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\fi                   %
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\widowpenalty=10000
\clubpenalty=10000
\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt

\begin{document}


\title{Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen}
\author{W. Kippels}
\maketitle
\tableofcontents

\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann würde ich mich dennoch sehr über eine
kleine Spende auf das nachfolgende Konto freuen:
\begin{quote}
  \textbf{Kontoinhaber:} Wolfgang Kippels \\
  \textbf{IBAN:} DE86\,2004\,1155\,0636\,3436\,00 \\
  \textbf{BIC:} COBADEHD055 \\
  bei der comdirect-Bank
\end{quote}
Auch ein einzelner Euro hilft mir bei der Erfüllung meiner Träume. Bitte geben
Sie als Verwendungszweck den Titel der Datei an, dann weiß ich, welche Datei
Ihnen geholfen hat.\\

Vielen Dank!

\newpage
\section{Einleitung}
Manchmal soll irgendeine technische Größe optimiert werden. Hier kann die
Differentialrechnung mit Erfolg eingesezt werden. Aber nicht nur in der Technik
gibt es solche Probleme, auch in der Wirtschaft und vielen anderen Bereichen
werden oft Optimierungen angestrebt. Hier einige Beispiele:
\begin{itemize}
\item Ein Behälter soll aus möglichst wenig Material hergestellt werden.
\item Ein Bauteil soll möglichst stabil sein.
\item Die Geschwindigkeit eines flussaufwärts fahrenden Rheinschiffes soll auf
  einen möglichst kleinen Kraftstoffverbrauch eingestellt werden.
\item Bei welchem Aussteuerungsgrad wird die Endstufe einer Stereo-Anlage am
  heißesten? Danach wird dann der Kühlkörper bemessen.
\item Bei welchem Einfallswinkel wird das Licht in einem Regentropfen am
  wenigsten gebrochen? Das Ergebnis zeigt sich in der Position des Regenbogens.
\end{itemize}

\section{Vorgehensweise}
Die Idee ist folgende: Kann man eine Funktion aufstellen, die die zu
optimierdende Größe als Funktionswert liefert, dann muss man nur ein Minimum
oder ein Maximum dieser Funktion suchen. Dies geschieht nach dem bekannten
Verfahren, indem man nämlich die Funktion ableitet und gleich Null setzt.
Danach muss man prüfen, ob die gefundenen Kandidaten Minima oder Maxima
darstellen.\\

Ich möchte die Vorgehensweise an einem einfachen Beispiel darstellen. Dabei
wird die allgemeine Vorgehensweise neben dem Beispiel dargestellt.\\

\textbf{Das Beispiel:} Ein Schäfer will mit \mbox{$\unit[100]{m}$}
Maschendraht für einen Zaun ein rechteckiges Feld für seine Schafe begrenzen,
so dass die Fläche darin möglichst groß wird. Welche Länge $l$ und Breite $b$
muss das Rechteck erhalten?\\  \enlargethispage{10mm}

\begin{tabular}{p{75mm}p{75mm}}
\underline{\textbf{Vorgehensweise:}} &  \underline{\textbf{Beispiel:}}\\
\underline{Schritt 1:} & \underline{Schritt 1:}\\
Man stellt eine Funktionsgleichung (die sogenannte \textbf{Hauptbedingung})
auf, die als Ergebnis die zu \textbf{optimierende Größe} liefert. Dabei kommt
zunächst meist mehr als eine Variable vor. (\emph{Der häufigste Fehler beim
Lösen von Extremwertaufgaben liegt übrigens darin, dass \textbf{nicht} die zu
optimierende Größe als Hauptbedingung verwendet wird!})&
Die zu optimierende Größe ist die Fläche \textbf{\emph{A}}. Mit den beiden
Variablen \textbf{\emph{l}} und \textbf{\emph{b}} für die Länge und Breite des
Rechteckes ergibt sich: \[A=l \cdot b\] \\ \\
\end{tabular}

\begin{tabular}{p{75mm}p{75mm}}
\underline{Schritt 2:} & \underline{Schritt 2:}\\
Man stellt eine Beziehung (eine sogenannte \textbf{Nebenbedingung}) zwischen
den Variablen auf und stellt diese nach einer beliebigen Variablen um. Bei drei
Variablen sind zwei Nebenbedingungen erforderlich, bei vier Variablen drei
Nebenbedingungen, usw. Hat man keine Idee, woraus man die Nebenbedingung(en)
erstellen kann, schaut man nach, welche Angaben in der Aufgabenstellung noch
nicht ausgenutzt worden sind.&
Bekannt ist der Umfang des Rechteckes, die Gesamtlänge des Zaunes. Daraus
ergibt sich:
\[\begin{array}{lrcl}
&2l+2b&=&\unit[100]{m}\\
\Leftrightarrow & 2l&=&\unit[100]{m}-2b \\
\Leftrightarrow & l&=&\unit[50]{m}-b \\
\end{array}\] \\ \\
\underline{Schritt 3:} & \underline{Schritt 3:}\\
Die umgestellte(n) Nebenbedingung(en) wird (werden) in die Funktionsgleichung
-- die Hauptbedingung -- eingesetzt. Man erhält eine Funktion von nur noch
einer Variablen. &
Einsetzen von $l$ in die Hauptbedingung ergibt:
\[A=(\unit[50]{m}-b) \cdot b\]
Die Fläche \emph{\textbf{A}} als Funktion der Breite \emph{\textbf{b}} lautet
dann:
\[\begin{array}{lrcl}
&A(b)&=&(\unit[50]{m}-b) \cdot b \\
\Leftrightarrow &A(b)&=&\unit[50]{m} \cdot b-b^2
\end{array}\] \\
\underline{Schritt 4:} & \underline{Schritt 4:}\\
Die Funktion wird nach der verbliebenen Variablen abgeleitet und gleich Null
gesetzt, um Kandidaten für einen Extremwert zu erhalten.&
\[\begin{array}{lrcl}
&A'(b)&=&\unit[50]{m}-2b \\
\Rightarrow & 0&=&\unit[50]{m}-2b_E \\
\Leftrightarrow & 2b_E&=&\unit[50]{m}\\
\Leftrightarrow & b_E&=&\unit[25]{m}
\end{array}\] \\
\underline{Schritt 5:} & \underline{Schritt 5:}\\
Mit Hilfe der zweiten Ableitung (oder einem anderen Verfahren) wird geprüft, ob
entsprechend der Aufgabenstellung ein Minimum oder ein Maximum vorliegt. &
\[\begin{array}{ll}
&A''(b)=-2<0 \\
\Rightarrow &
 \textnormal{Maximum bei }b_E=\unit[25]{m}
\end{array}\]\\ \\
\underline{Schritt 6:} & \underline{Schritt 6:}\\
Die restlichen Größen laut Aufgabenstellung werden bestimmt. (\emph{In der
Praxis werden hier oft Punkte verschenkt, weil man froh ist, die eigentliche
Aufgabe gelöst zu haben und daher diesen Teil übersieht.}) &
\textbf{Alle} Seitenlängen des Rechteckes sind gesucht, es fehlt also noch die
Länge $l_E$. Ich verwende zur Berechnung die entsprechend umgestellte
Nebenbedingung.
\[\begin{array}{lrcl}
& l&=&\unit[50]{m}-b \\
\Rightarrow &l_E&=&\unit[50]{m}-\unit[25]{m}=\unit[25]{m}\\
\end{array}\]
\end{tabular}



\section{Übungsaufgaben}
\subsection{Aufgabe 1}
Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen $V$ soll aus Weißblech
hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein.
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und den Durchmesser $d$ der Dose. \\

\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(0,0)(4.5,4)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,3.3){A1}
   \pnode(0,3.5){A2}
   \pnode(2,0){B}
   \pnode(4.3,0){B1}
   \pnode(4.5,0){B2}
   \pnode(4,3){C}
   \pnode(4,3.3){C1}
   \pnode(4,3.5){C2}
   \pnode(4.3,3){C3}
   \pnode(4.5,3){C4}
   \psline[linewidth=2pt](A)(B)(C)
   \psline(A)(A2)
   \psline(C)(C2)
   \psline{<->}(A1)(C1)
   \uput{0.5}[90](2,3,3){$b$}
   \psline(B)(B2)
   \psline(C)(C4)
   \psline{<->}(C3)(B1)
   \rput{90}(3.9,1.5){$h$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine V-förmige Rinne soll aus einem \mbox{$\unit[30]{cm}$} breiten Blechstreifen geformt werden.
Welche Breite $b$ und welche Höhe $h$ muss die Rinne bekommen, damit ihr
Querschnitt möglichst groß wird? Damit ist gemeint, dass die Rinne möglichst
viel Wasser transportieren kann, wenn sie randvoll gefüllt ist.\\

\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(6.1,4.1)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0.8,4){B}
   \pnode(5.2,4){C}
   \pnode(6,4){D}
   \pnode(0,3.2){E}
   \pnode(0.8,3.2){F}
   \pnode(5.2,3.2){G}
   \pnode(6,3.2){H}
   \pnode(0,0.8){I}
   \pnode(0.8,0.8){J}
   \pnode(5.2,0.8){K}
   \pnode(6,0.8){L}
   \pnode(0,0){M}
   \pnode(0.8,0){N}
   \pnode(5.2,0){O}
   \pnode(6,0){P}
   \psline*[linecolor=lightgray](A)(B)(F)(E)(A)
   \psline*[linecolor=lightgray](C)(D)(H)(G)(C)
   \psline*[linecolor=lightgray](I)(J)(N)(M)(I)
   \psline*[linecolor=lightgray](K)(L)(P)(O)(K)
   \psline[linewidth=1.5pt](B)(C)(G)(H)(L)(K)(O)(N)(J)(I)(E)(F)(B)
   \psline[linestyle=dashed](F)(G)(K)(J)(F)
   \psline(A)(D)(P)(M)(A)
   \uput{0.1}[-90](0.4,3.2){$x$}
   \uput{0.1}[0](0.8,3.6){$x$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Aus einer Blechtafel mit $\unit[480]{mm}$ Länge und $\unit[300]{mm}$ Breite
soll ein oben offener quaderförmiger Behälter entstehen. Dazu werden an den
vier Ecken quadratische Ausschnitte herausgeschnitten, so dass die dadurch
entstandenen Seitenteile hochgebogen werden können. Diese werden dann an den
Kanten miteinander verschweißt. Welche Kantenlänge $x$ müssen die
herausgeschnittenen Eckstücke haben, damit das Volumen $V$ des Behälters
möglichst groß wird? Wie groß wird dann das Volumen $V$? \\

\subsection{Aufgabe 4}
In eine Kugel mit dem Durchmesser $D$ soll ein möglichst großer Zylinder
einbeschrieben werden. Bestimmen Sie den Durchmasser $d$ und die Höhe $h$ des
Zylinders.
\subsection{Aufgabe 5}
Eine Schublade mit quadratischem Grundriss besteht aus 4 dicken Seitenteilen
aus Holz sowie aus einem dünnen Boden. Die Seitenteile sind doppelt so dick wie
der Boden. Welche Abmessungen soll die Schublade haben, damit sie bei einem
Fassungsvermögen von 16 Litern möglichst wenig wiegt?
\subsection{Aufgabe 6}
In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $l$ soll ein möglichst großes
Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang sind die Rechteckseiten $a$ und $b$?\\
%----------------------------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,0)(6.1,5.1)
   \pnode(0,1){A}
   \pnode(0,0.2){A3}
   \pnode(0,0){A4}
   \pnode(4,1){B}
   \pnode(4.8,1){B1}
   \pnode(5,1){B2}
   \pnode(4,0.2){B3}
   \pnode(4,0){B4}
   \pnode(0,3){C}
   \pnode(4,3){D}
   \pnode(4.8,3){D1}
   \pnode(5,3){D2}
   \pnode(2,3){F}
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(D)
   \psarcn[linewidth=1.5pt](F){2}{180}{0}
   \psline[linestyle=dashed,dash=5mm 1mm 1mm 1mm](C)(D)
   \psline(D)(D2)
   \psline(B)(B2)
   \psline{<->}(D1)(B1)
   \rput{90}(4.4,2){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline(A)(A4)
   \psline(B)(B4)
   \psline{<->}(A3)(B3)
   \uput{0.15}[-90](2,1){$d$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Wasserstollen soll im Querschnitt die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem
Halbkreis haben. Wie groß sind die Stollenwandhöhe $h$ und der Durchmesser $d$
zu wählen, damit der Stollen bei einer Querschnittfläche von $\unit[5]{m^2}$ einen
möglichst kleinen Umfang hat? \\ \\ \\

\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.8)(3.5,3)
   \pnode(0,0){A}
   \pnode(0,-0.6){A3}
   \pnode(0,-0.8){A4}
   \pnode(1.5,3){B}
   \pnode(3.3,3){B1}
   \pnode(3.5,3){B2}
   \pnode(3,0){C}
   \pnode(3.3,0){C1}
   \pnode(3.5,0){C2}
   \pnode(3,-0.6){C3}
   \pnode(3,-0.8){C4}
   \pnode(0.5,0){D}
   \pnode(2.5,0){E}
   \pnode(2.5,1){F}
   \pnode(0.5,1){G}
   \psline*[linecolor=lightgray](D)(E)(F)(G)(D)
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(C)
   \psline(D)(E)(F)(G)(D)
   \psline{<->}(B1)(C1)
   \psline(B)(B2)
   \psline(C)(C2)
   \rput{90}(3,1.5){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline(A)(A4)
   \psline(C)(C4)
   \psline{<->}(A3)(C3)
   \uput{0.15}[-90](1.5,0){$g$}
   \uput{0.1}[90](1.5,1){$a$}
   \rput{90}(2.2,0.5){$b$} % Drehen eines Objektes
   \uput{0}[90](1.2,0.4){$A$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe $h$ und der Grundseite
$g$.
In dieses Dreieck wird ein Rechteck einbeschrieben, wie nebenstehend
dargestellt.
Die Rechteckseiten $a$ und $b$ sollen so gewählt werden, dass der
Flächeninhalt $A$ des Rechtecks möglichst groß wird.
Bestimmen Sie die Rechteckseiten $a$ und $b$ sowie die sich ergebende Fläche
$A$ für diesen Fall. \\ \\

\subsection{Aufgabe 9}
\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(3.8,3.1)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(3,3){B}
   \pnode(3.6,3){B1}
   \pnode(3.8,3){B2}
   \pnode(1.5,1.5){C}
   \pnode(0,1){D}
   \pnode(3,1){E}
   \pnode(3.6,1){E1}
   \pnode(3.8,1){E2}
   \pnode(1.5,-0.5){F}
   \psline*[linecolor=lightgray](A)(C)(B)(E)(F)(D)(A)
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(C)(F)
   \psline[linewidth=1.5pt](A)(D)(F)(E)(B)
   \psline{<->}(B1)(E1)
   \psline(B)(B2)
   \psline(E)(E2)
   \rput{90}(3.3,2){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline[linestyle=dashed](D)(E)
   \rput{45}(2.05,2.35){$s$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein oben offener prismatischer Behälter mit einem gleichseitigen Dreieck als
Grundfläche soll hergestellt werden. Das Volumen des Behälters soll
$\unit[8]{dm^3}$ betragen. Der Behälter soll so gebaut werden, dass dabei der
Blechverbrauch minimal wird.\\

Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Behälters und die Seitenlänge $s$ des
Grundflächendreiecks für diese Bedingungen.

\newpage
\subsection{Aufgabe 10}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=3.5mm}
 \begin{pspicture}(-5.1,-0.1)(5.1,5.1)
   \psline*[linecolor=lightgray](-3,0)(-3,4)(3,4)(3,0)(-3,0)
   \psline(-3,0)(-3,4)(3,4)(3,0)(-3,0)
   \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(0,0){5}{0}{180}
   \psline[linewidth=1.5pt]{-}(-5,0)(5,0)
   \psline{-}(0,0)(3,4)
   \uput{0.2}[-90](0,4){$b$}
   \rput{90}(-3.6,1.8){$h$}
   \rput{60}(1.1,2.2){$r$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
In einen halbkreisförmigen Wanddurchbruch soll gemäß nebenstehender Skizze ein
rechteckiges Fenster mit möglichst großer Fläche $A$ eingebaut werden.
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und die Breite $b$ des optimalen Fensters, wenn der
Bogenradius $r$ bekannt ist. \\ \\

\subsection{Aufgabe 11}
Eine zylinderförmige oben offene Regenwassersammeltonne mit einem Volumen von
\mbox{$V=\unit[200]{Liter}$} soll so hergestellt werden, dass möglichst wenig
Material verbraucht wird. Welchen Durchmesser $d$ und welche Höhe $h$ muss die
Tonne haben?

\subsection{Aufgabe 12}
Ein Hochregallager mit einem Gesamtvolumen von $\unit[500]{m^3}$ soll möglichst
kostengünstig hergestellt werden. Dabei schlagen die Wände mit \EUR{1000} je
$\unit[]{m^2}$, die Decke mit \EUR{600} je $\unit[]{m^2}$ sowie der Boden mit
\EUR{400} je $\unit[]{m^2}$ zu Buche. Welche Maße sollten verwendet werden,
wenn ein quadratischer Grundriss gewählt wird?

\subsection{Aufgabe 13}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=3.5mm}
 \begin{pspicture}(-5.1,-5.1)(5.1,5.1)
   \psline*[linecolor=lightgray](-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psline(-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(0,0){5}{0}{360}
   \psline{<->}(-3,-4)(3,4)
   \uput{0.2}[-90](0,4){$b$}
   \rput{90}(-3.6,0){$h$}
   \rput{60}(-0.5,0.3){$d$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Aus einem runden Baumstamm mit einem Durchmesser von \mbox{$d=\unit[60]{cm}$}
soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt und einem möglichst großen
Widerstandsmoment geschnitten werden. Das Widerstandsmoment kann mit folgender
Formel berechnet werden:
\[W=\frac{b \cdot h^2}{6}\]
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und die Breite
$b$ des günstigsten rechteckigen Querschnitts!


\newpage %-----------------------------------
\section{Lösungen mit Lösungsweg}
\subsection{Aufgabe 1}
Eine zylinderförmige Konservendose mit dem Volumen $V$ soll aus Weißblech
hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein.
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und den Durchmesser $d$ der Dose.

\paragraph{Lösung:}
Der "`Blechverbrauch"' soll optimiert werden. Das ist die Oberfläche der Dose,
also Mantel + Deckel + Boden. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[A= \pi \cdot d \cdot h+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2\]
Die Hauptbedingung enthält 2 Variablen ($d$ und $h$). Deshalb benötigen wir
noch genau eine \textbf{\underline{Nebenbedingung}}. Diese erhalten wir mit
Hilfe des bekannten Volumens $V$:
\[V= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h\]
Wir müssen die \textbf{\underline{Nebenbedingung}} nach $d$ oder $h$ umstellen
und in die \textbf{\underline{Hauptbedingung}} einsetzen. Da sie sich einfacher
nach $h$ als nach $d$ umstellen lässt, tun wir das.
\begin{eqnarray*}
V&=&\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h \quad| \cdot 4 \\
4V&=&\pi \cdot d^2 \cdot h \quad|:(\pi \cdot d^2) \\
\frac{4V}{\pi \cdot d^2}&=&h
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir $A$ als eine Funktion von $d$.
\begin{eqnarray*}
A(d)&=& \pi \cdot d \cdot \frac{4V}{\pi \cdot d^2}+
   2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \\
A(d)&=& \frac{4V}{d}+\frac{\pi}{2} \cdot d^2 \\
A(d)&=&4V \cdot d^{-1}+\frac{\pi}{2} \cdot d^2 \\
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot d \\
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+\pi \cdot d \\
A'(d)&=&-\frac{4V}{d^2}+\pi \cdot d \\
\end{eqnarray*}
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist, dass die erste
Ableitung gleich 0 ist.
\newpage
\begin{eqnarray*}
-\frac{4V}{d^2_E}+\pi \cdot d_E&=&0 \quad|+\frac{4V}{d^2_E} \\
\pi \cdot d_E&=& \frac{4V}{d^2_E} \quad| \cdot d^2_E \\
\pi \cdot d^3_E&=&4V \quad|:\pi \\
d^3_E&=&\frac{4V}{\pi} \quad|\sqrt[3 \ ]{\ } \\
d_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}
\end{eqnarray*}
Als nächstes muss geprüft werden, ob der gefundene Wert für $d$ tatsächlich ein
Minimum ergibt. Das geht am einfachsten mit der zweiten Ableitung.
\begin{eqnarray*}
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+\pi \cdot d \\
A''(d)&=&8V \cdot d^{-3}+\pi \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}\right)^{-3}+\pi \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \left(\frac{4V}{\pi}\right)^{-1}+\pi \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \frac{\pi}{4V}+\pi \\
A''(d_E)&=&2 \cdot \pi+\pi \\
A''(d_E)&=&3 \cdot \pi >0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt}
\end{eqnarray*}
Zuletzt muss noch $h_E$ bestimmt werden. Das geschieht am einfachsten durch
Einsetzen von $d_E$ in die umgestellte Nebenbedingung am Anfang.
\begin{eqnarray*}
h&=&\frac{4V}{\pi \cdot d^2} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot d^2_E} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}\right)^2} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot \sqrt[3 \ ]{\frac{4^2V^2}{\pi^2}}} \\
h_E&=&\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\frac{\pi^3 \cdot 4^2V^2}{\pi^2}}} \\
h_E&=&\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\pi \cdot 4^2V^2}} \\
h_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{4^3V^3}{\pi \cdot 4^2V^2}} \\
h_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}
\end{eqnarray*}
Bei der optimalen Dose ist also Höhe und Durchmesser gleich.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$d_E=h_E=\sqrt[3 \ ]{\frac{4V}{\pi}}$}
\end{center}
\newpage  %-------------------------
\subsection{Aufgabe 2}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(0,0)(4.5,4)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(0,3.3){A1}
   \pnode(0,3.5){A2}
   \pnode(2,0){B}
   \pnode(4.3,0){B1}
   \pnode(4.5,0){B2}
   \pnode(4,3){C}
   \pnode(4,3.3){C1}
   \pnode(4,3.5){C2}
   \pnode(4.3,3){C3}
   \pnode(4.5,3){C4}
   \pnode(2,3){D}
   \psline[linewidth=2pt](A)(B)(C)
   \psline(A)(C)
   \psline(D)(B)
   \psline(A)(A2)
   \psline(C)(C2)
   \psline{<->}(A1)(C1)
   \uput{0.5}[90](2,3,3){$b$}
   \psline(B)(B2)
   \psline(C)(C4)
   \psline{<->}(C3)(B1)
   \rput{90}(3.9,1.5){$h$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Eine V-förmige Rinne soll aus einem $\unit[30]{cm}$ breiten Blechstreifen
geformt werden. Welche Breite $b$ und welche Höhe $h$ muss die Rinne bekommen,
damit ihr Querschnitt möglichst groß wird? Damit ist gemeint, dass die Rinne
möglichst viel Wasser transportieren kann, wenn sie randvoll gefüllt ist.

\paragraph{Lösung:}
Der Querschnitt der Rinne soll optimiert werden. Das ist die dreieckförmige
Fläche. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[A=\frac{b \cdot h}{2}\]
Um die Nebenbedingung besser erkennen zu können, zeichnet man zweckmäßigerweise
in das Dreieck, dessen Fläche optimiert werden soll, die Höhe $h$ ein. Man
erhält dadurch zwei rechtwinklige Teildreiecke mit den Katheten $h$ und
$\frac{b}{2}$ sowie der Hypotenuse $\unit[15]{cm}$. In diesen Teildreiecken
gilt der Satz des Pythagoras. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Nebenbedingung}}:
\[h^2+\left( \frac{b}{2}\right)^2=(\unit[15]{cm})^2\]
Die Nebenbedingung stellen wir zweckmäßigerweise nach $b$ um, denn dann
verschwinden die Brüche.
\begin{eqnarray*}
h^2+\left( \frac{b}{2}\right)^2&=&(\unit[15]{cm})^2 \\
h^2+\frac{b^2}{4}&=&\unit[225]{cm^2} \quad|-h^2 \\
\frac{b^2}{4}&=&\unit[225]{cm^2}-h^2 \quad |\cdot 4 \\
b^2&=&\unit[900]{cm^2}-4h^2 \quad| \sqrt{\ } \\
b&=&\sqrt{\unit[900]{cm^2}-4h^2}
\end{eqnarray*}
Die umgestellte Nebenbedingung setzen wir in die Hauptbedingung ein und
erhalten die Funktion $A(h)$. Die Funktion leiten wir nach $h$ ab und setzen
sie gleich Null, um Extrema zu bestimmen.
\begin{eqnarray*}
A&=&\frac{b \cdot h}{2} \\
A(h)&=&\frac{\sqrt{\unit[900]{cm^2}-4h^2} \cdot h}{2} \\
A(h)&=&\frac{1}{2}\sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4} \\
A(h)&=&\frac{1}{2}\left(\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4 \right)^{\frac{1}{2}}
 \quad| \textnormal{ (Kettenregel anwenden)} \\
\end{eqnarray*}
Für die Anwendung der Kettenregel\footnote{Einzelheiten zur Kettenregel siehe
hier: \ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/ablreg.pdf}\fi} machen wir eine Nebenrechnung, in der die
Funktion $A(h)$ aufgespalten wird in eine Funktion $A \left( g(h) \right)$.
Dann ist $A(g)$ die \textbf{äußere} und $g(h)$ die \textbf{innere} Funktion.
\[\begin{array}{rclcrcl}
g(h)&=&\unit[900]{cm^2} \cdot h^2-4h^4 \quad&\Rightarrow&\quad g'(h)
  &=&\unit[1800]{cm^2} \cdot h^1-16h^3 \\
A(g)&=&\frac{1}{2}g^{\frac{1}{2}} \quad&\Rightarrow&\quad A'(g)
  &=&\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot g^{\frac{1}{2}-1} \\
  &&&& A'(g)&=&\frac{1}{4} \cdot g^{-\frac{1}{2}} \\
  &&&& A'(g)&=&\frac{1}{4} \cdot \left( \unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4 \right)^{-\frac{1}{2}}
\end{array}\]
Mit diesen Nebenrechnungen können wir die Kettenregel anwenden:
\begin{eqnarray*}
A'(h)&=&g'(h) \cdot A'(g) \\
A'(h)&=&
  \underbrace{\left(\unit[1800]{cm^2}\cdot h-16h^3 \right)}_{\textnormal{innere Ableitung}}
  \cdot \underbrace{\frac{1}{4}\left(\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4
  \right)^{-\frac{1}{2}}}_{\textnormal{äußere Ableitung}} \\
A'(h)&=&\frac{\unit[1800]{cm^2}\cdot h-16h^3}
     {4 \sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4}} \\
0&=&\frac{\unit[1800]{cm^2}\cdot h-16h^3}
     {4 \sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4}} \quad|
         \cdot 4 \sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot h^2-4h^4} \\
0&=&\unit[1800]{cm^2}\cdot h-16h^3 \\
0&=&h \left(\unit[1800]{cm^2}-16h^2 \right) \quad \Rightarrow h_{E1}=0
     \textnormal{ (entfällt)} \\
0&=&\unit[1800]{cm^2}-16h^2 \quad|:16 \\
0&=&\unit[112,5]{cm^2} -h^2 \quad|+h^2 \\
h^2&=&\unit[112,5]{cm^2} \quad| \sqrt{\ } \\
h_{2/3}&=& \pm \unit[\sqrt{112,5}]{cm} \approx \pm \unit[10,6066]{cm}
\end{eqnarray*}
Der negative Wert entfällt ebenso, wie zuvor schon $h_{E1}=0$. Es bleibt also
nur:
\[h_E=\unit[\sqrt{112,5}]{cm} \approx \unit[10,6066]{cm}\]
Es muss geprüft werden, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt. Da die Bestimmung
der zweiten Ableitung recht mühsam ist, möchte ich für die Prüfung das
Verfahren verwenden, das mit der ersten Ableitung
auskommt\footnote{Einzelheiten dazu siehe
hier in Kapitel 3.5: \ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}\fi}. Ich setze die Werte
$\unit[10]{cm}$ und $\unit[11]{cm}$ in die erste Ableitung ein um zu prüfen, ob
ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ vorliegt.
\newpage
\begin{eqnarray*}
A'(h)&=&\frac{\unit[1800]{cm^2} \cdot h-16h^3}{4 \sqrt{\unit[900]{cm^2} \cdot h^2-4h^4}} \\
A'(\unit[10]{cm})&=&\frac{\unit[1800]{cm^2} \cdot \unit[10]{cm}-16 \cdot
(\unit[10]{cm})^3}
  {4 \sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot (\unit[10]{cm})^2-4(\unit[10]{cm})^4}} \\
  &=&\frac{\unit[2000]{cm^3}}{4 \sqrt{\unit[50000]{cm^4}}}>0 \\ \\
A'(\unit[11]{cm})&=&\frac{\unit[1800]{cm^2} \cdot \unit[11]{cm}-16 \cdot
(\unit[11]{cm})^3}
  {4 \sqrt{\unit[900]{cm^2}\cdot (\unit[11]{cm})^2-4(\unit[11]{cm})^4}} \\
  &=&\frac{-\unit[1496]{cm^3}}{4 \sqrt{\unit[50336]{cm^4}}}<0
\end{eqnarray*}
Wir erhalten bei $h_E=\unit[\sqrt{112,5}]{cm}$ -- wie erwartet -- einen
Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Es liegt also tatsächlich ein Maximum
vor. Es fehlt nur noch die Berechnung der Breite $b_E$.
\[b_E=\sqrt{\unit[900]{cm^2}-4h^2}=\sqrt{\unit[900]{cm^2}-4 \cdot \left(
\unit[\sqrt{112,5}]{cm} \right)^2}
= \unit[\sqrt{450}]{cm} \approx \unit[21,2132]{cm}\] \enlargethispage{10mm}
\begin{center} Zusammengefasst:
\fcolorbox{red}{yellow}{$h_E=\unit[\sqrt{112,5}]{cm} \qquad
b_E=\unit[\sqrt{450}]{cm}$}
\end{center}
\newpage  %-------------------------
\subsection{Aufgabe 3}
\begin{wrapfigure}{r}{5cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(6.1,4.1)
   \pnode(0,4){A}
   \pnode(0.8,4){B}
   \pnode(5.2,4){C}
   \pnode(6,4){D}
   \pnode(0,3.2){E}
   \pnode(0.8,3.2){F}
   \pnode(5.2,3.2){G}
   \pnode(6,3.2){H}
   \pnode(0,0.8){I}
   \pnode(0.8,0.8){J}
   \pnode(5.2,0.8){K}
   \pnode(6,0.8){L}
   \pnode(0,0){M}
   \pnode(0.8,0){N}
   \pnode(5.2,0){O}
   \pnode(6,0){P}
   \psline*[linecolor=lightgray](A)(B)(F)(E)(A)
   \psline*[linecolor=lightgray](C)(D)(H)(G)(C)
   \psline*[linecolor=lightgray](I)(J)(N)(M)(I)
   \psline*[linecolor=lightgray](K)(L)(P)(O)(K)
   \psline[linewidth=1.5pt](B)(C)(G)(H)(L)(K)(O)(N)(J)(I)(E)(F)(B)
   \psline[linestyle=dashed](F)(G)(K)(J)(F)
   \psline(A)(D)(P)(M)(A)
   \uput{0.1}[-90](0.4,3.2){$x$}
   \uput{0.1}[0](0.8,3.6){$x$}
   \uput{0.1}[0](0.8,2){$a$}
   \uput{0.1}[90](3,0.8){$b$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Aus einer Blechtafel mit $\unit[480]{mm}$ Länge und $\unit[300]{mm}$ Breite
soll ein oben offener quaderförmiger Behälter entstehen. Dazu werden an den
vier Ecken quadratische Ausschnitte herausgeschnitten, so dass die dadurch
entstandenen Seitenteile hochgebogen werden können. Diese werden dann an den
Kanten miteinander verschweißt. Welche Kantenlänge $x$ müssen die
herausgeschnittenen Eckstücke haben, damit das Volumen $V$ des Behälters
möglichst groß wird? Wie groß wird dann das Volumen $V$?

\paragraph{Lösung:}
Benennen wir die Seiten des fertigen Kastens mit $a$ (die kürzere Seite) und
$b$ (die längere Seite), dann erhalten wir die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[V=a \cdot b \cdot x\]
Hierin sind noch 3 Variablen enthalten, wir brauchen also noch 2
\textbf{\underline{Nebenbedingungen}}. Diese ergeben sich durch die
Seitenlängen.
\[a=\unit[300]{mm}-2x\]
\[b=\unit[480]{mm}-2x\]
Diese setzen wir in die Hauptbedingung ein und erhalten $V$ als Funktion von
$x$. Wir leiten sie dann nach $x$ ab, setzen sie gleich Null und erhalten die
Kandidaten für die Lösungen:
\begin{eqnarray*}
V(x)&=&(\unit[300]{mm}-2x) \cdot (\unit[480]{mm}-2x) \cdot x \\
V(x)&=&\unit[144000]{mm^2} \cdot x -\unit[600]{mm} \cdot x^2 -\unit[960]{mm} \cdot x^2 +4x^3 \\
V(x)&=&\unit[144000]{mm^2} \cdot x -\unit[1560]{mm} \cdot x^2+4x^3 \\
V'(x)&=&\unit[144000]{mm^2} -\unit[3120]{mm} \cdot x+12x^2 \\
0&=&\unit[144000]{mm^2}-\unit[3120]{mm} \cdot x+12x^2 \quad|:12 \\
0&=&\unit[12000]{mm^2}-\unit[260]{mm} \cdot x+x^2 \quad|\textnormal{ p-q-Formel} \\
x_{E1/2}&=&\unit[130]{mm} \pm \sqrt{\unit[130^2]{mm^2}-\unit[12000]{mm^2}} \\
       &=&\unit[130]{mm} \pm \sqrt{\unit[16900]{mm^2}-\unit[12000]{mm^2}} \\
       &=&\unit[130]{mm} \pm \unit[70]{mm}\\
x_{E1}&=&\underline{\unit[200]{mm}} \\
x_{E2}&=&\underline{\unit[60]{mm}} \\
\end{eqnarray*}
Wie man sehr schnell erkennt, kommt $x_{E1}=\unit[200]{mm}$ nicht als Lösung in
Frage, denn würde man so weit in das Blech einschneiden, bliebe weniger als
nichts übrig. Wir müssen also nur die Lösung $x_{E2}=\unit[60]{mm}$ auf ein
Maximum prüfen. Das geht am einfachsten mit der zweiten Ableitung.
\begin{eqnarray*}
V'(x)&=&\unit[144000]{mm^2} -\unit[3120]{mm} \cdot x+12x^2 \\
V''(x)&=&-\unit[3120]{mm}+24x \\
V''(x_{E2})&=&-\unit[3120]{mm}+24 \cdot \unit[60]{mm}\\
         &=&-\unit[1680]{mm} <0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Maximum!}
\end{eqnarray*}
Zum Schluss berechnen wir noch das gesuchte Volumen:
\begin{eqnarray*}
V(x)&=&\unit[144000]{mm^2} \cdot x -\unit[1560]{mm} \cdot x^2+4x^3 \\
V(x_{E2})&=&\unit[144000]{mm^2} \cdot \unit[60]{mm}-\unit[1560]{mm} \cdot
(\unit[60]{mm})^2+4\cdot(\unit[60]{mm})^3 \\
       &=&\unit[3888000]{mm^3}\\
V(x_{E2})&=&\unit[3,888]{l}
\end{eqnarray*}
Hier noch einmal die Lösungen zusammengefasst:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$x_E=\unit[60]{mm}, \quad
V_E=\unit[3,888]{l}$}\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 4}
In eine Kugel mit dem Durchmesser $D$ soll ein möglichst großer Zylinder
einbeschrieben werden. Bestimmen Sie den Durchmasser $d$ und die Höhe $h$ des
Zylinders.

\paragraph{Lösung:}
Da das Zylindervolumen maximal werden soll, ergibt die Formel für das
Zylindervolumen die \textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[V=\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h\]
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=3.5mm}
 \begin{pspicture}(-5.1,-5.1)(5.1,5.1)
   \psline*[linecolor=lightgray](-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psline(-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(0,0){5}{0}{360}
   \psline{<->}(-3,-4)(3,4)
   \uput{0.2}[-90](0,4){$d$}
   \rput{90}(-3.6,0){$h$}
   \rput{60}(-0.5,0.3){$D$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Wir haben zwei Variablen, benötigen also genau eine
Nebenbedingung. Diese können wir am besten erkennen, wenn man sich eine Skizze
von der Seitenansicht anfertigt. Wir erhalten einen Kreis (die Kugel) mit dem
Durchmesser $D$ und darin ein Rechteck (Seitenansicht des Zylinders) mit den
Seiten $h$ und $d$. Zeichnet man den Kugeldurchmesser als Diagonale in das
Rechteck ein, dann erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Mit Hilfe des Satzes
des Pythagoras erhält man als Zusammenhang zwischen $D$, $d$ und $h$ die
\textbf{\underline{Nebenbedingung}}:
\[D^2=d^2+h^2\]
Ob man nun diese Nebenbedingung nach $d$ oder $h$ umstellt, ist im Prinzip
gleichgültig. Da aber in der Hauptbedingung nur $d^2$ (nicht $d$) vorkommt, ist
es sehr pfiffig, die Nebenbedingung nur nach $d^2$ umzustellen.
\[d^2=D^2-h^2\]
Das setzen wir in die Hauptbedingung ein, vereinfachen sie, leiten sie ab,
setzen die Ableitung gleich Null und bestimmen die Lösung.
\begin{eqnarray*}
V&=&\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h \\
V(h)&=&\frac{\pi}{4} \cdot \left( D^2-h^2 \right) \cdot h \\
V(h)&=&\frac{\pi}{4} \cdot D^2 \cdot h- \frac{\pi}{4} \cdot h^3 \\
V'(h)&=&\frac{\pi}{4} \cdot D^2- \frac{3 \pi}{4} \cdot h^2 \\
0&=&\frac{\pi}{4} \cdot D^2- \frac{3 \pi}{4} \cdot h_E^2
  \quad|:\frac{\pi}{4} \\
0&=&D^2-3 \cdot h_E^2 \quad| +3 \cdot h_E^2 \\
3 \cdot h_E^2&=&D^2 \quad|:3 \\
h_E^2&=&\frac{1}{3}D^2 \quad| \sqrt{ \ } \\
h_E&=&\pm \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D \\
h_{E1}&=& \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D \\
h_{E2}&=&- \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D \quad \textnormal{(entfällt)}
\end{eqnarray*}
Da die Ableitungen recht einfach zu bestimmen sind, verwende ich die zweite
Ableitung zur Überprüfung, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt.
\begin{eqnarray*}
V'(h)&=&\frac{\pi}{4} \cdot D^2- \frac{3 \pi}{4} \cdot h^2 \\
V''(h)&=&- \frac{6 \pi}{4} \cdot h \\
V''(h)&=&- \frac{3 \pi}{2} \cdot h \\
V''(h_E)&=&- \frac{3 \pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D<0
 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Maximum}
\end{eqnarray*}
Wir berechnen noch schnell den fehlenden Zylinderdurchmesser $d$ mit Hilfe der
umgestellten Nebenbedingung:
\begin{eqnarray*}
d^2&=&D^2-h^2 \\
d&=&\sqrt {D^2-h^2} \\
d_E&=& \sqrt {D^2-\left( \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D \right)^2} \\
&=&\sqrt {D^2-\frac{1}{3} \cdot D^2} \\
&=&\sqrt {\frac{2}{3} \cdot D^2} \\
d_E&=&\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot D
\end{eqnarray*}
Hier wieder die Zusammenfassungen der Lösungen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$d_E=\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot D
 \quad h_E=\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot D$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 5}
Eine Schublade mit quadratischem Grundriss besteht aus 4 dicken Seitenteilen
aus Holz sowie aus einem dünnen Boden. Die Seitenteile sind doppelt so dick wie
der Boden. Welche Abmessungen soll die Schublade haben, damit sie bei einem
Fassungsvermögen von 16 Litern möglichst wenig wiegt?

\paragraph{Lösung:}
Ich benenne die Seiten des quadratischen Bodens mit $a$ und die Höhe mit $h$.
Wie lautet nun die Hauptbedingung? Nicht das Volumen, wie manch einer annehmen
mag, sondern das Gewicht (genauer: die Masse) der Schublade ergibt die
Hauptbedingung. Da wir jedoch weder die Wandstärke noch die Dichte von Holz
angegeben haben, nehmen wir die \textbf{\emph{gewichtete Oberfläche}} als
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}. Was ist damit gemeint? Ganz einfach,
ich zähle die dicken Seiten doppelt und den dünnen Boden nur einfach.
\begin{eqnarray*}
G&=&4 \cdot 2 \cdot a \cdot h + 1 \cdot a^2 \\
G&=&8 \cdot a \cdot h +a^2
\end{eqnarray*}
Die \textbf{\underline{Nebenbedingung}} finden wir über das Volumen $V$. Ich
stelle sie sofort nach $h$ um.
\begin{eqnarray*}
V&=&a^2 \cdot h \quad|:a^2 \\
h&=&\frac{V}{a^2}
\end{eqnarray*}
Die umgestellte Nebenbedingung wird in die Huptbedingung eingesetzt und wir
erhalten die Funktion $G(a)$. Wir leiten sie ab, setzen sie gleich Null und
lösen nach $a$ auf.
\begin{eqnarray*}
G&=&8 \cdot a \cdot h +a^2 \\
G(a)&=&8 \cdot a \cdot \frac{V}{a^2} +a^2 \\
G(a)&=&\frac{8V}{a}+a^2 \\
G(a)&=&8V \cdot a^{-1}+a^2 \\
G'(a)&=&-8V \cdot a^{-2}+2a \\
0&=&-8V \cdot a_E^{-2}+2a_E \\
0&=&-\frac{8V}{a_E^2}+2a_E \quad|+\frac{8V}{a_E^2} \\
\frac{8V}{a_E^2}&=&2a_E \quad| \cdot a_E^2 \\
8V&=&2a_E^3 \quad|:2 \\
4V&=&a_E^3 \quad|\sqrt[3 \ ]{\ } \\
a_E&=&\sqrt[3 \ ]{4V}
\end{eqnarray*}
\newpage
Mit der zweiten Ableitung prüfen wir, ob tatsächlich das gesuchte Minimum
vorliegt.
\begin{eqnarray*}
G'(a)&=&-8V \cdot a^{-2}+2a \\
G''(a)&=&16V \cdot a^{-3}+2 \\
G''(a)&=&\frac{16V}{a^3}+2 \\
G''(a_E)&=&\frac{16V}{\left( \sqrt[3 \ ]{4V}\right)^3}+2 \\
&=&\frac{16V}{4V}+2 \\
&=&4+2 \\
G''(a_E)&=&6>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Minimum}
\end{eqnarray*}
Nun können wir die noch fehlende Höhe $h$ der Schublade aus der umgestellten
Nebenbedingung berechnen.
\begin{eqnarray*}
h_E&=&\frac{V}{\left( \sqrt[3 \ ]{4V}\right)^2} \\
&=& \sqrt[3 \ ]{\frac{V^3}{\left(4V\right)^2}} \\
&=& \sqrt[3 \ ]{\frac{V^3}{16V^2}} \\
h_E&=& \sqrt[3 \ ]{\frac{V}{16}} \\
\end{eqnarray*}
Mit dem gegebenen Wert von \mbox{$V=\unit[16]{l}=\unit[16]{dm^3}$} können wir
die konkreten Werte für $a$ und $h$ berechnen.
\begin{eqnarray*}
a_E&=&\sqrt[3 \ ]{4 \cdot \unit[16]{dm^3}}=\unit[4]{dm}\\
h_E&=& \sqrt[3 \ ]{\frac{\unit[16]{dm^3}}{16}}=\unit[1]{dm}
\end{eqnarray*}
Wir fassen die Lösungen zusammen und geben sie in der etwas gebräuchlicheren
Einheit Zentimeter an.
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$a_E=\unit[40]{cm} \quad
h_E=\unit[10]{cm}$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 6}
In ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $l$ soll ein möglichst großes
Rechteck einbeschrieben werden. Wie lang sind die Rechteckseiten $a$ und $b$?

\paragraph{Lösung:}
Zur Lösung betrachten wir die nebenstehende Skizze. Optimiert werden soll die
Rechteckfläche. Damit erhalten wir die \textbf{\underline{Hauptbedingung}}.
\[A=a \cdot b\]
Die Hauptbedingung enthält zwei Variablen, also benötigen wir noch genau eine
\linebreak[4] \textbf{\underline{Nebenbedingung}}. Diese können wir über
Strahlensätze, Winkelfunktionen (Tangens) oder Ähnlichkeit von Dreiecken
erhalten. Alle Ansätze führen auf ähnliche Formeln wie diese:
\[\frac{h}{\frac{l}{2}}=\frac{b}{\frac{l-a}{2}}\]
In dieser Nebenbedingung ist noch eine weitere Größe aufgetaucht, nämlich $h$.
Da das Dreieck als gleichseitig bekannt ist, können wir $h$ mit Hilfe des
Satzes des Pythagoras bestimmen.
\begin{eqnarray*}
l^2&=&h^2+\left( \frac{l}{2}\right)^2 \\
l^2&=&h^2+\frac{l^2}{4} \quad|-\frac{l^2}{4} \\
l^2-\frac{l^2}{4}&=&h^2 \\
\frac{3}{4} \cdot l^2&=&h^2 \quad|\sqrt{\ } \\
h&=&\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l
\end{eqnarray*}
Diesen Wert setzen wir in die Nebenbedingung ein und stellen diese nach $b$ um.
\begin{eqnarray*}
\frac{h}{\frac{l}{2}}&=&\frac{b}{\frac{l-a}{2}} \\
\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot l}{\frac{l}{2}}&=&\frac{b}{\frac{l-a}{2}} \\
\frac{\sqrt{3} \cdot l \cdot 2}{2 \cdot l}&=&\frac{b \cdot 2}{l-a} \\
\sqrt{3} &=&\frac{b \cdot 2}{l-a} \quad| \cdot (l-a) \\
\sqrt{3}\cdot (l-a)&=&b \cdot 2 \quad|:2 \\
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (l-a)&=&b
\end{eqnarray*}
Die umgestellte Nebenbedingung kann nun in die Hauptbedingung eingesetzt
werden. Wir erhalten dann die Funktion $A(a)$, die wir ableiten und gleich Null
setzen.
\begin{eqnarray*}
A&=&a \cdot b \\
A(a)&=&a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (l-a) \\
A(a)&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l \cdot a - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a^2 \\
A'(a)&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l-\sqrt{3}\cdot a \\
0&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l-\sqrt{3}\cdot a \quad| +\sqrt{3}\cdot a \\
\sqrt{3}\cdot a&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l \quad| :\sqrt{3} \\
a_E&=&\frac{1}{2} \cdot l
\end{eqnarray*}
Die Prüfung, ob tatsächlich ein Maximum vorliegt, machen wir mit der zweiten
Ableitung, denn die ist recht einfach zu bilden.
\begin{eqnarray*}
A'(a)&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l-\sqrt{3}\cdot a \\
A''(a)&=&-\sqrt{3} \\
A''(a_E)&=&-\sqrt{3}<0 \quad \Rightarrow \quad
\textnormal{Maximum}
\end{eqnarray*}
Zum guten Schluss bestimmen wir die noch fehlende Rechteckbreite $b$.
\[b_E=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (l-a_E)
  =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left( l-\frac{1}{2}\cdot l \right)
  =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot l
  =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l\]
Hier noch einmal die Ergebnisse zusammengefasst:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$a_E=\frac{1}{2} \cdot l
  \quad b_E=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot l$}\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 7}
\begin{wrapfigure}{r}{3.3cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,0)(6.1,5.1)
   \pnode(0,1){A}
   \pnode(0,0.2){A3}
   \pnode(0,0){A4}
   \pnode(4,1){B}
   \pnode(4.8,1){B1}
   \pnode(5,1){B2}
   \pnode(4,0.2){B3}
   \pnode(4,0){B4}
   \pnode(0,3){C}
   \pnode(4,3){D}
   \pnode(4.8,3){D1}
   \pnode(5,3){D2}
   \pnode(2,3){F}
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(D)
   \psarcn[linewidth=1.5pt](F){2}{180}{0}
   \psline[linestyle=dashed,dash=5mm 1mm 1mm 1mm](C)(D)
   \psline(D)(D2)
   \psline(B)(B2)
   \psline{<->}(D1)(B1)
   \rput{90}(4.4,2){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline(A)(A4)
   \psline(B)(B4)
   \psline{<->}(A3)(B3)
   \uput{0.15}[-90](2,1){$d$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein Wasserstollen soll im Querschnitt die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem
Halbkreis haben. Wie groß sind die Stollenwandhöhe $h$ und der Durchmesser $d$
zu wählen, damit der Stollen bei einer Querschnittfläche von $\unit[5]{m^2}$ einen
möglichst kleinen Umfang hat?

\paragraph{Lösung:}
Optimiert werden soll der Umfang, das sind drei Seiten des Rechtecks und ein
Halbkreis. Das ist demnach die \textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[U=2 \cdot h+d+\frac{1}{2}\pi \cdot d\]
Die \textbf{\underline{Nebenbedingung}} bekommen wir über die
Querschnittfläche, also Rechteck plus Halbkreis:
\begin{eqnarray*}
A&=&h \cdot d+\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}d^2 \\
A&=&h \cdot d+\frac{\pi}{8}d^2 \\
\end{eqnarray*}
Am einfachsten kann man diese Gleichung nach $h$ umstellen.
\begin{eqnarray*}
A&=&h \cdot d+\frac{\pi}{8}d^2 \quad|-\frac{\pi}{8}d^2 \\
A-\frac{\pi}{8}d^2&=&h \cdot d \quad|:d \\
\frac{A-\frac{\pi}{8}d^2}{d}&=&h \\
\frac{A}{d}-\frac{\pi}{8}d&=&h
\end{eqnarray*}
Das setzen wir in die Hauptbedingung ein, vereinfachen sie, leiten sie ab,
setzen die Ableitung gleich Null und bestimmen die Lösung.
\begin{eqnarray*}
U(d)&=&2 \cdot (\frac{A}{d}-\frac{\pi}{8}d)+d+\frac{1}{2}\pi \cdot d \\
U(d)&=&\frac{2A}{d}-\frac{\pi}{4}d+d+\frac{1}{2}\pi \cdot d \\
U(d)&=&2A \cdot d^{-1}+\left(-\frac{\pi}{4}+1+\frac{\pi}{2} \right) \cdot d \\
U(d)&=&2A \cdot d^{-1}+\left(\frac{\pi}{4}+1\right) \cdot d \\
U'(d)&=&-2A \cdot d^{-2}+\frac{\pi}{4}+1 \\
0&=&-2A \cdot d_E^{-2}+\frac{\pi}{4}+1 \quad|+2A \cdot d_E^{-2} \\
2A \cdot d_E^{-2}&=&\frac{\pi}{4}+1  \quad|\cdot d_E^2 \\
2A&=&\left(\frac{\pi}{4}+1\right) \cdot d_E^2 \quad|:\left(\frac{\pi}{4}+1\right) \\
\frac{2A}{\left(\frac{\pi}{4}+1\right)}&=&d_E^2 \quad|\sqrt{ \ } \\
d_E&=&\sqrt{\frac{2A}{\left(\frac{\pi}{4}+1\right)}} \\
d_E&=&\sqrt{\frac{2A}{\left(\frac{\pi+4}{4}\right)}} \\
d_E&=&\sqrt{\frac{8A}{\pi+4}}
\end{eqnarray*}
Die Prüfung, ob damit ein Maximum oder -- wie gewünscht -- ein Minimum
vorliegt, machen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung.
\begin{eqnarray*}
U'(d)&=&-2A \cdot d^{-2}+\frac{\pi}{4}+1 \\
U''(d)&=&4A \cdot d^{-3} \\
U''(d)&=&\frac{4A}{d^3} \\
U''(d_E)&=&\frac{4A}{\left( \sqrt{\frac{8A}{\pi+4}} \right)^3} \\
\end{eqnarray*}
Ohne diesen Term weiter umformen zu müssen, kann man sagen, dass gilt:
$U''(d_E)>0$ Warum?
$A$ ist positiv. Damit ist auch der Bruch unter der Wurzel positiv, denn
damit ist sowohl der Zähler als auch der Nenner positiv. Die Wurzel ist demnach
lösbar und auch positiv, und auch, wenn ich sie mit 3 potenziere, ist das
Ergebnis positiv. Im Hauptbruch ist damit der Zähler und der Nenner positiv,
also ist $d_E>0$. Wir haben damit nachgewiesen, dass ein \underline{Minimum}
vorliegt. \\ \\
\newpage %---------------------------
Berechnen wir nun die Höhe $h$. Dafür verwenden wir die umgestellte Formel aus
der Nebenbedingung.
\begin{eqnarray*}
h&=&\frac{A}{d}-\frac{\pi}{8}d \\
h_E&=&\frac{A}{d_E}-\frac{\pi}{8} \cdot d_E \\
h_E&=&\frac{A}{\sqrt{\frac{8A}{\pi+4}}}
  -\frac{\pi}{8} \cdot \sqrt{\frac{8A}{\pi+4}} \\
&=&\sqrt{\frac{A^2}{\frac{8A}{\pi+4}}}
  -\pi \cdot \sqrt{\frac{8A}{8^2 \cdot ( \pi+4)}} \\
&=&\sqrt{\frac{A^2 \cdot ( \pi+4)}{8A}}
  -\pi \cdot \sqrt{\frac{A}{8 \cdot ( \pi+4)}} \\
&=&\sqrt{\frac{A \cdot ( \pi+4)}{8}}
  -\pi \cdot \sqrt{\frac{A}{8 \cdot ( \pi+4)}}
\end{eqnarray*}
Setzt man für $A$ den angegebenen Wert $A=\unit[5]{m^2}$ ein, erhält man die
Lösungen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$h_E \approx \unit[1,183]{m} \quad d_E \approx \unit[2,367]{m}$}\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 8}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.8)(3.5,3)
   \pnode(0,0){A}
   \pnode(0,-0.6){A3}
   \pnode(0,-0.8){A4}
   \pnode(1.5,3){B}
   \pnode(3.3,3){B1}
   \pnode(3.5,3){B2}
   \pnode(3,0){C}
   \pnode(3.3,0){C1}
   \pnode(3.5,0){C2}
   \pnode(3,-0.6){C3}
   \pnode(3,-0.8){C4}
   \pnode(0.5,0){D}
   \pnode(2.5,0){E}
   \pnode(2.5,1){F}
   \pnode(0.5,1){G}
   \psline*[linecolor=lightgray](D)(E)(F)(G)(D)
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(C)
   \psline(D)(E)(F)(G)(D)
   \psline{<->}(B1)(C1)
   \psline(B)(B2)
   \psline(C)(C2)
   \rput{90}(3,1.5){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline(A)(A4)
   \psline(C)(C4)
   \psline(B)(1.5,0)
   \psline{<->}(A3)(C3)
   \uput{0.15}[-90](1.5,0){$g$}
   \uput{0.1}[90](1.2,1){$a$}
   \rput{90}(2.2,0.5){$b$} % Drehen eines Objektes
   \uput{0}[90](1.2,0.4){$A$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Höhe $h$ und der Grundseite
$g$.
In dieses Dreieck wird ein Rechteck einbeschrieben, wie nebenstehend
dargestellt.
Die Rechteckseiten $a$ und $b$ sollen so gewählt werden, dass der
Flächeninhalt $A$ des Rechtecks möglichst groß wird.
Bestimmen Sie die Rechteckseiten $a$ und $b$ sowie die sich ergebende Fläche
$A$ für diesen Fall.

\paragraph{Lösung:}
Die Rechteckfläche soll möglichst groß werden. Das ergibt unsere
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[A=a \cdot b\]
Wir haben zwei Variablen, benötigen also genau eine
Nebenbedingung. Diese können wir auf vielfältige Arten
gewinnen. Damit man das besser sieht, sollte man die Dreieckshöhe in der Mitte
des Dreiecks einzeichnen. Man kann dann über Strahlensätze, ähnliche Dreiecke
oder auch mit der Definition des Tangens (z. B. der Winkel unten rechts) die
Gleichung der \textbf{\underline{Nebenbedingung}} aufstellen:
\[\frac{h}{\frac{g}{2}}=\frac{b}{\frac{g-a}{2}}\]
Wir können diese Gleichung nach $a$ oder $b$ auflösen und in die Hauptbedingung
einsetzen. Ich löse nach $b$ auf, weil mir das etwas einfacher erscheint.
\begin{eqnarray*}
\frac{h}{\frac{g}{2}}&=&\frac{b}{\frac{g-a}{2}} \\
\frac{2h}{g}&=&\frac{2b}{g-a} \quad| \cdot (g-a) \\
\frac{2h \cdot (g-a)}{g}&=&2b \quad|:2 \\
b&=&\frac{h \cdot (g-a)}{g}
\end{eqnarray*}
Diesen Term setzen wir nun in die Hauptbedingung ein und erhalten die Funktion
$A(a)$. Wir setzen sie gleich Null und lösen nach $a$ auf.
\newpage
\begin{eqnarray*}
A&=&a \cdot b \\
A(a)&=&a \cdot \frac{h \cdot (g-a)}{g} \\
A(a)&=&\frac{a \cdot h \cdot (g-a)}{g} \\
A(a)&=&\frac{a \cdot h \cdot g-a^2 \cdot h}{g} \\
A(a)&=&\frac{a \cdot h \cdot g}{g}-\frac{a^2 \cdot h}{g} \\
A(a)&=&a \cdot h -\frac{a^2 \cdot h}{g} \\
A'(a)&=&h -\frac{2a \cdot h}{g} \\
0&=&h -\frac{2a_E \cdot h}{g} \quad|+\frac{2a_E \cdot h}{g} \\
\frac{2a_E \cdot h}{g}&=&h \quad| \cdot g \\
2a_E \cdot h&=&h \cdot g \quad|:2h \\
a_E &=&\frac{g}{2}
\end{eqnarray*}
\enlargethispage{10mm}
Wir bilden die zweite Ableitung und prüfen damit, ob tatsächlich ein Maximum
vorliegt.
\begin{eqnarray*}
A'(a)&=&h -\frac{2a \cdot h}{g} \\
A''(a)&=& -\frac{2h}{g} \\
A''(a_E)&=& -\frac{2h}{g} <0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Maximum}
\end{eqnarray*}
Die Folgerung war zuässig, da $h$ und $g$ stets als positiv bekannt sind.
Bestimmen wir zum Schluss noch die fehlende Rechteckseite $b$.
\begin{eqnarray*}
b&=&\frac{h \cdot (g-a)}{g} \\
b_E&=&\frac{h \cdot (g-\frac{g}{2})}{g} \\
b_E&=&\frac{h \cdot \frac{g}{2}}{g} \\
b_E&=&\frac{h}{2}
\end{eqnarray*}
Fassen wir die Ergebnisse abschließend noch einmal zusammen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$a_E=\cfrac{g}{2} \quad b_E=\cfrac{h}{2}$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 9}
\begin{wrapfigure}{r}{3.4cm}
 \psset{unit=8mm}
 \begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(3.8,3.1)
   \pnode(0,3){A}
   \pnode(3,3){B}
   \pnode(3.6,3){B1}
   \pnode(3.8,3){B2}
   \pnode(1.5,1.5){C}
   \pnode(0,1){D}
   \pnode(3,1){E}
   \pnode(3.6,1){E1}
   \pnode(3.8,1){E2}
   \pnode(1.5,-0.5){F}
   \psline*[linecolor=lightgray](A)(C)(B)(E)(F)(D)(A)
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(C)(F)
   \psline[linewidth=1.5pt](A)(D)(F)(E)(B)
   \psline{<->}(B1)(E1)
   \psline(B)(B2)
   \psline(E)(E2)
   \rput{90}(3.3,2){$h$} % Drehen eines Objektes
   \psline[linestyle=dashed](D)(E)
   \rput{45}(2.05,2.35){$s$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Ein oben offener prismatischer Behälter mit einem gleichseitigen Dreieck als
Grundfläche soll hergestellt werden.
Das Volumen des Behälters soll $\unit[8]{dm^3}$ betragen.
Der Behälter soll so gebaut werden, dass dabei der Blechverbrauch minimal wird.\\

Bestimmen Sie die Höhe $h$ des Behälters und die Seitenlänge $s$ des
Grundflächendreiecks für diese Bedingungen.

\paragraph{Lösung:}
\begin{wrapfigure}{r}{3cm}
 \psset{unit=6mm}
 \begin{pspicture}(-2,-0.5)(2,3.4)
   \pnode(-2,0){A}
   \pnode(2,0){B}
   \pnode(0,3.4){C}
   \pnode(0,0){D}
   \psline*[linecolor=lightgray](C)(D)(B)(C)
   \psline[linewidth=1.5pt](C)(A)(B)(C)(D)
   \rput{90}(-0.5,1.5){$h_d$} % Drehen eines Objektes
   \uput{0.2}[-90](0.5,0){$s$}
   \uput{0.2}[60](1,1.7){$s$}
   \psarcn(D){0.7}{90}{0}
   \uput{0.2}[35](D){$\cdot$}
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Optimiert werden soll die Fläche, bestehend aus Mantel- und Bodenfläche des
Prismas. Die Bodenfläche hat dabei die Form eines gleichseitigen Dreiecks. Zur
Berechnung dieser Bodenfläche benötigt man neben der bekannten Seite $s$ auch
die Höhe dieses Dreiecks -- nennen wir sie $h_d$. Dazu betrachten wir die
nebenstehend dargestellte Bodenfläche. In rechten grau unterlegten
rechtwinkligen Teildreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden, um
daraus $h_d$ zu bestimmen.
\[\begin{array}{rcll}
h_d^2+\left(\cfrac{s}{2}\right)^2&=&s^2 \\
h_d^2&=&s^2-\left(\cfrac{s}{2}\right)^2 \\
h_d^2&=&s^2-\cfrac{1}{4}s^2 \\
h_d^2&=&\cfrac{3}{4}s^2 \\
h_d&=&\sqrt{\cfrac{3}{4}s^2}\\
h_d&=&\cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \\
\end{array}\]
Damit kann die Bodenfläche bestimmt werden:
\[\begin{array}{rcll}
A_B&=&\cfrac{s \cdot h_b}{2}\\
&=&\cfrac{s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s}{2}\\
A_B&=&\cfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \\
\end{array}\]
Mit dieser Fläche und den drei rechteckigen Seitenflächen kann nun die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}} aufgestellt werden:
\[A=3 \cdot \overbrace{s \cdot h}^{\textnormal{Seiten}}
  +\overbrace{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2}^{\textnormal{Boden}}\]

Das Volumen des Behälters ist bekannt. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Nebenbedingung}}:
\[V=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \cdot h\]
Die Nebenbedingung muss nun nach einer der beiden Variablen $s$ oder $h$
umgestellt werden, damit der sich ergebende Term in die Hauptbedingung
eingesetzt werden kann. Es ist offensichtlich einfacher die Nebenbedingung nach
$h$ statt nach $s$ umzustellen. Daher wählen wir diesen Weg.
\begin{eqnarray*}
V&=&\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \cdot h \quad|
  :\left(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2\right) \\
\frac{V}{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2}&=&h \\
\frac{4 \cdot V}{\sqrt{3}\cdot s^2}&=&h
\end{eqnarray*}
Diesen Term können wir nun in die Hauptbedingung einsetzen. Wir erhalten dann
die Funktion $A(s)$, die wir ableiten und gleich Null setzen können. Durch
Umstellen bekommen wir dann $s$.

\begin{eqnarray*}
A&=&3 \cdot s \cdot h+\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \\
A(s)&=&3 \cdot s \cdot \frac{4 \cdot V}{\sqrt{3}\cdot s^2}
  +\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \\
A(s)&=&\frac{\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V}{s}+\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \\
A(s)&=&\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V \cdot s^{-1}+\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot s^2 \\
A'(s)&=&-\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V \cdot s^{-2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \\
A'(s)&=&-\frac{\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V}{s^2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \\
0&=&-\frac{\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V}{s^2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \quad
  |\cdot 2s^2\\
0&=&-\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V+\sqrt{3} \cdot s^3 \quad |:\sqrt{3} \\
0&=&-8 \cdot V+s^3 \quad|-s^3 \\
-s^3&=&-8 \cdot V \quad| \cdot (-1) \\
s^3&=&8 \cdot V \quad|\sqrt[3 \ ]{\ } \\
s_E&=&2 \cdot \sqrt[3 \ ]{V}
\end{eqnarray*}
Als nächstes muss geprüft werden, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt. Das geht
am besten mit der zweiten Ableitung.
\begin{eqnarray*}
A'(s)&=&-\sqrt{3} \cdot 4 \cdot V \cdot s^{-2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \\
A''(s)&=&\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V \cdot s^{-3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=&\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V \cdot s^{-3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=& \frac{\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V}{s^3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
A''(s_E)&=&
\frac{\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V}{\left( 2 \cdot \sqrt[3 \ ]{V}\right)^3}
  +\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=&\frac{\sqrt{3} \cdot 8 \cdot V}{8 \cdot V}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=&\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\
&=&\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}>0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Minimum}
\end{eqnarray*}
Wir berechnen jetzt noch die Höhe $h_E$.
\begin{eqnarray*}
h_E&=&\frac{4 \cdot V}{\sqrt{3}\cdot s_E^2} \\
&=&\frac{4 \cdot V}{\sqrt{3}\cdot \left(2 \cdot \sqrt[3 \ ]{V}\right)^2} \\
&=&\frac{4 \cdot \left( \sqrt[3 \ ]{V}\right)^3}
  {\sqrt{3}\cdot 4 \cdot \left( \sqrt[3 \ ]{V}\right)^2} \\
&=&\frac{\sqrt[3 \ ]{V}}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}
Setzen wir nun noch den vorgegebenen Wert für das Volumen von
\mbox{$V=\unit[8]{dm^3}$} in die gefundenen Lösungen für $s_E$ und $h_E$ ein.
\begin{eqnarray*}
s_E&=&2 \cdot \sqrt[3 \ ]{V} \\
&=&2 \cdot \sqrt[3 \ ]{\unit[8]{dm^3}} \\
&=&2 \cdot \unit[2]{dm} \\
s_E&=&\unit[4]{dm} \\ \\
h_E&=&\frac{\sqrt[3 \ ]{V}}{\sqrt{3}} \\
&=&\frac{\sqrt[3 \ ]{\unit[8]{dm^3}}}{\sqrt{3}} \\
&=&\frac{\unit[2]{dm}}{\sqrt{3}} \\
h_E&\approx&\unit[1,1547]{dm}
\end{eqnarray*}
Hier noch einmal die Zusammenfassung der Lösung:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$s_E=\unit[4]{dm} \quad h_E \approx \unit[1,1547]{dm}$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 10}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=3.5mm}
 \begin{pspicture}(-5.1,-0.1)(5.1,5.1)
   \psline*[linecolor=lightgray](-3,0)(-3,4)(3,4)(3,0)(-3,0)
   \psline(-3,0)(-3,4)(3,4)(3,0)(-3,0)
   \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(0,0){5}{0}{180}
   \psline[linewidth=1.5pt]{-}(-5,0)(5,0)
   \psline{-}(0,0)(3,4)
   \uput{0.2}[-90](0,4){$b$}
   \rput{90}(-3.6,1.8){$h$}
   \rput{60}(1.1,2.2){$r$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
In einen halbkreisförmigen Wanddurchbruch soll gemäß nebenstehender Skizze ein
rechteckiges Fenster mit möglichst großer Fläche $A$ eingebaut werden.
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und die Breite $b$ des optimalen Fensters, wenn der
Bogenradius $r$ bekannt ist.

\paragraph{Lösung:}
Die Fensterfläche $A$ soll möglichst groß werden. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[A=b \cdot h\]
Wir haben zwei Variablen, benötigen also genau eine
Nebenbedingung. Um diese zu erhalten, betrachten wir in der Skizze das kleine
rechtwinklige Dreieck unten rechts. Der Satz des Pythagoras ergibt unsere
\textbf{\underline{Nebenbedingung}}:
\[r^2=h^2+\left( \frac{b}{2}\right)^2\]
Man kann die Gleichung nach $h$ oder nach $b$ umstellen. Ich stelle sie nach
$b$ um, denn dann erhalte ich \underline{keine} Brüche.
\begin{eqnarray*}
r^2&=&h^2+\left( \frac{b}{2}\right)^2 \quad|-h^2 \\
r^2-h^2&=&\left( \frac{b}{2}\right)^2 \quad|\sqrt{ \ } \\
\sqrt{r^2-h^2}&=&\frac{b}{2} \quad| \cdot 2 \\
b&=&2 \cdot \sqrt{r^2-h^2}
\end{eqnarray*}
Diesen Term setzen wir nun in die Hauptbedingung ein und erhalten die Funktion
$A(h)$. Wir setzen sie gleich Null und lösen nach $a$ auf.
\newpage
\begin{eqnarray*}
A&=&b \cdot h \\
A(h)&=&h \cdot 2 \cdot \sqrt{r^2-h^2} \\
A(h)&=&\sqrt{4h^2 \left( r^2-h^2 \right)} \\
A(h)&=&\sqrt{4r^2h^2-4h^4} \\
A(h)&=&\left( 4r^2h^2-4h^4 \right)^{\frac{1}{2}} \\
A'(h)&=&\left( 8r^2h-16h^3 \right) \cdot
  \frac{1}{2}\left( 4r^2h^2-4h^4 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
A'(h)&=&\frac{8r^2h-16h^3}
  {2 \cdot \sqrt{\left( 4r^2h^2-4h^4 \right)}} \\
A'(h)&=&\frac{8r^2h-16h^3}
  {4 \cdot \sqrt{\left( r^2h^2-h^4 \right)}} \\
A'(h)&=&\frac{2r^2h-4h^3}
  {\sqrt{\left( r^2h^2-h^4 \right)}} \\
0&=&\frac{2r^2h_E-4h_E^3}
  {\sqrt{\left( r^2h_E^2-h_E^4 \right)}}
  \quad| \cdot \sqrt{\left( r^2h_E^2-h_E^4 \right)}\\
0&=&2r^2h_E-4h_E^3 \\
0&=&h_E \cdot \left( 2r^2-4h_E^2 \right) \quad \Rightarrow \quad h_{E1}=0
  \textnormal{ (entfällt)} \\
0&=&2r^2-4h_E^2 \quad|+4h_E^2 \\
4h_E^2&=&2r^2 \quad|:4 \\
h_E^2&=&\frac{r^2}{2} \quad|\sqrt{ \ } \\
h_{E2/3}&=&\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot r
\end{eqnarray*}
Die negative Lösung $h_{E3}=- \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot r$ entfällt natürlich
ebenso, wie die Lösung $h_{E1}=0$. Es bleibt also nur
$h_{E2}=+ \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot r$.
Man könnte nun mit der zweiten Ableitung prüfen, ob tatsächlich ein Maximum
vorliegt, diese Ableitung ist jedoch nicht ganz einfach zu bestimmen. Daher
wähle ich die alternative Methode, die nur mit der ersten Ableitung
auskommt\footnote{Einzelheiten dazu siehe
hier in Kapitel 3.5: \ifpdf \htmladdnormallink
{\textcolor{blue}{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}}
{http://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/kudisk.pdf}\fi}.
\newpage
\begin{eqnarray*}
A'(h)&=&\frac{2r^2h-4h^3}
  {\sqrt{\left( r^2h^2-h^4 \right)}} \\
A'(0,5r)&=&\frac{r^3-0,5r^3}
  {\sqrt{\left( 0,25r^4-0,0625r^4 \right)}} \\
 &=&\frac{0,5r^3}
  {\sqrt{\left( 0,3125r^4 \right)}}>0 \\
A'(0,8r)&=&\frac{1,6r^3-2,084r^3}
  {\sqrt{\left( 0,64r^4-0,4096r^4 \right)}} \\
 &=&\frac{-0,484r^3}
  {\sqrt{\left( 0,2304r^4 \right)}}<0 \\
\end{eqnarray*}
Wir haben einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$, demnach handelt es sich um
ein Maximum. \\

Die noch fehlende Breite $b$ erhalten wir über die umgestellte Nebenbedingung:
\begin{eqnarray*}
b&=&2 \cdot \sqrt{r^2-h^2} \\
b_E&=&2 \cdot \sqrt{r^2-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot r \right)^2} \\
   &=&\sqrt{4 \cdot \left( r^2- \frac{1}{2}\cdot r^2 \right)} \\
   &=&\sqrt{4r^2-2r^2} \\
   &=&\sqrt{2r^2} \\
b_E&=&\sqrt{2} \cdot r \\
\end{eqnarray*}
Fassen wir noch einmal die Lösungen zusammen:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$b_E= \sqrt{2}\cdot r
 \quad h_E=\cfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot r$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 11}
Eine zylinderförmige oben offene Regenwassersammeltonne mit einem Volumen von
\mbox{$V=\unit[200]{Liter}$} soll so hergestellt werden, dass möglichst wenig
Material verbraucht wird. Welchen Durchmesser $d$ und welche Höhe $h$ muss die
Tonne haben?

\paragraph{Lösung:}
Der "`Materialverbrauch"' soll optimiert werden. Das ist die Oberfläche der
Tonne, also Mantel + Boden. Damit erhalten wir die
\textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[A= \pi \cdot d \cdot h+ \frac{\pi}{4} \cdot d^2\]
Die Hauptbedingung enthält 2 Variablen ($d$ und $h$). Deshalb benötigen wir
noch genau eine \textbf{\underline{Nebenbedingung}}. Diese erhalten wir mit
Hilfe des bekannten Volumens $V$:
\[V= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h\]
Wir müssen die \textbf{\underline{Nebenbedingung}} nach $d$ oder $h$ umstellen
und in die \textbf{\underline{Hauptbedingung}} einsetzen. Da sie sich einfacher
nach $h$ als nach $d$ umstellen lässt, tun wir das.
\begin{eqnarray*}
V&=&\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \cdot h \quad| \cdot 4 \\
4V&=&\pi \cdot d^2 \cdot h \quad|:(\pi \cdot d^2) \\
\frac{4V}{\pi \cdot d^2}&=&h
\end{eqnarray*}
Eingesetzt in die Hauptbedingung erhalten wir $A$ als eine Funktion von $d$.
\begin{eqnarray*}
A(d)&=& \pi \cdot d \cdot \frac{4V}{\pi \cdot d^2}+
   \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \\
A(d)&=& \frac{4V}{d}+\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \\
A(d)&=&4V \cdot d^{-1}+\frac{\pi}{4} \cdot d^2 \\
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot d \\
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+\frac{\pi}{2} \cdot d \\
A'(d)&=&-\frac{4V}{d^2}+\frac{\pi}{2} \cdot d \\
\end{eqnarray*}
\newpage %-------------------------
Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremwertes ist, dass die erste
Ableitung gleich 0 ist.
\begin{eqnarray*}
-\frac{4V}{d^2_E}+\frac{\pi}{2} \cdot d_E&=&0 \quad|+\frac{4V}{d^2_E} \\
\frac{\pi}{2} \cdot d_E&=& \frac{4V}{d^2_E} \quad| \cdot d^2_E \\
\frac{\pi}{2} \cdot d^3_E&=&4V \quad|:\frac{\pi}{2} \\
d^3_E&=&\frac{8V}{\pi} \quad|\sqrt[3 \ ]{\ } \\
d_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{8V}{\pi}} \\
d_E&=&2 \cdot \sqrt[3 \ ]{\frac{V}{\pi}}
\end{eqnarray*}
Als nächstes muss geprüft werden, ob der gefundene Wert für $d$ tatsächlich ein
Minimum ergibt. Das geht am einfachsten mit der zweiten Ableitung.
\begin{eqnarray*}
A'(d)&=&-4V \cdot d^{-2}+\frac{\pi}{2} \cdot d \\
A''(d)&=&8V \cdot d^{-3}+\frac{\pi}{2} \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{8V}{\pi}}\right)^{-3}+\frac{\pi}{2} \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \left(\frac{8V}{\pi}\right)^{-1}+\frac{\pi}{2} \\
A''(d_E)&=&8V \cdot \frac{\pi}{8V}+\frac{\pi}{2} \\
A''(d_E)&=&\pi+\frac{\pi}{2} \\
A''(d_E)&=&\frac{3 \cdot \pi}{2} >0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Tiefpunkt}
\end{eqnarray*}
\newpage %-------------------------
Zuletzt muss noch $h_E$ bestimmt werden. Das geschieht am einfachsten durch
Einsetzen von $d_E$ in die umgestellte Nebenbedingung am Anfang.
\begin{eqnarray*}
h&=&\frac{4V}{\pi \cdot d^2} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot d^2_E} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot \left(\sqrt[3 \ ]{\frac{8V}{\pi}}\right)^2} \\
h_E&=&\frac{4V}{\pi \cdot \sqrt[3 \ ]{\frac{8^2V^2}{\pi^2}}} \\
h_E&=&\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\frac{\pi^3 \cdot 8^2V^2}{\pi^2}}} \\
h_E&=&\frac{4V}{\sqrt[3 \ ]{\pi \cdot 8^2V^2}} \\
h_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{4^3V^3}{\pi \cdot 8^2V^2}} \\
h_E&=&\sqrt[3 \ ]{\frac{V}{\pi}}
\end{eqnarray*}
Bei der optimalen Tonne ist also die Höhe halb so groß wie der Durchmesser.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$d_E=2\sqrt[3 \ ]{\cfrac{V}{\pi}}
  \quad h_E=\sqrt[3 \ ]{\cfrac{V}{\pi}}$}
\end{center}
Zum Schluss können wir noch das gegebene Volumen von 200 Litern in die Formeln
einsetzen und erhalten die Zahlenwerte für Durchmesser und Höhe in Dezimetern.
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$d_E \approx \unit[7,9859]{dm} \quad h_E \approx
\unit[3,9929]{dm}$}
\end{center}
\newpage %---------------------------
\subsection{Aufgabe 12}
Ein Hochregallager mit einem Gesamtvolumen von $\unit[500]{m^3}$ soll möglichst
kostengünstig hergestellt werden. Dabei schlagen die Wände mit \EUR{1000} je
$\unit[]{m^2}$, die Decke mit \EUR{600} je $\unit[]{m^2}$ sowie der Boden mit
\EUR{400} je $\unit[]{m^2}$ zu Buche. Welche Maße sollten verwendet werden,
wenn ein quadratischer Grundriss gewählt wird?

\paragraph{Lösung:}
Zunächst müssen Variablennamen festgelegt werden, da sie nicht vorgegeben sind.
Wir benennen die Seitenlänge des quadratischen Grundrisses mit $a$ und die Höhe
des Lagers mit $h$. \\ \\
Optimiert werden sollen die Kosten, die wir mit $K$ bezeichnen. Sie liefern
also unsere \textbf{\underline{Hauptbedingung}}:
\[K= \underbrace{4 \cdot a \cdot h \cdot \textnormal{\EUR{1000}}}_{\textnormal{Wände}}
  +\underbrace{a^2 \cdot \textnormal{\EUR{600}}}_{\textnormal{Decke}}
  +\underbrace{a^2 \cdot \textnormal{\EUR{400}}}_{\textnormal{Boden}} \]
Da in der Hauptbedingung zwei Variablen vorkommen ($a$ und $h$), benötigen wir
noch eine \textbf{\underline{Nebenbedingung}}. Diese bekommen wir mit Hilfe des
bekannten Gesamtvolumes von \mbox{$V=\unit[500]{m^3}$}:
\[V=a^2 \cdot h\]
Da sich die Nebenbedingung einfacher nach $h$ als nach $a$ umstellen lässt,
wählen wir diesen Weg.
\begin{eqnarray*}
V&=&a^2 \cdot h \quad|:a^2\\
\frac{V}{a^2}&=&h \\
h&=&\frac{\unit[500]{m^3}}{a^2}
\end{eqnarray*}
Wir setzen die umgeformte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein und erhalten
die Funktion $K(a)$. Diese Funktion wird zunächst vereinfacht und dann
abgeleitet. Die Ableitung setzen wir gleich Null und lösen die Gleichung nach
$a$ auf.
\begin{eqnarray*}
K&=& 4 \cdot a \cdot h \cdot \textnormal{\EUR{1000}}
  +a^2 \cdot \textnormal{\EUR{600}}+a^2 \cdot \textnormal{\EUR{400}} \\
K(a)&=& 4 \cdot a \cdot \frac{\unit[500]{m^3}}{a^2} \cdot \textnormal{\EUR{1000}}
  +a^2 \cdot \textnormal{\EUR{600}}+a^2 \cdot \textnormal{\EUR{400}} \\
  &=&\frac{\textnormal{\EUR{2000000}m}^3}{a}+a^2 \cdot \textnormal{\EUR{1000}}\\
K(a)&=&\textnormal{\EUR{2000000}m}^3 \cdot a^{-1}+a^2 \cdot \textnormal{\EUR{1000}} \\
K'(a)&=&-\textnormal{\EUR{2000000}m}^3 \cdot a^{-2}+a \cdot \textnormal{\EUR{2000}} \\
  &=&-\frac{\textnormal{\EUR{2000000}m}^3}{a^2}+a \cdot \textnormal{\EUR{2000}} \\
0&=&-\frac{\textnormal{\EUR{2000000}m}^3}{a_E^2}+a_E \cdot \textnormal{\EUR{2000}}
  \quad|:\textnormal{\EUR{2000}}\\
0&=&-\frac{\unit[1000]{m^3}}{a_E^2}+a_E \quad| +\frac{\unit[1000]{m^3}}{a_E^2} \\
\frac{\unit[1000]{m^3}}{a_E^2}&=&a_E \quad| \cdot a_E^2 \\
\unit[1000]{m^3}&=&a_E^3 \quad|\sqrt[3 \ ]{\ } \\
a_E&=&\unit[10]{m}
\end{eqnarray*}
Als nächstes muss geprüft werden, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt. Diese
Prüfung führen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung durch.
\begin{eqnarray*}
K'(a)&=&-\textnormal{\EUR{2000000}m}^3 \cdot a^{-2}
  +a \cdot \textnormal{\EUR{2000}} \\
K''(a)&=&2 \cdot \textnormal{\EUR{2000000}m}^3 \cdot a^{-3}
  +\textnormal{\EUR{2000}} \\
  &=&\frac{\textnormal{\EUR{4000000}m}^3}{a^3}+\textnormal{\EUR{2000}} \\
K''(a_E)&=&\frac{\textnormal{\EUR{4000000}m}^3}{1000m^3}
  +\textnormal{\EUR{2000}} \\
  &=&\textnormal{\EUR{4000}}+\textnormal{\EUR{2000}} \\
K''(a_E)&=&\textnormal{\EUR{6000}}>0 \quad \Rightarrow \quad
  \textnormal{Minimum}
\end{eqnarray*}
Zum Schluss bestimmen wir noch die Höhe $h_E$ mit Hilfe der umgestellten
Nebenbedingung.
\[h_E=\frac{\unit[500]{m^3}}{a^2}=\frac{\unit[500]{m^3}}{(\unit[10]{m})^2}
 =\unit[5]{m}\]
\begin{center}
Zusammengefasst: \fcolorbox{red}{yellow}{$a_E=\unit[10]{m} \quad
 h_E=\unit[5]{m}$}
\end{center}
\newpage  %---------------------
\subsection{Aufgabe 13}
\begin{wrapfigure}{r}{4cm}
 \psset{unit=3.5mm}
 \begin{pspicture}(-5.1,-5.1)(5.1,5.1)
   \psline*[linecolor=lightgray](-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psline(-3,-4)(-3,4)(3,4)(3,-4)(-3,-4)
   \psarc[linewidth=1.5pt]{-}(0,0){5}{0}{360}
   \psline{<->}(-3,-4)(3,4)
   \uput{0.2}[-90](0,4){$b$}
   \rput{90}(-3.6,0){$h$}
   \rput{60}(-0.5,0.3){$d$} % Drehen eines Objektes
 \end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Aus einem runden Baumstamm mit einem Durchmesser von \mbox{$d=\unit[60]{cm}$}
soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt und einem möglichst großen
Widerstandsmoment geschnitten werden. Das Widerstandsmoment kann mit folgender
Formel berechnet werden:
\[W=\frac{b \cdot h^2}{6}\]
Bestimmen Sie die Höhe $h$ und die Breite
$b$ des günstigsten rechteckigen Querschnitts!

\paragraph{Lösung:}
Das \emph{Widerstandsmoment} $W$ soll optimiert werden. Die zugehörige Formel
stellt somit die \textbf{\underline{Hauptbedingung}} dar:
\[W=\frac{b \cdot h^2}{6}\]
Wir haben zwei Variablen, benötigen also genau eine
Nebenbedingung. Zeichnet man in der Skizze des Stammes den Durchmesser $d$ als
Diagonale im Rechteck ein, dann erkennt man sofort ein rechtwinkliges Dreieck
mit $d$ als Hypotenuse und $b$ und $h$ als Katheten. Der Satz des Pythagoras
stellt einen Zusammenhang zwischen diesen drei Größen dar. Er kann somit die
gesuchte \textbf{\underline{Nebenbedingung}} liefern:
\[d^2=b^2+h^2\]
Wir können diese Nebenbedingung nach $b$ oder $h$ auflösen; in beiden Fällen
erhalten wir eine Wurzel. Da in der Hauptbedingung jedoch $h$ nur im Quadrat
auftaucht, bietet es sich an, die Nebenbedingung nach $h^2$ umzustellen und das
Ergebnis direkt für $h^2$ in die Hauptbedingung einzusetzen.
\begin{eqnarray*}
d^2&=&b^2+h^2 \quad| -b^2 \\
d^2-b^2&=&h^2
\end{eqnarray*}
Diesen Term setzen wir in die Hauptbedingung ein und erhalten die Funktion
$W(b)$. Diese wird dann nach $b$ abgeleitet und gleich Null gesetzt.
\begin{eqnarray*}
W&=&\frac{b \cdot h^2}{6} \\
W(b)&=&\frac{b \cdot (d^2-b^2)}{6} \\
W(b)&=&\frac{d^2 \cdot b -b^3}{6} \\
W'(b)&=&\frac{d^2-3b^2}{6} \\
0&=&\frac{d^2-3b^2}{6} \quad| \cdot 6 \\
0&=&d^2-3b^2 \quad|+3b^2 \\
3b^2&=&d^2 \quad|:3 \\
b^2&=&\frac{1}{3}\cdot d^2 \quad|\sqrt{\ } \\
b_{1/2}&=& \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d
\end{eqnarray*}
Der negative Wert $b_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d$ entfällt.
Für $b_E=b_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d$ muss nun geprüft werden, ob -- wie
gewünscht -- ein Maximum vorliegt. Das geht am einfachsten mit der zweiten
Ableitung.
\begin{eqnarray*}
W'(b)&=&\frac{d^2-3b^2}{6} \\
W''(b)&=&\frac{-6b}{6} \\
W''(b)&=&-b \\
W''(b_E)&=&-\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d \right) \\
\end{eqnarray*}
Weil \mbox{$d>0$} ist, folgt:
\begin{eqnarray*}
W''(b_E)&=&-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d<0 \quad \Rightarrow \quad \textnormal{Maximum}
\end{eqnarray*}
Bestimmen wir nun noch die Höhe $h$ mit Hilfe der umgestellten Nebenbedingung.
\begin{eqnarray*}
h^2&=&d^2-b^2 \quad| \sqrt{\ } \\
h&=&\sqrt {d^2-b^2} \quad| b_E \textnormal{ einsetzen} \\
h_E&=&\sqrt {d^2-\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot d \right)^2} \\
&=&\sqrt {d^2-\frac{1}{3}\cdot d^2} \\
&=&\sqrt {\frac{2}{3}\cdot d^2} \\
h_E&=&\sqrt {\frac{2}{3}}\cdot d
\end{eqnarray*}
Setzt man nun noch den gegebenen Wert von $d=\unit[60]{cm}$ in die Lösungen für
$b_E$ und $h_E$ ein, erhalten wir:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}{$b_E \approx \unit[34,64]{cm} \quad
 h_E \approx \unit[48,99]{cm}$}\end{center}
\end{document}

%\begin{wrapfigure}{r}{9cm}
%\includegraphics[width=\linewidth]{Bilddatei}
%\caption{Bildunterschrift}
%\end{wrapfigure}
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