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\fi                   %
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\captionsetup{labelformat=empty}
%\usepackage[landscape=true]{geometry} % Querformat
\begin{document}

\title{Kompensation}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!\\

\section{Vorbemerkung}
Dieses Skript wendet sich vor allem an Berufsschüler aus dem Bereich der
Elektrotechnik. Ich verzichte an dieser Stelle ausdrücklich um kompliziertere
Mathematik wie die Rechnung mit Komplexen Zahlen.\\

Wer sich für tiefergehende Grundlagen der Wechselstromtechnik interesiert, kann
das bei Bedarf hier nachlesen:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}\fi
\end{center}

Voraussetzen muss ich jedoch die Kenntnisse in den Grundlagen der
Gleichstromtechnik. Bei Bedarf kann man die hier nachlesen:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundl.pdf}\fi
\end{center}

\newpage
\section{Wechselstromwiderstände}
Bei Wechselströmen und Wechselspannungen hat man es mit \textbf{zeitabhängigen}
Größen zu tun. Diese werden mit den entsprechenden \textbf{Kleinbuchstaben}
gekennzeichnet, also $u$ für eine zeitabhängige Spannung und $i$ für einen
zeitabhängigen Strom.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10.5cm}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-2,-4)(25,15)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,1)(25,1)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,6)
  \rput[rC](-0.3,5.5){$i$}
  \rput[Cb](24.5,0){$t$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,11)(25,11)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,15)
  \rput[rC](-0.3,14.5){$u$}
  \rput[Cb](24.5,10){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 3.5 mul 11 add}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 4 mul 1 add}
 \end{pspicture}
 \caption{\emph{Spannungs- und Stromverlauf im Ohmschen Widerstand}}
\end{wrapfigure}
Schließt man eine Wechselspannung an einen Ohmschen Widerstand an, so ergibt
sich ein Strom, dessen Momentanwerte zu jedem Zeitpunkt proportional zu den
Momentanwerten der Spannung sind. Es gilt das Ohmsche Gesetz:
\[i(t)=\cfrac{u(t)}{R}\]
Gehen wir von ei\-ner si\-nus\-för\-mi\-gen Spannung gemäß
\[u(t)=U_p \cdot \sin ( \omega t)\]
aus, dann erhält man für den Strom:
\[i(t)=\cfrac{U_p \cdot \sin ( \omega t)}{R}
  =\cfrac{U_p}{R} \cdot \sin ( \omega t)\]
Zur Information: Der griechische Buchstabe $\omega$ (gesprochen \emph{Omega})
stellt die sogenannte "`Kreisfrequenz"' dar. Sie kann leicht aus der Frequenz
$f$ berechnet werden:
\[\omega =2 \cdot \pi \cdot f\]
Man hat sie nur eingeführt, damit die Formeln etwas einfacher werden. Ein
wirklich tieferer Sinn steckt nicht dahinter.
\[\sin ( \omega \cdot t) \qquad \textnormal{ist einfacher als} \qquad
\sin (2 \cdot \pi \cdot f \cdot t)\]
Der Wert für $\frac{U_p}{R}$ in der obigen Formel kann als Scheitelwert des
Stromes mit $I_p$ bezeichnet werden:
\[I_p=\cfrac{U_p}{R}\]
Oben sind Spannung und Strom untereinander dargestellt. Die Maxima und die
Nulldurchgänge liegen auf der Zeitachse an den gleichen Stellen. Bei einer
Spule oder einem Kondensator sieht es anders aus. Das sehen wir uns im
Folgenden genauer an.

\newpage
\subsection{Wechselstromwiderstand einer Induktivität}
\label{blindwiderstand}
Der Wechselstromwiderstand einer Induktivität hängt von der Frequenz ab. Eine
Induktivität ist eine \textbf{ideale Spule}. Da eine reale Spule auch immer
einen Gleichstromwiderstand (Wicklungswiderstand) hat, gehen wir hier zunächst
von einer idealen Spule, also einer Induktivität aus. Dadurch werden unsere
Betrachtungen nicht unnötig verkompliziert. Gemischte Widerstände betrachten
wir später. Die Rechenformel für den Induktiven Wechselstromwiderstand $X_L$
der Induktivität lautet:
\[X_L= \omega \cdot L\]

\begin{wrapfigure}{r}{10.5cm}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-2,-4)(25,15)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,1)(25,1)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,6)
  \rput[rC](-0.3,5.5){$i$}
  \rput[Cb](24.5,0){$t$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,11)(25,11)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,15)
  \rput[rC](-0.3,14.5){$u$}
  \rput[Cb](24.5,10){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 3.5 mul 11 add}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos -4 mul 1 add}
 \end{pspicture}
 \caption{\emph{Spannungs- und Stromverlauf in der Induktivität}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist der zeitliche Verlauf von Spannung und Strom in einer
Induktivität dargestellt.\\

Man kann erkennen, das der Strom keinesfalls jederzeit proportional zur
Spannung ist. Zum Zeitpunkt \mbox{$t=0$} ist die Spannung \mbox{$u=0$}. Der
Strom hat hier seinen tiefsten Wert im negativen Bereich. An den Stellen, wo
der Strom \mbox{$i=0$} wird, haben wir die größte Spannung (im positiven oder
im negativen Bereich).\\

Oben haben wir den Wechselstromwiderstand der Induktivität als festen (also
nicht zeitabhängigen) Wert $X_L$ angegeben. Wenn wir diese Formel
\[X_L=\cfrac{U}{I}\]
für die Definition des Wechselstromwiderstandes verwenden, müssen daher $U$ und
$I$ zeit\textbf{un}abhängige Größen sein. Meist verwendet man hier die
Effektivwerte, mit den Scheitelwerten geht es aber auch. Das sind die Werte,
die uns einfache Strom- und Spannungsmessgeräte anzeigen.

\newpage
\subsection{Wechselstromwiderstand einer Kapazität}
Wenn wir von einer Kapazität reden, dann meinen wir einen \textbf{idealen
Kondensator}. Wie Spulen können auch Kondensatoren ohmsche Anteile am
Widerstand haben. Um die Betrachtungen einfach zu halten, gehen wir auch hier
von einer idealen Größe aus. Die Rechenformel für den Kapatitiven
Wechselstromwiderstand $X_C$ einer Kapatität lautet:
\[X_C=\cfrac{1}{\omega \cdot C}\]

\begin{wrapfigure}{r}{10.5cm}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-2,-4)(25,15)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,1)(25,1)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,6)
  \rput[rC](-0.3,5.5){$i$}
  \rput[Cb](24.5,0){$t$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,11)(25,11)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,15)
  \rput[rC](-0.3,14.5){$u$}
  \rput[Cb](24.5,10){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 3.5 mul 11 add}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos 4 mul 1 add}
 \end{pspicture}
 \caption{\emph{Spannungs- und Stromverlauf in der Kapatität}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist der zeitliche Verlauf von Spannung und Strom in einer
Kapatität dargestellt.\\

Auf den ersten Blick sieht alles genauso aus, wie bei einer Induktivität. Sieht
man aber genauer hin, dann kann man erkennen, dass hier die Stromkurve nach
\textbf{links} verschoben ist und nicht nach rechts, wie bei einer
Induktivität. Man kann auch sagen, die Stromkurve bei der Kapatität ist im
Vergleich zur Stromkurve bei der Induktivität vertikal gespiegelt, hat also
genau die entgegengesetzte Polarität. Beide Aussagen sind richtig.\\

\subsection{Zusammenfassung}
Wenn wir daran denken, dass in den vorstehend dargestellten Linien-Diagrammen
die waagerechte Achse immer die Zeitachse war, dann kann man bei der
Induktivität erkennen, dass der Strom immer etwas "`verspätet"' der
Spannungskurve folgt. So haben wir beispielsweise das erste Maximum bei der
Spannungskurve nach 3 Einheiten auf der Zeitachse, das Strommaximum aber erst
nach 6 Einheiten. Man sagt:"`Der Strom eilt der Spannung nach."' Dazu gibt es
auch einen Merksatz, der sich sogar reimt:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Bei Induktivitäten}\quad
\fcolorbox{red}{yellow}{die Ströme sich verspäten.}
\end{center}

\enlargethispage{10mm}
Bei Kapatitäten ist es genau umgekehrt. Hier eilt der Strom der Spannung
voraus. Auch dazu gibt es einen Merkspruch. Der reimt sich allerdings nur dann,
wenn man den Begriff \emph{Kondensator} falsch betont, nämlich auf der letzten
Silbe:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Beim Kondensator}\quad
\fcolorbox{red}{yellow}{der Strom eilt vor.}
\end{center}

\newpage
\section{Blindleistung und Scheinleistung}
\label{blindleistung}
Zunächst muss der Begriff \textbf{Wirkleistung} erklärt werden. Ein Ohmscher
Widerstand nimmt Wirkleistung auf. Das bedeutet, er wandelt die elektrische
Leistung nach der Formel \mbox{$P=U \cdot I$} in eine andere Leistung um,
nämlich im \textbf{Wärmeleistung}. Auch ein Motor nimmt Wirkleistung auf, die
er allerdings in \textbf{mechanische} Leistung umwandelt.\\

\subsection{Blindleistung}
\label{blindleistung}
Eine Induktivität oder eine Kapatität nimmt \textbf{keine} Wirkleistung auf,
beide werden nicht erwärmt. Hier spricht man von \textbf{Blindleistung}. Um zu
verstehen, was damit gemeint ist, betrachten wir noch einmal die
Liniendiagramme von Spannung und Strom an einer Induktivität.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10.5cm}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-2,-4)(25,15)
 \psline*[linecolor=yellow](-2,-6)(-2,15)(0,15)(0,-6)(-2,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](6,-6)(6,15)(3,15)(3,-6)(6,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](12,-6)(12,15)(9,15)(9,-6)(12,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](18,-6)(18,15)(15,15)(15,-6)(18,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](24,-6)(24,15)(21,15)(21,-6)(24,-6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,1)(25,1)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-6)(0,6)
  \rput[rC](-0.3,5.5){$i$}
  \rput[Cb](24.5,0){$t$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,11)(25,11)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,15)
  \rput[rC](-0.3,14.5){$u$}
  \rput[Cb](24.5,10){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 3.5 mul 11 add}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos -4 mul 1 add}
 \end{pspicture}
 \caption{\emph{Leistungsaufnahme und -abgabe an der Induktivität}}
\end{wrapfigure}
Man kann feststellen, dass bei Spannung und Strom nur die Hälfte der Zeit die
Vorzeichen \textbf{übereinstimmen}. Während diesen (kurzen) Zeitspannen
entnimmt die Induktivität tatsächlich Leistung aus dem Netz und baut damit ein
Magnetfeld auf, wandelt sie also in magnetische Energie um. Diese
Zeitspannen sind nebenstehend gelb markiert. Die andere Hälfte der Zeit sind
die Polaritäten von Spannung und Strom \textbf{unterschiedlich}. Das bedeutet,
dass die Induktivität in dieser Zeitspanne ihre gespeicherte magnetische
Energie wieder ins Netz zurückspeist. Sie gibt dann Leistung ab. Die abgegebene
Leistung ist identisch mit der zuvor aufgenommenen Leistung, im Mittel wird
also keine Leistung aufgenommen. Eine Leistung, die ständig zwischen Erzeuger
und Verbraucher hin- und herpendelt, nennt man \textbf{Blindleistung},
Formelzeichen \textbf{\emph{Q}}. Sie ist nicht nutzbar, belastet aber das
Stromnetz. Logischerweise mögen die Versorgungsunternehmen das nicht, denn
Blindleistung wird vom normalen Zähler nicht erfasst.\\

\enlargethispage{5mm}
Man kann diesen Effekt vergleichen mit einem Versandhändler, der seine Ware
ständig vom Kunden zurückgeschickt bekommt. Das mag der auch nicht, denn er
muss ja für beide Wege Portokosten bezahlen.\\

Eben habe ich \textbf{Induktive Blindleistung} vorgestellt. Aber auch beim
Kondensator gibt es zwischen Strom und Spannung eine Phasenverschiebung, nur
eben in der anderen Richtung, als bei einer Induktivität. Das Liniendiagramm
hätte dann die nachfolgende Form.\\

\begin{wrapfigure}{r}{10cm}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-2,-6)(25,15)
 \psline*[linecolor=yellow](0,-6)(0,15)(3,15)(3,-6)(0,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](6,-6)(6,15)(9,15)(9,-6)(6,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](12,-6)(12,15)(15,15)(15,-6)(12,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](18,-6)(18,15)(21,15)(21,-6)(18,-6)
 \psline*[linecolor=yellow](24,-6)(24,15)(25,15)(25,-6)(24,-6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1,xunit=1]
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,0)(25,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-6)(0,6)
  \rput[rC](-0.3,5.5){$i$}
  \rput[Cb](24.5,-0.9){$t$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-2,11)(25,11)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,15)
  \rput[rC](-0.3,14.5){$u$}
  \rput[Cb](24.5,10.1){$t$}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul sin 3.5 mul 11 add}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{25}{x 30 mul cos 4 mul}
 \end{pspicture}
 \caption{\emph{Leistungsaufnahme und -abgabe an der Kapatität}}
\end{wrapfigure}
Auch hier hat der Strom manchmal die gleiche und manchmal die entgegengesetze
Polarität wie die Spannung. Die Zeitbereiche mit gleicher Polarität wurden auch
hier mit gelber Farbe unterlegt Das sind die Zeitbereiche, in denen der
Kondensator aufgeladen wird. Weiß unterlegt sind die Zeitbereiche, in denen der
Kondensator wieder entladen wird, seine gespeicherte Energie also wieder
abgibt.\\

Vergleicht man das Diagramm mit dem einer Induktivität, dann kann man erkennen,
dass die Zeitbereiche, in denen eine Induktivität Leistung \textbf{aufnimmt},
identisch sind mit den Zeitbereichen, in denen ein Kondensator Leistung
\textbf{abgibt}. Vergleicht man nur die Stromkurven miteinander, dann sieht
man, dass die genau \textbf{gegensinnig} gepolt sind.\\

Dieses Verhalten verwendet man, der Blindleistung ein \textbf{Vorzeichen} zu
geben. Man definiert \textbf{Induktive} Blindleistung als \textbf{positive}
Blindleistung und \textbf{Kapatitive} Blindleistung als \textbf{negative}
Blindleistung.\\

\enlargethispage{5mm}
\subsection{Scheinleistung}
\label{scheinleistung}
Eben haben wir bei Induktivitäten und Kapatitäten \textbf{reine} Blindleistung
kennen gelernt. In der Mehrzahl aller Anwendungen haben aber nicht diese reine
Blindleistung. Bei realen Spulen und Kondensatoren, aber auch bei gemischten
Schaltungen, in denen auch Ohmsche Widerstände mit enthalten sind, haben wir
eine Mischung aus Wirk- und Blindleistung. Die Phasenverschiebung ist dann
kleiner als bei einer reinen Induktivität oder Kapatität. Wenn man keine genaue
Aussage über die Phasenverschiebung machen kann oder will, dann spricht man von
\textbf{Scheinleistung}, Formelzeichen \textbf{\emph{S}}. Etwas anders
ausgedrückt: Immer dann, wenn man nicht genau weiß, was vorliegt, spricht man
vorsichtshalber von \textbf{Scheinleistung}. Da das der Oberbegriff ist, ist
das immer richtig.\\

Die Formel zur Berechnung der Scheinleistung lautet:
\[S=U \cdot I\]

\section{Zeigerbilder}
Die zuvor dargstellten Liniendiagramme mit sinusförmigen Kurven für Spannung
und Strom haben sich für die praktische Arbeit als wenig zweckmäßig erwiesen.\\

Ein ungemein praktisches Werkzeug für Berechnungen mit Blind- und
Wirkwiderständen ist die \textbf{Koplexe Rechnung}\footnote{Die
Grundlagen zu Kom\-ple\-xen Rechnung sind hier zu finden:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/komplgl.pdf} \fi} mit
Imaginären und Reellen Zahlen. Wie Wechselstromtechnik mit der Komplexen
Rechnung aussieht, kann man hier im Kapitel 3 nachlesen:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf} \fi
\end{center}

Dieses Skript soll sich jedoch nicht auf Techniker- oder gar Hochschulniveau
bewegen, ich spreche hier den "`einfachen"' Berufsschüler an. Da bieten sich
Zeigerbilder an.\footnote{Zugegeben, die Zeigerbilder stammen eigentlich aus
der Komplexen Rechnung, für das Verständnis reichen Zeigerbilder aber auch ohne
den mathematischen Überbau aus.} Man bekommt so mehr Anschaulichkeit ohne
lästige komplizierte Mathematik. Ein Nachteil ist leider, dass ohne Komplexe
Rechnung die Kirchhoffschen Regeln nicht mehr gelten und daher in der
Wechselstromtechnik spezielle Formeln verwendet werden müssen.\\

\subsection{Zeigerbilder grundlegender Bauelemente}
Nachfolgend ist ein Liniendiagramm mit Spannung und Strom an einer Induktivität
dargestellt. Hier habe ich anders als zuvor beide Größen im \textbf{selben}
Diagramm dargestellt, die Spannung in \textcolor{blue}{blauer} Farbe, den Strom
in \textcolor{red}{roter}.

\begin{center}
 \psset{xunit=3.8mm,yunit=3.8mm}
 \begin{pspicture}(-12,-5)(25,5)
  \psline[linecolor=black!30](3,-5)(3,5)
  \psline[linecolor=black!30](6,-5)(6,5)
  \psline[linecolor=black!30](9,-5)(9,5)
  \psline[linecolor=black!30](12,-5)(12,5)
  \psline[linecolor=black!30](15,-5)(15,5)
  \psline[linecolor=black!30](18,-5)(18,5)
  \psline[linecolor=black!30](21,-5)(21,5)
  \psline[linecolor=black!30](24,-5)(24,5)
  \psline[linecolor=black!30](-10,4)(25,4)
  \psline[linecolor=black!30](-10,-4)(25,-4)
  \psline[linecolor=black!30](-10,3)(25,3)
  \psline[linecolor=black!30](-10,-3)(25,-3)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(-12,0)(25,0)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-5)(0,5)
  \psline[linewidth=1.5pt](-6,5)(-6,-5)
  \qdisk(-6,0){3pt}
  \rput[rC](-0.3,4.5){\textcolor{red}{$i$}}
  \rput[Cb](24.5,-1){$t$}
  \rput[rC](-0.8,4.5){\textcolor{blue}{$u$}}
  \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(-6,0){1.8}{0}{360}
  \psarc*[linecolor=blue]{-}(-2,0){0.1}{0}{360}
  \psarc*[linecolor=red]{-}(-6,-3){0.1}{0}{360}
  \psarc[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0){0.6}{-20}{70}
  \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{25}{x 30 mul sin 4 mul}
  \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{25}{x 30 mul cos -3 mul}
 \end{pspicture}
\end{center}
Wir kommen nun zu folgendem Gedankenmodell:\\

Links vom Liniendiagramm befindet sich eine runde Holz-Scheibe. Diese ist drehbar um
den Mittelpunkt befestigt. Sie dreht sich im \textbf{Gegenuhrzeigersinn}, wie
mit dem Pfeil angedeutet. Auf der Scheibe ist ein \textcolor{blue}{blauer} und
ein \textcolor{red}{roter} Nagel eingeschlagen. Der \textcolor{blue}{blaue
Nagel} steht für die Spannung, der \textcolor{red}{rote Nagel} für den Strom.\\

Stellen wir uns weiterhin vor, wir haben in der mit \textcolor{blue}{$u$} und
\textcolor{red}{$i$} bezeichneten senkrechten Achse eine Projektionsleinwand
aufgestellt und beleuchten das Ganze mit einer Lichtquelle von weit weg links.
Die beiden Nägel werfen jeweils einen Schatten auf diese Leinwand. In der
dargestellten Position der Scheibe befinden sich die beiden Schatten genau an
den Stellen, wo die Spannungs- und die Stromlinie an der vertikalen Achse
starten, also beim Zeitpunkt $t=0$.\\

Wir drehen nun die Scheibe ein Stück in die angegebene Richtung. Betrachten wir
zunächst den Schatten des \textcolor{blue}{blauen} Spannungs-Nagels. Der bewegt
sich mit der Drehung der Scheibe nach oben und erreicht nach einem Drehwinkel
von 90$^\circ$ seine höchste Position. Im Liniendiagramm gehört dazu ein
zeitlicher Verlauf entlang der $t$-Achse bis zum ersten senkrechten
Teilstrich.\\

Dem Schatten des \textcolor{blue}{blauen} Nagels folgt der Schatten des
\textcolor{red}{roten} Nagels. Nach einem Drehwinkel von 90$^\circ$ ist dieser
an der Nulllinie angekommen. Man sieht, dass der Strom der Spannung
\textbf{nacheilt}, wie sich das für eine Induktivität gehört. So haben wir es
jedenfalls gelernt. Drehen wir die Scheibe noch ein Stück weiter, dann bewegt
sich der Spannungsschatten schon wieder nach unten, während der Stromschatten
noch weiter nach oben bis zu seinem Maximalwert läuft.\\

Wir haben gesehen, dass man den veränderlichen Strom und die veränderliche
Spannung durch zwei Nägel auf einer runden Scheibe repräsentieren kann. Auf der
Scheibe kann man mit dem Winkelmesser einen Winkel von 90$^\circ$ erkennen, den
der Strom der Spannung nacheilt. Im Gedankenexperiment setzen wir uns nun mit
auf die Scheibe und rotieren mit. Dabei blenden wir natürlich aus, dass wir bei
50 Umdrehungen pro Sekunde (für $f=50$Hz) eventuell schwindelig werden. Wir
legen unser Bezugssystem auf die Scheibe und lassen es einfach mitrotieren.\\

\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-0.2,-4.5)(5.1,0.6)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,-4)
  \uput[-90](3.5,0){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  \uput[0](0,-2.5){\textcolor{red}{$\b I$}}
\end{pspicture}
\caption{\emph{Zeigerbild einer Induktivität}}
\end{wrapfigure}
Wenn wir uns das vorstellen können, dann kommen wir für unseren Zusammenhang
zwischen Spannung und Strom zu einem einfachen Modell. Wir können die beiden
Größen $U$ und $I$ als sogenannte \textbf{Zeiger} darstellen. Um sie als
\emph{Zeigergrößen} zu kennzeichnen, bekommen die Formelzeichen einen
Unterstrich, also $\b U$ und $\b I$. Der jeweilige Zeiger wird einfach vom
Mittelpunkt der Scheibe bis zum jeweiligen Nagel als Pfeil eingezeichnet.\\

\enlargethispage{15mm}
Im Zeigerbild können wir genau darstellen, wieviele Winkelgrad der
Phasenunterschied zwischen Spannung und Strom ist. Wir können auch sehen, ob
der Strom nach- oder vorauseilt. Man muss dabei immer nur an die Drehrichtung
im Gegenuhrzeigersinn denken. Im hier dargestellten Zeigerbild einer
Induktivität haben wir ein Nacheilen des Stromes um 90$^\circ$ gegenüber der
Spannung.\\

In welcher Lage man die Zeiger einzeichnet, spielt keine Rolle. Wichtig ist nur
der Winkel zwischen den beiden Zeigern in der richtigen Orientierung.
Nachfolgend sind mehrere Zeigerbilder der selben Induktivität in
unterschiedlicher Orientierung dargestellt.

\begin{center}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5.6)(24.9,0.6)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(5,0)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,-4)
  \uput[-90](3.5,0){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  \uput[0](0,-2.5){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(10,-5)
  \uput[0](6,-2){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  \uput[90](8.5,-5){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(17,-5)(12,-5)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(17,-5)(17,-1)
  \uput[90](14,-5){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  \uput[180](17,-3){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(22,-4)(18.5,-0.5)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(22,-4)(24.8,-1.2)
  \uput[45](20,-2.5){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  \uput[135](23.5,-2.7){\textcolor{red}{$\b I$}}
\end{pspicture}
\end{center}
In allen Zeigerdiagrammen sind Strom- und Spannungszeiger jeweils gleich lang,
in allen Zeigerbildern eilt der Strom der Spannung um 90$^\circ$ nach. Deshalb
handelt es sich unzweifelhaft um die selbe Induktivität. Die Bedingung, die
dazu erfüllt sein muss, lautet hierbei, dass für alle Zeigerdiagramme sowohl
für die Spannungs- als auch die Stromzeiger jeweils der selbe Maßstab verwendet
wurde, etwa so: 10\,V$\hat =$1\,cm und 2\,A$\hat =$1\,cm.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.8,-5.1)(11.1,-0.9)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(6,-1)
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[0](6,-2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  \uput[90](8.5,-5){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Sehen Sie sich jetzt bitte das nebenstehende Zeigerbild genau an. Handelt es
sich hierbei ebenfalls um das Zeigerbild einer Induktivität?\\

Es ist klar zu erkennen, dass zwischen dem Spannungs- und dem Stromzeiger ein
90$^\circ$-Winkel liegt. Das könnte auf eine Induktivität hindeuten. Beim
genaueren Hinsehen sollten Sie aber bemerken, dass hier der Stromzeiger dem
Spannungszeiger \textbf{vorauseilt}. Das ist das Merkmal einer Kapatität.
Denken Sie dabei immer an den Gegenuhrzeigersinn der Drehbewegung.\\

Nehmen wir nun an, dass beide Zeiger parallel in die gleiche Richtung zeigen.
(Dazu habe ich kein Bild erstellt.) Um welches Bauelement handelt es sich
dann?\\

Wir haben gelernt, dass nur an einem \textbf{Ohmschen Widerstand} Spannung und
Strom in Phase sind, also keine Phasenverschiebung vorliegt.\\

Fassen wir zusammen:\\

\begin{tabular}{|rcl|}
\hline
Induktivität: &$\Leftrightarrow$& Strom eilt 90$^\circ$ nach.\\
Kapatität: &$\Leftrightarrow$& Strom eilt 90$^\circ$ voraus.\\
Ohmscher Widerstand: &$\Leftrightarrow$& Keine Phasenveschiebung zwischen
Spannung und Strom.\\
\hline
\end{tabular}

\newpage
\subsection{Zeigerbilder von einfachen Reihenschaltungen}
\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(6.5,5.5)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(5,4){C}
   \pnode(5,0){D}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_0$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \coil[labeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,
     tensionlabel=$U_L$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$L$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
     tensionlabel=$U_R$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$R$}
   \wire(A)(B)
   \wire(B)(D)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{R-L-Reihenschaltung}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Reihenschaltung aus einer Induktivität und
einem Ohmschen Widerstand -- auch Wirkwiderstand genannt -- dargestellt. Die
Teilspannungen sind mit $U_L$ und $U_R$ bezeichnet, die Gesamtspannung heißt
$U_0$. Da der Strom überall \textbf{gleich} ist, heißt er schlicht $I$.\\

\label{reihe}
Ich möchte ein Zeigerbild zu dieser Schaltung erstellen. Wie wir gelernt haben,
haben wir an der Induktivität eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und
Strom von 90$^\circ$ und am Ohmschen Widerstand \textbf{keine}
Phasenverschiebung.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,-3.5)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](8.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Um ein Gesamt-Zeigerbild erstellen zu können, ist es
sinnvoll, sich zunächst für die Festlegung der Richtungen eine Größe als
Bezugsgröße zu suchen, die überall vorkommt. Nach Kirchhoff ist das in der
Reihenschaltung bekanntlich der \textbf{Strom}. Der ist überall gleich. Zu
diesem Strom zeichne ich zunächst einen Stromzeiger nach rechts. An diesem
Zeiger müssen sich dann alle Spannungszeiger orientieren. Es ist
empfehlenswert (aber nicht notwendig), wenn man immer den Zeiger, an dem sich
alles andere orientieren soll, nach \textbf{rechts} einzeichnet.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend sind nun auch die Zeiger $\b U_L$ und $\b U_R$ mit eingezeichnet.
Das Ganze ist zunächst nur eine \textbf{Planskizze}, denn wir wissen ja nicht,
welche Länge die Zeiger haben müssen. Wir wissen nur, dass die Zeiger für  $\b
U_R$ und $\b I$ \textbf{parallel} verlaufen müssen, und dass wir zwischen den
Zeigern für $\b U_L$ und $\b I$ einen \textbf{Rechten Winkel} haben, wobei der
Zeiger $\b I$ dem Zeiger $\b U_R$ \textbf{nacheilt}. Das ist in der
nebenstehenden Skizze so berücksichtigt.\\

Was noch fehlt ist der Zeiger für $\b U_0$. Dazu muss man wissen, wie man
Zeigergrößen addieren kann. Nach Kirchhoff ist ja in einer Reihenschaltung die
Gesamtspannung die Summe der Teilspannungen.\\

Man darf Zeiger beliebig hin und her verschieben. Dabei muss nur die
\textbf{Richtung erhalten bleiben}. Zum Addieren legt man die Zeiger so
aneinander, dass am Ende (an der Pfeilspitze) des ersten Zeigers der Anfang des
zweiten Zeigers angelegt wird. Der Zeiger, der zur Summe gehört, beginnt dann
am Anfang des ersten Zeigers und endet am Ende des zweiten Zeigers.

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8.5,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{->}(9.9,-5)(9.9,0)
  \uput[0](9.7,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,0)
  \uput[135](8.6,-2){\textcolor{blue}{$\b U_0$}}
  %-----------------
  \psarc[linewidth=1pt]{->}(6,-5){0.95}{0}{55}
  \uput{0.4}[30](6,-5){$\varphi$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
In nebenstehendem Zeigerbild wurde der Zeiger $\b U_L$ nach rechts ans Ende des
Zeigers $\b U_R$ verschoben. Er ist gestrichelt eingezeichnet. Der Zeiger
$\b U_0$ ergibt sich dann als die Diagonale, am Anfang von $\b U_R$ beginnend
und am Ende des verschobenen Zeigers von $\b U_L$ endend.\\

An dem so entstandenen Zeigerbild kann man erkennen, dass wir nun einen
Phasenverschiebungswinkel zwischen den Zeigern $\b U_0$ und $\b I$ erhalten
haben, der weder 0$^\circ$ noch 90$^\circ$ beträgt, sondern irgendetwas
dazwischen. Dieser Phasenverschiebungswinkel ist hier mit $\varphi$ bezeichnet
und eingetragen worden.\\

Kommen wir nun zu der Frage, wie man hier rechentechnisch weiter kommt. Wie
bereits erwähnt, gelten die Kirchhoffschen Regeln nur dann, wenn man mit
Komplexen Zahlen arbeitet. Da ich in diesem Skript den mathematischen Anteil
gering halten möchte, kommt das Rechnen mit diesen Komplexen Zahlen hier nicht
in Frage. Was man stattdessen tun kann, möchte ich zunächst am Beispiel der
vorgestellten Reihenschaltung aus einem Ohmschen Widerstand und einer
Induktivität zeigen.\\

Betrachten wir die drei Spannungszeiger $\b U_R$, $\b U_L$ und $\b U_0$. Sie
bilden ein Rechtwinkliges Dreieck. Hier gilt also der Satz des Pythagoras. Für
die Spannungswerte gilt daher:
\[U_R^2+U_L^2=U_0^2\]

Das erinnert doch sehr an die Kirchhoffsche Spannungsregel für die
Reihenschaltung:
\[U_1+U_2=U_{ges}\]

Anders ausgedrückt: Wenn die zugehörigen Zeiger zwischen $U_1$ und $U_2$ einen
Rechten Winkel bilden, müssen wir nur alle Größen quadrieren.\\

\subsubsection{Widerstandszeiger}
Wir erinnern uns auch an die Kirchhoffsche Regel aus der Gleichstromtechnik,
die den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung angibt:
\[R_1+R_2=R_{ges}\]

Das möchte ich nun entsprechend auf Wechselstromwiderstände übertragen. Wir
erinnern uns an die drei Begriffe zu Leistungen (siehe auch
Seite~\pageref{blindleistung} bis Seite~\pageref{scheinleistung}):
\begin{itemize}
\item Wirkleistung
\item Blindleistung
\item Scheinleistung
\end{itemize}

\newpage
Analog dazu gibt es auch die entsprechenden Begriffe für Widerstände:
\begin{itemize}
\item Wirkwiderstände
\item Blindwiderstände
\item Scheinwiderstände
\end{itemize}

\textbf{Wirkwiderstände} sind uns als Ohmsche Widerstände mit dem Formelzeichen
$R$ bekannt. Sie nehmen \emph{Wirkleistung} auf.\\

\textbf{Blindwiderstände} haben wir ab Seite~\pageref{blindwiderstand} als
"`Wechselstromwiderstände"' kennen gelernt. Als Formelzeichen verwendet man das
$X$. Je nachdem, ob wir einen \textbf{Induktiven} oder einen
\textbf{Kapatitiven} Blindwiderstand haben, kennzeichnen wir das durch einen
Index, also $X_L$ für Induktive und $X_C$ für Kapatitive Blindwiderstände.
Die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom beträgt dabei
\mbox{$\varphi= \pm 90^\circ$}. Blindwiderstände nehmen keine Wirkleistung,
sondern ausschließlich Blindleistung auf. Was das bedeutet, können Sie auf
Seite~\pageref{blindleistung} nachlesen.\\

Haben wir einen Phasenverschiebungswinkel unbekannter Größe, dann sprechen wir
analog zur Scheinleistung $S$ von einem \textbf{Scheinwiderstand}. Das
zugehörige Formelzeichen ist das $Z$. Scheinwiderstände können sowohl Wirk- als
auch Scheinleistung aufnehmen.\\

Vorhin haben wir die angepasste Kirchhoffsche Spanungsregel für die
Reihenschaltung kennen gelernt:
\[U_R^2+U_L^2=U_0\]

Weil der Strom $I$ in der Reihenschaltung bekanntlich überall gleich groß ist,
können wir die Gleichung mit dem Quadrat des Stromes $I^2$ multiplizieren.
Wir erhalten dann eine Formel für Wirk- Blind- und Scheinwiderstand der
Reihenscheltung. Das sieht wie folgt aus:
\[\begin{array}{rcll}
U_R^2+U_L^2&=&U_0 &| \cdot I^2 \\
\cfrac{U_R^2}{I^2}+\cfrac{U_L^2}{I^2}&=&\cfrac{U_0^2}{I^2}\\
\left( \cfrac{U_R}{I}\right)^2+\left( \cfrac{U_L}{I}\right)^2
 &=&\left( \cfrac{U_0}{I}\right)^2 \\
\end{array}\]

Es ist nun:
\[\cfrac{U_R}{I}=R \qquad \cfrac{U_L}{I}=X_L \qquad \cfrac{U_0}{I}=Z\]

Setzen wir das ein, erhalten wir:
\[R^2+X_L^2=Z^2\]

\underline{Anmerkung:} Wer diese Rechenoperationen jetzt nicht verstanden hat,
kann aber dennoch  ohne weiteres mit dem Ergebnis arbeiten.

\newpage
\label{reihe2}
Ähnlich einem Zeigerdiagramm mit Spannungen können wir auch ein Zeigerdiagramm
mit Widerständen zeichnen. Nachfolgend wird dies dargestellt.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{black}{$\b X_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8.5,-5.1){\textcolor{black}{$\b R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed]{->}(9.9,-5)(9.9,0)
  \uput[0](9.7,-2.4){\textcolor{black}{$\b X_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,0)
  \uput[135](8.6,-2){\textcolor{black}{$\b Z$}}
  %-----------------
  \psarc[linewidth=1pt]{->}(6,-5){0.95}{0}{55}
  \uput{0.4}[30](6,-5){$\varphi$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Da der Strom in allen Widerständen (wegen der
Reihenschaltung) der selbe ist, wird dieser wieder als Bezugsgröße in
waagerechter Richtung nach rechts mit eingezeichnet.\\

Es ist leicht zu erkennen, dass das Widerstandszeigerdiagramm genauso aussieht,
wie das Spannungszeigerdiagramm. Lediglich die Zeiger haben andere Namen
bekommen.\\

Weil der Blindwiderstand natürlich auch kapazitiv sein kann, kann man die
Formel durch Weglassen des Index bei $X$ verallgemeinern. Für $X$ kann also
sowohl ein $X_L$ als auch ein $X_C$ stehen. Wir erhalten damit diese Formel:
\begin{center} \fcolorbox{red}{yellow}{$R^2+X^2=Z^2$}\end{center}

\underline{Anmerkung:}
Bei realen passiven zweipoligen Bauelementen liegt die mögliche
Phasenverschiebung \textbf{immer} im Bereich zwischen +90$^\circ$ und
$-90^\circ$.

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{5.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(6.5,5.5)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(5,4){C}
   \pnode(5,0){D}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_0$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \coil[labeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,
     tensionlabel=$U_L$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$L$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
     tensionlabel=$U_R$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$R$}
   \wire(A)(B)
   \wire(B)(D)
 \end{pspicture}
%\caption{\emph{R-L-Reihenschaltung}}
\end{wrapfigure}
Als Beispiel möchte ich die weiter vorne schon angegebene Schaltung mit
nachfolgenden Werten durchrechnen. Damit wir diese vor Augen haben, zeige ich
sie hier nebenstehend noch einmal.
\[U_0=10\,\textnormal{V} \quad R=80\,\Omega \quad L=60\,\textnormal{mH}\quad
 \omega =1\,000\,\textnormal{s}^{-1} \]

Zunächst bestimme ich den Blindwiderstand der In\-duk\-ti\-vi\-tät.
\[X_L= \omega L=1\,000\,\textnormal{s}^{-1} \cdot 60\,\textnormal{mH}
  =60\,\Omega \]

Damit können $R$ und $X_L$ zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden.
Den Ersatzwiderstand aus $X_L$ und $R$ in der oben dargestellten Schaltung muss
ich $Z$ nennen, weil die Phasenverschiebung ja beliebig sein kann.
Da $X_L$ und $R$ in Reihe geschaltet sind, kommt die Reihenschaltungsformel von
Kirchhoff zur Anwendung. Es ist jedoch zu beachten, dass hier die eben
vorgestellte Wechselstromformel verwendet werden muss.

\[\begin{array}{rcll}
Z^2&=&R^2+X_L^2 &|\sqrt{\ } \\
Z&=&\sqrt{R^2+X_L^2}\\
Z&=&\sqrt{(80\,\Omega )^2+(60\,\Omega )^2}\\
Z&=&100\,\Omega \\
\end{array}\]

Mit diesem Wert kann jetzt der Strom $I$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
I&=&\cfrac{Z_0}{Z}\\
&=&\cfrac{10\,\textnormal{V}}{100\,\Omega}\\
I&=&100\,\textnormal{mA}\\
\end{array}\]

Wenn wir die Teilspannungen $U_R$ und $U_L$ berechnen wollen, können wir das
jeweils ganz einfach mit dem Ohmschen Gesetz machen. Beginnen wir mit $U_R$.
\[\begin{array}{rcll}
U_R&=&R \cdot I \\
&=&80\,\Omega \cdot 100\,\textnormal{mA}\\
U_R&=&8\,\textnormal{V}\\
\end{array}\]

Auch an $X_L$ gilt das Ohmsche Gesetz.
\[\begin{array}{rcll}
U_L&=&X_L \cdot I \\
&=&60\,\Omega \cdot 100\,\textnormal{mA}\\
U_L&=&6\,\textnormal{V}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Leistungszeiger}
Zum Schluss können wir noch  die Wirkleistung, die Blindleistung und die
Scheinleistung berechnen, die die Schaltung aufnimmt.\\

\underline{Anmerkung:} Damit Wirk-, Blind- und Scheinleistung besser
voneinander zu unterscheiden sind, hat man festgelegt, dass die zugehörige
Einheit jeweils anders geschrieben wird. Das Produkt Volt mal Ampere wird ja
bekanntlich Watt genannt. Es gilt also $1\,\textnormal{VA}=1\,\textnormal{W}$.
Man hat nun festgelegt, dass Wirkleistung immer mit der Einheit W und
Scheinleistung mit der Einheit VA angegeben wird. Um es noch ein wenig
komplizierter zu machen, verwendet man für Blindleistung die Einheit var.
Gesprochen wird das:"`Volt Ampere reaktiv"'. Diese unterschiedlichen
Bezeichnungsweisen ändern aber nichts daran, dass alle drei Leistungen das
Produkt aus Spannung und Strom sind.\\


Kommen wir nun zu den Berechnungen dieser drei Leistungen in unserer Schaltung.
Die Wirkleistung tritt ausschließlich an $R$ auf. Wir können sie beispielsweise
mit Hilfe der bekannten Leistungsformel \mbox{$P=U \cdot I$} berechnen. Dabei
müssen wir natürlich die Spannung $U_R$ am Widerstand $R$ verwenden.
\[P=U_R \cdot I=8\,\textnormal{V} \cdot 100\,\textnormal{mA}=8\,\textnormal{W}\]

Entsprechend tritt die Blindleistung nur an $L$ auf. Sinngemäß gilt die geiche
Formel wie beim Ohmschen Widerstand, nur eben mit den Blindgrößen.
\[Q=U_L \cdot I=6\,\textnormal{V} \cdot 100\,\textnormal{mA}=6\,\textnormal{var}\]

Es folgt die Scheinleistung nach dem selben Schema.
\[S=U_0 \cdot I=10\,\textnormal{V} \cdot 100\,\textnormal{mA}=10\,\textnormal{VA}\]

Ähnlich wie für die verschiedenen Widerstände kann man auch für die Leistungen
in Wechselstromschaltungen eine allgemeingültige Formel aufstellen:
\begin{center} \fcolorbox{red}{yellow}{$P^2+Q^2=S^2$}\end{center}
Wer mag, kann das für unser Rechenbeispiel überprüfen:
\[P^2+Q^2=(8\,\textnormal{W})^2+(6\,\textnormal{var})^2
=64\,\textnormal{W}^2+36\,(\textnormal{var})^2=100\,(\textnormal{VA})^2\]
\[S^2=(10\,\textnormal{VA})^2=100\,(\textnormal{VA})^2\]

\label{leistungszeiger}
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{black}{$\b Q$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(9.9,-5)
  \uput[90](8.5,-5.1){\textcolor{black}{$\b P$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black,linestyle=dashed]{->}(9.9,-5)(9.9,0)
  \uput[0](9.7,-2.4){\textcolor{black}{$\b Q$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(9.9,0)
  \uput[135](8.6,-2){\textcolor{black}{$\b S$}}
  %-----------------
  \psarc[linewidth=1pt]{->}(6,-5){0.95}{0}{55}
  \uput{0.4}[30](6,-5){$\varphi$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist das zugehörige Leistungszeigerdiagramm dargestellt. Dass auch
dieses sehr stark an das Spannungszeigerdiagramm erinnert, ist natürlich kein
Zufall. Auffallen sollte allerdings, dass hier \textbf{kein} Stromzeiger als
Bezugsgröße eingezeichnet ist. Den darf man weglassen, weil das
Leistungszeigerdiagramm \textbf{unabhängig} von der Art der Zusammenschaltung
der Bauelemente ist. Warum das so ist, kann sinnvoll nur mit dem Verständnis
der Komplexen Zahlen erklärt werden.\footnote{Wer mag kann das hier
nachlesen:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf} \fi}
In diesem Skript bitte ich einfach nur darum, das so hinzunehmen.\\

\newpage
\subsubsection{Erweiterte Reihenschaltungen}
\begin{wrapfigure}{r}{7.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,0)(9,4.5)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(3,3){C}
   \pnode(6,3){D}
   \pnode(9,3){E}
   \pnode(9,0){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U_0$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \resistor[labeloffset=-0.7,
     tension,tensioncolor=blue,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.6,
     intensitywidth=2\pslinewidth,tensionoffset=0.5,
     tensionlabel=$U_R$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=0.9,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(C){$R$}
   \coil[labeloffset=-0.7,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,
     tensionlabel=$U_L$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](C)(D){$L$}
   \capacitor[labeloffset=-0.9,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.7,
     tensionlabel=$U_C$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.2,
     tensionwidth=\pslinewidth](D)(E){$C$}
   \psline(A)(B)(F)(E)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{R-L-C-Reihenschaltung}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Reihenschaltung aus Ohmschem Widerstand, einer
In\-duk\-ti\-vi\-tät und ei\-ner Ka\-pa\-zi\-tät dargestellt. Hier teilt sich
die Spannung $U_0$ auf drei Bauelemente auf.\\

Ich möchte mit Ihnen ein Zeigerbild mit Spannungs- und Stromzeigern entwickeln.
Klar ist sicher, dass hier der Stromzeiger $\b I$ die Bezugsgröße für alle
Richtungen ist, denn in der Reihenschaltung ist bekanntlich der Strom überall
gleich.\\

\paragraph{Spannungs- und Stromzeiger}\textcolor{white}{.}\\
\label{ereiheu}
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,-4)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
%  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
%  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Der Stromzeiger $\b I$ wird also nach \textbf{rechts} eingezeichnet. Das gilt
dann natürlich auch für den Spannungszeiger $\b I_R$, denn am Ohmschen
Widerstand gibt es keine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom.\\

In welche Richtung muss dann der Spannungszeiger $\b U_L$ eingezeichnet
werden?\\

\emph{Überlegen Sie zunächst, welche Richtung es sein muss, bevor Sie
weiterblättern.}

\newpage

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Richtig, der Spannungszeiger $\b U_L$ muss nach \textbf{oben} eingetragen
werden, denn der Strom eilt der Spannung an einer Induktivität ja nach. Man
kann auch sagen, die Spannung eilt dem Strom voraus.\\

Das sollte nicht schwierig gewesen sein, das hatten wir ja schon auf
Seite~\pageref{reihe} bei der $R$-$L$-Reihenschaltung. Nun kommt aber auch noch
der Spannungszeiger $\b U_C$ dazu. Überlegen Sie nun, in welche Richtung
dieser Zeiger eingetragen werden muss.\\

\emph{Bitte überlegen Sie erst, welche Richtung es sein muss, bevor Sie
weiterblättern.}
\newpage

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-8.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,0)
  \uput[0](5.9,-2.4){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](8,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-5)(6,-8)
  \uput[0](5.9,-6.4){\textcolor{blue}{$\b U_C$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Vergleichen Sie das nebenstehende Zeigerdiagramm mit Ihrer Lösung. Entspricht
es Ihrer Erwartung?\\

Vermutlich haben Sie ebenfalls den Spannungszeiger $\b U_C$ für die Kapazität
nach unten eingezeichnet, denn der Merkspruch lautet ja:
"`Am Kondensator der Strom eilt vor."'\\

Jetzt wird es schwierig. Als nächstes benötigen wir den Zeiger $\b U_0$ für die
Gesamtspannung $U_0$. Dazu müssen alle drei Spannungszeiger $\b U_R$, $\b U_L$
und $\b U_C$ aneinandergelegt werden. Sie wissen ja, dass die Zeiger verschoben
werden dürfen, solange die Richtung und die Länge dabei erhalten bleibt.\\

Erstellen Sie nun eine Skizze mit diesen verschobenen Zeigern, in die Sie auch
den Zeiger für die Spannung $U_0$ einzeichnen können.\\

\emph{Wenn Sie das gemacht haben, dürfen Sie weiterblättern.}
\newpage
\label{erweitertereihe}
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.5,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](9,-5.1){\textcolor{blue}{$\b U_R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(9.9,-4.9)(9.9,0.1)
  \uput[180](10,-2.2){\textcolor{blue}{$\b U_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(10.1,0.1)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-1.4){\textcolor{blue}{$\b U_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](7,-3.2){\textcolor{blue}{$\b U_0$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Vergleichen Sie nun. Entspricht das nebenstehende Zeigerbild Ihrem Entwurf?\\

In meinem Zeigerbild habe ich mit $\b U_R$ begonnen, denn als erstes fließt der
Strom $I$ durch $R$. Danach fließt er durch $L$. Daher habe ich den Zeiger
$\b U_L$ an die Pfeilspitze von $\b U_R$ gesetzt. An dessen Spitze wiederum
kommt der Zeiger $\b U_C$. Vom Anfang von $\b U_R$ bis zum Ende von $\b U_C$
verläuft dann der Zeiger $\b U_0$ für die Gesamtspannung.\\

\paragraph{Widerstandszeiger}\textcolor{white}{.}\\
Jetzt sollte es auch kein Problem sein, ein Widerstandszeigerdiagramm zu
skizzieren. Stellen Sie dazu eine Skizze auf.\\

\emph{Wenn Sie das getan haben, dürfen Sie weiterblättern.}
\newpage

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.5,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](9,-5.1){\textcolor{black}{$\b R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,-4.9)(9.9,0.1)
  \uput[180](10,-2.2){\textcolor{black}{$\b X_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(10.1,0.1)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-1.4){\textcolor{black}{$\b X_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](7,-3.2){\textcolor{black}{$\b Z$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Ich hoffe, Ihre Skizze sieht so oder so ähnlich aus, wie nebenstehend
dargestellt. Wenn ja, haben Sie das Prinzip verstanden.\\

Das Widerstandszeigerdiagramm sieht genau so auf, wie das
Spannungszeigerdiagramm. Anstelle von $\b U_R$ haben wir hier $\b R$, anstelle
von $\b U_L$ haben wir $\b X_L$ und anstelle von $\b U_C$ haben wir $\b X_C$.
Die Gesamtspannung $\b U_0$ entspricht dem Scheinwiderstand $\b Z$ der gesamten
Schaltung.\\

Wir können das ganze nun auch auf mehr als 3 Bauelemente erweitern. Das Prinzip
bleibt natürlich das gleiche. Es müssen einfach alle Zeiger
hintereinandergelegt werden. Dazu möchte ich aber kein weiteres Zeigerbild
erstellen.\\

Bleibt noch die Frage nach den zugehörigen Rechenformeln. Am Beispiel der
Widerstandszeiger möchte ich die Zusammenhänge hier darstellen. Betrachten wir
dazu das obige Zeigerbild.\\

Man kann gut erkennen, dass die Zeiger von $\b X_L$ und $\b X_C$
\textbf{parallel} verlaufen, aber \textbf{gegensätzliche Richtung} haben. Daher
können wir zunächst beide Blindwiderstände zusammenfassen, indem wir die Werte
voneinander \textbf{subtrahieren}.
\[X=X_L-X_C\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.5,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,-5)(11,-5)
  \uput[90](10.5,-5.2){\textcolor{red}{$\b I$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](9,-5.1){\textcolor{black}{$\b R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,-4.9)(9.9,0.1)
  \uput[180](10,-2.2){\textcolor{black}{$\b X_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(10.1,0.1)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-1.4){\textcolor{black}{$\b X_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](7,-3.2){\textcolor{black}{$\b Z$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=black]{->}(10.1,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-3.6){\textcolor{black}{$\b X$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ist das Ergebnis \textbf{positiv}, stellt $X$ einen \textbf{Induktiven}
Blindwiderstand dar, ist es \textbf{negativ}, dann haben wir einen
\textbf{Kapazitiven} Blindwiderstand.\\

Nebenstehend habe ich den Differenzzeiger $\b X$ gestrichelt mit eingezeichnet.
Dadurch erhalten wir mit $\b R$, $\b X$ und $\b Z$ ein Rechtwinkliges Dreieck,
in dem wieder der Satz des Pythagoras gilt:
\[R^2+X^2=Z^2\]

Anstelle von $X$ können wir natürlich auch die ursprüngliche Differenz wieder
einsetzen und erhalten damit:
\[R^2+(X_L-X_C)^2=Z^2\]

Nach dem gleichen Prinzip erhalten wir auch die Formel für alle
\textbf{Spannungen} in der Reihenschaltung:
\[U_R^2+(U_L-U_C)^2=U_0^2\]

Haben wir mehr als drei Bauelemente, dann fasst man zunächst
\textbf{alle gleichartigen} Bauelemente jeweils durch Addition zusammen, etwa
so:
\[\begin{array}{rcll}
R_{ges}&=&R_1+R_2+\ldots \\
X_{Lges}&=&X_{L1}+X_{L2}+\ldots \\
X_{Cges}&=&X_{C1}+X_{C2}+\ldots \\
\end{array}\]

Dann können wir den Ersatzwiderstand $Z$ der gesamten Reihenschaltung so
bestimmen:
\[R{ges}^2+(X_{Lges}-X_{Cges})^2=Z^2\]

Dabei spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Bauelemente in der
Reihenschaltung angeordnet sind. Sinngemäß gilt das auch für die Spannungen.\\

Kennt man den Strom $I$, dann kann man natürlich jede einzelne Teilspannung
auch mit dem Ohmschen Gesetz und dem jeweiligen Wirk- Blind- oder
Scheinwiderstand berechnen.\\

\paragraph{Leistungszeiger}\textcolor{white}{.}\\
\label{leistungp}
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.5,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](9,-5.1){\textcolor{black}{$\b P$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,-4.9)(9.9,0.1)
  \uput[180](10,-2.2){\textcolor{black}{$\b Q_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(10.1,0.1)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-1.4){\textcolor{black}{$\b Q_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](7,-3.2){\textcolor{black}{$\b S$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=black]{->}(10.1,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-3.6){\textcolor{black}{$\b Q$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Für \textbf{Leistungszeiger} gilt sinngemäß wieder das gleiche, wie für
Spannungs- und Widerstandszeiger. Ein Zeigerbild dazu ist nebenstehend
dargestellt. Auch hier ist die Differenzgröße -- hier \mbox{$Q=Q_L-Q_C$} --
gestrichelt mit eingezeichnet. Der Spannungszeiger als Bezugsgröße kann
wie bereits bei der $R$-$L$-Reihenschaltung beschrieben entfallen. \\

Fasst man alle auftretenden Wirkleistungen und Blindleistungen nach
dem beschriebenen System zusammen, erhält man die nachfolgene Formel zur
Leistungsberechnung:
\[P^2+(Q_L-Q_C)^2=S^2\]

\newpage
\subsection{Zeigerbilder von einfachen Parallelschaltungen}
\begin{wrapfigure}{r}{4.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(4.5,4.2)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2.5,4){C} \qdisk(C){2pt}
   \pnode(2.5,0){D} \qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4){E}
   \pnode(4,0){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \coil[labeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,
     intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](E)(F){$L$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](C)(D){$R$}
   \psline(E)(A)(B)(F)
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_0$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](A)(C)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{R-L-Parallelschaltung}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Parallelschaltung aus einem Ohmschen Widerstand $R$ und
einer Induktivität $L$ dargestellt. Der Strom im Ohmschen Widerstand heißt
$I_R$, in der Induktivität $I_L$ und der Gesamtstrom $I_0$. Da die Spannung in
einer Parallelschaltung überall gleich ist, heißt sie einfach $U$.\\

Ich möchte ein Zeigerbild zu dieser Schaltung erstellen. Wie wir gelernt haben,
haben wir an der Induktivität eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und
Strom von 90$^\circ$ und am Ohmschen Widerstand \textbf{keine}
Phasenverschiebung.\\

Um ein Gesamt-Zeigerbild erstellen zu können, ist es
sinnvoll, sich zunächst für die Festlegung der Richtungen eine Größe als
Bezugsgröße zu suchen, die überall vorkommt. Nach Kirchhoff ist das in der
Parallelschaltung bekanntlich die \textbf{Spannung}. Die ist überall gleich. Zu
dieser Spannung zeichne ich zunächst einen Spannungszeiger nach rechts. An
diesem Zeiger müssen sich dann alle Stromszeiger orientieren. Wir erinnern uns,
dass man immer den Zeiger, an dem sich alles andere orientieren
soll, nach \textbf{rechts} einzeichnet.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1.1)(5.1,4.2)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,4.1)(5,4.1)
  \uput[-90](4.5,4){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,4)(0,-1)
  \uput[0](0,1.5){\textcolor{red}{$\b I_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,4)(4,4)
  \uput[-90](2,4){\textcolor{red}{$\b I_R$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wenn der Spannungszeiger nach rechts zeigt, dann muss der Stromzeiger $\b I_R$
auch nach rechts zeigen, denn am Ohmschen Widerstand gibt es \textbf{keine}
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Beim Stromzeiger $\b I_L$ sieht
das anders aus. Da der Strom der Spannung \textbf{nacheilt}, muss $\b I_L$ nach
\textbf{unten} zeigen. Wir müssen dabei immer an die Drehrichtung im
Gegenuhrzeigersinn denken. Somit ergibt sich ein Zeigerbild, wie es
nebenstehend dargestellt ist.\\

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1.1)(5.1,4.2)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,4.1)(5,4.1)
  \uput[-90](4.5,4){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,4)(0,-1)
  \uput[0](0,1.5){\textcolor{red}{$\b I_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(4,4)(4,-1)
  \uput[0](4,1.5){\textcolor{red}{$\b I_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,4)(4,4)
  \uput[-90](2,4){\textcolor{red}{$\b I_R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(0,4)(4,-1)
  \uput[-135](2.8,1){\textcolor{red}{$\b I_0$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Analog zum Spannungs-Zeigerbild der Reihenschaltung ab Seite~\pageref{reihe2}
können wir hier die \textbf{Stromzeiger} $\b I_R$ und $\b I_L$ addieren, um den
Zeiger für den Gesamtstrom $\b I_0$ zu erhalten. Dazu verschieben wir den
Zeiger $\b I_L$ so nach rechts, dass sein Anfang auf dem Ende des Zeigers $\b
I_R$ zu liegen kommt. Der verschobene Zeiger $\b I_L$ ist hier gestrichelt
dargestellt. Der Stromzeiger für den Gesamtstrom $\b I_0$ verläuft dann vom
Anfang von $\b I_R$ zum Ende des verschobenen Zeigers $\b I_L$.\\

Die drei Zeiger $\b I_R$, $\b I_L$ und $\b I_0$ bilden ein Rechtwinkliges
Dreieck, in dem natürlich der Satz des Pythagoras gilt. Wir erhalten:
\[I_R^2+I_L^2=I_0^2\]

Wir erinnern uns zum Vergleich an die Reihenschaltung von
Seite~\pageref{reihe}. Dort lautete es:
\[U_R^2+U_L^2=U_0^2\]

Was also in der Reihenschaltung die Spannungen waren, sind in der
Parallelschaltung die Ströme.

\subsubsection{Leitwertzeiger}
Gehen wir in der Parallelschaltung von dieser Formel aus:
\[I_R^2+I_L^2=I_0^2\]
Dann können wir ähnlich wie auf Seite~\pageref{reihe2} bei Widerständen durch
Division durch das Quadrat der Spannung $U^2$ (die ja überall gleich groß ist)
eine Formel für Leitwerte herleiten.
\[\begin{array}{rcll}
I_R^2+I_L^2&=&I_0^2 &|:U^2 \\
\left( \cfrac{I_R^2}{U^2} \right)+\left( \cfrac{I_L^2}{U^2} \right)
 &=&\left( \cfrac{I_0^2}{U^2} \right) \\
\left( \cfrac{I_R}{U} \right)^2+\left( \cfrac{I_L}{U} \right)^2
 &=& \left( \cfrac{I_0}{U} \right)^2 \\
G^2+B^2&=&Y^2 \\
\end{array}\]

Hierbei ist $G$ der Wirkleitwert, $B$ der Blindleitwert und $Y$ der
Scheinleitwert. Oder in Formeln ausgedrückt:
\[G=\cfrac{1}{R} \qquad B=\cfrac{1}{X} \qquad Y=\cfrac{1}{Z}\]

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-0.1,-1.1)(5.1,4.2)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(0,4.1)(5,4.1)
  \uput[-90](4.5,4){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,4)(0,-1)
  \uput[0](0,1.5){\textcolor{black}{$\b B$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,4)(4,-1)
  \uput[0](4,1.5){\textcolor{black}{$\b B$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,4)(4,4)
  \uput[-90](2.5,4){\textcolor{black}{$\b G$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,4)(4,-1)
  \uput[-135](2.7,1){\textcolor{black}{$\b Y$}}
  %-----------------
  \psarc[linewidth=1pt]{->}(0,4){0.95}{-53}{0}
  \uput{0.4}[-30](0,4){$\varphi$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Nebenstehend ist das zugehörige Zeigerdiagramm für die Leitwerte dargestellt.
Da die Spannung überall gleich groß ist, ist $\b U$ als Bezugszeiger mit
eingezeichnet.\\

Das Zeigerbild entspricht genau dem Stromzeigerbild der Parallelschaltung.
Vergleicht man es mit dem Widerstandszeigerdiagramm der Reihenschaltung, dann
kann man erkennen, dass dort $\b X$ nach \textbf{oben} verläuft, hier aber
$\b B$ nach unten. Das bedeutet, dass der Blind\textbf{leitwert} $\b B$ einer
Induktivität ein negatives Vorzeichen hat, der Blind\textbf{widerstand} $\b X$
aber ein positives. Das liegt daran, dass hier der Zeiger $\b U$ die
Bezugsgröße ist, bei Reihenschaltungen aber der Zeiger $\b I$.\\

\subsubsection{Leistungszeiger}
Wie schon im Kapitel zur Reihenschaltung auf Seite~\pageref{leistungszeiger}
dargestellt können auch die Leistungen mit einem Zeigerbild dargestellt werden.
Da das für die Parallelschaltung und die Reihenschaltung identisch ist, möchte
ich das hier nicht wiederholen.

\subsubsection{Erweiterte Parallelschaltungen}

\begin{wrapfigure}{r}{5.5cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(6.5,4.2)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2.5,4){C} \qdisk(C){2pt}
   \pnode(2.5,0){D} \qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4){E}  \qdisk(E){2pt}
   \pnode(4,0){F}  \qdisk(F){2pt}
   \pnode(6,4){G}
   \pnode(6,0){H}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \coil[labeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,
     intensitylabel=$I_L$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](E)(F){$L$}
   \resistor[labeloffset=-0.7,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_R$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](C)(D){$R$}
   \psline(G)(A)(B)(H)
   \capacitor[labeloffset=-0.9,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_C$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](G)(H){$C$}
   \wire[intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_0$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5](A)(C)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{R-L-C-Parallelschaltung}}
\end{wrapfigure}
Wie bei Reihenschaltungen können natürlich auch bei Parallelschaltungen mehr
als zwei Bauelemente vorkommen. Nebenstehend ist eine Schaltung mit Ohmschen
Widerstand, einer Induktivität und einer Kapazität dargestellt. Hier teilt sich
der Strom $I_0$ auf $I_R$, $I_L$ und $I_C$ auf. Die Spannung $U$ liegt
logischerweise an jedem Bauelement an.\\

\paragraph{Strom- und Spannungszeiger}\textcolor{white}{.}\\
Ähnlich wie bei der erweiterten Reihenschaltung möchte ich auch hier mit Ihnen
ein Zeigerbild mit Strom- und Spannungszeigern entwickeln. Es ist wohl klar,
dass hier der Spannungszeiger $\b U$ die Bezugsgröße darstellt, denn in der
Parallelschaltung ist ja die Spannung überall gleich.\\

Versuchen Sie zunächst selbst ein Zeigerbild mit dem Spannungszeiger $\b U$ und
den vier Stromzeigern $\b I_R$, $\b I_L$, $\b I_C$ und $\b I_0$ zu erstellen.
Sie können sich dazu bei Bedarf am Zeigerbild bei erweiterten Reihenschaltungen
auf Seite~\pageref{erweitertereihe} orientieren.

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-0.1)(11.5,5.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,5)(11,5)
  \uput[-90](10.5,5.2){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,4.9)(9.9,4.9)
  \uput[-90](9,5.1){\textcolor{red}{$\b I_R$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(9.9,4.9)(9.9,-0.1)
  \uput[180](10,2.2){\textcolor{red}{$\b I_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(10.1,-0.1)(10.1,2.9)
  \uput[0](10.1,1.4){\textcolor{red}{$\b I_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{->}(6,4.9)(10.1,2.9)
  \uput[0](7,3.2){\textcolor{red}{$\b I_0$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Vergleichen Sie nun. Entspricht das nebenstehende Zeigerbild Ihrem Entwurf?\\

Möglicherweise haben Sie die Ströme nicht unterhalb, sondern oberhalb von
$\b U$ eingezeichnet, indem Sie gegenüber dem Zeigerbild für die
Reihenschaltung auf Seite~\pageref{erweitertereihe} einfach nur Spannungen
gegen Ströme ausgetauscht haben. Das geht aber nicht, weil z. B. an der
Induktivität der \textbf{Strom der Spannung} nacheilt. Beim einfachen Tausch
würde nun die \textbf{Spannung dem Strom} nacheilen. Das wäre aber ein Merkmal
für eine \textbf{Kapazität}, nicht für eine Induktivität.\\

\paragraph{Leitwertzeiger}\textcolor{white}{.}\\
Jetzt sollte es kein Problem mehr sein, ein \textbf{Leitwertzeigerdiagramm} für
diese Schaltung anzugeben. Versuchen Sie das zunächst selbst.\\

\emph{Wenn Sie das getan haben, dürfen Sie weiterblättern.}
\newpage

\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-0.1)(11.5,5.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{->}(6,5)(11,5)
  \uput[-90](10.5,5.2){\textcolor{blue}{$\b U$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,4.9)(9.9,4.9)
  \uput[-90](9,5.1){\textcolor{black}{$\b G$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,4.9)(9.9,-0.1)
  \uput[180](10,2.2){\textcolor{black}{$\b B_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(10.1,-0.1)(10.1,2.9)
  \uput[0](10.1,1.4){\textcolor{black}{$\b B_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,4.9)(10.1,2.9)
  \uput[0](7,3.2){\textcolor{black}{$\b Y$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Ich hoffe, Ihre Skizze sieht ungefähr so aus, wie hier nebenstehend
dargestellt. Da es sich hier um Leitwerte handelt, ist das Zeigerbild praktisch
identisch mit dem Stromzeigerbild. Bei Leitwerten steht die Spannung im Nenner,
die hier die Bezugsgröße darstellt. Weil es sich um eine \textbf{Planskizze}
handelt, sind die verschiedenen Zeigerlänge willkürlich gewählt, haben also
keinen Bezug zu bestimmten Bauelementwerten. \\

\paragraph{Leistungszeiger}\textcolor{white}{.}\\
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.5,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(9.9,-4.9)
  \uput[90](9,-5.1){\textcolor{black}{$\b P$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,-4.9)(9.9,0.1)
  \uput[180](10,-2.2){\textcolor{black}{$\b Q_L$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(10.1,0.1)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-1.4){\textcolor{black}{$\b Q_C$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](7,-3.2){\textcolor{black}{$\b S$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=black]{->}(10.1,-4.9)(10.1,-2.9)
  \uput[0](10.1,-3.6){\textcolor{black}{$\b Q$}}
  %-----------------
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Die Leistungszeiger werden wieder ohne Bezugsgröße dargestellt. Das
nebenstehende Leistungszeiger-Diagramm sollte ihnen schon von den erweiterten
Parallelschaltungen auf Seite~\pageref{leistungp} bekannt vorkommen. Bei den
Leistungszeigern gibt es tatsächlich keinen Unterschied zwischen Reihen- und
Parallelschaltungen. Während der Induktive Blindleitwert $\b B$ im obigen
Diagramm nach \textbf{unten} eingezeichnet ist, muss die Induktive
\textbf{Blindleistung} $\b Q_L$ nebenstehend nach \textbf{oben} eingezeichnet
werden.\\



\subsection{Zeigerbilder von gemischten Schaltungen}
Frust! Leider ist dieses Kapitel praktisch leer. Wenn man kompliziertere
Schaltungen berechnen möchte, dann reichen die hier vorgestellten Methoden
leider nicht aus. Ich möchte mich aber in diesem Skript bewusst auf das
Berufsschulniveau beschränken. Damit kommen wir bei gemischten Schaltungen aber
nicht weiter. Will man kompliziertere Schaltungen berechnen, dann helfen nur
noch die Methoden der Komplexen Rechnung, wie ich sie hier in Kapitel
4.4 dargestellt habe:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}\fi
\end{center}

\newpage
\section{Zusammenstellung der Formeln}
\[\begin{array}{|ll|}
\hline
& \textnormal{\textbf{Reihenschaltung:}}\\
\hline
\textnormal{Spannungen:} &U_R^2+(U_L-U_C)^2=U_0^2 \\
\textnormal{Widerstände:} &R^2+(X_L-X_C)^2=Z^2 \\
\hline
\hline
&\textnormal{\textbf{Parallelschaltung:}}\\
\hline
\textnormal{Ströme:}& I_R^2+(I_L-I_C)^2=I_0^2 \\
\textnormal{Leitwerte:}& G^2+(B_L-B_C)^2=Y^2 \\
\hline
\hline
&\textnormal{\textbf{Für alle Schaltungen:}}\\
\hline
\textnormal{Leistungen:}& P^2+(Q_L-Q_C)^2=S^2 \\
\hline
\end{array}\]

Will man die Ergebnisse noch mehr verallgemeinern, dann komm man zu
nachfolgender "`Formel"'. Dazu müssen jedoch vorab alle Wirk- Blind- und
Scheingrößen jeweils (vorzeichenrichtig!) zusammengefasst werden.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{(Wirkgröße)$^2$+(Blindgröße)$^2$=(Scheingröße)$^2$}\end{center}

\section{Kompensation}
Kommen wir nun zum eigentlichen Thema dieses Skriptes, der Kompensation. Was
versteht man darunter?\\

Wie wir auf Seite~\pageref{blindleistung} erfahren haben, belastet
Blindleistung das Netz des jeweiligen Energieversorgers. Deshalb erhalten
größere Betriebe einen günstigeren Tarif, wenn der Kunde auch für Blindleistung
zahlt. Es wird dann ein Blindleistungszähler installiert. Daher ist der Kunde
daran interessiert, dass er möglichst wenig Blindleistung verursacht. Wie man
das macht, ist Thema dieses Kapitels.\\

In einem Industriebetrieb gibt es viele \textbf{induktive} Verbraucher. Das
sind einerseits Transformatoren, vor allem aber Motoren. Auch Vorschaltgeräte
für Leuchtstofflampen enthalten Induktivitäten. Deren Bedeutung ist allerdings
einerseits vom Anteil her nicht sehr groß, andererseits werden
Leuchtstofflampen heutzutage mehr und mehr durch LEDs ersetzt. Es bleiben aber
Motoren aller Art, die Wicklungen -- also Induktivitäten -- enthalten.\\

Wir erinnern uns: Blindleistung ist eine Leistung, die für eine kurze Zeit dem
Netz entnommen wird und kurz danach wieder ins Netz zurückgespeist wird. Wenn
es uns gelingt, in geeigneten Bauelementen diese Energie kurzfristig
zwischenzuspeichern, während die induktiven Lasten sie ins Netz abgeben wollen
und sie wieder abzugeben, während die induktiven Lasten Energie aufnehmen
möchten, dann halten wir die Blindleistung aus dem Versorgungsnetz heraus. Man
spricht dann von "`Kompensation"' (auf deutsch: Ausgleich) der Blindleistung.\\

Vergleichen wir dazu die Diagramme zur Leistungsaufnahme und -abgabe an der
Induktivität und der Kapazität ab Seite~\pageref{blindleistung}, dann sehen wir
beispielsweise, dass die Induktivität im Zeitraum vom Nulldurchgang der
Spannung bis zum Maximum Energie abgibt, während im selben Zeitraum die
Kapazität Energie aufnimmt. Nach Überschreiten des Spannungsmaximums kehren
sich diese Verhältnisse genau um.\\

Damit haben wir im Kondensator das perfekte Bauelement zur Kompensation von
Induktiver Blindleistung. Im Idealfall muss nur die vom Kondensator verursachte
Kapatitive Blindleistung genau so groß sein, wie die zu kompensierende
Induktive Blindleistung.\\

\subsection{Der Leistungsfaktor}
\begin{wrapfigure}{r}{2.7cm}
\psset{xunit=5mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(5.9,-5.1)(11.1,0.1)
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(9.9,-5)
  \uput[90](8.5,-5.1){\textcolor{black}{$\b P$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(9.9,-5)(9.9,0)
  \uput[0](9.7,-2.4){\textcolor{black}{$\b Q$}}
  %-----------------
  \psline[linewidth=1.5pt,linecolor=black]{->}(6,-5)(9.9,0)
  \uput[135](8.6,-2){\textcolor{black}{$\b S$}}
  %-----------------
  \psarc[linewidth=1pt]{->}(6,-5){0.95}{0}{55}
  \uput{0.4}[30](6,-5){$\varphi$}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Sehen wir uns das nebenstehende typische Leistungszeigerdiagramm einer
beliebigen Schaltung an. Neben der Wirkleistung $\b P$, der Blindleistung
$\b Q$ und der Scheinleistung $\b S$ ist hier auch noch der
Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ eingezeichnet. In dem Rechtwinkligen
Dreieck können wir somit nicht nur mit dem Satz des Pythaguras arbeiten
\[P^2+Q^2=S^2\]
sondern auch mit den Winkelfunktionen\footnote{Einzelheiten
dazu siehe beispielsweise hier in Kapitel 3.1:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/trigo.pdf}\fi}.
Setzt man die Größen $P$, $Q$ und $S$ als \textbf{Ankathete},
\textbf{Gegenkathete} und \textbf{Hypotenuse} in die Definitionen der
jeweiligen Winkelfunktionen ein, dann erhält man diese drei Formeln:
\[\begin{array}{|rcl|}
\hline
\sin \varphi&=&\cfrac{Q}{S}\\
\cos \varphi&=&\cfrac{P}{S}\\
\tan \varphi&=&\cfrac{Q}{P}\\
\hline
\end{array}\]

Von diesen drei Grundformeln ist die zweite die für uns wichtigste. Stellt man
sie noch nach $P$ um, erhält man die Form, die für die praktischen Anwendungen
in der Energietechnik die zweckmäßigste ist. Wir erhalten damit diese
Grundformel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$P=S \cdot \cos \varphi$}
\end{center}

Um zu verstehen, warum genau diese Formel wichtig ist, muss man sich nur einmal
das Typenschild eines gängigen Wechselstrom-Motors anschauen. Neben
der Nennleistung $P$ (das ist die an der Welle des Motors abgegebene
mechanische Leistung) und dem Wirkungsgrad $\eta$ steht dort noch ein mit
$\cos \varphi$ bezeichneter Zahlenwert. Dieser Wert wird als
"`Leistungsfaktor"' des Motors bezeichnet. Man gibt also nicht einfach nur den
Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ an, der sich bei Nennbetrieb des Motors
ergibt, sondern direkt den zugehörigen Kosinuswert. Rechnen wir dazu ein
Beispiel durch.\\

\label{motor}
Nehmen wir an, für den Motor sind folgende Daten angegeben:
\[U=230\,\textnormal{V}\qquad P=4\,\textnormal{kW}\qquad \eta =0{,}92
 \qquad \cos \varphi =0{,}8 \qquad f=50\,\textnormal{Hz}\]
Die aufgenommene Scheinleistung und die Blindleistung bei Nennbetrieb soll
bestimmt werden.\\

Bekannt ist die Grundformel zum Wirkungsgrad:
\[ \eta =\cfrac{P_{ab}}{P_{zu}}\]
Da die angegebene Nennleistung $P$ die \textbf{abgegebene} Leistung $P_{ab}$
darstellt, können wir hiermit die zugeführte \textbf{Wirkleistung} $P_{zu}$
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
\eta&=&\cfrac{P_{ab}}{P_{zu}}&| \cdot \cfrac{P_{zu}}{\eta}\\
P_{zu}&=&\cfrac{P_{ab}}{\eta}\\
&=&\cfrac{4\,\textnormal{kW}}{0{,}92}\\
P_{zu}&=&4{,}35\,\textnormal{kW}\\
\end{array}\]

Hiermit kann die aufgenommene Scheinleistung berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
P&=&S \cdot \cos \varphi &|:\cos \varphi \\
\cfrac{P}{\cos \varphi}&=&S \\
S&=&\cfrac{P_{zu}}{\cos \varphi}\\
&=&\cfrac{4{,}35\,\textnormal{kW}}{0{,}8}\\
S&=&5{,}44\,\textnormal{kVA}\\
\end{array}\]

Nun wird die Blindleistung berechnet:
\[\begin{array}{rcll}
P^2+Q^2&=&S^2 &|-P^2 \\
Q^2&=&S^2-P^2 &|\sqrt{\ }\\
Q&=&\sqrt{S^2-P^2}\\
&=&\sqrt{(5{,}44\,\textnormal{kVA})^2-(4{,}35\,\textnormal{kW})^2}\\
Q&=&3{,}27\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

\subsection{Kompensation bei Einphasenwechselspannung}
Wollen wir den eben untersuchten Motor an einer Einphasenwechselspannung
betreiben, dann verursacht er eine Blindleistung von
$Q=3{,}27\,\textnormal{kvar}$. Wenn wir diese (Induktive) Blindleistung
kompensieren wollen, dann müssen wir mit Hilfe eines geeigneten Kondensators
dafür sorgen, dass dieser eine \textbf{Kapatitive} Blindleistung von gleicher
Größe verursacht. Dann heben sich beide Blindleistungen gegenseitig auf, wir
haben die Blindleistung des Motors \textbf{kompensiert}. Schaltungstechnisch
kann diese Kompensation durch Parallelschalten eines Kondensators erfolgen, er
kann aber auch in Reihe geschaltet werden. Beide Möglichkeiten möchte ich
nachfolgend vorstellen.

\subsubsection{Parallelkompensation}
\begin{wrapfigure}{r}{4.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(4.5,4.2)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2.5,4){C} \qdisk(C){2pt}
   \pnode(2.5,0){D} \qdisk(D){2pt}
   \pnode(4,4){E}
   \pnode(4,0){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[labeloffset=-0.5](E)(F){}
    \uput[90](4,1.55){\small M} \uput[90](4,1.25){\small $\sim$}
   \capacitor[labeloffset=-0.9](C)(D){$C$}
   \psline(E)(A)(B)(F)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Parallelkompensation}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Schaltung zur \textbf{Parallelkompensation} eines Motors
dargestellt. Der Kondensator $C$ wird einfach parallel zum Motor und zur
Spannungsquelle angeschlossen. Diese Schaltung ist die einfachste
Schaltungsmöglichkeit, denn durch das Anschließen des Kondensators verändert
sich \textbf{nicht} die Spannung am Motor. Alle Motordaten bleiben gültig.\\

\paragraph{Komplette Kompensation}\textcolor{white}{.}\\
Nehmen wir wieder unseren Beispielmotor von Seite~\pageref{motor} mit seinen
Kenndaten zur Hand. Wir wollen die Blindleistung \textbf{komplett}
kompensieren.
\[U=230\,\textnormal{V}\qquad P=4\,\textnormal{kW}\qquad \eta =0{,}92
 \qquad \cos \varphi =0{,}8 \qquad f=50\,\textnormal{Hz}\]
Wir haben bereits diese Daten berechnet:
\[P_{zu}=4{,}35\,\textnormal{kW} \qquad
S=5{,}44\,\textnormal{kVA} \qquad
Q=3{,}27\,\textnormal{kvar}\]

Wir benötigen somit zur Kompensation einen Kondensator, der eine Kapazitive
Blindleistung von \mbox{$Q=3{,}27\,\textnormal{kvar}$} verursacht.\\

Wir erinnern uns an eine Formel aus der Gleichstromtechnik, die den
Zusammenhang zwischen Leistung, Spannung und Widerstand darstellt:
\[P=\cfrac{U^2}{R}\]
Da wir es hier mit \textbf{Blind}leistung und \textbf{Blind}widerstand zu tun
haben müssen wir nur $P$ gegen $Q$ und $R$ gegen $X$ austauschen und erhalten
eine Formel, mit der wir $X$, genauer gesagt $X_C$, berechnen können.
\[\begin{array}{rcll}
Q&=&\cfrac{U^2}{X_C} &| \cdot \cfrac{X_C}{Q}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q}\\
\end{array}\]

Hiermit berechnen wir den Blindwiderstand $X_C$ des erforderlichen Kondensatos.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{3{,}27\,\textnormal{kvar}}\\
X_C&=&16{,}2\,\Omega \\
\end{array}\]

\label{kap}
Hiermit und mit der bekannten Frequenz von $f=50\,$Hz können wir $C$ berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{\omega \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{\omega  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 16{,}2\,\Omega}\\
C&=&196 \,µ \textnormal{F} \\
\end{array}\]

Jetzt stellt sich die Frage, was für ein Kondensatortyp hierfür in Frage kommt.
Bei so großen Kapazitätswerten denkt man möglicherweise unwillkürlich an einen
Elektrolyt-Kondensator. Ich hoffe, Sie wissen allein, warum das nicht geht. Sie
können das notfalls hier in Kapitel 12.3 nachlesen:
\begin{center}
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/grundl.pdf}\fi
\end{center}
So bleibt also nur der Metall-Papier-Kondensator, auch kurz MP-Kondensator
genannt. Aber welche Spannungsfestigkeit muss der haben?\\

\label{spannungsfestigkeit}
In den Grundlagen der Wechselstromtechnik haben wir diese Formel kennen
gelernt, die den Zusammenhang zwischen Effektivwert und Scheitelwert
angibt\footnote{Sie können das bei Befarf hier in Kapitel 2.2.2 nachlesen:\\
\ifpdf \url{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/wechsels.pdf}\fi}
\[U_{RMS}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot U_p \]

Der Effektivwert ist der \textbf{Nennwert} einer Wechselspannung und hier mit
$U_{RMS}=230$\,V bekannt. Der Scheitelwert ist der Spannungswert, der maximal
am Kondensator auftritt.
\[\begin{array}{rcll}
U_{RMS}&=&\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot U_p &| \cdot \sqrt{2}\\
\sqrt{2} \cdot U_{RMS}&=&U_p \\
U_p&=&\sqrt{2} \cdot 230\,\textnormal{V}\\
U_p&=&325\,\textnormal{V}\\
\end{array}\]
Der Kondensator muss also 325\,V aushalten können.

\paragraph{Sicherheitshinweis:}\textcolor{white}{.}\\
Baut man irgendwo einen Kondensator ein, der auf eine gefährlich hohe Spannung
aufgeladen werden kann, dann besteht unter Umständen die Möglichkeit, dass der
Kondensator geladen bleibt, wenn das Gerät vom Netz getrennt wurde. Dadurch
können bei Wartungsarbeiten am Gerät gefährliche Situationen entstehen. Ist der
Kondensator \textbf{parallel} zu einem Motor geschaltet und in diesen fest
eingebaut, dann wird sich der Kondensator schnell über die Motorwicklungen
entladen. Ist aber der Kondensator in \textbf{Reihe} geschaltet, oder befindet
er sich in einer separaten Kompensationseinheit, dann kann nach Abtrennen vom
Rest der Anlage der Kondensator aufgeladen bleiben. Ein MP-Kondensator kann die
Spannung über mehrere Tage halten! In einem solchen Fall muss ein
\textbf{Entladewiderstand} fest am Kondensator parallel dazu angeschlossen
sein. Die Zeitkonstante \mbox{$\tau =R \cdot C$} muss so bemessen sein, dass
die Spannung am Kondensator schneller auf ungefährliche Werte abgesunken ist,
als man das betreffende Gerät öffnen kann.

\paragraph{Teilweise Kompensation}\textcolor{white}{.}\\
In manchen Fällen ist auch \textbf{keine komplette} Kompensation erforderlich.
Nehmen wir für unser Beispiel an, dass wir durch die Kompensation einen
Leistungsfaktor von \mbox{$\cos \varphi =0{,}95$} erreichen wollen. Welchen
Kondensator benötigen wir dann?\\

Wir wissen bereits, dass die Induktive Blindleistung $Q_1$ des Motors bei
Nennbetrieb mit einem Leistungsfaktor von \mbox{$\cos \varphi =0{,}8$}
einen Wert von \mbox{$Q_1=3{,}27$\,kvar} annimmt. Ich bestimmen nun die
Induktive Blindleistung $Q_2$, die bei einem Leistungsfaktor von
\mbox{$\cos \varphi =0{,}95$} noch übrig wäre. Die Differenz muss dann
kompensiert werden.\\

Bei der Berechnung kommen zwei Wege in Frage.
\begin{enumerate}
\item Man bestimmt zunächst mit der Grundformel \mbox{$P=S \cdot \cos \varphi$}
 die veränderte Scheinleistung $S_2$ und rechnet dann mit \mbox{$P^2+Q^2=S^2$}
 die Blindleistung $Q_2$ aus.
\item Man rechnet zunächst den Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ aus dem
 Leistungsfaktor $\cos \varphi$ aus und bestimmt dann $Q_2$ mit der Grundformel
 \mbox{$\tan \varphi =\frac{Q}{P}$}.
\end{enumerate}

Damit man besser vergleichen kann, was günstiger ist, stelle ich beide
Lösungswege nacheinander vor.

\subparagraph{Lösungsweg 1:}

\[\begin{array}{rcll}
P_{zu}&=&S_2 \cdot \cos \varphi &|:\cos \varphi \\
\cfrac{P_{zu}}{\cos \varphi}&=&S_2 \\
S_2&=&\cfrac{4{,}35\,\textnormal{kW}}{0{,}95} \\
S_2&=&4{,}58\,\textnormal{kVA}\\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
P_{ab}^2+Q_2^2&=&S_2^2 &|-P_{ab}^2 \\
Q_2^2&=&S_2^2-P_{ab}^2 &|\sqrt{\ }\\
Q_2&=&\sqrt{S_2^2-P_{ab}^2}\\
&=&\sqrt{(4{,}58\,\textnormal{kVA})^2-(4{,}35\,\textnormal{kW})^2}\\
Q_2&=&1{,}43\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

\subparagraph{Lösungsweg 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\cos \varphi&=&0{,}95 &|\arccos \ldots \\
\varphi&=&18{,}2^\circ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\tan \varphi&=&\cfrac{Q_2}{P_{ab}}&| \cdot P_{ab}\\
P_{ab} \cdot \tan \varphi&=&Q_2 \\
Q_2&=&4{,}35\,\textnormal{kW} \cdot \tan 18{,}2^\circ \\
Q_2&=&1{,}43\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

"`Erstaunlicherweise"' haben beide Rechnungen zum selben Ergebnis geführt.
Mir per\-sön\-lich erscheint der zweite Weg etwas einfacher.
Welchen Weg man wählt, ist aber letztlich Geschmacksache.\\

Jetzt muss als nächstes ausgerechnet werden, welche Kapazitive Blindleistung
der Kondensator verursachen muss.

\paragraph{gemeinsamer restlicher Lösungsweg:}
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&Q_1-Q_2 \\
&=&3{,}27\,\textnormal{kvar}-1{,}43\,\textnormal{kvar}\\
Q_C&=&1{,}84\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Hiermit berechnen wir den Blindwiderstand $X_C$ des erforderlichen Kondensatos.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{1{,}84\,\textnormal{kvar}}\\
X_C&=&28{,}8\,\Omega \\
\end{array}\]

Hiermit und mit der bekannten Frequenz von $f=50\,$Hz können wir $C$ berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{\omega \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{\omega  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 28{,}8\,\Omega}\\
C&=&111 \,µ \textnormal{F} \\
\end{array}\]

Vergleicht man diesen Wert mit der erforderlichen Kapazität für
\textbf{komplette} Kompensation, dann sieht man sofort, dass wir hier mit einer
deutlich kleineren Kapazität auskommen.

\subsubsection{Reihenkompensation}
\begin{wrapfigure}{r}{4.2cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.1)(4.5,4.4)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0,0){B}
   \pnode(2.5,4){C}
   \pnode(2.5,0){D}
   \pnode(4,4){E}
   \pnode(4,0){F}
   \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
     tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.3,
     tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
   \Ucc[labeloffset=-0.5](E)(F){}
    \uput[90](4,1.55){\small M} \uput[90](4,1.25){\small $\sim$}
   \capacitor[labeloffset=-0.9](A)(E){$C$}
   \psline(A)(B)(F)
 \end{pspicture}
\caption{\emph{Reihenkompensation}}
\end{wrapfigure}
Nebenstehend ist eine Schaltung für eine \textbf{Reihenkompensation}
dargestellt. Der Kondensator ist mit dem Motor in Reihe geschaltet.\\

Grundsätzlich ist diese Schaltung möglich. Es gibt jedoch dabei ein paar
Probleme. Wegen der Reihenschaltung ist hier die Spannung am Motor nicht mehr
identisch mit der Spannung $U_0$. Tatsächlich ist sie sogar etwas größer als
$U_0$. Mit einen Zeigerdiagramm oder einer beispielhaften Rechnung kann man das
nachweisen.
Eine größere Motorspannung kann eventuell zu einer Überlastung führen, weshalb
eine solche Schaltung bei Motoren nicht verwendet wird.\\

Die Reihenkompensation wird jedoch bei Leuchstofflampenschaltungen angewendet.
Dabei verwendet man gern die sogenannte "`Duoschaltung"'. Hier sind zwei
Leuchstofflampen in einer Leuchte kombiniert.
Dabei wird eine der beiden Lampen
\textbf{überkompensiert} und die andere \textbf{nicht} kompensiert.
\textbf{Überkompensation} bedeutet, dass doppelt so viel Kapazitive
Blindleistung verursacht wird, wie eigentlich aufgrund der
Leuchtstofflampenschaltung mit dem Induktiven Vorschaltgerät notwendig wäre.
Hier stellt sich natürlich die Frage: Warum macht man das so?\\

Dafür gibt es drei Gründe. Zum einen kann man zeigen, dass beim
Überkompensieren wieder der gleiche Scheinwiderstand $Z$ entsteht, wie bei der
unkompensierten Schaltung. Wir haben dadurch also die selben Spannungs- und
Stromverhältnisse wie bei der unkompensierten Schaltung.\\

Der zweite Grund liegt im \textbf{stroboskopischen Effekt}. Leuchstofflampen
flackern bekanntlich im Rythmus der Strompulse, also mit der doppelten
Netzfrequenz. Fällt ein solches flackerndes Licht auf sich drehende
Maschinenteile, beispielsweise auf das Futter einer Drehmaschine, dann sieht es
eventuell so aus, als ob das Teil still steht. Fasst man mit der Hand hinein,
ist ein Unfall unvermeidlich.
Wenn nun eine Lampe überkompensiert und die andere nicht kompensiert
ist, dann haben wir eine Phasenverschiebung zwischen beiden Lampen.
Wenn die eine gerade einen Nulldurchgang beim Strom und somit gerade
einen Tiefpunkt in der Helligkeit hat, fließt in der anderen besonders viel
Strom. Das gleicht die Gesamthelligkeit aus, es flackert somit weniger.\\

Es gibt aber noch einen dritten Grund für dieses Verfahren.
Die Leistung in einem Widerstand bei gegebenem Strom kann bekanntlich mit
dieser Formel berechnet werden:
\[P=I^2 \cdot R\]
Auf Kapazitive Blindleistung bei Wechselstrom übertragen lautet die Formel:
\[Q_C=I^2 \cdot X_C\]

Das bedeutet, dass die Blindleistung $Q_C$ um so \textbf{größer} wird, je
\textbf{größer} $X_C$ ist. Zum \textbf{Überkompensieren} benötigt man also
einen doppelt so großen Blindwiderstand $X_C$, wir beim ausgeglichenen
Kompensieren. Ein \textbf{großer} Blindwiderstand $X_C$ geht einher mit einer
\textbf{kleinen} Kapazität und ist somit kostengünstig. Dazu kommt dann noch,
dass man für die zweite Lampe überhaupt keinen Kondensator benötigt.
Damit wird dann noch einmal Geld eingespart. Ich finde das genial.\\

An dieser Stelle möchte ich aber ergänzen, dass die Leuchstofflampen und die
zugehörigen Schaltungen in ihrer Bedeutung stark abnehmen. Heute verwendet man
mehr und mehr LED-Licht.\\

\textbf{Fazit:}\\
Weil die Reihenkompensation bei Motoren aus den genannten Gründen nicht in
Frage kommt und die Bedeutung von Leuchstoffschaltungen stark abnimmt, möchte
ich kein Beispiel zur Reihenkompensation durchrechnen. Es gibt letztlich nur
einen einzigen Grund, der für die Reihenkompensation spricht. Die Kapazitäten,
die bei der Parallelkompensation direkt an die Netzspannung angeschlossen sind,
behindern die Funktion von Rundsteueranlagen\footnote{Bei Rundsteueranlagen
wird auf die Netzspannung eine höherfrequente Wechselspannung aufaddiert, die
irgendwo bestimmte Schaltfunktionen ausführen soll. Früher wurden
Straßenlaternen damit ein- und ausgeschaltet. In jeder Laterne befand sich ein
Tonfrequenzdetektor, der diese mit übertragenen Töne zum Schalten auswertete.}.
Aber auch deren Bedeutung hat schon stark abgenommen.
Kompensationeskondensatoren stellen für die Steuersignale von Rundsteueranlagen
fast einen Kurzschluss dar und dämpfen daher deren Signale.

\newpage
\subsection{Kompensation bei Dreiphasenwechselspannung}
Die großen Blindleistungsverursacher in Industriebetrieben sind natürlich
Motoren und Transformatoren für Dreiphasenwechselspannung. Wie bereits im
vorangehenden Kapitel über \emph{Kompensation bei Einphasenwechselspannung}
beschrieben kommt eine Reihenkompensation hierfür nicht in Frage. Man kann aber
drei Kondensatoren im Dreieck oder auch im Stern schalten.\\

In Industriebetrieben geschieht das gern in einer zentralen
Kompensationsanlage, deren Kondensatoren in Stufen zu- und abgeschaltet werden,
je nach aktueller Induktiver Blindleistung im Netz. Weil beide
Schaltungen bekannt sind, möchte ich sie hier nicht noch einmal darstellen.
Beide Schaltungsarten werden verwendet. Deren Eigenschaften möchte ich hier
gegenüberstellen.\\

Nehmen wir einmal an, in einem 400-Volt-Netz soll eine Induktive Blindleistung
von $Q=6$\,kvar kompensiert werden. Sowohl bei Stern- als auch bei
Dreieckschaltung werden drei Kondensatoren erforderlich.

\subsubsection{Kompensation in Sternschaltung}
Die gegebene Blindleistung von $Q=6$\,kvar verteilt sich gleichmäßig auf die
drei Stränge. In jedem Strang müssen also 2\,kvar kompensiert werden.\\

In Sternschaltung im 400-V-Netz beträgt die Strangspannung:
\[U_{Str}=\cfrac{U}{\sqrt{3}}=\cfrac{400\,\textnormal{V}}{\sqrt{3}}
=230\,\textnormal{V}\]

Bekannt ist die Grundformel zu Leistung, Spannung und Widerstand mit:
\[P=\cfrac{U^2}{R}\]
Diese Formel wird auf die Blindgrößen übertragen und es wird der
Blindwiderstand des einzelnen Kondensators bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C}&| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{2\,000\,\textnormal{var}}\\
X_C&=&26{,}5\,\Omega \\
\end{array}\]

Jetzt kann die Kapazität des Kondensators wie auf Seite~\pageref{kap} berechnet
werden.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{\omega \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{\omega  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 26{,}5\,\Omega}\\
C&=&120 \,µ \textnormal{F} \\
\end{array}\]

Die Spannungsfestigkeit wird berechnet, wie bereits auf
Seite~\pageref{spannungsfestigkeit} beschrieben.\\

Der Effektivwert ist der \textbf{Nennwert} einer Wechselspannung und hier mit
$U_{RMS}=230$\,V bekannt. Der Scheitelwert ist der Spannungswert, der maximal
am Kondensator auftritt.
\[\begin{array}{rcll}
U_{RMS}&=&\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot U_p &| \cdot \sqrt{2}\\
\sqrt{2} \cdot U_{RMS}&=&U_p \\
U_p&=&\sqrt{2} \cdot 230\,\textnormal{V}\\
U_p&=&325\,\textnormal{V}\\
\end{array}\]
Der Kondensator muss also 325\,V aushalten können.

\subsubsection{Kompensation in Dreieckschaltung}
Die Berechnung für die Dreieckschaltung ist sehr ähnlich, wir haben nur andere
Spannungswerte. Auch hier verteilt sich die gegebene Blindleistung von
$Q=6$\,kvar gleich\-mä\-ßig auf die drei Stränge. In jedem Strang müssen wieder
2\,kvar kompensiert werden.\\

Bekannt ist die Grundformel zu Leistung, Spannung und Widerstand mit:
\[P=\cfrac{U^2}{R}\]
Diese Formel wird auf die Blindgrößen übertragen und es wird der
Blindwiderstand des einzelnen Kondensators bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C}&| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(400\,\textnormal{V})^2}{2\,000\,\textnormal{var}}\\
X_C&=&80\,\Omega \\
\end{array}\]

Jetzt kann die Kapazität des Kondensators wie zuvor berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{\omega \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{\omega  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f  \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 80\,\Omega}\\
C&=&39{,}8 \,µ \textnormal{F} \\
\end{array}\]

Auch hier berechnen wir die Spannungsfestigkeit.\\

Der Effektivwert ist der \textbf{Nennwert} einer Wechselspannung und hier mit
$U_{RMS}=400$\,V bekannt. Der Scheitelwert ist der Spannungswert, der maximal
am Kondensator auftritt.
\[\begin{array}{rcll}
U_{RMS}&=&\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot U_p &| \cdot \sqrt{2}\\
\sqrt{2} \cdot U_{RMS}&=&U_p \\
U_p&=&\sqrt{2} \cdot 400\,\textnormal{V}\\
U_p&=&566\,\textnormal{V}\\
\end{array}\]
Der Kondensator muss also 566\,V aushalten können.\\

\subsection{Vergleich Stern- und Dreieck-Kompensation}
Ich möchte die Ergebnisse für die Kapazität und die Spannungsfestigkeit der
Kondensatoren für beide Schaltungsarten einmal in einer Tabelle
gegenüberstellen.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Sternschaltung & Dreieckschaltung \\
\hline
$C$  & 120\,$µ$F & 39,8\,$µ$F \\
$U_p$& 325\,V    & 566\,V \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Wir sehen, dass die Kapazitäten in der Sternschaltung (bis auf Rundungsfehler)
drei mal so groß sein müssen, wie in der Sternschaltung. Dafür darf die
Spannungsfestigkeit etwas kleiner sein. Hier liegt der Faktor bei
$\sqrt{3}\approx$1,73. Wegen der deutlich kleineren Kapazitäten ist die
Dreieckschaltung in der Regel kostengünstiger.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Wechselstrommotor hat bei 230\,V und 50\,Hz bei Nennbetrieb eine
Leistungsaufnahme von 1,8\,kW. Der Leistungsfaktor beträgt 0,68. Durch
Parallelschalten eines Kondensators soll der Leistungsfaktor auf 0,88
verbessert werden. Welche Kapazität muss der Kompensationskondensator haben?

\subsection{Aufgabe 2}
Ein Wechselstrommotor hat folgende Nenndaten:
\begin{center}
$U$=230\,V \qquad $f$=50\,Hz \qquad $P$=1,5\,kW \qquad $\eta$=0,83 \qquad
 $\cos \varphi$=0,7 \end{center}

\begin{itemize}
\item Durch Parallelkompensation soll der Leistungsfaktor auf 0,9 verbessert
  werden. Berechnen Sie die Kapazität des erforderlichen
  Kompensationskondensators!
\item Welche Kapazität müsste der Kondensator für eine vollständige
  Kompensation haben?
\end{itemize}
\subsection{Aufgabe 3}
Zur Kompensation an einem Einphasenwechselstrommotor wird bei $U$=230\,V und
einer Netzfrequenz von $f$=50\,Hz ein Kondensator von $C=100\,µ$F parallel
geschaltet. Vor der Kompensation betrug der Leistungsfaktor 0,78 und danach
0,91. Berechnen Sie die vom Motor aufgenommene Wirkleistung!

\subsection{Aufgabe 4}
Die Spule in einem Induktionsofen für 230\,V und 50\,Hz nimmt eine Wirkleistung
von 4\,kW auf. Vor der Kompensation wurde eine Blindleistung von 8,2\,kvar
gemessen. Nach der Kompensation mit einem Parallelkondensator beträgt die
Blindleistung nur noch 4\,kvar. Berechnen Sie die Kapazität des verwendeten
Kompensationskondensators!

\subsection{Aufgabe 5}
Ein Transformator nimmt bei 230\,V und 50\,Hz einen Strom von 65\,A auf. Das
Versorgungsunternehmen verlangt eine Kompensation, so dass der Leistungsfaktor
von 0,58 auf 0,8 verbessert wird. Berechnen Sie die Kapazität des erfordelichen
parallel geschalteten Kompensationskondensators!

\enlargethispage{10mm}
\subsection{Aufgabe 6}
Der Nennstrom einer Hochspannungs-Kompensationsanlage am Drehstromnetz mit
10\,kV und 50\,Hz beträgt in Sternschaltung 5,6\,A. Berechnen Sie die
Nennleistung der gesamten Kompensationsanlage sowie die Kapazität eines
Kondensators. Welche Spitzenspannung muss er verkraften können?

%\subsection{Aufgabe 7}
%\subsection{Aufgabe 8}

\newpage
\section{Lösungen der Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Ein Wechselstrommotor hat bei 230\,V und 50\,Hz bei Nennbetrieb eine
Leistungsaufnahme von 1,8\,kW. Der Leistungsfaktor beträgt 0,68. Durch
Parallelschalten eines Kondensators soll der Leistungsfaktor auf 0,88
verbessert werden. Welche Kapazität muss der Kompensationskondensator haben?

\paragraph{Lösung:}\textcolor{white}{.}\\
Zuerst bestimmen wir die Scheinleistung $S$ der unkompensierten Schaltung.
\[\begin{array}{rcll}
P&=&S \cdot \cos \varphi_1 &|:\cos \varphi_1 \\
\cfrac{P}{\cos \varphi_1}&=&S \\
S&=&\cfrac{1{,}8\,\textnormal{kW}}{0{,}68}\\
S&=&2{,}65\,\textnormal{kVA}\\
\end{array}\]

Jetzt wird die Blindleistung $Q_1$ der unkompensierten Schaltung berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
P^2+Q_1^2&=&S^2 &|-P^2 \\
Q_1^2&=&S^2-P^2 &|\sqrt{\ }\\
Q_1&=&\sqrt{S^2-P^2}\\
&=&\sqrt{(2{,}65\,\textnormal{kVA})^2-(1{,}8\,\textnormal{kW})^2}\\
Q_1&=&\\
\end{array}\]

Der Phasenverschiebungswinkel $\varphi_2$ der kompensierten Schaltung wird
bestimmt.
\[\begin{array}{rcll}
\cos \varphi_2&=&0{,}88 &|\arccos \ldots \\
\varphi_2&=&28{,}4^\circ \\
\end{array}\]

Wir berechnen die Blindleistung $Q_2$ in der kompensierten Schaltung.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{Q_2}{P}&=&\tan \varphi_2 &| \cdot P \\
Q_2&=&P \cdot \tan \varphi_2 \\
&=&1{,}8\,\textnormal{kW} \cdot \tan 28{,}4^\circ \\
Q_2&=&0{,}973\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Die erforderliche Blindleistung $Q_C$, die der Kondensator verursachen muss,
wird berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&Q_1-Q_2 \\
&=&1{,}94\,\textnormal{kvar}-0{,}973\,\textnormal{kvar}\\
Q_C&=&0{,}967\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Wir bestimmen den Blindwiderstand $X_C$ des Kondensators.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C}&| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(230 \cdot V)^2}{967\,\textnormal{var}}\\
X_C&=&54{,}7\,\Omega \\
\end{array}\]

Wir berechnen die Kapazität $C$.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 54{,}7\,\Omega}\\
C&=&58{,}2\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]
\underline{Ergebnis:}
Der Kondensator hat eine Kapazität von $C=58{,}2\,µ \textnormal{F}$.

\newpage
\subsection{Aufgabe 2}
Ein Wechselstrommotor hat folgende Nenndaten:
\begin{center}
$U$=230\,V \qquad $f$=50\,Hz \qquad $P$=1,5\,kW \qquad $\eta$=0,83 \qquad
 $\cos \varphi$=0,7 \end{center}

\begin{itemize}
\item Durch Parallelkompensation soll der Leistungsfaktor auf 0,9 verbessert
  werden. Berechnen Sie die Kapazität des erforderlichen
  Kompensationskondensators!
\item Welche Kapazität müsste der Kondensator für eine vollständige
  Kompensation haben?
\end{itemize}

\paragraph{Lösung:}
\[\begin{array}{rcll}
\eta&=&\cfrac{P_{ab}}{P_{zu}}&| \cdot \cfrac{P_{zu}}{\eta}\\
P_{zu}&=&\cfrac{P_{ab}}{\eta}\\
&=&\cfrac{1{,}5\,\textnormal{kW}}{0{,}83}\\
P_{zu}&=&1{,}81\,\textnormal{kW}\\
\end{array}\]

Die Scheinleistung ohne Kompensation wird bestimmt.

\[\begin{array}{rcll}
P_{zu}&=&S \cdot \cos \varphi &|:\cos \varphi \\
\cfrac{P_{zu}}{\cos \varphi}&=&S \\
S_1&=&\cfrac{1{,}81\,\textnormal{kW}}{0{,}7} \\
S_1&=&2{,}59\,\textnormal{kVA}\\
\end{array}\]
Die Blindleistung des Motors ohne Kompensation wird bestimmt.

\[\begin{array}{rcll}
P^2+Q^2&=&S^2 &|-P^2 \\
Q^2&=&S^2-P^2 &|\sqrt{\ }\\
Q_1&=&\sqrt{S_1^2-P_{zu}^2}\\
&=&\sqrt{(2{,}59\,\textnormal{kVA})^2-(1{,}81\,\textnormal{kW})^2}\\
Q_1&=&1{,}85\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Wir berechnen den Phasenverschiebungswinkel für die Verhältnisse \textbf{mit}
Kompensation.

\[\begin{array}{rcll}
\cos \varphi_2&=&0{,}9 &|\arccos \ldots \\
\varphi_2&=&25{,}8^\circ \\
\end{array}\]

Die Blindleistung, die noch übrig bleiben darf, wird berechnet.\\

\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{Q_2}{P}&=&\tan \varphi_2&| \cdot P \\
Q_2&=&P \cdot \tan \varphi_2 \\
&=&1{,}81\,\textnormal{kW} \cdot \tan 25{,}8^\circ \\
Q_2&=&0{,}875\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Die Differenz muss kompensiert werden.

\[Q_C=Q_1-Q_2=1{,}85\,\textnormal{kvar}-0{,}875\,\textnormal{kvar}
 =0{,}975\,\textnormal{kvar}\]

Der Blindwiderstand des Kompensationskondensators wird bestimmt.

\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C} &| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{975\,\textnormal{var}}\\
X_C&=&178\,\Omega \\
\end{array}\]

Die zugehörige Kapazität wird berechnet.

\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 178\,\Omega}\\
C&=&17{,}9\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis 1:}
Für eine Kompensation auf $\cos \varphi =0{,}9$ benötigt man eine Kapazität von
$C$=17,9$\,µ$F.\\

Für volle Kompensation muss die gesamte Blindleistung
\mbox{$Q_1=1{,}85\,\textnormal{kvar}$} kompensiert werden.\\

Der Blindwiderstand des Kompensationskondensators wird bestimmt.

\[\begin{array}{rcll}
Q_1&=&\cfrac{U^2}{X_{C1}} &| \cdot \cfrac{X_{C1}}{Q_1}\\
X_{C1}&=&\cfrac{U^2}{Q_{C1}}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{1{,}85\,\textnormal{kvar}}\\
X_{C1}&=&28{,}6\,\Omega \\
\end{array}\]

Die zugehörige Kapazität wird berechnet.

\[\begin{array}{rcll}
X_{C1}&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C_1}&| \cdot \cfrac{C_1}{X_{C1}}\\
C_1&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_{C1}}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 28{,}6\,\Omega}\\
C_1&=&111\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis 2:}
Für eine komplette Kompensation benötigt man eine Kapazität von
$C$=111$\,µ$F.\\

\newpage
\subsection{Aufgabe 3}
Zur Kompensation an einem Einphasenwechselstrommotor wird bei $U$=230\,V und
einer Netzfrequenz von $f$=50\,Hz ein Kondensator von $C=100\,µ$F parallel
geschaltet. Vor der Kompensation betrug der Leistungsfaktor 0,78 und danach
0,91. Berechnen Sie die vom Motor aufgenommene Wirkleistung!

\paragraph{Lösung:}\textcolor{white}{.}\\
Zugegeben, diese Aufgabe ist etwas knifflig, aber lösbar.\\

Zuerst wird der Blindwiderstand des Kondensators berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz}
 \cdot 100\,µ \textnormal{F}}\\
X_C&=&31{,}8\,\Omega \\
\end{array}\]

Damit kann die zugehörige vom Kondensator kompensierte Blindleistung berechnet
werden.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{31{,}8\,\Omega}\\
Q_C&=&1{,}66\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Wir bestimmen nun die Phasenverschiebungswinkel $\varphi_u$ für die
unkompensierte und  $\varphi_k$ für die kompensierte Schaltung.
\[\begin{array}{rcll}
\cos \varphi_u&=&0{,}78 &|\arccos \ldots \\
\varphi_u&=&38{,}7^\circ \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
\cos \varphi_k&=&0{,}91 &|\arccos \ldots \\
\varphi_k&=&24{,}5^\circ \\
\end{array}\]

In der unkompensierten Schaltung gilt:
\[ \cfrac{Q_L}{P}= \tan \varphi_u =0{,}801\]

Die Formel kann nach $Q_L$ umgestellt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{Q_L}{P}&=&0{,}801 &| \cdot P \\
Q_L&=&0{,}801 \cdot P \\
\end{array}\]

In der kompensierten Schaltung gilt:
\[ \cfrac{Q_L-Q_C}{P}= \tan \varphi_k =0{,}456 \]

In diese Formel können für $Q_L$ und $Q_C$ die zuvor bestimmten Werte
eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
\cfrac{Q_L-Q_C}{P}&=&0{,}456 \\
\cfrac{Q_L-1{,}66\,\textnormal{kvar}}{P}&=&0{,}456 \\
\cfrac{0{,}801 \cdot P-1{,}66\,\textnormal{kvar}}{P}&=&0{,}456 &| \cdot P \\
0{,}801 \cdot P-1{,}66\,\textnormal{kvar}&=&0{,}456 \cdot P
  &|+1{,}66\,\textnormal{kvar}-0{,}456 \cdot P \\
0{,}345 \cdot P&=&1{,}66\,\textnormal{kvar} &|:0{,}345 \\
P&=&4{,}81\,\textnormal{kW}\\
\end{array}\]
\underline{Ergebnis:}
Der Motor nimmt 4,81\,kW an Leistung auf.

\newpage
\subsection{Aufgabe 4}
Die Spule in einem Induktionsofen für 230\,V und 50\,Hz nimmt eine Wirkleistung
von 4\,kW auf. Vor der Kompensation wurde eine Blindleistung von 8,2\,kvar
gemessen. Nach der Kompensation mit einem Parallelkondensator beträgt die
Blindleistung nur noch 4\,kvar. Berechnen Sie die Kapazität des verwendeten
Kompensationskondensators!

\paragraph{Lösung:}\textcolor{white}{.}\\
Zunächst wird die Blindleistung $Q_C$ des Kondensators aus der Blindleistung
\textbf{mit} Kompensation $Q_m$ und der Blindleistung \textbf{ohne}
Kompensation $Q_o$ berechnet.

\[\begin{array}{rcll}
Q_m&=&Q_o-Q_C &|+Q_C-Q_m \\
Q_C&=&Q_o-Q_m \\
&=&8{,}2\,\textnormal{kvar}-4\,\textnormal{kvar}\\
Q_C&=&4{,}2\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Hieraus kann der Blindwiderstand $X_C$ des Kondensators berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C} &| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{4{,}2\,\textnormal{kvar}}\\
X_C&=&12{,}6\,\Omega \\
\end{array}\]

Hiermit kann die Kapazität $C$ berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 12{,}6\,\Omega}\\
C&=&253\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Der Kondensator hat eine Kapazität von $C=253\,µ \textnormal{F}$.

\newpage
\subsection{Aufgabe 5}
Ein Transformator nimmt bei 230\,V und 50\,Hz einen Strom von 65\,A auf. Das
Versorgungsunternehmen verlangt eine Kompensation, so dass der Leistungsfaktor
von 0,58 auf 0,8 verbessert wird. Berechnen Sie die Kapazität des
erforderlichen parallel geschalteten Kompensationskondensators!

\paragraph{Lösung:}\textcolor{white}{.}\\
Zuerst wird die Scheinleistung $S_o$ ohne Kompensation berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
S_o&=&U \cdot I \\
&=&230\,\textnormal{V} \cdot 65\,\textnormal{A}\\
S_o&=&14{,}95\,\textnormal{kVA}\\
\end{array}\]

Dann wird die Wirkleistung $P$ berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
P&=&S_o \cdot \cos \varphi_o \\
&=&14{,}95\,\textnormal{kVA} \cdot 0{,}58 \\
P&=&8{,}67\,\textnormal{kW}\\
\end{array}\]

Nun wird die Blindleistung $Q_o$ ohne Kompensation berechnet.
\[\begin{array}{rcll}
P^2+Q_o^2&=&S_o^2 &|-P^2 \\
Q_o^2&=&S_o^2-P^2 &|\sqrt{\ldots}\\
Q_o&=&\sqrt{S_o^2-P^2}\\
&=&\sqrt{(14{,}95\,\textnormal{kVA})^2-(8{,}67\,\textnormal{kW})^2}\\
Q_o&=&12{,}2\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]


Jetzt kann die Scheinleistung $S_m$ mit Kompensation berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
P&=&S_m \cdot \cos \varphi_m &|:\cos \varphi_m \\
\cfrac{P}{\varphi_m }&=&S_m \\
S_m&=&\cfrac{8{,}67\,\textnormal{kW}}{0{,}8}\\
S_m&=&10{,}84\,\textnormal{kVA} \\
\end{array}\]

Hiermit kann die verbleibende Blindleistung mit Kompensation $Q_m$ berechnet
werden.

\[\begin{array}{rcll}
P^2+Q_m^2&=&S_m^2 &|-P^2 \\
Q_m^2&=&S_m^2-P^2 &|\sqrt{\ ldots}\\
Q_m&=&\sqrt{S_m^2-P^2}\\
&=&\sqrt{(10{,}84\,\textnormal{kVA})^2-(8{,}67\,\textnormal{kW})^2}\\
Q_m&=&6{,}51\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Jetzt bestimmen wir die Kapazitive Blindleistung.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&Q_o-Q_m \\
&=&12{,}2\,\textnormal{kvar}-6{,}51\,\textnormal{kvar}\\
Q_C&=&5{,}69\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Als nächstes können wir den zugehörigen Blindwiderstand $X_C$ berechnen.

\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{U^2}{X_C} &| \cdot \cfrac{X_C}{Q_C}\\
X_C&=&\cfrac{U^2}{Q_C}\\
&=&\cfrac{(230\,\textnormal{V})^2}{5{,}69\,\textnormal{kvar}}\\
X_C&=&9{,}30\,\Omega \\
\end{array}\]

Damit können wir nun endlich die Kapazität berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 9{,}30\,\Omega}\\
C&=&342\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis:}
Die Kapazität des erforderlichen Kondensators beträgt $C=342\,µ$F.

\newpage
\subsection{Aufgabe 6}
Der Nennstrom einer Hochspannungs-Kompensationsanlage am Drehstromnetz mit
10\,kV und 50\,Hz beträgt in Sternschaltung 5,6\,A. Berechnen Sie die
Nennleistung der gesamten Kompensationsanlage sowie die Kapazität eines
Kondensators. Welche Spitzenspannung muss er verkraften können?

\paragraph{Lösung:}\textcolor{white}{.}\\
Zunächst wird die gesamte Nenn-Blindleistung berechnet.

\[\begin{array}{rcll}
Q_{Cges}&=&\sqrt{3} \cdot U \cdot I \\
&=&\sqrt{3} \cdot 10\,\textnormal{kV} \cdot 5{,}6\,\textnormal{A}\\
Q_{Cges}&=&97\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis 1:}
Die Nennleistung der Anlage beträgt $Q_{Cges}=97\,\textnormal{kvar}$.\\

Diese Blindleistung verteilt sich auf drei Kondensatoren. Wir berechnen die
Blindleistung, die auf jeden Kondensator entfällt.
\[\begin{array}{rcll}
Q_C&=&\cfrac{1}{3} \cdot Q_{Cges}\\
&=&\cfrac{1}{3} \cdot 97\,\textnormal{kvar}\\
Q_C&=&32{,}3\,\textnormal{kvar}\\
\end{array}\]

Um die Kapazität eines Kondensators zu bestimmen, benötigen wir die
Strangspannung in Sternschaltung.
\[\begin{array}{rcll}
U_S&=&\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot U \\
&=&\cfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot 10\,\textnormal{kV}\\
U_S&=&5{,}77\,\textnormal{kV}\\
\end{array}\]

Damit kann der Strangwiderstand, also der Blindwiderstand eines Kondensators
berechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{U_S}{I}\\
&=&\cfrac{5{,}77\,\textnormal{kV}}{5{,}6\,\textnormal{A}}\\
X_C&=&1\,031\,\Omega \\
\end{array}\]

Damit können wir nun die Kapazität des einzelnen Kondensators berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
X_C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}&| \cdot \cfrac{C}{X_C}\\
C&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot f \cdot X_C}\\
&=&\cfrac{1}{2 \cdot \pi \cdot 50\,\textnormal{Hz} \cdot 1\,031\,\Omega}\\
C&=&3{,}09\,µ \textnormal{F}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis 2:}
Jeder Kondensator hat eine Kapazität von $C=3{,}09\,µ \textnormal{F}$.\\

Die auftretende Spitzenspannung ist der Scheitelwert der Strangspannung.
\[\begin{array}{rcll}
U_{max}&=&\sqrt{2} \cdot U_S \\
&=&\sqrt{2} \cdot 5{,}77\,\textnormal{kV}\\
U_{max}&=&8{,}16\,\textnormal{kV}\\
\end{array}\]

\underline{Ergebnis 3:}
Die Spitzenspannung an einem Kondensator beträgt
$U_{max}=8{,}16\,\textnormal{kV}$.

\end{document}
\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(0,0)(5.8,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
\caption{Bildunterschrift}
%-------------------------
\pnode(0,0){A} \qdisk(A){2pt}
  \Ucc[tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=-0.7,tensionlabel=$U$,
    tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=-1.2,
    tensionwidth=\pslinewidth](A)(B){}
  \resistor[labeloffset=-0.8,tension,tensioncolor=blue,tensionoffset=0.5,
    tensionlabel=$U_1$,tensionlabelcolor=blue,tensionlabeloffset=1.0,
    tensionwidth=\pslinewidth,intensity,intensitycolor=red,intensitylabel=$I_1$,
     intensitylabelcolor=red,intensitylabeloffset=-0.5,
     intensitywidth=2\pslinewidth](C)(D){$R_1$}
  \pscustom{
   \psplot[linewidth=1.5pt]{1}{5}{x 3 exp 0.9 x x mul mul sub 2.9 x mul add}
   \gsave
   \psline(5,4)(5,0)(1,0)(1,1.6) % wird NICHT mitgezeichnet
   \fill[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]
  \grestore }
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,yunit=2]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3.8,-10.8)(7.8,19.6)
  \uput[-90](7.6,0){x}  \uput[180](0,19.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-3.8}{7.8}{x 3 add}
  \psline[linewidth=2pt,linecolor=green,linestyle=dashed](2,-10.8)(2,19.6)
  \psarcn[linewidth=0.5pt](D){0.4}{180}{90}
%-------------------------
\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
\ifpdf \url{url}\fi
\ifpdf \hypertarget{label}{Text}\fi
\begin{sideways}Beschriftung \end{sideways} % vertikale Schrift in Tabelle
\EUR{185}
 \hat =                  % "entspricht"
