\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl}
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\setlength{\fboxrule}{1pt} % Breite der Umrandung
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\captionsetup{labelformat=empty}
%\usepackage[landscape=true]{geometry} % Querformat
\title{Lösen von Exponentialgleichungen}
\author{Wolfgang Kippels}
\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Vorwort}
Diese und ähnliche Anleitungen zu erstellen erfordert sehr viel Zeit und Mühe.
Trotzdem stelle ich alles kostenfrei der Allgemeinheit zur Verfügung. Wenn Sie
diese Datei hilfreich finden, dann bitte ich Sie um Erfüllung des nachfolgend
beschriebenen "`Generationenvertrages"':
\begin{quote}
\emph{Wenn Sie später einmal Ihre Ausbildungsphase beendet haben und im Beruf stehen
(oder auch noch danach), geben Sie bitte Ihr Wissen in geeigneter Form an die
nachfolgende Generation weiter}.
\end{quote}

Wenn Sie mir eine Freude machen wollen, dann schreiben Sie mir bitte eine
kleine Email an die folgende Adresse:
\includegraphics[width=25mm]{Adresse.jpg}\\

Vielen Dank!
\newpage

\section{Einleitung}
Was ist eine Exponentialgleichung?\\

Allgemein ausgedrückt sind Exponentialgleichungen Gleichungen, in denen die
gesuchte Variable in einem (oder mehreren) Exponenten auftaucht. Das könnte
beispielsweise so aussehen:

\[3^{2x-5} \cdot 9^{3x-12}=27\]

Leider gibt es kein allgemeingültiges Lösungsrezept, mit dem man \textbf{alle}
Exponentialgleichungen lösen kann, wie wir das beispielsweise bei Linearen oder
Quadratischen Gleichungen kennengelernt haben. Immerhin gibt es ein paar
Ansätze, die auf die eine oder andere Gleichung angewendet werden können. Diese
Lösungsmöglichkeiten möchte ich der Reihe nach vorstellen.\\

Im Folgenden gehe ich davon aus, dass die Potenzrechengesetze und die
Logarithmengesetze bekannt sind. Diese kann man beispielsweise hier nachlesen:
\begin{center}
Potenzrechengesetze:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/potenz.pdf}
%}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/potenz.pdf}\fi
\\
Logarithmengesetze:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/logarit.pdf}
%}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/logarit.pdf}\fi
\end{center}

In der zuletzt genannten Datei sind auch einige Exponentialgleichungen
einschließlich Lösungen vorhanden. Die hier beschriebenen Lösungsverfahren
gehen aber über das dort beschriebene hinaus.

\newpage
\section{Lösung durch Basen- und Exponentenvergleich}
\subsection{Grundprinzip dieses Verfahrens}
Schauen wir uns das Beispiel aus der Einleitung einmal genau an.
\[3^{2x-5} \cdot 9^{3x-12}=27\]
Hier sollte auffallen, dass alle Basen eine Potenz von 3 darstellen.
\[\begin{array}{rcll}
3&=&3^1 \\
9&=&3^2 \\
27&=&3^3 \\
\end{array}\]

Hiermit können wir die Basen durch Dreierpotenzen ersetzen.
\[\begin{array}{rcll}
3^{2x-5} \cdot 9^{3x-12}&=&27 \\
(3^1)^{2x-5} \cdot (3^2)^{3x-12}&=&3^3 &| \textnormal{ 5. Potenzrechengesetz} \\
3^{1 \cdot (2x-5)} \cdot 3^{2 \cdot (3x-12)}&=&3^3 &| \textnormal{ 3. Potenzrechengesetz} \\
3^{1 \cdot (2x-5)+2 \cdot (3x-12)}&=&3^3 \\
\end{array}\]

Nun sind die Basen auf beiden Seiten gleich, beide sind gleich 3. Wegen der
Stetigkeit der Potenzfunktion müssen daher auch die Exponenten gleich sein. Wir
können somit die Exponenten \textbf{gleichsetzen}. Die weitere Rechnung sieht
dann so aus:

\[\begin{array}{rcll}
3^{1 \cdot (2x-5)+2 \cdot (3x-12)}&=&3^3
 &| \textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
1 \cdot (2x-5)+2 \cdot (3x-12)&=&3 \\
2x-5+6x-24&=&3 \\
8x-29&=&3 &|+29 \\
8x&=&32 &|:8 \\
x&=&4 \\
L&=&\{4\} \\
\end{array}\]

Durch eine Probe können wir uns von der Richtigkeit des Ergebnisses überzeugen.
\[\begin{array}{rcll}
3^{2x-5} \cdot 9^{3x-12}&=&27 \\
3^{2 \cdot 4-5} \cdot 9^{3 \cdot 4-12}&^{^?_=}&27 \\
3^{8-5} \cdot 9^{12-12}&^{^?_=}&27 \\
3^3 \cdot 9^0&^{^?_=}&27 \\
27 \cdot 1&=&27 \\
\end{array}\]

\newpage
Mit einem weiteren Beispiel wollen wir das Gelernte vertiefen.
\[ \sqrt[3\,]{a^{x-2}}=a^{x-4}\]

Zunächst muss die Wurzel in eine Potenz umgewandelt werden. Danach können wir
nach dem eben kennen gelernten Schema vorgehen.
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{a^{x-2}}&=&a^{x-4}\\
a^{\frac{x-2}{3}}&=&a^{x-4}&| \textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
\cfrac{x-2}{3}&=&x-4 &| \cdot 3 \\
x-2&=&3 \cdot (x-4) \\
x-2&=&3x-12 &|-3x+2 \\
-2x&=&-10 &|:(-2) \\
x&=&5 \\
L&=&\{5\}\\
\end{array}\]

Auch hier möchte ich das Ergebnis durch eine Probe überprüfen:
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{a^{x-2}}&=&a^{x-4}\\
\sqrt[3\,]{a^{5-2}}&^{^?_=}&a^{5-4}\\
\sqrt[3\,]{a^3}&^{^?_=}&a^1\\
a&=&a \\
\end{array}\]

\subsection{Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren "`Basen- und
Exponentenvergleich"'}
Damit die Lösung schnell geprüft werden kann, steht bei jeder Aufgabe die
Lösungsmenge direkt mit dabei. Komplette Lösungen mit Lösungsweg befinden sich
in einem eigenen nachfolgenden Kapitel.

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[2^{x-3}=1\,024\]
\[L=\{13\}\]
\subsubsection{Aufgabe 2}
\[b^{2x+3}=b^{8-3x}\]
\[L=\{1\}\]
\subsubsection{Aufgabe 3}
\[5^x=25\]
\[L=\{2\}\]
\subsubsection{Aufgabe 4}
\[\sqrt[3\,]{a^{17-x}}=a^{x-5}\]
\[L=\{8\}\]
\subsubsection{Aufgabe 5}
\[\sqrt[x-2\,]{a^{x-3}}= \sqrt[x+3\,]{a^{x+1}}\]
\[L=\{7\}\]
\subsubsection{Aufgabe 6}
\[4^x=0{,}25\]
\[L=\{-1\}\]
\subsubsection{Aufgabe 7}
\[\sqrt[3\,]{a^{5x+7}} \cdot \sqrt[4\,]{a^{3x+10}}=a^2 \cdot \sqrt{a^{5x}}\]
\[L=\{34\}\]
\subsubsection{Aufgabe 8}
\[0{,}05^{2x-1}=20^{3x-8}\]
\[L=\{1{,}8\}\]
\subsubsection{Aufgabe 9}
\[32^{\frac{x+5}{x-7}}=(0{,}25 \cdot 128)^{\frac{x+17}{x-3}}\]
\[L=\{13\}\]
\subsubsection{Aufgabe 10}
\[a^2 \cdot \sqrt[4\,]{a^{5x-3}}
  =a^{\frac{7x}{6}} \cdot \sqrt[3\,]{a^{\frac{2x}{9}}}\]
\[L=\{-135\}\]

\newpage
\subsection{Komplette Lösungswege zu den Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren
"`Basen- und Exponentenvergleich"'}

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
2^{x-3}&=&1\,024 \\
2^{x-3}&=&2^{10} &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen} \\
x-3&=&10 &|+3 \\
x&=&13 \\
L&=&\{13\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
b^{2x+3}&=&b^{8-3x} &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen} \\
2x+3&=&8-3x &|+3x-3 \\
5x&=&5 &|:5 \\
x&=&1 \\
L&=&\{1\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
5^x&=&25 \\
5^x&=&5^2 &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen} \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{a^{17-x}}&=&a^{x-5}\\
a^{\frac{17-x}{3}}&=&a^{x-5} &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen} \\
\cfrac{17-x}{3}&=&x-5 &| \cdot 3 \\
17-x&=&3x-15 &|-3x-17 \\
-4x&=&-32 &|:(-4) \\
x&=&8 \\
L&=&\{8\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x-2\,]{a^{x-3}}&=& \sqrt[x+3\,]{a^{x+1}}\\
a^{\frac{x-3}{x-2}}&=&a^\frac{x+1}{x+3}&|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
\cfrac{x-3}{x-2}&=&\cfrac{x+1}{x+3}&| \cdot (x-2) \cdot (x+3) \\
(x-3) \cdot (x+3)&=&(x+1) \cdot (x-2) \\
x^2-9&=&x^2-2x+x-2 &|-x^2 \\
-9&=&-x-2 &|+x+9 \\
x&=&7 \\
L&=&\{7\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rcll}
4^x&=&0{,}25 \\
4^x&=&\cfrac{1}{4}\\
4^x&=&4^{-1}&|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
x&=&-1 \\
L&=&\{-1\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{a^{5x+7}} \cdot \sqrt[4\,]{a^{3x+10}}&=&a^2 \cdot \sqrt{a^{5x}} \\
a^{\frac{5x+7}{3}} \cdot a^{\frac{3x+10}{4}}&=&a^2 \cdot a^{\frac{5x}{2}}\\
a^{\frac{5x+7}{3}+\frac{3x+10}{4}}&=&a^{2+\frac{5x}{2}}
  &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
\cfrac{5x+7}{3}+\cfrac{3x+10}{4}&=&2+\cfrac{5x}{2}&| \cdot 12 \\
4 \cdot (5x+7)+3 \cdot (3x+10)&=&12 \cdot 2+6 \cdot 5x \\
20x+28+9x+30&=&24+30x \\
29x+58&=&24+30x &|-30x-58 \\
-x&=&-34 &| \cdot (-1) \\
x&=&34 \\
L&=&\{34\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rcll}
0{,}05^{2x-1}&=&20^{3x-8}\\
\left( \cfrac{1}{20}\right)^{2x-1}&=&20^{3x-8}\\
20^{-(2x-1)}&=&20^{3x-8} &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
-(2x-1)&=&3x-8 \\
-2x+1&=&3x-8 &|-3x-1 \\
-5x&=&-9 &|:(-5) \\
x&=&1{,}8 \\
L&=&\{1{,}8\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rcll}
32^{\frac{x+5}{x-7}}&=&(0{,}25 \cdot 128)^{\frac{x+17}{x-3}}\\
32^{\frac{x+5}{x-7}}&=&32^{\frac{x+17}{x-3}}
 &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
\cfrac{x+5}{x-7}&=&\cfrac{x+17}{x-3} &| \cdot (x-7) \cdot (x-3) \\
(x+5) \cdot (x-3)&=&(x+17) \cdot (x-7) \\
x^2-3x+5x-15&=&x^2-7x+17x-119 &|-x^2 \\
2x-15&=&10x-119 &|-10x+15 \\
-8x&=&-104 &|:(-8) \\
x&=&13 \\
L&=&\{13\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rcll}
a^2 \cdot \sqrt[4\,]{a^{5x-3}}
  &=&a^{\frac{7x}{6}} \cdot \sqrt[3\,]{a^{\frac{2x}{9}}}\\
a^2 \cdot a^{\frac{5x-3}{4}}&=&a^{\frac{7x}{6}}\cdot a^{\frac{2x}{3 \cdot 9}}\\
a^{2+\frac{5x-3}{4}}&=&a^{\frac{7x}{6}+\frac{2x}{27}}
 &|\textnormal{ Exponenten gleichsetzen}\\
2+\cfrac{5x-3}{4}&=&\cfrac{7x}{6}+\cfrac{2x}{27}&| \cdot 108 \\
108 \cdot 2+27 \cdot (5x-3)&=&18 \cdot 7x+4 \cdot 2x \\
216+135x-81&=&126x+8x \\
135+135x&=&134x &|-134x-135 \\
x&=&-135 \\
L&=&\{-135\}\\
\end{array}\]

\newpage
\section{Lösung durch logarithmische Berechnung}
\subsection{Grundprinzip dieses Verfahrens}
Manchmal lässt sich die Lösung bestimmen, indem man die Gleichung
logarithmiert. Wie das aussehen kann, zeigt nachfolgendes Beispiel.
\[3^x=30\]
Hier kann direkt auf beiden Seiten der Logarithmus zur Basis 3 gebildet werden.
\[x= \log_3 30 \]
Weil die meisten Taschenrechner nicht den Logarithmus zu einer beliebigen Basis
berechnen können, hilft hier das fünfte Logarithmengesetz weiter:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$\log_a b=\cfrac{\log_c b}{\log_c a}$}
\end{center}
Man kann sich also eine beliebge Basis $c$ aussuchen, die der Taschenrechner
versteht, und damit den gesuchten Logarithmus bestimmen. Üblicherweise kennen
unsere Taschenrechner den Zehnerlogarithmus (Basis 10) und den "`natürlichen"'
Logarithmus (Basis Eulersche Zahl $e \approx 2{,}718\,281\,828\,459\,045$).\\

Wir können also wählen, ob wir als Basis $c$ die 10 oder die Eulersche Zahl $e$
verwenden wollen. Für beide Logarithmen gibt es eine Kurzbezeichnung:
\[\begin{array}{rcll}
\log_{10} x&=& \lg x \\
\log_e x&=&\ln x \\
\end{array}\]
\underline{\textbf{Achtung!}} Hier lauert allerdings eine Falle! Während die
Bezeichnung $\ln x$ tatsächlich weltweit für den natürlichen Logarithmus
verwendet wird, ist für den Zehnerlogarithmus im angloamerikanischen Raum im
Gegensatz zur übrigen Welt nicht die Bezeichnung $\lg x$ üblich, sondern man
verwendet dafür die Schreibweise $\log x$. Weil unsere üblichen Taschenrechner
alle aus diesem Raum stammen, steht auf der Taste für den Zehnerlogarithmus
nicht \fcolorbox{black}{lightgray}{$\lg$}, sondern
\fcolorbox{black}{lightgray}{$\log$}. Das muss man wissen. Hinter dieser Taste
verbirgt sich also nicht der allgemeine Logarithmus zu einer beliebigen Basis,
sondern nur der Zehnerlogarithmus.\\

\underline{Anmerkung:} Inzwischen gibt es auch Taschenrechner, die direkt den
Logarithmus zu einer beliebigen Basis berechnen können. Hier hilft ein Blick in
die Bedienungsanleitung.\\

Kommen wir nun zu unserem Beispiel zurück. Ich verwende zur Lösung den
natürlichen Logarithmus, weil der weltweit einheitlich mit ln bezeichnet wird.
\[\begin{array}{rcll}
3^x&=&30 &|\log_3 \ldots \\
x&=& \log_3 30 \\
 &=&\cfrac{\ln 30}{\ln 3}\\
x&\approx&3{,}095\,903\,274\,29 \\
\end{array}\]

Wir können leicht die Probe machen. Mit dem Taschenrechner berechnen wir:
\[3^{3{,}095\,903\,274\,29}=30\]

Ein weiteres (komplizierteres) Beispiel soll das Verfahren erläutern.
\[13^{3x-9}=16^{5x-15}\]
Hier haben wir zwei verschiedene Basen. Wir können daher auf den ersten Blick
nicht (sinnvoll) sofort logarithmieren. Das funktioniert aber trotzdem.\\

Als Basis, zu der wir logatithmieren wollen, kommen auf den ersten Blick die 13
oder die 16 in Frage. Es geht aber tatsächlich auch mit jeder beliebigen
anderen Basis. Daher wähle ich eine, mit der mein Taschenrechner unmittelbar
rechnen kann, also $e$ oder 10. Zur Abwechslung wähle ich in diesem Beispiel
den Zehnerlogarithmus. In den nachfolgenden Schritten wird das dritte
Logarithmengesetze angewendet und algebraische Umformungen durchgeführt.

\[\begin{array}{rcll}
13^{3x-9}&=&16^{5x-15} &| \lg \ldots \\
\lg 13^{3x-9}&=&\lg 16^{5x-15} &|\textnormal{ 3. Logarithmengesetz}\\
(3x-9) \cdot \lg 13&=&(5x-15) \cdot \lg 16 \\
3x \cdot \lg 13-9 \cdot \lg 13&=&5x \cdot \lg 16-15 \cdot \lg 16
  &|+9 \cdot \lg 13-5x \cdot \lg 16 \\
3x \cdot \lg 13-5x \cdot \lg 16&=&-15 \cdot \lg 16+9 \cdot \lg 13 \\
x \cdot (3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16)&=&-15 \cdot \lg 16+9 \cdot \lg 13
  &|:(3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16) \\
x&=&\cfrac{-15 \cdot \lg 16+9 \cdot \lg 13}{3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16}\\
\end{array}\]

Im Prinzip kann man diesen Bruch unmittelbar mit dem Taschenrechner ausrechnen.
Es geht aber sogar noch etwas eleganter ganz ohne Taschenrechner:

\[\begin{array}{rcll}
x&=&\cfrac{-15 \cdot \lg 16+9 \cdot \lg 13}{3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16}
  &|\textnormal{ Zähler umsortieren}\\
x&=&\cfrac{9 \cdot \lg 13-15 \cdot \lg 16}{3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16}
  &|\textnormal{ 3 ausklammern}\\
x&=&\cfrac{3 \cdot (3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16)}
    {3 \cdot \lg 13-5 \cdot \lg 16} &|\textnormal{ kürzen}\\
x&=&3 \\
L&=&\{3\}
\end{array}\]

Machen wir zum Schluss noch die Probe:
\[\begin{array}{rcll}
13^{3x-9}&=&16^{5x-15}\\
13^{3 \cdot 3-9}&^{_=^?}&16^{5 \cdot 3-15}\\
13^0&^{_=^?}&16^0 \\
1&=&1 \\
\end{array}\]

\subsection{Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren "`Logarithmische Rechnung"'}
Damit die Lösung schnell geprüft werden kann, steht bei jeder Aufgabe die
Lösungsmenge direkt mit dabei. Komplette Lösungen mit Lösungsweg befinden sich
in einem eigenen nachfolgenden Kapitel.

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[100^x=5\]
\[L\approx\{0{,}349\,485\}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[2^x=25\]
\[L\approx\{4{,}643\,856\}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[\sqrt[x\,]{21}=1{,}78\]
\[L=\{5{,}28\}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[\sqrt[x\,]{9\,977}=2{,}5113\]
\[L\approx\{10\}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[25^{-x}=11\]
\[L\approx\{0{,}744\,948\}\]

\subsubsection{Aufgabe 6}
\[3^{(6^x)}=5^{(4^x)}\]
\[L\approx\{-0{,}941\,726\}\]

\subsubsection{Aufgabe 7}
\[45^{2x-4}=50^{x-2}\]
\[L=\{2\}\]

\subsubsection{Aufgabe 8}
\[8^{x-1}=7 \cdot 5^x\]
\[L\approx\{8{,}564\,512\}\]

\subsubsection{Aufgabe 9}
\[(3^x)^2=729\]
\[L=\{3\}\]

\subsubsection{Aufgabe 10}
\[\left( \cfrac{3}{5}\right)^{2x-5}=\left( \cfrac{4}{7}\right)^{3x-2}\]
\[L\approx\{-2{,}183\,361\}\]

\newpage
\subsection{Komplette Lösungswege zu den Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren
"`Logarithmische Rechnung"'}

\underline{Vorweg:} Bei allen Aufgaben kann nach Belieben mit dem
Zehnerlogarithmus \textbf{lg} oder mit dem natürlichen Logarithmus \textbf{ln}
gerechnet werden. In den folgenden Musterlösungen habe ich das willkürlich
einfach abgewechselt.

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
100^x&=&5 &|\log_{100}\ldots \\
x&=&\log_{100} 5 \\
&=&\cfrac{\lg 5}{\lg 100}\\
x&\approx&\{0{,}349\,485\}\\
L&\approx&\{0{,}349\,485\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
2^x&=&25 &|\log_2 \ldots \\
x&=&\log_2 25 \\
&=&\cfrac{\ln 25}{\ln 2}\\
x&\approx&4{,}643\,856 \\
L&\approx&\{4{,}643\,856\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x\,]{21}&=&1{,}78 &|\log_{21} \ldots \\
\cfrac{1}{x}&=&\log_{21} 1{,}78 \\
\cfrac{1}{x}&=&\cfrac{\lg 1{,}78}{\lg 21} &| \textnormal{ Kehrwert}\\
x&=&\cfrac{\lg 21}{\lg 1{,}78}\\
x&\approx&5{,}28 \\
L&\approx&\{5{,}28\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x\,]{9\,977}&=&2{,}5113 &|\log_{9\,977} \ldots \\
\cfrac{1}{x}&=&\log_{9\,977} 2{,}5113 \\
\cfrac{1}{x}&=&\cfrac{\lg 2{,}5113}{\lg 9\,977} &|\textnormal{ Kehrwert}\\
x&=&\cfrac{\lg 9\,977}{\lg 2{,}5113}\\
L&\approx&\{10\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
25^{-x}&=&11 &|\log_{25} \ldots \\
-x&=&\log_{25} 11 &| \cdot (-1) \\
x&=&-\log_{25} 11 \\
x&=&-\cfrac{\ln 11}{\ln 25}\\
x&\approx&-0{,}744\,948 \\
L&\approx&\{-0{,}744\,948\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 6}
\[\begin{array}{rcll}
3^{(6^x)}&=&5^{(4^x)}&|\lg \ldots \\
6^x \cdot \lg 3&=&4^x \cdot \lg 5 &|:4^x:\lg 3 \\
\cfrac{6^x}{4^x}&=&\cfrac{\lg 5}{\lg 3}\\
1{,}5^x&=&\cfrac{\lg 5}{\lg 3} &|\log_{1{,}5}\ldots \\
x&=&\log_{1{,}5}\cfrac{\lg 5}{\lg 3}\\
&=&\cfrac{\lg \frac{\lg 5}{\lg 3}}{\lg 1{,}5}\\
x&\approx&-0{,}941\,726 \\
L&\approx&\{-0{,}941\,726\}
\end{array}\]

\enlargethispage{20mm}
\subsubsection{Aufgabe 7}
\[\begin{array}{rcll}
45^{2x-4}&=&50^{x-2}&|\ln \ldots \\
(2x-4) \cdot \ln 45&=&(x-2) \cdot \ln 50 \\
2x \cdot \ln 45-4 \cdot \ln 45&=&x \cdot \ln 50-2 \cdot \ln 50
 &|-x \cdot \ln 50+4 \cdot \ln 45 \\
2x \cdot \ln 45-x \cdot \ln50&=&4 \cdot \ln 45-2 \cdot \ln 50 \\
x \cdot (2 \cdot \ln 45- \ln50)&=&4 \cdot \ln 45-2 \cdot \ln 50
 &|:(2 \cdot \ln 45- \ln50) \\
x&=&\cfrac{4 \cdot \ln 45-2 \cdot \ln 50}{2 \cdot \ln 45- \ln50}\\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 8}
\[\begin{array}{rcll}
8^{x-1}&=&7 \cdot 5^x &|\lg \ldots \\
(x-1) \cdot \lg 8&=&\lg 7+x \cdot \lg 5 \\
x \cdot \lg 8-\lg 8&=&\lg 7+x \cdot \lg 5 &|+\lg 8-x \cdot \lg 5 \\
x \cdot \lg 8-x \cdot \lg 5&=&\lg 7+\lg 8 \\
x \cdot (\lg 8-\lg 5)&=&\lg 7+\lg 8&|:(\lg 8-\lg 5) \\
x&=&\cfrac{\lg 7+\lg 8}{\lg 8-\lg 5}\\
x&\approx&8{,}564\,512 \\
L&\approx&\{8{,}564\,512\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 9}
\[\begin{array}{rcll}
(3^x)^2&=&729 \\
3^{2x}&=&729 &|\ln \ldots \\
2x \cdot \ln 3&=&\ln 729 &|:\ln 3 \\
2x&=&\cfrac{\ln 729}{\ln 3} &|:2 \\
x&=&\cfrac{\ln 729}{2 \cdot \ln 3}\\
x&=&3 \\
L&=&\{3\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 10}
\[\begin{array}{rcll}
\left( \cfrac{3}{5}\right)^{2x-5}&=&\left( \cfrac{4}{7}\right)^{3x-2}
  &|\lg \ldots \\
(2x-5) \cdot \lg \frac{3}{5}&=&(3x-2) \cdot \lg \frac{4}{7}\\
2x \cdot \lg \frac{3}{5}-5 \cdot \lg \frac{3}{5}&=&3x \cdot \lg \frac{4}{7}
  -2 \cdot \lg \frac{4}{7}&|+5 \lg \frac{3}{5}-3x \cdot \lg \frac{4}{7}\\
2x \cdot \lg \frac{3}{5}-3x \cdot \lg \frac{4}{7}
  &=&5 \cdot \lg \frac{3}{5}-2 \cdot \lg \frac{4}{7}\\
x \cdot (2 \cdot \lg \frac{3}{5}-3 \cdot \lg \frac{4}{7})
  &=&5 \cdot \lg \frac{3}{5}-2 \cdot \lg \frac{4}{7}
  &|:(2 \cdot \lg \frac{3}{5}-3 \cdot \lg \frac{4}{7})\\
x&=&\cfrac{5 \cdot \lg \frac{3}{5}-2 \cdot \lg \frac{4}{7}}
  {2 \cdot \lg \frac{3}{5}-3 \cdot \lg \frac{4}{7}} \\
x&\approx&-2{,}183\,361 \\
L&\approx&\{-2{,}183\,361\}
\end{array}\]























\newpage
\section{Lösung mit Quadratischer Gleichung}
\subsection{Grundprinzip dieses Verfahrens}
Manchmal kann man die Exponentialgleichung auch so umstellen, dass man darin
die Normalform für eine Quadratische Gleichung wiederfindet. Diese lässt sich
dann mit der bekannten $p$-$q$-Formel\footnote{Einzelheiten zur $p$-$q$-Formel
siehe beispielsweise hier:
%\ifpdf \htmladdnormallink{
\textcolor{blue}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}
%}{http://www.dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/quad.pdf}\fi
}
lösen. Mit einem Beispiel möchte ich dies erläutern.

\[4^x-9 \cdot 2^x+8=0\]

Erinnern wir uns an die $p$-$q$-Formel:
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{$x^2+px+q=0$} \quad $\Rightarrow$ \quad
\fcolorbox{red}{yellow}{$x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}$}
\end{center}
Damit wir nicht das $x$ in der zu lösenden Exponentialgleichung mit dem $x$ in
der Lösungsformel verwechseln können, ersetze ich das $x$ in der $p$-$q$-Formel
mit einem $y$.
\begin{center}
$y^2+py+q=0$ \quad $\Rightarrow$ \quad
$y_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2}\right)^2-q}$
\end{center}

Links steht die Bezugsformel, auf die sich die Lösungsformel rechts bezieht.
Vergleichen wir nun die zu lösende Exponentialgleichung mit der Bezugsformel,
erkennt man schon auf den ersten Blick gewisse Ähnlichkeiten. In beiden
Gleichungen steht rechts vom Gleichheitszeichen eine 0 und links vom
Gleichheitszeichen stehen genau drei Terme.\\

In je einem der drei Terme kommt ein \emph{absolutes Glied} vor, also ein Term,
der kein $x$ (bzw. kein $x$) enthält. In der Exponentialgleichung ist das die
8, in der Bezugsformel der Parameter $q$. Diese Terme entsprechen sich. Demnach
müsste gelten:
\[q=8\]

Dann müssten sich die ersten beiden Terme ebenfalls entsprechen.
\[y^2=4^x\]
Daraus kann man ausrechnen, welcher Term dann $y$ entsprechen müsste.
\[\begin{array}{rcll}
y^2&=&4^x &|\sqrt{\ldots}\\
y&=&\sqrt{4^x}\\
&=&\sqrt{(2^2)^x}\\
&=&\sqrt{(2^x)^2}\\
y&=&2^x \\
\end{array}\]
\underline{Anmerkung:}
Eigentlich müsste man beim Wurzelziehen auch die \textbf{negative} Wurzel in
Betracht ziehen, also $y= \pm \sqrt{4^x}$. Ich möchte an dieser Stelle aber auf
eine Begründung verzichten, warum man sich das sparen kann.\\

Wenn wir die Substitution $y=2^x$ durchführen, dann müssen sich die beiden
mittleren Terme in der Exponentialgleichung und in der Bezugsformel
entsprechen. \textbf{Wenn das nicht der Fall sein sollte, dann wäre das
angepeilte Lösungsverfahren nicht anwendbar!} Daher prüfen wir das nun.
\[\begin{array}{rcll}
py&=&9 \cdot 2^x &|\textnormal{ substituieren}\\
p \cdot 2^x&=&9 \cdot 2^x &|:2^x \\
p&=&9 \\
\end{array}\]

\underline{Anmerkung:} Die Division durch $2^x$ ist für alle $x \in \mathbb{R}$
zulässig, da $2^x$ niemals Null werden kann.\\

Wir sehen, dass sich die beiden Terme mit $p=9$ entsprechen.
Daher können wir die gegebene Exonentialgleichung mit der Substitution $2^x=y$
in eine Quadratische Gleichung umwandeln und dann nach $y$ auflösen.
\[\begin{array}{rcll}
4^x-9 \cdot 2^x+8&=&0 &|\textnormal{ Substitution }2^x=y \\
y^2-9y+8&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{9}{2}\pm \sqrt{\left( \cfrac{9}{2} \right)^2-8}\\
&=&\cfrac{9}{2}\pm \sqrt{\cfrac{81}{4} -\cfrac{32}{4}}\\
&=&\cfrac{9}{2}\pm \sqrt{\cfrac{49}{4}}\\
&=&\cfrac{9}{2}\pm \cfrac{7}{2}\\
y_1=\cfrac{16}{2}=8 && y_2=\cfrac{2}{2}=1 \\
\end{array}\]

Jetzt kann mit beiden Ergebnissen zurücksubstituiert werden.
\[\begin{array}{rcll}
2^{x_1}&=&y_1 \\
2^{x_1}&=&8 &|\log_2 \ldots \\
x_1&=&\log_2 8 \\
x_1&=&3 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
2^{x_2}&=&y_2 \\
2^{x_2}&=&1 &|\log_2 \ldots \\
x_2&=&\log_2 1 \\
x_2&=&0 \\
\end{array}\]
Wir erhalten die Lösungsmenge:
\[L=\{0;3\}\]

\newpage
Es folgt ein weiteres, etwas komplizierteres Beispiel.
\[2^{2(x+1)}+16=65 \cdot 2^x\]

Eine Ähnlichkeit zur Bezugsformel der $p$-$q$-Formel ist zunächst nicht
erkennbar. Daher wird die Gleichung zunächst etwas umgeformt.

\[\begin{array}{rcll}
2^{2(x+1)}+16&=&65 \cdot 2^x &|-65 \cdot 2^x \\
2^{2(x+1)}+16-65 \cdot 2^x&=&0 \\
2^{2x+2}-65 \cdot 2^x+16&=&0 \\
2^{2x} \cdot 2^2-65 \cdot 2^x+16&=&0 &|:4 \\
2^{2x}-\cfrac{65}{4} \cdot 2^x+4&=&0 \\
(2^x)^2-\cfrac{65}{4} \cdot 2^x+4&=&0 \\
\end{array}\]

Jetzt kann substituiert werden: $y=2^x$

\[\begin{array}{rcll}
(2^x)^2-\cfrac{65}{4} \cdot 2^x+4&=&0 \\
y^2-\cfrac{65}{4} \cdot y+4&=&0 &| \textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{65}{8}\pm \sqrt{\left( \cfrac{65}{8} \right)^2-4}\\
&=&\cfrac{65}{8}\pm \sqrt{\cfrac{4\,225}{64}-\cfrac{256}{64}}\\
&=&\cfrac{65}{8}\pm \cfrac{63}{8}\\
y_1=\cfrac{65}{8}+\cfrac{63}{8}=\cfrac{128}{8}=16
 &&y_2=\cfrac{65}{8}-\cfrac{63}{8}=\cfrac{2}{8}=\cfrac{1}{4}\\
\end{array}\]

Jetzt kann zurück substituiert werden.
\[\begin{array}{rcll}
2^{x_1}&=&y_1 \\
2^{x_1}&=&16 &|\log_2 \ldots \\
x_1&=&\log_2 16 \\
x_1&=&4 \\
\end{array}\]

\[\begin{array}{rcll}
2^{x_2}&=&y_2 \\
2^{x_2}&=&\cfrac{1}{4} &|\log_2 \ldots \\
x_2&=&\log_2 \cfrac{1}{4} \\
x_2&=&-2 \\
\end{array}\]

Die Lösungsmenge lautet:
\[L=\{-2;4\}\]

\subsection{Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren "`Quadratische Gleichung"'}
Damit die Lösung schnell geprüft werden kann, steht bei jeder Aufgabe die
Lösungsmenge direkt mit dabei. Komplette Lösungen mit Lösungsweg befinden sich
in einem eigenen nachfolgenden Kapitel.

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[2^x+8 \cdot 2^{-x}=6\]
\[L=\{1;2\}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[18 \cdot 2^x=48-3 \cdot 4^x\]
\[L=\{1\}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[6^{x+1}+6^{1-x}=37\]
\[L=\{-1;1\}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[2 \cdot 16^x=7\,552+10 \cdot 4^x\]
\[L=\{3\}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[7x^{\lg x}=15{,}75\]
\[L\approx\{0{,}255\,005\,956;3{,}921\,477\,036\}\]

\subsection{Komplette Lösungswege zu den Übungsaufgaben zum Lösungsverfahren
"`Quadratische Gleichung"'}

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[\begin{array}{rcll}
2^x+8 \cdot 2^{-x}&=&6 &| \cdot 2^x \\
(2^x)^2+8&=&6 \cdot 2^x &|-6 \cdot 2^x \\
(2^x)^2-6 \cdot 2^x+8&=&0 &|\textnormal{ Subst. }2^x=y \\
y^2-6y+8&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&3 \pm \sqrt{3^2-8}\\
y_{1/2}&=&3 \pm 1\\
y_1=3+1=4 && y_2=3-1=2 &|\textnormal{ zurück subst.}\\
2^{x_1}&=&y_1 \\
2^{x_1}&=&4 &|\log_2 \ldots \\
x_1&=&\log_2 4 \\
x_1&=&2 \\
2^{x_2}&=&y_2 \\
2^{x_2}&=&2 &|\log_2 \ldots \\
x_2&=&\log_2 2 \\
x_2&=&1 \\
L&=&\{1;2\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[\begin{array}{rcll}
18 \cdot 2^x&=&48-3 \cdot 4^x \\
18 \cdot 2^x&=&48-3 \cdot (2^2)^x \\
18 \cdot 2^x&=&48-3 \cdot (2^x)^2 &|+3 \cdot (2^x)^2-48 \\
3 \cdot (2^x)^2+18 \cdot 2^x-48&=&0 &|:3 \\
(2^x)^2+6 \cdot 2^x-16&=&0 &|\textnormal{ Subst. }2^x=y \\
y^2+6y-16&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&-3 \pm \sqrt{3^2+16}\\
y_{1/2}&=&-3 \pm 5 \\
y_1=-3+5=2 && y_2=-3-5=-8 &|\textnormal{ zurück subst.}\\
2^{x_1}&=&y_1 \\
2^{x_1}&=&2 &|\log_2 \ldots \\
x_1&=&\log_2 2 \\
x_1&=&1 \\
2^{x_2}&=&y_2 \\
2^{x_2}&=&-8 &|\log_2 \ldots \\
x_2&=&\log_2 (-8)&\textnormal{ (keine Lös.)} \\
L&=&\{1\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[\begin{array}{rcll}
6^{x+1}+6^{1-x}&=&37 \\
6^x \cdot 6+6 \cdot 6^{-x}&=&37 &| \cdot 6^x \\
6 \cdot (6^x)^2+6&=&37 \cdot 6^x &|-37 \cdot 6^x \\
6 \cdot (6^x)^2-37 \cdot 6^x+6&=&0 &|\textnormal{ Subst. }6^x=y \\
6y^2-37y+6&=&0 &|:6 \\
y^2-\cfrac{37}{6}+1&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{37}{12}\pm \sqrt{\cfrac{1\,369}{144}-\cfrac{144}{144}}\\
&=&\cfrac{37}{12}\pm \sqrt{\cfrac{1\,225}{144}}\\
&=&\cfrac{37}{12}\pm \cfrac{35}{12}\\
y_1=\cfrac{37}{12}+\cfrac{35}{12}=6 &&
y_2=\cfrac{37}{12}-\cfrac{35}{12}=\cfrac{1}{6}
 &|\textnormal{ zurück subst.}\\
6^{x_1}&=&y_1 \\
6^{x_1}&=&6 &|\log_6 \ldots \\
x_1&=&\log_6 6 \\
x_1&=&1 \\
6^{x_2}&=&y_2 \\
6^{x_2}&=&\cfrac{1}{6} &|\log_6 \ldots \\
x_2&=&\log_6 \cfrac{1}{6} \\
x_2&=&-1 \\
L&=&\{-1;1\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[\begin{array}{rcll}
2 \cdot 16^x&=&7\,552+10 \cdot 4^x \\
2 \cdot (4^2)^x&=&7\,552+10 \cdot 4^x &|-7\,552-10 \cdot 4^x \\
2 \cdot (4^x)^2-10 \cdot 4^x-7\,552&=&0 &|:2 \\
(4^x)^2-5 \cdot 4^x-3\,776&=&0 &|\textnormal{ Subst. }4^x=y \\
y^2-5y-3\,776&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{25}{4}+\cfrac{15\,104}{4}}\\
&=&\cfrac{5}{2}\pm \cfrac{123}{2}\\
y_1=\cfrac{5+123}{2}=64 && y_2=\cfrac{5-123}{2}=-59
 &|\textnormal{ zurück subst.}\\
4^{x_1}&=&y_1 \\
4^{x_1}&=&64 &|\log_4 \ldots \\
x_1&=&\log_4 64 \\
x_1&=&3 \\
4^{x_2}&=&y_2 \\
4^{x_2}&=&-59 &|\log_4 \ldots \\
x_2&=&\log_4 -59 &| \textnormal{ keine Lösung}\\
L&=&\{3\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[\begin{array}{rcll}
7x^{\lg x}&=&15{,}75 &|:7 \\
x^{\lg x}&=&2{,}25 |\log_x \ldots \\
\lg x&=&\log_x 2{,}25 \\
\lg x&=&\cfrac{\lg 2{,}25}{\lg x} &| \cdot \lg x \\
( \lg x)^2&=&\lg 2{,}25 &|\textnormal{ Subst.: }\lg x=y \\
y^2&=&\lg 2{,}25 &|\sqrt{\ldots}\\
y_{1/2}&=&\pm \sqrt{\lg 2{,}25}\\
y_{1/2}&\approx&\pm 0{,}593\,449\,676 &|\textnormal{zurück subst.}\\
\lg x_{1/2}&\approx&\pm 0{,}593\,449\,676 &|10^{\ldots} \\
x_1\approx10^{0{,}593\,449\,676}\approx3{,}921\,477\,036
&& x_2\approx10^{-0{,}593\,449\,676}\approx0{,}255\,005\,956 \\
\end{array}\]

\newpage
\section{Gemischte Übungsaufgaben}
Hier folgen noch einige Übungsaufgaben ohne Hinweis, welche Lösungsmethode
angebracht ist. Manchmal sind mehrere Lösungswege möglich, manchmal auch nicht.

\subsection{Aufgabenstellungen der gemischten Aufgaben mit Ergebnis}

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}= \left( \cfrac{17}{13}\right)^{5x-9}\]
\[L=\{2\}\]

\subsubsection{Aufgabe 2}
\[\sqrt[x+12\,]{81^{x+2}}=\cfrac{1}{3}\]
\[L=\{-4\}\]

\subsubsection{Aufgabe 3}
\[7 \cdot \sqrt{5^{x-2}}= \sqrt[3\,]{35^{x+1}}\]
\[L \approx \{-2{,}230\,942\}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[20 \cdot 2^{2x}-64=4^{2x}\]
\[L=\{1;2\}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[4^{x+3}+5^{x+2}=5^{x+3}-4^{x+2}\]
\[L=\{-1\}\]

\subsubsection{Aufgabe 6}
\[7x^{\lg x}=15{,}75\]
\[L \approx\{0{,}255\,006;3{,}921\,477\}\]

\subsubsection{Aufgabe 7}
\[\sqrt[x\,]{25^{x+3}}=5\]
\[L=\{-6\}\]

\subsubsection{Aufgabe 8}
\[\left( 2 \cdot 3^{2x-3}\right)^2=4 \cdot 9^{x-1}\]
\[L=\{2\}\]

\subsubsection{Aufgabe 9}
\[\sqrt[3\,]{243} \cdot \sqrt{27^{x-3}}=81 \cdot \sqrt[5\,]{729^{4-11x}}\]
\[L=\{\frac{349}{441}\}\]

\subsubsection{Aufgabe 10}
\[29{,}791^{\frac{1}{x-2}}=3{,}1^x\]
\[L=\{-1;3\}\]

\subsubsection{Aufgabe 11}
\[2^{3x-1}-3^{x+1}=3^{x-1}-2^{3x-1}\]
\[L \approx \{1{,}227\,505 \}\]

\subsubsection{Aufgabe 12}
\[33 \cdot 2^x=8+4 \cdot 2^{2x}\]
\[L=\{-2;3\}\]

\subsubsection{Aufgabe 13}
\[8 \cdot 6^{4x-3}=12+36^{4x-3}\]
\[L=\{0{,}846\,713;1\}\]

\subsubsection{Aufgabe 14}
\[ \left( 24^{x+4}\right)^{x+7}= \left( 24^{x+1}\right)^{2x+4}\]
\[L=\{-3;8\}\]

\subsubsection{Aufgabe 15}
\[3 \cdot 2^{x+2}=1+4 \cdot 2^{2x+3}\]
\[L=\{-3;-2\}\]

%\subsubsection{Aufgabe 16}
%\[\]
%\[L=\{\}\]



\newpage
\subsection{Komplette Lösungswege zu den Aufgabenstellungen der gemischten
Aufgaben}

\subsubsection{Aufgabe 1}
\[\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}= \left( \cfrac{17}{13}\right)^{5x-9}\]
Hier ist sowohl die Lösung durch Koeffizientenvergleich als auch durch
logarithmische Berechnung möglich.
\paragraph{Lösungsvariante 1:}

\[\begin{array}{rcll}
\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}&=&\left( \cfrac{17}{13}\right)^{5x-9}\\
\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}
  &=&\left( \left( \cfrac{13}{17}\right)^{-1}\right)^{5x-9}\\
\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}&=&\left( \cfrac{13}{17}\right)^{-(5x-9)}
  &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich}\\
2x-5&=&-(5x-9) \\
2x-5&=&-5x+9 &|+5+5x \\
7x&=&14 &|:7 \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{array}\]

\paragraph{Lösungsvariante 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\left( \cfrac{13}{17}\right)^{2x-5}&=&\left( \cfrac{17}{13}\right)^{5x-9}
 &|\lg \ldots \\
(2x-5) \cdot \lg \frac{13}{17}&=&(5x-9) \cdot \lg \frac{17}{13}\\
2x \cdot \lg \frac{13}{17}-5 \cdot \lg \frac{13}{17}
  &=&5x \cdot \lg \frac{17}{13}-9 \cdot \lg \frac{17}{13}
  &|+5 \cdot \lg \frac{13}{17}-5x \cdot \lg \frac{17}{13}\\
2x \cdot \lg \frac{13}{17}-5x \cdot \lg \frac{17}{13}
  &=&5 \cdot \lg \frac{13}{17}-9 \cdot \lg \frac{17}{13}\\
x \cdot \left( 2 \cdot \lg \frac{13}{17}-5 \cdot \lg \frac{17}{13}\right)
  &=&5 \cdot \lg \frac{13}{17}-9 \cdot \lg \frac{17}{13}
  &|:\left(2 \cdot \lg \frac{13}{17}-5 \cdot \lg \frac{17}{13}\right)\\
x&=&\cfrac{5 \cdot \lg \frac{13}{17}-9 \cdot \lg \frac{17}{13}}
  {2 \cdot \lg \frac{13}{17}-5 \cdot \lg \frac{17}{13}}\\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 2}
\[\sqrt[x+12\,]{81^{x+2}}=\cfrac{1}{3}\]
Auch hier ist sowohl die Lösung durch Koeffizientenvergleich als auch durch
logarithmische Berechnung möglich.
\paragraph{Lösungsvariante 1:}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x+12\,]{81^{x+2}}&=&\cfrac{1}{3}\\
81^\frac{x+2}{x+12}&=&\cfrac{1}{3}\\
(3^4)^\frac{x+2}{x+12}&=&3^{-1}\\
3^{4 \cdot \frac{x+2}{x+12}}&=&3^{-1}&|\textnormal{ Koeffizientenvergleich}\\
4 \cdot \cfrac{x+2}{x+12}&=&-1 &| \cdot (x+12) \\
4 \cdot (x+2)&=&-(x+12) \\
4x+8&=&-x-12&|+x-8 \\
5x&=&-20 &|:5 \\
x&=&-4 \\
L&=&\{-4\}
\end{array}\]

\paragraph{Lösungsvariante 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x+12\,]{81^{x+2}}&=&\cfrac{1}{3}\\
81^\frac{x+2}{x+12}&=&\cfrac{1}{3} &|\ln \ldots \\
\cfrac{x+2}{x+12} \cdot \ln 81&=&\ln \cfrac{1}{3}&| \cdot (x+12) \\
(x+2) \cdot \ln 81&=&(x+12) \cdot \ln \cfrac{1}{3}\\
x \cdot \ln 81+2 \cdot \ln 81
  &=&x \cdot \ln \cfrac{1}{3}+12 \cdot \ln \cfrac{1}{3}
  &|-2 \cdot \ln 81-x \cdot \ln \cfrac{1}{3}\\
x \cdot \ln 81-x \cdot \ln \cfrac{1}{3}
  &=&12 \cdot \ln \cfrac{1}{3}-2 \cdot \ln 81 \\
x \cdot \left( \ln 81-\ln \cfrac{1}{3} \right)
  &=&12 \cdot \ln \cfrac{1}{3}-2 \cdot \ln 81
  &|:\left( \ln 81-\ln \cfrac{1}{3}\right) \\
x&=&\cfrac{12 \cdot \ln \frac{1}{3}-2 \cdot \ln 81}{\ln 81-\ln \frac{1}{3}}\\
x&=&-4 \\
L&=&\{-4\}
\end{array}\]


\subsubsection{Aufgabe 3}
\[7 \cdot \sqrt{5^{x-2}}= \sqrt[3\,]{35^{x+1}}\]
Hier hilft nur die logarithmische Berechnung weiter.
\[\begin{array}{rcll}
7 \cdot \sqrt{5^{x-2}}&=&\sqrt[3\,]{35^{x+1}}\\
7 \cdot 5^{\frac{x-2}{2}}&=&35^{\frac{x+1}{3}}&|\lg \ldots \\
\lg 7+\cfrac{x-2}{2} \cdot \lg 5&=&\cfrac{x+1}{3} \cdot \lg 35 &| \cdot 6 \\
6 \cdot \lg 7+3 \cdot (x-2) \cdot \lg 5&=&2 \cdot (x+1) \cdot \lg 35 \\
6 \cdot \lg 7+(3x-6) \cdot \lg 5&=&(2x+2) \cdot \lg 35 \\
6 \cdot \lg 7+3x \cdot \lg 5-6 \cdot \lg 5&=&2x \cdot \lg 35+2 \cdot \lg 35
 &|-6 \cdot \lg 7+6 \cdot \lg 5-2x \cdot \lg 35 \\
3x \cdot \lg 5-2x \cdot \lg 35&=&2 \cdot \lg 35-6 \cdot \lg 7+6 \cdot \lg 5 \\
x \cdot (3 \cdot \lg 5-2 \cdot \lg 35)&=&2 \cdot \lg 35
  -6 \cdot \lg 7+6 \cdot \lg 5 &|:(3 \cdot \lg 5-2 \cdot \lg 35)\\
x&=&\cfrac{2 \cdot \lg 35-6 \cdot \lg 7+6 \cdot \lg 5}
  {3 \cdot \lg 5-2 \cdot \lg 35}\\
x&=&-2{,}230\,942 \\
L &\approx& \{-2{,}230\,942\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 4}
\[20 \cdot 2^{2x}-64=4^{2x}\]
Diese Gleichung lässt sich auf eine Quadratische Gleichung zurückführen.
\[\begin{array}{rcll}
20 \cdot 2^{2x}-64&=&4^{2x}\\
20 \cdot 2^{2x}-64&=&(2^2)^{2x} \\
20 \cdot 2^{2x}-64&=&(2^{2x})^2 &|\textnormal{ Substitution }2^{2x}=y \\
20 \cdot y-64&=&y^2 &|-y^2 \\
-y^2+20y-64&=&0 &| \cdot (-1) \\
y^2-20y+64&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&10 \pm \sqrt{10^2-64}\\
y_{1/2}&=&10 \pm 6 \\
y_1=10+6=16 && y_2=10-6=4 &|\textnormal{ Zurücksubstituieren}\\
2^{2x_1}&=&y_1 \\
2^{2x_1}&=&16 \\
2^{2x_1}&=&2^4 &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich} \\
2x_1&=&4 &|:2 \\
x_1&=&2 \\
2^{2x_2}&=&y_2 \\
2^{2x_2}&=&4 \\
2^{2x_2}&=&2^2 &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich} \\
2x_2&=&2 &|:2 \\
x_2&=&1 \\
L&=&\{1;2\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 5}
\[4^{x+3}+5^{x+2}=5^{x+3}-4^{x+2}\]
Hier hilft die logarithmische Rechnung.
\[\begin{array}{rcll}
4^{x+3}+5^{x+2}&=&5^{x+3}-4^{x+2} &|-5^{x+2}+4^{x+2}\\
4^{x+3}+4^{x+2}&=&5^{x+3}-5^{x+2}\\
4^x \cdot 4^3+4^x \cdot 4^2&=&5^x \cdot 5^3-5^x \cdot 5^2 \\
64 \cdot 4^x+16 \cdot 4^x&=&125 \cdot 5^x-25 \cdot 5^x \\
80 \cdot 4^x&=&100 \cdot 5^x &|\ln \ldots \\
\ln 80+x \cdot \ln 4&=&\ln 100+x \cdot \ln 5 &|-\ln 80-x \cdot \ln 5 \\
x \cdot \ln 4-x \cdot \ln 5&=&\ln 100 -\ln 80 \\
x \cdot ( \ln 4- \ln 5)&=&\ln 100 -\ln 80 &|:( \ln 4- \ln 5) \\
x&=&\cfrac{\ln 100 -\ln 80}{\ln 4- \ln 5}\\
x&=&-1 \\
L&=&\{-1\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 6}
\[7x^{\lg x}=15{,}75\]
Hier ist nicht sofort klar, welches Verfahren passen könnte. Deshalb wird hier
erst einmal umgeformt.
\[\begin{array}{rcll}
7x^{\lg x}&=&15{,}75 &|:7 \\
x^{\lg x}&=&2{,}25 &|\lg \ldots \\
(\lg x) \cdot (\lg x)&=&\lg 2{,}25 \\
(\lg x)^2&=&\lg 2{,}25 \\
\end{array}\]
Spätestens an dieser Stelle wird klar, dass es auf eine Quadratische Gleichung
hinausläuft. Wir substituieren: $\lg x=y$.
\[\begin{array}{rcll}
y^2&=&\lg 2{,}25 \\
y_{1/2}&=&\pm \sqrt{\lg 2{,}25}\\
y_1= \sqrt{\lg 2{,}25} && y_2=-\sqrt{\lg 2{,}25}
 &|\textnormal{ zurück substituieren}\\
\lg x_1&=&y_1 \\
\lg x_1&=& \sqrt{\lg 2{,}25} &|10^{\ldots}\\
x_1&=&10^{ \sqrt{\lg 2{,}25}}\\
x_1&\approx&3{,}921\,477 \\
\lg x_2&=&y_2 \\
\lg x_2&=&-\sqrt{\lg 2{,}25} &|10^{\ldots}\\
x_2&=&10^{-\sqrt{\lg 2{,}25}}\\
x_2&\approx&0{,}255\,006 \\
L &\approx&\{0{,}255\,006;3{,}921\,477\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 7}
\[\sqrt[x\,]{25^{x+3}}=5\]
Hier sind wieder die ersten beiden Verfahren möglich.

\paragraph{Lösungsvariante 1:}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x\,]{25^{x+3}}&=&5 \\
25^{\frac{x+3}{x}}&=&5 \\
(5^2)^{\frac{x+3}{x}}&=&5 \\
5^{2 \cdot \frac{x+3}{x}}&=&5^1 &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich}\\
2 \cdot \frac{x+3}{x}&=&1 &| \cdot x \\
2 \cdot (x+3)&=&x \\
2x+6&=&x &|-6-x \\
x&=&-6 \\
L&=&\{-6\}
\end{array}\]


\paragraph{Lösungsvariante 2:}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[x\,]{25^{x+3}}&=&5 \\
25^{\frac{x+3}{x}}&=&5 &|\ln \ldots \\
\cfrac{x+3}{x} \cdot \ln 25&=&\ln 5 &| \cdot x \\
x \cdot \ln 25+3 \cdot \ln 25&=&x \cdot \ln 5 &|-3 \cdot \ln 25-x \cdot \ln 5\\
x \cdot \ln 25-x \cdot \ln 5&=&-3 \cdot \ln 25 \\
x \cdot (\ln 25- \ln 5)&=&-3 \cdot \ln 25 &|:(\ln 25- \ln 5) \\
x&=&\cfrac{-3 \cdot \ln 25}{\ln 25- \ln 5}\\
x&=&-6 \\
L&=&\{-6\}
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 8}
\[\left( 2 \cdot 3^{2x-3}\right)^2=4 \cdot 9^{x-1}\]
Das Verfahren mit Koeffizientenvergleich bietet sich sehr an.

\[\begin{array}{rcll}
\left( 2 \cdot 3^{2x-3}\right)^2&=&4 \cdot 9^{x-1}\\
4 \cdot 3^{2 \cdot (2x-3)}&=&4 \cdot 9^{x-1} &|:4 \\
9^{2x-3}&=& 9^{x-1} &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich}\\
2x-3&=&x-1 &|+3-x \\
x&=&2 \\
L&=&\{2\}\\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 9}
\[\sqrt[3\,]{243} \cdot \sqrt{27^{x-3}}=81 \cdot \sqrt[5\,]{729^{4-11x}}\]
Hier sind wieder die beiden ersten Verfahren möglich. Der
Koeffizientenvergleich ist meines Erachtens jedoch etwas einfacher, wenn man
erkennt, dass alle als Basen vorkommenden Zahlen Dreierpotenzen sind.

\paragraph{Lösungsvariante 1:}
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{243} \cdot \sqrt{27^{x-3}}&=&81 \cdot \sqrt[5\,]{729^{4-11x}}\\
\sqrt[3\,]{3^5} \cdot \sqrt{\left( 3^3 \right)^{x-3}}
&=&3^4 \cdot \sqrt[5\,]{\left( 3^6 \right)^{4-11x}}\\
3^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{\frac{3 \cdot (x-3)}{2}}
  &=&3^4 \cdot 3^{\frac{6 \cdot (4-11x)}{5}}\\
3^{\frac{5}{3}+\frac{3 \cdot (x-3)}{2}}&=&3^{4+\frac{6 \cdot (4-11x)}{5}}
  &|\textnormal{ Koeffizientenvergleich}\\
\cfrac{5}{3}+\cfrac{3 \cdot (x-3)}{2}&=&4+\cfrac{6 \cdot (4-11x)}{5}&| \cdot 30\\
10 \cdot 5+15 \cdot 3 \cdot (x-3)&=&30 \cdot 4+6 \cdot 6 \cdot (4-11x) \\
50+45x-135&=&120+144-396x \\
45x-85&=&264-396x &|+85+396x \\
411x&=&349 &|:411 \\
x&=&\cfrac{349}{441}\\
L&=&\left\{\cfrac{349}{441}\right\}
\end{array}\]

\paragraph{Lösungsvariante 2:}
{\scriptsize
\[\begin{array}{rcll}
\sqrt[3\,]{243} \cdot \sqrt{27^{x-3}}&=&81 \cdot \sqrt[5\,]{729^{4-11x}}\\
243^{\frac{1}{3}} \cdot 27^{\frac{x-3}{2}}&=&81 \cdot 729^{\frac{4-11x}{5}}
  &|\lg \ldots \\
\cfrac{1}{3} \cdot \lg 243+\cfrac{x-3}{2} \cdot \lg 27
&=&\lg 81+\cfrac{4-11x}{5} \cdot \lg 729 &| \cdot 30 \\
10 \cdot \lg 243+15 \cdot (x-3) \cdot \lg 27
  &=&30 \cdot \lg 81+6 \cdot (4-11x) \cdot \lg 729 \\
10 \cdot \lg 243+15x \cdot \lg 27-45 \cdot \lg 27
  &=&30 \cdot \lg 81+24 \cdot \lg 729-66x \cdot \lg 729
  &|-10 \cdot \lg 243+45 \cdot \lg 27+66x \cdot \lg 729 \\
15x \cdot \lg 27+66x \cdot \lg 729&=&30 \cdot \lg 81+24 \cdot \lg 729
  -10 \cdot \lg 243+45 \cdot \lg 27 \\
x \cdot (15 \cdot \lg 27+66 \cdot \lg 729)&=&30 \cdot \lg 81+24 \cdot \lg 729
  -10 \cdot \lg 243+45 \cdot \lg 27 &|:(15 \cdot \lg 27+66 \cdot \lg 729)\\
x&=&\cfrac{30 \cdot \lg 81+24 \cdot \lg 729-10 \cdot \lg 243+45 \cdot \lg 27}
  {15 \cdot \lg 27+66 \cdot \lg 729}\\
x&\approx&0{,}791\,383 \\
L&\approx&\left\{0{,}791\,383\right\}\\
\end{array}\]
}

\underline{Anmerkung:} Bei der Methode des Koeffizientenvergleiches kommt man
zu einer exakten Lösung (der Bruch $\frac{349}{441}$), während man bei der
Methode des Logarithmierens nur zu einer Näherungslösung
($\frac{349}{441}\approx 0{,}791\,383$) kommt.

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 10}
\[29{,}791^{\frac{1}{x-2}}=3{,}1^x\]
Auch hier ist nicht sofort klar, welche Methode wohl weiter hilft. Also wird
erst einmal logarithmiert.
\[\begin{array}{rcll}
29{,}791^{\frac{1}{x-2}}&=&3{,}1^x &|\ln \ldots \\
\cfrac{1}{x-2} \cdot \ln 29{,}791&=&x \cdot \ln 3{,}1 &| \cdot (x-2) \\
\ln 29{,}791&=&(x^2-2x) \cdot \ln 3{,}1 \\
\ln 29{,}791&=&x^2 \cdot \ln 3{,}1-2x \cdot \ln 3{,}1
  &|-x^2 \cdot \ln 3{,}1+2x \cdot \ln 3{,}1 \\
-x^2 \cdot \ln 3{,}1+2x \cdot \ln 3{,}1+\ln 29{,}791&=&0 &|:(-\ln 3{,}1) \\
x^2-2x-\cfrac{\ln 29{,}791}{\ln 3{,}1}&=&0 \\
x^2-2x-3&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
x_{1/2}&=&1 \pm \sqrt{1^2+3} \\
&=&1 \pm 2 \\
x_1=1+2=3 && x_2=1-2=-1 \\
L&=&\{-1;3\}
\end{array}\]

\underline{Anmerkung:} Die Quadratische Gleichung ergab sich hier ganz von
allein, ohne Sustitution.

\subsubsection{Aufgabe 11}
\[2^{3x-1}-3^{x+1}=3^{x-1}-2^{3x-1}\]

Da auch hier nicht sofort ersichtlich ist, welche Methode weiter hilft, werden
zunächst die Potenzen aufgelöst und zusammengefasst.
\[\begin{array}{rcll}
2^{3x-1}-3^{x+1}&=&3^{x-1}-2^{3x-1}\\
2^{3x} \cdot 2^{-1}-3^x \cdot 3&=&3^x \cdot 3^{-1}-2^{3x} \cdot 2^{-1}\\
\frac{1}{2}\cdot 2^{3x}-3 \cdot 3^x
  &=&\frac{1}{3}\cdot 3^x-\frac{1}{2}\cdot 2^{3x}
  &|+3 \cdot 3^x+\frac{1}{2}\cdot 2^{3x}\\
\frac{1}{2}\cdot 2^{3x}+\frac{1}{2}\cdot 2^{3x}
  &=&\frac{1}{3}\cdot 3^x+3 \cdot 3^x \\
2^{3x}&=&\frac{10}{3} \cdot 3^x &|\lg \ldots \\
3x \cdot \lg 2&=&\lg \frac{10}{3}+x \cdot \lg 3 &|-x \cdot \lg 3\\
3x \cdot \lg 2-x \cdot \lg 3&=&\lg \frac{10}{3} \\
x \cdot (3 \cdot  \lg 2- \lg 3)&=&\lg \frac{10}{3}&|:(3 \cdot  \lg 2- \lg 3) \\
x&=&\cfrac{\lg \frac{10}{3}}{3 \cdot  \lg 2- \lg 3}\\
x&\approx&1{,}227\,505 \\
L &\approx& \{1{,}227\,505 \} \\
\end{array}\]

\subsubsection{Aufgabe 12}
\[33 \cdot 2^x=8+4 \cdot 2^{2x}\]
Weil wir hier drei Terme haben und außerdem in einer Zweierpotenz die Variable
gegenüber der anderen Zweierpotenz verdoppelt ist, liegt die Methode mit
Quadratischer Gleichung sehr nahe.
\[\begin{array}{rcll}
33 \cdot 2^x&=&8+4 \cdot 2^{2x} \\
33 \cdot 2^x&=&8+4 \cdot \left( 2^x \right)^2
 &|-8-4 \cdot \left( 2^x \right)^2 \\
33 \cdot 2^x-8-4 \cdot \left( 2^x \right)^2&=&0 &|:(-4) \\
-\cfrac{33}{4} \cdot 2^x+2+\left( 2^x \right)^2&=&0 \\
\left( 2^x \right)^2-\cfrac{33}{4} \cdot 2^x+2&=&0 &|\textnormal{ Substitution: }2^x=y \\
y^2-\cfrac{33}{4}y+2&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel} \\
y_{1/2}&=&\cfrac{33}{8}\pm \sqrt{\cfrac{1\,089}{64}-\cfrac{128}{64}}\\
&=&\cfrac{33}{8}\pm \cfrac{31}{8}\\
y_1=\cfrac{33}{8}+\cfrac{31}{8}=8
  &&y_2=\cfrac{33}{8}-\cfrac{31}{8}=\cfrac{1}{4}
  &|\textnormal{ zurück substituieren}\\
2^{x_1}&=&y_1 \\
2^{x_1}&=&8 \\
2^{x_1}&=&2^3 &|\log_2 \ldots  \\
x_1&=&3 \\
2^{x_2}&=&y_2 \\
2^{x_2}&=&\cfrac{1}{4} \\
2^{x_2}&=&2^{-2} &|\log_2 \ldots  \\
x_2&=&-2 \\
L&=&\{-2;3\}
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 13}
\[8 \cdot 6^{4x-3}=12+36^{4x-3}\]
Auch hier kann man eine Quadratische Gleichung vermuten.
\[\begin{array}{rcll}
8 \cdot 6^{4x-3}&=&12+36^{4x-3} &|-12-36^{4x-3}\\
8 \cdot 6^{4x-3}-12-36^{4x-3}&=&0 &| \cdot (-1) \\
-8 \cdot 6^{4x-3}+12+36^{4x-3}&=&0 \\
36^{4x-3}-8 \cdot 6^{4x-3}+12&=&0 \\
\left( 6^{4x-3} \right)^2-8 \cdot 6^{4x-3}+12&=&0
  &|\textnormal{ Substitution: }6^{4x-3}=y \\
y^2-8y+12&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&4 \pm \sqrt{4^2-12}\\
y_{1/2}&=&4 \pm 2 \\
y_1=4+2=6 && y_2=4-2=2 &|\textnormal{ zurück substituieren}\\
6^{4x_1-3}&=&y_1 \\
6^{4x_1-3}&=&6=6^1 \\
4x_1-3&=&1 &|+3 \\
4x_1&=&4 &|:4 \\
x_1&=&1 \\
6^{4x_2-3}&=&y_2 \\
6^{4x_2-3}&=&2 &|\ln \ldots \\
(4x_2-3) \cdot \ln 6&=&\ln 2 &|:\ln 6 \\
4x_2-3&=&\cfrac{\ln 2}{\ln 6} &|+3 \\
4x_2&=&\cfrac{\ln 2}{\ln 6}+3 &|:4 \\
x_2&=&\cfrac{\frac{\ln 2}{\ln 6}+3}{4}\\
x_2&\approx&0{,}846\,713 \\
L&=&\{0{,}846\,713;1\}\\
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 14}
\[ \left( 24^{x+4}\right)^{x+7}= \left( 24^{x+1}\right)^{2x+4}\]
Da die vorkommenden Basen gleich sind (24), liegt die Methode des
Koeffizientenvergleiches auf der Hand.
\[\begin{array}{rcll}
\left( 24^{x+4}\right)^{x+7}&=& \left( 24^{x+1}\right)^{2x+4}\\
24^{(x+4) \cdot (x+7)}&=&24^{(x+1) \cdot (2x+4)}\\
(x+4) \cdot (x+7)&=&(x+1) \cdot (2x+4) \\
x^2+7x+4x+28&=&2x^2+4x+2x+4 \\
x^2+11x+28&=&2x^2+6x+4 &|-2x^2-6x-4 \\
-x^2+5x+24&=&0 &| \cdot (-1) \\
x^2-5x-24&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \sqrt{\cfrac{25}{4}+\cfrac{96}{4}}\\
x_{1/2}&=&\cfrac{5}{2}\pm \cfrac{11}{2}\\
x_1=\cfrac{5}{2}+\cfrac{11}{2}=8 && x_2=\cfrac{5}{2}-\cfrac{11}{2}=-3 \\
L&=&\{-3;8\}
\end{array}\]

\newpage
\subsubsection{Aufgabe 15}
\[3 \cdot 2^{x+2}=1+4 \cdot 2^{2x+3}\]
Das sieht ganz nach Quadratischer Gleichung aus.
\[\begin{array}{rcll}
3 \cdot 2^{x+2}&=&1+4 \cdot 2^{2x+3}\\
3 \cdot 2^x \cdot 2^2&=&1+4 \cdot 2^{2x} \cdot 2^3 \\
3 \cdot 4 \cdot 2^x&=&1+4 \cdot 8 \cdot 2^{2x}\\
12 \cdot 2^x&=&1+32 \cdot \left( 2^x \right)^2
 &|\textnormal{ Substitution: }2^x=y \\
12y&=&1+32y^2 &|-1-32y^2 \\
-32y^2+12y-1&=&0 &|:(-32) \\
y^2-\cfrac{3}{8}y+\cfrac{1}{32}&=&0 &|\textnormal{ $p$-$q$-Formel}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{3}{16}\pm \sqrt{\cfrac{9}{256}-\cfrac{8}{256}}\\
y_{1/2}&=&\cfrac{3}{16}\pm \cfrac{1}{64}\\
y_1=\cfrac{3}{16}+\cfrac{1}{16}=\cfrac{1}{4}
  &&y_2=\cfrac{3}{16}-\cfrac{1}{16}=\cfrac{1}{8}
  &|\textnormal{ zurück substituieren}\\
2^x_1&=&y_1 \\
2^x_1&=&\cfrac{1}{4}\\
2^x_1&=&2^{-2} \\
x_1&=&-2 \\
2^x_2&=&y_2 \\
2^x_2&=&\cfrac{1}{8}\\
2^x_2&=&2^{-3} \\
x_1&=&-3 \\
L&=&\{-3;-2\}\\
\end{array}\]




\end{document}
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