\documentclass[a4paper,12pt]{scrartcl} % Papierformat
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\fi                   %
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\setlength{\parindent}{0pt} % kein Einrücken nach Abschnitt
\begin{document}
\title{Exponentialfunktionen}
\subtitle{(Pandemie aus mathematischer Sicht)}
\author{Wolfgang Kippels}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{Einleitung}
Am Beispiel der Corona-Pandemie im Frühjahr 2020 sollen die besonderen
Merkmale von Exponentialfunktionen dargestellt werden.

\section{Grundlagen zu Exponentialfunktionen}
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-0.8)(4.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-0.8)(4.8,9.6)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,9.2){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 1 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -1 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{1}
   \uput[45](2,7){\textcolor{red}{$b=1$}}
   \uput[135](-2,7){\textcolor{red}{$b=-1$}}
   \uput[-45](2.6,3){\textcolor{red}{$b=0{,}4$}}
   \uput[-135](-2.6,3){\textcolor{red}{$b=-0{,}4$}}
   \uput[90](3,1){\textcolor{red}{$b=0$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Eine \textbf{Exponentialfunktion} ist eine Funktion, bei der die unabhängige
Variable als \textbf{Exponent} vorkommt. Die Normalform lautet:
\[f(x)=a \cdot e^{bx}+c\]
Hierbei ist \textbf{\emph{e}} die Eulersche Zahl\footnote{Die Eulersche Zahl
ist definiert als
\mbox{$e=\lim\limits_{n \to \infty}\left(\frac{1}{1+n} \right)^n $}. Wer damit
nichts anfangen kann, dem sei gesagt, dass $e$ eine besondere mathematische
Zahl ist, wie auch die Kreiszahl $\pi$. Zum Verständnis an dieser Stelle
reicht das völlig aus.} mit
\mbox{$e \approx 2{,}718\,281\,828\,459\,045$}.\\

Nebenstehend sind fünf Funktionsgraphen dargestellt. Bei allen Funktionen ist
$a=1$ und $c=0$. Nur die $b$-Werte unterscheiden sich.\\
$f_1(x)=e^{1x}$\\
$f_2(x)=e^{0{,}4x}$\\
$f_3(x)=e^{0x}$\\
$f_4(x)=e^{-0{,}4x}$\\
$f_5(x)=e^{-1x}$\\

Schaut man sich die zugehörigen Funktionsgraphen an, dann sollte auffallen,
dass die Kurven auf der rechten Seite immer steiler nach oben verlaufen,
sobald $b$ positiv ist. Man sagt:"`\emph{Die Funktion \textbf{divergiert} für
$x \to \infty$}."'\\

Bei negativem $b$ kommen die Kurven von links oben und nähern sich im Verlauf
nach rechts der $x$-Achse immer mehr an. Man sagt:"`\emph{Die Funktion
\textbf{konvergiert} für
$x \to \infty$}."'\\

Ist dagegen $b=0$, dann erhalten wir eine waagerechte Gerade in der Höhe 1.

\paragraph{Was bedeutet das?} Wenn wir in der Praxis irgendwo einen zeitlichen
Zusammenhang haben, der einer exponentionellen Funktion folgt, dann ist das
Vorzeichen von $b$ ganz entscheidend. Bei positivem $b$ steigen die
Funktionswerte irgendwann explosionsartig an, entweder in den positiven oder
in den negativen Bereich. Im Beispiel einer Pandemie gibt es zunächst nur
wenige Fälle von Erkrankungen, dann werden es immer mehr und das immer
schneller. Es kommt zur Katastrophe.\\

Bei Abklingvorgängen ist $b$ \textbf{negativ}. Nehmen wir beispielsweise einen
radioaktiven Zerfall. Man muss nur lange genug warten, dann wird die
gefährliche Strahlung immer geringer, bis sie schließlich nicht mehr messbar
ist. Je nachdem, um welches Element es sich dabei handelt, kann dieser
Prozess allerdings auch Jahrmillionen dauern.\\

Auch bei einer Pandemie kann es zu einem Abklingvorgang kommen. Erwünscht ist
das auf jeden Fall. Behindert man durch geeignete Maßnahmen die weitere
Ausbreitung der Krankheit, dann kann es sein, dass man einen
\textbf{negativen} $b$-Wert erhält. Dann verringert sich die Zahl der akut
Erkrankten und bewegt sich Richtung Null. Im Idealfall stirbt die Krankheit
dann irgendwann aus.\footnote{Leider hat man in der Wirklichkeit niemals eine
reine Exponentialfunktion. Es gibt immer eine Vielzahl von Einflüssen, die den
Verlauf der Ausbreitung einer Krankheit bestimmen. Dennoch stellt die
Exponentialfunktion meist eine gute Näherung dar.}\\

\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-5.8)(4.8,5.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-5.8)(4.8,5.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,5.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp
  -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp
  0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp
  2 mul}
   \uput[-120](2,-2.4){\textcolor{red}{$a=-1$}}
   \uput[-60](3.3,2){\textcolor{red}{$a=0{,}5$}}
   \uput[10](3,3.4){\textcolor{red}{$a=1$}}
   \uput[180](2,4.4){\textcolor{red}{$a=2$}}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp
  -1 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp
  0.5 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp
  2 mul}
   \uput[-60](-2,-2.4){\textcolor{blue}{$a=-1$}}
   \uput[-120](-3.4,1.9){\textcolor{blue}{$a=0{,}5$}}
   \uput[170](-3,3.4){\textcolor{blue}{$a=1$}}
   \uput[0](-2,4.4){\textcolor{blue}{$a=2$}}
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

Schauen wir uns als nächstes den Einfluss des Parameters $a$ an. Nebenstehend
sind die Funktionsgraphen dargestellt, mit \mbox{$b=0{,}4$} in
\textcolor{red}{rot} sowie \mbox{$b=-0{,}4$} in \textcolor{blue}{blau} und
\mbox{$c=0$}. Der Parameter $a$ legt mit seinem Vorzeichen fest, ob die Kurve
nach oben (bei \mbox{$a>0$}) oder nach unten (\mbox{bei $a<0$}) "`wegbiegt"'.
Der Fall für \mbox{$a=0$} wurde hier nicht mit eingezeichnet, das wäre eine
Gerdade entlang der $x$-Achse.\\

Je größer $a$ ist, desto steiler biegt die Kurve nach oben.\\

So lange \mbox{$c=0$} ist, stellt $a$ gleichzeitig auch den $y$-Achsenabschnitt
dar.\\

In dem Fall, dass $b<0$ ist, erhalten wir die gleiche Aussage, allerdings mit
dem Unterschied, dass die Kurven dann auf der linken, statt auf der rechten
Seite von der $x$-Achse wegbiegen.\\

\newpage
\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(-4.8,-2.8)(4.8,5.8)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4.8,-2.8)(4.8,5.8)
  \uput[-90](4.6,0){x}  \uput[180](0,5.4){y}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 0.4 x mul exp 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 0.4 x mul exp 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 0.4 x mul exp 2 sub}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}{4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp 1 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp 3 add}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue!60]{-4.8}
     {4.8}{2.71828 -0.4 x mul exp 2 sub}
   \uput[180](-3,-1.5){\textcolor{red}{$c=-2$}}
   \uput[180](-3,0.5){\textcolor{red}{$c=0$}}
   \uput[180](-3,1.5){\textcolor{red}{$c=1$}}
   \uput[180](-3,3.5){\textcolor{red}{$c=3$}}
   \uput[0](3,-1.5){\textcolor{blue}{$c=-2$}}
   \uput[0](3,0.5){\textcolor{blue}{$c=0$}}
   \uput[0](3,1.5){\textcolor{blue}{$c=1$}}
   \uput[0](3,3.5){\textcolor{blue}{$c=3$}}
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-4.8,-2)(4.8,-2)
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-4.8,1)(4.8,1)
   \psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-4.8,3)(4.8,3)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Im nächsten Diagramm sind Funktionen mit einem unterschiedlichen Wert für den
Parameter $c$ dargestellt.  Nebenstehend sind die Funktionsgraphen
dargestellt, mit \mbox{$b=0{,}4$} in \textcolor{red}{rot} sowie
\mbox{$b=-0{,}4$} in \textcolor{blue}{blau} und \mbox{$a=1$}.\\

Wenn man genau hinsieht, dann kann man erkennen, dass der Parameter $c$ den
Wert angibt, zu dem die Funktionsgraphen nach links (bei positivem $b$) bzw.
nach rechts (bei negativem $b$) hinstreben.\\ \\

\section{Wichtige Kenngrößen einer Exponentialfunktion}
Bei Vorgängen, deren \textbf{zeitlicher Verlauf} durch eine Exponentialfunktion
bestimmt sind, tauchen gelegentlich die Begriffe \emph{Halbwertzeit},
\emph{Verdopplungszeit} oder auch \emph{Reproduktionsfaktor} auf. Diese
sollen hier im einzelnen vorgestellt werden.

\subsection{Halbwertzeit}
Die Halbwertzeit gibt es nur bei \textbf{abklingenden} Vorgängen. Man versteht
darunter die Zeit, die vergeht, bis der Funktionswert auf die Hälfte des
Anfangswertes abgesunken ist.\\

\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-1.6,-1.6)(17.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.6,-1.6)(17.8,9.6)
  \uput[-90](17.2,0){$\frac{t}{\textnormal{h}}$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
       {0}{17.8}{1.1225 -1 x mul exp 8 mul}
  \psline[linewidth=1.9pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](6,0)(6,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}

In der Medizin wird beispielsweise für diagnostische Zwecke Technetium
eingesetzt. Das meist verwendete $^{99m}$Tc hat eine \textbf{Halbwertzeit} von
etwa 6 Stunden. Das bedeutet, dass von einer Anfangsmenge Technetium nach 6
Stunden wegen des radioaktiven Zerfalls nur noch die Hälfte übrig ist. Bekommt
der Patient ein Technetium-Präparat gespritzt, dann kann man davon ausgehen,
dass nach ein paar Tagen davon nichts mehr übrig bleibt.\\

Im Diagramm oben ist der Zerfall von $^{99m}$Tc dargetellt. Der Anfangswert bei
$t=0$ beträgt 8 Einheiten. Nach 6 Stunden ist er auf die Hälfte, also 4
Einheiten angesunken. Nach weiteren 6 Stunden (also nach insgesamt 12 Stunden)
beträgt er nur noch 2 Einheiten usw. Aber auch, wenn man bei einem beliebigen
anderen Zeitpunkt (etwa bei $t=\unit[1]{h}$ mit 7 Einheiten) einsteigt, dann
hat man 6 Stunden später nur noch den halben Funktionswert (im Beispiel bei
$t=\unit[7]{h}$ ist er auf 3,5 Einheiten abgesunken). \\

Weil die Halbwertzeit ein in der Praxis gut handhabbarer Parameter ist, wird
er gern verwendet. Wie können wir nun diesen Wert in den $b$-Wert aus der
Normalform der Funktionsgleichung umrechnen?\\

Die Normalform für die Exponentialfunktion mit der Zeit $t$ als unabhängige
Variable lautet:
\[f(t)=a \cdot e^{b \cdot t}+c\]
Weil die Kurve für $t \to \infty$ gegen Null geht, ist der Parameter $c=0$.
Der Parameter $a$ ist der Startwert bei $t=0$. Wenn ich also in die
Funktionsgleichung für $t$ die Halbwertzeit $t_H$ einsetze, dann erhalte ich
als Funktionswert genau die Hälfte von $a$ als Ergebnis. Mit diesem Ansatz
kann nun $b$ berechnet werden.\footnote{Hier wird mit Logarithmen gerechnet.
Grundlagen dazu findet man beispielsweise hier:\\
\ifpdf
\url{https://dk4ek.de/lib/exe/fetch.php/logarit.pdf}\fi}
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot e^{b \cdot t_H}&=&\cfrac{1}{2} \cdot a &|:a \\
e^{b \cdot t_H}&=&\cfrac{1}{2} &| \ln \dots \\
b \cdot t_H&=&\ln \cfrac{1}{2} &|:t_H \\
b&=&\cfrac{\ln \frac{1}{2}}{t_H} \\
\end{array}\]
Weil $\ln \frac{1}{2}\approx -0{,}693\,147$ ein fester Wert ist, kann man
diesen auch in die Formel einsetzen.\\

\underline{Zusammengefasst:} Möchte man aus der Halbwertzeit $t_H$ eines
abklingenden Prozesses den Parameter $b$ der Exponentialfunktion bestimmen,
dann geht das mit dieser Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$b=\cfrac{\ln \frac{1}{2}}{t_H}\approx \cfrac{-0{,}693\,147}{t_H}$}
\end{center}
Wie man unmittelbar erkennen kann, erhält man für $b$ einen \textbf{negativen}
Wert. Das muss bei einem \textbf{abklingenden} Vorgang auch so sein.

\subsection{Verdopplungszeit}  \enlargethispage{10mm}
Haben wir einen Vorgang mit \textbf{exponentiellem Wachstum}, dann kommt die
Verdopplungszeit ins Spiel. Darunter versteht man die Zeit, in der sich der
Funktionswert verdoppelt.\\

\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.6,-1.6)(17.8,9.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-2.6,-1.6)(17.8,9.6)
  \uput[-90](17.2,0){$\frac{t}{\textnormal{d}}$}  \uput[180](0,9.2){$y$}
  \uput[180](0.2,2){\footnotesize 20\,000}
  \uput[180](0.2,4){\footnotesize 40\,000}
  \uput[180](0.2,6){\footnotesize 60\,000}
  \uput[180](0.2,8){\footnotesize 80\,000}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
       {0}{17.8}{1.189 1 x mul exp 0.6 mul}
%  \psline[linewidth=1.9pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](4,0)(4,9.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Am 17. März 2020 gab es in Deutschland etwa 6\,000 Menschen, die mit dem
Coronavirus infiziert waren. Damals verdoppelt sich die Zahl der Infizierten
alle 4 Tage. Dieser Zusammenhang ist nebenstehend dargestellt. Man kann
beispielsweise ganz gut ablesen, dass es am 3. Tag danach etwa 10\,000
Infizierte geben würde, 4 Tage später (also am Tag 7) 20\,000.\\

Die Klärung der Frage, wie aus der Verdopplungszeit $t_D$ der Parameter $b$
aus der Normalform der Exponentialfunktion berechnet werden kann, erfolgt
analog zur vorher beschriebenen Halbwertzeit. Wir gehen zunächst davon aus,
dass der Parameter $c=0$ ist, denn bei Rückverlängerung der Kurve nach links
nähert sich diese der Null an. Weiterhin gehen wir von dem Startwert $a$
zum Zeitpunkt $t=0$ aus. Setzt man nun für $t$ in der Normalform der
Funktionsgleichung die Verdopplungszeit $t_D$ ein, dann ergibt sich als
Funktionswert das Doppelte vom Startwert, also $2a$.
\[\begin{array}{rcll}
a \cdot e^{b \cdot t_D}&=&2 \cdot a &|:a \\
e^{b \cdot t_D}&=&2 &| \ln \dots \\
b \cdot t_D&=&\ln 2 &|:t_D \\
b&=&\cfrac{\ln 2}{t_D} \\
\end{array}\]
Weil $\ln 2\approx 0{,}693\,147$ ein fester Wert ist, kann man
diesen auch in die Formel einsetzen.\\

\underline{Zusammengefasst:} Möchte man aus der Verdopplungszeit $t_D$ eines
Prozesses mit exponentiellem Wachstum den Parameter $b$ der
Exponentialfunktion bestimmen, dann geht das mit dieser Formel:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{$b=\cfrac{\ln 2}{t_D}\approx \cfrac{0{,}693\,147}{t_D}$}
\end{center}
Wie man unmittelbar erkennen kann, erhält man für $b$ einen \textbf{positiven}
Wert. Das muss bei einem Prozesses mit \textbf{exponentiellem Wachstum} auch
so sein.

\subsection{Reproduktionsfaktor}
Speziell im Zusammenhang mit der Corona-Pandemie tauchte der Begriff
\emph{Reproduktionsfaktor} $R$ auf. Darunter versteht man die Anzahl der
Menschen, die ein Infizierter durchschnittlich ansteckt. Um die Sache noch
etwas zu verkomplizieren unterscheidet man dabei noch zwischen dem
\textbf{Grund}-Reproduktionsfaktor $R_0$ und dem \textbf{aktuellen}
Reproduktionsfaktor $R$. Was aber bedeutet diese Unterscheidung?\\

Nehmen wir einmal an, ein Infizierter kommt während seiner ansteckenden Phase
mit drei Menschen derart in Kontakt, dass er diese drei Menschen anstecken
würde. Dann wäre der Grund-Reproduktionsfaktor $R_0=3$. Nun kann es aber sein,
dass statistisch gesehen von diesen drei Menschen einer nicht angesteckt
werden kann, sei es, weil er die Erkrankung schon hatte, oder sei es, weil er
wegen einer Impfung immun gegen die Erkrankung ist. In diesem Fall wäre der
aktuelle Reproduktionsfaktor $R=2$.\\

Zum Beginn einer Pandemie, wo noch niemand wegen Vorerkrankung oder Impfung
immun ist, ist somit $R=R_0$. Mit dem Fortschreiten der Durchseuchung der
Bevölkerung beginnt jedoch $R$ nach und nach kleiner als $R_0$ zu werden, weil
es immer häufiger passiert, dass ein potentielles "`Infektionsopfer"' schon
immun ist. Der Infizierte kann also nicht mehr so viele anstecken, wie zu
Beginn der Pandemie.\\

Auch diesen Reproduktionsfaktor kön\-nen wir in einen $b$-Parameter aus der
Normalform der Exponentialfunktion umwandeln. Ganz so einfach, wie bei der
Halbwertzeit oder der Verdopplungszeit ist es allerdings nicht.\\

\begin{wrapfigure}{r}{8.5cm}
\psset{xunit=4mm,yunit=5mm}
\begin{pspicture}(-2.6,-1.6)(17.8,7.6)
  \psgrid[subgriddiv=5,griddots=0,
          subgridwidth=0.1pt,
          subgridcolor=black!15,
          gridcolor=black!50,
          yunit=1]
  \psaxes[linewidth=1.8pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-2.6,-1.6)(17.8,7.6)
  \uput[-90](17.2,0){$\frac{t}{\textnormal{d}}$}  \uput[180](0,7.2){$y$}
  \uput[180](0.2,2){\footnotesize 10\,000}
  \uput[180](0.2,4){\footnotesize 20\,000}
  \uput[180](0.2,6){\footnotesize 30\,000}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
       {0}{7}{1.189 1 x mul exp 0.6 mul 2 mul}
  \psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red!60]
       {7}{17.8}{1.189 14 x sub exp -0.6 mul 4.031 add 2 mul}
  \psline[linewidth=1.9pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](7,0)(7,7.6)
\end{pspicture}
\end{wrapfigure}
Hätte man 7 Tage nach Beginn der Aufzeichnungen aus dem Beispiel der
Corona-Pandemie im vorangegangenen Kapitel (also am 24. März 2020) durch eine
geeignete Maßnahme den exponentiellen Anstieg in einen abklingenden Anstieg
umwandeln können, dann würde sich in etwa der nebenstehend dargestellte
Funktionsverlauf für die Anzahl der Infizierten ergeben. Der Anstieg des
Wachstums ist jetzt ab dem 7. Tag begrenzt, die Zahl steigt aber dennoch
weiter an. Das liegt daran, dass in der Zahl der Infizierten auch noch die
Zahl der inzwischen wieder Genesenen enthalten ist. Würde man in einer
Funktion nur die \textbf{aktuell} Erkrankten darstellen, dann würde die Kurve
Richtung Null streben, ähnlich zum Diagramm aus Kapitel 3.1.\\

Für weitere Überlegungen sollten wir ein paar Annahmen festlegen.
Zunächst gehen wir davon aus, dass die Infektionszeit\footnote{Die
Infektionszeit ist die Zeitspanne, innerhalb derer eine Ansteckung anderer
Menschen möglich ist.} $n$ Tage beträgt. Zur Vereinfachung gehen wir davon aus,
dass der Infizierte nach Ablauf dieser Zeit entweder wieder genesen oder
gestorben ist. Weiterhin nehmen wir an, dass die Pandemie noch am Anfang
steht, also \mbox{$R \approx R_0$} ist. Nun benenne ich die Zahl der
\textbf{aktuell} Infizierten zum Zeitpunkt $t_0$ mit $I_0$ und die Zahl der
\textbf{aktuell} Infizierten $n$ Tage später (also nach dem Ablauf einer
Infektionsperiode) $I_n$. Damit ist der Reproduktionsfaktor definiert mit:
\[R=\cfrac{I_n}{I_0}\]

Die allgemeine Funktionsgleichung für die Zahl der aktuell Infizierten lautet:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}+c\]
Der Parameter $c$ ist Null, das hatten wir schon geklärt. Bleibt also nur noch
der Parameter $a$ und $b$ zu bestimmen.\\

Starten wir unsere Funktion, mit der wir die Zahl der aktuell
Infizierten darstellen wollen, zum Zeitpunkt \mbox{$t=0$}, dann ist der Term
\mbox{$e^{b \cdot 0}=1$}, denn es ist \mbox{$e^0=1$}. Somit ist für den
Zeitpunkt \mbox{$t=0$}::
\[I(0)=I_0=a \cdot e^0+0=a\]
Zusammengefasst: \mbox{$a=I_0$}.\\

Aus der Definitionsgleichung für den Reproduktionsfaktor erhalten wir durch
Gleichungsumstellung die Zahl der Infizierten nach $n$ Tagen, also $I_n$:
\[I_n=R \cdot I_0\]
Das setzen wir in die Funktionsgleichung ein.
\[I(n)=I_n=R \cdot I_0=I_0 \cdot e^{b \cdot n}\]
Zusammengefasst ist das:
\[R \cdot I_0=I_0 \cdot e^{b \cdot n}\]

Wir formen die Gleichung nach $b$ um:
\[\begin{array}{rcll}
R \cdot I_0&=&I_0 \cdot e^{b \cdot n} &|:I_0 \\
R&=&e^{b \cdot n} &|\ln \ldots \\
\ln R&=&b \cdot n &|:n \\
\cfrac{\ln R}{n}&=&b \\
\end{array}\]

Wir haben gelernt, dass der Parameter $b$ darüber entscheidet, ob die Funktion
exponentiell ansteigt oder abklingt. $R$ und $n$ sind \textbf{positive}
Zahlen. Der einzige Term in der eben hergeleiteten Formel, der
\textbf{negativ} werden kann, ist der Logarithmus $\ln R$. Bekanntlich ist der
Logarithmus (zu einer beliebigen Basis größer als 1) von 1 gleich Null. Für
Werte \mbox{$R>1$} ist er \textbf{positiv}, im Bereich \mbox{$0<R<1$}
\textbf{negativ}. Wir können das als Ergebnis zusammenfassen:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Solange der Reprodunktionsfaktor $R$ kleiner als 1 bleibt, klingt die
Pandemie ab.}\end{center}

\section{Beispiele}
\subsection{Beispiel 1}
Am 17. März 2020 gab es in Deutschland etwa 6\,000 Menschen, die mit dem
Coronavirus infiziert waren. Damals verdoppelt sich die Zahl der Infizierten
alle 4 Tage. An welchem Tag hätte man 10\,000\,000 Infizierte in Deutschland
gehabt, wenn man keine Maßnahmen ergriffen hätte, um die Infektionsrate zu
verringern?

\paragraph{Lösung:}
Die Basis für alle Berechnungen ist die Funktionsgleichung in Normalform:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}+c\]
Ich gehe von \mbox{$c=0$} aus, weil es hinreichend lange vor dem 17. März
keine Infizierten gab. Mathematisch ausgedrückt sieht das so aus:
\mbox{$\lim\limits_{t \to - \infty}I(t)=0$}.
Als Funktionsgleichung bleibt demnach:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}\]

Den Start-Zeitpunkt mit \mbox{$t=0$} lege ich auf den 17. März. Setzte ich in
dieser Funktionsgleichung \mbox{$t=0$} ein, dann erhalte ich die Zahl der
Infizierten am 17. März, also 6\,000.
\[\begin{array}{rcll}
I(0)&=&6\,000 \\
a \cdot e^{b \cdot 0}&=&6\,000 \\
a \cdot 1&=&6\,000 \\
a&=&6\,000 \\
\end{array}\]

Hiermit ist der Parameter $a$ bekannt. Die weiter konkretisierte
Funktionsgleichung sieht damit so aus:
\[I(t)=6\,000 \cdot e^{b \cdot t}\]

Jetzt muss nur noch der Parameter $b$ bestimmt werden. Dafür verwenden wir die
angegebene Verdopplungszeit (in der Einheit \emph{Tage}) von \mbox{$t_D=4$}.
Setze ich $t_D$ für $t$ in die Funktionsgleichung ein, dann erhält als Ergebnis
das Doppelte des Startwertes, also $2 \cdot 6\,000$.
\[\begin{array}{rcll}
I(t_D)&=&2 \cdot 6\,000 \\
6\,000 \cdot e^{b \cdot 4}&=&2 \cdot 6\,000 &|6\,000 \\
e^{b \cdot 4}&=&2 &|\ln \ldots \\
b \cdot 4&=&\ln 2 &|:4 \\
b&=&\cfrac{\ln 2}{4}\\
b&=&0{,}173 \\
\end{array}\]

Damit ist die komplette Funktionsgleichung bekannt:
\[I(t)=6\,000 \cdot e^{0{,}173 \cdot t}\]

Es ist zunächst die Zeit gesucht, bis der Funktionswert auf
\mbox{$I=10\,000\,000$} angestiegen ist. Diese Zeit nenne ich $t_x$.

\[\begin{array}{rcll}
I(t_x)&=&10\,000\,000 \\
6\,000 \cdot e^{0{,}173 \cdot t_x}&=&10\,000\,000 &|:6\,000 \\
e^{0{,}173 \cdot t_x}&=&\cfrac{10\,000\,000}{6\,000}\\
e^{0{,}173 \cdot t_x}&=&1\,667 &|ln \ldots \\
0{,}173 \cdot t_x&=&\ln 1\,667 &|:0{,}173 \\
t_x&=&\cfrac{\ln 1\,667}{0{,}173} \\
t_x&=&42{,}9 \\
\end{array}\]

Das sind knapp 43 Tage. Jetzt muss man nur noch vom 17. März 43 Tage
weiterzählen und kommt so zum 29. April. Zusammengefasstes Ergebnis:
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Ohne Gegenmaßnahmen der Regierung hätte die Zahl der Infizierten}\\
\fcolorbox{red}{yellow}{am 29. April die Grenze von 10 Millionen überschritten.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Beispiel 2}
Am 25. März 2020 betrug die Zahl der Infizierten 31\,500, am 26. März waren es
42\,500. An welchem Tag hat sich die Zahl der Infizierten gegenüber dem 25.
März verdoppelt, wenn der Anstig in gleicher Weise ansteigt?

\paragraph{Lösung:}
Es gibt hier mehrere Möglichkeiten der Vorgehensweise, von denen ich eine
beispielhaft vorstellen möchte.\\

Die Basis für die Berechnungen ist die Funktionsgleichung in Normalform:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}+c\]
Wie bereits erwähnt, kann man davon ausgehen, dass der Parameter $c=0$ ist.
Als Funktionsgleichung bleibt demnach:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}\]

Den Start-Zeitpunkt mit \mbox{$t=0$} lege ich auf den 25. März. Setzte ich in
dieser Funktionsgleichung \mbox{$t=0$} ein, dann erhalte ich die Zahl der
Infizierten am 25. März, also 31\,500.
\[\begin{array}{rcll}
I(0)&=&31\,500 \\
a \cdot e^{b \cdot 0}&=&31\,500 \\
a \cdot 1&=&31\,500 \\
a&=&31\,500 \\
\end{array}\]

Hiermit ist der Parameter $a$ bekannt. Die weiter konkretisierte
Funktionsgleichung sieht damit so aus:
\[I(t)=31\,500 \cdot e^{b \cdot t}\]

Jetzt muss nur noch der Parameter $b$ bestimmt werden. Dafür verwenden wir die
Werte vom 26. März, also dem Zeitpunkt \mbox{$t=1$}.
\[\begin{array}{rcll}
I(1)&=&42\,500 \\
31\,500 \cdot e^{b \cdot 1}&=&42\,500 \\
31\,500 \cdot e^b&=&42\,500 &|:31\,500 \\
e^b&=&\cfrac{42\,500}{31\,500} &|\ln \ldots \\
b&=&\ln \cfrac{42\,500}{31\,500} \\
b&=&0{,}299\,517 \\
\end{array}\]

Die Funktionsgleichung lautet also:
\[I(t)=31\,500 \cdot e^{0{,}299\,517 \cdot t}\]

Mit dieser Funktionsgleichung kann nun die Frage gelöst werden, wie groß die
\textbf{Verdopplungszeit} $t_D$ ist. Setzt man $t_D$ für $t$ in die
Funktionsgleichung ein, dann muss man als Ergebnis das Doppelte der Anzahl vom
25. März erhalten. Mit diesem Ansatz kann dann $t_D$ bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
I(t_D)&=&2 \cdot 31\,500 \\
31\,500 \cdot e^{0{,}299\,517 \cdot t_D}&=&2 \cdot 31\,500 &|:31\,500 \\
e^{0{,}299\,517 \cdot t_D}&=&2 &|\ln \ldots \\
0{,}299\,517 \cdot t_D&=&\ln 2 &|:0{,}299\,517 \\
t_D&=&\cfrac{\ln 2}{0{,}299\,517} \\
t_D&=&2{,}314 \\
\end{array}\]

%\underline{Ergebnis:}
\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Ende März 2020 verdoppelte sich die Anzahl der
Infizierten etwa alle 2,3 Tage.}
\end{center}

\subsection{Beispiel 3}
Ende März sagte Frau Merkel:"`\emph{Wir müssen die Verdopplungszeit auf
mindestens 12 bis 14 Tage erhöhen, bevor wir Entwarnung geben können.}"'\\

Bewerten Sie diese Aussage von Frau Merkel!

\paragraph{Lösung:}
So lange es noch eine Verdopplungszeit gibt, hat die Wachstumsfunktion noch
einen positiven Wert für den Parameter $b$. Daher haben wir immer noch
\textbf{Exponentielles Wachstum}, auch wenn der Anstieg (zunächst) nicht mehr
so steil ist. Eine hinreichende Zeit später wird er aber wieder steil und
immer steiler. Von Entwarnung kann damit also \textbf{keinesfalls} die Rede
sein. Der Kollaps kommt dann nur etwas später. \emph{(Wussten Sie, dass Frau
Merkel einen Doktortitel hat, den sie im Fach Physik erworben hat?)}

\subsection{Beispiel 4}
Mitte April sagte Frau Merkel:"`\emph{Wenn der Reproduktionsfaktor dauerhaft
kleiner als 1 bleibt, können wir die restriktiven Maßnahmen lockern.}"'\\

Bewerten Sie diese Aussage von Frau Merkel!

\paragraph{Lösung:}
Ein Reproduktionsfaktor zwischen 0 und 1 bedeutet, dass der Parameter $b$ in
der Exponentialfunktion \textbf{negativ} ist. Das bedeutet, es gibt keinen
Wachstumsvorgang, sondern einen \textbf{Abklingvorgang}. Derhalb können wir
hier Frau Merkel beipflichten.

\newpage
\subsection{Beispiel 5}
Am 8. April 2020 gab es in Deutschland 4\,200 neu Infizierte. Am 24. April
waren es nur 1\,900. Wir groß ist der durchschnittliche Reproduktionsfaktor
$R$, wenn man von einer Infektionszeit von 14 Tagen ausgeht?

\paragraph{Lösung:}
Zunächst bestimme ich die Parameter $a$ und $b$ in der Grundformel:
\[I(t)=a \cdot e^{b \cdot t}\]
(Dass \mbox{$c=0$} ist, habe ich hier schon aus den bereits besprochenen
Gründen vorausgesetzt.)
Dazu lege ich den Zeitpunkt \mbox{$t=0$} auf den 8. April. Dass dadurch die
Zahl der neu Infizierten am 8. April den Parameter $a$ darstellt, wurde schon
gezeigt. Die Funtionsgleichung lautet dann:
\[I(t)=4\,200 \cdot e^{b \cdot t}\]
Vom 8. April bis zum 24. April vergehen 16 Tage. Wenn ich also für
\mbox{$t=16$} einsetze, dann erhalte ich als Funktionswert die Zahl der neu
Infizierten vom 24. April.

\[\begin{array}{rcll}
I(16)&=&1\,900 \\
4\,200 \cdot e^{b \cdot 16}&=&1\,900 &|:4\,200 \\
e^{b \cdot 16}&=&\cfrac{1\,900}{4\,200}\\
e^{b \cdot 16}&=&0{,}452 &|\ln \ldots \\
b \cdot 16&=&\ln 0{,}452 &|:16 \\
b&=&\cfrac{\ln 0{,}452}{16} \\
b&=&-0{,}0496 \\
\end{array}\]

In dem Kapitel über den Reproduktionsfaktor haben wir schon die Formel kennen
gelernt:
\[R \cdot I_0=I_0 \cdot e^{b \cdot n}\]
Mit \mbox{$n=14$} (und \mbox{$I_0=4\,200$}) sowie dem eben bestimmten $b$-Wert
kann $R$ ausgerechnet werden.
\[\begin{array}{rcll}
R \cdot I_0&=&I_0 \cdot e^{b \cdot n} &|:I_0 \\
R&=&e^{b \cdot n} \\
&=&e^{-0{,}0496 \cdot 14}\\
R&=&0{,}499 \\
\end{array}\]

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Reproduktionsrate betrug Mitte April etwa $R=0,5$.}
\end{center}

\newpage
\subsection{Ein Beispiel aus einem anderen Bereich}
Je älter eine Frau ist, die ein Kind bekommt, desto größer ist das Risiko,
dass das Kind ein Down-Syndrom hat. Der Zusammenhang des Alters $x$ (in
Jahren) der werdenden Mutter und dem Risiko $r$ (in Prozent) für ein
Down-Syndrom des Kindes kann näherungsweise durch diese Funktion dargestellt
werden:

\[r=f(x)=0{,}000\,017 \cdot e^{0{,}2745 \cdot x}+0{,}08\]
\begin{description}
\item[a)] Eine Frau bekommt mit 33 Jahren ihr erstes Kind. Wie groß ist das
Risiko dafür, dass das Kind ein Down-Syndrom hat?
\item[b)] Eine andere Frau möchte aus beruflichen Gründen mit dem ersten Kind
lieber noch etwas warten. In welchem Alter sollte sie das Kind bekommen, damit
das Risiko für ein Down-Syndrom höchstens doppelt so groß ist, wie für die
erste Frau?
\end{description}

\paragraph{Lösung:}
\subparagraph{Teil a)}
Hier muss nur für $x$ die 33 für das Alter der Frau eingesetzt werden.
\[\begin{array}{rcll}
r&=&0{,}000\,017 \cdot e^{0{,}2745 \cdot x}+0{,}08 \\
&=&0{,}000\,017 \cdot e^{0{,}2745 \cdot 33}+0{,}08 \\
r&=&0{,}226 \\
\end{array}\]
\begin{center}\fcolorbox{red}{yellow}
{Das Risiko für ein Down-Syndrom liegt bei 0,226\%.}
\end{center}

\subparagraph{Teil b)}
Das Doppelte von 0,226\% sind 0,452\%. Dieser Wert wird für $r$ eingesetzt.
Damit kann $x$ bestimmt werden.
\[\begin{array}{rcll}
0{,}452&=&0{,}000\,017 \cdot e^{0{,}2745 \cdot x}+0{,}08 &|-0{,}08 \\
0{,}372&=&0{,}000\,017 \cdot e^{0{,}2745 \cdot x} &|:0{,}000\,017 \\
21\,882&=&e^{0{,}2745 \cdot x} &|\ln \ldots \\
\ln 21\,882&=&0{,}2745 \cdot x &|:0{,}2745 \\
\cfrac{\ln 21\,882}{0{,}2745}&=&x\\
x&=&36{,}4 \\
\end{array}\]
Mit 36,4 Jahren verdoppelt sich das Risiko gegenüber einer 33-jährigen Frau.
Die Differenz sind 3,4 zusätzliche Jahre.

\begin{center}
\fcolorbox{red}{yellow}{Die Frau kann noch 3,4 Jahre
%(bzw. 3 Jahre und 5 Monate)
warten, bis sich das Risiko verdoppelt.}
\end{center}


\end{document}


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