\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\usepackage{amssymb} % Paket für R-, N-, Q-Symbole
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\usepackage{pst-node,pst-circ}
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\fi                   %
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\captionsetup{labelformat=empty}
%\pagestyle{empty}    % ohne Seitennummerierung
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\title{Aufstellen einer Funktionsgleichung nach vorgegebenen Eigenschaften}
\author{W. Kippels}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Grundlagen}
\subsection{Prinzipielle Vorgehensweise}
Sucht man eine Funktionsgleichung zu einer Funktion, von der man einige
Eigenschaften kennt, dann rollt man sozusagen eine
Kurvendiskussion\footnote{Einzelheiten zu Kurvendiskussionen siehe hier:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}\fi}
von hinten auf. Man schreibt sich zweckmäßigerweise den gesuchten Funktionstyp
in Normalform auf und bildet -- so weit erforderlich -- auch gleich die
Ableitungen. Am besten lässt sich das an einem Beispiel erklären.\\

Unser Beispiel hat folgende Aufgabenstellung:
\begin{quote}
\textbf{Ein Polynom dritten Grades hat einen Hochpunkt bei $\mathbf{H(1|5)}$
und einen Wendepunkt bei $\mathbf{W(2|1)}$. Wie lautet die zugehörige
Funktionsgleichung?}
\end{quote}

Wir stellen zunächst die Funktionsgleichung eines Polynomes dritten Grades in
Normalform auf:
\[f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\]
Da von einem Hochpunkt und von einem Wendepunkt die Rede ist, benötigen wir die
erste und zweite Ableitung:
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+2b \\
\end{array}\]

Jetzt müssen die Angaben in Gleichungen geformt werden. Zur Bestimmung der
\textbf{vier} Parameter $a$, $b$, $c$ und $d$ benötigt man \textbf{vier}
Gleichungen.\\

Bekannt ist, dass der Funktionsgraph durch den Punkt $H(1|5)$ verläuft. Das
bedeutet, dass wir den $y$-Wert 5 erhalten, wenn $x$ den Wert 1 ist. In
Gleichungsform sieht das dann so aus:
\[\begin{array}{rclcrcl}
f(1)&=&5 &\Rightarrow& a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d&=&5 \\
\end{array}\]

Außerdem wissen wir noch, dass beim $x$-Wert von 1 ein \textbf{Hochpunkt}
vorliegt. Das bedeutet, dass hier die \textbf{erste Ableitung Null} sein muss.
\[\begin{array}{rclcrcl}
f'(1)&=&0 &\Rightarrow& 3a \cdot 1^2+2b \cdot 1+c&=&0 \\
\end{array}\]

Damit haben wir alle Angaben zum ersten Punkt umgesetzt.\\

Ähnlich geht es nun beim zweiten Punkt weiter. Wir wissen, dass bei
\mbox{$x_W=2$} der $y$-Wert \mbox{$y_w=1$} vorliegt. Daraus machen wir wieder
eine Gleichung:
\[\begin{array}{rclcrcl}
f(2)&=&1 &\Rightarrow& a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d&=&1 \\
\end{array}\]

Außerdem wissen wir noch, dass die Funktion bei diesem $x$-Wert eine besondere
Eigenschaft hat. Hier liegt ein \textbf{Wendepunkt} vor. Das bedeutet, dass die
zweite Ableitung hier Null sein muss. Das formen wir in eine Gleichung um:
\[\begin{array}{rclcrcl}
f''(2)&=&0 &\Rightarrow& 6a \cdot 2+2b&=&0 \\
\end{array}\]

Damit haben wir die vier benötigten Bedingungen mit den zugehörigen Gleichungen
beisammen. Hier stelle ich sie noch einmal (mit einer Nummerierung) zusammen
dar:
\[\begin{array}{crclcrcl}
(1)&f(1)&=&5 &\Rightarrow& a \cdot 1^3+b \cdot 1^2+c \cdot 1+d&=&5 \\
(2)&f'(1)&=&0 &\Rightarrow& 3a \cdot 1^2+2b \cdot 1+c&=&0 \\
(3)&f(2)&=&1 &\Rightarrow& a \cdot 2^3+b \cdot 2^2+c \cdot 2+d&=&1 \\
(4)&f''(2)&=&0 &\Rightarrow& 6a \cdot 2+2b&=&0 \\
\end{array}\]

Die vier Gleichungen rechts der Implikationspfeile $\Rightarrow$ stellen das zu
lösende Gleichungssystem dar. Etwas zusammengefasst sieht dieses
Lineargleichungssystem vierter Ordnung so aus:
\[\begin{array}{|crrrrcl|}
\hline
(1)& a& +b& +c&+d&=&5 \\
(2)&3a&+2b& +c&  &=&0 \\
(3)&8a&+4b&+2c&+d&=&1 \\
(4)&12a&+2b&  &  &=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Das Gleichungssystem kann nun mit einem beliebigen
Lösungsverfahren\footnote{Einzelheiten zu möglichen Lösungsverfahren siehe
hier:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/lingl.pdf}\fi}
gelöst werden.

Es bietet sich an, die Gleichungen (1) und (3) voneinander zu subtrahieren, da
dies die einzigen Gleichungen sind, in denen der Parameter $d$ vorkommt. $c$
fällt dann weg.
\[\begin{array}{crrrrcrl}
(1)& a& +b& +c&+d&=&5 &|-\\
(3)&8a&+4b&+2c&+d&=&1 &| \\
\hline
(5)&7a&+3b& +c&  &=&-4 \\
\end{array}\]

Gleichung (5) stellt mit (2) und (4) nun ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung
dar.
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(2)& 3a&+2b&+c&=&0 \\
(4)&12a&+2b&  &=&0 \\
(5)& 7a&+3b&+c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]

Auch für den nächsten Reduktionsschritt bietet sich das
Additions-/Sub\-trak\-tions\-ver\-fah\-ren an, denn $c$ kommt nur in (2) und (5) vor.
Man kann (2) und (5) voneinander subtrahieren.
\[\begin{array}{crrrcrl}
(2)& 3a&+2b&+c&=&0 &|-\\
(5)& 7a&+3b&+c&=&-4&| \\
\hline
(6)& 4a&+b&&=&-4 \\
\end{array}\]

Mit den Gleichungen (4) und (6) haben wir jetzt ein Lineargleichungssystem 2.
Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|crrcr|}
\hline
(4)&12a&+2b&=&0 \\
(6)& 4a&+b&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]

Um das Gleichungssystem mit Hilfe des Additions-/Sub\-trak\-tions\-ver\-fah\-rens zu
lösen dividiere ich Gleichung (4) durch 2. Dann kann man die Gleichungen
voneinander subtrahieren, so dass $b$ wegfällt.
\[\begin{array}{crrcrl}
(4)&12a&+2b&=&0&|:2 \\
(6)& 4a&+b&=&-4 \\
\hline
(4)&6a&+b&=&0 &|\\
(6)&4a&+b&=&-4&|- \\
\hline
 &2a&&=&4 &|:2 \\
 &a&&=&2 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis setze ich in (6) ein, um $b$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
4a+b&=&-4 \\
4 \cdot 2+b&=&-4 \\
8+b&=&-4 &|-8 \\
b&=&-12 \\
\end{array}\]

Die beiden Werte setze ich in (1) ein und erhalte $c$.
\[\begin{array}{rcll}
3a+2b+c&=&0 \\
3 \cdot 2+2 \cdot (-12)+c&=&0 \\
6-24+c&=&0 \\
-18+c&=&0 &|+18 \\
c&=&18 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Zur Bestimmung setze ich die bekannten
Werte in (1) ein.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c+d&=&5 \\
2-12+18+d&=&5 \\
8+d&=&5 &|-8 \\
d&=&-3 \\
\end{array}\]

Hiermit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=2x^3-12x^2+18x-3$}\\

Fassen wir die Schritte, die zur Lösung geführt haben, noch einmal im Überblick
zusammen.
\begin{itemize}
\item Aufstellen der allgemeinen Funktionsgleichung in Normalform
\item Bilden der Ableitungen, so weit erforderlich
\item Angaben in der Aufgabenstellungen in Gleichungen formen -- ein
  Lineargleichungssystem entsteht
\item Lösen des Lineargleichungssystemes mit beliebigen Verfahren
\item Angabe der konkreten Lösungsfunktion
\end{itemize}

\newpage
\subsection{Lösungsrezepte}
Speziell das Umformen der Angaben im Text zu Gleichungen dürfte dem einen oder
anderen Probleme machen. Deshalb möchte ich hier "`kochbuchartig"' eine
Anleitung zusammenstellen. Um das Ganze etwas anschaulicher zu machen, führe
ich die Schritte am Beispiel eines Polynoms 4. Grades vor. Dazu müssen wir
vorweg die Funktion in Normalform sowie drei Ableitungen aufstellen.
\[\begin{array}{rcll}
f(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d \\
f''(x)&=&12ax^2+6bx+2c \\
f'''(x)&=&24ax+6b \\
\end{array}\]

\begin{description}
\item[Ein Punkt ist bekannt:] Gegeben sei \mbox{$P(x_p|y_p)$}.
 In diesem Fall stellt der $y$-Wert des Punktes den Funktionswert bei $x_p$
 dar:
 \[f(x_p)=y_p\]
 Für \mbox{$P(3|5)$} als Beispiel ergibt sich:
 \[f(3)=5 \quad \Rightarrow \quad
  a \cdot 3^4+b \cdot 3^3+c \cdot 3^2+d \cdot 3+e=5\]
 Hierbei spielt es keine Rolle, ob es sich bei dem gegebenen Punkt um einen
 Wendepunkt, einen Hoch- oder Tiefpunkt oder einen beliebigen Punkt handelt.
 Auch eine gegebene Nullstelle ist ein Punkt, denn dort ist der $y$-Wert mit
 \mbox{$y_p=0$} ja bekannt.
\item[Ein Hoch- oder Tiefpunkt ist bekannt:] Der Extremwert liege bei
 \mbox{$x=x_E$}. Hier ist immer die erste Ableitung Null, da die zugehörige
 Tangente an die Kurve waagerecht verläuft. Der Ansatz lautet also:
 \[f'(x_E)=0\]
 Im Beispiel liege der Extrempunkt bei \mbox{$x_E=3$}. Dann sieht der Ansatz
 folgendermaßen aus:
 \[f'(3)=0 \quad \Rightarrow \quad
  4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^2+2c \cdot 3+d=0\]
 \underline{Achtung!} Ist der Extrempunkt mit \textbf{beiden Koordinaten}
 bekannt, dann erfolgt \textbf{zusätzlich} die Behandlung als allgemeiner Punkt
 wie vorstehend beschrieben.
\item[Ein Wendepunkt ist bekannt:] Der Wendepunkt liege bei \mbox{$x=x_W$}. Im
 Wendepunkt ist bekanntlich immer die zweite Ableitung Null, da sich hier die
 Krümmungsrichtung ändert. Der Ansatz lautet also:
 \[f''(x_W)=0\]
 Im Beispiel liege der Wendepunkt bei \mbox{$x_W=3$}. Dann sieht der Ansatz
 folgendermaßen aus:
 \[f''(3)=0 \quad \Rightarrow \quad
 12a \cdot 3^2+6b \cdot 3+2c=0\]
 \underline{Achtung!} Ist der Wendepunkt mit \textbf{beiden Koordinaten}
 bekannt, dann erfolgt \textbf{zusätzlich} die Behandlung als allgemeiner Punkt
 wie weiter oben beschrieben.
\item[Ein Sattelpunkt ist bekannt:] Der Sattelpunkt liege bei \mbox{$x=x_S$}.
 In einem Sattelpunkt ist bekanntlich sowohl die erste als auch die zweite
 Ableitung Null. Daraus erhalten wir also gleich \textbf{zwei} Bedingungen mit
 den zugehörigen Ansätzen:
\[\begin{array}{rcll}
 f'(x_S)&=&0 \\
 f''(x_S)&=&0 \\
\end{array}\]
 Im Beispiel liege der Sattelpunkt bei \mbox{$x_S=3$}. Dann sehen die Ansätze
 folgendermaßen aus:
\[\begin{array}{rclcrcl}
 f'(3)&=&0 & \Rightarrow & 4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^2+2c \cdot 3+d&=&0 \\
 f''(3)&=&0 & \Rightarrow & 12a \cdot 3^2+6b \cdot 3+2c&=&0 \\
\end{array}\]
 \underline{Achtung!} Ist der Sattelpunkt mit \textbf{beiden Koordinaten}
 bekannt, dann erfolgt \textbf{zusätzlich} die Behandlung als allgemeiner Punkt
 wie weiter oben beschrieben.
\item[Ein Flachpunkt ist bekannt:] Der Flachpunkt liege bei \mbox{$x=x_F$}.
 In einem Flachpunkt ist bekanntlich sowohl die zweite als auch die dritte
 Ableitung Null. Daraus erhalten wir also gleich \textbf{zwei} Bedingungen mit
 den zugehörigen Ansätzen:
\[\begin{array}{rcll}
 f''(x_F)&=&0 \\
 f'''(x_F)&=&0 \\
\end{array}\]
 Im Beispiel liege der Flachpunkt bei \mbox{$x_F=3$}. Dann sehen die Ansätze
 folgendermaßen aus:
\[\begin{array}{rclcrcl}
 f''(3)&=&0 &\Rightarrow& 12a \cdot 3^2+6b \cdot 3+2c&=&0 \\
 f'''(3)&=&0 &\Rightarrow& 24a \cdot 3+6b&=&0 \\
\end{array}\]
 \underline{Achtung!} Ist der Flachpunkt mit \textbf{beiden Koordinaten}
 bekannt, dann erfolgt \textbf{zusätzlich} die Behandlung als allgemeiner Punkt
 wie weiter oben beschrieben.
\item[Eine Tangentengleichung ist bekannt:] Eine Tangente erfüllt bekanntlich
 zwei Bedingungen:
 \begin{itemize}
 \item Tangente und Kurve verlaufen im Berührpunkt beide durch einen
   gemeinsamen Punkt. Die Funktionswerte sind also gleich.
 \item Tangente und Kurve verlaufen beide im Berührpunkt parallel, also mit der
   gleichen Steigung. Die Ableitungen sind daher gleich.
 \end{itemize}
 Daraus kann man zwei Bedingungen mit zwei Gleichungen ableiten. Wenn die
 Tangentengleichung $f_1(x)$ heißt und der Berührpunkt bei \mbox{$x=x_B$}
 liegt, lauten diese:
\[\begin{array}{rcll}
 f(x_B)&=&f_1(x_B) \\
 f'(x_B)&=&f'_1(x_B) \\
\end{array}\]
 In unserem Beispiel laute die Tangentengleichung \mbox{$f_1(x)=2x+4$}. Der
 Berührpunkt liege bei \mbox{$x_B=3$}. Dann sehen die Ansätze folgendermaßen
 aus:
\[\begin{array}{rclcrcl}
 f(3)&=&f_1(3)&\Rightarrow&
    a \cdot 3^4+b \cdot 3^3+c \cdot 3^2+d \cdot 3+e&=&2 \cdot 3+4 \\
 f'(3)&=&f'_1(3)&\Rightarrow& 4a \cdot 3^3+3b \cdot 3^2+2c \cdot 3+d&=&2 \\
\end{array}\]
\item[Die Funktion ist spiegelsymmetrisch zur \emph{y}-Achse:]
 Spiegelsymmetrie zur $y$-Achse bedeutet: \mbox{$f(x)=f(-x)$}. Ist die Funktion
 ein Polynom, dann bedeutet das, dass alle Potenzen von $x$ mit einem
 \textbf{ungeraden} Exponenten wegfallen. Man kann auch sagen: Die zugehörigen
 Koeffizienten sind Null. Unsere Beispielfunktion sieht dann so aus:
\[f(x)=ax^4+cx^2+e \]
\item[Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:]
 Punktsymmetrie bedeutet: \mbox{$f(x)=-f(-x)$}. Ist die Funktion ein Polynom,
 dann bedeutet das, dass alle Potenzen von $x$ mit einem \textbf{geraden}
 Exponenten wegfallen. Man kann auch sagen: Die zugehörigen Koeffizienten sind
 Null. Unsere Beispielfunktion sieht dann so aus:
\[f(x)=bx^3+dx \]
 \underline{Anmerkung:} Diese Funktion wäre dann allerdings kein Polynom
 vierten, sondern nur noch dritten Grades. Ein echtes Polynom vierten Grades
 kann nicht punktsymmetrisch sein.
\end{description}

Mit dieser Anleitung sollte es eigentlich möglich sein, die nachfolgenden
Übungsaufgaben zu lösen.

\newpage
\section{Übungsaufgaben}
Im nächsten Kapitel stehen die zugehörigen Ergebnisse. Durchgerechnete Lösungen
mit Lösungsweg sind im übernächsten Kapitel zu finden.

\subsection{Aufgabe 1}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=1$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{w}=-1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\subsection{Aufgabe 2}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$T(5|-12,5)$} und
einen Hochpunkt bei \mbox{$H(1|3,5)$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung des Polynoms \mbox{$f(x)$}!

\subsection{Aufgabe 3}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(-1|8)$}. Bei
\mbox{$x=1$} lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-4x+4$} als Tangente an den Graphen der gesuchten
Funktion \mbox{$f_1(x)$} legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung!

\subsection{Aufgabe 4}
Ein Polynom 3. Grades berührt bei \mbox{$x_1=-2$} die Tangente mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-8x-15$}. Der Funktionsgraph
schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=1$}. Dort beträgt die Steigung
\mbox{$m=16$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}!

\subsection{Aufgabe 5}
Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse. Bei
\mbox{$x_W=-1$} hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=8x+6$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$}!

\subsection{Aufgabe 6}
Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph
der Funktion hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(2|48)$} und schneidet
die Gerade mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=5x+19$} an der Stelle
\mbox{$x_S=1$}.
Wie lautet die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion?

\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei \mbox{$S(0|4)$}. Bei
\mbox{$x_b=2$} berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=4x-8$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-2x+4$} in ihrem Schnittpunkt mit der
$y$-Achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_3(x)=2x^2+3x-1$} schneidet die gesuchte Parabel bei
\mbox{$x_S=2$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Parabel!

\subsection{Aufgabe 9}
Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}
schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=x^2+4x-4$} bei \mbox{$x_1=-1$} , bei \mbox{$x_2=2$} und bei
\mbox{$x_3=5$}. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt
bei \mbox{$x_{h}=1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=0$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{W}=1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\subsection{Aufgabe 11}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei $S(0|1)$ und einen Wendepunkt
bei $W(2|-15)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f(x)$} der
gesuchten Funktion!

\subsection{Aufgabe 12}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$x_E=0{,}5$} und einen
Sattelpunkt bei $S(2|0)$. Außerdem ist noch bekannt, dass der Funktionsgraph
durch den Punkt $P(3|3)$ verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f(x)$} der gesuchten Funktion!

\subsection{Aufgabe 13}
Ein Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_W=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=3x-4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=4$. Wie lautet
die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$?

\subsection{Aufgabe 14}
Ein Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt bei $W(3|2)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=9x-9$ als Tangente. Wie
lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$? \\

\newpage
\section{Ergebnisse}
(Die erforderlichen Lösungsansätze mit komplettem Lösungsweg finden Sie bei
Bedarf auf den nächsten Seiten.)
\subsection{Aufgabe 1}
$f_1(x)=x^3+3x^2-6x+2$

\subsection{Aufgabe 2}
$f(x)=0,5x^3-4,5x^2+7,5x$

\subsection{Aufgabe 3}
$f_1(x)=x^3-x^2-5x+5$

\subsection{Aufgabe 4}
$f_1(x)=2x^3+12x^2+16x+1$

\subsection{Aufgabe 5}
$f_1(x)=x^4-6x^2+3$

\subsection{Aufgabe 6}
$f_1(x)=-x^5+5x^3+20x$

\subsection{Aufgabe 7}
$f_1(x)=1,25x^4-3x^3+4$

\subsection{Aufgabe 8}
$f_1(x)=3,25x^2-2x+4$

\subsection{Aufgabe 9}
$f_1(x)=x^3-5x^2+7x+6$

\subsection{Aufgabe 10}
$f_1(x)=x^3-3x^2-6x$

\subsection{Aufgabe 11}
$f(x)=x^4-4x^3+1$

\subsection{Aufgabe 12}
$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x$

\subsection{Aufgabe 13}
$f(x)=x^3-6x^2+9x-4$

\subsection{Aufgabe 14}
$f(x)=x^3-9x^2+24x-16$

\newpage
\section{Lösungsansätze mit durchgerechneten Lösungen}

\subsection{Aufgabe 1}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=1$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{w}=-1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f_1''(x)&=&6ax+2b \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionsw. am Wendep. $x_W=-1$ : \= $f_1(-1)=f_2(1)=-10$ \= \kill
Nullstelle bei $x_0=1$ : \>$f_1(1)=0$ \>
  $\Rightarrow a+b+c+d=0$ \\
Wendep. bei $x_W=-1$ :\>$f''_1(-1)=0$\> $\Rightarrow -6a+2b=0$ \\
Steig. am Wendep. $x_W=-1$ :\>$f'_1(-1)=f_2'(-1)=-9$\>
  $\Rightarrow 3a-2b+c=-9$ \\
Funktionsw. am Wendep. $x_W=-1$ :\>$f_1(-1)=f_2(-1)=10$\>
  $\Rightarrow -a+b-c+d=10$ \\
\end{tabbing}
Zusammengefasst sieht unser Gleichungssystem so aus:
\[\begin{array}{|crrrrcr|}
\hline
(1) & a &+b &+c &+d&=&0 \\
(2) &-6a&+2b&&&=&0 \\
(3) &3a &-2b&+c&&=&-9 \\
(4) &-a &+b &-c &+d&=&10 \\
\hline
\end{array}\]

Der Parameter $d$ kommt nur in den Gleichungen (1) und (4) vor. Ich subtrahiere
Gleichung (4) von Gleichung (1), damit $d$ wegfällt. Die neue Gleichung nenne
ich (5).
\[\begin{array}{crrrrcrl}
(1) & a &+b &+c &+d&=&0  &| \\
(4) &-a &+b &-c &+d&=&10 &|-\\
\hline
(5) &2a &   &+2c&&=&-10 \\
\end{array}\]

Zusammen mit den Gleichungen (2) und (3) bleibt jetzt ein Gleichungssystem 3.
Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(5) &2a &   &+2c&=&-10 \\
(2) &-6a&+2b&   &=&0 \\
(3) &3a &-2b&+c &=&-9 \\
\hline
\end{array}\]

Als nächstes möchte ich den Parameter $c$ eleminieren. Das bietet sich an, da
er nur zweimal vorkommt. Dazu halbiere ich Gleichung (5) und subtrahiere davon
Gleichung (3).

\[\begin{array}{crrrcrl}
(5) &2a &   &+2c&=&-10 &|:2 \\
(3) &3a &-2b&+c &=&-9 \\
\hline
(5) &a &   &+c&=&-5 &| \\
(3) &3a&-2b&+c &=&-9&|- \\
\hline
(6) &-2a&+2b&&=&4 \\
\end{array}\]

Jetzt habe ich noch die Gleichungen (6) und (2) übrig behalten.
\[\begin{array}{|crrcr|}
\hline
(2) &-6a&+2b&=&0 \\
(6) &-2a&+2b&=&4 \\
\hline
\end{array}\]

Ich subtrahiere Gleichung (2) von (6), damit $b$ wegfällt.

\[\begin{array}{crrcll}
(2) &-6a&+2b&=&0 &|- \\
(6) &-2a&+2b&=&4 &| \\
\hline
    & 4a&&=&4 &|:4 \\
    &  a&&=&1 \\
\end{array}\]

Damit ist der erste Parameter bekannt. Mit dem Ergebnis und Gleichung (2)
bestimme ich $b$.

\[\begin{array}{rcll}
-6a+2b&=&0 \\
-6 \cdot 1+2b&=&0 \\
-6+2b&=&0 &|+6 \\
2b&=&6 &|:2 \\
b&=&3 \\
\end{array}\]

Der Parameter $c$ kann nun mit Gleichung (3) bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
3a-2b+c&=&-9 \\
3 \cdot 1-2 \cdot 3+c&=&-9 \\
-3+c&=&-9 &|+3 \\
c&=&-6 \\
\end{array}\]

Zum Schluss muss noch $d$ bestimmt werden. Dafür verwende ich Gleichung (1).
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c+d&=&0 \\
1+3-6+d&=&0 \\
-2+d&=&0 &|+2 \\
d&=&2 \\
\end{array}\]

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3+3x^2-6x+2$}

\newpage   %---------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 2}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$T(5|-12,5)$} und
einen Hochpunkt bei \mbox{$H(1|3,5)$}. Bestimmen Sie die
Funktionsgleichung des Polynoms \mbox{$f(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=5$ : \= $f(5)=-12,5$ \= \kill
Tiefpunkt bei $x_t=5$ : \>$f'(5)=0$ \>
  $\Rightarrow 75a+10b+c=0$ \\
Funktionswert am Tiefpunkt $x_t=5$ : \>$f(5)=-12,5$\>
  $\Rightarrow 125a+25b+5c+d=-12,5$ \\
Hochpunkt bei $x_h=1$ : \>$f'(1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=0$ \\
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=1$ : \>$f(1)=3,5$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=3,5$ \\
\end{tabbing}

Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b& +c&  &=&0 \\
(2) &125a&+25b&+5c&+d&=&-12,5 \\
(3) &  3a& +2b& +c&  &=&0 \\
(4) &   a&  +b& +c&+d&=&3,5 \\
\hline
\end{array}\]
Man erkennt sofort, dass der Parameter $d$ nur in zwei Gleichungen -- (2) und
(4) -- vorkommt. Da jeweils $d$ allein auftritt, können die Gleichungen sofort
voneinander subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(2) &125a&+25b&+5c&+d&=&-12,5&| \\
(4) &   a&  +b& +c&+d&=&3,5&|&- \\
\hline
(5) &124a&+24b&+4c&  &=&-16 \\
\end{array}\]
Mit dieser Gleichung (5) anstelle von (2) und (4) bleibt ein
Lineargleichungssystem 3. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b& +c&=&0 \\
(3) &  3a& +2b& +c&=&0 \\
(5) &124a&+24b&+4c&=&-16 \\
\hline
\end{array}\]
Zur Vereinfachung kann Gleichung (5) noch durch 4 dividiert werden.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 75a&+10b&+c&=&0 \\
(3) &  3a& +2b&+c&=&0 \\
(5) & 31a& +6b&+c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Jetzt sind alle Koeffizienten von $c$ gleich. Daher bietet sich das
Additions-/Sub\-trak\-tions\-ver\-fah\-ren an. Zunächst subtrahiere ich Gleichung (3) von
Gleichung (1).
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 75a&+10b&+c&=&0&| \\
(3) &  3a& +2b&+c&=&0&|&- \\
\hline
(6) & 72a& +8b&  &=&0 \\
\end{array}\]
Dann subtrahiere ich Gleichung (5) von Gleichung (1).
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 75a&+10b&+c&=&0&| \\
(5) & 31a& +6b&+c&=&-4&|&- \\
\hline
(7) & 44a& +4b&  &=&4 \\
\end{array}\]
Gleichung (6) und (7) stellen nun ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung dar.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(6) & 72a& +8b&=&0 \\
(7) & 44a& +4b&=&4 \\
\hline
\end{array}\]
Beide Gleichungen können noch etwas vereinfacht werden. Gleichung (6) lässt
sich durch 8 dividieren und Gleichung (7) durch 4.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(6) & 9a& +b&=&0 \\
(7) &11a& +b&=&1 \\
\hline
\end{array}\]
In dieser Form lassen sich die Gleichungen voneinander subtrahieren, so dass
$b$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(6) & 9a& +b&=&0&|&- \\
(7) &11a& +b&=&1&| \\
\hline
    & 2a&   &=&1&|&:2 \\
    &  a&   &=&0,5
\end{array}\]
Dieses Ergebnis setze ich in Gleichung (6) ein.
\begin{eqnarray*}
9a+b&=&0 \\
9 \cdot 0,5+b&=&0 \quad|-4,5 \\
b&=&-4,5
\end{eqnarray*}
Diese Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein.
\begin{eqnarray*}
3a+2b+c&=&0 \\
3 \cdot 0,5+2 \cdot (-4,5)+c&=&0 \\
-7,5+c&=&0 \quad|+7,5 \\
c&=&7,5
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=0,5x^3-4,5x^2+7,5x$}

\newpage  %-----------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
Ein Polynom 3. Grades hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(-1|8)$}. Bei
\mbox{$x=1$} lässt sich die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=-4x+4$} als Tangente an den Graphen der gesuchten
Funktion \mbox{$f_1(x)$} legen. Bestimmen Sie diese Funktionsgleichung!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=-1$ : \= $f_1'(1)=f_2'(1)=-4$ \= \kill
Hochpunkt bei $x_h=-1$ : \>$f_1'(-1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a-2b+c=0$ \\
Funktionswert am Hochpunkt $x_h=-1$ : \>$f_1(-1)=8$\>
  $\Rightarrow -a+b-c+d=8$ \\
Steigung bei $x_1=1$ : \>$f_1'(1)=f_2'(1)=-4$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=-4$ \\
Funktionswert bei $x_1=1$ : \>$f_1(1)=f_2(1)=0$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=0$ \\
\end{tabbing}
Damit haben wir folgendes Gleichungssystem erhalten:
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & 3a&-2b&+c&  &=&0 \\
(2) & -a& +b&-c&+d&=&8 \\
(3) & 3a&+2b&+c&  &=&-4 \\
(4) &  a& +b&+c&+d&=&0 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass der Parameter $d$ nur in Gleichung (2) und (4) enthalten
ist. Daher ist es sinnvoll, diese beiden Gleichungen so miteinander zu
kombinieren, dass $d$ wegfällt. Das geht ab besten durch Subtrahieren. Die neue
Gleichung bekommt die Nummer (5).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(2) & -a& +b&-c&+d&=&8&|&- \\
(4) &  a& +b&+c&+d&=&0&|& \\
\hline
(5)=(4)-(2)&2a&&+2c&&=&-8
\end{array}\]
Zufälligerweise ist dabei auch $b$ weggefallen. Auf jeden Fall haben wir jetzt
nur noch 3 Gleichungen mit 3 Variablen.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(5) &2a&&+2c&=&-8 \\
(1) & 3a&-2b&+c&=&0 \\
(3) & 3a&+2b&+c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Addiert man Gleichung (1) und (3), dann fällt $b$ weg und es bleiben nur noch
zwei Gleichungen mit zwei Variablen übrig.
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(1) & 3a&-2b&+c&=&0 &| \\
(3) & 3a&+2b&+c&=&-4&|&+ \\
\hline
(6) & 6a&&+2c&=&-4 \\
\end{array}\]
Das wiederum vereinfachte Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(5) &2a&+2c&=&-8 \\
(6) & 6a&+2c&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
In diesem Gleichungssystem kann bequem $c$ eliminiert werden, wenn man die
Gleichungen voneinander subtrahiert.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(5) &2a&+2c&=&-8 &|&-\\
(6) & 6a&+2c&=&-4&| \\
\hline
    & 4a&   &=&4&|&:4 \\
    &  a&   &=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein.
\begin{eqnarray*}
2a+2c&=&-8 \\
2 \cdot 1+2c&=&-8 \quad|-2 \\
2c&=&-10 \quad|:2 \\
c&=&-5 \\
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
3a-2b+c&=&0 \\
3 \cdot 1-2b-5&=&0 \\
-2b-2&=&0 \quad|+2 \\
-2b&=&2 \quad|:(-2) \\
b&=&-1 \\
\end{eqnarray*}
Jetzt fehlt nur noch $d$. Dazu verwende ich Gleichung (4).
\begin{eqnarray*}
a+b+c+d&=&0 \\
1-1-5+d&=&0 \quad|+5 \\
d&=&5 \\
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-x^2-5x+5$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 4}
Ein Polynom 3. Grades berührt bei \mbox{$x_1=-2$} die Tangente mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-8x-15$}. Der Funktionsgraph
schneidet die $y$-Achse bei \mbox{$y_0=1$}. Dort beträgt die Steigung
\mbox{$m=16$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_1=-2$ : \=$f_1'(-2)=f_2'(-2)=-8$ \= \kill
Steigung bei $x_1=-2$ : \>$f_1'(-2)=f_2'(-2)=-8$ \>
  $\Rightarrow 12a-4b+c=-8$ \\
Funktionswert bei $x_1=-2$ : \>$f_1(-2)=f_2(-2)=1$\>
  $\Rightarrow -8a+4b-2c+d=1$ \\
Funktionswert bei $x_2=0$ : \>$f_1(0)=1$\>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d=1$ \\
Steigung bei $x_2=0$ : \>$f_1'(0)=16$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=16$ \\
\end{tabbing}

Bekannt sind aus den beiden letzten Gleichungen sofort \mbox{$c=16$} und
\mbox{$d=1$}. Setzen wir das in die beiden ersten Gleichungen ein, erhalten
wir:
\[\begin{array}{rrcl}
(1) & 12a-4b+c&=&-8 \\
(2) & -8a+4b-2c+d&=&1 \\
\hline
(1) & 12a-4b+16&=&-8 \\
(2) & -8a+4b-2 \cdot 16+1&=&1 \\
\hline
(1) & 12a-4b&=&-24 \\
(2) & -8a+4b&=&32 \\
\hline
\end{array}\]
Es bietet sich an, die beiden Gleichungen zu addieren, damit $b$ wegfällt.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 12a&-4b&=&-24&| \\
(2) & -8a&+4b&=&32 &|&+\\
\hline
    &  4a&   &=&8  &|&:4 \\
    &   a&   &=&2
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein.
\begin{eqnarray*}
-8a+4b&=&32 \\
-8 \cdot 2+4b&=&32 \quad|+16 \\
4b&=&48 \quad|:4 \\
b&=&12
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=2x^3+12x^2+16x+1$}


\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Ein Polynom 4. Grades ist spiegelsymmetrisch zur $y$-Achse. Bei
\mbox{$x_W=-1$} hat sie eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=8x+6$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \textnormal{ Wegen Spiegelsymmetrie: }
  \Rightarrow b=d=0 \textnormal{ also:}\\
f_1(x)&=&ax^4+cx^2+e \\
f_1'(x)&=&4ax^3+2cx \\
f_1''(x)&=&12ax^2+2c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_W=-1$ : \= $f_1'(-1)=f_2'(-1)=-2$ \= \kill
Wendepunkt bei $x_W=-1$ : \> $f_1''(-1)=0$ \> $\Rightarrow 12a+2c=0$ \\
Steigung bei $x_W=-1$ : \> $f_1'(-1)=f_2'(-1)=8$ \>
  $\Rightarrow -4a-2c=8$ \\
Funktionswert bei $x_W=-1$ : \> $f_1(-1)=f_2(-1)=-2$ \>
  $\Rightarrow a+c+e=-2$
\end{tabbing}
Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|rrrrcl|}
\hline
(1) &  12a&+2c&  &=&0 \\
(2) &  -4a&-2c&  &=&8 \\
(3) &    a& +c&+e&=&-2 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass die Koeffizienten von $c$ in Gleichung (1) und (2) bis auf
das Vorzeichen identisch sind. Addiert man diese Gleichungen, dann bleibt nur
$a$ übrig und kann aus dieser einen Gleichung berechnet werden.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 12a&+2c&=&0&| \\
(2) & -4a&-2c&=&8&|&+ \\
\hline
    &  8a&&=&8&|&:8 \\
    &   a&&=&1
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (1) ein.
\begin{eqnarray*}
12a+2c&=&0 \\
12 \cdot 1+2c&=&0 \\
12+2c&=&0 \quad|-12 \\
2c&=&-12 \quad|:2 \\
c&=&-6 \\
\end{eqnarray*}
Beide Ergebnisse werden in Gleichung (3) eingesetzt, um $e$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
a+c+e&=&-2 \\
1-6+e&=&-2 \\
-5+e&=&-2 \quad|+5 \\
e&=&3 \\
\end{eqnarray*}      \enlargethispage{10mm}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^4-6x^2+3$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 6}
Ein Polynom 5. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Graph
der Funktion hat einen Hochpunkt bei \mbox{$H(2|48)$} und schneidet
die Gerade mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=5x+19$} an der Stelle
\mbox{$x_s=1$}.
Wie lautet die Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion?

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f \textnormal{ Wegen Punktsymmetrie: }
  \Rightarrow b=d=f=0 \textnormal{ also:}\\
f_1(x)&=&ax^5+cx^3+ex \\
f_1'(x)&=&5ax^4+3cx^2+e \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_h=2$ : \= $f_1(1)=f_2(1)=24$ \=  \kill
Hochpunkt bei $x_h=2$ : \> $f_1'(2)=0$ \> $\Rightarrow 80a+12c+e=0$ \\
Funktionswert bei $x_h=2$ : \> $f_1(2)=48$ \> $\Rightarrow 32a+8c+2e=48$ \\
Funktionswert bei $x_s=1$ : \> $f_1(1)=f_2(1)=24$ \> $\Rightarrow
  a+c+e=24$
\end{tabbing}
Wir haben ein Gleichungssystem 3. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|rrrrcl|}
\hline
(1) & 80a&+12c& +e&=&0 \\
(2) & 32a& +8c&+2e&=&48 \\
(3) &   a&  +c& +e&=&24 \\
\hline
\end{array}\]
Da das Gleichungssystem keine Besonderheiten aufweist, die ein bestimmtes
Vorgehen als besonders günstig erscheinen lassen, wähle ich zur Lösung die
Cramersche Regel\footnote{Einzelheiten zur Cramerschen Regel siehe
hier: \ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi}.
\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{\begin{array}{|ccc|}
 0 & 12 & 1 \\
48 &  8 & 2 \\
24 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
 0 & 12 \\
48 &  8 \\
24 &  1 \\
\end{array}}}
{\begin{array}{|ccc|}
80 & 12 & 1 \\
32 &  8 & 2 \\
 1 &  1 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
80 & 12 \\
32 &  8 \\
 1 &  1 \\
\end{array}}}\\
&=&\frac{0+576+48-0-192-576}{640+24+32-8-160-384}\\
&=&\frac{-144}{144}\\
a&=&-1 \\
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
b&=&\frac{\begin{array}{|ccc|}
80 &  0 & 1 \\
32 & 48 & 2 \\
 1 & 24 & 1 \\
\end{array}\textcolor{green}{\begin{array}{cc}
80 &  0 \\
32 & 48 \\
 1 & 24 \\
\end{array}}}
{144}\\
&=&\frac{3840+0+768-48-3840-0}{144}\\
&=&\frac{720}{144}\\
b&=&5 \\
\end{eqnarray*}
Zur Bestimmung von $c$ setze ich diese Werte in Gleichung (3) ein.
\begin{eqnarray*}
a+c+e&=&24 \\
-1+5+e&=&24 \quad|-4 \\
e&=&20
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=-x^5+5x^3+20x$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei \mbox{$S(0|4)$}. Bei
\mbox{$x_b=2$} berührt sie die Gerade mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=4x-8$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f_1'(x)&=&4ax^3+3bx^2+2cx+d \\
f_1''(x)&=&12ax^2+6bx+2c \\
\end{eqnarray*}
{\footnotesize
\begin{tabbing}
Sattelpunkt $\Rightarrow$ Wendepunkt bei $x_s=0$ : \= $f_1'(2)=f_2'(2)=4$ \= \kill
Sattelpunkt bei $x_s=0$ : \> $f_1'(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0  \cdot c+d=0$ \\
Sattelpunkt $\Rightarrow$ Wendepunkt bei $x_s=0$ : \> $f_1''(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=0$ \\
Funktionswert bei $x_s=0$ : \> $f_1(0)=4$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0  \cdot c+0 \cdot d+e=4$ \\
Steigung bei $x_b=2$ : \> $f_1'(2)=f_2'(2)=4$ \>
  $\Rightarrow 32a+12b+4c+d=4$ \\
Funktionswert bei $x_b=2$ : \> $f_1(2)=f_2(2)=0$ \>
  $\Rightarrow 16a+8b+4c+2d+e=0$
\end{tabbing}
}
Aus den ersten drei Gleichungen ergeben sich sofort die Parameter
\mbox{$d=0$}, \mbox{$c=0$} und \mbox{$e=4$}.
Diese Ergebnisse setze ich in die letzten beiden Gleichungen ein.
\[\begin{array}{rrcl}
(1) & 32a+12b+4c+d&=&4 \\
(2) & 16a+8b+4c+2d+e&=&0 \\
\hline
(1) & 32a+12b&=&4 \\
(2) & 16a+8b+4&=&0 \\
\hline
(1) & 32a+12b&=&4 \\
(2) & 16a+8b&=&-4 \\
\hline
\end{array}\]
Dividiert man die erste Gleichung durch 2, dann kann man die Gleichungen
voneinander subtrahieren, um $b$ zu erhalten.
\[\begin{array}{rrrclcl}
(1) & 32a&+12b&=&4&|&:2 \\
(2) & 16a&+8b&=&-4 \\
\hline
(1) & 16a&+6b&=&2&|&- \\
(2) & 16a&+8b&=&-4&|& \\
\hline
    &    &2b&=&-6&|&:2 \\
    &    & b&=&-3
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (2) ein.
\begin{eqnarray*}
16a+8b&=&-4 \\
16a+8 \cdot (-3)&=&-4 \quad|+24 \\
16a&=&20 \quad|:16 \\
a&=&1,25
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=1,25x^4-3x^3+4$}


\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 8}
Ein Polynom 2. Grades (eine Parabel) berührt die Gerade mit der
Funktionsgleichung \mbox{$f_2(x)=-2x+4$} in ihrem Schnittpunkt mit der
$y$-Achse. Eine andere Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_3(x)=2x^2+3x-1$} schneidet die gesuchte Parabel bei
\mbox{$x_s=2$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Parabel!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^2+bx+c \\
f_1'(x)&=&2ax+b \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_b=0$ : \= $f_1'(0)=f_2'(0)=-2$ \= \kill
Steigung bei $x_b=0$ : \> $f_1'(0)=f_2'(0)=-2$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+b=-2$ \\
Funktionswert bei $x_b=0$ : \> $f_1(0)=f_2(0)=4$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+c=4$ \\
Funktionswert bei $x_s=2$ : \> $f_1(2)=f_3(2)=13$
  $\Rightarrow 4a+2b+c=13$
\end{tabbing}

Die weitere Lösung ist sehr simpel. Aus den ersten beiden Gleichungen ergibt
sich direkt \mbox{$b=-2$} und \mbox{$c=4$}. Diese Werte müssen nur noch in die
dritte Gleichung eingesetzt werden.
\begin{eqnarray*}
4a+2b+c&=&13 \\
4a+2 \cdot (-2)+4&=&13 \\
4a&=&13 \quad|:4 \\
a&=&3,25
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=3,25x^2-2x+4$}

\newpage      %---------------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 9}
Ein Polynom 3. Grades mit der Funktionsgleichung \mbox{$f_1(x)$}
schneidet die Parabel mit der Funktionsgleichung
\mbox{$f_2(x)=x^2+4x-4$} bei \mbox{$x_1=-1$} , bei \mbox{$x_2=2$} und bei
\mbox{$x_3=5$}. Außerdem hat der Graph der gesuchten Funktion einen Hochpunkt
bei \mbox{$x_{h}=1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f_1(x)$} der gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
\end{eqnarray*}
\begin{tabbing}
Funktionswert bei $x_1=-1$ : \= $f_1(-1)=f_2(-1)=-7$ \= \kill
Funktionswert bei $x_1=-1$ : \> $f_1(-1)=f_2(-1)=-7$ \>
  $\Rightarrow -a+b-c+d=-7$ \\
Funktionswert bei $x_1=2$ : \> $f_1(2)=f_2(2)=8$ \>
  $\Rightarrow 8a+4b+2c+d=8$ \\
Funktionswert bei $x_1=5$ : \> $f_1(5)=f_2(5)=41$ \>
  $\Rightarrow 125a+25b+5c+d=41$ \\
Hochpunkt bei $x_h=1$ : \> $f_1'(1)=0$ \>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=0$
\end{tabbing}
Wir haben ein Lineargleichungssystem 4. Ordnung erhalten.
\[\begin{array}{|lrrrrcl|}
\hline
(1) & -a&+b&-c&+d&=&-7 \\
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8 \\
(3) & 125a&+25b&+5c&+d&=&41 \\
(4) & 3a&+2b&+c&&=&0 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass der Parameter $d$ in Gleichung (4) nicht vorkommt und in den
anderen Gleichungen jeweils nur einfach. Daher bietet es sich an, zunächst $d$
zu eliminieren. Dazu subtrahiere ich Gleichung (1) von Gleichung (2) und
erhalte Gleichung (5).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
(1) & -a&+b&-c&+d&=&-7&|&- \\
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8&| \\
\hline
(5) & 9a&+3b&+3c&&=&15
\end{array}\]
Dann subtrahiere ich Gleichung (2) von Gleichung (3) und erhalte Gleichung (6).
\[\begin{array}{lrrrrclcl}
\hline
(2) & 8a&+4b&+2c&+d&=&8&|&- \\
(3) & 125a&+25b&+5c&+d&=&41&| \\
\hline
(6) & 117a&+21b&+3c&&=&33
\end{array}\]
Übrig bleibt ein Lineargleichungssystem 3. Ordnung.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(4) & 3a&+2b&+c&=&0 \\
(5) & 9a&+3b&+3c&=&15 \\
(6) & 117a&+21b&+3c&=&33 \\
\hline
\end{array}\]
Das Gleichungssystem lässt sich etwas vereinfachen, wenn man sowohl Gleichung
(5) als auch Gleichung (6) durch 3 dividiert.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(4) & 3a&+2b&+c&=&0 \\
(5) & 3a&+b&+c&=&5 \\
(6) & 39a&+7b&+c&=&11 \\
\hline
\end{array}\]
Es fällt auf, dass in Gleichung (4) und (5) die Koeffizienten von $a$ und $c$
übereinstimmen. Das kann man ausnutzen, indem man die beiden Gleichungen
voneinander subtrahiert. Dann fallen beide gleichzeitig weg!
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(4) & 3a&+2b&+c&=&0&| \\
(5) & 3a&+b&+c&=&5&|&- \\
\hline
(7) &   &  b& &=&-5 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis wird nun in Gleichung (6) und entweder in Gleichung (4) oder
Gleichung (5) eingesetzt. Ich wähle willkürlich Gleichung (5) aus. Dann bleibt
ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(5) & 3a&-5&+c&=&5 \\
(6) & 39a&+7 \cdot (-5)&+c&=&11 \\
\hline
\end{array}\]
Aufgelöst in Normalform sieht das System so aus:
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(5) & 3a&+c&=&10 \\
(6) & 39a&+c&=&46 \\
\hline
\end{array}\]
Da jeweils $c$ allein vorkommt, können die Gleichungen sofort voneinander
subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrclcl}
(5) & 3a&+c&=&10&|&- \\
(6) & 39a&+c&=&46&| \\
\hline
    & 36a&&=&36&|&:36 \\
    &   a&&=&1 \\
\end{array}\]
Das Ergebnis setze ich in Gleichung (5) ein.
\begin{eqnarray*}
3a+c&=&10 \\
3 \cdot 1+c&=&10 \quad|-3 \\
c&=&7 \\
\end{eqnarray*}
Alle Ergebnisse setze ich in Gleichung (1) ein, um $d$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
-a+b-c+d&=&-7 \\
-1-5-7+d&=&-7 \quad|+13 \\
d&=&6
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-5x^2+7x+6$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
Ein Polynom 3. Grades hat eine Nullstelle bei \mbox{$x_{0}=0$} und einen
Wendepunkt bei \mbox{$x_{w}=1$}. Die Gleichung der Wendetangente lautet
\mbox{$f_2(x)=-9x+1$}. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms
\mbox{$f_1(x)$}!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f_1'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f_1''(x)&=&6ax+2b \\
\end{eqnarray*}
{\small
\begin{tabbing}
Funktionswert am Wendepunkt $x_W=1$ : \= $f_1(1)=f_2(1)=-8$ \= \kill
Nullstelle bei $x_0=0$ : \>$f_1(0)=0$ \>
  $\Rightarrow 0 \cdot a+0 \cdot b+0 \cdot c+d=0$ \\
Wendepunkt bei $x_W=1$ :\>$f''_1(1)=0$\> $\Rightarrow 6a+2b=0$ \\
Steigung am Wendepunkt $x_W=1$ :\>$f'_1(1)=f_2'(1)=-9$\>
  $\Rightarrow 3a+2b+c=-9$ \\
Funktionswert am Wendepunkt $x_W=1$ :\>$f_1(1)=f_2(1)=-8$\>
  $\Rightarrow a+b+c+d=-8$ \\
\end{tabbing}
}
Aus der ersten Gleichung erhält man sofort den Parameter \mbox{$d=0$}.
Eingesetzt in die anderen Gleichungen erhält man ein Lineargleichungssystem 3.
Ordnung.
\[\begin{array}{|lrrrcl|}
\hline
(1) & 6a&+2b&&=&0 \\
(2) & 3a&+2b&+c&=&-9 \\
(3) &  a& +b&+c&=&-8 \\
\hline
\end{array}\]
Nur in Gleichung (2) und (3) ist der Parameter $c$ enthalten. Da der Parameter
dort mit gleichem Koeffizienten\footnote{Der Koeffizient wird auch
\emph{Vorzahl} genannt. Das ist die Zahl, die vor einer Variablen steht.}
vorkommt, können die Gleichungen direkt voneinander subtrahiert werden.
\[\begin{array}{lrrrclcl}
(2) & 3a&+2b&+c&=&-9&| \\
(3) &  a& +b&+c&=&-8&|&- \\
\hline
(4) & 2a&+b&&=&-1
\end{array}\]
Damit bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig.
\[\begin{array}{|lrrcl|}
\hline
(1) & 6a&+2b&=&0 \\
(4) & 2a&+b&=&-1 \\
\hline
\end{array}\]
Ich löse Gleichung (4) nach $b$ auf und setze das Ergebnis in Gleichung (1)
ein.
\begin{eqnarray*}
2a+b&=&-1 \quad|-2a \\
b&=&-1-2a
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in (1):
\begin{eqnarray*}
6a+2b&=&0 \\
6a+2 \cdot (-1-2a)&=&0 \\
6a-2-4a&=&0 \quad|+2 \\
2a&=&2 \quad|:2 \\
a&=&1
\end{eqnarray*}
Mit der umgestellten Gleichung (1) bestimme ich $b$.
\[b=-1-2a=-1-2 \cdot 1=-3\]
Beide Ergebnisse setze ich in Gleichung (3) ein, um $c$ zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
a+b+c&=&-8 \\
1-3+c&=&-8 \quad|+2 \\
c&=&-6 \\
\end{eqnarray*}
Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f_1(x)=x^3-3x^2-6x$}

\newpage   %---------------------------------------------
\subsection{Aufgabe 11}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Sattelpunkt bei $S(0|1)$ und einen Wendepunkt
bei $W(2|-15)$. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung \mbox{$f(x)$} der
gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f_1'(x)&=&4x^3+3bx^2+2cx+d \\
f_1''(x)&=&12ax^2+6bx+2c \\
\end{eqnarray*}

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1) & f(0)&=&1 &\Rightarrow& a \cdot 0^4+b \cdot 0^3+c \cdot 0^2+d \cdot
   0+e&=&1 \\
(2) & f'(0)&=&0 &\Rightarrow& 4a \cdot 0^3+3b \cdot 0^2+2c \cdot 0+d&=&0 \\
(3) & f''(0)&=&0 &\Rightarrow& 12a \cdot 0^2+6b \cdot 0+2c&=&0 \\
(4) & f(2)&=&-15 &\Rightarrow& a \cdot 2^4+b \cdot 2^3+c \cdot 2^2+d \cdot
   2+e&=&-15 \\
(5) & f''&=&0 &\Rightarrow& 12a \cdot 2^2+6b \cdot 2+2c&=&0 \\
\end{array}\]

Aus (1) erhält man: \mbox{$e=1$}\\
Aus (2) erhält man: \mbox{$d=0$}\\
Aus (3) erhält man: \mbox{$c=0$}\\

Diese Werte werden in (4) und (5) eingesetzt.
\[\begin{array}{crcrl}
(4)&a \cdot 16+b \cdot 8+0 \cdot 4+0 \cdot 2+1&=&-15 &|-1 \\
(4)&a \cdot 16+b \cdot 8&=&-16 \\
(5)&12a \cdot 4+6b \cdot 2+2 \cdot 0&=&0 \\
\end{array}\]

Zusammengefasst bleibt ein Lineargleichungssystem 2. Ordnung übrig.

\[\begin{array}{|crrcr|}
\hline
(4)&16a &+8b &=&-16 \\
(5)&48a &+12b&=&0 \\
\hline
\end{array}\]

Dieses Gleichungssystem kann mit jedem beliebigen Lösungsverfahren gelöst
werden. Willkürlich wähle ich das
\textbf{Einsetzungsverfahren}\footnote{Einzelheiten zum Einsetzungsverfahren
siehe hier:\\
\ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/einsetz.pdf}\fi}.
Dazu löse ich Gleichung (5) nach $b$ auf.

\[\begin{array}{rcrl}
48a+12b&=&0 &|-48a \\
12b&=&-48a &|:12 \\
b&=&-4a \\
\end{array}\]

Dieses Ergebnis wird in (4) eingesetzt.
\[\begin{array}{rcrl}
16a+8b &=&-16 \\
16a+8 \cdot (-4a) &=&-16 \\
16a-32a&=&-16 \\
-16a&=&-16 &|:(-16) \\
a&=&1 \\
\end{array}\]

Eingesetzt in die umgestellte Gleichung (4) erhält man $b$.

\[b=-4a=-4 \cdot 1=-4\]

Damit lautet die gesuchte Funktionsgleichung:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^4-4x^3+1$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 12}
Ein Polynom 4. Grades hat einen Tiefpunkt bei \mbox{$x_E=0{,}5$} und einen
Sattelpunkt bei $S(2|0)$. Außerdem ist noch bekannt, dass der Funktionsgraph
durch den Punkt $P(3|3)$ verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung
\mbox{$f(x)$} der gesuchten Funktion!

\begin{eqnarray*}
f_1(x)&=&ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \\
f_1'(x)&=&4x^3+3bx^2+2cx+d \\
f_1''(x)&=&12ax^2+6bx+2c \\
\end{eqnarray*}

\[\begin{array}{crclcrcl}
(1) & f'(0{,}5)&=&0 &\Rightarrow& 4a \cdot 0{,}5^3+3b \cdot 0{,}5^2+2c \cdot
  0{,}5+d&=&0 \\
(2) & f(2)&=&0 &\Rightarrow& a \cdot 2^4+b \cdot 2^3+c \cdot 2^2+d \cdot
   2+e&=&0 \\
(3) & f'(2)&=&0 &\Rightarrow& 4a \cdot 2^3+3b \cdot 2^2+2c \cdot 2+d&=&0 \\
(4) & f''(2)&=&0 &\Rightarrow& 12a \cdot 2^2+6b \cdot 2+2c&=&0 \\
(5) & f(3)&=&3 &\Rightarrow& a \cdot 3^4+b \cdot 3^3+c \cdot 3^2+d \cdot
   3+e&=&3 \\
\end{array}\]

Die Gleichungen werden zusammengefasst. Man erhält ein Lineargleichungssystem
5. Ordnung.

\[\begin{array}{|crrrrrcr|}
\hline
(1)& 0{,}5a&+0{,}75b &+c &+d &  &=&0 \\
(2)& 16a   &+8b      &+4c&+2d&+e&=&0 \\
(3)& 32a   &+12b     &+4c&+d &  &=&0 \\
(4)& 48a   &+12b     &+2c&   &  &=&0 \\
(5)& 81a   &+27b     &+9c&+3d&+e&=&3 \\
\hline
\end{array}\]

Man erkennt sofort, dass es nur zwei Gleichungen gibt, in denen der Parameter
$e$ vorkommt. Subtrahiert man die voneinander, dann hat man nur noch 4
Gleichungen mit 4 Variablen.
\[\begin{array}{crrrrrcrl}
(5)& 81a &+27b &+9c&+3d&+e&=&3 &| \\
(2)& 16a &+8b  &+4c&+2d&+e&=&0 &|-\\
\hline
(6)& 65a &+19b &+5c&+d &&=&3 \\
\end{array}\]

Das Gleichungssystem reduziert sich folgendermaßen:
\[\begin{array}{|crrrrcr|}
\hline
(1)& 0{,}5a&+0{,}75b &+c &+d &=&0 \\
(3)& 32a   &+12b     &+4c&+d &=&0 \\
(4)& 48a   &+12b     &+2c&   &=&0 \\
(6)& 65a   &+19b     &+5c&+d &=&3 \\
\hline
\end{array}\]

Da in drei Gleichungen der Parameter $d$ ohne Koeffizienten auftritt, bietet
sich die Subtraktionsmethode \footnote{Einzelheiten zum
Additions-/Sub\-trak\-tions\-ver\-fah\-ren siehe hier:\\ \ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/add.pdf}\fi} an.
Ich bilde \mbox{$(3)-(1)$} und
\mbox{$(6)-(3)$}. Zusammen mit (4) erhalte ich ein Lineargleichungssystem 3.
Ordnung. Beginnen wir mit \mbox{$(3)-(1)=(7)$}.
\[\begin{array}{crrrrcrl}
(1)& 0{,}5a&+0{,}75b &+c &+d &=&0 &|- \\
(3)& 32a   &+12b     &+4c&+d &=&0 &|\\
\hline
(7)& 31{,}5a&+11{,}25b&+3c&&=&0 \\
\end{array}\]

Es folgt  \mbox{$(6)-(3)=(8)$}.
\[\begin{array}{crrrrcrl}
(3)& 32a &+12b &+4c&+d &=&0 &|- \\
(6)& 65a &+19b &+5c&+d &=&3 &| \\
\hline
(8)& 33a &+7b  &+c &&=&3 \\
\end{array}\]

Hiermit bleibt dieses System übrig:
\[\begin{array}{|crrrcr|}
\hline
(4)& 48a   &+12b     &+2c&=&0 \\
(7)& 31{,}5a&+11{,}25b&+3c&=&0 \\
(8)& 33a &+7b  &+c &=&3 \\
\hline
\end{array}\]

Da sich jetzt kein Verfahren besonders anbietet, verwende ich für die weitere
Lösung die Cramersche Regel \footnote{Einzelheiten zur Cramerschen Regel siehe
hier: \ifpdf \url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/cramer.pdf}\fi}.

\[\begin{array}{rcll}
a&=&\cfrac
{\begin{array}{|ccc|}
0 & 12 & 2 \\
0 &11{,}25&3 \\
3 & 7 & 1 \\
\end{array}}
{\begin{array}{|ccc|}
48 & 12 & 2 \\
31{,}5&11{,}25&3 \\
33 & 7 & 1 \\
\end{array}}\\
&=&\cfrac{108-67{,}5}{540+1\,188+441-742{,}5-1\,008-378}\\
&=&\cfrac{40{,}5}{40{,}5}\\
a&=&1 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
b&=&\cfrac
{\begin{array}{|ccc|}
48 & 0 & 2 \\
31{,}5&0&3 \\
33 & 3 & 1 \\
\end{array}}
{40{,}5}\\
&=&\cfrac{189-432}{40{,}5}\\
&=&\cfrac{-243}{40{,}5}\\
a&=&-6 \\
\end{array}\]

Die Ergbnisse setze ich in (8) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
33a+7b+c&=&3 \\
33 \cdot 1+7 \cdot (-6)+c&=&3 \\
-9+c&=&3 &|+9 \\
c&=&12 \\
\end{array}\]

Diese Ergebnisse werden in (3) eingesetzt, um $d$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
32a+12b+4c+d&=&0 &|\\
32 \cdot 1+12 \cdot (-6)+4 \cdot 12+d&=&0 \\
8+d&=&0 &|-8 \\
d&=&-8 \\
\end{array}\]

Alle bisherigen Ergebnisse werden in (2) eingesetzt, um $e$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
16a+8b+4c+2d+e&=&0 \\
16 \cdot 1+8 \cdot (-6)+4 \cdot 12+2 \cdot (-8)+e&=&0 \\
0+e&=&0 \\
e&=&0 \\
\end{array}\]

Damit kann man die Funktionsgleichung angeben:
\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x$}

\newpage
\subsection{Aufgabe 13}
Ein Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt an der Stelle $x_W=2$ mit der
Wendetangente $f_1(x)=3x-4$ und schneidet die $x$-Achse bei $x_0=4$. Wie lautet
die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$?

\paragraph{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrclr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_W=2&\Rightarrow&f''(2)=0&\Rightarrow&
  12a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{Tangente bei }x_W=2&\Rightarrow&f'(2)=f_1'(2)&\Rightarrow&
  12a&+4b&+c&&=&-3&(2) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(2)=f_1(2)&\Rightarrow&
  8a&+4b&+2c&+d&=&-2&(3) \\
\textnormal{Nullstelle bei }x_0=1&\Rightarrow&f(4)=0&\Rightarrow&
  a&+b&+c&+d&=&0&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (4) von (3).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(3)&8a&+4b&+2c&+d&=&-2&| \\
(4)&a&+b&+c&+d&=&0&|- \\
\hline
(5)&7a&+3b&+c&&=&-2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcr}
(1)&12a&+2b&&=&0 \\
(2)&12a&+4b&+c&=&-3 \\
(5)&7a&+3b&+c&=&-2 \\
\end{array}\]
Ich subtrahiere Gleichung (5) von Gleicung (2), so dass der Parameter $c$
wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(2)&12a&+4b&+c&=&-3&| \\
(5)&7a&+3b&+c&=&-2&|- \\
\hline
(6)&5a&+b&&=&-1 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (1) durch 2,
damit ich Gleichung (6) davon subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
(1)&12a&+2b&=&0 &|:2 \\
(6)&5a&+b&=&-1 \\
\hline
(1)&6a&+b&=&0&| \\
(6)&5a&+b&=&-1&|- \\
\hline
(7)&a&&=&1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+2b&=&0 \\
12 \cdot 1+2b&=&0 \\
12+2b&=&0 &|-12 \\
2b&=&-12 &|:2 \\
b&=&-6 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=1$ und $b=-6$ setze ich in Gleichung
(2) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
12a+4b+c&=&-3 \\
12 \cdot 1+4 \cdot (-6)+c&=&-3 \\
12-24+c&=&-3 \\
-12+c&=&-3 &|+12 \\
c&=&9 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (3) ein.
\[\begin{array}{rcll}
8a+4b+2c+d&=&-2 \\
8 \cdot 1+4 \cdot (-6)+2 \cdot 9+d&=&-2 \\
8-24+18+d&=&-2 \\
2+d&=&-2 &|-2 \\
d&=&-4 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-6x^2+9x-4$}\end{center}
\newpage

\subsection{Aufgabe 14}
Ein Polynom dritten Grades hat einen Wendepunkt bei $W(3|2)$ und berührt bei
$x_1=1$ die Gerade mit der Funktionsgleichung $f_2(x)=9x-9$ als Tangente. Wie
lautet die zugehörige Funktionsgleichung $f(x)$? \\

\paragraph{Lösung:}
Die gesuchte Funktionsgleichung hat nachstehende Grundform. Ich bestimme auch
gleich die ersten beiden Ableitungen.
\[\begin{array}{rcl}
f(x)&=&ax^3+bx^2+cx+d \\
f'(x)&=&3ax^2+2bx+c \\
f''(x)&=&6ax+b \\
\end{array}\]
Die Bedingungen aus der Aufgabenstellung führen zu folgenden Gleichungen:
\[\begin{array}{lclcrrrrcrr}
\textnormal{Wendepunkt bei }x_W=3&\Rightarrow&f''(3)=0&\Rightarrow&
  18a&+2b&&&=&0&(1) \\
\textnormal{(Wende-)Punkt }W(3|2)&\Rightarrow&f(3)=2&\Rightarrow&
  27a&+9b&+3c&+d&=&2&(2) \\
\textnormal{Tangente bei }x_1=1&\Rightarrow&f'(1)=f_2'(1)&\Rightarrow&
  3a&+2b&+c&&=&9&(3) \\
\textnormal{Berührpunkt der Tangente }&\Rightarrow&f(1)=f_2(1)&\Rightarrow&
  a&+b&+c&+d&=&0&(4) \\
\end{array}\]
Dieses Gleichungssystem muss nun gelöst werden. Um $d$ zu eliminieren,
subtrahiere ich die Gleichung (4) von (2).
\[\begin{array}{lrrrrcrl}
(2)&27a&+9b&+3c&+d&=&2&| \\
(4)&a&+b&+c&+d&=&0&|- \\
\hline
(5)&26a&+8b&+2c&&=&2 \\
\end{array}\]
Dadurch erhalte ich ein vereinfachtes Gleichungssystem mit nur noch 3
Gleichungen und 3 Variablen.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(1)&18a&+2b&&=&0 \\
(3)&3a&+2b&+c&=&9&|\cdot 2 \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&2 \\
\end{array}\]
Wenn ich Gleichung (3) mit 2 multipliziere, kann ich sie von Gleichung (5)
subtrahieren, so dass der Parameter $c$ wegfällt.
\[\begin{array}{lrrrcrl}
(3)&6a&+4b&+2c&=&18&|- \\
(5)&26a&+8b&+2c&=&2&| \\
\hline
(6)&20a&+4b&&=&-16 \\
\end{array}\]

\newpage
Übrig bleibt nun ein Gleichungssystem 2. Ordnung, bestehend aus den Gleichungen
(1) und (6) mit den Variablen $a$ und $b$. Ich dividiere Gleichung (6) durch 2,
damit ich sie von Gleichung (1) subtrahieren kann, um $b$ zu eliminieren.
\[\begin{array}{lrrcrl}
\hline
(1)&18a&+2b&=&0 \\
(6)&20a&+4b&=&-16&|:2 \\
\hline
(1)&18a&+2b&=&0&| \\
(6)&10a&+2b&=&-8&|- \\
\hline
(7)&8a&&=&8&|:8 \\
   &a&&=&1 \\
\end{array}\]

Das Ergebnis $a=1$ setze ich in Gleichung (1) ein, um den Parameter $b$ zu
berechnen.
\[\begin{array}{rcll}
18a+2b&=&0 \\
18 \cdot 1+2b&=&0 \\
18+2b&=&0 &|-18 \\
2b&=&-18 &|:2 \\
b&=&-9 \\
\end{array}\]

Die bisher gefundenen Ergebnisse mit $a=1$ und $b=-9$ setze ich in Gleichung
(3) ein, um $c$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
3a+2b+c&=&9 \\
3 \cdot 1+2 \cdot (-9)+c&=&-9 \\
-15+c&=&9 &|+15 \\
c&=&24 \\
\end{array}\]

Jetzt fehlt nur noch der Parameter $d$. Ich setze zu seiner Bestimmung alle
bisher gefundenen Werte in Gleichung (4) ein.
\[\begin{array}{rcll}
a+b+c+d&=&0 \\
1-9+24+d&=&0 \\
16+d&=&0 &|-16 \\
d&=&-16 \\
\end{array}\]

Damit sind alle Parameter bekannt. Die gesuchte Funktion lautet also:\\

\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$f(x)=x^3-9x^2+24x-16$}\end{center}
\newpage


\end{document}
%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
%\pagecolor{yellow}    % setzt Hintergrundfarbe für die Seite
%\color{red}           % Schreibt ab hier mit Farbe
%\color[rgb]{0,0.5,0}  % Farbe aus Anteilen zusammensetzen; Anteile: 0..1
%\textcolor{red}{text} % Schreibt vorübergehend mit Farbe
%\fcolorbox{red}{yellow}{Text} % Umrandet Text auf gelb mit rot
%\ifpdf \htmladdnormallink{text}{URL}\fi
%\rput{Winkel}(Drehpunkt){Objekt} % Drehen eines Objektes
