-19-j12) & (2+j) \\
(-3-j)    & (2+j4) \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{cc}
(-5+j3) & (2+j) \\
(2-j)   & (2+j4) \\
\end{array} \right| } \\
\underline{x}&=&\frac{(-19-j12) \cdot (2+j4)-(-3-j) \cdot (2+j)}
        {(-5+j3) \cdot (2+j4)-(2-j) \cdot (2+j)} \\
\underline{x}&=&\frac{(-38-j76-j24+48)-(-6-j3-j2+1)}
        {(-10-j20+j6-12)-(4+j2-j2+1)} \\
\underline{x}&=&\frac{-38-j76-j24+48+6+j3+j2-1}
        {-10-j20+j6-12-4-j2+j2-1} \\
\underline{x}&=&\frac{15-j95}{-27-j14} \\
\underline{x}&=&\frac{(15-j95) \cdot (-27+j14)}{(-27-j14) \cdot (-27+j14)} \\
\underline{x}&=&\frac{-405+j210+j2565+1330}{729+196} \\
\underline{x}&=&\frac{925+j2775}{925} \\
\underline{x}&=&1+j3 \\
\end{eqnarray*}
Die Variable $\underline{y}$ kann nun entweder durch Einsetzen in eine der
beiden Gleichungen oder auch mit Hilfe der Cramerschen Regel bestimmt werden.
Ich setze den gefundenen Wert in die erste Gleichung ein.
\begin{eqnarray*}
(-5+j3) \underline{x}+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \\
(-5+j3)(1+j3)+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \\
-5-j15+j3-9+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \\
-14-j12+(2+j) \underline{y}&=&-19-j12 \quad|+14+j12 \\
(2+j) \underline{y}&=&-5 \quad|:(2+j) \\
\underline{y}&=&\frac{-5}{2+j} \\
\underline{y}&=&\frac{-5(2-j)}{(2+j)(2-j)} \\
\underline{y}&=&\frac{-10+j5}{4+1} \\
\underline{y}&=&\frac{-10+j5}{5} \\
\underline{y}&=&-2+j \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1+j3|-2+j)\}$}\end{center}
\newpage

\subsubsection{Aufgabe 24}
\begin{eqnarray*}
(3+j2) \underline{x}-(5+j2) \underline{y}&=&-20+j17 \\
(2-j3) \underline{x}+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \\
\end{eqnarray*}
Auch bei dieser Aufgabe drängt sich einem kein Lösungsverfahren als besonders
günstig auf. Um etwas Abwechslung hineinzubringen, lösen wir dieses
Gleichungssystem einmal mit dem Additions-/Subtraktionsverfahren.
\footnote{Einzelheiten dazu siehe auch hier: \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi }
Ich möchte die Variable $\underline{y}$ verschwinden lassen. Daher
multiplizieren wir die erste Gleichung mit $(1-j2)$ und die zweite Gleichung
mit $(5+j2)$. Die sich ergebenden Gleichungen können dann addiert werden.

\begin{eqnarray*}
(3+j2) \underline{x}-(5+j2) \underline{y}&=&-20+j17 \quad| \cdot (1-j2) \\
(2-j3) \underline{x}+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \quad| \cdot (5+j2) \\
\hline
(3+j2)(1-j2) \underline{x}-(5+j2)(1-j2) \underline{y}&=&(-20+j17)(1-j2) \\
(2-j3)(5+j2) \underline{x}+(1-j2)(5+j2) \underline{y}&=&(2-j3)(5+j2) \\
\hline
(3-j6+j2+4) \underline{x}-(5-j10+j2+4) \underline{y}&=&-20+j40+j17+34 \\
(10+j4-j15+6) \underline{x}+(5+j2-j10+4) \underline{y}&=&10+j4-j15+6 \\
\hline
(7-j4) \underline{x}-(9-j8) \underline{y}&=&14+j57 \\
(16-j11) \underline{x}+(9-j8) \underline{y}&=&16-j11 \quad|+\\
\hline
(23-j15) \underline{x} \ \qquad \qquad \quad &=&30+j46 \\
\underline{x}&=&\frac{30+j46}{23-j15} \\
\underline{x}&=&\frac{(30+j46)(23+j15)}{(23-j15)(23+j15)} \\
\underline{x}&=&\frac{690+j450+j1058-690}{529+225} \\
\underline{x}&=&\frac{j1508}{754} \\
\underline{x}&=&j2 \\
\end{eqnarray*}
Die Lösung für $\underline{y}$ bestimmen wir, indem wir den gefundenen Wert
$\underline{x}=j2$ in die zweite Ausgangsgleichung einsetzen.
\newpage
\begin{eqnarray*}
(2-j3) \underline{x}+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \\
(2-j3) \cdot j2+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \\
j4+6+(1-j2) \underline{y}&=&2-j3 \quad|-j4-6 \\
(1-j2) \underline{y}&=&-4-j7 \quad|:(1-j2) \\
\underline{y}&=&\frac{-4-j7}{1-j2} \\
\underline{y}&=&\frac{(-4-j7)(1+j2)}{(1-j2)(1+j2)} \\
\underline{y}&=&\frac{-4-j8-j7+14}{1+4} \\
\underline{y}&=&\frac{10-j15}{5} \\
\underline{y}&=&2-j3 \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(j2|2-j3)\}$}\end{center}
\newpage

\subsubsection{Aufgabe 25}
\begin{eqnarray*}
(3-j5) \underline{x}-(1-j3) \underline{y}&=&0 \\
(6-j10) \underline{x}+(2+j5) \underline{y}&=&7-j23 \\
\end{eqnarray*}
Wie bei den anderen Aufgaben zuvor ist auch hier kein Verfahren besonders
günstig. Damit alle einmal vorkommen, wähle ich hier das Einsetzungsverfahren.
\footnote{Einzelheiten dazu siehe auch hier: \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi }
Ich stelle die erste Gleichung nach $\underline{y}$ um und setze den
Ergebnisterm in die zweite Gleichung ein.
\begin{eqnarray*}
(3-j5) \underline{x}-(1-j3) \underline{y}&=&0 \quad|-(3-j5) \underline{x} \\
-(1-j3) \underline{y}&=&-(3-j5) \underline{x} \quad|\cdot (-1) \\
(1-j3) \underline{y}&=&(3-j5) \underline{x} \quad|:(1-j3) \\
\underline{y}&=&\frac{(3-j5) \underline{x}}{1-j3} \\
\end{eqnarray*}
Nun kann man entweder versuchen, den Nenner des Bruches $\frac{3-j5}{1-j3}$
durch Konjugiert Komplexes Erweitern reell zu machen und damit aufzulösen, oder
den Bruch gleich so, wie er ist, in die andere Gleichung einzusetzen.
Sinnvoller ist die zweite Variante, denn es ist nicht gesagt, dass beim
Auflösen des Bruches günstige Terme entstehen; die Warscheinlichkeit spricht
eher dagegen. Durch Multiplikation mit dem Nenner nach dem Einsetzen bekommt
man diesen ja sowieso weg.
Deshalb wähle ich hier diese Methode.
\begin{eqnarray*}
(6-j10) \underline{x}+(2+j5) \underline{y}&=&7-j23 \\
(6-j10) \underline{x}+(2+j5)\frac{(3-j5) \underline{x}}{1-j3}&=&7-j23
  \quad|\cdot (1-j3) \\
(6-j10)(1-j3) \underline{x}+(2+j5)(3-j5) \underline{x}&=&(7-j23)(1-j3) \\
6 \underline{x}-j18 \underline{x}-j10 \underline{x}-30 \underline{x}
  +6 \underline{x}-j10 \underline{x}+j15 \underline{x}+25 \underline{x}
  &=&7-j21-j23-69 \\
7 \underline{x}-j23 \underline{x}&=&-62-j44 \\
(7-j23) \underline{x}&=&-62-j44 \quad|:(7-j23) \\
\underline{x}&=&\frac{-62-j44}{7-j23} \\
\underline{x}&=&\frac{(-62-j44)(7+j23)}{(7-j23)(7+j23)} \\
\underline{x}&=&\frac{-434-j1426-j308+1012}{49+529} \\
\underline{x}&=&\frac{578-j1734}{578} \\
\underline{x}&=&1-j3 \\
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis können wir nun in die umgestellte erste Gleichung einsetzen.
\begin{eqnarray*}
\underline{y}&=&\frac{(3-j5) \underline{x}}{1-j3} \\
\underline{y}&=&\frac{(3-j5)(1-j3)}{1-j3} \quad| \textnormal{ Kürzen!} \\
\underline{y}&=&3-j5 \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(1-j3|3-j5)\}$}\end{center}
\newpage

\subsubsection{Aufgabe 26}
\begin{eqnarray*}
(2-j2) \underline{x}+(3-j2) \underline{y}&=&-5 \\
(3-j2) \underline{x}+(2-j3) \underline{y}&=&-2+j7 \\
\end{eqnarray*}
Nehmen wir noch einmal die Cramersche Regel zur Lösung.
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac
{\left| \begin{array}{cc}
(-5)       & (3-j2) \\
(-2+j7)    & (2-j3) \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{cc}
(2-j2) & (3-j2) \\
(3-j2) & (2-j3) \\
\end{array} \right| } \\
\underline{x}&=&\frac{(-5)(2-j3)-(-2+j7)(3-j2)}{(2-j2)(2-j3)-(3-j2)(3-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(-10+j15)-(-6+j4+j21+14)}{(4-j6-j4-6)-(9-j6-j6-4)} \\
\underline{x}&=&\frac{-10+j15+6-j4-j21-14}{4-j6-j4-6-9+j6+j6+4} \\
\underline{x}&=&\frac{-18-j10}{-7+j2} \\
\underline{x}&=&\frac{(-18-j10)(-7-j2)}{(-7+j2)(-7-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{126+j36+j70-20}{49+4} \\
\underline{x}&=&\frac{106+j106}{53} \\
\underline{x}&=&2+j2 \\
\end{eqnarray*}
Das Ergebnis setze ich in die erste Gleichung ein.
\newpage
\begin{eqnarray*}
(2-j2) \underline{x}+(3-j2) \underline{y}&=&-5 \\
(2-j2)(2+j2)+(3-j2) \underline{y}&=&-5 \\
4+4+(3-j2) \underline{y}&=&-5 \quad|-8 \\
(3-j2) \underline{y}&=&-13 \quad|:(3-j2) \\
\underline{x}&=&\frac{-13}{3-j2} \\
\underline{x}&=&\frac{(-13)(3+j2)}{(3-j2)(3+j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{-39-j26}{9+4} \\
\underline{x}&=&\frac{-39-j26}{13} \\
\underline{x}&=&-3-j2 \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2+j2|-3-j2)\}$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 27}
\begin{eqnarray*}
(1+j2) \underline{x}+(2-j2) \underline{y}-(1+j3) \underline{z}&=&-10-j11 \\
(1-j2) \underline{x}+(3-j3) \underline{y}+(1+j3) \underline{z}&=&9+j2 \\
(2+j2) \underline{x}+(1+j2) \underline{y}+(2+j3) \underline{z}&=&11+j22 \\
\end{eqnarray*}
Bei einem Lineargleichungssystem 3. Ordnung ist eigentlich immer die Cramersche
Regel angesagt, wenn man zügig zum Ziel kommen will. Beim Auflösen der
Determinanten benötigt man dann den Satz von Sarrus.\footnote{Einzelheiten
dazu siehe auch hier: \\
\ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}}
{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi }
Verwenden wir also die Cramersche Regel.
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac
{\left| \begin{array}{ccc}
(-10-j11) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(9+j2)    & (3-j3) & (1+j3) \\
(11+j22)  & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (3-j3) & (1+j3) \\
(2+j2) & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right| } \\
\end{eqnarray*}
Damit man den Satz von Sarrus besser anwenden kann, schreiben wir die beiden
linken Spalten als Denkhilfe noch einmal hinter die jeweilige Determinante.
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac
{\left| \begin{array}{ccc}
(-10-j11) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(9+j2)    & (3-j3) & (1+j3) \\
(11+j22)  & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right|
\begin{array}{cc}
(-10-j11) & (2-j2) \\
(9+j2)    & (3-j3) \\
(11+j22)  & (1+j2) \\
\end{array} }
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (3-j3) & (1+j3) \\
(2+j2) & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right|
\begin{array}{cc}
(1+j2) & (2-j2) \\
(1-j2) & (3-j3) \\
(2+j2) & (1+j2) \\
\end{array}} \\
\underline{x}&=&\frac{(-10-j11)(3-j3)(2+j3)+(2-j2)(1+j3)(11+j22)}
  {(1+j2)(3-j3)(2+j3)+(2-j2)(1+j3)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-1-j3)(9+j2)(1+j2)-(11+j22)(3-j3)(-1-j3)}
  {+(-1-j3)(1-j2)(1+j2)-(2+j2)(3-j3)(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(1+j2)(1+j3)(-10-j11)-(2+j3)(9+j2)(2-j2)}
  {-(1+j2)(1+j3)(1+j2)-(2+j3)(1-j2)(2-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(-30+j30-j33-33)(2+j3)+(2+j6-j2+6)(11+j22)}
  {(3-j3+j6+6)(2+j3)+(2+j6-j2+6)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-9-j2-j27+6)(1+j2)-(33-j33+j66+66)(-1-j3)}
  {+(-1+j2-j3-6)(1+j2)-(6-j6+j6+6)(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(1+j3+j2-6)(-10-j11)-(18+j4+j27-6)(2-j2)}
  {-(1+j3+j2-6)(1+j2)-(2-j4+j3+6)(2-j2)} \\
\end{eqnarray*}
\newpage
\begin{eqnarray*}
\underline{x}&=&\frac{(-63-j3)(2+j3)+(8+j4)(11+j22)}
  {(9+j3)(2+j3)+(8+j4)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-3-j29)(1+j2)-(99+j33)(-1-j3)}
  {+(-7-j)(1+j2)-12(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(-5+j5)(-10-j11)-(12+j31)(2-j2)}
  {-(-5+j5)(1+j2)-(8-j)(2-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(-126-j189-j6+9)+(88+j176+j44-88)}
  {(18+j27+j6-9)+(16+j16+j8-8)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-3-j6-j29+58)-(-99-j297-j33+99)}
  {+(-7-j14-j+2)-(-12-j36)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(50+j55-j50+55)-(24-j24+j62+62)}
  {-(-5-j10+j5-10)-(16-j16-j2-2)} \\
\underline{x}&=&\frac{-126-j189-j6+9+88+j176+j44-88}
  {18+j27+j6-9+16+j16+j8-8}\cdots \\
&&\cdots \frac{-3-j6-j29+58+99+j297+j33-99}
  {-7-j14-j+2+12+j36}\cdots \\
&&\cdots \frac{-50-j55+j50-55-24+j24-j62-62}
  {+5+j10-j5+10-16+j16+j2+2} \\
\underline{x}&=&\frac{-253+j277}{25+j101} \\
\underline{x}&=&\frac{(-253+j277)(25-j101)}{(25+j101)(25-j101)} \\
\underline{x}&=&\frac{-6325+j25553+j6925+27977}{625+10201} \\
\underline{x}&=&\frac{21625-j32478}{10826} \\
\underline{x}&=&2+j3 \\
\end{eqnarray*}
Auf die gleiche Weise erhalten wir auch die Variable $\underline{y}$.
\begin{eqnarray*}
\underline{y}&=&\frac
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (-10-j11) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (9+j2)    & (1+j3) \\
(2+j2) & (11+j22)  & (2+j3) \\
\end{array} \right| }
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (3-j3) & (1+j3) \\
(2+j2) & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right| } \\
\end{eqnarray*}
Damit man den Satz von Sarrus besser anwenden kann, schreiben wir die beiden
linken Spalten als Denkhilfe noch einmal hinter die jeweilige Determinante.
\begin{eqnarray*}
\underline{y}&=&\frac
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (-10-j11) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (9+j2)    & (1+j3) \\
(2+j2) & (11+j22)  & (2+j3) \\
\end{array} \right|
\begin{array}{cc}
(1+j2) & (-10-j11) \\
(1-j2) & (9+j2) \\
(2+j2) & (11+j22) \\
\end{array} }
{\left| \begin{array}{ccc}
(1+j2) & (2-j2) & (-1-j3) \\
(1-j2) & (3-j3) & (1+j3) \\
(2+j2) & (1+j2) & (2+j3) \\
\end{array} \right|
\begin{array}{cc}
(1+j2) & (2-j2) \\
(1-j2) & (3-j3) \\
(2+j2) & (1+j2) \\
\end{array}} \\
\underline{x}&=&\frac{(1+j2)(9+j2)(2+j3)+(-10-j11)(1+j3)(2+j2)}
  {(1+j2)(3-j3)(2+j3)+(2-j2)(1+j3)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-1-j3)(1-j2)(11+j22)-(2+j2)(9+j2)(-1-j3)}
  {+(-1-j3)(1-j2)(1+j2)-(2+j2)(3-j3)(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(11+j22)(1+j3)(1+j2)-(2+j3)(1-j2)(-10-j11)}
  {-(1+j2)(1+j3)(1+j2)-(2+j3)(1-j2)(2-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(9+j2+j18-4)(2+j3)+(-10-j30-j11+33)(2+j2)}
  {(3-j3+j6+6)(2+j3)+(2+j6-j2+6)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-1+j2-j3-6)(11+j22)-(18+j4+j18-4)(-1-j3)}
  {+(-1+j2-j3-6)(1+j2)-(6-j6+j6+6)(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(11+j33+j22-66)(1+j2)-(2-j4+j3+6)(-10-j11)}
  {-(1+j3+j2-6)(1+j2)-(2-j4+j3+6)(2-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(5+j20)(2+j3)+(23-j41)(2+j2)}
  {(9+j3)(2+j3)+(8+j4)(2+j2)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-7-j)(11+j22)-(14+j22)(-1-j3)}
  {+(-7-j)(1+j2)-12(-1-j3)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(-55+j55)(1+j2)-(8-j)(-10-j11)}
  {-(-5+j5)(1+j2)-(8-j)(2-j2)} \\
\underline{x}&=&\frac{(10+j15+j40-60)+(46+j46-j82+82)}
  {(18+j27+j6-9)+(16+j16+j8-8)}\cdots \\
&&\cdots \frac{+(-77-j154-j11+22)-(-14-j42-j22+66)}
  {+(-7-j14-j+2)-(-12-j36)}\cdots \\
&&\cdots \frac{-(-55-j110+j55-110)-(-80-j88+j10-11)}
  {-(-5-j10+j5-10)-(16-j16-j2-2)} \\
\underline{x}&=&\frac{10+j15+j40-60+46+j46-j82+82}
  {18+j27+j6-9+16+j16+j8-8}\cdots \\
&&\cdots \frac{-77-j154-j11+22+14+j42+j22-66}
  {-7-j14-j+2+12+j36}\cdots \\
&&\cdots \frac{+55+j110-j55+110+80+j88-j10+11}
  {+5+j10-j5+10-16+j16+j2+2} \\
\underline{x}&=&\frac{227+j51}{25+j101} \\
\underline{x}&=&\frac{(227+j51)(25-j101)}{(25+j101)(25-j101)} \\
\underline{x}&=&\frac{5675-j22927+j1275+5151}{625+10201} \\
\underline{x}&=&\frac{10826-j21652}{10826} \\
\underline{x}&=&1-j2 \\
\end{eqnarray*}
Um $\underline{z}$ zu bestimmen, setze ich die gefundenen Werte für
$\underline{x}$ und $\underline{y}$ in die zweite Ursprungsgleichung ein.
\begin{eqnarray*}
(3-j2) \underline{x}+(4+j6) \underline{y}+(1+j2) \underline{z}&=&-4+j9 \\
(3-j2)(2+j3)+(4+j6)(1-j2)+(1+j2) \underline{z}&=&-4+j9 \\
6+j9-j4+6+4-j8+j6+12+(1+j2) \underline{z}&=&-4+j9 \\
28+j3+(1+j2) \underline{z}&=&-4+j9 \quad|-28-j3 \\
(1+j2) \underline{z}&=&-32+j6 \quad|:(1+j2) \\
\underline{z}&=&\frac{-32+j6}{1+j2} \\
\underline{z}&=&\frac{(-32+j6)(1-j2)}{(1+j2)(1-j2)} \\
\underline{z}&=&\frac{-32+j64+j6+12}{1+4} \\
\underline{z}&=&\frac{-20+j70}{5} \\
\underline{z}&=&-4+j14 \\
\end{eqnarray*}
Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2+j3|1-j2|-4+j14)\}$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 29}
\[\begin{array}{crcll}
(1)&-3\b x-j2\b x+4\b y-j2\b y&=&3-j37 \\
(2)&\b x+j2\b x+6\b y-j3\b y&=&-4-j13 \\
\hline
(1)&(-3-j2) \cdot \b x+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 \\
(2)&(1+j2) \cdot \b x+(6-j3) \cdot \b y&=&-4-j13 \\
\end{array}\]
Sieht man sich die Koeffizienten von $\b y$ einmal genau an, so erkennt man,
beide enthalten \mbox{$(2-j1)$} als Faktor. Durch Multiplikation mit einfachen
Reellen Zahlen können sie daher auf den gleichen Wert gebracht werden. Das
Additions-/Subtraktionsverfahren bietet sich an.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&(-3-j2) \cdot \b x&+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 &| \cdot 3 \\
(2)&(1+j2) \cdot \b x&+(6-j3) \cdot \b y&=&-4-j13 &| \cdot 2 \\
\hline
(1)&(-9-j6) \cdot \b x&+(12-j6) \cdot \b y&=&9-j111 &|- \\
(2)&(2+j4) \cdot \b x&+(12-j6) \cdot \b y&=&-8-j26 &| \\
\hline
(2)-(1)&(11+j10) \cdot \b x &&=&-17+j85 \\
\end{array}\]
Jetzt haben wir nur noch eine einzige Komplexe Gleichung, die wir lösen
können.
\[\begin{array}{rcll}
(11+j10) \cdot \b x&=&-17+j85 &|:(11+j10) \\
\b x&=&\cfrac{-17+j85}{11+j10} &| \textnormal{ konjugiert komplex erweitern}\\
\b x&=&\cfrac{(-17+j85) \cdot (11-j10)}{(11+j10) \cdot (11-j10)}\\
\b x&=&\cfrac{-187+j170+j935-j^2 850}{121+100}\\
\b x&=&\cfrac{-187+j170+j935+850}{221}\\
\b x&=&\cfrac{663+j1\,105}{221}\\
\b x&=&\cfrac{663}{221}+j\cfrac{1\,105}{221}\\
\b x&=&3+j5 \\
\end{array}\]

Zur Bestimmung von $\b y$ setze ich diesen Wert in Gleichung (1) ein.
\[\begin{array}{rcll}
(-3-j2) \cdot \b x+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 \\
(-3-j2) \cdot (3+j5)+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 \\
-9-j15-j6+10+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 \\
1-j21+(4-j2) \cdot \b y&=&3-j37 &|-1+j21 \\
(4-j2) \cdot \b y&=&2-j16 &|:(4-j2) \\
\b y&=&\cfrac{2-j16}{4-j2}&| \textnormal{ konjugiert komplex erweitern}\\
\b y&=&\cfrac{(2-j16) \cdot (4+j2)}{(4-j2) \cdot (4+j2)}\\
\b y&=&\cfrac{8+j4-j64-j^2 32}{16+4}\\
\b y&=&\cfrac{8+j4-j64+32}{16+4}\\
\b y&=&\cfrac{40-j60}{20}\\
\b y&=&\cfrac{40}{20}-j\cfrac{60}{20}\\
\b y&=&2-j3 \\
\end{array}\]

Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(3+j5|2-j3)\}$}\end{center}

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 30}
\[\begin{array}{|crcl|}
\hline
(1)&3\b x-j2\b x+2\b y+j5\b y&=&23-j3 \\
(2)&3\b x-j\b x-2\b y-j\b y&=&-2-j \\
\hline
\end{array}\]

Die Parameter ähneln sich, sind aber trotzdem verschieden. Daher bietet sich
kein Lösungsverfahren besonders an. Aus diesem Grund möchte ich die Lösung
nacheinander mit drei Verfahren vorrechnen, und zwar mit:
\begin{enumerate}
\item dem \textbf{Einsetzungsverfahren}
\item dem \textbf{Additions-/Subtraktionsverfahren}
\item der \textbf{Cramerschen Regel}
\end{enumerate}
Zunächst bringe ich aber das Gleichungssystem in die Normalform.
\[\begin{array}{|crcl|}
\hline
(1)&(3-j2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot \b y&=&23-j3 \\
(2)&(3-j) \cdot \b x-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j \\
\hline
\end{array}\]

\paragraph{Lösungsvariante 1: Einsetzungsverfahren}
%\begin{center}\end{center}
Ich löse Gleichung (2) nach $\b y$ auf.
\[\begin{array}{rcll}
(3-j) \cdot \b x-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j &|-(3-j) \cdot \b x \\
-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j-(3-j) \cdot \b x &|:(-2-j) \\
\b y&=&\cfrac{-2-j-(3-j) \cdot \b x}{-2-j}\\
\end{array}\]

Dieser Term wird für $\b y$ in Gleichung (1) eingesetzt.
{\footnotesize  \[\begin{array}{rcl}
(3-j2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot \cfrac{-2-j-(3-j) \cdot \b x}{-2-j}&=&23-j3
 \quad | \cdot (-2-j) \\
(-2-j) \cdot(3-j2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot \Bigl( -2-j-(3-j) \cdot \b x \Bigr)
  &=&(-2-j) \cdot (23-j3) \\
(-6+j4-j3-2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot (-2-j)-(2+j5) \cdot(3-j) \cdot \b x
  &=&-46+j6-j23-3 \\
(-8+j) \cdot \b x+(-4-j2-j10+5)-(6-j2+j15+5) \cdot \b x
  &=&-49-j17 \\
(-8+j) \cdot \b x+1-j12-(11+j13) \cdot \b x&=&-49-j17 \quad |-1+j12 \\
(-8+j-11-j13) \cdot \b x&=&-50-j5 \\
(-19-j12) \cdot \b x&=&-50-j5 \quad |:(-19-j12) \\
\b x&=&\cfrac{-50-j5}{-19-j12}\\
\b x&=&\cfrac{(-50-j5) \cdot (-19+j12)}{(-19-j12) \cdot (-19+j12)}\\
\b x&=&\cfrac{950-j600+j95+60}{361+144}\\
\b x&=&\cfrac{1\,010-j505}{505}\\
\b x&=&2-j \\
\end{array}\] }

Dieser Wert muss nur noch in die umgestellte Gleichung (2) eingesetzt werden,
dann haben wir $\b y$.
\[\begin{array}{rcll}
\b y&=&\cfrac{-2-j-(3-j) \cdot \b x}{-2-j}\\
\b y&=&\cfrac{-2-j-(3-j) \cdot (2-j)}{-2-j}\\
\b y&=&\cfrac{-2-j-(6-j3-j2-1)}{-2-j}\\
\b y&=&\cfrac{-2-j-6+j3+j2+1}{-2-j}\\
\b y&=&\cfrac{-7+j4}{-2-j}&| \textnormal{ konjugiert komplex erweitern}\\
\b y&=&\cfrac{(-7+j4) \cdot (-2+j)}{(-2-j) \cdot (-2+j)}\\
\b y&=&\cfrac{14-j7-j8-4}{4+1}\\
\b y&=&\cfrac{10-j15}{5}\\
\b y&=&2-j3 \\
\end{array}\]

Zusammengefasst ergibt sich die Lösungsmenge:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$L=\{(2-j|2-j3)\}$}\end{center}

\paragraph{Lösungsvariante 2: Additions-/Subtraktionsverfahren}
\[\begin{array}{|crcl|}
\hline
(1)&(3-j2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot \b y&=&23-j3 \\
(2)&(3-j) \cdot \b x-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j \\
\hline
\end{array}\]

Ich möchte die Variable $\b y$ eliminieren. Deshalb multipliziere ich
Gleichung (1) mit \mbox{$(2+j)$} und die Gleichung (2) mit \mbox{$(2+j5)$}.
Dann können die Gleichungen addiert werden.
\[\begin{array}{crrcll}
(1)&(3-j2) \cdot \b x&+(2+j5) \cdot \b y&=&23-j3&| \cdot (2+j) \\
(2)&(3-j) \cdot \b x&-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j&| \cdot (2+j5) \\
\hline
(1)&(3-j2) \cdot (2+j) \cdot \b x&+(2+j5) \cdot (2+j) \cdot \b y
  &=&(23-j3) \cdot (2+j) \\
(2)&(3-j) \cdot (2+j5) \cdot \b x&-(2+j) \cdot (2+j5) \cdot \b y
  &=&(-2-j) \cdot (2+j5) \\
\hline
(1)&(6+j3-j4+2) \cdot \b x&+(4+j2+j10-5) \cdot \b y&=&46+j23-j6+3 \\
(2)&(6+j15-j2+5) \cdot \b x&-(4+j10+j2-5) \cdot \b y&=&-4-j10-j2+5 \\
\hline
(1)&(8-j) \cdot \b x&+(-1+j12) \cdot \b y&=&49+j17 &|\\
(2)&(11+j13) \cdot \b x&-(-1+j12) \cdot \b y&=&1-j12 &|+\\
\hline
&(19+j12) \cdot \b x&&=&50+j5 \\
\end{array}\]
Jetzt haben wir nur noch eine Lineare Gleichung, die einfach gelöst werden
kann.

\[\begin{array}{rcll}
(19+j12) \cdot \b x&=&50+j5&|:(19+j12) \\
\b x&=&\cfrac{50+j5}{19+j12}&| \textnormal{ konjugiert komplex erweitern}\\
\b x&=&\cfrac{(50+j5) \cdot (19-j12)}{(19+j12) \cdot (19-j12)}\\
\b x&=&\cfrac{950-j600+j95+60}{361+144}\\
\b x&=&\cfrac{1\,010-j505}{505}\\
\b x&=&2-j \\
\end{array}\]

Der Wert für $\b y$ wird analog zur Lösungsvariante 1 bestimmt.

\paragraph{Lösungsvariante 3: Cramersche Regel}
\[\begin{array}{|crcl|}
\hline
(1)&(3-j2) \cdot \b x+(2+j5) \cdot \b y&=&23-j3 \\
(2)&(3-j) \cdot \b x-(2+j) \cdot \b y&=&-2-j \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem befindet sich in der Normalform, die Cramersche Regel
kann also direkt angewendet werden.
\[\begin{array}{rcll}
\b x&=&\cfrac
{\begin{array}{|cc|}
(23-j3) & (2+j5) \\
(-2-j)  & (-2-j) \end{array}}
{\begin{array}{|cc|}
(3-j2) & (2+j5) \\
(3-j)  & (-2-j) \end{array}}\\
\b x&=&\cfrac{(23-j3) \cdot (-2-j)-(-2-j) \cdot (2+j5)}
{(3-j2) \cdot (-2-j)-(3-j) \cdot (2+j5)}\\
\b x&=&\cfrac{(-46-j23+j6-3)-(-4-j10-j2+5)}
{(-6-j3+j4-2)-(6+j15-j2+5)}\\
\b x&=&\cfrac{-46-j23+j6-3+4+j10+j2-5}
{-6-j3+j4-2-6-j15+j2-5}\\
\b x&=&\cfrac{-50-j5}{-19-j12}&| \textnormal{ konjugiert komplex erweitern}\\
\b x&=&\cfrac{(-50-j5) \cdot (-19+j12)}{(-19-j12) \cdot (-19+j12)}\\
\b x&=&\cfrac{950-j600+j95+60}{361+144}\\
\b x&=&\cfrac{1\,010-j505}{505}\\
\b x&=&2-j \\
\end{array}\]

Auch hier erfolgt die Bestimmung von $\b y$ entsprechend der ersten
Lösungsvariante.\\

Jeder mag selbst entscheiden, welche Variante die beste ist.

% \newpage
% \emph{(Weitere Aufgaben und Lösungen folgen später.)}

\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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